Statistik. Statistik, Prof. Dr. Karin Melzer

Transkript

1 Stattk.. Wa t Stattk? (I E geht um de Kut de verüftge Vermute Stuatoe, wo der Zufall m Spel t oder Spel gebracht werde ka. Prof. Dr. Herma Dge (U Frakfurt/Ma, 99

2 .. Wa t Stattk? (II Ee möglche Atwort: Stattk tellt da Itrumetarum zur Abchätzug vo Art ud Größe vo Mefehler, Fehler be Schlufolgeruge, uw. beret. Se t überall dort ezuetze wo der Zufall ee Rolle pelt oder wo Stuatoe o komple d, da e ch eer determtche Bechrebug etzehe. De duktve (chleßede Stattk modellert de Zufall, e verucht h de Grff zu bekomme, oder Scherhet über Ucherhet zu gewe. (Hartug, 97 Date falle mmer ud überall a, werde heute auch mmer öfter maehaft gepechert (Datebake. Stattk traformert dee Date ützlche Iformato. komprmere, bechrebe, quatfzere, vorherage!.. Wa t Stattk? (III Grudgeamthet (z. B. Geamtbevölkerug Deutchlad Zehe eer Stchprobe Rückchlu auf Grudgeamthet Stchprobe (z. B..000 zufällg augewählte Peroe

3 . Telbereche der Stattk Stattk wrd dre Telbereche utertelt: Dateerhebug oder Dategewug Dartellug der erhobee Date (bechrebede Stattk Aalye ud Iterpretato der Date (chleßede Stattk.. Etelug der Vorleug. Eführug (Etelug der Vorleug, Grudbegrffe. Dateerhebug oder Dategewug. Bechrebede Stattk (graphche Dartellug der Date, Berechug vo Parameter zur Bechrebug der Date. Wahrchelchketrechug ud Kombatork (Wahrchelchkete, Zufallvarable, Verteluge,. Schleßede Stattk (Hypotheetet, Vertrauetervalle, 6. Stattche Qualtätkotrolle (tattche Prozekotrolle, Aahmetchprobeprüfug 6

4 .. Grudbegrffe der Stattk (I. Grudgeamthet: Objekte, a dee de tereerede Größe beobachtet ud erfat wrd, über de ma ee Auage gewe wll - alle Metwohuge vo Stuttgart, - alle Wahlberechtgte, - alle Würfe ee Würfel, - alle Tele, de ee Mache produzert, Ee Grudgeamthet ka au edlch vele oder uedlch vele Elemete betehe. Ee Grudgeamthet ka real oder hypothetch e.. Stchprobe: Tatächlch uteruchte Telmege der Grudgeamthet. E gbt verchedee Arte der Stchprobegewug (vgl. Kaptel.. Umfag der Stchprobe: Azahl der Elemete der Stchprobe. Der Umfag eer Stchprobe t mmer edlch. 7.. Grudbegrffe der Stattk (II. Merkmal: Itereered Größe, de a de Elemete der Stchprobe beobachtet (gemee, erhobe wrd. z.b. Grudgeamthet d alle Metwohuge vo Stuttgart - Merkmal : Nettomete, - Merkmal : Baualter, - Merkmal : Größe qm E köe e oder mehrere Merkmale a eem Elemet der Grudgeamthet erhobe werde.. Merkmalauprägug: Werte, de jede Merkmal aehme ka. z.b. Tet vo Drucker eer Computerzetchrft. Grudgeamthet: ämtlche zur Auwahl tehede Drucker Stchprobe: getetete Drucker Merkmal : Hertellerame - Merkmalauprägug: HP, IBM, Lemark, Merkmal : Pre - Merkmalauprägug: 0 - EUR Merkmal : Gewcht - Merkmalauprägug: 0 - Kg Merkmal : Geamturtel - Merkmalauprägug: ehr gut, gut, mttel, chlecht, ehr chlecht

5 . Dategewug.. Arte vo Erhebuge a Vollerhebug Uteruchug der Grudgeamthet b Telerhebug Uteruchug eer Stchprobe Aufgabe : Wa t ee Telerhebug voller al ee Vollerhebug? 9.. Arte vo Telerhebuge (I. Zufalltchprobe (radom ample: Jede Objekt der Grudgeamthet hat de gleche Wahrchelchket de Stchprobe zu gelage.. Sytematche Auwahl: De Auwahl wrd ach eem objektve Krterum vorgeomme, z. B. jeder 00. produzerte Artkel. Schchtetchprobe (tratfed amplg: De Grudgeamthet wrd auf Ba eer oder mehrerer Merkmale Schchte egetelt.. Klumpetchprobe (cluter amplg: Au der Grudgeamthet werde Gruppe (Klumpe vo tattche Ehete (met Peroe zufällg augewählt. Ierhalb deer Klumpe wrd da ee Vollerhebug durchgeführt.. Repräetatve Stchprobe: De Stchprobe oll de Werte gewer Merkmale mt de gleche Quote, we der Grudgeamthet ethalte. 0

6 .. Arte vo Telerhebuge (II Aufgabe : Welche Verfahre oll agewedet werde, um ee Telerhebug durchzuführe? a E Computerherteller erhält ee Leferug vo.000 elektrche Specherchp, vo dee 00 heraugegrffe werde ud auf Fuktofähgket uterucht werde olle. b Der aktuelle Wert ee Lager oll durch ee Stchprobevetur überprüft werde. Da Lager ethält ehr vele Kletele vo gergem Wert, ee mttlere Azahl vo Tele mt mttlerem Wert ud relatv wege Tele vo ehr großem Wert. c Mt der PISA-Stude wolle ch de telehmede Staate e Bld davo mache, we gut e hre Schule gelgt, Schüler auf de Herauforderuge der Zukuft vorzuberete. Zuert olle dehalb erhalb ee Budelade (z.b. Bade-Württemberg, für jede Schulform (z.b. Hauptchule, Realchule, Gymaum, Tet durchgeführt werde... Arte vo Telerhebuge (III Aufgabe : Welche Verfahre oll agewedet werde, um ee Telerhebug durchzuführe? d De Nürberger Geellchaft für Koumforchug ermttelt de Fereh- Echaltquote. Se führt dazu Telerhebuge mt Meche gaz Deutchlad durch.

7 .. Behadlug vo Dateaureßer ud fehlede Date E Dateaureßer t e Etremwert erhalb eer Stchprobe, der o etrem t, da de Pero, de de Stchprobe zuammegetrage hat, glaubt, da er cht tmme ka. Aufgabe : Gegebe t ee Merehe, be der 0 Meuge durchgeführt wurde. Auf dem Erfaugboge tehe folgede Werte.,,,,9,,,,9,0 uleerlch a Welcher Mewert t e Aureßer? b We oll mt Aureßer umgegage werde? c We oll mt dem fehlede Mewert umgegage werde?. Bechrebede Stattk. Merkmaltype (I. Qualtatve Merkmale - Bechrebe Egechafte, de ch cht durch Mee oder Zähle ermttel lae - Werte köe auch durch Zahle codert werde, z. B. gelb, 6 grü (mt dee Zahle ka ma aber cht reche. a Qualtatv-ordale Merkmale (Ragmerkmale z. B.: Beolduggruppe be Beamte, Iteree a eer Verataltug mt Auprägug ehr groß, groß, mttel, gerg, - Merkmalauprägug lät ch ee (atürlche Ragfolge brge b Qualtatv-omale Merkmale (klafkatorche Merkmale z. B.: Relgozugehörgket, Farbe, gewählte Parte, - Merkmalauprägug lät ch cht ee Ragfolge brge

8 . Bechrebede Stattk. Merkmaltype (II. Quattatve Merkmale (metrche Merkmale, kardale Merkmale - De Merkmalaupräguge d Zahle au Meuge oder Zähluge - Dfferez zwche zwe Aupräguge hat ee S, z. B. ee Schraube t um mm läger al ee adere a Quattatv-tetge Merkmale z.b.: Gewcht, Läge, Temperatur, Pre EUR (! - köe jede Wert eem vorgegebee Itervall aehme - komme met durch Meug zutade b Quattatv-dkrete Merkmale z.b.: Azahl der Auchutücke eer Leferug/Stchprobe, Tore pro Spel - Werte d ezele Pukte auf dem Zahletrahl z. B.,,, - trete vorzugwee be Zähluge auf.. Graphche Dartellug (I E Bld agt mehr al taued Worte Ege Möglchkete der Dartellug:. Qualtatve Merkmale a Häufgkettabelle (z.b. Wahlergebe Parte (Merkmal ( Merkmalauprägug CDU ( a SPD ( a FDP ( a Grüe ( a Lke ( a Sotge ( a 6 Summe Azahl der Stmme (abolute Häufgket ( h.006. ( h. ( h ( h 0. ( h. ( h ( Stmmeatel % (relatve Häufgket 6, ( f 6,7 ( f 9, ( f 7, ( f, ( f, ( f 6 00 b Säuledagramm c Kredagramm 6

9 .. Graphche Dartellug (II. Qualtatve Merkmale a Häufgkettabelle b Säuledagramm (z.b. Wahlergebe Stmmvertelug CDU SPD FDP Grüe Lke Sotge c Kredagramm 7.. Graphche Dartellug (III. Qualtatve Merkmale a Häufgkettabelle (z.b. Wahlergebe b Säuledagramm c Kredagramm (für prozetuale Auftelug

10 .. Graphche Dartellug (IV. Quattatve Merkmale a Be dkrete Merkmale: Häufgkettabelle (ohe Klaebldug, Säuledagramm, Kredagramm z. B. Tore, gelbe/rote Karte de Spele eer Sao der Budelga Vorcht! We dkrete Merkmal zu vele Aupräguge hat, da cht voll (z.b. Pre, Gewcht, Alter,. b Be tetge Merkmale ud dkrete Merkmale mt vele Aupräguge: Htogramm z. B.: Radarkotrolle be Fahrzeuge, Ekomme vo Peroe Vorgehe: Häufgkettabelle mt Klaebldug gegebe: Mewerte Etelug de Meberech etwa Klae ( Azahl der Mewerte Zähle: Häufgket jeder Klae (Strchlte Graphche Dartellug al Säuledagramm Htogramm Säuledagramm, be dem de Säule über de etprechede Itervalle der Klae gezechet werde, ud de daher a de Klaegreze aeadertoße. 9.. Graphche Dartellug (V. Quattatve Merkmale b Htogramm (Fort. Erter vueller Edruck vo der Vertelug ee Merkmal Regel: Azahl der Klae k, we 00 Azahl der Klae k 0, we > 00. Klae müe alle vorkommede Stchprobewerte überdecke Alle Klae werde (. d. R. glech bret gewählt Klae o wähle, da kee Mewerte auf de Klaegreze lege Iformatoe: I welchem Berech (z. B. relatv zu de Tolerazgreze lege de mete Meuge? We wet treue de Date? It de Vertelug ymmetrch oder chef? Gbt e außergewöhlche Sptze oder Aureßer? Bepel: Ekommedate vo 00 Peroe 0

11 .. Stattche Kezahle für quattatve Merkmale Ee weetlche Techk zur Charaktererug vo Dateätze t de Redukto auf wege Kegröße. Dee olle de Egeart der Date wderpegel. Dazu dee Maßzahle der Lage (Wo? der Streuug (We bret? Übercht über de betrachtete Kezahle: Lagemaße arthmetche Mttel, Mttelwert Meda Streumaße emprche Varaz, emprche Stadardabwechug Spawete Mttlerer Abtad.. Stattche Kezahle für quattatve Merkmale Im Folgede werde wr dre Type vo vorlegede Date uterchede: Merehe: Beobachtete Werte der Rehefolge hrer Ermttlug Bepel: Größe der Schüler eer Schulklae cm 7; ; 77; 6; 7; 6 ; 7 6; ; 9 6; 0 7 Häufgkettabelle ohe Klaeetelug d. h. zu jedem Mewert wrd agegebe, we oft er beobachtet wrd (Häufgkete (für jede Merkmalauprägug ee Zele Bepel: Notepegel Häufgkettabelle mt Klaeetelug (Merkmalaupräguge werde Klae zuammegefat Bepel: de Körpergröße werde ur 0er-Schrtte erfat Note,0,,7 Größe (Klae [0;60 [60;70 [70;0 [0;90 Azahl Azahl

12 .. Stattche Kezahle für quattatve Merkmale.. Lagemaße (arthmetche Mttel, Mttelwert, Durchchtt a Arthmetche Mttel (Mttelwert oder Durchchtt au eer Merehe,,,, mt Azahl der Mewerte: b Arthmetche Mttel au eer Häufgkettabelle (für quattatve Merkmale ohe Klaeetelug mt k uterchedlche Aupräguge a, a, a, a k, mt de abolute (bzw. relatve Häufgkete h, h, h, h k, (bzw. f, f, f, f k berechet ch, we Azahl der Mewerte, al a h + ah akh k k j a j h j k j a j f j.. Lagemaße (arthmetche Mttel, Durchchtt c Arthmetche Mttel gegebe: Häufgkettabelle (für quattatve Merkmale mt Klaeetelug mt k Klae ud de Klaemtte m, m, m, m k, mt de abolute (bzw. relatve Häufgkete h, h, h, h k, (bzw. f, f, f, f k Klae [u ;o mt m ½ (u +o [u ;o mt m ½ (u +o [u ;o ab. Häufgket h h h rel. Häufgket f h / f h / f h / berechet ch, we Azahl der Geamtmewerte, al m h + mh mkhk k j m j h j k j m j f j

13 .. Lagemaße (Meda, Zetralwert, 0%-Wert Meda: glech vele Date auf bede Sete (0%/0%-Pukt a Meda ~ eer Merehe: orde Werte der Größe ach, ( Stchprobeumfag. Der Meda t - für ugerade, der Wert der Mtte der geordete Stchprobe - für gerade, al da arthmetche Mttel der bede mttlere Werte. ~ Bp: 9 Werte der Größe ach geordet: (. Wert 0 Werte der Größe ach geordet: ~ ( + 6 (Mttel au. Wert & 6. Wert.. Lagemaße (Meda, Zetralwert, 0%-Wert b De Meda ~ au eer Häufgkettabelle ohe Klaeetelug erhält ma durch folgede Vorgehe: - Aufummere der abolute Häufgkete h lefert de kumulerte abolute Häufgket H. - Bereche vo H b der Wert / eakt errecht oder überchrtte wrd. Be Überchretug ~ etprechede Merkmalauprägug Be eakter Errechug ~ arthmetche Mttel au errechter Merkmalauprägug ud ächt folgeder Merkmal ab. Häufgket kum. ab. Häufgket a a a - a h h h - h H h H H + h H - H - + h - < / H H - + h / fall H > /: ~ a fall H /: ~ ½ (a +a + 6

14 .. Lagemaße (Meda, Zetralwert, 0%-Wert c De Meda ~ au eer Häufgkettabelle mt Klaeetelug: - Aufummere der abolute Häufgkete h lefert de kumulerte abolute Häufgket H. - betmme be dem H de Wert / eakt errecht oder überchretet Klae [u ;o [u ;o [u - ;o - [u ;o ab. Häufgket h h h - h kum. ab. Häufgket H h H H + h H - H - + h - < / H H - + h / - Meda legt da rgedwo deer Klae. Ierhalb der Klae wrd auf folgede Wee terpolert: ~ H utere Klaegreze der - te Klae + H H (obere Klaegreze der - te Klae H utere Klaegreze der - te Klae u + H H ( o u 7.. Lagemaße (Meda, Zetralwert, 0%-Wert Aufgabe Bereche Se Meda ud arthmetche Mttel der Stchprobe a b

15 .. Lagemaße (Meda, Zetralwert, 0%-Wert Aufgabe Bereche Se de Meda der Date der klaerte Häufgkettabelle Klae (0;0] (0;0] (0;60] (60;0] (0;00] Abolute Klaehäufgket Lagemaße: Verglech Meda/arthm. Mttelwert Arthmetche Mttel: - ka ur für quattatve Merkmale berechet werde, - beeflut vo Aureßer: wrd vo etreme Date (ehr große oder ehr klee tark beeflut. Meda: - ka für quattatve oder auch qualtatv-ordale Merkmale verwedet werde (wchtg: e mu ee Rehefolge gebe - uempfdlch gegeüber Aureßer/etreme Date. Bepel: zwe Raglte,,,6,9,,,6,60 Meda arthm. Mttel,6, 0

16 .. Streumaße Mttelwerte gebe a, um welche mttlere Wert ch de Stchprobewerte gruppere, gebe aber kee Aukuft über de Schwakug um de Mttelwert Bepel: Gegebe Stchprobe Mttelwert a b,7,0,, a b Aber: De Werte vo b lege dchter bem Mttelwert al de Werte vo a Maßzahle für de Schwakug: Streuugparameter oder Streumaße.. Streumaße a Efachte Streumaß: Spawete R (rage R ma m, wobe ma größter Stchprobewert/Mewert m kleter Stchprobewert/Mewert Bp.: Bereche Se R für de Stchprobe a b,7,0,, Spelt der Pra kaum ee Rolle, höchte für de Betmmug de Maßtab ud der Berechauwahl für graphche Dartelluge. b Mttlerer Abtad oder mttlere abolute Abwechug Für ee Stchprobe,,,, Azahl der Mewerte, wrd der mttlere Abtad defert al da arthmetche Mttel der Abtäde d Bemerkuge: Der mttlere Abtad wrd kaum verwedet, wel - Betragfukto cht dfferezerbar (uhadlche Formel - chlechte Schätzegechafte (vgl. chleßede Stattk

17 .. Streumaße c Emprche Varaz ud emprche Stadardabwechug Für ee Stchprobe,,,, Azahl der Mewerte, t de Varaz (emprche Varaz, Stchprobevaraz ( e Maß für de Streuug um de Mttelwert. Ma chrebt, wel al Streuugmaß auch de emprche Stadardabwechug ( verwedet wrd... Streumaße zu c emprche Varaz ud Stadardabwechug Aufgabe: Bereche Se de emprche Varaz ud de emprche Stadardabwechug zu folgede Stchprobe: a b,7,0,,

18 .. Streumaße zu c emprche Varaz ud Stadardabwechug (adere Berechugmethode ( Durch Termumformuge lät ch de emprche Varaz auch chrebe al Dee Formel lät ch mt dem Tacherecher cheller bereche. ( Berechug der emprche Varaz au Häufgkettabelle ohe Klae Für ee Stchprobe vom Umfag mt k uterchedlche Aupräguge a, a, a, a k mt de abolute Häufgkete h, h, h, h k berechet ch de emprche Varaz al k h k ( a h a ( Berechug der emprche Varaz au Häufgkettabelle mt Klae Für ee Stchprobe vom Umfag mt k uterchedlche Klae mt de Klaemtte m, m, m, m k mt de abolute Häufgkete h, h, h, h k berechet ch de emprche Varaz al k h k ( m h m 6.. Streumaße zu c emprche Varaz ud Stadardabwechug Bemerkuge - Stadardabwechug hat deelbe Ehet, we de ezele Stchprobewerte (z. B. Gramm atatt Gramm. - Durch de Dvo mt dem Faktor (- (atatt! wrd errecht, da de emprche Stadardabwechug beere Schätzegechafte (ehe Kaptel Schleßede Stattk hat. - Da arthmetche Mttel mmert de Fukto aa ( a ( a ud t deem Se e optmaler Repräetat der Stchprobewerte. 7

19 .. zwedmeoale Stchprobe I deem Abchtt werde zwe Merkmale eer Stchprobe betrachtet z.b. ka ma be Meche de Zuammehag zwche Körpergröße ud Schuhgröße uteruche. a Graphche Dartellug erfolgt mttel Streudagramm oder Puktewolke oder Scatter Plot: jede Paar vo Aupräguge (, y wrd al Pukt m -y-koordateytem repräetert. Bp: PS v. Verbrauch.. zwedmeoale Stchprobe Maßzahle für de Zuammehag zwche zwe Größe: b Emprche Kovaraz ud emprcher Korrelatokoeffzet Für de Wertepaare (,y, (,y,, (,y mt de arthmetche Mttelwerte ud t de emprche Kovaraz defert durch y y ( ( y y Kovaraz t tark vo de Maßehete abhägg. Be Normerug erhält ma de emprche Korrelatokoeffzet durch r y y y ( ( y y ( ( y y 9

20 .. zwedmeoale Stchprobe b Kovaraz ud Korrelato: - Alteratve Berechug: Durch Aumultplzere der Klammer erhält ma für de emprche Kovaraz de Formel y y y - De emprche Korrelato ka ma auch dartelle al r y y y ( ( y y y 0.. zwedmeoale Stchprobe b Emprche Kovaraz ud emprcher Korrelatokoeffzet Aufgabe: Bereche Se y ud r y. Date: Scatter-Plot: Moat Verkauferlö, y ( Werbeaugabe, ( 00 Sale Reveue (y Advertg Epee ( Ergeb: y ; r y 0,77 (,; y,

21 .. zwedmeoale Stchprobe Bemerkuge Korrelatokoeffzet:. r y. r y y a + b mt a > 0 (d. h. alle Pukte (, y lege auf eer Gerade mt potver Stegug. r y - y a + b mt a < 0 (d. h. alle Pukte (, y lege auf eer Gerade mt egatver Stegug. r y 0 bedeutet, da ke learer Zuammehag zwche ud y beteht r y t e Maß für de leare Zuammehag (vgl. achfolgede Graphke... zwedmeoale Stchprobe Streudagramme ud Korrelatoe r y -0,7 r y 0, r y 0, r y -0,

22 .. zwedmeoale Stchprobe c Leare Regreo ud Progoe Typche Fragetellug: Bepel (Fort. Moat Verkauferlö, y ( Werbeaugabe, ( 00 Sale Reveue (y Advertg Epee ( We hoch wrd der Umatz erwartet, we de Werbeaugabe auf 0 fetgelegt werde? Oft: zetlche Date (Zetrehe mt der Frage, wa zum ächte Me-/Zetpukt gecheht... zwedmeoale Stchprobe c Leare Regreo ud Progoe Stochatche Bezehug zwche ud y - Bezehug zwche zwe Varable: y f( - A.: f( t leare Fukto - Determtche Bezehug y α + β - Stochatche Bezehug y α + β + ε Beobachtuge ud y: y α + β + ε,..., y y ε α +β α+β Bezechuge: - : uabhägge Varable, erklärede Varable - y: abhägge Varable, tereerede Varable - ε: Fehler (Zufallvarable - α, β: (ubekate Regreokoeffzete Schätzug, o da de Summe der Fehlerquadrate mmal wrd!

23 .. zwedmeoale Stchprobe c Leare Regreo ud Progoe - Schätzer für de Regreokoeffzete: y y y ˆ α ud ˆ β y ˆ α - Regreogerade: y ˆ α + ˆ β ˆ + y ˆ y ˆ α( + y wobe ˆ α - De Regreogerade mt de Koeffzete we obe hat ee kleere Summe der Fehlerquadrate (RSS: redual um of quare al jede adere Gerade. RSS ε α ( α + β y m. ( α 6.. zwedmeoale Stchprobe c Leare Regreo ud Progoe Bepel (Fort. Moat Verkauferlö, y ( Werbeaugabe, ( 00 Sale Reveue (y Advertg Epee ( Bereche Se de Koeffzete ud de Regreogerade. 7

24 .. zwedmeoale Stchprobe c Leare Regreo ud Progoe Fortetzug de Bepel Vorherage de Verkauferlöe für gegebee Werbeaugabe: Werbeaugabe: 0, y,, +, Erwarteter Umatz:.00 Sale Reveue (y Advertg Epee ( 9.. zwedmeoale Stchprobe c Leare Regreo ud Progoe: Zuammefaug Betmmug der Regreogerade über de Methode der klete Quadrate (ach C. F. Gauß d. h: Geucht wrd dejege Gerade (Regreogerade y f ( m( + b o da de Summe der quadrerte Abtäde ε ( y f ( über alle Wertepaare (,y, (,y,, (,y mmal wrd. Ergeb: De Regreogerade für de Wertepaare (,y, (,y,, (,y mt de arthmetche Mttelwerte y ud de Stadardabwechuge lautet De Stegug m y f (,, y y ( + y heßt emprcher Regreokoeffzet. 0

25 .. zwedmeoale Stchprobe Carl Fredrch Gauß (777- hat ertmalg de Methode der klete Quadrate agewadt zur Ermttlug der Umlaufbah de Aterode Cere um de Soe.. zwedmeoale Stchprobe d Betmmthetmaß R (cht verwechel mt Spawete!! Da Betmmthetmaß R bechrebt de Atel der Varaz der y-werte, der durch de Regreo erklärt werde ka. R t für leare ud chtleare Regreofuktoe defert. Im Falle eer leare Regreo glt: ( : Quadrat de Korrelatokoeff. r y R r y Außerdem glt: 0 R - Fall R verläuft de Regreogerade (oder -kurve gut durch de Puktewolke. - Fall R 0 gbt de Regreogerade (oder -kurve de Puktewolke cht gut weder. Im Bepel: r y 0,77 R r y 0,6