LabVIEW: Mathematische Operationen
|
|
- Benjamin Hertz
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 1 (15) LabVIEW: Mathematische Operationen Die vorliegenden Übersichten und Beispiele sollen eine erste Übersicht, ein einfacheres Auffinden von Blockelementen und ein Anwenden in einfachen Beispielen ermöglichen. Weitere Informationen sind über Hilfe Kontexthilfe anzeigen zu erhalten. 1. Konstanten Häufig vorkommende Konstanten aus der Mathematik und Physik findet man unter Funktionen Nummerisch - Konstanten 2. Vergleichselemente Unter Funktionen Vergleich sind in den ersten beiden Zeilen leicht verstehbare Operatoren zu finden. Die ersten drei Elemente der dritten Zeile sind bei Anwendungen der Automatisierung hilfreich: Auswählen: Schaltet wahlweise einen von zwei Werten auf den Ausgang Max und Min: ordnet zwei Werte an. Liegen an den Eingängen Arrays an, werden die Werte elementweise verglichen und in einem Array ausgegeben. Wertebereich prüfen und erzwingen: Begrenzt einen Eingabewert auf einen festgelegten Bereich vergleich.vi mathematik.odt Nov Seite 1 von 15
2 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 2 (15) 3. Verknüpfungselemente Grundverknüpfungen und einige gebräuchliche Funktionen stehen als Funktionsblock bereit. Über Hilfe Kontexthilfe anzeigen erhält man weitere Informationen. Das Würfelsymbol erzeugt eine Zufallszahl zwischen 0 und Funktionen einer Variablen Der Ausdrucksknoten (aus Funktionen Nummerisch) erlaubt die Eingabe einer Formel mit allen gängigen Funktionen mit festen (konstanten) Parametern. Zu beachten ist die Schreibweise für Potenz (**). Dezimalzahlen müssen mit Dezimalpunkt geschrieben werden. Ausdrucksknoten Funktionsblöcke stehen für alle Grundfunktionen bereit. 5. Express-VI: Formel Das Express-VI Formel ermöglicht die Eingabe oder Editierung einer Formel über eine taschenrechner-ähnliche Oberfläche. Mehrere Eingabegrößen sind möglich. Zu beachten ist die Schreibweise für Potenz (**). Dezimalzahlen müssen mit Dezimalpunkt geschrieben werden. 6. Formelknoten Der Formelknoten ermöglicht auch umfangreiche Berechnungen in Formelschreibweise. Es sind auch Fallunterscheidungen (Verzweigung) möglich. Ausdrücke müssen mit Semikolon abgeschlossen werden. Zwischenergebnisse können zur weiteren Berechnung verwendet werden. Zu beachten ist die Schreibweise für Potenz (**). Dezimalzahlen müssen mit Dezimalpunkt geschrieben werden. mathematik.odt Nov Seite 2 von 15
3 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 3 (15) 7. Zeitfunktionen Die Zeit wird als eigenständige Signalart (Zeitstempel) geführt. Dabei werden die Sekunden seit Freitag, 01. Januar Uhr Weltzeit gezählt. Mit dem Blockelement Sekunden nach Datum/Zeit wird ein Cluster aus nummerischen Werten erzeugt. Auf diese Elemente kann z.b. mit dem Cluster-Element Nach Namen aufschlüsseln zugegriffen werden. 8. Beschreibende Statistik Eine Auswahl von Funktionen der beschreibenden Statistik kann in der Simulation betrachtet werden. Aus den Momenten der Verteilung lassen sich Schiefe und Wölbung der Verteilung berechnen. mathematik.odt Nov Seite 3 von 15
4 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 4 (15) Die Funktionen sind unter Mathematik Wahrscheinlichkeit & Statistik zu finden. Das Programm ist unter statistik.vi gespeichert. 9. Komplexe Zahlen Eine komplexe Zahl z lässt sich durch zwei relle Zahlen darstellen. Entweder werden Realteil re und Imaginärteil im angegeben oder es werden Betrag r und Winkel Θ verwendet. Die dargestellten Blockelemente dienen der Umwandlung der Formate. Das erste Element erzeugt die konjugiert-komlexe Zahl (mit negiertem Imagierteil) Die Blockelemente für Verknüpfungen und Funktionen erkennen den angelegten Datentyp und führen die entsprechenden Operationen aus (polymorphe Funktionen). 10. Integral und Differenzial Bei der nummerischen Integration und Differentiation synchron zur Datenerfassung werden die Blockelemente aus Signalverarbeitung Punkt für Punkt Integral und Differenzial verwendet. Es wird von einer äquidistanten Abtastung ausgegangen. Der Takt Δt wird in Sekunden angegeben (nicht ms). Bei der Differentiation wird die Methode zwei Intervalle zentral ausgeführt. Um für den ersten Signalwert ebenfalls Ableitungswerte zu erhalten, muss der Vorgängerwert angegeben werden. Im Beispiel wird dazu der erste aktuelle Wert angegeben. Dadurch beginnt die Ableitung mit dem Wert 0. mathematik.odt Nov Seite 4 von 15
5 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 5 (15) intdiff.vi Für eine Berechnung nach Abschluss der Datenerfassung stehen die Blockelemente aus Mathematik Differential- und Integralrechnung mit unterschiedlichen Berechnungsverfahren zur Verfügung. 11. Matrizen Für die Berechnung mit Matrizen stehen alle gängigen Rechenoperationen und Verfahren zum Umgang mit speziellen nummerischen Problemstellungen zur Verfügung ( Mathematik Lineare Algebra ). Mit dem dargestellten Beispiel lgs.vi lässt sich ein Lineares Gleichungssystem lösen. Ein weiteres umfangreiches vi aus den LabVIEW-Beispielen ist Linear Algebra Calculator.vi. 12. Kurven-Interpolation Bei der Kurven-Interpolation werden die Intervalle zwischen vorgegebenen Stützstellen durch je eine eigene Funktion gefüllt. In Sonderfällen kann eine einzige Funktion alle Intervalle füllen. Typische Funktionen zur Interpolation sind Lineare Funktion, Cosinus-Funktion, Polynomfunktion und Spline- Funktion. Im Skript Verarbeitung eines Einzelsignals sind zwei Beispiele aufgeführt: Zur Linearen Interpolation (linterpol.vi) wurde das sub-vi sub_linterpol.vi entwickelt, mit sich Einzelwerte berechnen lassen. Die Interpolation durch eine Spline-Funktion ist im Beispiel spline.vi dargestellt. mathematik.odt Nov Seite 5 von 15
6 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 6 (15) 13. Kurven-Anpassung Bei der Kurvenanpassung wird ein vorgegebener Kurventyp so an die Datenpunkte angepasst, dass die Summe der Abstandsquadrate minimal ist. Im vorliegenden Fall mit stückweise definierten Spline- Funktionen gibt es zusätzliche Forderungen an die Krümmung, die mit Parameter zwischen 0 und 1 festgelegt werden (splanpass.vi). mathematik.odt Nov Seite 6 von 15
7 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 7 (15) Am häufigsten sind wohl die Lineare Anpassung (Ausgleichsgerade, Lineare Regression) und die Polynom- Regression anzutreffen. Viele weitere Funktionstypen sind im Bereich der Technik anzutreffen. 14. Optimierung Bei der Optimierung wird versucht, eine Zielgröße an einen vorgegebenen Wert anzunähern, zu minimieren oder zu maximieren. Dazu werden Parameterwerte variiert. Sind die Parameter binäre Größen (0 und 1), dann führt ein systematisches Probieren aller Kombinationen meist am schnellsten zum Ziel. Bei kontinuierlichen Parameterwerten wird häufig der Algorithmus nach Marquardt-Levenberg angewendet, bei der die Funktion partiell nach den Parametern (nummerisch) abgeleitet und der Vektor der stärksten Änderung bestimmt wird. Nebenbedingungen werden zusätzlich berücksichtigt. Im ersten Beispiel sollen aus zehn Massen diejenigen ausgewählt werden, deren Gesamtmasse möglichst wenig über einem vorgegebenen Wert liegt (z.b. Verpackung von Kartoffeln). Alle logischen Kombinationen werden dabei getestet. mathematik.odt Nov Seite 7 von 15
8 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 8 (15) Im zweiten Beispiel (entfaltung.vi) kommt der Marquardt-Levenberg-Algorithmus zum Einsatz, mit dem zwei überlagerte spektroskopische Peaks getrennt und dann integriert werden. Die Zählschleife wird hier durch ein sub-vi (vector.vi) gesteuert, wobei bei jedem Schleifendurchlauf der nächste Wert aus dem Array vector übergeben wird. Ein weiteres Beispiel, die Anpassung Kurve einer potentiometrischen Titration (Anpassung durch Logistische Funktion ) befindet sich im Skript Verarbeitung eines Einzelsignals. mathematik.odt Nov Seite 8 von 15
9 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 9 (15) 15. Filterung Bei der Filterung werden die Frequenzanteile im Signal unterschiedlich stark verstärkt bzw. abgeschwächt. Bei der digitalen Filterung werden Nachbarwerte (Breite s) des Signals mit festen Faktoren multipliziert und addiert. Diese Filterfaktoren werden benötigt, wenn die Filterung in einem anderen System (Mikrocontroller, Tabellenkalkulation) ausgeführt werden soll. In LabVIEW sind Blockelemente vorbereitet, mit denen sowohl der Entwurf als auch die Ausführung der Signal-Filterung ausgeführt werden. Im Beispiel wurde ein Notch-Filter (Sperrfilter) verwendet. Filterentwurf Der Filterentwurf, d.h. die Bestimmung der Filterkoeffizienten ist ein aufwändiges Rechenverfahren, bei dem die Durchlass-, Sperr- und Übergangsbedingungen berücksichtigt werden (z.b. Parks-McClellan- Verfahren). Entsprechende Blockelemente stehen unter Signalverarbeitung Filter IIR bzw. FIR zur Verfügung. Mit der vorliegenden Beschaltung werden die 11 FIR-Filterkoeffizienten eines Tiefpassfilters mit der Grenzfrequenz von 30Hz bei einer Abtastrate von 100Hz berechnet. Es wird keine spezielle Fensterfunktion ausgeführt, die Koeffizienten ergeben in der Summe den Wert 1. Mit den Koeffizienten lassen sich auch einem anderen Programmiersystem (z.b. Tabellenkalkulation) entsprechende Filterungen durch einfache algebraische Verknüpfungen realisieren. Filterung Im Beispiel notchfilter.vi lässt sich ein bestimmter Frequenzbereich unterdrücken. Dies kann z.b. erforderlich sein, wenn die 50Hz-Netzfrequenz oder die 100Hz-Helligkeitsänderung einer Lampe als Störung in einem Signal enthalten ist. Unten ist ein Sperrbereich von ca. 4,5Hz bis 5,8Hz dargestellt. mathematik.odt Nov Seite 9 von 15
10 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 10 (15) Im Programm lässt sich eine Dreiteilung erkennen: Signalerzeugung durch drei Sinusgeneratoren und einem Rauschgenerator für weißes Rauschen Filterung mit einem vorbereiteten Blockelement equi-ripple-bandsperre Fouriertransformation (FFT) mit Darstellung nur der Amplituden 16. Fouriertransformation Die Fourier-Transformation ist im vorigen Beispiel bereits enthalten. Der rote Hintergrund stellt das Amplitudenspektrum des ungefilterten Signals dar. Als weiße Balken im Vordergrund ist das Spektrum nach der Filterung zu sehen. Bei der Transformation wird das Signal so behandelt, als ob es periodisch fortgesetzt würde. Dadurch können an den Ansatzstellen Sprünge auftreten, die zu Störungen im Spektrum führen. Dies lassen sich durch eine geeignete Fensterung reduzieren. Die Transformation liefert Frequenzanteile bis zur Hälfte der Abtastfrequenz. Je länger das abgetastete Signal ist (Blocklänge), desto feiner ist Auflösung im Frequenzbereich. Bei vielen Anwendungen reicht das Amplitudenspektrum aus, zur vollständigen Beschreibung (auch zur Rücktransformation in den Zeitbereich) ist zusätzlich das Phasenspektrum erforderlich. mathematik.odt Nov Seite 10 von 15
11 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 11 (15) Die Gruppierung der Spektrallinien hat seine Ursache im rationalen Tastgrad (Verhältnis 4/5=0,8). Im Skript Sensorik mit NI 9219 ist ein Beispiel der Analyse des Signals eines Beschleunigungssensors dargestellt. mathematik.odt Nov Seite 11 von 15
12 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 12 (15) 17. Differenzialgleichung Differenzialgleichungen (DGLn) in sog. impliziter Schreibweise haben die Form f x, y, y ', y' ',..., y n =0 Oft gibt es nur eine Gleichung, mehrere Gleichungen bilden ein Differenzialgleichungssystem. Die höchste Ableitung bestimmt den Grad des Systems bzw. der Gleichung. Gewöhnliche DGLn besitzen nur Ableitungen nach einer Variablen, andernfalls handelt es sich um paritielle DGLn. Ableitungen nach der Variablen Zeit t werden meist mit einem Punkt geschrieben z.b. ẏ, ÿ. Anfangswertprobleme sind typisch für technische Fragestellungen. Für einen bestimmten Wert der Variablen x bzw. t sind feste Werte für y (bzw. alle y i bei Systemen) und deren Ableitungen vorgegeben. Für diese Vorgaben wird eine spezielle Lösung gesucht. Nummerische Verfahren entwickeln die Funktionen durch Iteration. Sie unterscheiden sich nach der Vorgehensweise z.b. durch eine automatische Anpassung der Schrittweite. Dabei ist das Euler-Verfahren das einfachste (und ungenaueste), Runge-Kutta verfeinert durch Zwischenschritte und die Radau-Verfahren enthalten weitere Optimierungen. Erstes Beispiel: Traktrix Legt man eine Taschenuhr mit einer Kette der Länge l auf den Tisch auf der Höhe y und fährt mit dem Ende der Kette der Tischkante x entlang, beschreibt die Uhr eine bestimmte Kurve, eine Traktrix. x, y und l hängen über den Pythagoras miteinander zusammen und die Kette bildet immer die Tangente an die Kurve. x= l 2 y 2 y' x = y x l 2 y x 2 Die Differenzialgleichung muss in der impliziten Form geschrieben werden 0=y1+y/sqrt(27^2-y^2). Die Variable y steht für y(x), y1 steht für die erste Ableitung y'(x). Im Programm wird der String aus dem Eingabewert aufgebaut. mathematik.odt Nov Seite 12 von 15
13 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 13 (15) Radau-traktrix.vi Zweites Beispiel: Federpendel In den LabVIEW-Beispielen findet sich DAE Spring Pendulum Simulation.vi. Es beschreibt durch ein gewöhnliches lineares Differenzialgleichungssystem 2. Ordnung (v x =x'; v y =y') mit fünf Gleichungen die Position der Masse in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bedeuten k: Federkonstante im Beispiel k=1000 f: Kraft in Federrichtung (Anfangswert f=-150) l: Länge der senkrecht hängenden Feder normiert auf l=1 m: Masse normiert auf m=1 Ein separates Funktions-VI DAE Spring Pendulum Simulation_Func.vi berechnet aus aktuellen Werten der Koordinaten, der Geschwindigkeiten und dem Wert von f, sowie der Ableitungen jeweils die linke Seite der Gleichungen. Es tauscht die Werte über das Element data mit dem Hauptprogramm aus. Das Hauptprogramm enthält im Wesentlichen das Blockelement DAE Radau 5th Order.vi, das den gesamten Radau-Algorithmus mit Schrittweitensteuerung für die Berechnung der zeitlichen Entwicklung der Größen enthält. Ausgegeben wird ein 1D-Array der Zeitwerte und ein 2D-Array mit den Werten für x, y, v x, v y und f. Gegenüber dem realen Verhalten sind in den Gleichungen nicht berücksichtigt: die Länge l ändert sich mit der Auslenkung die Feder hat eine Eigenmasse es entstehen Verluste durch Verformungswärme in der Feder es entstehen Verluste durch Luftreibung In der letzten DGL mus l stehen statt l², was aber wegen der Normierung zu keinen Rechenfehlern führt. Die Ableitungen nach der Zeit werden mit x' statt mit ẋ bezeichnet. mathematik.odt Nov Seite 13 von 15
14 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 14 (15) Das unten ausgeführte Beispiel dae_main.vi mit dae_func.vi liefert lediglich die beiden Arrays. Im VI aus der Beispielsammlung (hier links) ist dies um eine schöne Grafik ergänzt. mathematik.odt Nov Seite 14 von 15
15 Carl-Engler-Schule Karlsruhe LabVIEW: Mathematische Operationen 15 (15) Das obige dae_func.vi ist über eine Referenz mit dem DAE Spring Pendulum Simulation.vi verknüpft. In ihm werden die Werte der einzelnen Gleichungen berechnet. mathematik.odt Nov Seite 15 von 15
1 Grundlagen. 1.1 Verfahren und Beispiele
13 1 Grundlagen 1.1 Verfahren und Beispiele Der Zustand technischer Systeme lässt sich durch numerische und logische Größen beschreiben. Das Verhalten dieser Systeme kann, meist nur näherungsweise, durch
MehrKurvenanpassung mit dem SOLVER
1 Iterative Verfahren (SOLVER) Bei einem iterativen Verfahren wird eine Lösung durch schrittweise Annäherung gefunden. Der Vorteil liegt in der Verwendung einfacher Rechenoperationen und darin, dass der
MehrSchnelle Fouriertransformation (FFT)
Schnelle Fouriertransformation (FFT) Inhaltsverzeichnis 1 Schnelle Fouriertransformation (FFT)... 3 1.1 Das Realtime-Konzept der Goldammer-Messkarten... 3 1.2 Das Abtasttheorem oder Regeln für die Abtastung
MehrInhaltsverzeichnis. 2 Diagramme Standarddiagramme Signalverlaufsdiagramm Signalverlaufsgraph...
7 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen... 13 1.1 Verfahren und Beispiele... 13 1.2 Mathematik-Grundlagen... 15 1.2.1 Konstanten... 15 1.2.2 Vergleichselemente... 16 1.2.3 Verknüpfungselemente... 17 1.2.4 Funktionen
MehrIngenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen
Hans Benker Ingenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB und MuPAD in der Anwendung vieweg X Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Ingenieurmathematik
MehrSpringers Mathematische Formeln
Lennart Rade Bertil Westergren Springers Mathematische Formeln Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler Übersetzt und bearbeitet von Peter Vachenauer Dritte,
MehrSpringers Mathematische Formeln
г Lennart Rade Bertil Westergren Springers Mathematische Formeln Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschaftswissenschaftler Übersetzt und bearbeitet von Peter Vachenauer Inhaltsverzeichnis
Mehr1. Auszug: Numerische Differentiation
Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV II: Signalanalyse 1 (7) 1. Auszug: Numerische Differentiation 1.1 Zweck des Verfahrens Die Differentiation lässt sich geometrisch als Steigungsbestimmung beschreiben.
MehrPrüfer: Dr. M. Lenz, Prof. Dr. M. Rumpf. Klausurdauer: 180 Minuten. Bitte Namen, Vornamen und Matrikel-Nr. einsetzen. Name:... Vorname:...
Klausur zum Modul Ingenieurmathematik II (B22) 20. März 2014 für den Bachelorstudiengang Geodäsie und Geoinformation In der Klausur können 10 Punkte pro Aufgabe, also insgesamt 100 Punkte erreicht werden.
MehrMathematik I+II. für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016
Mathematik I+II für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 I. Wiederholung Schulwissen 1.1. Zahlbereiche 1.2. Rechnen mit reellen Zahlen 1.2.1. Bruchrechnung 1.2.2. Betrag 1.2.3. Potenzen 1.2.4. Wurzeln
MehrMathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Klausur- und Übungsaufgaben
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Klausur- und Übungsaufgaben 632 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung Bearbeitet von Lothar Papula 4.,
MehrIngenieurinformatik II Numerik für Ingenieure Teil 2
Hochschule München, FK 03 MB SS 013 Name Vorname Matrikelnummer Sem.Gr. Hörsaal Platz Ingenieurinformatik II Numerik für Ingenieure Teil Bearbeitungszeit : 60 Minuten Aufgabensteller : Dr. Reichl Hilfsmittel
MehrDigitale Signalverarbeitung für Einsteiger
Digitale Signalverarbeitung für Einsteiger Dipl.-Ing. Erich H. Franke, DK6II erich.franke@afusoft.com 54. Weinheimer UKW-Tagung 2009 Errata: Nobody is perfect Im Skriptum haben sich kleine aber ärgerliche
MehrGrundlagen, Vorgehensweisen, Aufgaben, Beispiele
Hans Benker - Wirtschaftsmathematik Problemlösungen mit EXCEL Grundlagen, Vorgehensweisen, Aufgaben, Beispiele Mit 138 Abbildungen vieweg TEIL I: EXCEL 1 EXCEL: Einführung 1 1.1 Grundlagen 1 1.1.1 Tabellenkalkulation
MehrDas wissen Sie: 6. Welche Möglichkeiten zur Darstellung periodischer Funktionen (Signalen) kennen Sie?
Das wissen Sie: 1. Wann ist eine Funktion (Signal) gerade, ungerade, harmonisch, periodisch (Kombinationsbeispiele)? 2. Wie lassen sich harmonische Schwingungen mathematisch beschreiben und welche Beziehungen
MehrInhaltsverzeichnis. Wolfgang Eichholz, Eberhard Vilkner. Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik ISBN:
Inhaltsverzeichnis Wolfgang Eichholz, Eberhard Vilkner Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik ISBN: 978-3-446-41775-5 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-41775-5
Mehr3. Berechnen Sie auch die Beschleunigung a als Funktion der Zeit t. 4. Erstellen Sie ein SIMULINK Modell, das x(t) numerisch berechnet.
unit 1 / Seite 1 Einführung Differenzialgleichungen In physikalischen Anwendungen spielt oft eine Messgrösse in Abhängigkeit von der Zeit die Hauptrolle. Beispiele dafür sind Druck p, Temperatur T, Geschwindigkeit
MehrInhaltsverzeichnis. Christopher Dietmaier. Mathematik für Wirtschaftsingenieure. Lehr- und Übungsbuch. ISBN (Buch):
Inhaltsverzeichnis Christopher Dietmaier Mathematik für Wirtschaftsingenieure Lehr- und Übungsbuch ISBN (Buch): 978-3-446-43801-9 ISBN (E-Book): 978-3-446-43832-3 Weitere Informationen oder Bestellungen
MehrHöhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure
Günter Bärwolff Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure unter Mitarbeit von Gottfried Seifert ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG Spekt rum K-/1. AKADEMISCHER VERLAG AKADEMISC Inhaltsverzeichnis
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1 Komplexe Zahlen Das Auffinden aller Nullstellen von algebraischen Gleichungen ist ein Grundproblem, das in der Physik
MehrZusammenfassung der 1. Vorlesung
Zusammenfassung der. Vorlesung Einordnung und Motivation Grundlegende Definitionen Kontinuierliches Signal Quantisiertes Signal Zeitdiskretes Signal Digitales Signal Auflösung der A/D- Umsetzer der MicroAutoBox
MehrNeoklassische Produktions- und Kostenfunktion Mathematische Beschreibung zu einer Modellabbildung mit Excel
Neoklassische Produktions- und Kostenfunktion Mathematische Beschreibung zu einer Modellabbildung mit Excel Dieses Skript ist die allgemeine Basis eines Modells zur Simulation der ökonomischen Folgen technischer
MehrREPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK. Gerhard Merziger Thomas Wirth
REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK Gerhard Merziger Thomas Wirth 6 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Fl Formelsammlung F2 Formelsammlung Alphabete 11 Zeichenindex 12 1 Grundbegriffe 14 1.1 Logische
MehrTheorie digitaler Systeme
Theorie digitaler Systeme Vorlesung 15: Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Einführung Entwurfsmethoden für IIR-Filtern sind für Zeitbereich und Bildbereich bekannt Finite-Impulse-Response
MehrInhaltsverzeichnis Grundlagen Analysis von Funktionen einer Veränderlichen Reihen 189
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Logische Grundlagen........................... 2 1.2 Grundlagen der Mengenlehre...................... 8 1.3 Abbildungen................................ 15 1.4 Die
MehrDie Differentialgleichung :
Die Differentialgleichung : Erstellt von Judith Ackermann 1.) Definition, Zweck 1.1) verschiedene Arten von Differentialgleichungen 2.) Beispiele und Lösungswege 2.1) gewöhnliche Differentialgleichungen
MehrÜbungen mit dem Applet Interpolationspolynome
Interpolationspolynome 1 Übungen mit dem Applet Interpolationspolynome 1 Ziele des Applets... 2 2 Übungen mit dem Applet... 2 2.1 Punkte... 3 2.2 y=sin(x)... 3 2.3 y=exp(x)... 4 2.4 y=x 4 x 3 +2x 2 +x...
MehrMathematik I/II für Verkehrsingenieurwesen 2007/08/09
Prof. Dr. habil. M. Ludwig Mathematik I/II für Verkehrsingenieurwesen 2007/08/09 Inhalt der Vorlesung Mathematik I Schwerpunkte: 0 Vorbetrachtungen, Mengen 1. Lineare Algebra 1.1 Matrizen 1.2 Determinanten
Mehr2 Algebra AlgebraderreellenZahlen Zahlentheorie KomplexeZahlen Algebraische Gleichungen...63
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen. Diskrete Mathematik...9 1.1 Logik...9 1.2 Mengenlehre...14 1.3 BinäreRelationenundFunktionen...17 1.4 AlgebraischeStrukturen...21 1.5 Graphentheorie...33 1.6 Codierung...37
MehrEuler-Verfahren. exakte Lösung. Euler-Streckenzüge. Folie 1
exakte Lösung Euler-Verfahren Folie 1 Euler-Streckenzüge Ein paar grundlegende Anmerkungen zur Numerik Die Begriffe Numerik bzw. Numerische Mathematik bezeichnen ein Teilgebiet der Mathematik, welches
MehrFundamentale Lösungen von linearen homogenen Differentialgleichungen. 1-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Fundamentale Lösungen von linearen homogenen Differentialgleichungen 1-E Eigenschaften einer linearen DGL 2. Ordnung Eine homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
MehrMathematische Grundlagen der dynamischen Simulation
Mathematische Grundlagen der dynamischen Simulation Dynamische Systeme sind Systeme, die sich verändern. Es geht dabei um eine zeitliche Entwicklung und wie immer in der Informatik betrachten wir dabei
MehrSystemtheorie. Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Systemtheorie Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Einführung Viele technischen Anwendungen lassen sich zumindest näherungsweise
MehrMATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Differentialrechnung für Funktionen mehrerer
Mehrkünstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten).
Computergrafik / Animation künstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten). Punkte, werden auch "Kontrollpunkte" genannt Wesentlicher Punkt:
Mehr5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
MehrComputergrafik / Animation. künstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten).
Computergrafik / Animation künstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten). Punkte, werden auch «Kontrollpunkte» genannt Wesentlicher Punkt:
MehrSiSy1, Praktische Übung 3. Fourier-Analyse (periodischer Signale) kann als Fourier-Reihe 1 beschrieben werden:
/5 Fourier-Analyse (periodischer Signale) Grundlagen Ein periodisches, kontinuierliches Signal x(t) der Periodendauer kann als Fourier-Reihe beschrieben werden: wie folgt ( ) = c k x t + e j k 2πf t k=
MehrMathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie
Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie mit ausführlichen Erläuterungen und zahlreichen Beispielen Bearbeitet von Prof. Dr. Guido Walz 1. Auflage 2010. Taschenbuch. xi, 580 S.
MehrSYSTEMANALYSE 2 Kapitel 7: Zeitdiskrete Modelle
Universität Koblenz-Landau Fachbereich 7: Natur-und Umweltwissenschaften Institut für Umweltwissenschaften Dr. Horst Niemes(Lehrbeauftragter) SYSTEMANALYSE 2 Kapitel 7: Zeitdiskrete Modelle 1. Zeitdiskrete
MehrSystemtheorie Teil B
d + d z + c d z + c uk d + + yk z d + c d z + c Systemtheorie eil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt Musterlösungen - Signalabtastung und Rekonstruktion...
MehrMathematik für Ingenieure
Ziya ~anal Mathematik für Ingenieure Grundlagen, Anwendungen in Maple und C++ 2., aktualisierte und erweiterte Auflage STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER Inhaltsverzeichnis 1 Grundwissen 1.1 Absolutwert............
MehrSystemanalyse und Modellbildung
Systemanalyse und Modellbildung Universität Koblenz-Landau Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften Institut für Umweltwissenschaften Dr. Horst Niemes(Lehrbeauftragter) 7. Zeitdiskrete Modelle 7.1
MehrInhaltsverzeichnis Grundlagen Analysis von Funktionen einer Veränderlichen Reihen 191
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Logische Grundlagen........................... 2 1.2 Grundlagen der Mengenlehre...................... 8 1.3 Abbildungen................................ 15 1.4 Die
MehrDifferentialgleichungen
Differentialgleichungen Viele physikalische Probleme können mathematisch als gewöhnliche Differentialgleichungen formuliert werden nur eine unabhängige Variable (meist t), z.b. Bewegungsgleichungen: gleichmäßig
Mehr1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung 1.1 Grundlagen 1.2 Euler-Vorwärts-Verfahren 1.3 Runge-Kutta-Verfahren 1.4 Stabilität 1.5 Euler-Rückwärts-Verfahren 1.6 Differenzialgleichungssysteme 5.1-1 1.1 Grundlagen
MehrAls Summendarstellung der komplexen Zahl bezeichnen wir den bekannten Ausdruck
A.1 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN In diesem Abschnitt werden die mathematischen Grundlagen zusammengestellt, die für die Behandlung von Übertragungssystemen erforderlich sind. Unter anderem sind dies die komplexen
MehrSystemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner
Systemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6. Approximation eines periodischen Signals
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 2. Juli 2018 1/1 Wir geben einige wesentliche Sätze über bestimmte Integrale an, deren Beweise man in den Standardlehrbüchern der Analysis findet.
MehrFouriertransformation, z-transformation, Differenzenglei- chung
Kommunikationstechnik II 1.Übungstermin 31.10.2007 Fouriertransformation, z-transformation, Differenzenglei- Wiederholung: chung Als Ergänzung dieser sehr knapp gehaltenen Wiederholung wird empfohlen:
MehrApproximation von Funktionen
von Funktionen Fakultät Grundlagen Februar 6 Fakultät Grundlagen von Funktionen Übersicht Problemstellung Taylorpolynom Taylorenreihe Zusammenhang von e-funktion und trigonometrischen Funktionen 3 Fakultät
MehrMathematik für angewandte Wissenschaften
Mathematik für angewandte Wissenschaften Christopher Dietmaier Mathematik für angewandte Wissenschaften Prof. Dr. Christopher Dietmaier Ostbayerische Technische Hochschule Amberg-Weiden Weiden, Deutschland
MehrRRL GO- KMK EPA Mathematik. Ulf-Hermann KRÜGER Fachberater für Mathematik bei der Landesschulbehörde, Abteilung Hannover
RRL GO- KMK EPA Mathematik Jahrgang 11 Propädeutischer Grenzwertbegriff Rekursion /Iteration Ableitung Ableitungsfunktion von Ganzrationalen Funktionen bis 4. Grades x 1/(ax+b) x sin(ax+b) Regeln zur Berechnung
MehrModellprädiktive Regelung nichtlinearer sampled-data Systeme
Modellprädiktive Regelung nichtlinearer sampled-data Systeme L. Grüne 1 D. Nešić 2 J. Pannek 1 1 Mathematisches Institut Universität Bayreuth 2 EEE Department University of Melbourne 13. Februar 2006 Workshop
Mehr5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
MehrAngewandte Mathematik mit Mathcad
JosefTrölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 1 Einführung in Mathcad Dritte, aktualisierte Auflage SpringerWienNewYork 1. Beschreibung der Oberfläche und Bearbeitung eines Arbeitsblattes
Mehr:. (engl.: first harmonic frequency)
5 Fourier-Reihen 5.1 Schwingungsüberlagerung 5.2 "Oberschwingungen" f 0 :. (engl.: fundamental frequency) :. (engl.: first harmonic frequency) Jede ganzzahlige (n) vielfache Frequenz von f 0 nennt man
MehrAnalytische Geometrie
Der fx-991 DE X im Mathematik- Unterricht Analytische Geometrie Station 1 Schnittgerade zweier Ebenen Da der Taschenrechner nur eindeutige Lösungen eines Gleichungssystems liefert, kann er nur Schnittpunkte
Mehr9. Parametrische Kurven und Flächen
9. Parametrische Kurven und Flächen Polylinien bzw. Polygone sind stückweise lineare Approximationen für Kurven bzw. Flächen Nachteile: hohe Zahl von Eckpunkten für genaue Repräsentation erforderlich interaktive
MehrInhaltsverzeichnis. Daniel von Grünigen. Digitale Signalverarbeitung. mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme
Inhaltsverzeichnis Daniel von Grünigen Digitale Signalverarbeitung mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme ISBN (Buch): 978-3-446-44079-1 ISBN (E-Book): 978-3-446-43991-7 Weitere
Mehr1 Die drei Bewegungsgleichungen
1 Die drei Bewegungsgleichungen Unbeschleunigte Bewegung, a = 0: Hier gibt es nur eine Formel, nämlich die für den Weg, s. (i) s = s 0 + v t s ist der zurückgelegte Weg, s 0 der Ort, an dem sich der Körper
Mehr6. Vorlesung. Rechnen mit Matrizen.
6. Vorlesung. Rechnen mit Matrizen. In dieser Vorlesung betrachten wir lineare Gleichungs System. Wir betrachten lineare Gleichungs Systeme wieder von zwei Gesichtspunkten her: dem angewandten Gesichtspunkt
MehrVorbemerkungen. Die Programmieroberfläche des ClassPad
Vorbemerkungen Erfahrungen zeigen, dass die Programmiermöglichkeiten des ClassPad im Unterricht kaum genutzt werden. Dabei bieten aus unserer Sicht viele Situationen die Gelegenheit, die Programmieroberfläche
MehrAngewandte Mathematik am Rechner 1
Michael Wand Institut für Informatik. Angewandte Mathematik am Rechner 1 SOMMERSEMESTER 2017 Kapitel 5 Grundlagen Analysis Kontinuierliche Mengen Vollständige Mengen Folgen Iterative Berechnungen Grenzwert:
MehrSYS_A - ANALYSIEREN. Statistik. NTB Druckdatum: SYS A. Histogramm (Praxis) Gaußsche Normalverteilung (Theorie) Gebrauch: bei n > 100
SYS_A - ANALYSIEREN Statistik Gaußsche Normalverteilung (Theorie) Gebrauch: bei n > 100 Histogramm (Praxis) Realisierung Lage Streuung Zufallsvariable Dichte der Normalverteilung Verteilungsfunktion Fläche
MehrDiese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können: Was beschreibt der Differenzenquotient? Wie kann man sich die Steigung im vorstellen? Wa
103 Diese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können: Was beschreibt der Differenzenquotient? Wie kann man sich die Steigung im vorstellen? Was bedeutet das für die Ableitungen? Was ist eine
MehrNumerik für Ingenieure I Wintersemester 2008
1 / 32 Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 23.1.2009 2 / 32 Wiederholung Stückweise Polynominterpolation Stückweise lineare Interpolierende
MehrDifferenzialgleichungen
Differenzialgleichungen Fakultät Grundlagen April 2011 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Problemstellung Richtungsfeld Beispiel 2 Eulerverfahren Heunverfahren
MehrDifferentialgleichungen
Differentialgleichungen Eine einfache Differentialgleichung löst man bereits beim Integrieren in der Oberstufe. Sie hat die Form y (x) = f(x) und y wird gesucht. Beispiel: y (x) = 6x² - 4x + 1 fl y(x)
MehrGrundlagen komplexe Zahlen. natürliche Zahlen
Grundlagen komplexe Zahlen Die Zahlenbereichserweiterungen von den natürlichen Zahlen hin zu den reellen Zahlen waren dadurch motiviert, bestimmte Rechenoperationen uneingeschränkt ausführen zu können.
MehrHandreichungen für den Unterricht mit grafikfähigen Taschenrechnern ohne CAS (GTR)
Hessisches Kultusministerium Landesabitur 08 Handreichungen für den Unterricht mit grafikfähigen Taschenrechnern ohne CAS (GTR). Methodisch-didaktische Bemerkungen zum Unterricht mit GTR Der Unterricht
MehrMathematik für. Wirtschaftswissenschaftler. Basiswissen mit Praxisbezug. 4., aktualisierte und erweiterte Auflage
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 4., aktualisierte und erweiterte Auflage Knut Sydsaeter Peter Hammond mit Arne Strom Übersetzt und fach lektoriert durch Dr. Fred Böker
MehrRechner. Verlauf ansehen. Ausdruck teilen. Graph Gleichungen. OXY Seite öffnen. SCI/ENG Schreibweise. Eigene Gleichung zuweisen
Rechner Taste Funktion Verlauf ansehen Ausdruck teilen Zurück (bis zu 30 Schritte) Vorwärts (bis zu 30 Schritte) Graph Gleichungen Eigene Gleichung zuweisen OXY Seite öffnen Bruch/Grad Konvertierung SCI/ENG
Mehr*** Viel Erfolg! ***
Hochschule München, FK 03 WS 2017/18 Ingenieurinformatik C-Programmierung Bachelorstudiengang: Studienbeginn vor WS13/14 (Kombinationsprüfung) ** Studienbeginn ab WS13/14 bis WS15/16 ** Studienbeginn ab
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrSerie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Serie 13 1. Prüfungsaufgabe 4, Winter 2014. Bestimmen Sie die Funktion, für die gilt: An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist die Steigung des Graphen der
MehrMathematik I+II Frühlingsemester 2019 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik I+II Frühlingsemester 219 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 46 8. Lineare Algebra: 5. Eigenwerte und
MehrSkript EXCEL Matrizenrechnung/Lineare Gleichungssysteme
Skript EXCEL 2010 Matrizenrechnung/Lineare Gleichungssysteme 1. Einleitung Eine Matrixformel kann mehrere Berechnungen durchführen und dann entweder ein einzelnes Ergebnis oder mehrere Ergebnisse liefern.
MehrSystemtheorie. Vorlesung 25: Butterworth-Filter. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Systemtheorie Vorlesung 5: Butterworth-Filter Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Übersicht Für den Filterentwurf stehen unterschiedliche Verfahren zur Verfügung Filter mit
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2018 Steven Köhler Wintersemester 2018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 10
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist
MehrStatistik mit MATHCAD und MATLAB
Hans Benker Statistik mit MATHCAD und MATLAB Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Mit 31 Abbildungen Springer Einleitung 1 1.1
MehrVorwort Abbildungsverzeichnis Teil I Mathematik 1
Inhaltsverzeichnis Vorwort Abbildungsverzeichnis V XIII Teil I Mathematik 1 1 Elementare Grundlagen 3 1.1 Grundzüge der Mengenlehre... 3 1.1.1 Darstellungsmöglichkeiten von Mengen... 4 1.1.2 Mengenverknüpfungen...
MehrWilhelm Haager. Computeralgebra. mit Maxima. Grundlagen der Anwendung und Programmierung. Fachbuchverlag Leipzig. im Carl Hanser Verlag
Wilhelm Haager Computeralgebra mit Maxima Grundlagen der Anwendung und Programmierung Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag Inhalt Q Einführung 13 1.1 Grundlegendes 13 1.1.1 Motivation 14 1.1.2
MehrZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 1. H(z) a) Zeichnen Sie direkt auf das Aufgabenblatt das Betragsspektrum an der Stelle 1.
ZHAW, DSV, FS200, Rumc, DSV Modulprüfung 7 + 4 + 5 + 8 + 6 = 30 Punkte Name: Vorname: : 2: 3: 4: 5: Punkte: Note: Aufgabe : AD-DA-Umsetzung. + + +.5 +.5 + = 7 Punkte Betrachten Sie das folgende digitale
MehrInhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57
Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5
MehrKlausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung
INSTITUT FÜR INFORMATIONSVERARBEITUNG UNIVERSITÄT HANNOVER Appelstraße 9A 3067 Hannover Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung Datum:.08.006 Uhrzeit: 09:00 Uhr Zeitdauer: Stunden Hilfsmittel:
MehrDigitale Signalverarbeitung Bernd Edler
Digitale Signalverarbeitung Bernd Edler Wintersemester 2008/2009 Wesentliche Inhalte der Vorlesung Abtastung z-transformation Lineare zeitinvariante Systeme Diskrete Fouriertransformation Systeme bei stochastischer
MehrHTL Kapfenberg SPLINE Interpolation Seite 1 von 7.
HTL Kapfenberg SPLINE Interpolation Seite von 7 Roland Pichler roland.pichler@htl-kapfenberg.ac.at SPLINE Interpolation Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Polynome, Gleichungssysteme, Differenzialrechnung
MehrMathematik für Ingenieure
Mathematik für Ingenieure Grundlagen - Anwendungen in Maple Bearbeitet von Ziya Sanal 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 2015. Buch mit CD-ROM. XII, 816 S. Kartoniert ISBN 978 3 658 10641
Mehr- Numerik in der Physik - Simulationen, DGL und Co. Max Menzel
- Numerik in der Physik - Simulationen, DGL und Co. Max Menzel 4.1.2011 1 Übersicht Differenzialgleichungen? Was ist das? Wo gibt es das? Lösen von Differenzialgleichungen Analytisch Numerisch Anwendungen
MehrKlassische Polynom Interpolation.
Klassische Polynom Interpolation. Bestimme ein Polynom (höchstens) n ten Grades p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n, das die gegebenen Daten interpoliert, d.h. p n (x i ) = f i, 0 i n. Erster
Mehr