Grundwissen Stochastik 5. Klasse bis 10. Klasse

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1 Grundwissen Stochastik 5. Klasse bis 10. Klasse Lehrplanausz"uge Doris Behrendt Gymnasium Marktbreit 14. Mai 2016

2 2 Lehrplanauszug 5. Klasse... erstes Anwenden des Zählprinzips, Veranschaulichen in Baumdiagrammen... Quelle: isb Fragen zur 5. Klasse Was ist das sog. Zählprinzip? Was hat das Zählprinzip mit einem Baumdiagramm zu tun?

3 3 Beispielaufgabe 1: Restaurant Auf der Speisekarte eines Restaurants werden als Vorspeisen ein Salat nach Art des Hauses und eine Gemüsesuppe angeboten. Als Hauptgerichte gibt es Schweinebraten, eine Pilzpfanne oder Wiener Schnitzel zur Auswahl. Wie viele verschiedene zweigängige Speisenfolgen lassen sich daraus zusammenstellen? Wie viele dreigängige Speisenfolgen lassen sich zusammenstellen, wenn zusätzlich noch 2 Nachspeisen angeboten werden? Insgesamt gibt es 60 Möglichkeiten, ein dreigängiges Menü und ein Erfrischungsgetränk aus der Karte auszuwählen. Wie viele Erfrischungsgetränke stehen demnach auf der Karte? Quelle: isb

4 Beispielaufgabe 2: Ziffern und Zahlen Im Folgenden geht es um zweistellige Zahlen: Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden? Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden, wenn keine Ziffer doppelt vorkommen darf? Wie viele gerade zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 0, 1, 2, 3 bilden? Beispielaufgabe 3: Bausteine Nimm an, du hast zwei rote und drei blaue, ansonsten aber gleiche Bausteine. Wie viele Möglichkeiten gibt es, damit einen vier Steine hohen Turm zu bauen? Quelle: isb

5 5 Lehrplanauszug 6. Klasse [Die Schüler] erstellen und interpretieren Diagramme in einfachen Fällen und sind für Möglichkeiten der Manipulation sensibilisiert. Die Schüler beschäftigen sich mit einfachen Zufallsexperimenten und werten Daten aus. Dabei lernen sie die relative Häufigkeit dargestellt als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentsatz als Mittel zur Bewertung einzelner Ergebnisse und als sinnvollen Schätzwert zur Vorhersage von Gewinnchancen (empirisches Gesetz der großen Zahlen) kennen. Quelle: isb

6 6 Fragen zur 6. Klasse Was ist der Unterschied zwischen einem Zufallsexperiment und einem physikalischen Experiment? Was ist der Unterschied zwischen der relativen und der absoluten Häufigkeit? Erkläre anhand eines Beispiels den Zusammenhang zwischen der Bruchdarstellung, der Dezimalzahldarstellung und der Prozentsatzdarstellung von relativen Häufigkeiten. Wie lautet das empirische Gesetz der großen Zahlen?

7 Aufgaben zur relativen Häufigkeit ISB-Aufgaben Aufgabe 3b dieser alten Schulaufgabe, hier ist die Lösung Aufgabe 5 dieser alten Schulaufgabe Aufgabe 5 dieser alten Schulaufgabe, hier ist die Lösung

8 8 Aufgaben zur Prozentrechnung ISB-Aufgaben Aufgabe 3 dieser alten Schulaufgabe, hier ist die Lösung Aufgabe 3 dieser alten Schulaufgabe Aufgaben zum Begriff Zufallsexperiment Aufgabe 5 dieser Schulaufgabe

9 9 Lehrplanauszug 7. Klasse Die Schüler werten Daten aus Zufallsexperimenten oder statistischen Erhebungen graphisch und rechnerisch aus. Das Analysieren von Diagrammen fördert ihre Fähigkeit, Sachverhalte zu beurteilen. Sie wiederholen dabei die Grundlagen des Prozentrechnens. Durch Beschäftigung mit Fragestellungen, die eine Veränderung des Grundwerts erfordern, vertiefen die Schüler ihre Kenntnisse aus Jahrgangsstufe 6. Auch arithmetisches Mittel. Quelle: isb

10 10 Fragen zur 7. Klasse Was ist der Unterschied zwischen Daten, die aus Zufallsexperimenten gewonnen wurden, und Daten aus statistischen Erhebungen? Wie lautet die sog. Grundgleichung der Prozentrechnung? Erläutere an einem Beispiel die Begriffe Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz. Erkläre an je einem Beispiel den Unterschied zwischen einem Prozentwert > 100% und einem Prozentwert < 100%. Wo findet sich der Prozentwert wieder bei der allgemeinen Exponentialfunktion f (x) = a b x? Wie äußert sich ein Prozentwert > 100% bzw. < 100% am Graphen solcher Funktionen? Welcher Prozentwert gehört zur natürlichen Exponentialfunktion f (x) = e x? Erkläre den Begriff arithmetisches Mittel!

11 Aufgaben zu Diagrammen und Prozentrechnung ISB-Aufgaben Aufgabe 1 vom BMT Jgst. 10, 2004 Aufgabe 4 vom BMT Jgst. 8, 2005 Aufgabe 2 vom BMT Jgst. 10, 2005 Aufgabe 3 vom BMT Jgst. 8, 2006 Aufgabe 2 vom BMT Jgst. 8, 2007 BMT: Bayerischer Mathematik-Test; Quelle: isb Unter diesem Link findet man zu den BMT-Aufgaben auch die Lösungen. Aufgaben zum arithmetischen Mittel Siehe Erwartungswert (Jgst. 12)

12 Lehrplanauszug 8. Klasse Anknüpfend an Zufallsexperimente aus der Unterstufe, bei denen absolute und relative Häufigkeiten im Mittelpunkt standen, werden jetzt erstmals Wahrscheinlichkeiten berechnet und als Grad der Erwartung bzw. Grad der Sicherheit einer Prognose interpretiert. Die Schüler betrachten Laplace-Experimente und beschreiben zugehörige Versuchsausgänge unter Verwendung der mathematischen Fachsprache. Sie ermitteln Laplace-Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen bzw. durch geschicktes Abzählen. Ein Ausblick auf Zufallsexperimente, die nicht der Laplace-Annahme genügen, weckt bei den Schülern die Einsicht, dass eine umfassendere Formulierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs notwendig ist. Ergebnis, Ergebnisraum, Ereignis. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Anwenden des Zählprinzips, Abgrenzung des Begriffs Laplace-Experiment durch Beispiele. Quelle: isb

13 13 Fragen zur 8. Klasse Was genau ist eine Wahrscheinlichkeit? Was ist ein Laplace-Experiment? Was versteht man unter der Laplace-Annahme? Nenne ein Beispiel eines Urnenexperiments, dessen Ergebnismenge sich sinnvoll durch ein Baumdiagramm veranschaulichen lässt. Nenne ein Beipiel eines Urnenexperiments, dessen Ergebnismenge sich zwar theoretisch durch ein Baumdiagramm veranschaulichen lässt, praktisch allerdings ehr nicht. Nenne ein Zufallsexperiment, welches kein Laplace-Experiment ist. Nenne zu ein und demselben Zufallsexperiment zwei verschiedene Beobachtungsgegenstände, so dass sich im einen Fall ein Laplace-Experiment ergibt, im anderen Fall nicht. Erkläre die Begriffe Ergebnis, Ergebnisraum, Ereignis unter Verwendung der üblichen Notationen aus der Mengenlehre.

14 14 Aufgaben zu Laplace-Experimenten ISB-Aufgaben Aufgaben und Bemerkungen zum Thema geschicktes Abzählen Das Thema geschicktes Abzählen ist ein Fass ohne Boden, hier kann der Teufel im Detail stecken. Im alten G9-Lehrplan nahmen Abzählverfahren einen relativ großen Rahmen ein, Stichwort Kombinatorik. Im G8 wird der Kombinatorik ein deutlich geringeres Gewicht gegeben (vgl. Seite 14 der Handreichung zum G8-Abi). Besagte Handreichung enthält zwei abiturrelevante Kombinatorikaufgaben, und zwar auf Seite 14 f (Aufgabe Kombinatorik A und B) Nichtsdestotrotz sind Kombinatorikaufgaben ausgesprochen spannend. Wer gerne knobelt, bearbeite beispielsweise die Aufgaben des Kapitels 8 aus folgendem Buch: F. Barth, R. Haller: Stochastik Leistungskurs (4. Aufl.); Ehrenwirth Verlag GmbH, München, 1994; ISBN Zu den Aufgaben aus diesem Buch gibt es auch ein Lösungsbuch: F. Barth, R. Haller: Stochastik Leistungskurs Lösungen (5. Aufl.); Ehrenwirth Verlag GmbH, München, 1990; ISBN Beide Bücher können bei Frau Behrendt oder (das erste Buch zumindest) in der Schulbücherei ausgeliehen werden.

15 15 Lehrplanauszug 9. Klasse [Die Schüler beschäftigen sich] systematisch mit zusammengesetzten Zufallsexperimenten. An Baumdiagrammen veranschaulichen sie den Ablauf solcher Vorgänge. Sie lernen die Pfadregeln als Axiome kennen und verwenden diese zielgerichtet zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten. Die Jugendlichen ergänzen theoretische Überlegungen durch Simulationen z. B. mit Urnen oder Zufallszahlen. Quelle: isb

16 16 Fragen zur 9. Klasse Erkläre an einem Beispiel, was ein zusammengesetztes und was ein nicht zusammengesetztes Zufallsexperiment ist. Wie lautet die sog. erste Pfadregel? Wie lautet die sog. zweite Pfadregel? Wo tauchen diese Pfadregeln bei der Bernoulli-Kette auf? Wie kann man mit dem Taschenrechner Zufallszahlen erzeugen? Zwischen welchen Grenzen liegen diese Zufallszahlen? Erkläre, was man unter dem Begriff Gegenereignis versteht und zeige am Baumdiagramm eines geeigneten Beispiels, welche Pfade zum ursprünglichen Ereignis und zum Gegenereignis gehören.

17 17 Aufgaben zu zusammengesetzten Zufallsexperimenten ISB-Aufgaben Aufgabe 3 dieser alten Schulaufgabe Aufgabe 3 dieser alten Schulaufgabe Lösungen zu den Schulaufgaben auf Anfrage bei Frau Behrendt

18 18 Lehrplanauszug 10. Klasse Die Schüler haben sich bereits in der vorhergehenden Jahrgangsstufe mit zusammengesetzten Zufallsexperimenten beschäftigt, dabei aber nur einfachere Fälle betrachtet. Nun wenden sie sich anspruchsvolleren Fragestellungen zu, wobei sie Zusammenhänge durch Vierfeldertafeln und Baumdiagramme veranschaulichen. Daran lernen sie den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit kennen und erfahren insbesondere bei Fragestellungen aus dem Alltag, dass bei Aussagen über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Zusatzinformationen zu berücksichtigen sind. Die Jugendlichen gewinnen so zunehmend an objektiver Urteilsfähigkeit. Quelle: isb

19 19 Fragen zu Vierfeldertafeln und bedingten Wahrscheinlichkeiten Erkläre den Unterschied zwischen normaler Wahrscheinlichkeit und bedingter Wahrscheinlichkeit anhand eines geeigneten Beispiels. Wenn man sich Wahrscheinlichkeiten als Flächen vorstellt, kann man daran sehr gut erklären, was bedingte Wahrscheinlichkeit ist. Wie geht das? Veranschauliche die Begriffe Teilmenge, Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Komplement durch Zeichnen von Flächen. Das mathematische Oder und das Alltagsoder sind manchmal begrifflich nicht ganz klar. Was genau bedeuted das mathematische Oder? Wie kann man für zwei Ereignisse A und B das Ereignis entweder A oder B in Mengenschreibweise darstellen? Was versteht man in der Mengenlehre unter einer Zerlegung (Partition)? Zu jeder Vierfeldertafel (die im Zusammenhang mit einem Zufallsexperiment erstellt wurde) kann man zwei verschiedene zweistufige Baumdiagramme zeichnen. Wie geht das?

20 20 Aufgaben zu Vierfeldertafeln und zur bedingten Wahrscheinlichkeit ISB-Aufgaben Löse die Aufgabe 3b dieser alten Schulaufgabe mit Hilfe einer Vierfeldertafel. Aufgaben von S. 62 der Handreichung zum G8-Abi. Aufgabe 1 der Gruppe A dieser alten Ex, dazu die Lösung Aufgabe 1 der Gruppe B dieser alten Ex, dazu die Lösung Aufgabe 3 dieser alten Schulaufgabe, dazu die Lösung

21 Lehrplanauszug 11. Klasse Die Entwicklung eines abstrakten Wahrscheinlichkeitsbegriffs erlaubt es den Schülern, verschiedene bereits aus den vorhergehenden Jahrgangsstufen bekannte Begriffe und Vorgehensweisen zu präzisieren und zu erweitern. Sie erkennen, dass für weitergehende Betrachtungen von Zufallsexperimenten, die nicht der Laplace-Annahme genügen, ein tragfähiger, auf unterschiedliche Sachverhalte anwendbarer Wahrscheinlichkeitsbegriff nötig ist. Die Tatsache, dass auch bedeutende Mathematiker bis zu seiner axiomatischen Fundierung lange um eine einwandfreie Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs gerungen haben, macht den Schülern deutlich, dass in der Mathematik ein ständiger Prozess der Entwicklung von Begiffen und Aussagen stattfindet. Die Schüler arbeiten nun formaler mit Ereignissen und vertiefen dabei ihre bisherigen Kenntnisse. Sie erkennen, wie die Darstellung eines Ereignisses als Komplement-, Schnitt- oder Vereinigungsmenge es erleichtern kann, dessen Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Ausgehend vom bereits bekannten Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit lernen die Schüler, zwischen abhängigen und unabhängigen Ereignissen zu unterscheiden sowie Aussagen darüber zu machen, ob Ereignisse einander beeinflussen. Quelle: isb

22 22 Fragen zum Stochastikstoff aus der 11. Klasse Welches Problem tritt meistens auf, wenn man für zwei Ereignisse A und B die Wahrscheinlichkeit P(A B) berechnen will? Die axiomatische Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs enthält unter anderem das Axiom P(Ω) = 1 (sog. Normierung). Dieses Axiom braucht man, wenn man die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen über ihr Gegenereignis berechnet. Wieso? Wie ist die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse definiert? Der Nachweis der stochastischen Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B ist im Prinzip sehr einfach. Nicht so einfach sind manchmal die Nebenrechnungen, die man vorher eventuell durchführen muss. Welche sind das? Wie schreibt man mengentheoretisch für zwei Ereignisse A, B Ω: alle Elemente von A, die nicht in B enthalten sind

23 23 Aufgaben zum Stochastikstoff aus der 11. Klasse Folgende Aufgaben aus dem aktuellen Schulbuch der 11. Klasse: 176/2,3 178/2,4,8 181/3,4 184/4,5,6 185/15 Das Lösungsbuch zu diesem Schulbuch kann bei Frau Behrendt ausgeliehen werden. Aufgabe SII/2c aus dem Musterabitur, S. 37 der Handreichung zum G8-Abi Aufgaben zum Üben und Wiederholen aus dem aktuellen Schulbuch der 11. Klasse, S. 193 (Lösungen hinten im Buch auf S.235 f.)