LEHRVERANSTALTUNGSPLANUNG

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1 LEHRVERANSTALTUNGSPLANUNG Lehrveranstaltung Titel der Lehrveranstaltung: LV-Nummer: Kurzbezeichnung: Typ: Modul: Lage im Curriculum: MA8_QM_MS MS ECTS: 3,0 SWS: Integrierte Lehrveranstaltung Quantitative Methoden (ME-1) 1. Semester 2,0 SWS Lektor/in Titel, Vor-, Nachname: -Adresse: Sprechstunden: Dipl.-Ing. Mag. Denise Pachernegg Nach Vereinbarung Kompetenzerwerb (Leitidee und Lehrziele) Die Studierenden sollen mathematische Methoden und Werkzeuge aus dem Bereich der Integralrechnung, der Linearen Algebra und der Linearen Optimierung kennenlernen, um in weiterer Folge konkrete Problemstellungen aus unterschiedlichen Anwendungsbereichen selbstständig lösen zu können. Dabei soll auf die ausführliche Demonstration der Anwendbarkeit mathematischer Instrumente, auf Beschreibung, Erklärung, Analyse und Optimierung ökonomischer Vorgänge, Situationen und Probleme Wert gelegt werden. Ein wichtiges Ziel besteht auch darin, dass die Mathematik in all ihren Facetten im Bewusstsein der Studierenden als eine Schlüsseldisziplin der heutigen Gesellschaft verankert wird. Zu diesem Zweck soll der Aktualität und Brisanz der Mathematik genügend Platz eingeräumt werden. Es sollte erfahrbar sein, wie Mathematik viele Wissenschaften wie auch unser tägliches Leben mit meist unsichtbaren - Fäden durchzieht. Die Mathematik soll den Studierenden als lebendige Wissenschaft verständlich, motivierend und einprägsam nähergebracht werden, wobei das Verständnis der weitreichenden Querverbindungen zu vielfältigen Anwendungsbereichen im Vordergrund stehen soll. Nach Besuch und erfolgreichem Abschluss dieser Lehrveranstaltung sollen die Studierenden in der Lage sein, mit Hilfe der Instrumente der Integralrechnung ökonomische Modelle einfach und elegant darzustellen und diese einem weitreichenden Lösungsprozess zu unterziehen. Mit den Grundelementen und Methoden der Linearen Algebra können die Studierenden auf prägnante Weise beliebig große verflochtene volks- und betriebswirtschaftliche Systeme beschreiben und analysieren (in Zusammenhang mit Input-Output- Analyse, mehrstufigen Produktionsprozessen, innerbetrieblicher Leistungsverrechnung, ). Sie sind dazu in der Lage, die in diesem Zusammenhang auftretenden linearen Gleichungssysteme zu modellieren, Kriterien hinsichtlich der Lösbarkeit zu

2 formulieren und diese zu lösen. Zugleich besitzen sie mit den grundlegenden Inhalten der Linearen Algebra die notwendigen Grundlagen für eines der wichtigsten Verfahren des Operations Research, der Linearen Optimierung. Im Gegensatz zu den in der Analysis behandelten Optimierungsaufgaben, die die Einhaltung von Gleichungen in Nebenbedingungen fordern, zeichnet sich die Lineare Optimierung durch eine deutlichere Praxisnähe aus, da anstelle von Gleichungen auch Ungleichungen als Nebenbedingungen zugelassen sind. Die Studierenden verfügen über ausreichende Kenntnisse, die zugrunde liegende Idee des Simplex-Algorithmus zu verstehen und dieses Verfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme gewinnbringend einzusetzen. Diese Lehrveranstaltung soll einen Einblick in die Gedankenwelt der Mathematik aufzeigen: Die Studierenden sollen dazu angeleitet werden, Mathematik zu verstehen und in speziellen Aufgabenstellungen anzuwenden, also auftretenden Probleme zu analysieren, in die Sprache der Mathematik zu übersetzen und nach Möglichkeit auch Lösungsprozessen zu unterwerfen. Weiters soll den Studierenden die Abstraktionsfähigkeit als ein unabdingbarer Bestandteil mathematischen Denkens näher gebracht werden. Den Studierenden soll aufgezeigt werden, dass mathematische Beschreibungs-, Erklärung- und Optimierungsmodelle große Teilbereiche der ökonomischen Theorie und in zunehmendem Maße auch der ökonomischen Praxis beherrschen. Das Hauptaugenmerk dieser Lehrveranstaltung soll darauf gerichtet werden, mathematische Ideen zu verstehen, um die dazugehörigen Techniken zu beherrschen und andererseits diese zunächst abstrakten Techniken zielgerichtet und sinnvoll für ökonomische Anwendungen nutzbar zu machen. Position innerhalb des Studienplans Vorausgesetzte Module/Lehrveranstaltungen: Beitrag zu nachfolgenden Modulen/Lehrveranstaltungen: Lehrveranstaltung Wirtschaftsmathematik (in erster Linie die Aspekte der Differentialrechnung) - Eingangsvoraussetzungen Es bestehen über die Kenntnis der Inhalte der oben angeführten vorausgesetzten Lehrveranstaltung hinaus keine weiteren Eingangsvoraussetzungen. Struktureller Aufbau der Lehrveranstaltung (Lehrinhalte und konkrete Lehrziele) Block 1 4 Integralrechnung Unbestimmtes Integral Integrationsmethoden Bestimmtes Integral Anwendungen des bestimmten Integrals: Flächenberechnungen Mittelwert der Funktionswerte die Hauptaspekte der Integralrechnung zu verstehen und wiederzugeben

3 Volumenberechnungen Block 5 und 6 Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung Gewinnfunktionen die Konsumentenrente die Produzentenrente die weitreichenden praxisrelevanten Einsatzgebiete der Integralrechnung aufzuzeigen und diese auch in Hinblick auf konkrete in diesem Zusammenhang auftretende Problemstellungen einzusetzen den Unterschied in Hinblick auf die Herleitung des unbestimmten und des bestimmten Integrals zu verdeutlichen die zielführendste Integrationsmethode zur Lösung vorliegender Integralausdrücke auszuwählen und das zugrunde liegende Integral mit Hilfe dieser zu lösen den Mittelwert der Funktionswerte einer gegebenen Funktion berechnen können Flächen- und Volumsberechnungen mit Hilfe des bestimmten Integrals durchzuführen das mathematische Elementarrüstzeug aus dem Bereich der Integralrechnung in Hinblick auf ökonomische Sachverhalte und Fragestellungen anzuwenden den Deckungsbeitrag grafisch zu veranschaulichen und unter Zuhilfenahme der Integralrechnung zu berechnen die Bedeutung der Grenzerlösund der Grenzkostenfunktion zu verstehen und mit Hilfe beider Funktionen den Gewinn sowohl auf grafischem als auch auf rechnerischem Weg zu bestimmen

4 Block 7 und 8 Vektoren Rechnen mit Vektoren Lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit Basis und Dimension Block 9 Matrizen Spezielle Matrizen Rechnen mit Matrizen das Konzept der Konsumentenrente zu verstehen und auf konkrete Aufgabenstellungen anzuwenden das Konzept der Produzentenrente zu verstehen und auf konkrete Aufgabenstellungen anzuwenden den Begriff des Vektors zu erklären das weitreichende Anwendungsfeld der Vektorrechnung zu verstehen die wichtigsten elementaren Rechenregeln auf dem Gebiet der Vektorrechnung sowohl grafisch zu veranschaulichen als auch anzuwenden den Begriff der Linearkombination von Vektoren zu definieren die lineare Unabhängigkeit von Vektoren zu überprüfen zu begründen, worauf die Begriffsbildung der zweidimensionalen Ebene bzw. des dreidimensionalen Raums zurückzuführen sind den Begriff der Dimension und der Basis eines Vektorraums zu definieren die Dimension eines Vektorraums zu berechnen festzustellen, ob eine Menge von Vektoren eine Basis eines Vektorraums bildet oder nicht

5 Block Lineare Gleichungssysteme: Algorithmus von Gauß Rang einer Matrix Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Invertieren von Matrizen Determinanten das Konstrukt des Vektors in geeigneter Weise zu erweitern den Begriff der Matrix zu definieren die zugrunde liegende Zweckmäßigkeit bei der Einführung von Matrizen in Hinblick auf konkrete Anwendungsbereiche zu verstehen spezielle Matrizen bzw. Vektoren in geeigneter Weise zu benennen und die wichtigen Eigenschaften dieser Matrizen bzw. Vektoren zu erläutern die Grundrechnungsarten im Bereich der Matrizenrechnung anzuwenden die für die Matrizenmultiplikation zu erfüllenden Voraussetzung zu erklären den Begriff der symmetrischen und der transponierten Matrix zu definieren Probleme aus der Praxis in Form von linearen Gleichungssystemen zu modellieren den Begriff des linearen Gleichungsystems in mathematischer Schreibweise wiederzugeben ein vorliegendes lineares Gleichungssystem unter Verwendung von Matrizen mit Hilfe der erweiterten Koeffizientenmatrix anzuschreiben die zugrunde liegende Strategie beim Algorithmus von Gauß zu begründen und bei der Beschreibung dieses Verfahrens einzusetzen

6 Block 13 und 14 Block 15 und 16 Matrizen in Betriebs- und Volkswirtschaft: Innerbetriebliche Materialverflechtung Leontief-Modell Lineare Optimierung: Grafisches Lösungsverfahren der primale Simplex- der Frage nach der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Rangkriteriums der auftretenden Matrizen nachzugehen die Bedeutung der Invertierung von Matrizen in Hinblick auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zu verstehen die Begriffe der regulären bzw. singulären Matrix zu definieren die inverse Matrix mit Hilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens zu bestimmen die Determinante einer quadratischen Matrix zu berechnen den Zusammenhang zwischen der Determinante und der Lösbarkeit des zugrunde liegenden linearen Gleichungssystems zu erklären die wechselseitigen Zusammenhänge zwischen Determinanten- und Rangkriterium in Hinblick auf die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme zu formulieren und anzuwenden die Werkzeuge aus dem Bereich der Matrizenrechnung im Bereich der innerbetrieblichen Materialverflechtung gewinnbringend einzusetzen das Leontief-Modell in seiner Allgemeinheit mathematisch zu formulieren und auf konkrete Aufgabenstellungen anzuwenden

7 Block 17 und 18 Algorithmus Vertiefung der Linearen Optimierung: der duale Simplex- Algorithmus Nicht-Standardprobleme den Unterschied zwischen der Lösung von Optimierungsproblemen mit Hilfe der Differentialrechnung und der Linearen Optimierung herauszuarbeiten Fragestellungen aus der Praxis als lineares Optimierungsproblem zu formulieren und mit Hilfe grafischer Überlegungen zu lösen alle unterschiedlichen Arten der Lösbarkeit linearer Optimierungsprobleme anzuführen und grafisch zu veranschaulichen die Grundidee des primalen Simplex-Verfahrens wiederzugeben und näher zu erläutern ein lineares Optiomierungsproblem in Standardform anzugeben bzw. auf Standardform umzuformen bzw. zu begründen, warum dieser Versuch fehlschlagen muss den Unterschied zwischen Basis- und Nichtbasisvariablen zu verstehen die auftretenden Einträge im Simplex-Endtableau zu interpretieren die Grundidee des dualen Simplexverfahrens wiederzugeben und die Zielsetzung bei der Anwendung dieses Verfahrens zu erläutern mit Hilfe des dualen Simplex- Verfahrens eine zulässige Ba-

8 sislösung eines linearen Optimierungsproblems, welches nicht auf Standardform umzuformen ist, zu bestimmen Nichtstandardprobleme auf geeignete Weise umzuformen, um die Anwendbarkeit des primalen bzw. dualen Simplex-Algorithmus zu gewährleisten Lehrmethoden und Lernorganisation Fachdidaktik: Das mathematische Elementarrüstzeug wird in Form eines Frontalvortrags vermittelt. Dabei wird darauf Wert gelegt, dass die Studierenden auftretende Querverbindungen zwischen einzelnen Teilaspekten erkennen und aktiv in etwaige Lösungsprozesse eingebunden werden. Die Theorie soll dabei um eine Vielzahl von Beispielen und Übungsaufgaben ergänzt werden, die das Gefühl für die Beherrschung und Anwendbarkeit stärken sollen. Selbstgesteuertes Lernen (Arbeitsbelastung nach ECTS): Das Hauptaugenmerk besteht darin, dass die Studierenden in der Lage sind, die vermittelnden Inhalte auf konkrete Aufgabenstellungen umzumünzen, diese Beispiele zu lösen und die eigenständigen Lösungen im Anschluss vor den anderen Studierenden zu präsentieren, wobei neben der Korrektheit vor allem auf die Qualität der Präsentation in Hinblick auf die Nachvollziehbarkeit der einzelnen Gedankenschritte Wert gelegt wird. Selbstgesteuertes Lernen bildet einen wesentlichen Aspekt dieser Lehrveranstaltung. Die von den Studierenden in diesem Zusammenhang zu erbringenden Leistungen beinhalten: die Vorbereitung ausgewählter Übungsbeispiele im Rahmen des Ankreuzsystems eine darüber hinaus gehende Vorbereitung auf die Abschlussklausur Die Lehrveranstaltung besitzt einen Umfang von 3 ECTS- Punkten, was einem tatsächlichen Arbeitsaufwand von 75 Stunden (à 60 min) entspricht. Dieser von den Studierenden zu leistende Arbeitsaufwand verteilt sich auf folgende Komponenten: Präsenzeinheiten (18 Blöcke) Abschlussklausur Vorbereitung ausgewählter Übungsbeispiele im Rahmen des Ankreuzsystems Lernaufwand für Abschlussklausur Summe 27,0 Stunden 1,5 Stunden 16,5 Stunden 30,0 Stunden 75,0 Stunden

9 Unterrichtssprache: Beitrag der Studierenden: Deutsch Um zu gewährleisten, dass sich die Studierenden aktiv mit den vermittelten Inhalten auseinander setzen und immer auf dem Laufenden bleiben, werden die Studierenden im Rahmen des Ankreuzsystem dazu angehalten, ausgewählte Übungsbeispiele eigenständig zu erarbeiten und den zugrunde liegenden Lösungsprozess anschaulich und nachvollziehbar vor den Studienkollegen zu präsentieren. Leistungsbeurteilung Art: Schriftliche Abschlussklausur (60 Punkte), aktive Mitarbeit in der Lehrveranstaltung (10 Punkte) und Präsentation von ausgewählten Übungsbeispielen gemäß des nachfolgend beschriebenen Systems (30 Punkte) Termin: Für die Abschlussklausur lt. Lehrveranstaltungsplan Leistungsbewertung: Die Lehrveranstaltungsnote setzt sich aus folgenden Teilbereichen zusammen: Abschlussklausur 60 Ankreuzsystem 30 Mitarbeit 10 Summe 100 Bei der Abschlussklausur und beim Ankreuzsystem müssen jeweils 50% der Punkte erreicht werden, um einen positiven Abschluss zu ermöglichen. Ankreuzsystem: Am Tag der Lehrveranstaltung wird den Studierenden eine Liste ausgehändigt, auf der jene Beispiele angekreuzt werden können, die die Studierenden imstande sind, auf der Tafel zu präsentieren. In der Lehrveranstaltungseinheit werden die Beispiele durch Bestimmung von Freiwilligen bzw. Unfreiwilligen (gemäß der Liste) vorgerechnet. Die Gesamtpunktezahl der angekreuzten Beispiele ergibt sich durch, wobei k Anzahl der angekreuzten Beispiele f Durchschnittspunkte der Tafelleistungen k σ Anzahl der ankreuzbaren Beispiele

10 Tafelleistung: Das Vorrechnen der Beispiele an der Tafel wird entsprechend der gebotenen Leistung mit einer Punktezahl von 0 bis 5 Punkten bewertet, wobei neben der mathematischen Korrektheit auch auf die Qualität der Präsentation Wert gelegt wird. Sollte die Präsentationsweise darauf schließen lassen, sich nicht selbstständig mit dem Beispiel auseinandergesetzt zu haben, so wird sich dies in einer dementsprechenden Bewertung der Tafelleistung niederschlagen. Des Weiteren werden ausnahmslos alle für diese Lehrveranstaltungseinheit angekreuzten Beispiele gestrichen. Die jeweils aktuelle Übersicht über die bereits erworbenen Punkte können unter unter Lehre Campus 02 von den Studierenden eingesehen werden. Gesamtbeurteilung Die Gesamtbeurteilung erfolgt gemäß des folgenden Notenschlüssels: 89,5 100 Sehr gut 79,5 89 Gut 65,5 79 Befriedigend 50,5 65 Genügend 0 50 Nicht genügend Hilfsmittel: Organisatorischer Ablauf: 1. Wiederholungstermin Bei der Abschlussklausur ist ein Taschenrechner (ohne CAS) sowie eine Formelsammlung, die auch selbst verfasst werden kann (aber keine Übungsbeispiele enthalten darf) erlaubt. Die Abschlussklausur dauert 90 Minuten. Werden die oben dargestellten Voraussetzungen für eine positive Beurteilung der Lehrveranstaltung nicht erfüllt, besteht die Möglichkeit zu einem Wiederholungstermin anzutreten. Der Wiederholungstermin wird als schriftliche Klausur abgehalten, welche in Inhalt, Umfang und Beurteilung der ersten Klausur entspricht. Lehrunterlagen Als Lehrunterlagen dienen Skriptum Übungsbeispielsammlung zu Beide Skripten stehen auf der Lernplattform moodle zum Download zur Verfügung. Literatur als Basis für die Diplomprüfung

11 Für die Diplomprüfung gilt zusätzlich zum Skriptum folgende Literaturauswahl: Suhl/Mellouli: Optimierungssysteme: Kapitel 2 Tietze: Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik: Kapitel 6, 8, 9, 10 Weiterführende Literatur Jeweils in aktueller Auflage: Gramlich: Anwendungen der Linearen Algebra mit MATLAB Kohn: Mathematik für Ökonomen Mayer: Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler Lehrveranstaltungsanwesenheit Es besteht Anwesenheitspflicht. Sonstige Hinweise -