FORMELPLUS. Karl Haubner Manfred Hilmer. Mathematik für Mittelschulen Bayern. Lösungsband C.C. BUCHNER KLETT

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1 Karl Haubner Manfred Hilmer 9 FORMEPUS R Mathematik für Mittelschulen Bayern ösungsband Bearbeitet von Jan Brucker, Matthias Ernst, Thomas Ernst, Sonja Götz, Bernhard Hartl, Karl Haubner, Manfred Hilmer, Wolfgang Höchbauer, Kevin Koch, Friedrich Röckl, Silke Schmid und aszlo Wenzl C.C. BUCHNER KETT

2 Inhaltsverzeichnis Hinweise zum ösungsband... ösungsteil 1 Prozentrechnung SB 6 Aufwärmrunde... 6 SB 7 Einstieg... 7 SB 8 Brüche in Prozent umwandeln... 8 SB 9 Prozentwert berechnen SB 10 Grundwert berechnen... 1 SB 11 Prozentsatz berechnen SB 1 Übungsaufgaben zur Prozentrechnung lösen SB 13 Grundbegriffe der Zinsrechnung kennen SB 14 Jahreszinsen berechnen SB 1 Kapital berechnen... 1 SB 16 Zinssatz berechnen... 3 SB 17 Grundaufgaben zu Jahreszinsen lösen... SB 18 Zinseszinsen berechnen... 7 SB 19 Monatszinsen berechnen... 9 SB 0 Tageszinsen berechnen SB 1 Zinsen und Zinssätze vergleichen SB 3 Zinsen mit dem Computer berechnen... 3 SB 4 Schaubilder auswerten SB 6 7 Übungsaufgaben zur Prozent- und Zinsrechnung lösen SB 8 9 Zwischenrunde SB Üben und vertiefen SB 3 Abschlussrunde SB 33 Kreuz und quer Potenzen SB 34 Aufwärmrunde... 0 SB 3 Einstieg... 1 SB 36 Große Zahlen in Zehnerpotenzen darstellen... SB 37 Kleine Zahlen in Zehnerpotenzen darstellen... 4 SB 38 Zahlen mit Zehnerpotenzen vergleichen und ordnen... 6 SB 39 Große und kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen schreiben... 7 SB 40 Größen mit Vorsilben darstellen... 8 SB 41 Thema: Größen von klein bis groß... 9 SB 4 Sachsituationen mit Zehnerpotenzen lösen SB 43 Zwischenrunde... 6 SB 44 4 Üben und vertiefen SB 46 Abschlussrunde... 6 SB 47 Kreuz und quer Geometrie 1 SB 48 Aufwärmrunde SB 49 Einstieg SB 0 Rechtwinklige Dreiecke erkennen und beschreiben SB 1 Rechtwinklige Dreiecke zeichnen SB Den Satz des Pythagoras verstehen... 7 SB 3 Mit dem Satz des Pythagoras rechnen SB 4 Thema: Den Satz des Pythagoras beweisen SB Den Satz des Pythagoras anwenden... 7 SB 6 7 Den Satz des Pythagoras anwenden SB 8 9 Regelmäßige Vielecke beschreiben und zeichnen SB Regelmäßige Vielecke berechnen SB 6 63 Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren berechnen SB 64 6 Zwischenrunde... 87

3 SB Üben und vertiefen SB 68 Abschlussrunde... 9 SB 69 Kreuz und quer Gleichungen SB 70 Aufwärmrunde SB 71 Einstieg SB 7 73 Terme umformen SB 74 7 Gleichungen wertgleich umformen SB Gleichungen aufstellen und lösen SB Gleichungen mit Brüchen lösen SB Mit Formeln aus der Geometrie rechnen SB 8 Mit Formeln aus Natur und Technik rechnen SB 83 Thema: Anhalteweg eines KFZ... 1 SB 84 8 Zwischenrunde SB Üben und vertiefen SB 88 Abschlussrunde SB 89 Kreuz und quer Geometrie SB 90 Aufwärmrunde SB 91 Einstieg SB 9 93 Pyramiden und Kegel untersuchen und beschreiben SB 94 9 Schrägbildskizzen von Pyramide und Kegel zeichnen SB Volumen von Prismen berechnen SB Volumen von Pyramiden berechnen SB Thema: Die Pyramiden von Gizeh SB Volumen von Kegeln berechnen SB 104 Volumen zusammengesetzter Körper berechnen... 1 SB 10 Körper mit Tabellenkalkulation berechnen SB Zwischenrunde SB Üben und vertiefen SB 110 Abschlussrunde SB 111 Kreuz und quer Funktionale Zusammenhänge SB 11 Aufwärmrunde SB 113 Einstieg SB 114 Proportionale Zuordnungen darstellen und berechnen SB 11 Thema: Rund ums Campen SB ineare Zuordnungen darstellen und berechnen SB Umgekehrt proportionale Zuordnungen erkennen SB 10 Umgekehrt proportionale Zuordnungen darstellen SB 11 Umgekehrt proportionale Zuordnungen berechnen SB 13 Zuordnungen mit dem Computer bearbeiten SB 14 1 Thema: Abschlussfahrt nach Wien SB Zwischenrunde SB Üben und vertiefen SB 130 Abschlussrunde SB 131 Kreuz und quer Wahrscheinlichkeiten SB 13 Aufwärmrunde SB 133 Einstieg... 0 SB 134 Wahrscheinlichkeiten schätzen

4 SB 13 Absolute und relative Häufigkeiten bestimmen SB 136 Ergebnismengen und Ereignisse bestimmen SB 137 Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten ermitteln SB 138 Gegenereignisse bei Zufallsexperimenten bestimmen SB 139 Übungsaufgaben zu Zufallsexperimenten lösen... 1 SB 140 Thema: Mit Baumdiagrammen arbeiten SB 141 Thema: Mensch ärgere dich nicht SB Zwischenrunde... 1 SB Üben und vertiefen SB 146 Abschussrunde SB 147 Kreuz und quer Quali-Training SB 148 Einstieg... SB 149 A Mit Prozenten rechnen... 3 SB 10 A Gleichungen aufstellen und lösen... 4 SB 11 A Aufgaben aus der Geometrie lösen... SB 1 A Schätzen... 6 SB 13 A Schaubilder lesen... 7 SB 14 1 B Mit Prozenten rechnen... 8 SB 16 B Mit Zinsen rechnen SB 17 B Mit Zehnerpotenzen rechnen... 3 SB B Flächen berechnen SB B Gleichungen aufstellen und lösen... 3 SB B Körper berechnen SB B Zuordnungen berechnen SB 166 B Wahrscheinlichkeiten berechnen... 4 SB 167 B Im Koordinatensystem zeichnen SB 168 B Statistiken auswerten und erstellen... 4 SB Zur eistungsorientierung Kopiervorlagen K 1 Auswertungsbogen zur Aufwärmrunde Prozent- und Zinsrechnung... K Kopfrechenblatt... 3 K 3 Auswertungsbogen zur Aufwärmrunde Potenzen... 4 K 4 Zahlen lesen und ordnen... K Rationale Zahlen addieren und subtrahieren... 6 K 6 Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren... 7 K 7 Auswertungsbogen zur Aufwärmrunde Geometrie K 8 Quadratseiten bestimmen... 9 K 9 Den Satz des Pythagoras verstehen K 10 Auswertungsbogen zur Aufwärmrunde Gleichungen K 11 Gleichungen bilden Zahlenjongleur... 6 K 1 Warming-up für Topleistungen K 13 Kreuzzahlrätsel Wiegerätsel K 14 Auswertungsbogen zur Aufwärmrunde Geometrie... 6 K 1 Das Skizzieren schulen (1) K 16 Das Skizzieren schulen () K 17 Auswertungsbogen zur Aufwärmrunde Funktionale Zusammenhänge K 18 Koordinatensystem K 19 Koordinatensystem K 0 Funktionen auf der Spur K 1 Auswertungsbogen zur Aufwärmrunde Wahrscheinlichkeiten

5 Hinweise zum ösungsband Didaktischer Kommentar Z Kopfrechnen Kopfgeometrie K Stoffverteilungsplan Auswertungsbogen Der didaktische Kommentar in der Randspalte verdeutlicht fachliche Intentionen der Seite, gibt Anregungen zur Umsetzung und weist gegebenenfalls auf Besonderheiten hin. Hier finden sich die ösungen zu den Seiten im Schulbuch. Weißer bzw. hellgrauer Hintergrund in Tabellen, Grafiken und Rechenschemata kennzeichnen die Vorgaben aus dem Schulbuch, dunkler Hintergrund hebt die ösungen hervor. Soweit hilfreich, werden ösungsvollzüge ausführlich dargestellt. Hier findet sich ein Zusatzangebot. Es bietet der ehrkraft vielfältige Möglichkeiten, die behandelten Inhalte zu vertiefen und anzuwenden. Besonders bedeutsam für den Unterrichtsalltag sind die Angebote zum Kopfrechnen und zur Kopfgeometrie. Sie sollen auch als Anregung dienen, um selbst entsprechende Aufgaben in den Unterricht einzubauen. Ergänzend zu den Übungen im ösungsband findet sich in click & teach ein weiteres Angebot an Aufgaben zum Kopfrechnen und zur Kopfgeometrie. Zu der jeweiligen Seite findet sich im Anhang des ösungsbandes eine Kopiervorlage. Einsatzmöglichkeiten sind jeweils im Zusatzangebot kurz erläutert. Die Kopiervorlagen dürfen für den Einsatz im Unterricht bis zur Klassenstärke vervielfältigt werden. Die Kopiervorlagen finden sich in digitaler Form auch in click & teach. Für jede Aufwärmrunde liegt ein Auswertungsbogen in Papierform als Kopiervorlage und in digitaler Form in click & teach vor. Wird die Bearbeitung aller Aufgaben für jeden Schüler darin entsprechend erfasst (siehe vorgeschlagene Möglichkeiten unten), werden sowohl lerngruppenspezifische als auch individuelle Defizite auf einen Blick deutlich und können als Basis für die Planung des weiteren Unterrichts sowie als Grundlage für Maßnahmen zur Differenzierung bzw. individuellen Förderung dienen. Erfassung mit... Farben farbigen Zeichen vollständig oder größtenteils richtig Grünhinterlegung des Aufgabenfeldes Art der Bearbeitung teils richtig; teils falsch Gelbhinterlegung des Aufgabenfeldes grünes + gelbes +/ rotes überwiegend falsch oder gar nicht Rothinterlegung des Aufgabenfeldes AH Damit ist ein Hinweis auf zugeordnete Angebote im Arbeitsheft FORME PUS R9 gegeben. Sie sind auf die Inhalte im Schulbuch abgestimmt. Für jede Jahrgangsstufe liegt ein Stoffverteilungsplan vor. Durch die Vorgabe als WORD-Datei können Ziele und Inhalte problemlos verschoben, abgeändert, gekürzt oder ausgeweitet werden. Die Stoffverteilungspläne stehen unter bzw. kostenlos zur Verfügung.

6 SB 6 Aufwärmrunde Mit Hilfe der Aufwärmrunde soll möglichst präzise ermittelt werden, welche Inhalte bei den ernenden noch verfügbar sind, wo auf fundiertes Wissen aufgebaut werden kann und was evtl. einer nochmaligen Grundlegung bedarf. Um eine gewisse Trennschärfe in dieser ernstandserhebung zu erreichen, sind die Aufgaben differenziert gehalten: linke Spalte eher leichte Aufgaben, rechte Spalte dann schwierigere. Zudem wird für jede Aufgabennummer die angestrebte Kompetenz benannt. So kann diese Seite ein wichtiger Anhaltspunkt sein, um ernende möglichst angemessen zu fördern. Smileys sollen dazu anregen, eigene Fähigkeiten und Fertigkeiten allmählich selbst einzuschätzen. Eine aussagekräftige Analyse der ernvoraussetzungen erhält die ehrkraft, wenn sie die Ergebnisse mit dem Auswertungsbogen erfasst. Diese Auswertung kann handschriftlich (K 1) bzw. bei click & teach auch in digitaler Form erfolgen Anteile unterschiedlich angeben a) b) A _ 44 0 = 88_ = 0,88 = 88 % A B C D 100 B 7_ 0 = _ 3 = 0,3 = 3 % Bruch 4_ 1_ Dezimalbruch 0,4 0, 0,01 0,98 Prozentsatz 40 % 0 % 1 % 98 % Prozentwert berechnen Krawatte: Sakko: Schuhe: 100 % ÿ % ÿ % ÿ 11,0 1 % ÿ 0,39 1 % ÿ,70 1 % ÿ 1, 30 % ÿ 11,70 30 % ÿ % ÿ 33,7 zu zahlen: 78,7 Grundwert berechnen a) A % ÿ 1 B, % ÿ 90 g 1 % ÿ 3 1 % ÿ 4 g 100 % ÿ % ÿ 400 g C 63 % ÿ 346, cm 1 % ÿ, cm 100 % ÿ 0 cm Prozentsatz berechnen a) A p = _ 4, m 60 m = 7,08 % B p = 11,11 =, % 0 Prozentangaben Schaubildern darstellen a) Mediennutzung von 1-Jährigen b) 0% 40% 30% 0% 10% b) 30 % ÿ 16 Kinder 1 % ÿ 7, Kinder 100 % ÿ 70 Kinder b) Schüler in der Schule: = 6 p = 6_ 104 = % Mediennutzung von 1-Jährigen 44% 7% 6% Kommunikation Schulische Zwecke Spiele/Unterhaltung Sonstige 0% Kommunikation Schulische Zwecke Spiele/Unterhaltung Sonstiges Z K 1 Auswertungsbogen zur Aufwärmrunde Prozentrechnung Einsatzhinweis: Siehe Erläuterung ösungsband Seite 6

7 1 Prozent- und Zinsrechnung SB 7 Kompetenzerwartungen und Inhalte M9 ernbereich 1: Prozent- und Zinsrechnug Die Schülerinnen und Schüler ordnen die Begriffe der Zinsrechnung (Kapital, Zinsen, Zinssatz und Zeit) in Kontexten sachgemäß zu. Sie übertragen die Grundaufgaben der Prozentrechnung auf die Zinsrechnung und nutzen so die Verfahren der Prozentrechnung für Berechnungen bei Jahreszinsen. Durch schrittweises Vorgehen ermitteln sie auch Zinseszinsen bei mehrjährigen Geldanlagen. nutzen den linearen Zusammenhang von Zeit und Zinsen, um Zinsen für Zeiträume innerhalb eines Jahres (Monats- und Tageszinsen) zu berechnen. In der Umkehrung schließen sie von Monats- und Tageszinsen auf Jahreszinsen (effektiver Jahreszins) und machen so Zinszahlungen und -sätze vergleichbar. stellen unter Verwendung von Grundgrößen der Prozent- und Zinsrechnung (Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz bzw. Kapital, Zinsen, Zinssatz, Zeit) deren funktionalen Zusammenhang sprachlich dar (z. B. wie ändert sich, wenn, wenn, dann oder je, desto ). stellen zu Schaubildern selbst Fragen mit mathematischem Gehalt, um deren Aussagekraft zu erhöhen. Das zur Berechnung notwendige Zahlenmaterial entnehmen sie den Darstellungen. wenden die Verfahren sowie Fachbegriffe der Prozent- und Zinsrechnung sachgemäß und automatisiert an. Jedes neue Kapitel beginnt mit einer Bildaufgabe. Bildliche Darstellungen sind eher offen und engen weniger als textliche Vor gaben ein. So bieten sie die Möglichkeit, verschiedene Aspekte zu sehen, herauszugreifen und zu durchdenken. Vorgegebene Fragen bzw. Au f gaben zeigen dazu einen Weg auf. Mög liche eigene Fragestellungen der ernenden können Inhalte weiter durchdringen und lassen zudem erkennen, inwieweit ernende mit solch offenen Situationen umzugehen vermögen. Einstieg Was wird im Schaubild dargestellt? Erkläre. Neben einer Bankkarte und Bargeld sind verschiedene Prozentsätze zum Wort Zinsen und ein Balkendiagramm über die Ersparnisse der Deutschen zu sehen. Würde sich für den Sachverhalt auch ein Kreisdiagramm eignen? Erläutere. Beim Kreisdiagramm könnte man gerade den größten sowie den kleinsten Wert ebenso gut herauslesen. Bei Werten, die prozentual nur knapp auseinander liegen, ist im Kreisdiagramm der Unterschied kaum oder nur sehr schwer ablesbar. Recherchiere im Internet die Einwohnerzahl Bayerns und berechne dann für jeden Ersparnisbereich die Personenzahl, wenn die entsprechende prozentuale Verteilung gleich bleibt. Stand : Einwohner Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, seine Ersparnisse anzulegen. Recherchiere Es sind individuelle ösungen möglich. Was bedeutet der Begriff Zinsen? Erkläre. Es sind individuelle Definitionen möglich. Ausblick Ersparnisse der Deutschen Prozent Anzahl keine Ersparnisse 9, % bis % bis 000 1,1 % bis ,8 % bis ,1 % über , % Hier werden kurz und kompetenzorientiert die Inhalte des nachfolgenden Kapitels aufgezeigt. Die ernenden erhalten so bereits einen ersten Überblick über das, was sie auf den nächsten Seiten lernen. 7

8 SB 8 Brüche in Prozent umwandeln Auf dieser Seite werden Grundlagen zum Bruchrech nen (Erweitern, Kürzen und Gleichnamigmachen) und der Wechsel in den Darstellungs arten Bruch-Dezimalbruch wiederholt. Grundlegende Begriffe wie Hauptnenner, abbrechende Dezimalbrüche etc. werden gefestigt. Die Aufga ben dienen der Wiederholung der Grundrechenarten im Bereich des Bruch rechnens. Das Rechnen mit den Dezi mal brüchen wird in Grund zügen wiederholt. Auf überschlägiges und vorteilhaftes Rechnen wird Wert gelegt. 1 Erklärung: Auf dem Schaubild ist zu sehen, welche änder in Europa zu den ieblingsreisezielen der Deutschen gehören. Es handelt sich um ein Balkendiagramm, das den Prozentsatz der Befragten angibt. Spanien: 31 von 100 = 31_ 100 = 31 % Deutschland: 1 von 100 = 1 _ 100 = 1 % Kroatien: 19 von 100 = 19_ 100 = 19 % Italien: 8 von 100 = 8 _ 100 = 8 % Sonstige: 10 von 100 = 10 _ 100 = 10 % Erklärung: Das Beispiel zeigt verschiedene Schreib- und Rechenformen für den Prozentsatz. a) 0 km von 80 km b) 0 kg von 100 kg _ 0 80 = 1_ 4 = 100 = % _ = 1_ = = 0 % 0 km von 80 km sind %. 0 kg von 100 kg sind 0 %. % von 80 km sind 0 km. 0 % von 100 kg sind 0 kg. c) 8 von 80 d) 30 kg von 10 kg 8_ 80 = 1_ 10 = = 10 % _ = 1_ = = 0 % 8 von 80 sind 10 %. 30 kg von 10 kg sind 0 %. 10 % von 80 sind 8. 0 % von 10 kg sind 30 kg. e) 30 t von 00 t f) l von 100 l _ = 3_ 0 = 1_ 100 = 1 % _ 100 = 1_ 4 = 100 = % 30 t von 00 t sind 1 %. l von 100 l sind %. 1 % von 00 t sind 30 t. % von 100 l sind l. g) 17 mm von 68 mm h) 3 00 dm von dm _ = 1_ 4 = 100 = % 3 _ = 1_ = 0_ 100 = 0 % 17 mm von 68 mm sind % dm von dm sind 0 %. % von 68 mm sind 17 mm. 0 % von dm sind 3 00 dm. i) 3 m von 00 m j) 1 km von 40 km 3_ 00 = 7_ 100 = 7 % 1_ 40 = 1_ 0 = _ 100 = % 3 m von 00 m sind 7 %. 1 km von 40 km sind %. 7 % von 00 m sind 3 m. % von 40 km sind 1 km. 3 gekürzter Bruch 1_ 4 Hunderstelbruch _ 100 a) b) c) d) e) f) g) h) i) 3_ 60 _ 100 1_ 0 _ 100 1_ 0_ 100 Dezimalbruch 0, 0,6 0,0 0, 0,8 0,1 0,7 0,4 0,9 Prozentsatz % 60 % 0 % 0 % 8 % 1 % 7 % 40 % 9 % 17 _ 0 8_ 100 3_ 1 _ 100 3_ 4 7 _ 100 _ 40_ _ 0 9_ a) 4_ 10 = 40_ = 0,4 = 40 % b) 4_ 100 = 80_ = 0,8 = 80 % c) 100 6_ 10 = _ = 0,6 = 60 % 1_ = _ = 0, = 0 % 9_ 0 = _ 4 = 0,4 = 4 % 100 _ 11 0 = _ = 0, = % 100 8

9 a) 3, % = 0,03 b),1 % = 0,1 c) 10, % = 1,0 d) 4,08 % = 0,0408 e) 0, % =,0 f) 0,11 = 11, % g) 1,1 = 11 % h) 0,1 = 10 % i) 0,001 = 0,1 % j) 0,00 = 0, % 6 a) von 130 = _ 0,038 = 3,8 % 130 4_ b) 4 von 103 = 0,33 = 3,3 % 103 c) 3, von 4, = 7_ 0,08 = 8, % d) 1,4 von 17, = _ 1,4 0,098 = 9,8 % 8 17, e) 17 von 7 = 17 0,06 = 6, % 7 96 f) 96 von 16 = 0,61 = 61, % 16 g) 39, von 1, = _ 39, 0,186 = 18,6 % 1, 191,8 h) 191,8 von 97, = _ 0,64 = 64, % 97, i) 18 von = 18 0,346 = 34,6 % j) 3, von 17,7 = _ 3, 0,198 = 19,8 % 17,7 k) 14,1 von 31, = _ 14,1 0,4 = 4, % 31, 16,6 l) 16,6 von 33 = _ 0,071 = 7,1 % 33 Z Kopfrechenübungen Kettenrechnungen Aufgabe 0,3 + 1,6 + 6_ 10 Ergebnis 4 1 _ 6 : + _ K Aufgabe + _ 4 Ergebnis : 0, 1_ 4-4, + 7, ösungen: Aufgabe 0,3 + 1,6 + 6_ _ 6 : + 7 _ 100 Ergebnis 1,9, ,7 Aufgabe + _ 4 : 0, 1_ 4-4, + 7, Ergebnis ,, 9

10 SB 9 Prozentwert berechnen Auf den Seiten 9, 10 und 11 werden die Grundaufgaben der Prozentrechnung wiederholt. Dabei stehen jeweils mehrere Rechenverfahren (Dreisatz, Operatormodell und Formel) zur Verfügung. 1 a) Beschreibung Sachverhalt (Beispiel): Bei einer Sonderangebotsaktion gibt es auf Computerzubehör jeweils einen Preisnachlass von %. Grundwert G: ursprünglicher Preis Prozentsatz p: % (Preisnachlass in Prozent) Prozentwert P: Preisnachlass in Euro b) Erklärung Rechenwege: Morsal: Sie rechnet mit dem Dreisatz. Sie setzt das Ganze (100 %) mit dem ursprünglichen Preis (19 ) gleich. Dann rechnet sie aus, welcher Betrag folglich 1 % entspricht (: 100) und schließt damit auf den Betrag, der % entspricht ( ). Khan: Er löst die Aufgabe mit der Formel. Hierbei multipliziert er den Grundwert (19 ) mit dem Prozentsatz in Dezimalbruchschreibweise ( % = 0,) und erhält so unmittelbar das Ergebnis. illy: Sie rechnet mit dem Operatormodell. Dabei multipliziert sie den Grundwert (19 ) direkt mit dem Prozentsatz in Dezimalbruchschreibweise ( % = 0,). c) Gaming-Tastatur: Morsal: 100 % ÿ 89 1 % ÿ 0,89 % ÿ, Gaming-Maus: Morsal: 100 % ÿ 79 1 % ÿ 0,79 % ÿ 19,7 Khan: Geg.: G = 89 p = % = _ 100 = 0, Ges.: P Re.: P = G p P = 89 0, =, illy: 89 0, =, Khan: Geg.: G = 79 illy: 79 0, = 19,7 p = % = 100 = 0, Ges.: P Re.: P = G p P = 79 0, = 19,7 a) G b) p 10 % 0 % 0 % P c) G d) p 1 % % % 10 % P G p % 0 % 7 % P G p 10 % 0 % 30 % P Grundwert m 3 3 dm 68 m 300 kg 180 cm Prozentsatz 18 % % 78 % 4, % 11,1 % 4, % Prozentwert 113,40 64 m 3,34 dm 41,4 m,3 kg 8,1 cm 4 Individuelle Antwortmöglichkeiten. Beispiel: Wie viel km Waldfläche gibt es in Bayern? km 0,36 = 380 km 10

11 a) Der Prozentwert liegt bei dieser Aufgabe über dem Grundwert. Zur Veranschaulichung bietet sich die Rechnung mit dem Dreisatz an. 100 % ÿ 8 1 % ÿ 8 : 100 =,8 30 % ÿ,8 30 = 1 338,60 b) Jahresbeitrag: 91 = 8 Neuer Beitrag: 8 0,70 = 407,40 c) Jahresbeitrag: 14,0 4 = 8 Als Grundwert sind hier die 10 % gemeint. Der Prozentwert liegt erneut über dem Grundwert. 10 % ÿ 8 1 % ÿ 8 : 10 = 4,8 1 % ÿ 4,8 1 = 71,7 6 a) Wenn der Prozentsatz gleichbleibt, ändert sich der Prozentwert in gleichem Maße wie der Grundwert. Beispiel: G verdoppelt G verdreifacht G halbiert Grundwert Prozentsatz 10 % 10 % 10 % 10 % Prozentwert b) Wenn der Grundwert gleich bleibt, ändert sich der Prozentwert in gleichem Maße wie der Prozentsatz. Beispiel: p verdoppelt p verdreifacht p halbiert Prozentsatz 10 % 0 % 30 % % Grundwert Prozentwert c) Wenn der Grundwert sich um den gleichen Faktor vergrößert, wie der Prozentsatz verkleinert wird, bleibt der Prozentwert unverändert. Beispiel: G verdoppelt p halbiert G halbiert p verdoppelt Grundwert Prozentsatz 10 % % 0 % Prozentwert Z Kopfrechenübungen Einsatzhinweise: Arbeitsauftrag und Tabelle mit abgedeckten ösungen präsentieren und Ergebnisse notieren lassen; die Kontrolle kann über das Aufdecken der ösungen erfolgen. AH K Berechne den Prozentwert im Kopf. Grundwert Prozentsatz 1 % 0 % 0 % 80 % 10 % 7 % Prozentwert ösung: Grundwert Prozentsatz 1 % 0 % 0 % 80 % 10 % 7 % Prozentwert ,

12 SB 10 Grundwert berechnen Diese Seite hat die Grundaufgabe Grundwert berechnen zum Inhalt. 1 a) Beschreibung Sachverhalt (Beispiel): Bei einer Sonderangebotsaktion gibt es auf einen Roller und einen Helm einen Preisnachlass, der in Prozent und Euro angegeben ist. Grundwert G: zu berechnender ursprünglicher Preis Prozentsatz p: 9 % bzw. 3 % (Preisnachlass in Prozent) Prozentwert P: 99 bzw. 1 (jeweiliger Preisnachlass in Euro) b) Georg: Er rechnet mit dem Dreisatz. Er setzt den Rabatt mit 9 % gleich. Dann rechnet er aus, welcher Betrag 1 % entspricht (: 9) und schließt damit auf das Ganze ( 100). Maja: Sie rechnet mit dem Operatormodell. Dabei dividiert sie den Prozentwert durch den Prozentsatz in Dezimalschreibweise (9 % = 0,09) und erhält so unmittelbar das Ergebnis. Moritz: Er löst die Aufgabe mit der Formel. Dabei dividiert er den Prozentwert direkt durch den Prozentsatz in Dezimalschreibweise (9 % = 0,09). c) Georg: Moritz: Maja: 3 % ÿ 1 Geg.: P = 1 1 : 0,3 = 60 1 % ÿ 0,60 p = 3 % = _ = 0,3 100 % ÿ 60 Ges.: P Re.: G = P : p G = 1 : 0,3 = 60 a) 13 sind 0 % von 6. b) 13, sind 1 % von 1 3. c) 30 sind % von 10. d) 3 sind % von 10. e) 60 sind % von f) 40 sind 4 % von a) b) c) d) e) f) Prozentsatz 17, % % 88 % 1, % 40,1 % 0, % Prozentwert m 3 6 dm 3 m kg 880 cm Grundwert ,64 m 3 6,8 dm m 8 9,43 kg 1 74,7 cm 4 Individuelle Antwortmöglichkeiten. Beispiel: Wie viel kostet die Reise insgesamt? 660 : 0,60 = a) Kontrollierte Fahrzeuge insgesamt: 1 % ÿ 36 Fahrzeuge 0, % ÿ 41 Fahrzeuge 1 % ÿ 36 : 1 =,4 Fahrzeuge 1 % ÿ 41 : 0, = Fahrzeuge 100 % ÿ,4 100 = 40 Fahrzeuge 100 % ÿ 100 = 00 Fahrzeuge b) 8 00 : 0,9 = : 0,7 = c) Die neue Grundwerte entsprechen 11 %. Ursprüngliche Grundwerte: 1,69 : 1,1 = 1,1 und,36 : 1,1 =,11 1

13 6 a) Wenn der Prozentsatz gleich bleibt, ändert sich der Grundwert in gleichem Maße wie der Prozentwert. Beispiel: P verdoppelt P verdreifacht P halbiert Prozentwert Prozentsatz 10 % 10 % 10 % 10 % Grundwert b) Wenn der Prozentwert gleich bleibt, ändert sich der Grundwert in genau entgegengesetztem Maße wie der Prozentsatz. Verdoppelt sich der Prozentsatz, so halbiert sich der Grundwert und umgekehrt. Beispiel: p verdoppelt p verdreifacht p halbiert Prozentsatz 10 % 0 % 30 % % Prozentwert Grundwert c) Wenn der Prozentwert verdoppelt und der Prozentsatz halbiert wird, so vervierfacht sich der Grundwert. Halbiert sich hingegen der Prozentwert und der Prozentsatz wird verdoppelt, so erhält man ein Viertel des Grundwertes. P verdoppelt p halbiert P halbiert p verdoppelt Prozentwert Prozentsatz 10 % % 0 % Grundwert Z Kopfrechenübungen Einsatzhinweise: Analog Übungen zu SB 9 AH AH 3 K Berechne den Grundwert im Kopf. Prozentwert Prozentsatz 1 % 0 % 0 % 80 % 10 % 7 % Grundwert ösung: Prozentwert Prozentsatz 1 % 0 % 0 % 80 % 10 % 7 % Grundwert

14 SB 11 Prozentsatz berechnen Diese Seite hat die Grundaufgabe Prozentsatz berechnen zum Inhalt. 1 a) Beschreibung Sachverhalt (Beispiel): Bei einer Sonderangebotsaktion gibt es auf Computerspiele einen Rabatt von bis zu 7 %. Grundwert G: ursprünglicher Preis Prozentsatz p: Ermäßigung in Prozent Prozentwert P: neuer Preis b) Jonathan: Er rechnet mit dem Dreisatz. Der ursprüngliche Preis entspricht 100%. Dann rechnet er aus, welcher Betrag 1 entspricht (: 80) und schließt damit auf 0 ( 0). Irene: Sie rechnet mit dem Operatormodell. Dabei dividiert sie den Prozentwert durch den Grundwert und erhält so unmittelbar das Ergebnis. Justus: Er löst die Aufgabe mit der Formel. Dabei dividiert er den Prozentwert direkt durch den Grundwert. c) Denkmaster: Jonathan: Justus: Irene: = 4 Geg.: G = 60 4 : 60 = 0,4 = 40 % 60 ÿ 100 % P = = 4 1 ÿ 1,67 % Ges.: p 4 ÿ 40 % Re.: p = P : G p = 4 : 60 = 40 % Motorrad-Racer: Jonathan: Justus: Irene: 7 18 = 4 Geg.: G = 7 4 : 7 = 7 % 7 ÿ 100 % P = 7-18 = 4 1 ÿ 1,39 % Ges.: p 4 ÿ 7 % Re.: p = P : G p = 4 : 7 = 7 % a) 0 von 00 sind 0 % b) dm von 8 dm sind % c) 1 mm von 0 mm sind 7 % d) 1, von 1 sind 1 % e) kg von 1 kg sind 0 % f) 0 ml von 1 l sind % 3 a) b) c) d) e) f) Grundwert m 3 3 dm 43 m kg 0 cm Prozentwert 10 4 m 3 7, dm 141 m 1 111,1 kg 0,4 cm Prozentsatz 48,39 % 1,33 %, % 8,0 % 13,39 %, % 4 Mögliche Rechenfragen: Wer hat die meisten Stimmen bekommen? Wie viele Schüler sind in der Klasse? Wie viel Prozent der Stimmen hat Mike bekommen? Mike: 11 Stimmen = Schüler _ 11 = 44 % a) Mofafahrer insgesamt: 180 Mofafahrer insgesamt: 0 Anteile: Anteile: 13 Sturzhelm: _ 180 = 0,8 = 8 % Sturzhelm: _ 19 = 0,768 = 76,8 % 0 13 Versicherung: _ = 0,7 = 7 % Versicherung: = 0,74 = 7,4 % 0 Fahrerlaubnis: 144 = 0,8 = 80 % Fahrerlaubnis: = 0,79 = 79, % 0 14

15 b) Mofas gesamt: 40 Mofas gesamt: 30 Anteile: Anteile: 73 keine Mängel: _ 40 = 0,6 = 6 % keine Mängel: _ 18 = 0, = % 30 leichte Mängel: 16 = 0,3 = 30 % leichte Mängel: = 0,44 = 44 % 30 aus Verkehr gezogen: aus Verkehr gezogen: = = 14 _ 1 40 = 0,0 = % 14_ 30 = 0,04 = 4 % 6 a) Wenn der Prozentwert gleich bleibt, ändert sich der Prozentsatz in genau entgegengesetztem Maße wie der Grundwert. Verdoppelt sich der Grundwert, so halbiert sich der Prozentsatz und umgekehrt. Beispiel: G verdoppelt G verdreifacht G halbiert Grundwert Prozentwert Prozentsatz 10 % % 3,33 % 0 % b) Wenn der Grundwert gleich bleibt, ändert sich der Prozentsatz in gleichem Maße wie der Prozentwert. Verdoppelt sich der Prozentwert, so verdoppelt sich auch der Prozentsatz. Beispiel: P verdoppelt P verdreifacht P halbiert Prozentwert Grundwert Prozentsatz 10 % 0 % 30 % % c) Wenn der Grundwert verdoppelt und der Prozentwert halbiert wird, erhält man ein Viertel des Prozentsatzes. Halbiert sich hingegen der Grundwert und der Prozentwert wird verdoppelt, so erhält man das Vierfache des Prozentsatzes. G verdoppelt P halbiert G halbiert P verdoppelt Prozentwert Grundwert Prozentsatz 0 % 1, % 00 % Z Kopfrechenübungen Einsatzhinweise: Analog Übungen zu SB 9 AH 3 K Berechne den Prozentsatz im Kopf. Grundwert Prozentwert Prozentsatz ösung: Grundwert Prozentwert Prozentsatz 0 % % 33,33 % % 7 % 0 % 1

16 SB 1 Übungsaufgaben zur Prozentrechnung lösen Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung werden formal und in Sachzusammenhängen wiederholend geübt. Eine offene Aufgabe rundet die Seite ab. 1 a) Zuordnung Begriffe Prozentrechnung: Mittelschule Neustadt: G = 3 S. P = 6 S. Gemüsehändler ell: P = 7 p = 30 % E-Bike: G = 1 0 p = 0 % Obst: G = 10 kg p = 1 % Fernseher: G = P = 76,93 b) Mögliche Rechenfragen: Mittelschule Neustadt: Wie viel Prozent der Schüler sind neu? p = 6_ 3 = 0,08 = 8 % Gemüsehändler ell: Wie viel nimmt er insgesamt ein? 30 % ÿ 7 1 % ÿ 7 : 30 =,0 100 % ÿ,0 100 = = 17 E-Bike: Wie hoch ist der neue Preis? 100 % ÿ % ÿ 1 0 : 100 = 1,0 0 % ÿ 1,0 0 = = Obst: Wie viel Obst ist verdorben? 100 % ÿ 10 kg 1 % ÿ 10 kg : 100 = 1,0 kg 1 % ÿ 1,0 kg 1 =,0 kg Fernseher: Wie viel Prozent Nachlass bekommt Herr Dörfler? p = _ 76, = 0,07 = 7 % a) b) c) d) e) f) Grundwert G dm cm 800 m 700 m 3 70 kg Prozentsatz p 10 % % 0 % % 0 % 33,33 % Prozentwert P 0 4 dm 880 cm 00 m² 140 m³ 0 kg 3 a) b) c) d) e) f) Grundwert 1 0 dm kg 8m 80 m cm Prozentwert 300 dm 07,0 333 kg, 8m 14,0 m 3 83,0 cm Prozentsatz 4 % % % 31, %, % 7 % 4 a) Gegeben: G = km P = km Gesucht: p p = = 0,684 = 68,4 % b) Gegeben: G = 18 p = 19 % Gesucht: P 100 % ÿ 18 1 % ÿ 18 : 100 = 1,8 19 % ÿ 1,8 19 = 4, ,3 = 1,3 16

17 c) Gegeben: G = 160 p = 70 % Gesucht: P 100 % ÿ % ÿ 160 : 100 = 1,60 70 % ÿ 1,60 70 = 11 a) 30 % ÿ 66 Gerichte 1 % ÿ 66 : 30 =,0 Gerichte 100 % ÿ,0 100 = 0 Gerichte b) Preis ohne Angebot:,10 + 1,0 + 1,80 =,40 p = _ 4,0 = 0,8333 = 83,33 %, % 83,33 % = 16,67 % Ali spart 16,67 %. c) Es sind individuelle Rechenfragen und ösungen möglich. AH 4 17

18 SB 13 Grundbegriffe der Zinsrechnung kennen Diese Seite hat die Grundbegriffe der Zinsrechnung zum Inhalt. 1 Erklärung Begriffe: Gläubiger legen ihr Kapital und ihre Spareinlagen bei der Bank an und erhalten dafür von der Bank Zinsen. Schuldner leihen sich von der Bank Geld in Form eines Darlehens oder Kredites und müssen dafür Zinsen an die Bank zahlen. a) : Kapital, Grundwert %: Zinssatz, Prozentsatz 00 : Zinsen, Prozentwert b) Gemeinsamkeiten und Unterschiede: (Beispiel) Aus Sicht der Prozentrechnung sind sowohl Grundwert als auch Prozentwert und Prozentsatz bei beiden Aufgaben gleich. Der Unterschied ist, dass Frau Birkner die ausgibt und hierbei 00 weniger zahlen muss, sie werden also abgezogen. Vera legt ihr Geld bei der Bank an und bekommt die 00 als Zinsen, so dass man bei ihr Grundwert und Prozentwert addieren muss. 3 a) b) c) d) e) Kapital Zinsen Zinssatz 0,9 % 0, % 1, % 1,8 % 0, % 4 Mögliche Sachverhalte: a) Peter hat auf seinem Sparbuch 00 und bekommt 1 % Zinsen. Das sind im Jahr. b) Frau Müller legt zu einem Zinssatz von 0, % an. Das sind 40 Zinsen. c) Für die neue Küche nimmt Familie Heimerl einen Kredit über auf. Bei einem Zinssatz von, % betragen die Zinsen 3. Individuelle ösungsmöglichkeiten 18

19 Jahreszinsen berechnen SB 14 1 a) Begriffszuordnung: Bausparvertrag: %: Zinssatz : Kapital Sparbuch: 0,8 %: Zinssatz 000 : Kapital Festgeld: 1, %: Zinssatz : Kapital b) Erklärung Rechenwege: Sebastian: Er rechnet mit dem Dreisatz. Er setzt das Ganze (100 %) mit dem Kapital (0 000 ) gleich. Dann rechnet er aus, welcher Betrag folglich 1 % entspricht (: 100) und schließt damit auf den Betrag, der % entspricht ( ). illy: Sie löst die Aufgabe mit der Formel. Hierbei multipliziert sie das Kapital/ den Grundwert (0 000 ) mit dem Zinssatz/ Prozentsatz in Dezimalbruchschreibweise (% = 0,0) und erhält so unmittelbar das Ergebnis. Kilian: Er rechnet mit dem Operatormodell. Dabei multipliziert er das Kapital/ den Grundwert (0 000 ) direkt mit dem Prozentsatz in Dezimalbruchschreibweise (% = 0,0). c) Sparbuch: Sebastian: illy: Kilian: 100 % ÿ 000 Geg.: K = ,008 = 00 1 % ÿ 0 p = 0,8 % = 0,008 0,8 % ÿ 00 Ges.: Z Re.: Z = K p Z = 000 0,008 = 00 Festgeld: Sebastian: illy: Kilian: 100 % ÿ Geg.: K = ,01 = % ÿ 400 p = 1, % = 0,01 1, % ÿ 480 Ges.: Z Re.: Z = K p Z = ,01 = 480 Auf den Seiten 14, 1, 16 und 17 werden die Grundaufgaben der Zinsrechnung berechnet. Dabei stehen jeweils mehrere Rechenverfahren (Dreisatz, Operatormodell und Formel) zur Verfügung. a) K b) p 1 % 1 % 1 % Z c) K d) p 0, % 0, % 0, % Z,0 10 K p 0, % 0, % 0, % Z K p 0,7 % 0,7 % 0,7 % Z ,0 3 Kapital Zinssatz 1,4 % 0, %, % 0,8 % 0,9 % 1,9 % Zinsen 8,40,3 340,0 9,80 0,34 11, 4 Mögliche Rechenfrage: Wie viel muss Frau Besold insgesamt zurückzahlen? ,08 = = Frau Besold muss insgesamt zurückzahlen. 19

20 a) b) c) d) e) f) Kapital ( ) Zinssatz (%) 1, 0, 0,7 0,9 1,7, aufzeit (Jahre) Zinsen insgesamt ( ) , Mögliche Rechenfrage: Wie viel Zinsen müsste Tim bei seiner Bank mehr zahlen? ,08 = 0, ,06 = 8 8 0,40 = 7,60 Tim müsste bei seiner Bank 7,60 mehr Zinsen zahlen. 7 a) Wenn der Zinssatz gleich bleibt, ändern sich die Zinsen in gleichem Maße wie das Kapital. Beispiel: K verdoppelt K verdreifacht K halbiert Kapital Prozentsatz 10 % 10 % 10 % 10 % Zinsen b) Wenn das Kapital gleich bleibt, ändern sich die Zinsen in gleichem Maße wie der Zinssatz. Beispiel: p verdoppelt p verdreifacht p halbiert Zinssatz 10 % 0 % 30 % % Kapital Zinsen c) Wenn das Kapital sich um den gleichen Faktor vergrößert, wie der Zinssatz verkleinert wird, bleiben die Zinsen unverändert. K verdoppelt p halbiert K halbiert p verdoppelt Kapital Zinssatz 10 % % 0 % Zinsen AH K Z Kopfrechenübungen Einsatzhinweise: Analog Übungen zu SB 9 Berechne die Zinsen im Kopf. Kapital Zinssatz 1 % 0 % 0 % 80 % 10 % 7 % Zinsen ösung: Kapital Zinssatz 1 % 0 % 0 % 80 % 10 % 7 % Zinsen ,60 4 0

21 Kapital berechnen SB 1 1 a) Möglicher Sachverhalt: Serkan, Matteo und Chantal vergleichen ihre Jahreszinsen und Zinssätze. Nun möchten sie wissen, wer das größte Kapital besitzt. Begriffszuordnung: A: %: Zinssatz 00 : Zinsen B: 0, %: Zinssatz 10 : Zinsen C: 0,6 %: Zinssatz 180 : Zinsen b) Erklärung Rechenwege: Serkan: Er rechnet mit dem Dreisatz. Er setzt den Anteil in Prozent ( %) mit den Zinsen (00 ) gleich. Dann rechnet er aus, welcher Betrag folglich 1 % entspricht (: ) und schließt damit auf den Betrag, der 100 % entspricht ( 100). Chantal: Sie löst die Aufgabe mit der Formel. Hierbei dividiert sie die Zinsen (00 ) durch den Zinssatz in Dezimalbruchschreibweise ( % = 0,0) und erhält so unmittelbar das Ergebnis. Matteo: Er rechnet mit dem Operatormodell. Dabei dividiert er die Zinsen (00 ) durch den Zinssatz in Dezimalbruchschreibweise ( % = 0,0). c) B Serkan: Chantal: Matteo: 0, % ÿ 10 Geg.: Z = : 0,00 = % ÿ 300 p = 0, % = 0, % ÿ Ges.: K Re.: K = Z : p K = 10 : 0,00 = C Serkan: Chantal: Matteo: 0,6 % ÿ 180 Geg.: Z = : 0,006 = % ÿ 300 p = 0,6 % = 0, % ÿ Ges.: K Re.: K = Z : p K = 180 : 0,006 = Diese Seite hat die Grundaufgabe Kapital berechnen zum Inhalt. a) 40 sind 1 % von b) 1 sind 1 % von 1 00 c) 300 sind % von d) 100 sind 0, % von e) 0 sind 0, % von f) 4,0 sind 1, % von a) b) c) d) e) f) Zinssatz % 0,7 % 0, %, % 1, %,8 % Zinsen Kapital Mögliche Rechenfrage: Wie viel Geld hat sich Familie Huber geliehen? : 0,03 = Mögliche Rechenfrage: Wie hoch ist der Kredit von Mustafa? 40 : 0,08 = Es sind individuelle ösungen möglich Mögliche Rechenfrage: Wie viel Geld haben die Großeltern angelegt? 10 : 0,01 =

22 7 a) Wenn der Zinssatz gleich bleibt, ändert sich das Kapital in gleichem Maße wie die Jahreszinsen. Beispiel: Z verdoppelt Z verdreifacht Z halbiert Zinsen Zinssatz 10 % 10 % 10 % 10 % Kapital b) Wenn die Zinsen gleich bleiben, ändert sich das Kapital in genau entgegengesetztem Maße wie der Zinssatz. Verdoppelt sich der Zinssatz, so halbiert sich das Kapital und umgekehrt. Beispiel: p verdoppelt p verdreifacht p halbiert Zinssatz 10 % 0 % 30 % % Zinsen Kapital c) Wenn die Jahreszinsen verdoppelt und der Zinssatz halbiert wird, so vervierfacht sich das Kapital. Viertelt man die Zinsen und vervierfacht den Zinssatz, so erhält man ein Sechzehntel des Kapitals. Z verdoppelt p halbiert Z geviertelt p vervierfacht Zinsen Zinssatz 10 % % 40 % Kapital ,0 AH 6 K Z Kopfrechenübungen Einsatzhinweise: Analog Übungen zu SB 9 Berechne das Kapital im Kopf. Zinsen Zinssatz 1 % 0 % 0 % 80 % 10 % 7 % Kapital ösung: Zinsen Zinssatz 1 % 0 % 0 % 80 % 10 % 7 % Kapital

23 Zinsatz berechnen SB 16 1 a) Begriffszuordnung: Oma Inge: : Kapital 6 : Zinsen Papa: : Kapital 980 : Zinsen Opa Michael: : Kapital 00 : Zinsen b) Erklärung Rechenwege: Matthias: Er rechnet mit dem Dreisatz. Er setzt das Kapital (8 000 ) mit dem Ganzen (100 %) gleich. Dann rechnet er aus, welchem Zinssatz folglich 1 entspricht (: 8 000) und schließt damit auf den Zinssatz, dem die gesamten Zinsen (6 ) entsprechen ( 6). ia: Sie löst die Aufgabe mit der Formel. Hierbei dividiert sie die Zinsen (6 ) durch das Kapital (8 000 ), erhält den Zinssatz in Dezimalbruchschreibweise (0,007 = 0,7 %) und erhält so unmittelbar das Ergebnis. Irina: Sie rechnet mit dem Operatormodell. Dabei dividiert sie die Zinsen (6 ) durch das Kapital und erhält den Zinssatz in Dezimalbruchschreibweise (0,007 = 0,7 %). c) Papa Matthias: ia: Irina: ÿ 100 % Geg.: K = : =,8 % 1 ÿ 0,003 % Z = ÿ,8 % Ges.: p Re.: p = Z : K p = 980 : = 0,08 =,8 % Opa Michael Matthias: ia: Irina: ÿ 100 % Geg.: K = : = 4,17 % 1 ÿ 0,008 % Z = ÿ 4,17 % Ges.: p Re.: p = Z : K p = 00 : = 0,0417 = 4,17 % Diese Seite hat die Grundaufgabe Zinssatz berechnen zum Inhalt. a) für 00 sind 1% b) 10 für 00 sind % c) 37 für sind 3,7 % d),0 für 00 sind 0, % e) 30 für 1 00 sind % f) 0 für sind 0, % 3 a) b) c) d) e) f) Kapital Zinsen , Zinssatz % 1, %, % 0,3 % 0, % 1,7 % 4 a) p = _ 10, = 0,003 = 0,3 % b) p = _ c) = 700 p = = 0,07 = 7 % = 0,00 = 0, % Maria 396 : 3 = 13 Maxim = 16 Mick 30 : = p = = 0,01 = 1, % p = 16 = 0,0 =, % p = 64 = 0,008 = 08 %

24 6 a) Wenn die Jahreszinsen gleich bleiben, ändert sich der Zinssatz in genau entgegengesetztem Maße wie das Kapital. Verdoppelt sich Kapital, so halbiert sich der Zinssatz und umgekehrt. Beispiel: K verdoppelt K verdreifacht K halbiert Kapital Zinsen Zinssatz 10 % % 3,33 % 0 % b) Wenn das Kapital gleich bleibt, ändert sich der Zinssatz in gleichem Maße wie die Jahreszinsen. Verdoppeln sich die Zinsen, so verdoppelt sich auch der Zinssatz. Beispiel: Z verdoppelt Z verdreifacht Z halbiert Zinsen Kapital Zinssatz 10 % 0 % 30 % % c) Wenn sich Kapital und Jahreszinsen jeweils gleichzeitig verdoppeln (verdreifachen, halbieren) bleibt der Zinssatz immer gleich. K verdoppelt Z verdoppelt K verdreifacht Z verdreifacht K halbiert Z halbiert Zinsen Kapital Zinssatz 0 % 0 % 0 % 0 % AH 6 K Z Kopfrechenübungen Einsatzhinweise: Analog Übungen zu SB 9 Berechne den Zinssatz im Kopf. Kapital Zinsen Zinssatz ösung: Kapital Zinsen Zinssatz 0 % % 33,33 % % 7 % 0 % 4

25 Grundaufgaben zu Jahreszinsen lösen SB 17 1 a) Begriffszuordnung: A : 300 : Zinsen B : 0, %: Zinssatz C : 0, %: Zinssatz 300 b) A : p = = 0,01 = 1, % B : 10 : 0,00 = C : 00 0,00 = : Kapital 10 : Zinsen 00 : Kapital Auf dieser Seite werden die Grundaufgaben der Zinsrechnung noch einmal vermischt berechnet und vertieft. a) b) c) d) e) f) Kapitel K Zinssatz p 0, % 0, % 1, % 0,8 % 0,6 % 0,4 % Zinsen Z 0,7 3,0 187,0 83,40 8,76 1,86 3 a) Zinsen: ,04 = 900 Gesamt: = b) Zinssatz: = 0,003 = 0,3 % c) Kapital: : 0,03 = a) Beschreibung: Die Bank bietet Frau Binner an, ihr Geld für drei Jahre anzulegen. Dabei steigt der Zinssatz jährlich, so dass Frau Binner immer mehr Zinsen bekommt. b) Jahr 1: 00 0,01 = Jahr : 00 0,01 = 37,0 Jahr 3: 00 0,017 = 43,7 Einnahmen Vergütung ,09 = = 4 60 Ausgaben 1. Rate 00 Zinsen 100 % ÿ % ÿ 0 1,1 % ÿ 60 GESAMT a) Kapital: 384 : 0,04 = b) 100 % ÿ % ÿ : 100 = 180 % ÿ 180 = 360 c) Gesamtbetrag: = d) Gesamter ottogewinn: = % ÿ % ÿ : 100 = 340,4 % ÿ 340,4 = =

26 Z K Kopfrechenübungen Einsatzhinweise: Analog Übungen zu SB 9 Berechne die gesuchte Größe im Kopf. Kapital Zinssatz 1 % 0 % 80 % 10 % Zinsen ösung: Kapital Zinssatz 1 % 0 % 0 % 80 % 10 % 7 % Zinsen ,

27 Zinseszinsen berechnen SB 18 1 a) Beschreibung: eon legt bei seiner Bank 000 zu einem Zinssatz von 1, % für vier Jahre an. Er rechnet mit 10 Zinsen für die vier Jahre. Da er aber die Zinsen nicht jedes Jahr abhebt, werden diese nach dem ersten Jahr mitverzinst, so dass er insgesamt 1,73 Zinsen erhält. Grundbegriffe: 000 : Kapital 1, %: Zinssatz 1,73 : Zinsen b) Die Bankberaterin berechnet mit der Formel die Zinsen für das 1. Jahr. Anschließend addiert sie das Kapital und die Zinsen für das 1. Jahr und erhält so das Kapital für das. Jahr. Für die restlichen Jahre geht sie genauso vor. Diese Seite hat die Grundaufgabe Zinseszinsen berechnen zum Inhalt. 1. Jahr. Jahr 3. Jahr 4. Jahr Z = K p Z = K p Z = K p Z = K p Z = 000 0,01 = = 030 Z = 030 0,01 = 30, ,4 = 060,4 Z = 060,4 0,01 = 30,91 060,4 + 30,91 = 091,36 Z = 091,36 0,01 = 31,37 091, ,37 = 1,73 c) eon geht jedes Jahr vom gleichen Kapital ( 000 ) aus. Da er aber bereits nach dem 1. Jahr die erhaltenen Zinsen zum Kapital addieren muss, würde seine Rechnung nur stimmen, wenn er die Zinsen jeweils am Jahresende abbuchen würde. d) Die Bankberaterin könnte ebenso mit dem Dreisatz oder dem Operator rechnen. a) b) c) d) e) f) Kapital Zinssatz 1 %, % 3, % 1, % 3 % % aufzeit Endkapital 1 01, ,13 1 9,3 781, ,48 836,64 3 a) b) 1. Jahr:. Jahr 3. Jahr 4. Jahr Z = K p Z = K p Z = K p Z = K p Z = 000 0,01 Z = 04 0,01 Z = 048,9 0,01 Z = 07,87 0,01 Z = 4 Z = 4,9 Z = 4,8 Z = 4, = ,9 = 04,9 048,9 + 4,8 = 07,87 07,87 + 4,87 = 097,74 1. Jahr:. Jahr 3. Jahr 4. Jahr. Jahr Z = K p Z = K p Z = K p Z = K p Z = K p Z = 000 0,019 Z = 09 0,019 Z = 191,81 0,019 Z = 90,4 0,019 Z = 390,97 0,019 Z = 4 Z = 96,81 Z = 98,64 Z = 100, Z = 10, = ,81 = 191,81 191, ,64 = 90,4 90, , = 390,97 390, ,43 = 493,40 7

28 4 a) b) Z = K p Z = K p Z = K p Z = K p Z = ,001 Z = ,003 Z = ,00 Z = 1 009,0 0,00 Z = 1 Z = 3 Z =,0 Z =, = = ,0 = 1 009, ,0 +,0 = 1 014, Z = K p Z = K p Z = K p Z = K p Z = ,003 Z = ,003 Z = 1 006,01 0,003 Z = 1 009,03 0,003 Z = 3 Z = 3,01 Z = 3,0 Z = 3, = ,01 = 1 006,01 + 3,0 = 1 009,03 + 3,03 = , , ,06 8

29 Monatszinsen berechnen SB 19 1 a) Beschreibung: Herr Meier braucht für die nächsten Monate von seiner Bank Der Bankkaufmann bietet ihm einen Kredit mit einem Zinssatz von 9,6 % an : Kapital 9,6 %: Zinssatz b) Erklärung Rechenwege: Herr Meier: Er rechnet mit dem Dreisatz. Er setzt das Ganze (100 %) mit dem Kapital (1 000 ) gleich. Dann rechnet er aus, welcher Betrag folglich 1 % entspricht (: 100) und schließt damit auf den Betrag, der 9,6 % entspricht ( 9,6). Das Ergebnis 1 1 sind die Jahreszinsen. Um die Dauer zu berechnen, verwendet Herr Meier ebenfalls den Dreisatz. Von den Jahreszinsen (1 Monate) kommt er über den Zwischenschritt von 1 Monat (96 ) so auf Monate (480 ). Bankkaufmann: Er löst die Aufgabe mit der Formel. Hierbei multipliziert er das Kapital/den Grundwert (1 000 ) mit dem Zinssatz/Prozentsatz in Dezimalbruchschreibweise (9,6 % = 0,096) und anschließend mit dem Zeitraum _ 1 und erhält so unmittelbar das Ergebnis von 480. Auf der Seite 19 wird die Grundaufgabe der Jahreszinsenberechnung um einen Zeitraum erweitert, so dass man die Zinsen für einzelne Monate berechnen kann. Dabei stehen mehrere Rechenverfahren (Dreisatz und Formel) zur Verfügung. Es sind individuelle ösungen möglich. Die Formel hat den Vorteil, dass sie zum einen schneller ist und zudem Rundungsabweichungen vermieden werden. a) b) c) d) e) f) g) h) Kapital ( ) Zinssatz (%) 8 0, , 3, 0,4 Zinsmonate Zinsen ( ) 7,9 4,33 13, ,67 7, 40 3 a) b) c) d) Kapital ( ) Zinssatz (%) Zinsmonate Zinsen ( ) 18 78,7 14,60 4 Z = K p t ,0 11 Z = 1 Z = 403,33 Artikel Barzahlung Zahlung nach 9 Monaten Zinssatz Zinsen Bluetooth- Kopfhörer 1,00 18,00 3, % 3,00 Smartwatch 99,00 306,18 3, % 7,18 Drohne 449,00 48,78 49,78 3, % 10,78 9

30 6 Z = K p t ,017 8 Z = 1 Z = 17, ,0 = 1 17,0 Z = K p t ,0 0,0 11 Z = 1 Z = 7,8 1 17,0 + 7,8 = 1 4,3 100 % ÿ % ÿ 17 3 % ÿ = Das Geld reicht nicht. Theo fehlen noch etwas über 100. AH 7 30

31 Tageszinsen berechnen SB 0 1 a) Beschreibung: Frau Ziegler braucht für die nächsten 100 Tage von ihrer Bank 000. Der Bankkaufmann bietet ihr einen Kredit mit einem Zinssatz von 9 % an : Kapital 9,0 %: Zinssatz b) Erklärung Rechenwege: Frau Ziegler: Sie rechnet mit dem Dreisatz. Sie setzt das Ganze (100 %) mit dem Kapital ( 000 ) gleich. Dann rechnet sie aus, welcher Betrag folglich 1 % entspricht (: 100) und schließt damit auf den Betrag, der 9 % entspricht ( 9). Das Ergebnis 40 sind die Jahreszinsen. Um die Dauer zu berechnen, verwendet Frau Ziegler ebenfalls den Dreisatz. Von den Jahreszinsen (360 Tage) kommt sie über den Zwischenschritt von 1 Tag (1, ) so auf 100 Tage (1 ). Bankkaufmann: Er löst die Aufgabe mit der Formel. Hierbei multipliziert er das Kapital/ den Grundwert ( 000 ) mit dem Zinssatz/ Prozentsatz in Dezimalbruchschreibweise (9 % = 0,09) und anschließend mit dem Zeitraum _ 100 und 360 erhält so unmittelbar das Ergebnis von 1. Auf der Seite 0 wird die Grundaufgabe der Jahreszinsenberechnung um einen Zeitraum erweitert, so dass man die Zinsen für einzelne Tage berechnen kann. Dabei stehen mehrere Rechenverfahren (Dreisatz und Formel) zur Verfügung. Es sind individuelle ösungen möglich. Die Formel hat den Vorteil, dass sie zum einen schneller ist und zudem Rundungsabweichungen vermieden werden. a) Z = K p t , Z = 360 Z = c) Z = K p t , Z = 360 Z = 1 18,7 e) 100 % ÿ % ÿ 36 0, % ÿ 7,0 f) 100 % ÿ 00 1 % ÿ 1,1 % ÿ 610,0 b) Z = K p t ,0 144 Z = 360 Z = 96,80 d) Z = K p t ,03 0 Z = 360 Z = 1 9 Monate 4 Tage ÿ 74 Tage 360 Tage ÿ 7,0 1 Tag ÿ 0,0 74 Tage ÿ,48 7 Monate 1 Tag ÿ 11 Tage 360 Tage ÿ 610,0 1 Tag ÿ 1,70 11Tage ÿ 37,8 3 A Z = K p t , Z = 360 Z = 1,40 B Susanne Z = K p t , Z = 360 Z = 0,6 Ina Z = K p t ,00 6 Z = 360 Z = 4,4 4 a) Z = K p t , Z = 360 Z = 4,38 b) Z = K p t ,11 4 Z = 360 Z = 10,0 c) Z = K p t , Z = 360 Z = 7,6 31

32 a) 18 7 = = 40 b) Z = K p t , Z = 1 Z = = 033 c) = 417 Z = K p t ,1 0 Z = 360 Z =,78 AH 7 3

33 Zinsen und Zinssätze vergleichen SB 1 1 a) ara: Der Zinssatz von Sofort Bargeld ist bekannt. Sie möchte den Zinssatz von Kreditmeister berechnen, so dass sie, da das Kapital ja gleich ist, die beiden Angebote genau miteinander vergleichen kann uis: Die monatlichen Zinsen bei Kreditmeister sind bekannt. uis berechnet hier als auch beim Angebot von Sofort Bargeld die Jahreszinsen, so dass er die Angebote bei gleichem Kapital ebenfalls miteinander vergleichen kann. b) ara uis SOFORT BARGED Zinssatz: 13 % Zinsen im Jahr: Z = K p Z = ,13 Z = 1 90 KREDITMEISTER Zinsen im Jahr: 00 1 = 400 Zinssatz: p = Z : K p = 400 : p = 0,16 = 16 % Zinsen im Jahr: 00 1 = 400 Auf der Seite 1 werden verschiedene Angebote verglichen und bewertet. Bei gleichem Kapital kann dieser Vergleich sowohl über die Zinsen als auch über den Zinssatz erfolgen. Bei unterschiedlichem Kapital sollte immer der Zinssatz zur Bewertung herangezogen werden. c) Familie Schneider sollte das Angebot von Sofort Bargeld wählen, da sie hier im Jahr 40 Zinsen spart. a) b) TOP-Kredit Zinssatz Zinsen im Jahr: = 1 60 Zinssatz: p = Z : K p = 1 60 : p = 13 % Zinsen Zinsen im Jahr: = 1 60 CASH Zinssatz: 1 % Zinssatz: 1 % Zinsen im Jahr: Z = K p Z = ,1 Z = Familie Baum sollte das Angebot von CASH annehmen, es ist pro Jahr um 10 günstiger. Autohändler Zinssatz Zinsen im Jahr: 10 4 = 480 Zinssatz: p = Z : K p = 480 : p = 8 % Zinsen Zinsen im Jahr: 10 4 = 480 Bank Zinssatz: 7, % Zinssatz: 7, % Zinsen im Jahr: Z = K p Z = ,07 Z = 40 Das Angebot der Bank ist besser. 33

34 3 Kreditbetrag aufzeit Zinssatz Zinsen Bank A Bank B Bank A Bank B a) 000 Monate, % 6 % 4,83 0 b) Monate 4,9 % 4, %, c) Monate 4,1 % 3,9 % 1708, ara: Vergleich über den Zinssatz Bank: 10, % SUPER-Bank: 3 Tage ÿ 10,0 1 Tag ÿ 0, Tage ÿ 108 p = _ = 0,09 = 9 % Das Angebot der SUPER-Bank ist besser. uis: Vergleich über die Zinsen Z = K p t ,10 3 Z = 360 Z = 1, Das Angebot der SUPER-Bank ist besser. Garantbank: 100 Tage ÿ 7,0 1 Tag ÿ 0, Tage ÿ 7 7 p = _ = 0,01 = 1, % Die Garantbank bietet den höheren Zinssatz. 34

35 Zinsen mit dem Computer berechnen SB 3 1 a) Es werden die Jahreszinsen berechnet: ,019 = 46 b) B3 + B6 c) A B C d) Wird der Zinssatz verdoppelt (verdreifacht), 1 Jahreszinsen verdoppeln (verdreifachen) sich die Jahreszinsen. 3 Anfangskapital Das Endkapital steigt um 46 4 Zinssatz 1,90% (91 ). 6 Jahreszinsen 46,00 e) Verdoppelt (halbiert) man das Kapital, so 7 8 Endkapital 4.46,00 verdoppeln (halbieren) sich die Jahreszinsen. 9 f) A A B C B 1 Jahreszinsen 3 Anfangskapital Zinssatz 0,9 % 6 Jahreszinsen 67,0 7 8 Endkapital 7.067,0 9 A B C 1 Jahreszinsen 3 Anfangskapital Zinssatz Jahreszinsen Endkapital,1 % 378, ,00 Auf dieser Seite erproben die ernenden die Berechnung von Zinsen mithilfe eines einfachen Tabellenkalkulationsprogramms. Die Aufgaben sollen die Berechnung von Zinsen mit dem Computer anstoßen und sinnvolle Einsatzmöglichkeiten aufzeigen Die Analyse des Rechenblatts mündet in Sachaufgaben zur vorausgegangenen Seite. Umgekehrt sollen textliche Vorgaben in formale Eingaben umgesetzt werden. g) A B C 1 Jahreszinsen Anfangskapital Zinssatz Jahreszinsen aufzeit Zinsen insgesamt Endkapital ,90% 46,00 80, ,00 Jahre a) in Zelle B7: B3*B4*B6/1 in Zelle B9: B3+B7 b) A B C 1 Monatszinsen 3 Kreditbetrag 4 Zinssatz Zeit (Monate) 6 7 Monatszinsen 8 9 Rückzahlungsbetrag ,% 7 84, ,38 c) A A B C B 1 Monatszinsen 3 Kreditbetrag Zinssatz 1,70% Zeit (Monate) Monatszinsen 184, Rückzahlungsbetrag ,17 C A B C 1 Monatszinsen 3 Kreditbetrag 4 Zinssatz Zeit (Monate) 6 7 Monatszinsen 8 9 Rückzahlungsbetrag.600 0,7% 8 8,00.68,00 A B C 1 Monatszinsen Kreditbetrag Zinssatz Zeit (Monate) Monatszinsen Rückzahlungsbetrag ,90% 1.40, ,00 3