{0,1,...,b-1} Die Ziffern (Digits) werden der Eindeutigkeit wegen häufig mit Bezeichnungen belegt, aus denen die Basis b erkennbar wird:

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1 2. Zahlendarstellung 2.1. Positionssysteme Was muß man sich merken? Basis {2,3,...} Zahl z = d d...d d.d d...d m-1 m n mit Ziffer (Digit) d auf Position und d {0,1,...,-1} Die Ziffern (Digits) werden der Eindeutigkeit wegen häufig mit Bezeichnungen elegt, aus denen die Basis erkennar wird: = 2 => it (inary digit) = e => nit (natural digit), fällt aus dem Rahmen! = 10 => dit (decimal digit) m-1 Wert w = d * =-n Für jeden Wert git es genau eine Darstellung in einem Positionssystem (Orthogonalität). Beisiel 2.1: zweistellige Ternärzahl z = d d d d0 Beisiel 2.2: hinterhältig und völlig nutzlos Gesucht ist eine Zahl z zur Basis, für die gilt z = 121 Lösung: Was ist zunächst zur Basis zu sagen? Aus d {0,1,...,-1} folgt 3. Wie geht es weiter? 4

2 m-1 Aus w = d * =-n folgt z = 1* + 2* + 1* = = + 1 = 1* + 1* = 11 Von einiger Bedeutung sind neen dem Dezimalsystem nur das Dual-, das Oktal- und das Hexadezimalsystem. Die ürigen Zahlensysteme haen kaum eine raktische Bedeutung. Nichtsdestoweniger wird die Konvertierung zwischen elieigen Zahlensysteme gern und ausgieig geüt. Auf das Dezimalsystem muß ich nicht näher eingehen, es ist uns geläufig. Im Zusammenhang mit (Binär-)Rechnern haen das Dualoder Binärsystem sowie das Oktal- und das Hexadezimalsystem eine große Bedeutung erlangt. Dualsystem = 2, d {0,1} Oktalsystem = 8, d {0,1,2,3,4,5,6,7} Hexadezimalsystem = 16, d {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Das Dualsystem ist das mathematische Aild der technischen Gegeenheiten in Binärrechnern. Die technische Basis jedes Binärrechners sind digitale (genauer: inäre) Schaltkreise. Sie verareiten nur zwei technisch gut voneinander unterscheidare Pegel, die als Werte einstelliger Binärzahlen interretiert werden => Binärsystem. Binärzahlen sind schlecht lesar, d. h. es gelingt kaum, "mit einem Blick" den Wert 3 einer hinreichend 4 langen Binärzahl zu erfassen. Wegen 8 = 2 zw. 16 = 2 können jeweils Gruen von 3 zw. 4 Bits als eine Oktal- zw. Hexadezimalzahl eschrieen werden, wohlgemerkt nur eschrieen. Es git keinen Oktal- oder Hexadezimalrechner. Oktal- zw. Hexadezimalzahlen dienen nur der komakteren Darstellung von Binärzahlen und damit in erster Linie der equemeren Dokumenation. Prolematisch wird es erst, wenn eide Systeme arallel verwendet werden (IBM <--> DEC) Konvertierung von Zahlen Es wird die Konvertierung von Positionszahlen im Zahlensystem zur Basis in wertgleiche Positionszahlen im Zahlensystem zur Basis B etrachtet Konvertierung ganzer Zahlen Fall 1 i j = 2, B = 2, i,j {1,2,...}, i j, d. h. und B sind ganze (ungleiche) Zweierotenzen 5

3 Fall 1 ist (fast) der einzige Fall, der in der raktischen Areit am Rechner Bedeutung hat! Korresondenztaelle DUAL OKTAL HEXADEZIMAL (die sollte man im Kof haen) A B C D E F Fall 1.1 i = 1, j 1, d. h. Konvertierung aus dem Dualsystem Vom Dezimalunkt aus nach links (und rechts) werden jeweils j Bit zu einer Grue zusammengefaßt. Führende (und endende) Nullen sind ggf. zu ergänzen. Jede j-bit-grue wird durch das entsrechende Ziffernsymol aus der Basis B gemäß Korresondenztaelle ersetzt. Beisiel 2.3: = 101_011_000_110 2 = = 1010_1100_ = AC = o11_011_001_110_101_001 2 = = ooo1_1011_0011_1010_ = 1B3A9 16 Fall 1.2 i 1, j = 1, d. h. Konvertierung ins Dualsystem Jedes Ziffernsymol wird durch seine duale Reräsentation gemäß Korresondenztaelle ersetzt. Beisiel 2.4: = 001_101_111_011 2 = A = 1010_0111_0100_ = Fall 1.3 i,j 1, i j, der allgemeine Fall Die Quellzahl wird zunächst nach Fall 1.2 in eine Dualzahl und danach nach Fall 1.1 in die Zielzahl umgeschrieen. 6

4 Beisiel 2.5: 3A 16 = x 4 = 0011_ = = 11_10_10 2 = Fall 2 B = 10, d. h. Konvertierung ins Dezimalsystem Es wird der dezimale Wert nach der o. a. Formel erechnet. Beisiel 2.6: = x 10 = 1* * * * * *2 0 = = Eine Vereinfachung kann das sog. HORNER-Schema ringen. Wer das HORNER-Schema ohnehin kennt, sollte es anwenden. Lernen sollte er es dafür nicht. Aus der Wertformel (für ganze Zahlen) m-1 Wert w = d * =0 folgt w = d 0 + d 1 + d d m-2 m-2 + d m-1-1 = d 0 + (d (d m-2 + d m-1 )... )) d. h. Ausklammern von efreit von der exliziten Berechnung der Potenzen von. Beisiel 2.7: Fall 3 ((((1*2 + 0)*2 + 1)*2 + 1)*2 + 0)*2 + 0 (((( 2 )*2 + 1)*2 + 1)*2 + 0)*2 + 0 ((( 5 )*2 + 1)*2 + 0)*2 + 0 (( 11 )*2 + 0)*2 + 0 ( 22 )* = 10, d. h. Konvertierung aus dem Dezimalsystem Hier emfiehlt sich die "Methode des scharfen Hinsehens". Die Wertformel liefert wieder den Schlüssel. Es wird von oen nach unten gerüft, wie oft B in der Quellzahl "steckt". 7

5 Beisiel 2.8: = x 2 alle Werte 2 8 = 256 und größer "stecken" 0-mal in = 128 "steckt" 1-mal in *128 = = 64 "steckt" 0-mal in = 32 "steckt" 1-mal in *32 = = 16 "steckt" 1-mal in = = 8 "steckt" 0-mal in = 4 "steckt" 0-mal in = 2 "steckt" 1-mal in = = 1 "steckt" 1-mal in = 0. < Aruchkriterium fertig! > Ein aus dem HORNER-Schema ageleitetes Divisionsverfahren kann die Lösung vereinfachen. Beisiel 2.9: = x :2 = 89 Rest 1 < LSB! :2 = 44 Rest 1 :2 = 22 Rest 0 :2 = 11 Rest 0 :2 = 5 Rest 1 :2 = 2 Rest 1 :2 = 1 Rest 0 :2 = 0 Rest 1 < MSB! > Aruchkriterium! Hinweis: Je größer die Basis des Zielsystems ist, desto schneller konvergiert das Verfahren. Falls das Zielsystem das Dualsystem ist, emfiehlt es sich deshal, zunächst ins Hexadezimalsystem (oder ins Oktalsystem) zu konvertieren und das so gewonnene Zwischenergenis nach Fall 1.2 in eine Dualzahl umzuschreien. Das gilt sowohl für die "Methode des scharfen Hinsehens" als auch für das Divisionsverfahren. Beisiel 2.10: 179 :16 = 11 Rest 3 < LSB :16 = 0 Rest 11 < MSB Aruchkriterium > B3 16 = 1011_ =

6 Fall 4 Der allgemeine Fall ist raktisch nur lösar, wenn man üer das Dezimalsystem konvertiert, d. h. Fall 2 und Fall 3 kominiert. Beisiel = z = x 10 = z 5 Fall 2 Fall 3 ohne HORNER-Schema: > = 2*3 + 2*3 + 1*3 + 2*3 3 = 2* * *81 + 2*3 = = > = 3* * *25 + 1*5 + 1*1 = Konvertierung gerochener Zahlen Der ganze Teil und der gerochene Teil werden getrennt konvertiert, der ganze Teil nach den oen ehandelten, der gerochene Teil nach den unten folgenden Regeln. Fall 2 B = 10, d. h. Konvertierung ins Dezimalsystem Gegeen sei eine gerochene Zahl zur Basis mit m Stellen nach dem Punkt 0.d d...d m Dann erfolgt die Konvertierung in drei Schritten: 1. Verschieen des Punkts um m Stellen nach rechts (d. h. Multilikation mit m ) 0.d d...d x m m = d -1 d -2...d -m 2. Konvertieren der so entstandenen ganzen Zahl in eine wertgleiche Dezimalzahl m 3. Division dieser Dezimalzahl durch 10 9

7 Beisiel A7 = x Schritt 0.8A7 x = 8A Schritt 8x x = Schritt 2215 : 4096 = Beisiel = x Schritt x = Schritt 4x x x8 + 7 = Schritt 2215 : 4096 = Fall 3 = 10, d. h. Konvertierung aus dem Dezimalsystem Auch hier hilft die "Methode des scharfen Hinsehens". Eleganter ist ein aus dem HORNER-Schema ageleitetes Verfahren. Beisiel = x x 16 = x 16 = > = 0.8A x 16 = x 16 usw. 10

8 Beisiel = x x 8 = x 8 = x 8 = > = Beisiel = x x 2 = x 2 = x 2 = > = x 8 = x 8 usw x 2 = x 2 = x 2 usw. Auch hier führt der "Umweg" üer das Hexadezimalsystem oder das Oktalsystem zu erhelichen Einsarungen: 0.8A7 16 = _1010_ (vgl. Beisiel 2.14) = 0.100_010_100_111 2 (vgl. Beisiel 2.15) 11