Versuchsprotokoll von Thomas Bauer und Patrick Fritzsch. Münster, den

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1 M5 Das MAXWELLsche Fallrad ersuchsprotokoll von Thomas Bauer und Patrick Fritzsch Münster, den

2 INHALTERZEICHNI. Einleitung. Theoretische Grundlagen. Dreh- und Trägheitsmoment eines starren Körpers. Der TEINERsche atz.3 Die Bewegungsgleichung. Das Trägheitsmoment des MAXWELLschen Fallrades.. Trägheitsmoment eines Hohlzylinders bzgl. seiner chwerpunktsachse.. Trägheitsmoment eines Hohlzylinders bzgl. einer Achse senkrecht zur ymmetrieachse.5 Zusatzaufgaben.5. Herleitung der Bewegungsgleichung aus dem Energiesatz.5. Kraft auf die Aufhängevorrichtung beim abrollenden Rad.5.3 Kraft auf die Aufhängevorrichtung beim aufwärts rollenden Rad 3. Beschreibung der Apparatur 3. Zubehör 3. kizze und Beschreibung. Meßdurchführung. Fallzeit. Wägung des Rades.3 Radabmessungen.3. Ring.3. Achswelle, peiche und Faden 5. Meßauswertung 5. Bestimmung der Dichte 5. Berechnung des Trägheitsmomentes 5.3 Bestimmung des Abrollradius 6. Diskussion 7. Anlagen Zwei Originale Meßprotokolle

3 . Einleitung Abbildung : kizze des Maxwellsches Fallrad Das MAXWELLsche Fallrad besteht aus einem chwungrad und einer durch deren chwerpunkt laufenden Aufhängeachse. An dieser Achse ist eine dünne chnur befestigt, die sich wie bei einem o-o aufrollen läßt. Das andere Ende der chnur wird in der Regel an eine starre Befestigung montiert. Am Beispiel des Maxwellschen Fallrades läßt sich sehr gut eine verlangsamte Fallbewegung studieren, da es eine kombinierte Fall- und Drehbewegung ausführt. Die Beziehung zwischen Fallhöhe und Fallzeit soll in diesem ersuch anhand von drei Diagrammen veranschaulicht werden. Dazu werden für verschiedene Fallhöhen die jeweiligen Fallzeiten mehrere male mit einer toppuhr gemessen. Ferner soll das Trägheitsmoment bezüglich der ymmetrieachse s des Fallrades aus seinen Ausmessungen und seinem Gewicht berechnet werden. Aus den gewonnenen Daten soll der Abrollradius des Rades errechnet werden.

4 . Theoretische Grundlagen Abbildung zeigt einen Querschnitt des MAXWELLschen Fallrades durch den chwerpunkt senkrecht zur ymmetrieachse. Eine Bewegung des Rades findet aufgrund der chwerkraft erst dann statt, wenn man den Aufhängefaden auf die Achse wickelt und das Rad los lässt. Die momentane Drehachse des Rades verläuft bei der folgenden Abwärtsbewegung parallel zur ymmetrieachse durch den Punkt D, der in der Mitte des Fadens liegen sollte. Da sich das MAXWELLsche Fallrad beim freien Fall vom Aufhängefaden abrollt, beschreibt es somit eine kombinierte Translations- und Rotationsbewegung.. Dreh- und Trägheitsmoment eines starren Körpers Durch die konstante chwerkraft F = mg, welche senkrecht auf die Drehachse wirkt, erfährt das Rad der Masse m ein konstantes Drehmoment D = r F der Form D = m R g, mit dem Abrollradius R. Nach der NEWTONschen Bewegungsgleichung wird das äußere Drehmoment berechnet als Produkt des Trägheitsmomentes bzgl. der momentanen d Drehachse und der Winkelbeschleunigung α = ω, welche sich aus der Winkelgeschwindigkeit ω ergibt: D = d ω Die skalare Größe des Trägheitsmomentes, bei einer Drehung um die momentane Drehachse, ist definiert zu: = r dm = ρ ( r ) r d Hierbei ist dm das Massendifferetial, welches durch eine vom Abstandsvektor r abhängige Massendichte ρ (r ) und dem olumendifferential d ersetzt werden kann.

5 Da im Falle des MAXWELLschen Fallrades jedoch die momentane Drehachse nicht mit der ymmetrieachse zusammenfällt, berechnet sich das Trägheitsmoment über den TEINERschen atz.. Der TEINERsche atz berechnen: Das skalare Trägheitsmoment durch die momentane Drehachse D lässt sich wie folgt = r ' dm = ( r + r ) dm D ; mit r' = r + r D = r rdm rd dm + r dm + = r dm + r dm + r rdm D Die letzte Umformung ist möglich, da r D = const. D D ist. Da r vom chwerpunkt gemessen wird, ist r dm = 0. Abbildung : chwerpunkt (auf der ymmetrieachse) D : Punkt auf momentaner Drehachse P : Punkt des Massen- / olumendifferent. Nach Integration des ersten ummanden erhält man daraus den TEINERschen atz: = m r D + mit dem Trägheitsmoment bzgl. des chwerpunktes : = r dm.3 Die Bewegungsgleichung etzt man nun die beiden für das Drehmoment gewonnen Terme (s.o.) gleich und beschränkt sich auf skalare Größen, so erhält man d d D = ω = m R g ( m rd + ) ω = m R g Der ergleich von Abb. und Abb. ergibt r D = R. Bei einer Kreisbewegung ist v ω =. R ei h der Fallweg und der Nullpunkt der Bewegung der obere Ruhepunkt des

6 Rades bei t=0, so ist die Fallgeschwindigkeit des Rades v = d h. Eingesetzt ergibt dies ( m R R + ) d h = m R g und umgeformt die Bewegungsgleichung d R h = m ( m R + R g. ) Dadurch ist die Beschleunigung des Rades definiert zu: g * = d h = mr mr + ( ) g Den Fallweg h erhält man nun durch zweimaliges Integrieren mit den Anfangsbedingungen h(0)=0 und v(0)=0 zu: h = * ( t) g t. Das Trägheitsmoment des MAXWELLschen Fallrades Das Fallrad besteht aus einem äußeren Ring, den peichen, einer Buchse in der Mitte und der Achswelle. Das Trägheitsmoment des Rades setzt sich deshalb aus der umme der Trägheitsmomente der einzelnen Komponenten zusammen, wobei die Buchse in der Mitte vernachlässigt werden kann. Die Komponenten des Rades sind allesamt Hohloder ollzylinder gleicher Dichte für die das Trägheitsmoment nun berechnet werden soll... Trägheitsmoment eines Hohlzylinders bzgl. seiner ymmetrieachse = ρ ( r ) r d = ρ r d Da es sich um Zylinder handelt, bietet es sich an Zylinderkoordinaten zu wählen. = ρ r r dr dϕ dz Die Integrationsgrenzen sind R i r R a ; H H 0 ϕ π ; z mit R i als Innenradius, R a als Außenradius und H als Höhe des Hohlzylinders. R a 3 = ρ π H r dr = ρ π H ( Ri Ra ) Ri

7 .. Trägheitsmoment eines Hohlzylinders bzgl. einer Achse senkrecht zur ymmetrieachse Normalerweise ist ein Tensor. tufe der Form = xx yx zx xy yy zy xz yz zz. Die Komponenten sind definiert durch = ( r δ x x dm, mit i,j=,,3 und dem ij ij i j ) KRONECKER-Delta δ ij. Da sich der hier beschriebene Zylinder senkrecht zur y- Achse in der x-z-ebene dreht, ist nur die Komponente muß zur Berechnung herangezogen werden. Damit gilt: = = ( x + z dm yy ) = ρ ( x + z ) d In Zylinderkoordinaten entspricht dies wiederum: yy von Null verschieden und = ρ ( x + z ) r dr dϕ dz, mit der Bedingung x = r sin ϕ. Einsetzen und Aufspalten in zwei Integrale: = ρ 3 r sin ϕ dr dϕ dz + ρ z r dr dϕ dz Auch hier sind die gleichen Integrationsgrenzen wie in.. einzusetzen : H H Ra Ri = ρ π ( ( )) ( ) + ρ π 3 H ( H Ra ( ))( 8 Ri ) Ri Ra H = ρ π H ( ) + ρ π 3 3 ( R a R i ) H = ρ π H { ( Ri Ra ) + ( Ri Ra )}

8 .5 Zusatzaufgaben.5. Herleitung der Bewegungsgleichung aus dem Energiesatz de Der Energiesatz lautet: ( E + E + E ) = 0 Für die verschiedenen Energieformen gilt: E Trans = mv d = Trans Rot Pot E ω Rot = = mgh, E Pot v dh mit den Beziehungen dh v = ; ω = =. Einsetzen in den Energie- R R erhaltungssatz ergibt d m dh dh ( ) + ( ) mgh 0 = R m d dh d + ( ) 0 mg h = R m dh d h dh + = 0 mg R dh d h ( m + ) mg = 0 R Daraus erhält man die beiden Relationen d h = 0, d h ( m + ) mg = 0 R, wobei die erstere physikalisch uninteressant ist und deshalb außer acht gelasssen werden kann. Aus der zweiten ergibt sich die Bewegungsgleichung zu: d h = mg m + R d h mr g mr + =.5. Kraft auf die Aufhängevorrichtung beim abrollenden Rad ist Die gesamte auf das Rad wirkende Kraft ist F g die Gewichtskraft und F Rad m F Auf F = ma = F g + F, dabei Rad d h =. Es ist F Rad = FAuf, woraus folgt: d h = mg m

9 F F Auf Auf mr = mg m ( ) g mr + = ( ) mg mr + Wie man sieht ist die auf die Aufhängevorrichtung wirkende Kraft um den Faktor ( ) < kleiner als die Gewichtskraft des Rades. mr Kraft auf die Aufhängevorrichtung beim aufwärts rollenden Rad Die Kraft auf das aufwärtsrollende Rad entspricht der Kraft, welche auf das abrollende Rad wirkt. F Auf = ( ) mg mr +

10 3. Beschreibung der Apparatur 3. Zubehör - Maxwellsches Fallrad mit Aufhängevorrichtung - Meßlatte - chieblehre - toppuhr 3. kizze und Beschreibung Abbildung 3: MAXWELLsches Fallrad Das zu untersuchende MAXWELLsche Fallrad besteht aus einem Ring, vier peichen und einer Buchse, die die peichen in der Mitte des Rades zusammenhält und durch die senkrecht zu den peichen eine Achswelle verläuft. An den beiden Enden der Achswelle ist je ein Ende eines dünnen Faden befestigt. Die beiden anderen Enden der Fäden sind an einer Aufhängebefestigung montiert. Die kizze zeigt den Querschnitt durch den chwerpunkt des MAXWELLschen Fallrades senkrecht zur ymmetrieachse. R ist der Abstandvektor von der momentanen Drehachse D zum chwerpunkt.

11 . Meßdurchführung. Fallzeit Zu Beginn wird zu jeder Fallhöhe h die Fallzeit t fünfmal gemessen. Dabei wird die Höhe mit einer Meßlatte (kalierung: 0 mm) und die Zeit mit einer toppuhr (kalierung: /00 sec) gemessen. Dabei wurden folgende Werte ermittelt: Fallhöhe h / [mm] Fallzeit Messung Nr. t / [sec] t / [sec] t / [sec] t / [sec] t / [sec] Mittelwert t / [sec] tandardabw. s / [sec] gesch. absolute Meßuns. t / [sec] gesch. absolute Meßuns. h / [mm] relative Meßuns. t/t relative Meßuns. h/h %.93%.75%.6%.50%.5%.00% 0.83% 0.7% 0.63% Tabelle : Gemessene Fallzeiten t für verschiedene Fallhöhen h und deren Unsicherheiten Die Meßunsicherheit von 5 mm für die Fallhöhe wird mit der Ungenauigkeit des menschlichen Auges begründet. Die Meßunsicherheit für die Fallzeit wird aufgrund der verzögerten Reaktionszeit des Menschen auf 0, sec geschätzt. Als Meßergebnisse ergeben sich somit: h= 00 ± (5 /,5%) mm : t=,66 ± (0, /,5%) sec h= 500 ± (5 /,00%) mm : t=,66 ± (0, /,93%) sec h= 600 ± (5 / 0,83%) mm : t=,66 ± (0, /,75%) sec h= 700 ± (5 / 0,7%) mm : t=,66 ± (0, /,6%) sec h= 800 ± (5 / 0,63%) mm : t=,66 ± (0, /,50%) sec

12 . Wägung des Rades Das Rad wird mit einer Balkenwaage gewogen. Mit dieser Waage kann man zu bestimmende Gewichte auf etwa ein Gramm genau bestimmen, da das kleinste Gewicht einen Gramm wiegt. Die absolute Meßunsicherheit wird somit auf g geschätzt. Die Wägung des Rades ergibt eine Masse m = 768 ± ( / 0,30 %) g..3 Radabmessungen Zuletzt wird das Rad ausgemessen um später die Dichte des Rades bestimmen zu können. Benötigt wird die Dicke H, der Außendurchmesser D a und der Innendurchmesser D i des Ringes, die Länge L Ac und der Durchmesser D Ac der Achswelle und der Durchmesser D p der peiche. Die Länge der peiche setzt man später mit dem Innendurchmesser D i gleich, sodaß man die vier peichen vom Mittelpunkt bis zum Innenrand wie zwei peichen von Innenrand bis zum gegenüberliegenden Innenrand behandelt. Natürlich berechnet man so ein etwas zu großes olumen. Da die Buchse aber laut ersuchsanleitung vernachlässigt werden soll, gleicht sich dieser Fehler wieder in etwa aus. Es ist zwar wissenschaftlich nicht ganz korrekt, jedoch setzt das Ausmessen der einzelnen peichen vom Mittelpunkt bis zum Innenrand ein gewisses Geschick und Übung vorraus, die zur ersuchdurchführung nicht vorliegen. omit ist der Fehler bei der Ausmessung größer als die oben genannte Gleichsetzung. Die Ausmessungen erfolgen alle mit der chieblehre (kala 0.05 mm)..3. Ring Die Messungen an dem Ring haben einen sehr großen Einfluß auf die Meßunsicherheit des Trägheitsmomentes, da man für seine Bestimmung den Innendurchmesser und den Außendurchmesser bis zur vierten Potenz einbezieht ( s.u. ). Deswegen werden alle Messungen am Ring fünfmal an je fünf verschiedenen tellen durchgeführt. Die Meßunsicherheiten für den Ring werden alle über die tandardabweichung berechnet.

13 Für den Ring werden folgende Werte gemessen: Ring Innendurchmesser Außendurchmesser Dicke Messung Nr. Di / [mm] Da / [mm] H / [mm] Mittelwert * / [mm] tanardabw. s / [mm] absolute Meßuns. * / [mm] relative Meßuns. */* 0.0% 0.0% 0.9% Meßergebnisse: H =,56 ± (0,03 / 0,9%) mm Tabelle : Abmessungen des Ringes R a = 80,3 ± (0,03 / 0,0%) mm R i = 55,77 ± (0,03 / 0,0%) mm.3. Achswelle, peiche und Faden Die absolute Meßunsicherheit für die Länge und den Durchmesser der Achse wird auf 0.05 mm geschätzt. Die Meßunsicherheit für die Dicke des Fadens wird Fadendicke peichendurchmesser Messung Nr. HFa / [mm] Dp / [mm] Mittelwert * / [mm] tanardabw. s / [mm] absolute Meßuns. * / [mm] relative Meßuns. */*.0% 0.3% über die tandardabweichnung berechnet. Meßergebnisse: H Fa =0,99 ± (0,0/,0%) mm D p =8,8 ± (0,03/ 0,3%) mm L Ac =00,5 ± (0,05/ 0,0%) mm D Ac =8 ± (0,05/ 0,65%) mm Tabelle 3: Fadendicke und peichendurchmesse

14 5. Meßauswertung In Diagramm sind die verschiedenen vorher festgelegten Fällhöhen h gegen die gewonnen Fallzeiten (siehe Tabelle ) eingetragen. Die im selben Diagramm gezeigte Kurve ist eine approximierte Funktion aller Meßwerte. ie wurde als Polynom. Grades aufgetragen, da die Bewegungsgleichung aus den Theoretischen Grundlagen im zweiten Grad von der Zeit t abhängt. Im zweiten und dritten Diagramm werden die gleichen Meßwerte benutzt, jedoch jeweils h gegen t, h/t gegen t und deren approximierten Funktionen aufgetragen. Diagramm : h gegen t

15 Die absoluten Unsicherheiten in Diagramm 3 werden mit dem Größtfehler-Prinzip berechnet und als Fehlerbalken dargestellt. Diagramm : h gegen t Fallhöhe [mm] absolute Unsicherheit von t [sec] (geschätzt) 0, 0, 0, 0, 0, absolute Unsicherheit von h/ t [mm/s ],0 0,86 0,80 0,7 0,67 Diagramm 3: h/t gegen t

16 5. Bestimmung der Dichte olumenberechnung Das olumen eines Hohl- oder ollzylinder wird berechnet zu: a i = π ( R R ) H, bzw. = π Ra H Dabei sind nur die jeweiligen Radien und die Höhe des Zylinders einzusetzen. Da in der Messdurchführung die Durchmesser gemessen wurden, ist der Radius durch die Relation R = D zu ersetzen. Das Gesamtvolumen setzt sich dann additiv aus den oluminen von Ring, peichen und Achswelle zusammen. Damit erhält man den Zusammenhang = + + Ring peiche Achse mit den folgenden olumina: Ring = H ( ) π D a D i, peiche = π L p D p Achse = π L Ac D = π [ H ( D D ) + L D + L D ] a Ac i p p Ac Ac Dichte M Die Massendichte ist definiert als der Quotient von Masse und olumen: ρ =

17 Größe Zahlenwert Einheit Absolute Meßunsicherheit Relative Meßunsicherheit olumen des Außenringes Ring (H: Dicke, D a /Di: Außen-/Innendurchmesser) H,560 mm 0,030 0,90 % D a 80,30 mm 0,030 0,00 % D i 55,770 mm 0,030 0,00 % D a D i D a D i 36,87 mm,979 0,00 % 6,93 mm 9,706 0,00 % 88,5 mm,685 0,77 % H(D a -D i ) 9589,77 mm 3 536,35 0,567 % ¼π H(D a -D i ) 790,795 mm 3,9 0,567 % olumen der peiche peiche (L p : Länge, D p : Durchmesser) D p 8,80 mm 0,03 (geschätzt) 0,30 % L p = D i 55,770 mm 0,03 0,00 % D p 66,9 mm 0,5 0,60 % D p L p 0,996 mm 3 66,706 0,60 % ¼π D p L p 886,6 mm 3 5,39 0,60 % peiche 637,33 mm 3 0,783 0,60 % olumen der Achswelle Achse (H Ac : Länge, D Ac : Durchmesser) D Ac 8,0 mm 0,05 (geschätzt) 0,080 % L Ac 00,50 mm 0,05 (geschätzt) 0,05 % D Ac 6,0 mm 0,80,50 % D Ac L Achse 86,0 mm 3 63,0,75 % ¼π D Ac L Ac 0065,663 mm 3 8,337,75 % olumen des gesamten Maxwellschen Fallrades = Ring + Achse + peiche 0078,680 mm 3 759,3 0,75 % Dichte des Fallrad-Materials ρ (m: Masse des Gesamtrades) m 768,0 g,0 (geschätzt) 0,30 % ρ 7,6 kg / dm 3 0,067 0,88 % Tabelle : Fehlerberechnung und Berechnung des olumens und der Dichte

18 Ergebnisse: Das Gesamtvolumen des MAXWELLschen Fallrades beträgt : = 0078,680 ± (759,3/ 0,75 %) mm 3 Für die Dichte des Materials, aus dem das Rad gefertigt wurde ergibt sich: ρ = 7,6 ± (0,067/ 0,88 %) kg /dm 3 5. Berechnung des Trägheitsmomentes s Das Trägheitsmoment des MAXWELLschen Fallrades ist die umme der Trägheitsmomente der einzelnen Bestaneile, also aus dem Ring, den beiden peichen und der Achswelle. Die Formel für die Trägheitsmomente von Hohlzylindern wurde in den Theoretischen Grundlagen angegeben. Dabei muß man die Lage der einzelnen Komponenten bzgl. der Drehachse achten, denn der Ring und die Achswelle drehen sich um die Drehachse, die peiche jedoch senkrecht dazu. = + + Ring peiche Achse Die Formeln für die Berechnung der Trägheitsmomente sind: Ring peiche Achse ( D D ) = π H ρ a 3 = π Lp ρ L 8 = π LAe ρ DAc 3 p i D p + 6 D p H = π ρ L + 3 Ac ( D D ) L ( L D D ) D a i + p p p p Ac

19 Größe Zahlenwert Einheit Absolute Meßunsicherheit Relative Meßunsicherheit D a D i D a - D i Trägheitsmoment des Außenringes Ring (H: Dicke, D a /Di: Außen-/Innendurchmesser) mm 836,7 0,080 % ,9 mm 700,78 0,080 % 60007, mm 33,70 0,83 % H ρ 0,088 g / mm 0,00,7 % H ρ ( D a - D i ) ,88 g mm 59590,5,57 % (/3) π ρ H ( D a - D i ) 0539,36 g mm 58503,8,57 % L p D p D p L p D p /8 L p D p /6 D p /8 L p D p + /6 D p Trägheitsmoment der peiche peiche (L p = D i : Länge, D p : Durchmesser) 6,93 mm 9,706 0,00 % 66,9 mm 0,5 0,60 % 77,68 mm 55,58,0 % 6358,07 mm 075,6 0,660 % 338,67 mm 3, 0,660 % 69,957 mm 0,867,0 % 3389,58 mm,09 0,66 % L p ρ,88 g /mm 0,00 0,90 % L p ρ ( /8 L p D p 055,3 g mm 69,99,565 % +/6 D p ) π L p ρ ( /8 L p D p + 665,83 g mm 979,85,565 % /6 D ) peiche 5930,966 g mm 3958,370,565 % D Ac Trägheitsmoment der Achse Achse (L Ac : Länge, D Ac : Durchmesser) 096,0 mm 0,00,500 % ρ L Ac,58 g /mm 0,00 0,909 % ρ L Ac D Ac 653,79 g mm 3,90 3,09 % /3 π ρ L Ac D Ac 63,960 g mm 0,930 3,09 % Trägheitsmoment des gesamten Maxwellschen Fallrades s s = Ring + peiche + Achse 75,0 g mm 68,58,6 % Tabelle 5: Fehlerrechnung und Berechnung des Trägheitsmomentes Ergebnis: Als Trägheitsmoment des MAXWELLschen Fallrades ergibt sich: = 75,0 ± (68,58 /,6 %) g mm

20 5.3 Bestimmung des Abrollradius Zur Bestimmung des Abrollradius R ist die in den Theoretischen Grundlagen abgeleitete Gleichung mr h( t) t * = g t = g ausschlaggebend. Dabei ist ( mr + ) * g dem Diagramm 3, welchem die Messungen der Fallzeiten zugrundeliegen, zu entnehmen. Formt man diese Gleichung nach R um, erhält man R = * g m( g g*) Aus Tabelle 3 liest man für ½ g*=8, mm/ sec ab. Die relative Meßunsicherheit von R ergibt sich zu aus der Hälfte der Differenz zwischen den relativen Meßunsicherheiten des Trägheitsmomentes und der Masse. omit ergibt sich für den Abrollradius R =,578 ± (0,0 / 0,79 %) mm.

21 6. Diskussion. Was hätte man in der ersuchsdurchführung besser machen können? Man hätte die vorher festgelegten Fallhöhen auf ein breiteres pektrum verteilen sollen, um bessere Approximationen der Graphen in den drei Diagrammen zu erreichen.. Wie genau läßt sich der Abrollradius mit der in 5.3 durchgeführten Methode bestimmen? Die relative Meßungenauigkeit von nur 0,79% läßt vermuten, daß sich die Methode sehr gut eignet. Außerdem ist der errechnete Wert dem ausgemessenen Wert ( R = ½ D Ac + ½ H Fa =,9 mm) sehr ähnlich. Das ist eine 98%-tige Übereinstimmung! Weiter spricht für diese Methode, daß wirklich alle Meßwerte (Fallhöhen, Fallzeiten, Ausmessungen) berücksichtigt werden.