VORLESUNG Theoretische Physik Kontinuumsmechanik

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1 VORLESUNG Theoretische Physik Kontinuumsmechanik 12. Juli 2007

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 5 2 Kinematik elastischer Medien Verschiebungsfeld, Verschiebungstensor, Deformationstensor Rotationsanteil Deformationen Dynamik elastischer Medien Der Spannungstensor Die statischen Gleichgewichtsbedingungen Die Bewegungsgleichungen Elastostatik Das Hooke sche Gesetz Isotroper Körper Das elastische Potential Kristallelastizität Torsion Balkenbiegung Wellen in elastischen Medien Die Bewegungsgleichungen des isotrop elastischen Körpers Die Wellengleichung für den isotrop elastischen Körper Spezielle Lösungen der Wellengleichung Ebene harmonische elastische Wellen Elastische Wellen im Stab Elastische Wellen in Platten Schwingende Saite Reflexion und Brechung elastischer Wellen Oberflächenwellen (Rayleigh-Typ) Oberflächenwellen (Love-Typ) Kinematik von Flüssigkeiten und Gasen Die lokale Betrachtungsweise Die Kontinuitätsgleichung

4 4 INHALTSVERZEICHNIS 7 Dynamik von Flüssigkeiten und Gasen Der Spannungstensor in Flüssigkeiten und Gasen Zustandsgleichungen Euler sche und Navier-Stokes sche Gleichungen Hydro- und Aerostatik Grundgleichungen Anwendungen Druckgleichung und Bernoulli-Gleichung Grundbegriffe Die Druckgleichung Die Bernoulli-Gleichung Potentialströmungen Allgemeine Potentialströmung Die ebene Potentialströmung Wirbelströmungen Laminare Strömungen Die Hagen-Poiseuille sche Strömung Strömung eines Gases durch ein Rohr Stokes sches Widerstandsgesetz geneigter Flüssigkeitsfilm Ähnlichkeitsgesetze Turbulente Strömungen Wellen in Flüssigkeiten und Gasen Oberflächenwellen: Schwerewellen Oberflächenwellen: Kapillarwellen Schallwellen Sickerströmungen Rheologische Gleichungen 125

5 Kapitel 1 Vorbemerkungen Achtung: Das Skript ist nur ein Entwurf, der noch nicht fertiggestellt ist und sicher noch Fehler enthält. Entdeckte Mängel bitte mir mitteilen. Gert Irmer, irmer@physik.tu-freiberg.de, Tel. 2006/2777 Mechanik deformierbarer Medien. Vergleiche mit starrem Körper: Abstände der N Teilchen voneinander fest, M Nebenbedingungen, f = 3N M = 6, 3 Translationen und 3 Rotationen. Beschreibungsmöglichkeiten für ein deformierbares Medium: 1. Medium besteht aus N diskreten Massenpunkten. Wechselwirkungskräfte aus Potentialfunktionen ableitbar, Veranschaulichung durch Federkräfte. Bsp.: Kristallgittertheorien, Molekulardynamik, ab initio- Rechnungen 2. Homogenes Medium. Beschreibung durch makroskopische Größen wie Massendichte, Druck, Geschwindigkeit. Die makroskopischen Größen sind stetige Funktionen des Ortes und der Zeit. Das Volumenelement muß hinreichend groß sein (genügend viele MP enthalten, damit Begriffe wie Massendichte sinnvoll sind), aber auch hinreichend klein sein, um mit Differentialen rechnen zu können. Abb. 1.1: Zwei Modelle des Festkörpers a b a) Punktmassen und Federkräfte b) Homogenes Kontinuum 5

6 6 KAPITEL 1. VORBEMERKUNGEN

7 Kapitel 2 Kinematik elastischer Medien 2.1 Verschiebungsfeld, Verschiebungstensor, Deformationstensor Lagrange sche und Euler sche Darstellung Euler: Der Zustand des Fluids am Ort r zur Zeit t wird betrachtet, z.b. v( r, t). Die Herkunft des Teilchens am Ort r zur Zeit t ist uninteressant. Anwendung: Flüssigkeiten und Gase. Lagrange sche substantielle Betrachtungsweise: Jedes Massenelement ( Punkt ) wird mit einem Namen versehen, z. B. dem Ort r des ME zur Zeit t = 0. Die Bewegung des Massenelementes wird verfolgt: s( r, t) Anwendung: Festkörper. In den Kapiteln zu elastischen Medien wird die Lagrange sche Betrachtungsweise angewendet. Zur Zeit t befindet sich das Massenelement r am Ort r. Verrückung zweier benachbarter ME: Beispiel Kreis mit Pfeil auf Radiergummi. s( r) ist der Verschiebungsvektor. Die Deformation der Umgebung des ME wird durch d s beschrieben. r = r + s d r = d r + d s (2.1) Abb. 2.1: Deformation eines Radiergummis r dr r' s s + ds dr' Der Kreis auf dem Radiergummi geht bei der Deformation in eine Ellipse über. Aus dem Pfeil d r wird der Pfeil d r 7

8 8 KAPITEL 2. KINEMATIK ELASTISCHER MEDIEN x i + dx i dx i s i (x j + dx j )=s i (x j ) + ds i x i ' + dx i ' Abb. 2.2: Darstellung der infinitesimalen Verschiebung aus Abb. 2.1 in Komponenten-Schreibweise dx i ' x i s i (x j ) x i ' Vektorschreibweise: s( r + d r) = s( r) + d s = s( r) + s ( ) dx j = s( r) + dx j s = x j x j ( ) = s( r) + dx 1 + dx 2 + dx 3 s = x 1 x 2 x 3 = s( r) + (d r grad) }{{} Vektorgradient s Komponentenschreibweise: s i (x j + dx j ) = s i (x j ) + ds i = s i (x j ) + s i x j dx j +... Vektorgradient: Annahme : s i x j sei klein (<< 1), lineareelastizitätstheorie ds i = s i x j dx j = a ij dx j, d s = (d r grad) s (2.2) Verschiebungstensor: ã = s 1 s 1 s 1 x 1 x 2 x 3 s 2 s 2 s 2 x 1 x 2 x 3 s 3 s 3 s 3 x 1 x 2 x 3 = s x x s y x s z x s x y s y y s z y s x z s y z s z z

9 2.2. ROTATIONSANTEIL 9 beschreibt die Verschiebung: Deformation + Rotation des Volumenelementes, keine Translation (für diese ist s = const.). Zerlegung dieses Tensors in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil: Rotationstensor: ã a = Deformationstensor: ε = a ij = a a ij + a s ij = 1 2 (a ij a ji ) (a ij + a ji ) = a a ij + ε ij 0 ( sx y s ) y x ( sx z s ) z x s x x ( 1 sx 2 y + s ) y x ( 1 sx 2 y s ) ( y 1 sx x 2 z s ) z x ( sy z s ) z y ( 1 sy 2 z s ) z y ( 1 sx 2 y + s ) ( y 1 sx x 2 z + s ) z x s y y ( 1 sx 2 z + s ) ( z 1 sy x 2 z + s ) z y 0 ( 1 sy 2 z + s ) z y s z z ds i = 0 Translation, alle x i haben dasselbe s i Zusammenfassung: ds i = s i x j dx j = a ij dx j = ds a i + ds D i a ij = 1 2 ( si s ) j + 1 ( si + s ) j x j x i 2 x j x i (2.3) 2.2 Rotationsanteil = a a ij + ε ij ã a kann ein axialer Vektor zugeordnet werden: ϕ = 1 2 rot s = 1 2 s = 1 2 ( sz y s y z, s x z s z x, s y x s ) x y

10 10 KAPITEL 2. KINEMATIK ELASTISCHER MEDIEN s i ϕ ist klein wegen << 1, Abbildung ϕ ãa x j Es ist d s a = ϕ d r. d s a = {ϕ y dz ϕ z dy, ϕ z dx ϕ x dz, ϕ x dy ϕ y dx} = 1 { ( sx 2 z s ) ( z sy dz x x s ) } x dy,...,... y = { a a 1jdx j,...,... } Abbildung des antisymmetrischen Tensors auf einen axialen Vektor d s a = ϕ d r = 1 (rot s) d r 2 ds a i = a a (2.4) ijdx j Unterschied axialer Vektor - polarer Vektor: bei Inversion am Koordinatenursprung ergibt sich axialer Vektor axialer Vektor, polarer Vektor - polarer Vektor ϕ ϑ dl dr ds a Abb. 2.3: Drehung des Volumenelementes um einen kleinen Winkel ϕ ds a = ϕ d r = ϕ dr sin ϑ = ϕ dl 2.3 Deformationen x i = x i + s i dx i = dx i + ds i ds i = a a ijdx i + ds D i Im folgenden werden keine Rotationen, nur Deformationen betrachtet: ds D i = ε ij dx j (2.5)

11 2.3. DEFORMATIONEN 11 Ein kleines Volumenelement dv mit den Kanten dx i wird deformiert zu dv : Ausführlich geschrieben: dx i = dx i + ε ij dx j dx 1 = (1 + ε 11 )dx 1 + ε 12 dx 2 + ε 13 dx 3 dx 2 = ε 21 dx 1 + (1 + ε 22 )dx 2 + ε 23 dx 3 dx 3 = ε 31 dx 1 + ε 32 dx 2 + (1 + ε 33 )dx 3 Längenänderungen: Beispiel: Ein Radiergummi mit aufgedrucktem Pfeil wird durch reine Streckung bzw. Stauchung deformiert dr dr' Abb. 2.4: Deformation eines Radiergummis durch Dehnung und Stauchung In Richtung der x 1 - Achse ergibt sich : d r = (dx 1, 0, 0) d r = (dx 1, dx 2, dx 3) = (1 + ε 11, ε 21, ε 31 )dx 1 ε 11 = dx 1 dx 1 dx 1, entsprechendes gilt für ε 22, ε 33 Die ε 11, ε 22, ε 33 sind die relativen Längenänderungen in Richtung der Achsen x 1, x 2, x 3. Winkeländerungen: Beispiel: Ein Radiergummi mit aufgedrucktem Pfeil wird durch reine Scherung deformiert

12 12 KAPITEL 2. KINEMATIK ELASTISCHER MEDIEN dr' (2) dr (2) α dr' (1) Abb. 2.5: Deformation eines Radiergummis durch Scherung d r (1) = (dx 1, 0, 0) d r (2) = (0, dx 2, 0) ε dr 12 (1) Die Winkeländerungen sind: α ϑ d r (1) = (1 + ε 11, ε 21, ε 31 )dx 1 d r (2) = (ε 12, 1 + ε 22, ε 32 )dx 1 cos ϑ = d r (1) d r (2) d r (1) d r (2) ε 12 + ε 21 (1 + 2ε 11 ) (1 + 2ε 22 ) 2ε 12 cos ϑ = cos( π 2 γ 12) = sin γ 12 γ 12 2ε 12, da ε 12 klein («1). Der Zusammenhang von ε 12 mit der Scherung (Gleitung, Schiebung) γ 12 = π/2 ϑ ist Entsprechend gilt ε 12 γ 12 2 = α. ε 23 γ 23 2, ε 13 γ Hauptachsentransformation: Durch Koordinatentransformation kann der Deformationstensor auf die Form ε ε = 0 ε ε 3 gebracht werden. Die ε i sind die Eigenwerte von ε, die sogenannten Hauptdilatationen. Das bedeutet, jede Deformation kann durch drei Dehnungen (bzw. Stauchungen) in drei aufeinander senkrechten Richtungen ausgedrückt werden. Beispiel: kleine Kugel wird zu Ellipsoid verformt: dx = (1 + ε 1 )dx dy = (1 + ε 2 )dy dz = (1 + ε 3 )dz

13 2.3. DEFORMATIONEN 13 Kugel Ellipsoid (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 = (dr) 2 (dx ) 2 (1 + ε 1 ) 2 + (dy ) 2 (1 + ε 2 ) 2 + (dz ) 2 Volumenänderung: Im Hauptachsensystem: (1 + ε 3 ) 2 = (dr)2 dv = dx dy dz = (1 + ε 1 )(1 + ε 2 )(1 + ε 3 )dxdydz dv + (ε 1 + ε 2 + ε 3 )dv dv dv dv = V V = ε 1 + ε 2 + ε 3 = ε 11 + ε 22 + ε 33 = Sp ε = ε ii = s x x + s y y + s z z = div s = relative Volumenänderung V V = Sp ε = div s (2.6)

14 14 KAPITEL 2. KINEMATIK ELASTISCHER MEDIEN

15 Kapitel 3 Dynamik elastischer Medien 3.1 Der Spannungstensor Deformationen durch Kräfte verursacht: a) Volumenkräfte F i = f i (x j, t)d 3 r, vektoriell: F = f( r, t)d 3 r (3.1) f ist die Kraftdichte (N/m 3 ) Beispiele: Schwerkraft, Zentrifugalkraft Übertragung durch Felder Beispiel:Kraftdichte der Schwerkraft, die am Massenelement m = ρ V angreift. Die z(x 3 ) - Achse ist nach oben gerichtet. p = const. F V g Abb. 3.1: Schwerkraft als Volumenkraft F 3 = ρ V g = mg F 1 = F 2 = 0 f 3 = ρg b) Flächenkräfte F i = σ ij da j, vektoriell: F = σd A (3.2) 15

16 16 KAPITEL 3. DYNAMIK ELASTISCHER MEDIEN σ ij : Spannungstensorkomponente (N/m 2 ) Beispiele: Spannung, Druck, Oberflächenspannung Übertragung durch Druck oder Reibung Beispiel: Druck, den eine Flüssigkeit im Schwerefeld auf eine Platte der Fläche A = a a ausübt. Die Normalkraft F 3 ergibt sich als Gewicht der Flüssigkeitssäule über der Fläche A. g Abb. 3.2: Flächenkraft, die durch Druck in einer Flüssigkeit auf eine Platte übertragen wird h x 3 A F 3 = mg = = ρa(h x 3 )g = = pa = σa p = ρg(h x 3 ) Druck p : σ = p σ ij = pδ ij Platte senkrecht: da 2 = a dx 3 F 1 = a h2 h1 ρg(h x 3 )dx 3 c) Zusammenhang zwischen Volumen- und Flächenkräften, Euler sches Schnittprinzip Beispiel: gespannter Gummi, herausgeschnittene Figuren werden verformt und durch Flächenkräfte wieder auf die ursprüngliche Form gebracht Abb. 3.3: Deformation eines Gummis durch Streckung und Anwendung des Schnittprinzips

17 3.1. DER SPANNUNGSTENSOR 17 Abb. 3.4: Deformation eines Gummis durch Scherung und Anwendung des Schnittprinzips Euler sches Schnittprinzip: Herausgeschnittenes Volumenelement V, an der Fläche A 1 greife die Kraft F an: Zerlegung der Kraft in eine Normal- und eine Tagentialkomponente, die Tangentialkomponente kann weiter zerlegt werden: F t F Abb. 3.5: Zerlegung von Flächenkräften x 3 A 1 F = F n + F t = x 1 x 2 F n = F 1 + F 2 + F 3 Normalspannung: σ n = F n x 2 x 3 Tangential(Schub-)spannung: σ t = F t x 2 x 3 positiv, wenn F n A 1, A 1 nach außen Indexkonvention für σ ij : 1. Index kennzeichnet die Kraftrichtung (Komponente zur Achse x i ) 2. Index kennzeichnet die Fläche (Schnitt senkrecht zur Achse x j hier: σ n σ 11, σ t σ 21, σ 31 F 1 = σ 11 x 2 x 3 = σ 11 A 1 F 2 = σ 21 x 2 x 3 = σ 21 A 1 F 3 = σ 31 x 2 x 3 = σ 31 A 1 F i = σ i1 A 1 Normalspannungen: σ 11, σ 22, σ 33 Schubspannungen, Tangentialspannungen: σ 12, σ 13, σ 23 (σ ji = σ ij, siehe unten)

18 18 KAPITEL 3. DYNAMIK ELASTISCHER MEDIEN Der Spannungstensor läßt sich auf Hauptachsen transformieren: Hauptspannungen σ 1, σ 2, σ 3 σ = σ σ σ Die statischen Gleichgewichtsbedingungen (Vergleich zum starren Körper 1) 2) F k = 0 Kräftegleichgewicht k r k F k = 0 Momentengleichgewicht ) k hier: f i dv + σ ij da j = 0 fdv + σd A = 0 Kräftegleichgewicht r fdv + r ( σd A) = 0 Momentengleichgewicht (3.3) zu 1) Kräftegleichgewicht Betrachtung der x-komponente f 1 dv + σ 1j da j = 0 σ 1 = σ 11, σ 12, σ 13 wird als Vektor aufgefaßt f 1 dv + σ 1 da = f 1 dv + div σ 1 dv = 0 (f 1 + div σ 1 )dv = 0 f 1 + div σ 1 = f 1 + σ 1j x j = 0 allgemein: f i + σ ij x j = 0 f + Div σ = 0 (3.4) äußere Kraft innere Kraft Div Vektordivergenz pro Volumen pro Volumen

19 3.2. DIE STATISCHEN GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN 19 x 2 σ 22 + ( σ 22 / x 2 )dx 2 σ 12 + ( σ 12 / x 2 )dx 2 σ 21 + ( σ 21 / x 1 )dx 1 dx 2 σ 11 σ 13 σ 13 + ( σ 13 / x 3 )dx 3 σ 11 + ( σ 11 / x 1 )dx 1 σ 21 σ 12 σ 22 x 3 dx 1 Abb. 3.6: Kräftegleichgewicht am herausgeschnittenen Würfel dv x 1 Kräftegleichgewicht in Richtung x i σ ij : 1. Index kennzeichnet die Richtung der zugeordneten Kraft 2. Index kennzeichnet die Fläche ( σ 11 + σ ) 11 dx 1 dx 2 dx 3 + x 1 ( σ 12 + σ ) ( 12 dx 2 dx 1 dx 3 + σ 13 + σ ) 13 dx 3 dx 1 dx 2 + x 2 x 3 σ 11 dx 2 dx 3 σ 12 dx 1 dx 3 σ 13 dx 1 dx 2 + f 1 dx 1 dx 2 dx 3 = 0 ( σ11 + σ 12 + σ ) 13 + f 1 = 0 x 1 x 2 x 3 Zu 2): Momentengleichgewicht r fdv + r ( σd A) = 0 x-komponente: (x 2 f 3 x 3 f 2 )dv + [x2 ( σd A) 3 x 3 ( σd A) 2 ] = 0 ( σd A) 3 = (σ 3j da j ) = ( σ 3 da), ( σd A) 2 = (σ 2j da j ) = ( σ 2 da) x 2 ( σd A) 3 = div(x 2 σ 3 )dv = (x 2 div σ 3 + σ 3 grad x 2 )dv = (x 2 div σ 3 + σ 32 )dv x 3 ( σd A) 2 = div(x 3 σ 2 )dv = (x 3 div σ 2 + σ 2 grad x 3 )dv = (x 3 div σ 2 + σ 23 )dv

20 20 KAPITEL 3. DYNAMIK ELASTISCHER MEDIEN [x 2 (f 3 + div σ 3 ) + σ 32 x 3 (f 2 + div σ 2 ) σ 23 ] dv = 0 σ 32 = σ 23 allgemein: wegen f 1 + div σ i = 0 ergibt sich σ ji = σ ij (3.5) 3.3 Die Bewegungsgleichungen Wenn kein statisches Gleichgewicht am Volumenelement dv vorhanden ist: ρa i = f i + σ ij x j ρ a = f + Div σ ρ = dm dv = Massendichte, a Beschleunigung des Volumenelementes in substantieller Betrachtungsweise x i = x i + s i (x j, t), a i = d2 s i dt 2 ρ s i = f i + σ ij x j ρ s = f + Div σ (3.6) Wenn die f i und die σ ij bekannt sind, lassen sich im Prinzip die s i ausrechnen. Die σ ij hängen mit den s i über die Materialgleichung σ ij = σ ij (ε ij ) zusammen.

21 Kapitel 4 Elastostatik 4.1 Das Hooke sche Gesetz Zunächst: eindimensionale Betrachtung Zugversuch: Abb. 4.1: Dehnung eines Stabes unter Einfluss der Kraft F l x1 x 2 Zugspannung σ = F A = E l l = Eε l Dehnung ε = l l A F Hooke sches Gesetz mit der Elastizitätskonstanten E: σ = Eε (4.1) Spannungs- Dehnungsdiagramm: 21

22 22 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK σ Abb. 4.2: Schematische Darstellung der Spannungs- Dehnungs- Beziehung 0 A B C D Beispiel für lineares, elastisches Verhalten: ε 0... A: Hooke A... B: elastisch/nichtlinear B... C: Fließen C... D: Verfestigung, Bruch l Abb. 4.3: Dehnung einer elastischen Schraubenfeder unter Einfluss der Kraft F l Die Ausdehnung l der Feder ist der Kraft F proportional, k ist die Federkonstante F F = k l Oft kein rein elastisches Verhalten auch bei kleinem σ: σ ε Abb. 4.4: Elastische Hysterese Im Folgenden wird angenommen, dass die Deformationen Zustandsfunktionen sind, d. h. unabhängig von der Vorgeschichte. Zusammenhang: σ( ε) : allgemein: σ 11 = f 11 (ε 11, ε 12,..., ε 33 ) σ 12 =.

23 4.2. ISOTROPER KÖRPER 23 σ 33 = Taylorentwicklung für linearen Bereich: σ 11 = f 11 (0,..., 0) + f 11 ε 11 + f 11 ε 12 + ε 11 ε 12 σ 12 = f ij (0,..., 0) = 0 (ohne Deformationen keine Spannungen) allgemein: σ ij = C ijmn ε mn Tensor vierter Stufe (4.2) Die C ijmn sind die elastischen Moduln (81 Konstanten) Einführung der Voigt schen Konstanten unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften des Deformations- und des Spannungstensors (ε ji = ε ij, σ ji = σ ij ) σ 11 = C 11 ε 11 + C 12 ε 22 + C 13 ε C 14 ε C 15 ε C 16 ε 12 σ 22 = C 21 ε 11 + σ 33 = σ 23 = σ 31 = σ 12 = σ i = C ij ε j 36 Konstanten C ij (4.3) weitere Reduktion der Anzahl der voneinander unabhängigen Konstanten möglich siehe unten! 4.2 Isotroper Körper keine ausgezeichnete Richtung Beispiel: polykristalline, amorphe, glasartige Körper, Flüssigkeiten keine Einkristalle (diese können aber optisch isotrop sein, z. B. kubische) Im Folgenden Annahme:

24 24 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK Achsen Hauptachsen σ 1 = aε 1 + bε 2 + bε 3 σ 2 = bε 1 + aε 2 + bε 3 σ 3 = bε 1 + bε 2 + aε 3 wegen Gleichwertigkeit aller Richtungen gibt es nur zwei elastische Konstanten: a für Deformationen zur wirkenden Spannung und b für Deformationen zur wirkenden Spannung Lamèsche Moduln: a b = 2µ b = λ σ 1 = 2µε 1 + λ(ε 1 + ε 2 + ε 3 ) σ 2 = 2µε 2 + λ(ε 1 + ε 2 + ε 3 ) σ 3 = 2µε 3 + λ(ε 1 + ε 2 + ε 3 ) Übergang vom Hauptachsensystem zu beliebigem orthogonalem Koordinatensystem (Die α ik sind die Richtungskosinus): σ k = 2µε k + λsp ε, (σ k = δ kl σ kl, ε k = δ kl ε kl ) σ ij = α ik α jl σ kl = k α ik α jk σ k ε ij = α ik α jl ε kl = k α ik α jk ε k α ik = cos (x i, x k ) σ ij = 2µ α ik α jk ε k + λsp ε α ik α jk k k }{{} δ ij σ ij = 2µε ij + λδ ij Sp ε Index weggelassen: wegen Sp ε = Sp ε. σ ij = 2µε ij + λδ ij Sp ε (4.4) Hooke sches Gesetz für den elastisch isotropen Körper, strain stress relation Umkehrung:

25 4.2. ISOTROPER KÖRPER 25 Sp σ = 2µSp ε + 3λSp ε = (2µ + 3λ)Sp ε Sp ε = 1 2µ + 3λ Sp σ ε ij = σ ij 2µ λδ ij Sp σ 2µ(2µ + 3λ) ε ij = 2µ σ ij + λ δ ij Sp σ mit 2µ = 1 2µ, λ λ = 2µ(2µ + 3λ) Zusammenhang der Lamè schen Konstanten mit dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl ν: x 2 Abb. 4.5: Dehnungen und Querkontraktionen beim Zugversuch l A x 1 F l σ 11 = 2µε 11 + λ Sp ε 0 = 2µε 22 + λ Sp ε 0 = 2µε 33 + λ Sp ε 0 = 2µε 23 0 = 2µε 31 0 = 2µε 12 ε 22 = ε 33 = λ 2µ Sp ε, ε 23 = ε 31 = ε 12 = 0 ε 22 = λ 2µ (ε ε 22 ) = λε 11 2(µ + λ) Sp ε = ε 11 (1 λ µ + λ ) = µε 11 µ + λ σ 11 = (2µ + λµ µ + λ )ε 11 = Eε 11 E = Querkontraktionen: µ(2µ + 3λ) µ + λ Young scher Elastizitätsmodul (4.5) ε 22 ε 11 = ε 33 ε 11 = λ 2(µ + λ) = ν

26 26 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK ν = λ 2(µ + λ) Poisson sche Querkontraktionszahl (4.6) Zusammenhang der Lamè schen Konstanten mit dem Schubmodul G: x 2 Abb. 4.6: Scherung eines Würfels α α x 1 σ 12 = 2µε 12 = Gγ 12 γ 12 = 2α = 2ε 12 G = µ Schubmodul G (4.7) Zusammenhang der Lamè schen Konstanten mit dem Kompressionsmodul κ: Beispiel: Ein Würfel ist in einer Flüssigkeit allseitigem Druck σ ij = pδ ij ausgesetzt und wird um V zusammengedrückt: Abb. 4.7: Kompression eines Würfels p Flüssigkeit σ 11 = p = 2µε 11 + λsp ε σ 22 = p = 2µε 22 + λsp ε σ 33 = p = 2µε 33 + λsp ε σ 23 = 0 = 2µε 23 σ 31 = 0 = 2µε 31 σ 12 = 0 = 2µε 12 ε 11 = ε 22 = ε 33, ε 23 = ε 31 = ε 12 = 0 3p = (2µ + 3λ)Sp ε 1 κ = 1 V p V = Sp ε p = 3 2µ + 3λ κ = 2µ + 3λ 3 Kompressionsmodul κ (4.8)

27 4.3. DAS ELASTISCHE POTENTIAL 27 Elastische Konstanten einiger Stoffe: Dichte Lamé- Lamé- Young- Quer- Kompres- longitud. transv. ρ scher scher scher kontrakt.- sions- Schall- Schall- Modul λ Modul µ Modul E zahl ν modul κ geschw. geschw. (Schub- c l c t modul G) g/cm N/m N/m N/m N/m 2 km/s km/s Stahl 7, ,76 1,95 0,28 1,48 5,7 3,1 Kupfer 8,9 1,09 0,47 1,26 0,35 1,40 4,8 2,3 Aluminium 2,7 0,57 0,27 0,72 0,34 0,75 6,4 3,2 Glas 2,2 0,17 0,33 0,76 0,17 0,38 6,1 3,8 4.3 Das elastische Potential Elastische Deformation erfordert Verrichten von Arbeit und führt zur Änderung des elastischen Potentials. Hooke-Bereich: keine Wärmeentwicklung, keine Reibung Beispiele: a) gespannte Feder Abb. 4.8: Elastische Energie einer gespannten Feder l 0 F F = -kx W = l x=0 F dx = l 0 kxdx = k ( l) 2 2 x F

28 28 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK b) Zugversuch Abb. 4.9: Elastische Energie eines gespannten Stabes σ = εe = x l 0 E, V = Al 0 l 0 W = l x=0 x EAdx = ( l)2 EA l 0 2l 0 = Eε2 V 2 A x F = σa W V = Eε2 2 = σε 2 Die elastische Energie ist in den Volumenelementen des elastischen Körpers gespeichert. Energiedichte der Deformationsenergie: φ = dw dv = φ (ε 11, ε 12,, ε 33 ) Ein Körper habe die Energiedichte φ. Wie ändert sich φ bei einer kleinen Deformation? Beispiel: Ein Volumenelement V wird in x 1 -Richtung gedehnt unter Einfluss der Zugspannung σ 1, so dass es die Energiedichte φ = W V erhält. Dann wird es zusätzlich durch dσ 1 belastet (Vernachlässigung der Querkontraktion, σ 1 = σ 1 (x 1 )) x 3 x 3 σ 1 σ 1 + dσ 1 s 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 W = 0 W 1 = σ 1 x 2 x 3 dx 1 x 1 d( W 1 ) Abb. 4.10: Änderung der elastischen Energie eines vorgespannten Körpers unter Einfluss einer kleinen Spannungsänderung ds 1 d( W 1 ) = (σ 1 + dσ 1 ) x 2 3 d( x 1 x 1 ) ( ) x σ 1 2 x 3 x 1 d 1 x 1 = σ 1 V dε 1 x 1

29 4.3. DAS ELASTISCHE POTENTIAL 29 allgemeiner: dφ = d ( ) W1 = σ 1 dε 1 V An einem Körper (Volumen V ) greifen an der Oberfläche(A)Kräfted F an, die ihn etwas deformieren. Welche Arbeit wird geleistet und wie ändert sich sein elastisches Potential? dw = = = = (A) df i ds i V ektor a j {}}{ σ ij da j ds i = (σ ij ds i ) da j (σ ij ds i )dv x j ( ) σij ds i dv + x j }{{} =0 (Kräftegleichgewicht) ( ) si σ ij d dv x j dw = ( ) si σ ij d dv = x j ( 1 si σ ij d + s ) j dv 2 x j x i }{{} (σ ji = σ ij wegen Momentengleichgewicht) dw = σ ij dε ij dv = dφdv φ = φ(ε ij ), dφ = σ ij dε ij (4.9) dφ = φ ε ij dε ij = σ ij dε ij = C ijmn ε mn dε ij vollständiges Differential der gespeicherten Energiedichte (φ ist Zustandsgröße, nur vom Deformationszustand, nicht von der Vorgeschichte abhängig) Anzahl voneinander unabhängiger elastischer Moduln: 1. wegen ε kl = ε lk, σ ij = σ ji : σ ij = C ijkl ε kl = φ ε ij C ijkl = C jikl = C ijlk statt = 81 Konstanten nur 6 6 = 36 Konstanten

30 30 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK 2. wegen Vertauschbarkeit der Ableitungen (Schwartz): σ ij ε kl = C ijkl = 2 φ ε kl ε ij : statt 36 Konstanten nur 21 Konstanten in Voigt scher Schreibweise mit C ijkl = C klij dφ = σ = {σ 1, σ 2,..., σ 6 } = {σ 11, σ 22, σ 33, σ 23, σ 31, σ 12 } ε = {ε 1, ε 2,..., ε 6 } = {ε 11, ε 22, ε 33, 2ε 23, 2ε 31, 2ε 12 } σ i = C ij ε j 6 σ i dε i = 6 C ij ε j dε i = i=1 i,j=1 6 i=1 φ ε i dε i σ i = φ = C ij ε j ε i 2 φ ε j ε i = C ij C ij = C ji (21 voneinander unabhängige Konstanten wegen Vertauschbarkeit der Ableitungen) φ = C 11 2 ε2 1 + C 12 ε 1 ε 2 + C 13 ε 1 ε C 16 ε 1 ε 6 + C 22 2 ε2 2 +

31 4.3. DAS ELASTISCHE POTENTIAL 31 elastisches Potential des isotrop elastischen Körpers: σ ij = 2µε ij + λδ ij Sp ε dφ = σ ij dε ij = {2µε ij dε ij + λδ ij Sp εdε ij } i j φ = { } µε 2 ij + λ Sp εdε ii i j φ = µ {[ε ε ε 2 33] + 2 [ε ε ε 2 12]} + +λ {[ ε11 2 = µ {[ ] + 2[ ]} + λ 2 ( = µ + λ ε11 (ε 22 + ε 33 ) + ε ε22 (ε 11 + ε 33 ) + ε ε33 (ε 11 + ε 22 )]} 2 2 [ ] ε ε ε λ [ε11 ε 22 + ε 11 ε 33 + ε 22 ε 33 ] ) [ε ε ε 2 33] + 2µ [ ε ε ε 2 12] + 2λ [ε11 ε 22 + ε 11 ε 33 + ε 22 ε 33 ] (Integrationskonstante = 0 wegen φ = 0, wenn ε ij = 0) a) nur Scherungen ε 11 = ε 22 = ε 33 = 0 µ > 0 wegen φ > 0 b) nur Volumenänderungen ε 11 = ε 22 = ε 33 = ε, ε 23 = ε 31 = ε 12 = 0 λ > 2 5 µ wegen φ > 0 experimentell: µ > 0, λ > 0 Wegen ν = λ 2(µ + λ) ergibt sich auch 0 < ν < 1 2.

32 32 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK 4.4 Kristallelastizität σ ij = C ijkl ε kl σ i = elastische Konstanten C ijkl bzw. C ij. 6 C ij ε j i=1 7 Kristallsysteme Anzahl elastischer Konstanten triklin 21 monoklin 13 rhombisch 9 trigonal 7 bzw. 6 tetragonal 7 bzw. 6 hexagonal 5 kubisch 3 } je nach Kristallklasse Beispiel: kubische Kristalle (optisch isotrop, elastisch anisotrop) in Voigt scher Schreibweise: C 11 C 16.. C 61 C 66 = C 11 C 12 C C 12 C 11 C C 12 C 12 C C C C 44

33 4.5. TORSION Torsion Torsion eines isotrop elastischen Zylinders (Drahtes) mit dem Radius R, Lamè sche Konstanten µ und λ A 0 x 1 Abb. 4.11: Torsion eines Drahtes mit zylindrischem Querschnitt x 2 x 3 A l r ϕ(l) l Gegeben ist die Deformation: parallele Querschnitte sind gegeneinander verdreht. Die Fläche A 0 sei fixiert, an der Fläche A l wirkt ein Drehmoment, der Mantel sei kräftefrei. Maximaler Verdrehungswinkel ϕ(l) = ϕ l ϕ r s x 1 Gesucht ist das Drehmoment, das diese diese Verzerrung bewirkt. x 2 ϕ = (0, 0, ϕ(x 3 )) r = (x 1, x 2, x 3 ) s = ϕ r s 1 = x 2 ϕ(x 3 ) s 2 = x 1 ϕ(x 3 ) Verschiebungsfeld(s 1, s 2, s 3 ) s 3 = 0 Deformationstensor: ε 23 = 1 ( s2 + s ) 3 = 1 2 x 3 x 2 2 x 1ϕ (x 3 ) = ε 32 ε 31 = 1 ( s3 + s ) 1 = 1 2 x 1 x 3 2 x 2ϕ (x 3 ) = ε 13 ε 12 = ε 21 = ε 11 = ε 22 = ε 33 = 0 Die Torsion erfolgt ohne Volumenänderung wegen Sp ε = 0. Spannungstensor:

34 34 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK Kräftegleichgewicht: σ 23 = 2µε 23 = µx 1 ϕ (x 3 ) = σ 32 σ 31 = 2µε 31 = µx 2 ϕ (x 3 ) = σ 13 σ 12 = σ 21 = σ 11 = σ 22 = σ 33 = 0 σ 1j = σ 11 + σ 12 + σ 13 x j x 1 x 2 x 3 = 0 σ 2j = σ 21 + σ 22 + σ 23 x j x 1 x 2 x 3 = 0 σ 13 = σ 23 x 3 x 3 = 0 ϕ (x 3 ) = 0 ϕ = ϕ l l x 3 (4.10) σ 23 = µx 1 ϕ l /l σ 13 = µx 2 ϕ l /l (4.11) σ 23 und σ 13 unabhängig von x 3 Welche Oberflächenkräfte sind den Spannungstensorkomponenten zuzuordnen? Am Mantel greifen keine Kräfte an (senkrecht oder tangential zur Manteloberfläche) wegen σ 11 = σ 22 = σ 12 = σ 21 = 0.. σ 13 Abb. 4.12: Tangentialkräfte an der unteren Zylinderkreisfläche An der Fläche A l greifen Tangentialkräfte an: σ 23 σ 23 x 1 σ = σ σ23 2 = µrϕ l /l mit r = x x 2 2 Schubspannung σ 13 x 2

35 4.6. BALKENBIEGUNG 35 σ = mit r = σ σ23 2 = µrϕ l /l x x 2 2 Auf einen Kreisring mit dem Radius r und der Breite dr wirkt das Drehmoment dm = r df = r σ 2πrdr = 2πµϕ lr 3 dr l M = πµr4 ϕ l 2l (µ = G = Torsionsmodul = Schubmodul) = πgr4 ϕ l 2l ϕ l = M D (4.12) mit D = πgr4 2l = Richtmoment Bestimmung von G aus einem Torsionsexperiment möglich. 4.6 Balkenbiegung Oft ist es möglich, Näherungslösungen anzugehen, die auf vereinfachenden Annahmen beruhen, ausreichend für viele technische Anwendungen. Beispiel ist die Theorie der Balkenbiegung, die auf Bernoulli zurückgeht. Annahme: nur σ 11 0, gleichförmige Biegung, neutrale Schicht, kleine Verbiegungen, ebene Querschnitte, keine Verwölbung dx 1 = Rdϕ dx 1 + ds 1 = (R + x 3 )dϕ ε 11 = ds 1 = x 3dϕ = x 3 dx 1 dx 1 R, ε 22 = ε 33 = νε 11 = νx 3 R oberhalb der neutralen Faser Dehnungen, unterhalb Stauchungen längs des Balkens. Bei den folgenden Ableitungen wird angenommen, dass die Durchbiegung nur gering ist, so dass die Koordinate der neutralen Faser längs des Balkens mit der Koordinate x 1 gleichgesetzt werden kann.

36 36 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK Hooke: σ 11 = Eε 11 = E R x 3, alle anderen σ ij = 0 n x 3 l h x 3 x 3 x 1 b x 2 n x 3 σ 11 F Abb. 4.13: Biegung eines Balkens unter Einfluss der Kraft F n x 3 dx 1 + ds 1 dx 1 n x 1 R dϕ Die Gleichgewichtsbedingung ist erfüllt: σ ij x j = 0 Am Flächenelement dx 2 dx 3 = da greift die Kraft σ 11 da an. Da der Balken sich im Ganzen nicht dehnt, gilt: σ 11 da = E x 3 da = 0 R Diese Beziehung ist erfüllt, wenn sich die neutrale Faser in Balkenmitte befindet. Das auf den Querschnitt wirkende Drehmoment (Biegemoment) ist: M B = x 3 σ 11 da = E R x 2 3dA (4.13) mit I = x 2 3dA = Flächenträgheitsmoment".

37 4.6. BALKENBIEGUNG 37 Beispiel: Rechteckquerschnitt b/2 h/2 b/2 h/2 x 2 3dx 2 dx 3 = bh3 12 Das Drehmoment M B hält dem äußeren Drehmoment M(x 1 ) der Kraft F das Gleichgewicht (s. Abb. 4.14) x 3 n x 1 F Abb. 4.14: Die Spannungen σ 11 bewirken ein Drehmoment im Gleichgewicht mit dem Drehmoment der Kraft F σ 11 x 1 F M B = E R I = M(x 1) = F (l x 1 ) Die Spannung σ 11 ergibt sich zu 1 R = F EI (l x 1) (4.14) σ 11 = E R x 3 = F I x 3(l x 1 ) (4.15) σ 11 hängt nur von der Kraft F und der Querschnittsform ab (I), nicht vom Material (E). maximale Spannung für x 3 = h 2, x 1 = 0 σ max 11 = hlf 2I

38 38 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK Der Krümmungsradius R der neutralen Faser x 3 = x 3 (x 1 ) ergibt sich aus : bei kleinen Verbiegungen gilt x 2 3 << 1. 1 R = x 3 (1 + x 2 3 ), 3/2 1 R = x 3 = F EI (l x 1) x 3 = F EI ( l 2 x2 1 x 1 3 ) + Ax1 + B 6 Randbedingungen: x 1 = 0 : x 3 = 0, x 3 = 0 (neutrale Faser) x 3 = F 2EI x2 1(l x 1 3 ) (4.16) x 3 (x 1 ) ist die elastische Linie des Balkens. Der Balken ist für x 1 = l um die Strecke x 3 (l) = l3 F 3EI verbogen. zweifach unterstützter und in der Mitte durch eine Kraft beanspruchter Balken: F/2 F/2 F Abb. 4.15: Biegung des zweifach unterstützten Balkens und des "Kragträgers" kann auf das Problem des Kragträgers zurückgeführt werden.

39 4.6. BALKENBIEGUNG 39 Stabknickung: Abb. 4.16: Knickung eines Stabes n n x 3 x 3 x 3 x 1 p l ε F x 1 x 1 Eine horizontal wirkende Kraft greift an einem Hebel der Länge ε (ε Exzentrizität ) an und bewirkt eine Biegung (in der Abb. übertrieben stark gezeichnet ) x 3 (l) = p Das Drehmoment M = F [ε + p x 3 (x 1 )] bezüglich Stelle x 1 ist mit dem Biegemoment M B = E R I = EIx 3(x 1 ) im Gleichgewicht: Abkürzung: λ 2 = F EI, F [ε + p x 3 (x 1 )] = EIx 3(x 1 ) x 3 (x 1 ) + λ 2 x 3 (x 1 ) = λ 2 (ε + p) Lösung: x 3 (x 1 ) = ε + p + c 1 cos (λx 1 ) + c 2 sin (λx 1 ) RB : x 3 (0) = 0, x 3(0) = 0, x 3 (l) = p 1 cos (λl) c 1 = (ε + p), c 2 = 0, p = ε cos (λl) x 3 (x 1 ) = ε cos (λl) (1 cos (λx 1)) = p 1 cos (λx 1) 1 cos (λl) (4.17) Gleichung für die neutrale Faser Diskussion: Maximales Biegemoment für x 1 = 0, x 3 (0) = 0 : kritische Last: M max = F (ε + p) = εf cos (λl)

40 40 KAPITEL 4. ELASTOSTATIK für λl = π/2 wächst x 3 (x 1 ) über alle Grenzen (Instabilität), es muss F < F kr sein, sonst Knicken des Stabes F kr = π 2 EI (4.18) 4 l 2 Das gilt auch für sehr kleine ε. Auch ein axial gedrückter Stab (ε 0) wird instabil für F > F kr, weil geringste seitliche Störkräfte Knicken einleiten. Schubspannungen im Träger Bisher Annahme σ ij = 0 außer σ 11. Eine bessere Näherung berücksichtigt auch die Schubspannungen σ 13 = σ 31 : Aus σ ij x j = 0 ergibt sich Mit σ 11 = F I x 3(l x 1 ) ergibt sich σ 11 x 1 + σ 13 x 3 = 0, σ 31 x 1 = 0 σ 13 = σ 11 = + F x 3 x 3 x 1 I σ 13 = F x2 3 2I + C Randbedingung: σ 13 (± h 2 ) = 0 (Verschwinden der Schubspannungen an der Balkenoberfläche) σ 13 = F 2I ( x 2 3 h 4 2 ) (4.19) maximale Schubspannung für x 3 = 0: (Vergleich mit σ max 11 = hlf I ) σ max 13 = F h2 8I

41 Kapitel 5 Wellen in elastischen Medien 5.1 Die Bewegungsgleichungen des isotrop elastischen Körpers ρ s i = f i + σ ij x j (ρ s = f + Div σ) ρ s i = f i + x j (2µε ij + λδ ij Sp ε) ε ij = 1 2 ( si + s ) j, Sp ε = s j x j x i x j x 1 -Komponente: i = 1 ρ s i = f i + µ 2 s i x j x j + µ 2 s j x i x j + λ x i s j x j ρ s 1 = f 1 + µ ( 2 s 1 x s 1 x 2 2 ) + 2 s 1 + x 2 3 ( 2 ) s 1 +µ + 2 s s 3 + x 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 ( 2 ) s 1 +λ + 2 s s 3 = x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 3 ( ) 2 = f 1 + µ s x 2 1 x 2 2 x µ x 1 ( s1 x 1 + s 2 x 2 + s 3 x 3 ) + 41

42 42 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN +λ ( s1 + s 2 + s ) 3 = x 1 x 1 x 2 x 3 ( ) 2 = f 1 + µ } x 2 1 x 2 2 {{ x 2 3 } s 1 + (µ + λ) ( s1 x 1 + s 2 + s ) 3 x 1 x 2 x 3 }{{} div s analog für i = 2, i = 3. Zusammenfassung: ρ s i = f i + µ 2 s i x j x j + (µ + λ) 2 s j x i x j ρ s = f + µ s + (µ + λ) grad div s (5.1) 3 lineare partielle Dgl. für s i (x j, t), i, j = 1 3 Vorgabe von Randbedingungen und Anfangsbedingungen notwendig Randbedingungen: 1. s (Rand) vorgegeben, z.b. s i Rand = 0 (feste Einspannung) 2. σ ij (Rand) vorgegeben (Flächenkräfte auf Rand) 3. gemischte Randbedingungen oft günstig, zunächst von ρ s i = f i + σ ij x j Gesetzes. auszugehen, dann Anwendung des Hooke schen

43 5.2. DIE WELLENGLEICHUNG FÜR DEN ISOTROP ELASTISCHEN KÖRPER Die Wellengleichung für den isotrop elastischen Körper Annahme: f i = 0. Einführung neuer Konstanten: Aus Gleichung (5.1) ergibt sich: λ + 2µ c l =, c t = ρ µ ρ s: Verschiebung = Rotation + Deformation s = c 2 t s + (c 2 l c 2 t )grad div s (5.2) rot s = rot s t = 2 ϕ, div s t = 0 s = s t + s l (Drehung des Volumenelementes, keine Volumenänderung) div s = div s l = V V, rot s l = 0 (Volumenänderung, keine Drehung des Volumenelementes) s l + s t = c 2 t ( s l + s t ) + (c 2 l c 2 t ) grad div s l ( = grad div -rot rot) s l + s t = c 2 t ( s l + s t ) + (c 2 l c 2 t ) s l s l = c 2 l s l s t = c 2 t s t (5.3) Wellengleichung s t : s l : c l, c t : keine Volumenänderung, Scherungswellen, S-Wellen (secunda unda), transversale Wellen keine Rotationen, nur Volumenänderungen, Kompressionswellen, P-Wellen (prima unda), longitudinale Wellen Ausbreitungsgeschwindigkeit

44 44 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN 5.3 Spezielle Lösungen der Wellengleichung a) allgemeine eindimensionale Lösung Annahme: Es sei ψ = ψ(x, t) mit z.b. ψ = s l1, s l2,..., s t1,... Die Wellengleichung ist dann 2 ψ t 2 = c2 2 ψ x 2 (5.4) Lösungsansatz: ψ = ψ(x ± ct) die Wellengleichung ist erfüllt. ψ = t = ψ ( ) ( ) t 2 ψ t 2 = c 2 ψ 2 ψ x 2 = 1 ψ = ψ (±c) Die allgemeine Lösung läßt sich als Superposition von zwei beliebigen Funktionen darstellen, in die x und t nur in der Kombination (x ct) bzw. (x + ct) eingehen. ψ = ψ 1 (x ct) + ψ 2 (x + ct) (5.5) Die Anfangs- und Randbedingungen legen die Funktionen ψ 1 und ψ 2 fest. Ausbreitungsrichtung der Wellen: ψ t 1 = 0 t 1 Abb. 5.1: Ausbreitung einer eindimensionalen Welle x 1 = β x 2 x Wie bewegt sich eine konstante Auslenkung ψ 1 (x ct) = const.? Dann muss auch die Phase β = x ct = const. sein, deren Wanderungsgeschwindigkeit ergibt sich aus dβ dt = 0 = dx dt c dx dt = c > 0.

45 5.3. SPEZIELLE LÖSUNGEN DER WELLENGLEICHUNG 45 ψ 1 (x ct) läuft in positive x-richtung ψ 2 (x + ct) läuft in negative x-richtung. harmonische Welle als Spezialfall: ψ = a cos [k(±x ct) + α] = a cos [±kx ωt + α] (5.6) mit: k = 2π Wellenzahl λ λ Wellenlänge c = λ ν Ausbreitungsgeschwindigkeit ν Frequenz ω = 2πν = 2π Kreisfrequenz T T Schwingungsdauer α Phasenwinkel Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt: c = λ ν = ω k (5.7) weitere Darstellungen: ψ = are e i(±kx ωt+α) ψ = Re{A e i(±kx ωt) } mit A = a e iα Periodizität: ψ[k(x ± λ)] = ψ(kx ± 2π) = ψ(kx) ψ[ω(t ± T )] = ψ(ω ± 2π) = ψ(ωt) b) ebene Welle als spezielle dreidimensionale Lösung: r n Abb. 5.1: Ebenen konstanter Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung n ψ = ψ( n r ct) (5.8)

46 46 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN harmonische ebene Welle als Spezialfall: ψ = a cos [k( n r ct) + α] ψ = Re{Ae ik( n r ct) } ψ = Re{Ae i( k r ωt) } (5.9) mit: k = k n Wellenvektor in Ausbreitungsrichtung der Welle. 5.4 Ebene harmonische elastische Wellen Darstellung der Verschiebung aus Longitudinal- und Transversalanteil: s = s l + s t (5.10) mit s l = A l e i( k l r ωt) s t = A t e i( k t r ωt) Wegen rot s l = 0 ergibt sich: s l = ( A l f(r)) = f(r) A l = e i( k l r ωt) kl A l = 0 k l A l = 0, kl A l ( s l ist Longitudinalwelle) Wegen div s t = 0 ergibt sich s t = ( A t f(r)) = f(r) A t = e i( k t r ωt) kt A t = 0 k t A t = 0, kt A t

47 5.5. ELASTISCHE WELLEN IM STAB 47 ( s t ist Transversalwelle) Bemerkung: Das Auftrennen in rein longitudinale und transversale Wellen ist nur für elastisch isotrope Medien möglich. Im Allgemeinen liegen Wellen gemischten Typs vor (gilt auch für kubische Einkristalle abgesehen von speziellen Ausbreitungsrichtungen). Ausbreitungsgeschwindigkeit in elastisch isotropen Medien: c l = ω k l = λ + 2µ ρ c t = ω k t = µ ρ (5.11) c l λ + 2µ = c t µ = 2(1 ν) 1 2ν > 2 Die Poisson sche Querkontraktionszahl ν liegt im Bereich 0 < ν < = 1/2 Mit ν 1/3 ergibt sich c l 2c t. 5.5 Elastische Wellen im Stab l >> A Longitudinalwellen: im Querschnitt homogene Deformation des Stabes, keine Kräfte auf Seitenflächen, Ausbreitung von Dehnungen und Kompressionen (Querkontraktionen breiten sich ungehindert aus, in elastisch angekoppelter Umgebung werden Gegenspannungen hervorgerufen). σ 11 0, sonst σ ij = 0 σ 11 = Eε 11 = E s 1 x 1 ρ s 1 = σ 1j x j = σ 11 x 1 = E 2 s 1 x s 1 t 2 = E ρ 2 s 1 x 2 1 (5.12) c = E ρ (5.13) E = µ(2µ + 3λ) µ + λ c < c l = 2µ + λ ρ

48 48 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN c ist kleiner als die Ausbreitungsgeschwindigkeit longitudinaler Wellen in unbegrenzten Medien. c = c l für Querkontraktionszahl ν = 0. µ = 1 E ν, λ = νe (1 + ν)(1 2ν) Ableitung anders: 2µ + λ E für ν = 0 Hooke : σ 11 = 2µε 11 + λ(2ε 22 + ε 11 ) 0 = 2µε 22 + λ(2ε 22 + ε 11 ) aus Symmetriegründen ε 33 = ε 22 λ ε 22 = 2(µ + λ) ε 11 σ 11 = µ(2µ + 3λ) ε 11 = Eε 11 µ + λ ρ s 1 = σ 11 x 1 = E 2 s 1 x 2 1 c = E ρ Longitudinalwelle keine Transversalwellen (σ 22 = σ 23 = σ 12 = 0) vorhanden, aber Biegungswellen existieren, Herleitung komplizierter!

49 5.6. ELASTISCHE WELLEN IN PLATTEN Elastische Wellen in Platten Die Platte sei in (x 1, x 2 ) - Richtung unendlich ausgedehnt, freie Oberflächen in x 3 - Richtung ebener Spannungszustand : σ 33 = σ 23 = σ 13 = 0, Deformation in x 3 -Richtung vorhanden, aber homogen (im Gegensatz dazu: ebene Deformation : ε 33 = ε 23 = ε 13 = 0, z.b. ebene transv. Wellen im unbegrenzten elastischen dreidimensionalen Medium) Hooke: σ 11 = 2µε 11 + λsp ε σ 22 = 2µε 22 + λsp ε 0 = 2µε 33 + λsp ε 0 = 2µε 23 0 = 2µε 31 σ 12 = 2µε 12 Eliminieren von ε 33 : ε 33 = λ 2µ + λ (ε 11 + ε 22 ) σ 11 = σ 22 = 4µ(µ + λ) 2µ + λ ε µλ 2µ + λ ε 22 4µ(µ + λ) 2µ + λ ε µλ 2µ + λ ε 11 ε 11 = s 1 x 1, ε 22 = s 2 x 2, ε 12 = 1 2 Die Bewegungsgleichungen sind mit ρ s i = σ ij x j : ( s1 + s ) 2 x 2 x 1 ρ s 1 = ρ s 2 = 4µ(µ + λ) 2µ + λ 4µ(µ + λ) 2µ + λ s 2 1 x 2 1 s 2 2 x µ 2 s 1 x µ 2 s 2 x 2 1 µ(2µ + 3λ) 2 s 2 + 2µ + λ x 1 x 2 µ(2µ + 3λ) 2 s 1 + 2µ + λ x 1 x 2 ebene Wellen in Richtung x 1 -Achse, die Auslenkungen sollen nur von x 1 abhängen.

50 50 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN ρ 2 s 1 4µ(µ + λ) = t2 2µ + λ s 2 1 x 2 1 ρ 2 s 2 t 2 = µ 2 s 2 x 2 1 = ρc 2 s2 1 = ρc 2 t x 2 1 s 2 2 x 2 1 Die longitudinale Welle hat kleinere Geschwindigkeit als die longitudinale Welle im unbegrenzten Medium. Vergleich: Geschwindigkeit der long. Welle Stab E ρ Platte E ρ 1 (1 ν 2 ) unbegrenztes Medium E ρ 1 (1 ν)2 2µ + λ (1 ν 2 ) 1 2ν = ρ = c l E: Elastizitätsmodul, ν: Poisson sche Querkontraktionszahl (0 < ν < 1/2) 5.7 Schwingende Saite begrenztes elastisches Medium: Mehrfachreflexionen elastischer Wellen an den Grenzflächen, Bewegungszustand kompliziert zu beschreiben. Vereinfachungen möglich, wenn in einer Richtung (Platten, Membranen) oder zwei Richtungen (Saite) die Ausdehnung relativ klein ist. Saite: Querdimension klein gegenüber Länge (kein Biegungswiderstand, besteht aus neutraler Faser ), Querschnittsfläche A, in der Abb. sind die Auslenkungen s(x) stark übertrieben gezeichnet.

51 5.7. SCHWINGENDE SAITE 51 s F t (x) α dv A dx s(x) s(x+dx) F t (x+dx) α + dα x x+dx x Abb. 5.3: Schwingende Saite: Auslenkungen und Tangentialkräfte Das Seil wird mit der Kraft σa gespannt. Die resultierende Kraft in Richtung s auf das ausgelenkte Saitenelement ist df s = σa [sin(α + dα) sin α] = σadα s x = tanα α, dα = 2 s x 2 dx df s = df T = Trägheitskraft = ρadx 2 s t = s 2 dm 2 t 2 2 s t = σ 2 s 2 ρ x = 2 s 2 v2 Dgl. der schwingenden Saite (5.14) x 2 mit v = σ ρ (5.15) Produktansatz: s(x, t) = ϕ(x)ψ(t) ϕ (x) ϕ(x) = 1 ψ (t) v 2 ψ(t) = const. = k2 ϕ (x) + k 2 ϕ(x) = 0 ψ (t) + k 2 v 2 ψ(t) = 0 Ortsabhängigkeit: Randbedingungen ϕ(0) = 0, ϕ(l) = 0 : ϕ = c 1 cos(kx) + c 2 sin(kx)

52 52 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN ϕ(0) = 0 c 1 = 0 ϕ(l) = 0 kl = νπ, ν = 1, 2, (ν = 0 : Trivialfall ruhende Saite) Lösung: ϕ ν (x) = c 2ν sin (k ν x) mit k ν = νπ l (5.16) ϕ ν (x) k ν Eigenfunktionen Eigenwerte Zeitabhängigkeit: ψ ν (t) = c 3ν cos(k ν vt) + c 4ν sin(k ν vt) Lösung für s(x, t): s ν (x, t) = ϕ ν (x)ψ ν (t) = sin(k ν x) [A ν cos(k ν vt) + B ν sin(k ν vt)] (5.17) mit A ν = c 2ν c 3ν, B ν = c 2ν c 4ν Anfangsbedingungen s(x, 0) = s 0 (x), ṡ(x, 0) = ṡ 0 (x) Wegen der Linearität der Wellengleichung gilt auch: s(x, t) = ν=1 sin(k ν x) [A ν cos(k ν vt) + B ν sin (k ν vt)] (5.18) Die Koeffizienten A ν und B ν dieser Fourier-Reihe werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt: s(x, 0) = s 0 (x) = A ν sin(k ν x) ν=1 ṡ(x, 0) = ṡ 0 (x) = B ν k ν v sin(k ν x) ν=1

53 5.7. SCHWINGENDE SAITE 53 mit A ν = 2 l l 0 B ν = 2 πνv s 0 (x) sin(k ν x)dx l 0 ṡ 0 (x) sin(k ν x)dx s(x, t) stellt stehende Wellen dar (Überlagerung von jeweils zwei nach rechts bzw. links laufenden Wellen). Es ist nämlich sin(k ν x) cos(k ν vt) = 1 2 {sin [k ν(x + vt)] + sin [k ν (x vt)]} sin(k ν x) sin(k ν vt) = 1 2 {cos [k ν(x + vt)] + cos [k ν (x vt)]} Die Randbedingungen bestimmen die Frequenz der Schwingungsmoden: ω 2 ν = k 2 νv 2 ω ν = k ν v = νπv l = νπ l σ ρ = 2πf ν f ν = ν 2l σ ρ (5.19) Grundschwingung: Oberschwingungen: ν = 1 (Tonhöhe) ν = 2, 3,... (Klangfarbe) Blasinstrumente: 2ν, 4ν, 6ν,... betont, Streichinstrumente 3ν, 5ν, 7ν,... betont Flügel: Anschlag des Hammers auf die Saite bei 1/9L : Oberton 9ν fehlt im Spektrum

54 54 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN s(x,0) s 0 (x,0): Auslenkung der Saite zur Zeit t=0 s(x,0)=0 s 0 0 L x L/2 L/4 L/ A ν ν Abb. 5.4: Schwingende Saite: Verhältnis der Amplituden der Obertöne ν = 2, 3,... relativ zum Grundton ν = 1 bei verschiedenen Ausgangsauslenkungen s 0 (x, 0) a T b T T/4 3T/4 T/4 3T/4 t t = 0 s 0 (x) T/2 t = 0 s 0 (x) T/ x/l x/l Abb. 5.4: Schwingende Saite: s(x, t) für zwei verschiedene Ausgangsauslenkungen Anfangsbedingungen s(t = 0) = s 0 (x), v(t = 0) = 0 Randbedingungen s(x = 0) = s(x = L) = 0

55 5.8. REFLEXION UND BRECHUNG ELASTISCHER WELLEN Reflexion und Brechung elastischer Wellen Annahme: ebene, harmonische, monochromatische Wellen in elastisch isotropen Medien I und II k l s l α II α t II α l z I k I t s t α I s l α t II s l II II s t k l k t II I k l Medium I x Medium II Abb. 5.5: Reflexion und Brechung einer longitudinalen ebenen Welle s l = s l0 e i( k l r ωt) s t = s t0 e i( k t r ωt) s l = s l0 e i( k l r ωt) s t = s t0 e i( k t r ωt) s l = s l0 e i( k l r ωt) kl = k l (sin α, 0, cos α) k l = k l (sin α, 0, cos α) k t = k t (sin α t, 0, cos α t) k l = k l (sin α l, 0, cos α l ) k t = k t (sin α t, 0, cos α t ) s l0 = A l (sin α, 0, cos α) s l0 = A l(sin α, 0, cos α) s l0 = A l (sin α l, 0, cos α l ) s t0 = A t( cos α t, 0, sin α t) = e 2 k t(a t/k t) s t0 = A t (cos α t, 0, sin α t ) = e 2 k t (A t /k t )

56 56 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN Randbedingungen: allgemein: s x, s y, s z stetig in der Grenzfläche σ zz, σ xz, σ yz stetig in der Grenzfläche wenn Medium I Flüssigkeit oder Gas: σ xz = σ yz = 0 in der Grenzfläche wenn Medium I Vakuum: σ zz = σ xz = σ yz = 0 in der Grenzfläche s l + s l + s t = s l + s t für z = 0 (5.20) s l0 e i( k l r ωt) + s l0 e i( k l r ωt) + = für z = 0 s l0 e i(k l sin αx ωt) + s l0 e i(k l sin αx ωt) + = für z = 0 Die Randbedingung darf nicht von x und nicht von t abhängen. k l sin α = k l sin α l = k t sin α t = k l sin α l = k t sin α t wegen k = ω c gilt daher sin α sin β = c α c β, (5.21) beschreibt Brechung und Reflexion longitudinaler und transversaler Wellen.

57 5.8. REFLEXION UND BRECHUNG ELASTISCHER WELLEN 57 Amplituden: aus folgt s l0 + s l0 + s t0 = s l0 + s t0 für z = 0 A l sin α + A l sin α A t cos α t = A l sin α l + A t cos α t (5.22) unbekannt: A l, A t, A l, A t A l cos α A l cos α A t sin α t = A l cos α l A t sin α t (5.23) weitere 2 Gleichungen ergeben sich aus der Stetigkeit von σ zz und σ xz in der Grenzfläche z = 0: s I = s l + s l + s t s I x = {A l sin α e ik l (sin αx+cos αz) + A l sin α e ik l (sin αx cos αz) s I y = 0 A t cos α t e ik t (sin α t x cos α t z) }e iωt s I z = {A l cos α e ik l (sin αx+cos αz) A l cos α e ik l (sin αx cos αz) s II = s l + s t A t sin α t e ik t (sin α t x cos α t z) }e iωt s II x = {A l sin α l s II y = 0 s II z = {A l cos α l e ik e ik l (sin α l x+cos α l (sin α l x+cos α l z) + A t cos α t l z) A t sin α t e ik t (sin α t x+cos α t z) }e iωt e ik t (sin α t x+cos α t z) }e iωt für z = 0 ergibt sich (die Exponentialausdrücke sind weggelassen): s I x x = (A l + A l)k l sin 2 α A t cos α t sin α tk t = ε I xx s I z z s I x = (A l + A l)k l cos 2 α + A t cos α t sin α tk t = ε I zz z = (A l A l)k l sin α cos α + A t cos 2 α tk t s I z x = (A l A l)k l cos α sin α A t sin 2 α tk t ε I xz = (A l A l)k l cos α sin α + A tk t Sp ε I = ε I 11 + ε I 33 = (A l + A l)k l (1 2 sin 2 α t) 2

58 58 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN s II z z s II x x s II x z s II z x Hooke sches Gesetz: = A l cos 2 α l k l A t sin α t cos α t k t = ε II zz = A l sin 2 α l k l + A t cos α t sin α t k t = ε II xx = A l sin α l cos α l k l + A t cos 2 α t k t = A l cos α l sin α l k l A t sin 2 α t k t ε II xz = A l sin α l cos α l k l + A Sp ε II = ε II xx + ε II zz = A l k l t k t (1 2 sin 2 α t ) 2 σ ij = ρ{2c 2 t ε ij + (c 2 l 2c 2 t )δ ij Sp ε} σzz I = σzz II σ zz = ρ{cl 2 (ε xx + ε zz ) 2c 2 t ε xx } ρ {c l2 k l (A l + A l) 2c t2 k l (A l + A l) sin 2 α + 2c t2 k ta t cos α t sin α t} = ρ {c 2 l A l k l 2c 2 t A l sin 2 α l k l 2c 2 t A t cos α t sin α t k t } (5.24) σ I xz = σ II xz ρ {k l (A l A l)c t2 sin 2α + k ta tc t2 cos 2α t} = ρ {k l A l c t 2 sin 2α l + A t k t c t 2 cos 2α t } (5.25) Aus den 4 Gleichungen (22) - (25) lassen sich die relativen Amplituden bestimmen. A l, A l, A t und A t A l A l A l A l Anwendungen (seismische Wellen) siehe Seminar

59 5.9. OBERFLÄCHENWELLEN (RAYLEIGH-TYP) Oberflächenwellen (Rayleigh-Typ) Gesucht werden Lösungen der Bewegungsgleichungen, die elastische Wellen beschreiben, die sich in Nähe der Oberfläche des elastischen Halbraums ausbreiten und nur wenig in das Körperinnere eindringen. Bewegungsgleichung: ψ = c 2 ψ (5.26) ψ ist irgendeine Komponente von s t oder s l. Ansatz für eine ebene monochromatische Oberflächenwelle, die sich in x-richtung ausbreitet: ψ = ψ 0 e i(kx ωt) f(z) (5.27) Die Differentialgleichung hat für k 2 ω2 c 2 Gl. (27) wird daher Mit ψ = ω 2 ψ und ψ = k 2 ψ + ψ f f (z) ergibt sich ω 2 ψ = c 2 ( k 2 + f f )ψ. f (k 2 ω2 c 2 )f = 0 > 0 Lösungen, die im Körperinneren exponentiell abklingen: f(z) e k 2 ω2 c 2 z ψ = ψ 0 e i(kx ωt) e κz mit κ = k 2 ω2 c 2 (5.28) Der Verschiebungsvektor s = s t + s l, dessen einzelne Komponenten die Gl. (26) mit c = c t bzw. c l, erfüllen, wird aus den Randbedingungen bestimmt. Es ergibt sich, dass die Verschiebung der Oberflächenwelle nicht einfach in zwei Anteile mit Verschiebung parallel bzw. senkrecht zur Ausbreitungsrichtung zerlegt werden kann wie bei Volumenwellen. Die Anteile s t und s l des Verschiebungsvektors werden als quellenfrei bzw. rotationsfrei angenommen.

60 60 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN Randbedingungen: σ xz = σ yz = σ zz = 0 für z = 0 (5.29) Mit dem Hooke schen Gesetz ergibt sich σ zz = 0 = 2ρc 2 t ε zz + ρ(c 2 l 2c 2 t )(ε xx + ε yy + ε zz ) = ρc 2 l ε zz + ρ(c 2 l 2c 2 t )ε xx σ xz = 0 = 2ρc 2 t ε xz σ yz = 0 = 2ρc 2 t ε yz c 2 l s z z + (c2 l 2c 2 t ) s x x = 0 (5.30) s x z + s z x = 0 (5.31) s y z + s z y = 0 (5.32) (Wegen des Ansatzes (27), keine Abhängigkeit der Verschiebungsvektorkomponenten von y, folgt: s y z = 0 s y = const. = 0), d.h., der Vektor s liegt in der (x, z)-ebene. Beziehungen zwischen den Komponenten des Transversal - und des Longitudinal anteils: Transversal anteil: Wegen folgt mit κ t = k 2 ω2 c 2 t div s t = 0 = s tx x + s tz z = 0 und s e ikx κ tz iks tx κ t s tz = 0. Ansatz mit zu bestimmender Konstanten a: Longitudinal anteil: s tx = +κ t a e ikx κ tz iωt s tz = +ika e ikx κtz iωt (5.33)

61 5.9. OBERFLÄCHENWELLEN (RAYLEIGH-TYP) 61 Wegen folgt mit κ l = k 2 ω2 c 2 l rot s l = 0 und s e i(kx κ lz) s lx z s lz x = 0 iks lz + κ l s lx = 0. Ansatz mit zu bestimmender Konstanten b: s lx = k b e ikx κ lz iωt s lz = +iκ l b e ikx κ lz iωt (5.34) Bestimmung der Konstanten a und b: Die Komponenten der gesamten Verschiebung s x = s lx + s tx, s z = s lz + s tz müssen den Gln. (30) und (31) genügen. (Gl. (32) wurde bereits verarbeitet): a(k 2 + κ 2 t ) + 2bkκ l = 0 c 2 l bκ 2 l 2ac 2 t kκ t + c 2 l bk 2 2c 2 t bk 2 = 0 (5.35) Unter Berücksichtigung von κ 2 l = k 2 ω2 c 2 l und κ 2 t = k 2 ω2 c 2 t sowie mit den Abkürzungen ergibt sich η = c t c l, ξ = c R = 1 ω c t c t k (5.36) κ l = k 1 ξ 2 η 2 und κ t = k 1 ξ 2. (5.37) Aus dem Gleichungssystem (15) wird 2 1 ξ 2 a +(2 ξ 2 ) b = 0 (2 ξ 2 ) a +2 1 ξ 2 η 2 b = 0 (5.38) c R = ω k ist die Geschwindigkeit der Rayleighwelle. Das homogene Gleichungssystem Gl. (38) hat nichttriviale Lösungen (Verschwinden der Determinante) für 4 1 ξ 2 1 ξ 2 η 2 = (2 ξ 2 ) 2 (5.39)

62 62 KAPITEL 5. WELLEN IN ELASTISCHEN MEDIEN Es gibt nur eine Wurzel dieser Gleichung mit den Bedingungen ξ positiv reell, ξ < 1 (κ l und κ t müssen reell sein). Das Verhältnis der Amplituden von Transversal- und Longitudinalanteil ist Diskussion: η 0, 25 0, 65 a b = sqr1 ξ2 2 (5.40) ξ = 0, 955 0, 90, c R = ξc t Die Bewegung der Teilchen erfolgt auf Ellipsen (siehe Seminar) Abnahme der Welle mit der Tiefe: e κtz = e 1 = 1 = 0, 37 2, 71 Eindringtiefe: d t = 1 1 κ t = k d t 0, 5 λ 1 ξ = λ 2 2π 1 ξ 2 Entsprechend ergibt sich d l 0, 18 λ ξ = c R /c t η = c t /c l Abb. 5.7: Ausbreitungsgeschwindigkeit c R der Oberflächenwelle (Rayleigh-Typ) Lösung (reell, 0 < ξ < 1) der Gleichung ξ 6 8ξ 4 + (24 16η 2 )ξ (η 2 1) = 0

63 5.10. OBERFLÄCHENWELLEN (LOVE-TYP) Oberflächenwellen (Love-Typ) Oberflächenwellen vom Love-Typ (Love 1911) sind Scherwellen, die sich in einer Schicht (Medium) unterhalb der Oberfläche ausbreiten (s. Abb.). h z y Oberf läche Medium 1 Medium 2 x Abb. 5.8: Ausbreitung von Love-Wellen als Scherwellen im Medium 1 in Richtung der x-achse Ansatz mit ebenen Wellen, die sich in x-richtung ausbreiten: Medium 1: Medium 2: s 1x = s 1z = 0 s 1y = ae i(kx ωt) f(z) (5.41) s 2x = s 2z = 0 s 2y = be i(kx ωt) e κ 2z (5.42) Aus der Wellengleichung ergibt sich: Medium 1: s 1y = c 2 t1 s 1y ω 2 s 1y = c 2 t1( k 2 + f f + ( ω 2 c 2 t1 f )s 1y k 2 ) f = 0 (5.43) Wenn man für die Lösung dieser Differentialgleichung sin / cos-funktionen ansetzt, ergibt sich s 1y = [a 1 sin(κ 1 z) + a 2 cos(κ 1 z)]e i(kx ωt) (5.44) mit ω 2 κ 1 = k c 2 2 (5.45) t1