Entscheidungsunterstützung/ Künstliche Intelligenz. Teil 3
|
|
|
- Linda Förstner
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Entscheidungsunterstützung/ Künstliche Intelligenz Teil 3 BiTS, Sommersemester 2005 Dr. Stefan Kooths KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 1
2 Gliederung 1. Einführung 2. Entscheidungslehre 3. Entscheidungsunterstützungssysteme 4. Künstliche Intelligenz im Überblick 5. AHP und ANP 6. GENEFER-Technologien 7. Prognosen (Finanzzeitreihen) 8. Simulation (Spielkonsolenmarkt) 9. MSS-Produktpräsentationen KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 2
3 AHP,ANP AHP = Analytic Hierarchy Process unterstützt multikriterielle Entscheidungsfindung endogene Gewichts- und Prioritätenermittlung durch Paarvergleiche (Verhältnisskala) quantitative und qualitative Kriterien Analytisch = Zerlegung der Gesamtentscheidung (mit anschließender Synthese!) Hierarchiestufen, Lokalisierung von Einzelentscheidungen (Top-Down-Beziehungen zwischen Zielen) Prozess = Vorgehensmodell (keine magische Formel) ANP = Analtyic Network Process AHP Feedback (Netz statt Hierarchie) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 3
4 Weitere zentrale Eigenschaften relative Vergleiche keine absoluten Scoring-Punkte keine ad-hoc Gewichte Toleranz gegenüber leichter Inkonsistenz Eingabefehler Konzentrationsmängel Informationsdefizite Modellfehler inkonsistente Welt kompensatorisch Grundkonsistenz Literatur: Forman/Selly (2001), Ch.4 notwendig, nicht hinreichend kein Primärziel für Entscheidungsprozess KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 4
5 Grundstruktur KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 5
6 Beispiel: PKW-Kauf KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 6
7 Ablauf (Grobversion) Stufe 1 Aufstellung der Entscheidungshierarchie Stufe 2 Paarvergleiche über die Entscheidungselemente (= Alternativen und Kriterien) Stufe 3 Errechnung von Prioritäten innerhalb der Entscheidungselemente und Konsistenzcheck Rangreihung der Alternativen durch Aggregation der Prioritäten der Entscheidungselemente über die gesamte Hierarchie KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 7
8 Ablauf (Detailversion) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 8
9 Axiome Axiom 1 (paarweise Reziprozität) Entscheider kann jeweils zwei Elemente in Bezug auf ein Merkmal paarweise auf einer reziproken Skala vergleichen (a ij = 1/a ji ) Axiom 2 (Endlichkeit) Ein Element wird niemals als unendlich viel besser als ein anderes betrachtet (a ij << ) Axiom 3 (Hierarchisierbarkeit) Ein Entscheidungsproblem lässt sich als Hierarchie formulieren Axiom 4 (Vollständigkeit) Hierarchie enthält alle Alternativen und Kriterien KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 9
10 Skala für Paarvergleiche KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 10
11 Reziproke Skala für Paarvergleiche KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 11
12 Lokale Prioritätenschätzung Erstellung der Evaluationsmatrix n (n-1)/2 Paarvergleiche bei n Elementen Reziprozität Bestimmung der Partialgewichte Vereinfachtes Verfahren (implizite Konsistenzannahme) Exaktes Verfahren (Eigenvektor) Näherungsverfahren (beliebig genau) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 12
13 Evaluationsmatrix durch Paarvergleiche a ij = Einschätzung von Element i in Bezug auf Element j KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 13
14 Reziprozität und vollständige Evaluationsmatrix P Flächenbeispiel KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 14
15 Zur Gewöhnung: Bildschirm-Übung KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 15
16 Partialgewichte: Vereinfachtes Verfahren Normalisierung der Evaluationsmatrix Division der Elemente durch Spaltensumme Partialgewichte = normalisierte Zeilensummen/n KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 16
17 Flächenbeispiel Anteile an der Gesamtfläche KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 17
18 Bildschirmübung KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 18
19 Partialgewichte: Exaktes Verfahren (Eigenvektor) Vorüberlegung zu konsistenten Evaluationsmatrizen gesuchte Gewichte seien bereits bekannt Verhältnis zweier Elemente zueinander muss sich aus ihren Partialgewichten bestimmen lassen: a ij = w i /w j P = beachte: gesuchter Gewichtsvektor kann durch Normalisierung jedes beliebigen Spaltenvektors gewonnen werden KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 19
20 Gewichtsbestimmung als Eigenvektorproblem P w = n w P w - n w = 0 (P - n I) w = 0 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 20
21 Grafische Interpretation des Eigenvektors Matrixoperation als lineare Funktion zweidimensionales Beispiel (überschaubar und automatisch konsistent) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 21
22 Berechnung von Eigenvektoren Demo (manuell) Demo (Web) ernsthaft: Excel-Add-ins bzw. integriert in AHP-Software KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 22
23 Eigenvektorverfahren Konsistente Evaluationsmatrizen n ist Eigenwert von P w ist zugehöriger Eigenvektor normalisiertes w ergibt den Gewichtsvektor alle übrigen Eigenwerte sind null Leicht inkonsistente Evaluationsmatrizen Bestimmung des größten Eigenvektors max (> n) Bestimmung und Normalisierung des zugehörigen Eigenvektors alle übrigen Eigenvektoren sind nahe null Kern des AHP: Eigenvektor (Gewichtsvektor) ist relativ unempfindlich gegenüber kleinen Inkonsistenzen KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 23
24 Partialgewichte: Näherungsverfahren Potenzieren der Evaluationsmatrix (P t ) normalisierte Prioritäten aus potenzierter Evaluationsmatrix nähern sich mit steigenden t den Eigenvektorelementen an Flächenbeispiel: abermaliges Quadrieren und Normalisieren liefert: (konvergente Entwicklung) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 24
25 Totale Konsistenz: Verfahrensvergleich vereinfachtes Verfahren und exaktes Verfahren liefern identische Gewichte nämlich: KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 25
26 Konsistenzmaße Konsistenzindex Konsistenzverhältniszahl Faustregel: CR < 0,1 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 26
27 Inkonsistenzdiagnose (CR > 0,1) Frage: Welcher Paarvergleich trägt am stärksten zur Inkonsistenz bei? Lösungsweg Bestimmung einer idealen Evaluationsmatrix P* a ij* = w i /w j Vergleich zwischen idealen und tatsächlichen Evaluationselementen Antwort: Paarvergleich mit größter Abweichung zwischen a ij und a ij* Caution: It is possible to be perfectly consistent but consistently wrong. KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 27
28 PKW-Kauf: Partialgewichte, 1. Hierarchieebene KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 28
29 PKW-Kauf: Partialgewichte, 2. Hierarchieebene Kosten Aussehen KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 29
30 Globale (relative) Gewichte Bedeutung eines Entscheidungselements in Bezug auf das Oberziel Multiplikation des lokalen Gewichts mit den lokalen Gewichten der übergeordneten Hierarchieelemente auf dem Weg zur Wurzel des Hierarchiebaums KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 30
31 PKW-Kauf: Globale Gewichte KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 31
32 Behandlung quantitativer Daten direkte Partialgewichtsberechnung möglich positiver Einfluss (je größer desto besser) negativer Einfluss (je kleiner desto besser) aber nur bei linearer Nutzenfunktion sinnvoll Bsp.: Höchstgeschwindigkeit eines PKW (nicht-linear) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 32
33 PKW-Kauf: Behandlung quantitativer Daten Gewicht von PKW A in Bezug auf Anschaffungskosten: KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 33
34 Vorverarbeitung quantitativer Daten Nähe zu einem Optimum a i transformiert = opt a i Nähe zu einem Maximum a i transformiert = max a i Spreizung (höherer Kontrast) Entfernung von einem Minimum a i transformiert = a i min KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 34
35 Errechnung der Gesamtgewichte und Entscheidung (finale Alternativenbewertung) Beurteilung aller Alternativen in Bezug auf alle jeweils niedrigst-hierarchischen Merkmale Gewichtung der Alternativenbeurteilung mit dem globalen Gewicht des Bezugsmerkmals (= globale merkmalsbezogene Alternativengewichte) Aggregation über alle globalen Gewichte einer Alternative Empfehlung: Wähle die Alternative mit dem höchsten globalen Gesamtgewicht KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 35
36 PKW-Kauf: Finale Alternativenbewertung Lokale Alternativengewichte Ermittlung eines globalen Alternativengewichtes KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 36
37 PKW-Kauf: Entscheidungshierarchie und Gesamtergebnis KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 37
38 Interpretation und Sensitivitätsanalyse Interpretation Alternativenordnung Aussage über den Vorsprung des Favoriten Sensitivitätsanalyse Einfluss der Merkmalsgewichtung auf die Alternativenbewertung (Gesamtgewichte) Break-Even-Berechnung (Änderung der Alternativenordnung) wichtig insbesondere bei knappem Ausgang KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 38
39 TO DO Termine für Präsentationen Update: Slide 32 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 39
40 Erweitertes AHP-Ablaufschema 1/3 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 40
41 Erweitertes AHP-Ablaufschema 2/3 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 41
42 Erweitertes AHP-Ablaufschema 3/3 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 42
43 AHP-Erweiterungen Ratings Ideale vs. Distributive Synthese Kosten-Nutzen-Analysen Feedback: ANP KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 43
44 Ratings Zweck Alternative zu paarweisen Alternativenvergleichen sinnvoll bei großer Alternativenanzahl Vorgehen Formulierung von Intensities (unscharfe Kategorien) für alle untersten Kriterien Paarvergleiche der Intensities Beurteilung der Alternativen gemäß den Intensities Synthese der Ergebnisse KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 44
45 Ideale vs. Distributive Synthese Offene vs. geschlossene Systeme offen = Prioritätenmasse hängt ab von der Alternativenanzahl geschlossen = Prioritätenmasse ist konstant und wird auf Alternativen verteilt (= Standard-AHP) Verhinderung vs. Zulassung von Rank Reversals Reaktion der Alternativenordnung auf Hinzufügung irrelevanter (= dominierter) Alternativen Präferenzverwässerungseffekt (Bsp.: polit. Wahlen) Überfluss vs. Knappheit variable vs. feste Ressourcenausstattung neue Alternativen erfordern entweder neue Ressourcen oder Umverteilung bestehender Allokation KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 45
46 Distributive Synthese (Beispiel) Kriteriengewicht: Alternativen A: 0,5 0,2 B: 0,3 0,12 C: 0,2 0,08 Hinzufügung von Alternative D (identisch zu B) A: 0,385 0,154 B: 0,231 0,092 C: 0,154 0,062 D: 0,231 0,092 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 46
47 Ideale Synthese Präferenzzuteilung proportional zur relativen Präferenz in Bezug auf die beste (= ideale) Alternative Normalisierung erst auf Ziel-Ebene 3 Alternativen A: 0,5 0,4 B: 0,3 0,24 C: 0,2 0,16 Hinzufügung von Alternative D (identisch zu B) A: 0,385 0,4 B: 0,231 0,24 C: 0,154 0,16 D: 0,231 0,24 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 47
48 Proportionalität vs. Substitution Wie ändert eine neue Alternative den Wert der ähnlichsten bislang betrachteten Alternativen? offene Systeme: gar nicht Proportionalität Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen geschlossene Systeme: u. U. erheblich Substitutionseffekt Wert hängt von relativer Knappheit ab Beispiel: Personalbeurteilung Hintergrund: Ist eine dominierte Alternative wirklich irrelevant? KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 48
49 Kosten-Nutzen (und andere) Analysen vorab: deutsch: Kosten-Nutzen-Analyse angelsächsich: Benefit-Cost-Analysis getrennte Präferenzhierarchien für Nutzen- und Kosten-Komponenten Zusammenführung über Nutzen-Kosten- Verhältnisse (Nutzen/Kosten) erweiterbar auf Nutzen-Kosten-Risiko (BCR): Nutzen/(Kosten*Risiko) Nutzen-Chancen-Kosten-Risiko (BOCR) (Nutzen*Chancen)/(Kosten*Risiko) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 49
50 Feedback: ANP ANP = Analytic Network Process Top-Down- und Bottom-Up-Ansatz Top-Down: Beurteilung der Alternativen nach Gewichtung der Kriterien Bottom-Up: Beurteilung der Kriterien nach Kenntnis der Alternativen KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 50
51 Beispiel Brückenbau Kriterien und Alternativen Kriterien Sicherheit Ästhetik Naive Kriterienbeurteilung naiv = ex ante = vor Kenntnis der Alternativen Sicherheit ist gegenüber Ästhetik absolut dominierend (9 : 1 auf der AHP-Skala) Alternativen Brücke A: extrem sicher und schön Brücke B: extremst (!) sicher und hässlich KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 51
52 Beispiel Brückenbau Top-Down-Bewertung der Alternativen: Sicherheit KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 52
53 Beispiel Brückenbau Top-Down-Bewertung der Alternativen: Ästhetik KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 53
54 Beispiel Brückenbau Synthese nach Top-Down-Bewertung Ergebnis ist kontra-intuitiv! KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 54
55 Beispiel Brückenbau Mentale Rückkoppelung Ergebnis ist unbefriedigend (kontra-intuitiv) Ursache: relative Gewichtung der Kriterien hängt auch von den Alternativen ab Neugewichtung (Feedback) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 55
56 AHP mit Feedback: Iterationsverfahren Schritt 1: Vorbereitung Gleichgewichtung der Alternativen Schritt 2: Beurteilung der Kriterien in Bezug auf Alternativen Synthese als Kriteriengewichte Schritt 3: Beurteilung der Alternativen mit Kriteriengewichten Synthese als neue Alternativengewichte falls Gewichtsänderung hinreichend klein dann Ende, sonst weiter mit Schritt 2 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 56
57 Beispiel Brückenbau Iterationsschritt 1 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 57
58 Beispiel Brückenbau Iterationsschritt 2 (Brücke A) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 58
59 Beispiel Brückenbau Iterationsschritt 2 (Brücke B) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 59
60 Beispiel Brückenbau Iterationsschritt 3 (Abschluss von Runde 1) Kriteriengewichte Alternativenbewertung KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 60
61 Beispiel Brückenbau Ergebnisse der Iterationsrunden KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 61
62 Beispiel Brückenbau AHP mit Feedback: Supermatrizen n-te Potenz (n unendlich) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 62
63 ANP als AHP: Hierarchieebenen als Cluster KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 63
64 ANP: Netzwerke als allgemeine Hierarchien KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 64
65 Clustertypen KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 65
66 Paarvergleiche zwischen Clustern Beispiel Cluster 3: 2 Elemente (A, B) Cluster 4: 3 Elemente (I, II, III) Interdependenz zwischen Cluster 3 und Cluster 4 Einfluss von Cluster 3 auf Cluster 4 Vergleich zwischen I, II, III in Bezug auf A Verlgeich zwischen I, II, III in Bezug auf B Einfluss von Cluster 4 auf Cluster 3 Vergleich zwischen A, B in Bezug auf I Vergleich zwischen A, B in Bezug auf II Vergleich zwischen A, B in Bezug auf III Eigenvektor-Matrix W 4,3 (3 2) Eigenvektor-Matrix W 3,4 (2 3) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 66
67 Supermatrix KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 67
68 Supermatrizen für Hierarchien KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 68
69 Supermatrizen für Holarchien KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 69
70 Stochastizität der Supermatrix (Spalten-) Stochastizität Summe der Spaltenelemente = 1 automatisch erfüllt bei Hierarchien und Holarchien allgemeine Netzwerke paarweise Clustervergleiche Gewichtung (ggfs. Re-Normalisierung) der Clusterzeilen mit Clustergewicht Weighted Supermatrix mathematischer Hintergrund Eigenvektor stochastischer Matrizen ist immer 1 ermöglicht Anwendung (relativ) einfacher Lösungsverfahren erlaubt inhaltliche Interpretation der Ergebnisse KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 70
71 ANP-Lösungsverfahren hinreichend häufige Potenzierung der (gewichteten) Supermatrix Limit Supermatrix Stochastizität bewirkt Stabilisierung einfach zyklisch inhaltliche Interpretation gegenseitige Beeinflussung (unendlich) oft wirken lassen (Wirkungsrunden) Lösung ist das Ergebnis ein Abfolge direkter, indirekter, indirekt-indirekter,..., Beeinflussung analog: Input-Output-Matrizen KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 71
72 ANP: Einfache Lösung Hierarchie mit m Ebenen hier: k m-1 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 72
73 ANP: Zyklische Lösung (Bsp.: 3-Phasen Zyklus) 1 KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 73
74 ANP: Zyklische Lösung (Bsp.: 3-Phasen Zyklus) 2 Lösung: Durchschnittsbildung KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 74
75 Limit gewichtet Feedback-Wirkung KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 75
76 Beispiel Schulauswahl Hierarchisches Netz KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 76
77 Beispiel Schulauswahl Supermatrizen Übung: Reproduktion der Evaluationsmatrizen KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 77
78 Beispiel Automobilkauf Holarchisches Netz Kriterien Cost (C) Repair (R) Durability (D) Alternativen American (A) European (E) Japanese (J) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 78
79 Beispiel Automobilkauf Evaluationsmatrizen (Kriterien Alternativen) Welcher von jeweils zwei Autotypen erfüllt das betrachtete Kriterium besser und um wieviel besser? KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 79
80 Beispiel Automobilkauf Evaluationsmatrizen (Alternativen Kriterien) Welches von jeweils zwei Kriterien ist in Bezug auf den betrachteten Autotyp charakteristischer und um wieviel charakteristischer? KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 80
81 Beispiel Automobilkauf Supermatrizen KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 81
82 Beispiel Automobilkauf Holarchisches Netz mit Einfach-Loops KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 82
83 Beispiel Automobilkauf Ergebnis mit Einfach-Loops KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 83
84 Beispiel Automobilkauf Innere Abhängigkeiten zwischen den Kriterien KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 84
85 Beispiel Konjunkturwende Holarchisches Netz KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 85
86 Beispiel Konjunturwende Bedeutung der Subfaktoren für Primärfaktoren KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 86
87 Beispiel Konjunkturwende Bedeutung der Zeiträume für CA-Subfaktoren For each panel below, which time period is more likely to indicate a turnaround if the relevant factor is the sole driving force? Panel A: Relative importance of targeted time periods for Panel B: Relative importance of targeted time periods for consumption to drive a turnaround exports to drive a turnaround Vec. Wts Vec. Wts. 3 months 1 1/5 1/7 1/ months 5 1 1/5 1/ months / months months 1 1 1/5 1/ months 1 1 1/5 1/ months months Panel C: Relative importance of targeted time periods for investment to drive a turnaround Panel D: Relative importance of targeted time periods for fiscal policy to drive a turnaround Vec. Wts Vec. Wts. 3 months 1 1 1/5 1/ months 1 1 1/5 1/ months / months months 1 1 1/3 1/ months 1 1 1/5 1/ months months Panel E: Relative importance of targeted time periods for monetary policy to drive a turnaround Panel F: Expected time for a change of confidence indicators of consumer and investor activity to support a turnaround in the economy Vec. Wts Vec. Wts. 3 months months 1/ months 1/7 1/5 1 1/ months 1/7 1/ months months 1/ months 1/5 1/ months 1/5 1/5 1/ KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 87
88 Beispiel Konjunkturwende Bedeutung der Zeiträume für ER-Subfaktoren For each panel below, which time period is more likely to indicate a turnaround if the relevant factor is the sole driving force? Panel A: Financial system restructuring time Panel B: Defense readjustment time Vec. Wts Vec. Wts. 3 months 1 1/3 1/5 1/ months 3 1 1/5 1/ months / months months 1 1/3 1/5 1/ months 3 1 1/5 1/ months / months Panel C: Global competition adjustment time Vec. Wts. 3 months 1 1 1/5 1/ months 1 1 1/5 1/ months / months KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 88
89 Beispiel Konjunkturwende Bedeutung der Primärfaktoren für Zeiträume KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 89
90 Beispiel Konjunkturwende Ausgangs-Supermatrix KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 90
91 Beispiel Konjunkturwende Limit-Supermatrix (Phasen 1 und 2) KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 91
92 Beispiel Konjunkturwende Limit-Supermatrix (Phase 3, Summe) und Ergebnis KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 3 92
Analytischer Hierarchieprozess (AHP)
Analytischer Hierarchieprozess (AHP) Methodik der multikriteriellen Bewertung Nach den Skripten der BoKu Wien und der Abteilung für Forstökonomie Göttingen (Prof. Möhring) www.boku.ac.at/iao/ahp www.uni-goettingen.de/de/101204.html
Analytischer Hierarchieprozess (AHP)
Analytischer Hierarchieprozess (AHP) Methodik der multikriteriellen Bewertung Nach den Skripten der BoKu Wien und der Abteilung für Forstökonomie Göttingen (Prof. Möhring) www.boku.ac.at www.uni-goettingen.de
Ein Entscheidungsproblem des Alltags...
Ein Entscheidungsproblem des Alltags... 23 Ich sehe ein neues Auto in ihrer Zukunft 24 3 wichtige Schritte beim AHP Zielformulierung: Auswahl einer Autos Definition Kriterien: Styling, Verlässlichkeit,
Annahme: - Päferenzunabhängigkeit der Ziele - kardinal skalierte Größen!!!!
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 4 4.4 Nutzwertanalyse Verfahren zur Lösung von Mehrzielentscheidungen Hierarchisch aufgebaute systeme å i.d.r. sind nur zwei oder drei Teilziele
TOPSIS. Eine Technik der Effizienzanalyse
TOPSIS Eine Technik der Effizienzanalyse 1 Literatur Peters, Malte L. und Zelewski, Stephan: TOPSIS als Technik zur Effizienzanalyse. Wirtschaftsstudium, Heft 1, 2007, S. 9-15 http://www.pim.uni-due.de/fileadmin/publikationen/topsis_zur_effizienzanalyse.pdf
Technische Universität München TOPSIS. Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution. - Eine Technik der Effizienzanalyse -
TOPSIS Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution - Eine Technik der Effizienzanalyse - 1 Gliederung 1. Wiederholung Normalisierung (AHP) 2. Definition Effizienz 3. Ablauf von TOPSIS
Entscheidungsunterstützung in der Immobilienprojektentwicklung
Entscheidungsunterstützung in der Immobilienprojektentwicklung Schriftenreihe Bau- und Immobilienmanagement herausgegeben von Bernd Nentwig Band 6 Alexandra Pommer Entscheidungsunterstützung in der Immobilienprojektentwicklung
Ein multikriterielles, fuzzy- und risikobasiertes Decision Analysis Modell am Beispiel der Planung unterirdischer Infrastruktur
Ein multikriterielles, fuzzy- und risikobasiertes Decision Analysis Modell am Beispiel der Planung unterirdischer Infrastruktur Bochum 30.09.03 Dipl.-Ing. Dipl.-Wirt.-Ing. Sissis Kamarianakis - Welches
Der Analytische Hierachieprozeß. 1
Der Analytische Hierachieprozeß http://www.boku.ac.at/iao/ahp 1 Kulturelle Unterschiede Einfluß auf das Entscheidungsverhalten 120 100 80 60 40 Power Distance Uncertainty Avoidance Individualism Maskulinity/Femininity
Technische Universität München TOPSIS. Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution. -Technik zur Lösung von Entscheidungsproblemen-
TOPSIS Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution -Technik zur Lösung von Entscheidungsproblemen- 1 TOPSIS wurde von Hwang/Yoon 1981 konzipiert simple Technik zur Effizienzanalyse,
Konvexe Menge. Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h.
Konvexe Menge Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, dh Kapitel Extrema konvex: h x + h y D für alle h [0, ], und x,
Auswahl eines geeigneten mehrdimensionalen. für die Ressourceneffizienzbewertung von Prozessketten. Seminarvortrag.
Auswahl eines geeigneten mehrdimensionalen Bewertungsverfahrens für die Ressourceneffizienzbewertung von Prozessketten Seminarvortrag Andreas Hermanuz Quelle: Volkswagen AG Aachen, 6.0.205 Einleitung und
Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
Lineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 206 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 54 Stochastische Matrizen Definition 54.. Eine reelle quadratische Matrix M a ij i,j n heißt spaltenstochastisch,
Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
Grundlagen des Analytic Hierarchy Process (AHP)
Grundlagen des Analytic Hierarchy Process (AHP) Vortrag am 28.09.2017 beim Stiftungslehrstuhl für Medizin-Management an der Universität Duisburg-Essen, Campus Essen Professor Dr. Malte L. Peters post@malte-peters.de
8 Extremwerte reellwertiger Funktionen
8 Extremwerte reellwertiger Funktionen 34 8 Extremwerte reellwertiger Funktionen Wir wollen nun auch Extremwerte reellwertiger Funktionen untersuchen. Definition Es sei U R n eine offene Menge, f : U R
Eine zweidimensionale Stichprobe
Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2,
(a), für i = 1,..., n.
.4 Extremwerte Definition Sei M R n eine Teilmenge, f : M R stetig, a M ein Punkt. f hat in a auf M ein relatives (oder lokales) Maximum bzw. ein relatives (oder lokales) Minimum, wenn es eine offene Umgebung
Übungsblatt
Übungsblatt 3 3.5.27 ) Die folgenden vier Matrizen bilden eine Darstellung der Gruppe C 4 : E =, A =, B =, C = Zeigen Sie einige Gruppeneigenschaften: a) Abgeschlossenheit: Berechnen Sie alle möglichen
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe
Fixpunkt-Iterationen
Fixpunkt-Iterationen 2. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 27. Februar 2014 Gliederung Wiederholung: Gleichungstypen, Lösungsverfahren Grundprinzip
51 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
5 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5. Motivation Die Berechnung der Eigenwerte einer Matrix A IR n n als Lösungen der charakteristischen Gleichung (vgl. Kapitel 45) ist für n 5 unpraktikabel,
Eigenwerte und Netzwerkanalyse. Page Rank
A Google versucht die Bedeutung von Webseiten mithilfe des sogenannten zu ermitteln. Der einer Seite basiert ausschließlich auf der Verweisstruktur des Webs. Der Inhalt einer Seite hat dagegen keinen direkten
7.1 Matrizen und Vektore
7.1 Matrizen und Vektore Lineare Gleichungssysteme bestehen aus einer Gruppe von Gleichungen, in denen alle Variablen nur in der 1. Potenz vorkommen. Beispiel Seite 340 oben: 6 x 2 = -1 + 3x 2 = 4 mit
1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse
Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung A sei eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen. Zunächst sei n m. Bilde B = A A. Dies ist eine n n-matrix. Berechne die Eigenwerte von B. Diese
Lineare Algebra - Übungen 7 WS 2017/18
Prof. Dr. A. Maas Institut für Physik N A W I G R A Z Lineare Algebra - Übungen 7 WS 017/18 Aufgabe P0: Paulimatrizen Präsenzaufgaben 14. Dezember 017 Berechnen Sie für die Paulimatrizen σ 1 = ( ) 0 1,
Ranking by Reordering Tobias Joppen
Ranking by Reordering Tobias Joppen 09.07.2014 Fachbereich Informatik Knowledge Engineering Prof. Johannes Fürnkranz 1 Überblick Einleitung Rank-differential Methode Idee Problemdefinition Beispiel Vereinfachung
Statistik I. Sommersemester 2009
I Sommersemester 2009 I Wiederholung/Einführung χ 2 =?!? I Wiederholung/Einführung χ 2 =?!? Nächste Woche: Maße für ordinale, nominal/intervallskalierte und intervallskalierte Daten I Zum Nachlesen Agresti/Finlay:
Was sind Zusammenhangsmaße?
Was sind Zusammenhangsmaße? Zusammenhangsmaße beschreiben einen Zusammenhang zwischen zwei Variablen Beispiele für Zusammenhänge: Arbeiter wählen häufiger die SPD als andere Gruppen Hochgebildete vertreten
Multikriterielle Bewertungsverfahren
Multikriterielle Bewertungsverfahren Vergleich verschiedener multikriterieller Bewertungsverfahren mit MapModels (leopold.riedl@tuwien.ac.at) http://srf.tuwien.ac.at/lva/akdagi Workshop-Übersicht Teil
Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 014 BIOL-B HST PHARM Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle MC Total MC Total
Klausur Mikroökonomik
Klausur Mikroökonomik Klausurtermin: 13.10.2017 Dieses Deckblatt bitte vollständig und deutlich lesbar ausfüllen! Vom Prüfer Vom Prüfer Name: auszufüllen: auszufüllen: Aufg.1: / 25 Vorname: Punkte: Aufg.2:
Gambler s Ruin. B ist die Bank ) 4/40
Gambler s Ruin Zwei Spieler A und B spielen ein Spiel um m Franken. Spieler A hat a Franken, Spieler B hat b = m a Franken. In jeder Runde wird um 1 Franken gespielt. A gewinnt eine Runde mit W keit p,
13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren
3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem
WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK
WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF DR ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesungsprogramm 07052013 Mittelwerte und Lagemaße II 1 Anwendung und Berechnung
Statistik I. Sommersemester 2009
I Sommersemester 2009 I χ 2 =?!? Nächste Woche: Maße für ordinale, nominal/intervallskalierte und intervallskalierte Daten I Zum Nachlesen Agresti/Finlay: Kapitel 8.1-8.4 Gehring/Weins: Kapitel 7.1 Schumann:
Nichtlineare Klassifikatoren
Nichtlineare Klassifikatoren Mustererkennung und Klassifikation, Vorlesung No. 11 1 M. O. Franz 12.01.2008 1 falls nicht anders vermerkt, sind die Abbildungen entnommen aus Duda et al., 2001. Übersicht
Überbestimmte Gleichungssysteme
Siebente Vorlesung, 8. Mai 2008, Inhalt Überbestimmte Gleichungssysteme Kleinste Quadrate: einfaches Beispiel, elementare Herleitung Normalengleichungen Transformation mit QR-Zerlegung und SVD Nichtlineare
Segmentspezifische und muitikriterielie Bewertung von Standorten international agierender Unternehmen
Christian Koch Segmentspezifische und muitikriterielie Bewertung von Standorten international agierender Unternehmen Verlag Dr. Kovac Hamburg 2013 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis IX Abbildungsverzeichnis
Die Nutzwertanalyse - NWA Prof. Dr. Georg Rainer Hofmann Andreas Ziegler
Die Nutzwertanalyse - NWA Prof. Dr. Georg Rainer Hofmann Andreas Ziegler 15.10.2015 Agenda Aufbau der Nutzwertanalyse Ablauf der Nutzwertanalyse Zieldefinition Ausschluss- und Auswahlkriterien definieren
Blockmatrizen. Beispiel 1 Wir berechnen das Produkt von A R 4 6 mit B R 6 4 :
Blockmatrizen Beispiel 1 Wir berechnen das Produkt von A R 4 6 mit B R 6 4 : 2 1 3 1 1 0 1 0 1 0 0 2 1 1 11 1 1 4 0 1 0 1 0 1 4 1 0 2 1 0 1 0 1 0 3 1 2 1 = 2 4 3 5 11 1 1 4 0 1 0 1 0 1 5 1 2 1 2 4 3 5
Die Nutzwertanalyse - NWA Prof. Dr. Wolfgang Alm Prof. Dr. Georg Rainer Hofmann
Die Nutzwertanalyse - NWA Prof. Dr. Wolfgang Alm Prof. Dr. Georg Rainer Hofmann 03.03.2016 Copyright Der nachfolgende Foliensatz basiert auf einem Foliensatz von Herrn Andreas Ziegler vom 15.10.2015 Er
Entscheidungsunterstützung/ Künstliche Intelligenz. Teil 4
Entscheidungsunterstützung/ Künstliche Intelligenz Teil 4 BiTS, Sommersemester 2005 Dr. Stefan Kooths KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 4 1 Gliederung 1. Einführung 2.
Vorlesung 4: Risikoallokation
Vorlesung 4: Risikoallokation Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie, FS 12 Risikoallokation 1/23 2 / 23 4.1 Einleitung Bisher haben wir uns ausschliesslich
9 Lineare Gleichungssysteme
9 Lineare Gleichungssysteme Eine der häufigsten mathematischen Aufgaben ist die Lösung linearer Gleichungssysteme In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns zunächst mit Lösbarkeitsbedingungen und mit der
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Aufgabe 1 Ein Fahrzeugpark enthält 6 Fahrzeuge. Jedes Fahrzeug hat die Wahrscheinlichkeit p = 0.1 (bzw. p = 0.3), dass es kaputt geht. Pro Tag kann nur
Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum
1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und
Danksagung... Fehler! Textmarke nicht definiert. Inhaltsverzeichnis... vi. Abbildungsverzeichnis... xii. Tabellenverzeichnis...
vi Danksagung... Fehler! Textmarke nicht definiert.... vi Abbildungsverzeichnis... xii Tabellenverzeichnis... xvi Abkürzungsverzeichnis... xvii Kurzfassung... xix Abstract... xx 1 Einleitung... 1 1.1 Problemstellung...
8. Vorlesung, 5. April Numerische Methoden I. Eigenwerte und Eigenvektoren
8. Vorlesung, 5. April 2017 170 004 Numerische Methoden I Eigenwerte und Eigenvektoren 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Gegeben ist eine n n-matrix A. Gesucht sind ein vom Nullvektor verschiedener Vektor
Exponentialabbildung für Matrizen und Systeme von Differentialgleichungen
Proseminar Lineare Algebra SS10 Exponentialabbildung für Matrizen und Systeme von Differentialgleichungen Simon Strahlegger Heinrich-Heine-Universität Betreuung: Prof. Dr. Oleg Bogopolski Inhaltsverzeichnis:
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 26 1. Folgen R. Steuding (HS-RM)
4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
Iterative Verfahren, Splittingmethoden
Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem
Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 9: Lineare Gleichungssysteme 1 / 15 Gliederung 1 Grundbegriffe
Kapitel 12. Lagrange-Funktion. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 1 / 28. f (x, y) g(x, y) = c. f (x, y) = x y 2
Kapitel 12 Lagrange-Funktion Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 1 / 28 Optimierung unter Nebenbedingungen Aufgabe: Berechne die Extrema der Funktion unter der Nebenbedingung
Randomisierte Algorithmen
Randomisierte Algorithmen Randomisierte Algorithmen Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2018/2019 1 / 40 Überblick Überblick Grundlegendes zu Markov-Ketten
Zusammenfassung Abschnitt 1
Zusammenfassung Abschnitt 1 Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Mikroökonomie (FS 09) Zusammenfassung 1 / 11 1.1 Modell des Konsumentenverhaltens Gegeben sind Güterpreise:
18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive
Statistik Klausur Sommersemester 2013 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!
Statistik 2 1. Klausur Sommersemester 2013 Hamburg, 26.07.2013 A BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname:............................................................................ Vorname:.............................................................................
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
Assoziation & Korrelation
Statistik 1 für SoziologInnen Assoziation & Korrelation Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Einleitung Bei Beobachtung von 2 Merkmalen stellt sich die Frage, ob es Zusammenhänge oder Abhängigkeiten zwischen den
Umweltmanagementinformationssysteme
Umweltmanagementinformationssysteme Übung 5 Wintersemester 2009/2010 Arbeitsgruppe Wirtschaftsinformatik Managementinformationssysteme Arbeitsgruppe Wirtschaftsinformatik Managementinformationssysteme
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Betrachtet wird eine (n,n)-matrix A. Eine Zahl λ heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor v existiert, der nicht der Nullvektor ist und für den gilt: A v = λ v.
Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
Entscheidungsunterstützung/ Künstliche Intelligenz. Teil 2
Entscheidungsunterstützung/ Künstliche Intelligenz Teil 2 BiTS, Sommersemester 2005 Dr. Stefan Kooths KOOTHS BiTS: Entscheidungsunterstützung/Künstliche Intelligenz Teil 2 1 Gliederung 1. Einführung 2.
2.2 Entscheidung bei Sicherheit
2.2 Entscheidung bei Sicherheit Umweltzustand ist bekannt oder irrelevant, so dass die Ergebnisse der Handlungsalternativen sicher sind Bei mehreren Zielgrößen besteht die Herausforderung darin, den Entscheider
Übungsaufgaben Lösungen
Übungsaufgaben Lösungen Stochastische Matrizen, Markov-Prozesse MV5.1 Eine N N-Matrix P heißt stochastisch, wenn ihre Matrixelemente nicht-negativ sind und alle Zeilensummen 1 ergeben. In Formeln: P ij
Assoziation & Korrelation
Statistik 1 für SoziologInnen Assoziation & Korrelation Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Einleitung Bei Beobachtung von Merkmalen stellt sich die Frage, ob es Zusammenhänge oder Abhängigkeiten zwischen den
Einführung in die Bioinformatik
Einführung in die Bioinformatik Ringvorlesung Biologie Sommer 07 Burkhard Morgenstern Institut für Mikrobiologie und Genetik Abteilung für Bioinformatik Goldschmidtstr. 1 Online Materialien zur Ringvorlesung:
Gewichtung in der Umfragepraxis. Von Tobias Hentze
Gewichtung in der Umfragepraxis Von Tobias Hentze Gliederung 1. Einführung 2. Gewichtungsarten 1. Designgewichtung 2. Non-Response-Gewichtung 3. Zellgewichtung 3. Fazit Gewichtung Definition: Ein Gewicht
1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen
Mathematik für Physiker III WS 2012/2013 Freitag 211 $Id: implizittexv 18 2012/11/01 20:18:36 hk Exp $ $Id: lagrangetexv 13 2012/11/01 1:24:3 hk Exp hk $ 1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen 13
Numerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 8 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Michael Rippl Fabio Gratl Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 3. Übungsblatt: Gaußelimination mit Pivotsuche,
Aufgaben zu Kapitel 14
Aufgaben zu Kapitel 14 1 Aufgaben zu Kapitel 14 Verständnisfragen Aufgabe 14.1 Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen? Aufgabe 14.2 Gibt
f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum.
Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit
9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
Hauptprüfung 2007 Aufgabe 3
Hauptprüfung 7 Aufgabe. Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f (x) = sin x g (x) = sin(x) +, x h(x) = sin x Ihre Schaubilder sind Beschreiben Sie, wie hervorgehen.. Skizzieren Sie K g. K f, K f,
2.6 Theorie des Haushalts
.6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Nutzenfunktionen und Indifferenzkurven Nutzenfunktion: Hilfsmittel, um Präferenzen zu beschreiben Eine Präferenzordnung lässt sich unter den obigen Annahmen über eine
Anwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 3 Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Lokale Maxima und Minima Definition 16: Sei f : D R eine Funktion von n Veränderlichen. Ein Punkt x heißt lokale oder relative Maximalstelle bzw. Minimalstelle
Clustering. Herbert Stoyan Stefan Mandl. 18. Dezember 2003
Clustering Herbert Stoyan Stefan Mandl 18. Dezember 2003 Einleitung Clustering ist eine wichtige nicht-überwachte Lernmethode Andwenungen Marketing: Finde Gruppen von Kunden mit gleichem Kaufverhalten,
Ganzheitliche Analyse und Bewertung. von Strategie-Optionen. Controlling-gestützter Einsatz des Analytic Network Process im Strategischen Management
Ganzheitliche Analyse und Bewertung von Strategie-Optionen Controlling-gestützter Einsatz des Analytic Network Process im Strategischen Management Inauguraldissertation zur Erlangung des akademischen Grades
Mathematik für das Bachelorstudium I
Matthias Plaue / Mike Scherfner Mathematik für das Bachelorstudium I Grundlagen, lineare Algebra und Analysis Spektrum k-/± AKADEMISCHER VERLAG Inhaltsverzeichnis I Grundlagen 1 1 Elementare Logik und
MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof.
1 x 1 y 1 2 x 2 y 2 3 x 3 y 3... n x n y n
3.2. Bivariate Verteilungen zwei Variablen X, Y werden gemeinsam betrachtet (an jedem Objekt werden gleichzeitig zwei Merkmale beobachtet) Beobachtungswerte sind Paare von Merkmalsausprägungen (x, y) Beispiele:
Dr. Maike M. Burda. Welchen Einfluss hat die Körperhöhe auf das Körpergewicht? Eine Regressionsanalyse. HU Berlin, Econ Bootcamp
Dr. Maike M. Burda Welchen Einfluss hat die Körperhöhe auf das Körpergewicht? Eine Regressionsanalyse. HU Berlin, Econ Bootcamp 8.-10. Januar 2010 BOOTDATA.GDT: 250 Beobachtungen für die Variablen... cm:
Teil II Optimierung. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 5 Einführung Optimierung. Peter Buchholz 2006
Teil II Optimierung Gliederung 5 Einführung, Klassifizierung und Grundlagen 6 Lineare Optimierung 7 Nichtlineare Optimierung 8 Dynamische Optimierung (dieses Jahr nur recht kurz) (9 Stochastische Optimierungsmethoden
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale
Statistik K urs SS 2004
Statistik K urs SS 2004 3.Tag Grundlegende statistische Maße Mittelwert (mean) Durchschnitt aller Werte Varianz (variance) s 2 Durchschnittliche quadrierte Abweichung aller Werte vom Mittelwert >> Die
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 ( )
TU München Prof. P. Vogl Beispiel 1: Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 (26.08.11) Nach Gompertz (1825) wird die Ausbreitung von Rostfraß auf einem Werkstück aus Stahl durch eine lineare
Zusammenfassung : Fourier-Reihen
Zusammenfassung : Fourier-Reihen Theorem : Jede (nicht-pathologische) periodische Funktion läßt sich schreiben als "Fourier-Reihe" der Form: Vorzeichen ist Konvention, in Mathe : + Fourier-Transformation
2.3 Kriterien der Entscheidungsfindung: Präferenzen
.3 Kriterien der Entscheidungsfindung: Präferenzen Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf n = ( zwei Güter). Annahme: Konsumenten können für sich herausfinden, ob sie x = ( x, ) dem Güterbündel
Leitfaden a tx t
Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
https://cuvillier.de/de/shop/publications/6839
Ralf H. Kaspar (Autor) Ganzheitliche Analyse und Bewertung von Strategie-Optionen Controlling-gestützter Einsatz des Analytic Network Process im Strategischen Management https://cuvillier.de/de/shop/publications/6839
Klausur Mathematik II
Technische Universität Dresden. Juli 8 Institut für Numerische Mathematik Prof. Dr. G. Matthies, Dr. M. Herrich Klausur Mathematik II Modul Dierentialgleichungen und Dierentialrechnung für Funktionen mehrerer
4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen
4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen Allgemeine Problemstellung: Gegeben sei die gemeinsame Verteilung der ZV en X 1,..., X n (d.h. bekannt seien f X1,...,X n bzw. F X1,...,X n ) Wir betrachten
Fixpunkt-Iterationen
Fixpunkt-Iterationen 2. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 3. März 2016 Nichtlineare Gleichungen, Fixpunkt-Iterationen 1 Wiederholung Aufgabentypen