Vorlesung Theoretische Physik II Mechanik Wintersemester 2009/2010. Prof. Dr. Angela Thränhardt

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1 Vorlesung Theoretische Physik II Mechanik Wintersemester 2009/2010 Prof. Dr. Angela Thränhardt 18. März 2010

2 Dies ist eine erste Version eines Skripts zur Vorlesung Theoretische Physik II Mechanik, die von mir im Wintersemester 2009/2010 an der Techni- schen Universität Chemnitz gehalten wurde. Wahrscheinlich sind trotz großer Bemühungen unsererseits noch zahlreiche Fehler enthalten. Wenn Sie einen solchen bemerken, teilen Sie mir dies doch bitte per mit künftige Studentengenerationen werden davon profitieren. Vielen Dank! Angela Thränhardt

3 Inhaltsverzeichnis 1 Newtonsche Mechanik Newtonschen Axiome Newton II Newton I Newton III Anwendung auf Drehbewegungen Newtonsche Gesetze für Systeme von N Massenpunkten Starrer Körper Gesamtdrehimpuls und Trägheitstensor Kontinuierlicher Körper Satz von Steiner Teilchen in Feldern Arbeit Konservative Kräfte Energie Systeme von Massenpunkten Der harmonische Oszillator Lagrange - Mechanik Prinzipien von d Alembert (virtuelle Arbeit) und Hamilton Freiheitsgrade Virtuelle Verrückungen und Zwangsbedingungen Euler-Lagrange-Gleichungen Hamiltonsches Prinzip Generalisierter Impuls. Symmetrien und Erhaltungssätze und als Anwendung: Planetenbewegung und Streuung

4 2.2.1 Invarianzen Anwendung: Das Zweikörperproblem Variationsrechnung mit Nebenbedingungen Bewegung starrer Körper - Trägheitstensor und Ähnlichkeitstransformation Transformation physikalischer Größen beim Übergang zwischen Koordinatensystemen - Tensoren Hauptachsentransformation Hauptachsen und Symmetrie Allgemeine Bewegung eines starren Körpers Der Kreisel Kräftefreier Kreisel ( M = 0) Schwerer symmetrischer Kreisel I 1 = I Beschleunigte Bezugssysteme Lineare Beschleunigung Rotation Hamilton-Jakobi-Mechanik Hamilton-Gleichung, Kanonische Transformation Hamiltonfunktion und Hamiltonsche Bewegungsgleichungen Invarianz der Hamiltongleichung unter einer kanonischen Transformation Kanonische Transformationen Poissonklammern Symmetrien und Erhaltungssätze Infinitesimale kanonische Transformationen Erhaltungsgrößen, Symmetrien und Invarianzen

5 3.2.3 Satz von Poincaré und Satz von Liouville Hamilton-Jakobi-Theorie, periodische Bewegungen, Winkel- und Wirkungsvariable Hamilton-Jakobi-Theorie Periodische Bewegungen. Winkel- und Wirkungsvariable155 4 Relativistische Mechanik freier Teilchen Einführung in die Relativitätstheorie Invarianz-Transformationen zwischen Koordinatensystemen in der Physik Axiome der Relativitätstheorie Mathematische Grundlagen der Relativitätstheorie Längenkontraktion und Zeitdilatation Zeit-, raum- und lichtartige Vektoren Relativistische Mechanik Relativistische Lagrangefunktion für freie Teilchen A Rechenregeln für grad, div, rot, 186 B Differentialoperationen in krummlinigen orthogonalen Koordinaten 188 B.1 Allgemein B.2 Zylinderkoordinaten B.3 Kugelkoordinaten

6 Literatur W. Nolting Grundkurs Theoretische Physik 1: Klassische Mechanik (Newtonsche Mechanik und mathematische Grundlagen) Springer Verlag, Berlin, 8. Auflage, 12/2008 ISBN-10: , ISBN-13: Preis: ca. 30, EUR W. Nolting Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik (Hamilton - Lagrange) Springer Verlag, Berlin, 7. Auflage, 09/2007 ISBN-10: , ISBN-13: Preis: ca. 30, EUR W. Nolting Grundkurs Theoretische Physik 4: Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik Springer Verlag, Berlin, 7. aktualisierte Auflage, 12/2009 ISBN-10: , ISBN-13: Preis: ca. 40, EUR H. Goldstein Klassische Mechanik Wiley-VCH, 3. überarbeitete Auflage, 07/2006 ISBN-10: , ISBN-13: Preis: ca. 60, EUR 4

7 Landau / Lifshitz Lehrbuch der theoretischen Physik I, Mechanik (sehr knapp) Deutsch (Harry), 14. Auflage, 12/1997 ISBN-10: , ISBN-13: Preis: ca. 25, EUR F. Kuypers Klassische Mechanik Wiley-VCH, 8. erweiterte Auflage, 03/2008 ISBN-10: , ISBN-13: Preis: ca. 50, EUR u.v.a. 5

8 1 Newtonsche Mechanik 1.1 Newtonschen Axiome Die drei Newtonschen Axiome lauten: (aus principia mathematica philosophiae naturalis) I Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern. II Die Änderung der Bewegung ist der einwirkenden Kraft proportional und geschieht längs jener geraden Linie, nach welcher die Kraft wirkt. III Die Reaktion auf eine Aktion ist immer entgegengesezt und gleich, d.h. die Aktionen (Kraftwirkungen) zweier Körper aufeinander sind immer gleich groß und entgegengesetzt gerichtet Newton II Mathematisch formuliert lautet Newton II (für Massenpunkte) F = d d p (m v) = dt dt = p mit p = m v Impuls (1.1) konstante Masse: F = m d v dt = m a mit Beschleunigung a = d2 r dt 2 = r (1.2) 6

9 1.1.2 Newton I Newton I schreibt sich F = 0 p = 0, p = konst. (Impulserhaltung) (1.3) Beispiel: Block auf schiefer Ebene, stetige Vergrößerung des Neigungswinkels Abb. 1: Θ < Θ krit Block fest, keine Beschleunigung keine Kraft zur schiefen Ebene gilt folgende Kraft: N = Normalkraft der Ebene auf Block, N = W cos Θ zur schiefen Ebene gilt die Kraft: H = Hangabtriebskraft, H = W sin Θ = f h = Haftreibung Erfahrung: Haftreibung kann nicht größer als ein kritischer Wert µ h N werden W sin Θ = f h µ h N = µ h W cos Θ (1.4) krit. Winkel: H = W sin Θ krit = f h,max = µ h W cos Θ krit Θ krit = arctanµ h (1.5) 7

10 Θ > Θ krit Gleiten, Gleitreibung µ g < µ h (empirisch) H > f g, beschleunigte Bewegung f g = µ g N < f h (1.6) Newton III Newton III wird gemeinhin mit Actio = Reactio zusammengefasst Wahrnehmung: Wenn ich eine Kraft ausübe, erfahre ich eine Gegenkraft, z.b. Tauziehen F 12 = F 21 Kraft von Kraft von 2 auf 1 1 auf 2 (1.7) Die sogenannte Starke Form F 12 r = r 1 r 2 des 3. Newtonschen Gesetzes gilt zum Beispiel für Gravitations- und Coulombkraft Anwendung auf Drehbewegungen (Massenpunkt r) Drehmoment M = r F = r d p dt = d d r ( r p) dt dt p =0,da parallel 8 ( p = m v) (1.8)

11 Abb. 2 Also Drehmoment M = d l dt mit Drehimpuls l = r p 1.2 Newtonsche Gesetze für Systeme von N Massenpunkten Abb. 3 F ij = Kraft von j auf i (innere Kräfte) F (a) i = äußere Kraft auf i (1.9) 9

12 Also ist die Gesamtkraft auf Teilchen i: N F ij + F (a) i j=1 j i NewtonII = m i a i = d2 dt 2(m i r i ) (1.10) über alle i summieren: N i,j=1 j i F ij =0 wg F ij = F ij + i F (a) i F (a) =Gesamtkraft ( ) = d2 m dt 2 i r i i (1.11) Definition: Ortsvektor des Schwerpunktes R = mit der Gesamtmasse M = Schwerpunkt = Center of Mass (CM) N m i r i i=1 N i=1 N i=1 m i m i (1.12) Damit: F (a) = M R (1.13) d.h. der Schwerpunkt verhält sich wie ein Punktteilchen Ausblick: Starrer Körper kann wie Punktteilchen betrachtet werden, dessen Masse im Schwerpunkt konzentriert ist (ohne Rotationsbewegung, d.h. Kraft muss im Schwerpunkt angreifen). 10

13 Gesamtimpuls: P = N p i = i=1 N m i v i = d dt i=1 mi r i = M d R dt (1.14) d.h. aus (1.13) folgt sofort für F (a) = 0 P = konst. Drehimpuls und Drehmoment: Zur Erinnerung: l = r p m = r F = d l dt (1.15) m = 0 d l dt = 0 Drehimpulserhaltungssatz (1.16) Bilanz aller Kräfte: N j=1 j i F ij + F (a) i = d dt p i = p i (1.17) Schreibweise: Zeitableitungen werden mit einem Punkt gekennzeichnet. Kreuzprodukt mit r i bilden: r i N F ij + F (a) i = r i p i (1.18) j=1 j i Summe über alle i: N N r i F ij + F N (a) i = r i p i (1.19) i=1 j=1 j i i=1 11

14 N r i F ij + i,j=1 i j N i=1 r i F (a) i } {{ } M (a) äußeres Drehmoment = N d dt ( r i p i ) i=1 li = N i=1 l (1.20) i Nebenrechnung: d dt ( r i p i ) = r i p i + r i p i = r i m i r i 0 da i r m i i r (1.21) Gesamtdrehimpuls: L = i li = i r i p i (1.22) Beitrag der inneren Kräfte: N r i F symmetrisieren 1 N ij = 2 r i F ij + i,j=1 i j i,j=1 i j N r j F ji = 1 2 i,j=1 i j N ( r i r j ) F ij i,j=1 i j (1.23) Hinreichend für das Verschwinden ist Newton III in starker Form, F ij r i r j Dann gilt: M (a) = d L dt (1.24) d.h. der Drehimpulserhaltungssatz gilt nur, wenn Newton III in starker Form erfüllt ist, z.b. nicht für bewegte Ladungen E-Dynamik 12

15 1.3 Starrer Körper Im starren Körper bleiben die Abstände zwischen einzelnen Teilchen r i konstant. Mögliche Bewegung: Translation, alle Massenpunkte haben die gleiche Geschwindigkeit v Rotation um eine Achse ˆ n, alle Massenpunkte haben die gleiche Winkelgeschwindigkeit ω Betrachte die Rotation: Charakterisiert durch normierte Drehachse ˆ n, Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ dt Definiere vektorielle Winkelgeschwindigkeit ω mit ω ˆ n, ω = dϕ dt Man sieht die 3 Freiheitsgrade der Rotation ω = (ω x,ω y,ω z ), 3 Freiheitsgrade der Translation v = (v x,v y,v z ) Ein starrer Körper hat 6 Freiheitsgrade Abb. 4: Rotierender starrer Körper (Translation = 0). Es gilt: v i = ρ i ω = r i ω sin ϑ v i = ω r i 13

16 1.3.1 Gesamtdrehimpuls und Trägheitstensor L = i li = i m i ( r i v i ) = i m i r i ( ω r i ) (1.25) =r 2 i ω ( r i ω) r i (s. Übung) L = i m i ( r 2 i ω ( r i ω) r i ) = I ω (1.26) I = Trägheitstensor (auf Tensorbegriff wird später eingegangen, Merke: I ist definiert dadurch, dass Gl. (1.26) stimmt) I = i = i I µν = i m i ( r i 2 1 r i r i t ) m i r i 2 x 2 i x i y i x i z i y i x i x 2 i + zi 2 y i z i z i x i z i y i x 2 i + yi 2 reelle symmetrische Matrix m i [ r 2 i δ µν r iµ r iν ] mit ri = ( ri1 ) r i2 r i3 (1.27) I Tensor i.a. L nicht parallel zu ω Vereinfachung: Trägheitsmoment bezüglich einer Rotationsachse ˆ n = ω ω I n = ˆ n t I ˆ n = ˆ nt ( m i r 2ˆ n ) ( r ˆ n) ni = i i m i ( ) r 2 2 ˆ n ( r ˆ n) 2 1 (1.28) = i m i ( r i 2 ( r i n i ) 2 ) = i m i ρ 2 i 14

17 Abb. 5 zur Illustration: Spezialfall Drehachse = Symmetrieachse = z-achse L = I ω L j = (1.29) I ij ω j Deviationsmomente (nichtdiagonal) I 31,I 32 : i m i z i y i = i m i z i x i = 0 für symm. Körper (1.30) Also L = I ω = ( 00 I 33 ω 3 ) = I 33 ω, L ω, I 33 = i m i ρ 2 i (1.31) ρ = Abstand von z-achse Allgemein gilt I n = i m iρ 2 i für Drehungen um Symmetrieachsen Kontinuierlicher Körper (Aufteilen in kleine Volumenelemente mit Masse m i ) I = ρ 2 i m i = ρ 2 µdv mit µ = dm Massendichte (1.32) dτ i Volumen des Körpers 15

18 Annahme: homogener Körper, konstante Massendichte (µ = konstant im Volumen, µ = 0 außerhalb) I = µ ρ 2 dv (1.33) z.b. Vollzylinder (Drehung um Symmetrieachse) I = µ h R 2π ρ 2 dv = µ dz ρdρ dϕ ρ 2 Zylinder = 2πµh R 0 0 h 0 0 2π [ ] R 1 ρ 3 dρ = 2πµh 4 ρ4 = 2πµh R4 0 4 (1.34) Zylindervolumen V = πr 2 h, µ = M V = M πr 2 h I = M 2 R2 (1.35) Trägheitstensor allgemein: I µν = dv ρ( r) [ r 2 µδ µν r µ rν ] (1.36) Satz von Steiner Bekannt sei das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer durch den Schwerpunkt gehenden Achse I S. Der Satz von Steiner erlaubt, ohne neuerliche Integration das Trägheitsmoment bezüglich jeder dazu parallelen Achse I A zu berechnen. Ein Körper rotiere um eine durch A gehende Achse. S sei eine dazu parallele, durch den Schwerpunkt gehende Achse. (Abbildung 6) 16

19 Abb Teilchen in Feldern Das Kraftfeld F( r, r,t) ordnet jedem Punkt des R 3 eine Kraft zu, die auf ein Teilchen wirkt Abb. 7: Zentralfeld (Punktladung, Gravitation) Abb. 8: Plattenkond., homogenes Feld 17

20 Für die Bewegung eines Körpers im Kraftfeld ist also Anstrengung vonnöten: Arbeit Arbeit für infinitesimale Verschiebung δw = F d r (1.37) Man schreibt δw statt dw, da δw kein totales Differential sein muß Abb. 9 P 2 W 21 = Kurvenintegral, hängt im allgemeinen ab von: 1. Kraftfeld F P 1 F( r, r,t) d r (1.38) 2. Endpunkten P 1,P 2 3. Weg C 4. zeitlichem Bewegungsablauf Auswertung von Kurvenintegralen = Rückführung auf gewöhnliche Riemann- Integrale duch Parametrisierung 18

21 Abb. 10 C : r = r(α);α 1 α α 2 d r = d r(α) dα dα Damit: W 21 = α 2 α 1 F( r, r,t) d r(α) dα dα (1.39) z.b. F = (2x 2 1 3x 2, 4x 2 x 3, 3x 2 1x 3 ) Abb

22 2 Wege: C 1 : Gerade r(α) = (α,α,α), 0 α 1 C 2 : r(α) = (α,α 2,α 3 ), 0 α 1 d r dα = F = F d r dα = W C1 = (1, 1, 1), C 1 (1, 2α, 3α 2 ), C 2 (2α 2 3α, 4α 2, 3α 3 ), C 1 ( α 2, 4α 5, 3α 5 ), C 2 3α 3 + 6α 2 3α, C 1 9α 7 + 8α 6 α 2, C 2 1 (3α 3 + 6α 2 3α)dα = 5 4 (1.40) W C2 = (9α 7 + 8α 6 α 2 )dα = d.h. die Arbeit ist wegabhängig! Konservative Kräfte Kräfte, für die man eine Funktion V finden kann, sodass F r = d dt V ( r), heißen konservativ. Ausführen der Zeitableitung: d dt V (x 1,x 2,x 3 ) = V dx 1 x 1 dt + V dx 2 x 2 dt + V dx 3 x 3 dt d.h. r V = F r = r V (1.41) 20

23 Eine Kraft ist dann konservativ, wenn sie sich als Gradient eines skalaren Potenzials schreiben lässt (Krit. 1). D.h. F darf weder von r noch von t abhängen, F = F( r) = V ( r). (Krit. 1) (Das negative Vorzeichen ist eine Konvention) rot F( r) = V ( r) = 0, s. Übung (1.42) Auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet hat eine Kraft F genau dann ein Potenzial, wenn rot F = 0, d.h. Bed. (Gleichung 1.42) ist auch hinreichend. (Krit. 2) Integrales Kriterium: Es gilt dv ( r) = V x 1 dx 1 + V x 2 dx 2 + V x 3 dx 3 = V d r (1.43) V d r = dv = V Ende V Anfang = 0 (1.44) (Dabei ist ein Kurvenintegral über einem geschlossenen Weg.) Also ist F genau dann konservativ, wenn F d r = 0 für alle möglichen geschlossenen Wege ist. (Krit. 3) 21

24 Eine konservative Kraft F ist konservativ genau dann, wenn (1) sie sich als Gradient eines skalaren Potenzials schreiben lässt, F( r) = V ( r). Dazu darf die Kraft weder von r noch von t abhängen. (2) auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet gilt: rot F = 0 (3) sie auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit leistet, also F d r = 0 für alle möglichen geschlossenen Wege. Betrachte Anfangs- und Endpunkt P 1,P 2 und 2 verschiedene Wege zwischen ihnen: Abb. 12 Durchläuft man einen von ihnen rückwärts, so erhält man einen geschlossenen Weg. 0 = F d r + F d r = C 1 C 2 F d r = F d r C 1 C 2 C 1 F d r C 2 F d r (1.45) 22

25 Ein Kraftfeld ist damit genau dann konservativ, wenn die Arbeit beim Verschieben des Massenpunktes zwischen zwei Raumpunkten wegunabhängig ist. D.h. wenn F = 0, kann man das Potenzial über einen rechnerisch günstigen Weg ermitteln! V (P) = P P dv = F d r (1.46) P 0 P 0 Beispiel 1: linearer harmonischer Oszillator Abb. 13 F = kx = ma = mẍ (1.47) DGL des HO : mẍ = kx (1.48) DGL 2. Ordnung 2 unabhängige Lösungen, spezielle Lösung gegeben durch Anfangswerte von x, ẋ 23

26 Lösen der DGL durch Erraten: sin(ω 0 t) x(t) = cos(ω 0 t) mit ω 2 0 = k m (1.49) Die spezielle Lösung ist dann eine Linearkombination x(t) = A sin(ω 0 t) + B cos(ω 0 t). (1.50) Beispiel: x(t = 0) = x 0 ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = B = x 0 (1.51) ẋ(t = 0) = A = 0 x(t) = x 0 cos(ω 0 t) Alternativ lässt sich die allgemeine Lösung auch schreiben als x(t) = Ce iω 0t + ke iω 0t mit x(t = 0) = x 0,ẋ(t = 0) = 0 (1.52) x(t = 0) = C + k = x 0 ẋ(t = 0) = iω(c k) = 0 C = k = x 0 2 x(t) = x 0 2 (eiω 0t + e iω 0t ) = x 0 cos(ω 0 t) (1.53) 24

27 Oder auch x(t) = a cos(ω 0 t ϑ) mit x(t = 0) = x 0,ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = a cos( ϑ) = a cos ϑ = x 0 ẋ(t = 0) = aω 0 sin( ϑ) = aω 0 sin ϑ = 0 ϑ = 0,a = x 0 (1.54) x(t) = x 0 cos(ω 0 t) d.h. die spezielle Lösung ist stets dieselbe. Wichtig: Eine DGL n-ter Ordnung hat n unabhängige Lösungen. Der harmonische Oszillator vollführt also cosinusförmige Schwingungen. Ein Potenzial läßt sich in 1k stets definieren, da jedes physikalische F integrabel ist. (Es gibt nur einen Weg wegunanbhängig ) HO: F = kx = dv dx Beispiel 2: V (x) = 1 2 kx2, W 21 = k 2 (x2 2 x 2 1) (1.55) Dreidimensionaler harmonischer Oszillator (räumlich isotrop) F( r) = k r F(r) = k r = 0 (s. Übung) F besitzt ein Potenzial r V ( r) = F d r = k r=(x,y,z) (x dx + y dy + z dz ) = k 0 x y x dx + k 0 y dy + k z z dz = k 2 (x2 + y 2 + z 2 ) = k 2 r (1.56) 25

28 1.5 Energie Teilchen hat kin. und pot. Energie kin. Energie T = 1m r 2 2 pot. Energie V = V ( r, r,t) In konservativen Kraftfeldern hängt die pot. Energie nur von r ab, V = V ( r), denn sie ist durch das Potenzial definiert. (siehe z.b. W 21 = d.h. Energie des Massenpunkts: 2 1 F d r = V (2) V (1)) E = T( r) + V ( r) = m 2 r 2 + V ( r) (1.57) Systeme von Massenpunkten Abb. 14 r i = r i R v i = v i V CM (1.58) 26

29 kinetische Energie: T = 1 m i vi 2 = 1 m i ( v i + V 2 2 CM ) 2 i i = 1 m i v i MV CM 2 + m i v i V CM i Es gilt m i r i i MR i = m ir + m i r i i i MR 0 Die Zeitableitung der 0-Funktion ist ebenfalls 0. 0 = d m i r i = m i v i = 0 dt i i T = 1 2 MV CM m i v i 2 2 i (1.59) potenzielle Energie: Alle Kräfte seien konservativ, sodaß V ( r) existiert. äußere Kräfte: F (a) i ( r i ) = V i V i ( r i ) = r i F (a) ( r i ) d r i (1.60) innere Kräfte: F ij = V ( ij = V ) ij = F r i r ij j (Newton III) (1.61) Dabei ist V ij die pot. Energie zwischen i-tem und j-tem Teilchen. Speziell: Wenn V = V ( r i r j ) (Coulomb, Gravitation), dann gilt Newton III in starker Form. F ij = V ij = V ( r i r j ) r i ( r i r j ) (in Kugelkoordinaten, winkelabh. Ableitung = 0) = ˆ r ij V r ij (1.62) 27

30 Die Gesamtenergie ist also E = T + V = 1 2 MV CM m i vi 2 + V i + 1 V ij 2 2 i i ij T äußeres Pot. innere Kräfte (1.63) 1.6 Der harmonische Oszillator Der eindimensionale harmonische Oszillator wurde bereits als Beispiel 1 in Abschnitt diskutiert. In der Realität tritt jedoch immer auch Dämpfung auf. Annahme: Es wirke noch eine zur Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft 2βẋ. DGL des gedämpften HO: mẍ = kx 2βẋ, β > 0, ωo 2 = k m > 0 ẍ + 2 β mẋ + k m x = 0 ẍ + 2αẋ + ωox 2 = 0 mit α = β m > 0 Ansatz x(t) = e γt mit γ C (analog zu Lösung e ±iωot im ungedämpften Fall) ẋ(t) = γe γt, ẍ(t) = γ 2 e γt Also: ( γ 2 + 2γα + ω 2 o) e γt = 0 für alle t γ 2 + 2γα + ω 2 o = 0 γ ± = α ± α 2 ω 2 o (1.64) 28

31 Fallunterscheidung: (1) Schwache Dämpfung α < ω o γ ± = α ± i ωo 2 α 2 = α ± iω (1.65) ω R Wir erhalten folgende allgemeine Lösung: x(t) = Ae αt+iωt + Be αt iωt (1.66) Die physikalische Lösung muss reell sein: x(t) = ( Ae iωt + A e iωt) e αt = ae αt cos (ωt ϑ) mit A = a 2 e iϑ, a R (1.67) Abb. 15 Die Relaxationszeit τ = 1 α = m β 1 abklingt. e ist die Zeit, innerhalb derer das System auf (2) Starke Dämpfung α > ω o γ ± = α ± α 2 ωo 2 R α+ α x(t) = a e 2 ωo 2 t + be τ ± = 1 γ ± x(t) = a e t τ + + be t τ zwei reelle negative Lösungen α 2 ωo 2 t mit a,b R α (Relaxationszeiten) (1.68) 29

32 Abb. 16 Für große t bestimmt die größere Relaxationszeit τ + den exponentiellen Abfall (wenn a 0). (3) Aperiodischer Grenzfall α = ω o Die quadratische Gleichung (Gl. 1.64) liefert hier nur eine Lösung γ = α. x(t) = Ae αt Variation der Konstanten (um eine zweite, linear unabhängige Lösung zu finden): x(t) = u(t)e αt ẋ(t) = ( u(t) αu(t)) e αt ẍ(t) = ( ü(t) α u(t) α u(t) + α 2 u(t) ) e αt (1.69) = ( ü(t) 2α u(t) + α 2 u(t) ) e αt Einsetzen in die Differentialgleichung ẍ + 2αẋ + ωox 2 = 0 ( ü 2α u + α 2 u + 2α u ) 2α 2 u + α 2 u e αt = 0 ü(t) = 0 u(t) = a + bt (1.70) allgemeine Lösung: x(t) = (a + bt)e αt Für t 1 α = τ ist der Faktor t unwichtig, die Lösung fällt sicher mit der Relaxationszeit τ = 1 α = 1 ω o ab. 30

33 Abb. 17 Relaxationszeiten: Schwache Dämpfung α < ω o τ = 1 > 1 α ω o 1 Starke Dämpfung α > ω o τ + = α α 2 ω 2 o > 1 ω o Aperiodischer Grenzfall α = ω o τ = 1 α = 1 ω o D.h. bei gegebenem ω o fällt die Lösung im aperiodischen Grenzfall schneller ab als bei starker oder schwacher Dämpfung. 31

34 2 Lagrange - Mechanik 2.1 Prinzipien von d Alembert (virtuelle Arbeit) und Hamilton Freiheitsgrade Freiheitsgrade = unabhängige Koordinaten zur Beschreibung des Systems Beispiele: N freie Teilchen im R 3 3N Freiheitsgrade 1 Teilchen auf einer Kurve 1 Freiheitsgrad (z.b. Bogenlänge auf der Kurve) Zwangsbedingungen: f 1 (x,y,z) = c 1 und f 2 (x,y,z) = c 2, Kurve ist Schnitt dieser Ebenen Allg.: Zahl der Freiheitsgrade n = 3N-Zahl der Zwangsbedingungen Starrer Körper: alle Abstände zwischen den Massenpunkten sind fest. Abbildung 18 zeigt den Übergang von einem Teilchen auf einen starren Körper aus N Teilchen. Abbildung 19 zeigt ein zweidimensionales Pendel und seine Freiheitsgrade. Die Zwangsbedingung wird durch die Zwangskraft aufrecht erhalten, hier beim Pendel durch Fadenspannung. Erkenntnis: Die Zwangskraft ist senkrecht zur Bewegung, d.h. Zwangskräfte leisten keine Arbeit. 32

35 Ziel: Zwangskräfte aus Bewegungsgleichungen eliminieren, dann gibt es statt 3N nur noch n Bewegungsgleichungen. z.b. Fadenkraft F Faden beim Pendel interessiert nur insoweit, als sie l konstant hält, d.h. eine ökonomische Behandlung nutzt die Zwangsbedingung aus, um Koordinaten zu reduzieren. Abb. 18 Abb. 19: 2-dim. Pendel mit konstanter Länge l. Die beiden Freiheitsgrade lassen sich durch die Winkel ϑ und ϕ ausdrücken. 33

36 2.1.2 Virtuelle Verrückungen und Zwangsbedingungen Zur Elimination der Zwangsbedingung benutzt man das Prinzip der virtuellen Verrückungen. Definition: Eine virtuelle Verrückung ist eine infinitesimale, instantane Koordinatenänderung δ r i zum Zeitpunkt t, die mit den angewandten Kräften und Zwangsbedingungen (d.h. auch Zwangskräften) zum Zeitpunkt t verträglich ist. Die Zwangskräfte stehen senkrecht auf der möglichen Bewegung, d.h. auch senkrecht auf δ r i δ r i f i Zwangskraft, fi δ r i = 0 (2.1) Newton II mit Gesamtkraft = F i + f i Dabei ist F i die angewandte Kraft, f i die Zwangskraft. F i + f i p i = 0 δ r i, i i ( F i p i ) δ r i + f i δ r i = 0 i 0 Prinzip der virtuellen Arbeit (d Alembert) (2.2) (Speziell sind ohne Zwangsbedingungen alle δ r i erlaubt, d.h. F i p i = 0 Newton II) 34

37 δ r i,i = 1,...,N, sind noch 3N voneinander abhängige Koordinaten. Ziel war: n = 3N z unabhängige Koordinaten Hierzu führen wir die generalisierten Koordinaten q i,i = 1,...,n, ein. Die Elimination der abhängigen Koordinaten ist möglich, falls die Zwangsbedingungen durch algebraische Gleichungen der Form f i ( r 1,..., r N,t) = 0, j = 1,...,z, beschrieben werden. Solche Zwangsbedingungen heißen auch holonom. z.b. Pendel x 2 + y 2 + z 2 l 2 = 0 Differentielle Bedingungen müssen gesondert behandelt werden, z.b. Rollen siehe (Abb. 20) Abb. 20: Zwangsbedingung ds = dϕ R(ϕ) beim Rollen eines Körpers. Wenn wir die Zwangsbedingungen eliminieren können, erhalten wir 3N Gleichungen für r i = r i (q 1,...,q n,t) als Funktion der n unabhängigen generalisieten Koordinaten q i und der Zeit t. 35

38 Klassifizierung von Zwangsbedingungen holonom: nicht holonom: skleronom: rheonom: lassen sich durch geschlossene Gleichungen der Form f( r 1,..., r N,t) = 0 beschreiben. keine Gleichung der Form f( r 1,..., r N,t) = 0 möglich, evtl. läßt sich differentielle Gleichung aufstellen a i ( r 1,..., r N,t)d r i = a 0 ( r 1,..., r N,t)dt i zeitunabhängig zeitabhängig Was ist eine virtuelle Verrückung? physikalische Verrückung d r i = n j=1 r i dq j + r i q j t dt (2.3) virtuelle Verrückung δ r i = n j=1 r i q j δdq j (Zeit wird festgehalten) (2.4) virtuelle Verrückung: Zwangsbed. skleronom: Zwangsbed. rheonom: alle infinitesimalen Verrückungen, die mit den Zwangsbedingungen zu gegebenem festen Zeitpunkt vereinbar sind tatsächliche Verrückungen schließen virtuelle Verrückungen mit ein tatsächliche Bewegungen d r i unter Umständen virtuell (bei eingefrorener Zeit) nicht erlaubt, d r i δ r i 36

39 2.1.3 Euler-Lagrange-Gleichungen Virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte F i δ r i = i ij F i r i q j δq j = j Q j δq j (2.5) mit der generalisierten Kraft Q j = i F i r i q j p i δ r i = i i Produktregel = ij m i ri δ r i = ij [ ( d m i ri dt m i ri r i q j δq j ) r i m i ri q j d dt ( (2.6) ri )]δq j q j Geschwindigkeit r i durch generalisierte Koordinaten ausdrücken r i = v i = d r i dt = n r i dq n q n dt + r i t = n r i q n + r i q n t (2.7) Nebenrechnung: v i q j = r i q j (2.8) denn aus r i = r i (q 1,q 2,...,q n,t), i = 1,...,N folgt r i = n j=1 r i q j = r i q j r i q j q j + r i t = r i (q 1,...,q n, q 1,..., q n,t) (2.9) 37

40 Aus Gleichung (2.6) folgt: p i δ r i = [ ( d m i v i dt i ij = ij [ ( d m i v i dt ) v i q j ) v i q j ( )] d ri m i ri dt q j Ann.:Differentiation vertauschbar v i = m i v i q j ] v i m i v i δq j q j δq j Produktregel: = ij = i = i [ ( ) d 1 dt q j 2 m 2 i v i ( ) d 1 dt q j 2 m 2 i v i i T [ d T T ] δq j dt q j q j q j q j ( )] 1 2 m 2 i v i δq j ( ) 1 2 m 2 i v i δq j i T (2.10) Einsetzen in d Alembertsches Prinzip (n Freiheitsgrade) 0 = ( F i + p i ) δ r i i n [ d T = T ] Q j δq j unabhängige generalisierte Koordinaten dt q j q j j=1 δq j linear unabhängig voneinander Jeder Term in der Summe muß verschwinden! (2.11) ( ) d T T = Q j, j = 1,...,n (2.12) dt q j q j 38

41 Spezialfall: konservative Kräfte F Es gibt ein Potenzial V = V ( r 1,..., r N ), F i = rv V nur von Koordinaten abhängig, V = V ( r) Q j = r i F i = q i j i d T Also: (T V ) = 0 dt q j q j V r i r i q j = V q j (2.13) = q j (T V ), da V nur vom Ort abhängt, V q j = 0 L = T-V ist die Lagrange-Funktion. (Euler )Lagrange Gleichungen (1)für konservative Kräfte d L L = 0, j = 1,...,n dt q j q j mit L = T V = L(q j, q j,t) Lagrangefunktion (2.14) (2)allgemein d T T = Q j dt q j q j Beispiele: (1) ebenes Pendel (Abbildung 21) 39

42 Abb. 21: Das ebene Pendel mit 1 Freiheitsgrad = 1 generalisierten Koordinate. Als Koordinate wählen wir den Winkel ϕ zur Vertikalen. h = l l cosϕ = l(1 cos ϕ) T = 1 2 mv2 = 1 2 ml2 ϕ 2 (lϕ = Länge auf Kreisbogen) V = mgh = mgl(1 cos ϕ) Da es nicht auf Konstanten im Potenzial ankommt, wählen wir einfacher: V = mgl cos ϕ L = T V = 1 2 ml2 ϕ 2 + mgl cos ϕ (2.15) 0 = d L dt = d dt ( ) 1 2 ml2 ϕ 2 (mgl cos ϕ) ϕ ϕ L ϕ = d dt ϕ ( ml2 ϕ ) + mgl sin ϕ = ml 2 ϕ + mgl sin ϕ = 0 generalisierte Kraft Q (2.16) Bewegungsgleichung l ϕ + g sin ϕ = 0 40

43 L = T V hat die Dimension einer Energie, aber die generalisierten Koordinaten q j brauchen keine Längen zu sein Generalisierte Kräfte Q j brauchen nicht die Dimension einer Kraft zu haben. Zur Lösung der Bewegungsgleichung betrachten wir kleine Winkel ϕ 1 l ϕ + gϕ = 0 ϕ ist das 1. Glied der Taylorreihe von sinϕ. (2.17) HO : l ϕ = gϕ, ϕ = g l ϕ Die Lösung ist eine harmonische Schwingung mit ϕ(t) = A cos ω 0 t+b sin ω 0 t mit ω 0 = g. A, B sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen. l (2) ebenes Pendel mit elastischem Faden Abb. 22: Wir wählen einen elastischen Faden und haben nun 2 Freiheitsgrade ϕ,r (generalisierte Koordinaten). 41

44 T = 1 2 m ( ṙ 2 + (r ϕ) 2) V = mgr cos ϕ k(r r 0) 2 (2.18) elastische Energie des Fadens, k = Federkonst., r 0 = Ruhelänge L = T V = 1 2 m ( ṙ 2 + (r ϕ) 2) + mgr cos ϕ 1 2 k(r r 0) 2 Lagrange-Gleichungen (1) d ( ) L L dt ṙ r (2) d ( ) L L dt ϕ ϕ = m r mr ϕ 2 mg cosϕ + k(r r 0 ) = 0 = d ( mr2 ϕ ) + mgr sin ϕ dt = 2mrṙ ϕ + mr 2 ϕ + mgr sin ϕ = 0 (2.19) Die Bewegungsgleichungen lassen sich nicht analytisch lösen! Hamiltonsches Prinzip Alternative zur Herleitung der Lagrange-Gleichungen Behauptung: Eine Bewegung verläuft so, dass das Integral J = L(q i, q i,t)dt t 1 extremal ist, d.h. δj = 0. J ist eine Wirkung (Energie Zeit). (Hamiltonsches Prinzip) t 2 Aufgabe: Ldt durch Variation der Pfade q i (t) extremal machen. t 1 Wir werden zeigen, dass aus δj = 0 die (Euler-) Lagrangegleichungen folgen. Umgekehrt kann man zeigen, dass die Lösung der Lagrangegleichung q i (t) die Wirkung J = Ldt extremal macht. t 2 42

45 Betrachte ein System mit einem Freiheitsgrad: α ist Variationsparameter t 2 t 2 J = L(q(t), q(t),t)dt = J(α) = L(q(t,α), q(t,α),t)dt (2.20) t 1 t 1 Abb. 23: Die Variation der Pfade q(t) wird durch Parameter α und Funktion η(t) mit η(t 1 ) = η(t 2 ) = 0 erzeugt. q(t,α) = q(t,α = 0) + αη(t) 43

46 Extremum von J als Funktion von α suchen: ( ) J = 0 (wähle: α = 0) α α=0 Endpunkte fest: partielle Integration: t 2 t 1 L q J t 2 α = L (q, q,t)dt = α q α dt = t 1 t 2 Multiplikation mit δ α,α = 0 t 1 ( ) J δ α = α α=0 δj virt. Wirkungsvar. L q q t α dt = t 2 t 1 ( L q q α + L q q α ] t2 [ L q q α t 1 0, weil Endpunkte fest t 2 t 1 ) dt = 0 d dt ( ) L q q α dt ( ) d ist totale Abl., da α nicht involviert dt ( ) t 2 ( J L q = 0 = α α=0 q α d ( ) ) L q dt dt q α t 2 t 1 ( L q d dt t 1 ) ( L q q α ) δ α α=0 virt. Verrückung δq (2.21) dt (2.22) δj = t 2 t 1 ( L q d dt ) L q δq dt = 0 beliebig Klammer muss für jedes δq 0 sein Euler-Lagrange-Gl. d L dt q L q = 0 (2.23) Wie gesagt, folgt umgekehrt auch das Hamilton-Prinzip aus den Euler-Lagrange- Gleichungen 44

47 Bei mehreren Freiheitsgraden i = 1,...,n läuft der Beweis genau analog, q q i, η η i, q q i ( ) J = 0 = α α=0 ( L δj = d dt t 2 t 1 i d q i dt ( ) L q i ( L q i q i α + L ) q i dt q i α ) L δq i dt = 0 q i bel., unabh. L = 0 i = 1,...,n q i (2.24) Beispiel für Variationsrechnung: Kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Ebene Abb. 24 P 2 P 2 P 2 Weg = J = ds = dx2 + dy 2 = P 1 P 1 P ( 1 Also: F y, dy ) ( dx,x entspricht L q, dq ) dt,t 1 + ( ) 2 P 2 ( dy dx = F y, dy ) dx dx,x dx P 1 (2.25) 45

48 Übersetzungsvorschrift L F q(t) q(t) t y(x) dy dx x (2.26) Damit wird die Lagrangegleichung: ( ) d F F = 0 dx dy y dx ( ) d F dx dy dx = d dx dy dx 1 + ( dy dx dy dx F = 0, da F = 1 + y ) ( dy dx = 0 ) 2 = Konstante ( ) 2 dy nicht explizit y abhängig dx (2.27) Das geht nur wenn dy dx = a = konstant y = ax + b Gerade, a,b nach P 1,P 2 festlegen Beispiel für Variationsprinzip in der Mechanik Ziel: näherungsweise Lösung eines mechanischen Problems durch einen Ansatz für q i (t) mit freien Parametern {a j }. 46

49 L(q i, q i,t,a j ) berechnen t 2 J = L(q i, q i,t,a j )dt berechnen t 1 optimale Parameter aus ( ) J a j 0 = 0 für alle j ausrechnen (d.h. Extremum von J) (2.28) Problem: Mathematisches Pendel mit anharmonischem Term Abb. 25: Mathematisches Pendel ϕ(t = 0) = 0, ϕ(t = 0) = v 0. L = T V = m 2 l2 ϕ 2 mgl(1 cos ϕ) m ( ϕ 2 l2 ϕ 2 2 mgl Taylorentw., s.u. ) 2 ϕ 4 24 anharm. Term (2.29) 47

50 Nebenrechnung: Taylorentwicklung von cosϕ um ϕ = 0: f(ϕ) = cosϕ f(0) = 1 f (ϕ) = sin ϕ f (0) = 0 cosϕ ϕ + 1 ( 1) ϕ2 2! f (ϕ) = cos ϕ f (0) = ! 0 ϕ ! 1 ϕ4 f (ϕ) = sin ϕ f (0) = 0 f (ϕ) = cosϕ f (0) = 1 = 1 ϕ2 2 + ϕ4 24 Ansatz einer speziellen Lösung: ( ϕ t = 3T 4 ) ( ϕ t = T ) 4 ϕ(t) = a 1 sin(ωt) + a 2 sin(2ωt) + a 3 sin(3ωt) +... ( ( ) π 3π = a 1 ω cos +2a 2 ω cos(π) +3a 3 ω cos +... }{{ 2) } ! = 0 Def. v. T bzw. ω alle geraden Terme müssen a 2n = 0 haben ϕ(t) = a 1 sin(ωt) + a 3 sin(3ωt) ϕ 2 (t) = a 2 1 sin 2 ωt + 2a 1 a 3 sin(ωt) sin(3ωt) + a 2 3 sin 2 (3ωt) ϕ(t) = a 1 ω cos ωt + 3a 3 ω cos(3ωt) ϕ 2 (t) = a 2 1ω 2 cos 2 ωt + 6a 1 a 3 ω 2 cos(ωt) cos(3ωt) + 9a 2 3ω 2 cos 2 (3ωt) (2.31) J = T 0 Ldt = m 2 T 0 [ l 2 ϕ 2 gl )] (ϕ 2 ϕ4 dt (2.32) 12 Jetzt folgt eine große Rechnerei, aber alle Integrale sind von der Form und lösbar. T (cos(ωt)) n dt 0 48

51 Wir nehmen an: a 1 a 3 (kleine Anharmonizität) und vernachlässigen Terme von mehr als quadratischer Ordnung in a 3 J = m [ ] a 2 2 l2 T 1 ω a2 3ω 2 mgl ( ) a T a2 3 + mgl ( T 8 a a3 1a ) 2 a2 1a 2 3 (2.33) Wirkung extremal: 0! = J a 1 = m 2 l2 Ta 1 ω 2 mgl 2 Ta 1 + mgl 24 T ω 2 = mg l 2 = g l (1 ω 2 0 harmon. Term ( Ta 1 T 12 3 ) a a3 1 ) 2 m ( ) a a2 1a 3 + 3a 1 a 2 3 weglassen wg a 1 a 3 1 l 2 Ta 1 ω < ω 0 T = 2π ω > T 0, d.h. Schwingungsdauer wird länger (2.34) Abb

52 Außerdem hängt die Schwingungsdauer jetzt von der Amplitude ab. Die Bewegungsgleichung ist nichtlinear und das Superpositionsprinzip (Summe von ( ) Lösungen = Lösung) gilt nicht mehr. Berechnung von a 3 aus = 0 J! a Generalisierter Impuls. Symmetrien und Erhaltungssätze und als Anwendung: Planetenbewegung und Streuung Invarianzen Lagrangefunktion für 1-dim. Bewegung L = T V = 1 2 mẋ2 V (x) Lagrangegleichung: d dt ( ) L L ẋ x = d dt (mẋ) + V x F = mẍ F = 0 ṗ } {{ } Newton II (2.35) Allgemein heißt p j =: L q j der zur generalisierten Koordinate q j gehörige kanonisch konjugierte generalisierte Impuls. ( ) d L L = 0 (2.36) dt q j q j p j Ein generalisierter Impuls p j ist genau dann erhalten, wenn die zugehörige Koordinate q j nicht als unabhängige Variable in der Lagrangefunktion auftritt, denn dann ist L q j = 0 d dt (p j) = 0 p j = konstant (2.37) Generalisierte Koordinaten q j, von denen L nicht abhängt, heißen zyklisch. 50

53 Die Abwesenheit einer generalisierten Koordinate in L ist Folge einer Symmetrie. z.b. Translationsinvarianz, Rotationsinvarianz Translationsinvarianz Betrachte eine Koordinate q j (z.b. Koordinate eines Punktteilchens, Schwerpunktkoordinate R), die die Translation des gesamten Systems in eine bestimmte Richtung beschreibt. Abb. 27 q j zyklisch V, L unabhängig von q j das ist genau Translationsinvarianz; das System merkt gar nicht, wenn es verschoben wird. Betrachte konservative Kräfte V q j = 0. ( ) d L = V = + Q j = F i r i = 0 dt q j q j q i j general. Kraft für zyklische Koord.q j Also: q j zyklisch F = 0 ṗ j = 0, P = konst. Translationsinvarianz (2.38) zum Beispiel: L = 1 m i ṙi V ( ri r j ) 2 2 i r i = r i + dr i ändert L nicht! 51 (2.39)

54 Rotationsinvarianz Ein (bestimmtes) dq j beschreibe den Rotationswinkel des gesamten Systems um eine feste Achse ˆ n (konservatives System). ( ) d L = ṗ j = V = Q j (2.40) dt q j q j Behauptung: Q j ist die Komponente des angewandten Drehmoments entlang der Achse ˆ n, d.h. Q j = ˆ n M Abb. 28 d r i = r i sin ϑ i dq j r i q j = r i sin ϑ i d r i r i d r i ˆ n r i q j = ˆ n r i (2.41) 52

55 Q j = i F i r i q j = i F i (ˆ n ri ) zykl. vert. = i ˆ n ( r i F ) i = ˆ n M i = n M mit M = M i Behauptung i i ( ) verallgemeinerte Impulse p j = T = 1 q j q j 2 m ivi 2 i = m i v i v i = m i v i r i = ) m i v i (ˆ n ri q i j q i j i r i ˆ n r q i j zykl. vert. = i m iˆ n ( ri v i ) = i ˆ n l i = ˆ n L dabei ist: m i ( r i v i ) = l i und ˆ n L = Komponente des Drehimpulses L entlang der Drehachse ˆ n (2.42) Falls die Lagrangefunktion L nicht vom Drehwinkel um eine Achse abhängt, also um diese Achse invariant ist, bleibt L ˆ n erhalten, denn 0 = V = d ( ) L = ṗ j (2.43) q j dt q j Anwendung: Das Zweikörperproblem reduzieren auf Zentralfeld Planetenbewegung, Rutherfordstreuung 53

56 a) Reduktion des Zweikörperproblems auf ein Einkörperproblem, falls V = V ( r = r 2 r 1 ) Abb. 29 R = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 (2.44) kin. Energie T = 1 2 m 1 r m 2 r 2 2 (s. Übungen) = 1 2 M R µ r 2 T CM kin. Energie der mit der reduzierten Masse µ = m 1m 2 m 1 + m 2 Relativbewegung (2.45) L = T V = 1 2 M R µ r 2 V ( r) nicht abh. vonr nach Voraussetzung d L = 0 = P dt R i P = M R ist erhalten, der Schwerpunkt i bewegt sich gleichförmig mit konst. Geschw. (s. auch nach Newton: F (a) = M R mit F (a) = 0) (2.46) 54

57 T CM ist eine Konstante, auf die es bei der Relativbewegung nicht ankommt, T CM! = 0. L = 1 2 µ r 2 V ( r) Also 1 Teilchen im Zentralpot. (2.47) b) Lösung des Problems Teilchen im Zentralpotenzial Annahme: V = V ( r ) = V (r) nur vom Betrag von r abhngig. (zum Beispiel: Gravitation, Coulombpotenzial) L = 1 2 µ r 2 V (r) hat sphärische Symmetrie, es ist unter Rotation um beliebige Achsen invariant. l = r p = µ r v ist erhalten (Richtung und Betrag) r l, v = d r dt l Bewegung verläuft in einer Ebene, die von r und d r aufgespannt wird. Die Ebene steht senkrecht zu l. D.h. die anfänglichen 6 Freiheitsgrade sind auf 2 reduziert. Für diese benutzen wir ebene Polarkoordinaten (r,ϑ) Zur Erinnerung x = r cos ϑ y = r sin ϑ oder r = x 2 + y 2 ϑ = arctan y x Abb. 30 Funktionaldeterminante r = (x,y) (r, ϑ) (2.48) 55

58 r 2 = d r dt d r (ẋ ) (ẋ ) dt = = ẋ 2 + ẏ 2 ẏ ẏ ( = ṙ cosϑ r ϑ ) 2 ( sin ϑ + ṙ sin ϑ r ϑ cos ϑ = ṙ 2 cos 2 ϑ 2rṙ ϑ sin ϑ cos ϑ + r 2 ϑ2 sin 2 ϑ + ṙ 2 sin 2 ϑ + 2rṙ ϑ sin ϑ cos ϑ + r 2 ϑ2 cos 2 ϑ ( = ṙ 2 + r 2 ϑ2 Insbesondere r ) 2 ṙ 2! L = T V = 1 ( ) 2 µ ṙ 2 + r 2 ϑ2 V (r) p ϑ = L ϑ ist konstant, da ϑ zyklisch ist. p ϑ = µr 2 ϑ ist genau der Betrag des Drehimpulses l = µ r v. (2.49) ) 2 Beweis: r cos ϑ ṙ cosϑ r ϑ sin ϑ r v = r sin ϑ ṙ sin ϑ + r ϑ cos ϑ = 0 ( r cos ϑ ṙ sin ϑ + r ϑ ) cos ϑ r sin ϑ = e z ( ṙ cos ϑ r ϑ sin ϑ [ rṙ cos ϑ sin ϑ + r 2 ϑ cos 2 ϑ rṙ cosϑsin ϑ + r 2 ϑ sin 2 ϑ ) ] (2.50) = e z r 2 ϑ Also: l = m r v = mr 2 ϑ dl dt = 0 = µ d ( ) r 2 ϑ dt Flächensatz, auch: l = mr 2dϑ dt ldt = mr 2 dϑ (2.51) 56

59 Abb. 31 Das ist das 2. Keplersche Gesetz: Der Fahrstrahl zwischen Sonne und Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Bewegungsgleichung für r: L = 1 ( ) 2 µ ṙ 2 + r 2 ϑ2 V (r) (2.52) Lagrangegleichung 0 = d L dt ṙ L r = µ r µr ϑ 2 + V r (2.53) Wir wissen bereits: l = µr 2 ϑ = konstant (2.54) µ r = V r + l2 µr 3 = r V (r) + l 2 2µr 2 Zentrifugalpotenzial } {{ } effektives Pot. V eff (2.55) d.h. wir müssen uns nur noch um die radiale Bewegung (r) kümmern: µ r = V eff r analog Newton II mẍ = F = V x 57 (2.56)

60 zur Lösung mit ṙ multiplizieren µ rṙ 1 d 2 dt (µṙ2 ) = V eff r dr dt (2.57) Integrieren 1 d ( ) µṙ 2 Veff. dr dt = 2 dt r dt dt 1 2 µṙ2 + V eff. (r) = E Integrationskonstante (2.58) 1 2 µṙ2 + V (r) + l2 = E Energiesatz (2.59) 2µr2 1 2 µṙ2 kin. Energie der Radialbewegung l 2 2µr 2 kin. Energie der Winkelbewegung 1 2 µ ( ) 2 dr = E V (r) l2 dt dr dt = 2µr 2 ( 2 E V (r) µ 2 µ dr ( E V (r) l2 2µr 2 ) ) = dt l2 2µr 2 (2.60) integrieren mit Anfangsbed. r(t 0 ) = r 0 t t 0 dt = t t 0 = dϑ dt = ϑ = r r 0 l µr 2 (t) 2 µ dr ( E V (r ) liefert ϑ(t) mit ϑ(t 0 ) ) l2 2µr 2 liefert r(t) beliebig genau (2.61) d.h. man kann die komplette Lösung in Abhängigkeit von r(t 0 ),ϑ(t 0 ),E,l berechnen 58

61 Energie im Zentralfeld z.b. Gravitation, Coulombkraft: F G = G m 1m 2 = V und F r 2 C = 1 Qq r 4πE 0 r = V 2 r V 1 r (2.62) Rechnung für 1 r -Potenzial V = k r = Gm 1m 2 r für Gravitation V eff = k r + l2 2πr, µṙ2 + V (r) + l2 = E (2.63) 2µr }{{ 2 } V eff (r) Abb. 32 E V eff,min, weil 1 2 µṙ2 0, V eff,min = E liefert Kreis, da ṙ = 0 s.skizze 0 > E > V eff,min Es gibt einen kleinsten Abstand r 1 (Perihel) und einen größten Abstand r 2 (Aphel), d.h. es handelt sich um eine gebundene Bewegung für E 0 ist r 2 =, d.h. ungebundene Bewegung 59

62 Bahnkurve berechnen (Gravitationspozential) Wir gehen aus von dt = 2 µ dr ( E V (r) ) l2 2µr 2 und dt = dϑ l µr2 t eliminieren dϑ = = 2 µ dr ( E V (r) ϑ ϑ ϑ = dϑ = ϑ ) = l2 2µr 2 dϑ l µr2 ldr ( ) = µr 2 2 E V (r) l2 µ 2µr 2 ldr r 2 2µE 2µV (r) l2 r 2 = dr r 2 2µE 2µV (r) 1 l 2 l 2 r 2 ldr ( r 2µ 2 E V (r) dr r 2 2µE 2µV (r) 1 l 2 l 2 r 2 für Coulomb- u. Gravitationspot., V = k r ϑ ϑ dr = r 2 2µE + 2µk 1 l 2 rl 2 r 2 Substitution r = 1 u, dr = r2 du ϑ = ϑ du 2µE + 2µku u l 2 l 2 2 Bronstein integrabel nach r = 1 u auflösen [ ] 1 r = µk El2 l 2 µk cos (ϑ 2 ϑ ) = arccos l 2 u 1 µk ) l2 2µr El2 µk 2 (2.64) 60

63 Polardarstellung eines Kegelschnitts mit einem Brennpunkt im Ursprung, allgemein: 1 r = C (1 + E cos (ϑ ϑ )) C = µk (2.65) l, E = 1 + 2El2 2 µk (Exzentrizität) 2 Es gibt 3 Arten von Kegelschnitten Ellipse Parabel Hyperbel Ellipse: Menge aller Punkte P der Zeichenebene, für die die Summe aller Abstände zu zwei gegebenen Punkten F 1 und F 2 gleich 2a ist. Die Punkte F 1 und F 2 heißen Brennpunkte. Abb. 33: (a ist durch Ea definiert) Hauptscheitel S 1,S 2 = Punkte mit größtem Abstand zum Mittelpunkt 61

64 b = kleine Halbachse lineare Exzentrizität = Abstand der Brennpunkte von Mittelpunkt, e = a2 b 2 nach Pythagoras numerische Exzentrizität E = e a = a 2 b 2 a große Halbachse MS 1 hat Länge a, denn: F 1 S 1 + F 2 S 1 = 2a nach Definition MS 1 e + F 2 S 1 = 2a MS 1 e + e + MS 1 = 2a (2.66) MS 1 = a Konstruktion z.b. nach Gärtnerkonstruktion 1 r = C (1 + E cos(ϑ ϑ )) beschreibt für 0 E 1 eine Ellipse (2.67) Spezialfall E = 0: Kreis, F 1 und F 2 fallen zusammen 1 r = C r = 1 C = l2 µk Bewegung findet im Potenzialminimum statt, V eff! = 0 r V eff = ) kr l2 kr l2 ( + = + r r 2µr 2 2 µr = 0 r = l2 3 µk (2.68) Ellipse: 0 < E < 1 1 r = C (1 + E cos(ϑ ϑ )) d.h. r min = r 1 für ϑ = ϑ, r max = r 2 für ϑ = ϑ ± π, r 1 = 1 = C(1 + E) r min 1 C(1 + E), r 2 = C(1 E) 1 r max = C(1 E) (2.69) 62

65 Abb. 34 Die rote Linie stellt die Menge aller Punkte dar, für die gilt: 1 r = C (1 + E cos(ϑ ϑ )) E cos(ϑ ϑ ) = 1 rc 1 (2.70) z.z.: Die Summe der Abstände jedes Punktes auf dem Umfang von den beiden Brennpunkten ist eine Konstante 2a. Ein beliebiger Punkt P habe Abstände r,r von den Brennpunkten. Ziel: r abhängig von r berechnen (Kosinussatz) 63

66 zur Erinnerung: Kosinussatz, gegeben sind zwei Seiten a, b und der eingeschlossene Winkel γ c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ für die dritte Seite. r 2 = r 2 + 4E 2 a 2 + 4ar E cos(ϑ ϑ ) 1 rc 1 wobei das a hier durch die Länge Ea definiert wird. da cos(ϑ ϑ ) = cos (π (ϑ ϑ )), (2.71) 1 a = r min + Ea = C(1 + E) + Ea 1 a(1 E) = C(1 + E) a = 1 C(1 E 2 ( ) Also: r 2 = r 2 4E 2 + C 2 (1 E 2 ) + 4r 1 2 C(1 E 2 ) rc 1 = r 2 4E 2 + C 2 (1 E 2 ) + 4 4r 2 C 2 (1 E 2 ) }{{ 2 C(1 E } 2 ) = r 2 [ = 4E 2 + 4(1 E 2 ) C 2 (1 E 2 ) 2 = 4r C(1 E 2 ) C(1 E 2 ) r r + r = 2a 4 C 2 (1 E 2 ) 2 C 2 (1 E 2 ) 2 ] 2 = (2a r) 2! = r 2 (2.72) Koordinatentransformation auf Hauptachsensystem, Urspung im Mittelpunkt x = r cos(ϑ ϑ ) + Ea y = r sin(ϑ ϑ ) x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 b = a 2 E 2 a 2 = a 1 E 2 = 1 a C 1 E = 2 C = l a 2 µk (2.73) 64

67 Fläche der Ellipse π A = 2 = 0 π 0 ( a = dϑ ( b = r=[c(1+e cos ϑ)] 1 0 r dr = 2 1 Bronstein dϑ = C 2 (1 + E cos ϑ) 2 ) 1 C(1 E 2 ) ) a C π 0 1 C 2 [ ] 1 1 C(1+E cos ϑ) dϑ 2 r 2 0 π (1 E 2 ) 3 2 2π = a3 = πab = πa 3 2 C l 2 µk (2.74) 3. Keplersches Gesetz Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Achsen der Ellipsen, also T 2 a 3. A = πa 3 l 2 2 µk = T = 2πa 3 2 T =Umlaufzeit 0 µ k = 2πa3 2 da dt l nach Flächensatz 2µ (m 1 = Sonne, m 2 m 1 ), 1 G(m 1 + m 2 ) dt = l 2µ T (2.75) d.h. T 2 a 3 für alle Planeten mit praktisch gleicher Proportionalitätskonstante. 65

68 Zusammenfassung Keplersche Gesetze 1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Achsen der Ellipsen. Wichtige Begriffe: Perihel = sonnennächster Punkt der Planetenbahn Aphel = sonnenfernster Punkt der Planetenbahn ( hel von griechisch helios = Sonne) Die ungebundene Bewegung - E > 1, Hyperbel Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte der Zeichenebene, für die die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den sogenannten Brennpunkten F 1 und F 2, konstant gleich 2a ist. Abb

69 Abb. 36: Für anziehendes Potenzial gilt V = k µk, k > 0, C = > 0. Für r l 2 abstoßendes Potenzial wird die obige Skizze an der x-achse gespiegelt. Es gilt V = k µk, k < 0, C = < 0. nur Hyperbel hat erlaubte (r > 0) r l 2 Bereiche; Kreis, Ellipse, Parabel nicht möglich Gesucht: Funktion für Streuwinkel Θ = π Φ Hyperbelgleichung d.h. der erlaubte Bereich endet bei 1 Cr daraus Φ herleiten: 1 r = C(1 + E cos ϑ), E > 1 (2.76) = 0, siehe Abb =! 1 ( Cr = 1 + E cos π Φ ) = 1 E cos Φ 2 2 = 1 E sin Θ 2 für ϑ = π Φ 2 wird r, siehe Skizze (2.77) Streuwinkel sin Θ 2 = 1 E 67

70 Abb. 37: Attraktives Potenzial k > 0: Die Bahnkurve ist zum Streuzentrum gekrümmt, das Streuzentrum ist der nahe Brennpunkt, der Streuwinkel Θ = π Φ. Stoßparameter (b) ist der senkrechte Abstand des Streuzentrums von der Anfangsrichtung der Teilchen. Repulsives Potenzial k < 0: Streuzentrum im fernen Brennpunkt der Hyperbel Abb

71 Berechnung des Rutherfordquerschnitts, d.h. des Wirkungsquerschnitts für ein 1 r -Potenzial Definition des (differentiellen) Wirkungsquerschnitts = dσ dσ = Zahl der in ein Raumwinkelelement dω gestreuten Teilchen Zeit Intensität (2.78) d.h. wir nehmen einen isotropen Teilchenstrom aus einer bestimmten Richtung an (Richtung egal wegen sphärischer Symmetrie). Zu jedem E und b gehört eine Bahn mit einem bestimmten Streuwinkel Θ. Annahme: Bei gegebener Energie gehört zu jedem Streuwinkel Θ genau ein Stoßparameter b (wahr für repulsive Potenziale). alle Teilchen, die in einen Winkelbereich zwischen Θ und Θ dθ gestreut werden, sind durch einen Kreisring zwischen b und b + db gekommen. Allgemein gilt: l = µ r v und asymptotisch l = µv 0 b mit v 0 = asymptotische Geschwindigkeit Asymptotisch nur kin. Energie E = 1 2 µv2 0 Intensität I = Zahl der Teilchen durch Kreisring Zeit Zahl der einfallenden Teilchen Fläche Zeit = I Fläche = Strom = = } 2πbdb {{} I Fläche des Kreisrings dσ dω =! = nach Annahme b sin Θ db dθ = (Teilchen-)Strom Fläche Idσ = I dσ dσ dω = 2πI sin ΘdΘ dω dω immer wahr, solange Θ(b) umkehrbar eindeutig ist (2.79) 69

72 Abb. 39 repulsives Potenzial db dθ < 0 dσ dω = b db sin Θ dθ (2.80) Strategie: Θ(b) ausrechnen (für 1 r Potenzial) Umkehrfunktion? eindeutig b(θ) (2.81) db dθ 70

73 sin Θ 2 = 1 E = 1 siehe Gleichung El2 µk 2 Damit: l 2 = µ 2 v 2 0b 2 = 2µEb 2 ( 1 2 µv2 0 = E v 2 0 = 2E µ sin Θ 2 = 1 = 1 + 2µEb2 2E µk 2 1 Θ(b) = 2 arcsin 1 + ( 2Eb k ) 2 ) ( 2Eb k ) 2 (2.82) Abb

74 Die Funktion lässt sich also eindeutig umkehren. sin Θ ( ) 2 2 = 1 2Eb 1 + ( ) 1 + = 1 2Eb 2 k k ( ) 2 2Eb = 1 1 = 1 sin2 Θ 2 = cos2 Θ 2 k sin 2 Θ sin 2 Θ sin 2 Θ sin 2 Θ b = k 2E cot Θ 2 db dθ = 1 k 2 2E 1 sin 2 Θ 2 dσ dω = b sin Θ db dθ = k cos Θ 2 1 2E sin Θ sin Θ 1 k 2 2E 2 ( ) 2 k = 1 2E 2 ( ) 2 dσ k dω = 1 2E 4 1 sin 2 Θ 2 cos Θ 2 sin Θ sin 2α=2 sin α cos α 2 sin Θ 2 cos Θ 2 1 sin 4 Θ 2 1 sin 3 Θ 2 sin 2 Θ 2 = cot 2 Θ 2 ergibt den Rutherfordschen Streuquerschnitt mit k = qq 4πE 0 (2.83) Bei Θ 0 divergiert der Rutherfordquerschnitt so stark, dass auch der totale Streuquerschnitt divergiert. unendliche Reichweite des 1-Potenzials r σ := 4π dσ π dω = 2π dθ sin Θ dσ dω dω 0 (2.84) Davon merkt man wegen der Abschirmung der positiven durch die negativen Ladungen nichts. Das klassische Ergebnis ist gleich dem relativistischen. 72

75 Abb. 41 Was ist der Streuquerschnitt? z.b. Fußballtor: Rein geometrisch ist das Treffen eines großen Tors leichter als das eines kleinen. Streuquerschnitt ˆ= Fläche Aber steht ein (noch so kleiner) Torwart drin, trifft man immer den Streuquerschnitt eines Torwarts > Fläche Torwartpotenzial? Betrachten wir die Streuung harter Kugeln: Behauptung: Man kann Θ(b) und damit den Wirkungsquerschnitt geometrisch ausrechnen, ohne Bewegungsgleichungen zu lösen. 73

76 Abb. 42 a = a 1 + a 2 ( π b = a sin α = a sin 2 Θ ) 2 = a cos Θ 2 db dθ = a 2 sin Θ 2 Gleichung (2.79): dσ dω = b db sin Θ dθ und sin Θ = 2 sin Θ 2 cos Θ 2 alles einsetzen: dσ dω = + a cos Θ 2 2 sin Θ 2 cos Θ 2 a 2 sin Θ 2 = a2 4 (2.85) totaler Streuquerschnitt: dσ σ = dω = 4πa2 dω 4 = πa2 4π Das ist genau die Fläche, auf der die Kugeln etwas voneinander sehen! 74

77 Zusammenfassung Streuung: Die Reichweite eines Potenzials wird durch den sogenannten Streuquerschnitt ausgedrückt, der im Falle von harten Körpern der Streufläche entspricht. Für das (unabgeschirmte) Coulombpotenzial divergiert der totale Streuquerschnitt. Der differentielle Streuquerschnitt ist der von Rutherford gefundene, dσ dω = 1 ( ) 2 k 1 (2.86) 4 2E sin 4 Θ Variationsrechnung mit Nebenbedingungen Berechnung von Zwangskräften, einige nichtholonome Systeme zur Erinnerung: Eine holonome Zwangsbedingung ist durch algebraische Gleichungen f( r 1,..., r N ) = 0 ausdrückbar. Man kann unabhängige Koordinaten wählen, die die Zwangsbedingung berücksichtigen. Jetzt betrachten wir allgemeinere differentielle Zwangsbedingungen n a lk dq k + a lt dt = 0, l = 1,...,m k=1 (m = Anzahl der Zwangsbedingungen, n = Anzahl der Koordinaten) (2.87) Bei virtuellen Verrückungen wird die Zeit festgehalten. n a lk δq k = 0, l = 1,...,m (2.88) k=1 Die δq k sind durch die Zwangsbedingung nicht mehr voneinander unabhängig. Die Herleitung von Gleichungen erfolgt weitgehend analog zu vorher. 75

78 Wir finden so das Hamiltonsche Prinzip δj = t 2 t 1 n ( L d ) L δq k dt = 0 (2.89) q k dt q k k=1 Sind die δq k unabhängig voneinander, folgen daraus direkt die Lagrangegleichungen L d L = 0 (2.90) q k dt q k Da das jetzt nicht mehr geht (δq k abhängig voneinander), muss die Methode der Lagrange-Multiplikatoren angewandt werden. Variationsrechnung mit Nebenbedingungen, Lagrange-Multiplikatoren Wähle m zeitabhängige Funktionen λ l (t), die sogenannen Lagrange-Multiplikatoren, mit t 2 t 1 m l=1 λ l n a lk δq k dt = 0 (2.91) k=1 Dieser Ausdruck wird jetzt zum oben genannten Hamiltonschen Prinzip (Gleichung 2.89) addiert. t 2 t 1 n k=1 [ L q k d dt Es gibt m Zwangsbedingungen. ( ) L + q k ] m λ l a lk δq k dt = 0 (2.92) Von den n δq k sind n m unabhängig, z.b. k = 1,...,n m. l=1 m δq k sind durch die Zwangsbedingungen bestimmt. Wähle λ l so, dass gilt: L q k d dt ( ) L + q k m λ l a lk = 0, k = (n m + 1),...,n (2.93) l=1 76

79 Im Variationsprinzip verbleiben die ersten n m Summanden mit den unabhängigen δq k,k = 1,...,n m t 2 t 1 n m k=1 [ L d L + q k dt q k ] m λ l a lk δq k dt = 0 (2.94) l=1 Die δq k sind jetzt voneinander unabhängig. L d L + q k dt q k m λ l a lk = 0, k = 1,...,n m (2.95) l=1 Die Gleichungen 2.93 und 2.95 ergeben zusammen: L d L + q k dt q k m λ l a lk = 0, k = 1,...,n (2.96) l=1 d.h. wir haben n Gleichungen für n Koordinaten q k (t) und m Lagrangeparameter λ l (t), dazu kommen m Zwangsbedingungen. n a lk dq k + a lt dt = 0 dt k=1 n a lk q k + a lt = 0, k=1 l = 1,...,m (2.97) Holonome Zwangsbedingungen f l (q 1,...,q k,t) = 0 kann man durch Differenzieren in eine differentielle Form bringen. 0 = df l = n f l dq k + f l dt, l = 1,...,m (2.98) q k t l=1 77