2 Kongruenzabbildungen

Transkript

1 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER 2 Konruenzabbildunen 2.1 Geradenspieelunen a) Spieel Wie wirkt ein Spieel? Warum lauben wir, zu jedem unkt vor dem Spieel äbe es inter dem Spieel einen entsprecenden unkt im leicen bstand von der Spieelläce? Modellvorstellun: Jeder beleuctete unkt sendet nac allen Seiten Lictstralen aus. Wie verlauen die Lictstralen von über S nac? Fermat beauptet: Fermat-rinzip (ierre de Fermat, ) Lict wält unter allen mölicen Ween den kürzesten (im omoenen Medium; sonst den scnellsten) Was ist der kürzeste We von über S nac? eründun des Relexionsesetzes mit dem Fermat-rinzip Frae: Wie muss ein Lictstral von aus über die Spieelerade s zum unkt lauen, damit der We mölicst kurz ist? Von aus läut ein Lictstral zum unkt F au der Spieelläce und von dort zu unkt. F ist so zu bestimmen, dass die esamte Weläne F + F mölicst kurz wird. Dazu leen wir so est, dass s die Mittelsenkrecte zu ' ist. Damit ist F = ' F, und desalb die esamte Weläne F + F = ' F + F. Die Weläne ist dann minimal, wenn F au der Strecke ' liet, in allen anderen Fällen ist ' F + F > ', da in jedem Dreieck die Summe von zwei Seitenlänen rößer als die Läne der dritten Seite ist. Daraus olt das Relexionsesetz: Einallender Stral, Lot und relektierter Stral lieen in einer Ebene (Einallsebene) senkrect zur Spieelebene Einallswinkel und Relexionswinkel sind leic. Nac dem Fermat-rinzip verläut Lict zwiscen den unkten und über die Spieelläce s so, dass es eradlini vom konstruierten unkt erzukommen sceint, da dies der kürzest mölice We ist. etractet man merere Stralen, die vom unkt auseen, dann zeit sic: Die relektierten Stralen sceinen ür das ue alle von einem unkt erzukommen, der au der anderen Seite des Spieels au dem Lot durc im leicen bstand wie liet. escränken wir uns au die etractun der Einallsebene, dann wird die Spieelebene wird zur Spieelacse. So eribt sic aus der Räumlicen Spieelun der ysik die Geradenspieelun in der Matematik. F F s s s EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER b) Deinition der Geradenspieelun eispiele ür andelndes Durcüren von Geradenspieelunen: Falten und Klecksen; Falten und Scneiden; Falten und Kolepapier; Falten und Durcstecen kariertes apier Deinition 2.1 Es sei eine Gerade der Ebene E. Eine bbildun S : E E eißt Geradenspieelun (csenspieelun) ür jeden unkt und seinen ildpunkt ' ilt: Ist, so ist die Mittelsenkrecte von ' Ist, so ist ' =. Eienscaten einer Geradenspieelun S : Die Umkerabbildun einer Geradenspieelun S ist die selbe Geradenspieelun S : S -1 = S Ein unktepaar (,') ( ') let die bbildun eindeuti est. u zwei versciedenen unkten, Q ibt es enau eine csenspieelun S mit S ()=Q. Fixelemente von S : Fixpunkte: alle unkte von Fixpunkterade: Fixeraden: ; alle Senkrecten zu Invarianten: eradentreu länentreu winkelmaßtreu läceninaltstreu nict umlausinntreu Weitere, ieraus und aus der Deinition beweisbare Eienscaten einer Geradenspieelun S ( Übunen) Ist, so scneiden sic und ' au und albiert den Winkel zwiscen und '. Ist, so ist Mittelparallele des von und ' berenzten arallelstreiens. '

2 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER Ist 1 2, so ist auc 1' 2'. Geradenspieelunen sind parallelentreu emerkun: Die Geradentreue und lässt sic nict one weiteres aus der Deinition und den in Kapitel 1 enannten xiomen ableiten, sondern müsste als neues xiom eordert werden. Die Länentreue und Winkelmaßtreue daeen könnte man ableiten. 2.2 Deinition und Eienscaten von Konruenzabbildunen Deinition 2.2 Eine bbildun : E E eißt Konruenzabbildun ist bijektiv, eradentreu, länentreu. Satz 2.1 Jede Geradenspieelun ist eine Konruenzabbildun. Satz 2.2 Die Verkettun von zwei Geradenspieelunen ist eine Konruenzabbildun. Folende robleme im usammenan mit Konruenzabbildunen sollen beandelt werden: Gibt es außer den csenspieelunen noc weitere Konruenzabbildunen? Welce Typen können das sein? Kann man sie einac klassiizieren? Welce Typen von Konruenzabbildunen erält man, wenn man merere csenspieelunen inter einander ausürt? evor wir uns mit der Verkettun von csenspieelunen im Einzelnen beassen, sollen noc einie Eienscaten von Konruenzabbildunen bewiesen werden. Dabei verwenden wir wiederum alle in Kapitel 1.6 aueürten xiome. Satz 2.3 Die Verkettun von zwei Konruenzabbildunen ist eine Konruenzabbildun. Satz 2.4 Jede Konruenzabbildun ist winkelmaßtreu und läceninaltstreu EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER eweis: Winkeltreue: Durc die Halberaden S, S sei ein Winkel eeben, der ildwinkel sei S, S. Wäle au S einen unkt und au S einen unkt. Für das ilddreieck S ist ween der Länentreue der Konruenzabbildunen S = S ' ', = '', S = 'S'. Damit stimmen die Dreiecke auc in allen Winkeln überein und insbesondere ist =. Fläceninaltstreue: Wir zeien im Vorri au die späteren usürunen zum Fläceninaltsberi, dass der Fläceninalt von Rectecken eralten bleibt, da alle Fläceninalte mit Hile von Rectecken emessen werden. Das ild eines Rectecks D ist wieder ein Recteck, da Konruenzabbildunen winkelmaßtreu sind. Die Seitenlänen des ildrectecks D stimmen ween der Länentreue mit denen von D überein und daer ist auc der Fläceninalt der leice. Satz 2.5 Jede Konruenzabbildun ist parallelentreu. eweis: Folt unmittelbar aus der Geradentreue und der ijektivität von Konruenzabbildunen (Übunsauabe). Satz 2.6 Durc das bbilden eines einzien Dreiecks ist eine Konruenzabbildun eindeuti estelet. eweis 1 : Das ild eines (nict ausearteten) Dreiecks sei. Sei ein beliebier unkt der Ebene. Wir müssen zeien, dass das ild von eindeuti estelet ist. Dazu zeicnen wir die Gerade (ür ). 1.Fall: scneidet die Gerade in einem unkt F. Der ildpunkt F von F liet au und ist eindeuti bestimmt, da ween der Geradentreue und Länentreue F = ' F' und F = 'F'. muss au F lieen. Ween der Länentreue ist F ' ' = F, und damit ist eindeuti bestimmt. F S Übun: eicnen Sie Skizzen, bei denen F nict zwiscen und liet und prüen, Sie, ob dann die rumentation oben ebenalls ricti ist. eicnen Sie Skizzen ür viele versciedene Laen von F S S F S S S 2.Fall: scneidet die Gerade nict. Übun. 3.Fall: =. ist nict deiniert. Ween = ist wiederum eindeuti estelet. 1 Dieser Satz ilt soar anz allemein ür bijektive, eradentreue bbildunen der Ebene.

3 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER 2.3 Hintereinanderausüren von 2 csenspieelunen 2 Satz 2.7 Die Hintereinanderausürun von 2 csenspieelunen ist eine Dreun oder eine Versciebun. Dabei ilt: Scneiden sic die beiden csen in unter, so lässt sic die weiacspieelun durc eine Dreun um um 2 ersetzen. Dabei let die Reienole der csenspieelunen den Winkel est: ist der Winkel, der überstricen wird, wenn die erste Spieelacse im Geenurzeiersinn au die zweite Spieelacse edret wird. Sind die beiden csen parallel im bstand a, so lässt sic die weiacspieelun durc eine Versciebun um 2a senkrect zur csenrictun ersetzen. Dabei let die Reienole der csenspieelunen die Rictun der Versciebun est: Die Versciebun erolt von der ersten Spieelacse au die zweite Spieelacse zu. 2 a 2a EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER 2.eauptun: = 2. Ween der Winkeltreue von S und S ist β=β und γ=γ. Da =β +γ = β+γ und = β+β +γ+γ olt = β+β+γ+γ = 2(β+γ) = 2. Weitere Unterälle: ndere Laen von,, wie z.. in der nebensteenden bbildun. Übunsauabe Da der Winkel nur von der eenseitien Lae der csen und abänt (nict aber von der Lae des unktes ), olt, dass die Dreun immer um den leicen Winkel 2 erolt. 3.Fall: Die beiden Spieelacsen und sind parallel und verscieden und aben den bstand a. Sei ein beliebier unkt, = S () und = S ( ). Wir untersucen, wie sic aus eribt. eauptun: et aus durc Versciebun um 2a in der Rictun senkrect von nac ervor. Wir müssen alle mölicen Laen von, und bezülic der csen und betracten. '' ' eweis von Satz 2.7: Geeben sei die Verkettun der Spieelun S mit S. 1. Fall: Die beiden Spieelacsen und allen zusammen. Dann ist S = S und damit S os = id. id kann man als Spezialall einer Dreun um 0 oder einer Versciebun um den Nullvektor auassen. 2.Fall: Die beiden Spieelacsen und scneiden sic in einem unkt unter dem Winkel. Dabei ist der Winkel, der überstricen wird, wenn man im Geenurzeiersinn au dret. Sei ein beliebier unkt, = S () und = S ( ). Wir untersucen, wie sic aus eribt. eauptun: et aus durc Dreun um den unkt um den Winkel 2 ervor. Wir müssen alle mölicen Laen von, und bezülic der csen und betracten. 1. Unterall: liet so, dass und wie in der nebensteenden bbildun lieen. 1.eauptun:, und lieen au einem Kreisboen um. Klar, da ween der Länentreue von S und S ilt = ' = ''. '' γ' γ ' β' β 1. Unterall: liet so, dass und wie in der nebensteenden bbildun lieen. 1.eauptun:, und lieen au einer Senkrecten zu den csen und. Klar nac Deinition der csenspieelun. 2.eauptun: '' = 2a. Nac Deinition der csenspieelun ist b = M 1 = M 1' =b und c = M = M '' = c. Da a = b +c ist, olt ' 2 2 '' = 2b+2c=2a. Weitere Unterälle: ndere Laen von,, wie z.. in der nebensteenden bbildun. Übunsauabe ' ' b b' c c' M1 M1 a a M2 M2 '' '' 2 Die Deinitionen von Versciebun und Dreun inden sic au S. 25

4 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER uc die Umkerun von Satz 2.7 ilt! Jede Dreun D, lässt sic durc eine Doppelspieelun ersetzen. Dabei müssen sic die beiden Spieelacsen in unter ½ scneiden. Jede Versciebun v lässt sic durc eine Doppelspieelun an parallelen csen im bstand ½ v, senkrect zu v, ersetzen. Orientierun des Winkels bzw. Versciebunsrictun beacten! 2.4 Hintereinanderausüren von 3 csenspieelunen Nacdem wir die Verkettun von zwei csenspieelunen vollständi eklärt aben, wollen wir nun die Verkettun von drei csenspieelunen untersucen. Die al der zu untersucenden Fälle von eenseitier Lae der csen zueinander ist ier natürlic viel rößer als zuvor. 1.Fall: Die csen scneiden sic in einem unkt. Konstruieren Sie ür die ezeiten bbildunen jeweils solce csen. Welce edinunen müssen daür elten? ' ' ' uabe Konstruieren Sie csen ür zwei Geradenspieelunen, deren Verkettun eine Dreun um 90 ( 180, 45 ) eribt. Überprüen Sie durc usüren der Spieelunen eines Dreiecks, dass sic tatsäclic jeweils die erwartete Dreun eribt. ' ' 70 ' ' ' Die Dreun des csenpaares (,) um ändert die Verkettun S os nict, wenn der einesclossene Winkel leic bleibt. S o S o S = (S o S )o S = (S o S )o S = S o (S o S ) = S o id = S uabe Der Winkel, zwiscen und sei 30, der Winkel, sei 70. Die Doppelspieelun S os soll durc zwei andere csen darestellt werden, deren eine ist. Konstruieren Sie die zweite cse. eine csenspieelun an eacten Sie, dass die Reienole der csenspieelunen eine Rolle spielt (kein Kommutativesetz), die paarweise usammenassun aber nict (ssoziativesetz). 2.Fall: Die 3 csen sind parallel. Die Versciebun des csenpaares (,) ändert die Verkettun S o S nict. = S o S o S = (S o S )o S = (S o S )o S = S o (S o S ) = S o Id = S eine csenspieelun S an

5 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER 3.Fall: Die csen bilden ein Dreieck. EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER 4.Fall: 2 csen sind parallel. 1. Unterall:. * ' ' * 1. Dreun von (,) um so, dass, Scnittpunkt von und. ' Dreen von csenpaar (,) um iren Scnittpunkt Lae wie im 3.Fall Scubspieelun 90 ' 2. Unterall: Übun Damit aben wir bewiesen: 2. Dreun von (,) um so, dass ' Satz 2.8: Die Hintereinanderausürun von 3 csenspieelunen ist eine csenspieelun oder eine Scubspieelun. ' '' 2.5 Dreunen Die bislan als Verkettun von csenspieelunen ewonnenen Konruenzabbildunen Dreun, Versciebun und Scubspieelun sollen jetzt jeweils noc au andere rt deiniert werden. S o S o S = (S o S )o S = (S o S )o S = S o (S o S ) = S o (S o S ) = (S o S )o S (S o S ) ist Versciebun parallel zur Spieelacse, danac wird eine Spieelun an durceürt 90 ' Versciebun eolt von einer csenspieelun. Solce Konruenzabbildunen wollen wir als Scubspieelun bezeicnen. eacten Sie bei diesem Veraren, dass man nur solce csenpaare um iren Scnittpunkt dreen dar, die zu Spieelunen eören, die unmittelbar intereinander auseürt werden; also ier nur (,) oder (,) '' Deinition 2.3 Es sei ein unkt der Ebene E, eine Winkelröße. Eine bbildun D, : E E eißt Dreun ür jeden unkt und seinen ildpunkt ' ilt: ' = ' = Ist =, so ist ' = =. Eienscaten einer Dreun D, : D, -1 = D, - = D, versciedene unktepaare (,'), (Q,Q') leen die bbildun eindeuti est (alls existent). Fixelemente von D, (ür 0 ): Fixpunkte:. Fixpunkteraden: keine. Fixeraden: keine (ür 0, 180 ). '

6 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER Invarianten: eradentreu, länentreu, winkelmaßtreu, läceninaltstreu, umlausinntreu. Weitere, ieraus und aus der Deinition beweisbare Eienscaten: Ist, so ist ', Gerade und ilderade aben von denselben bstand, Gerade und ilderade scneiden sic unter (eründun?). unktspieelun (Sonderall der Dreun; Drewinkel = 180 ) EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER Fixelemente von V, : (ür ) keine Fixpunkte, alle Geraden parallel zu sind Fixeraden. Invarianten: eradentreu winkelmaßtreu länentreu läceninaltstreu Umlausinn bleibt eralten usätzlice Eienscat: ' (d.. Oriinalerade und ilderade sind parallel). eründun? Deinition 2.4 Sei ein unkt der Ebene E. Eine bbildun eißt unktspieelun an ür jeden unkt und seinen ildpunkt ilt: Ist =, so ist ' = =, sonst albiert die Strecke '. ' uabe (a) D sei ein aralleloramm. eien Sie mit Hile der Deinition 2.5, dass ilt V, = V,D. (b) eien Sie mit Hile der Deinition 2.5, dass ür die Verkettun von zwei Versciebunen ilt V, o V, = V,. D usätzlice Eienscaten einer unktspieelun (eenüber den Eienscaten einer beliebien Dreun): D,180-1 = D,180, D,180 liet durc ein unktepaar (,') eindeuti est ( alls '), alle Geraden durc sind Fixeraden, ' (Oriinalerade und ilderade sind parallel). eründunen? 2.6 Versciebunen Deinition 2.5 Es seien, zwei versciedene unkte der Ebene E. Eine bbildun V, : E E eißt Versciebun um ür alle unkte der Ebene ilt: - liet au der Geraden, so auc '; und ' und sind leiclan und leicerictet. - Sonst bilden die unkte ' (in dieser Reienole) ein aralleloramm. Eienscaten: V -1, = V, Eine Versciebun liet durc 1 unktepaar (,') eindeuti est. v Wir veranscaulicen die durc das unktepaar (,') estelete Versciebun ot durc einen eil r ' = v von nac und screiben auc V v r. ' 2.7 Scubspieelunen (Gleitspieelunen) Deinition 2.6 Scubspieelunen sind bbildunen, die aus dem Hintereinanderausüren einer Versciebun und einer csenspieelun besteen. Dabei liet die Spieelacse parallel zur Versciebunsrictun. Scubspieelunen kann man durc die Verkettun von Spieelunen an 3 csen darstellen, von denen die ersten beiden parallel zueinander sind und die dritte senkrect dazu ist. Man kann die Reienole von Versciebun und csenspieelun vertauscen, wenn die Versciebun parallel zur Spieelacse verläut: V v r o S = S o V v r. uabe eweisen Sie, dass die Verkettun einer csenspieelun mit einer Versciebun immer eine Scubspieelun ist (auc wenn die Versciebun nict parallel zur Spieelacse verläut) und üren Sie die Konstruktion der v r Spieelacse und des Versciebunsvektors ür einie eispiele durc. eacten Sie: In diesem Fall kann man die csenspieelun und die Versciebun nict vertauscen. Wir vereinbaren ier: uerst die csenspieelun S, dann die Versciebun.uabe Was ist die zur Scubspieelun V v r o S inverse bbildun? v r

7 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER 2.8 Konruenzabbildunen - rodukte von csenspieelunen Mit der biserien Vorarbeit sind wir in der Lae, die anestrebte Klassiizierun aller Konruenzabbildunen vorzunemen. Wir eben nocmals eine kurze usammenassun des biserien Voreens: unäcst werden Konruenzabbildunen als bijektive, eradentreue, länentreue bbildunen der Ebene deiniert. csenspieelunen erweisen sic als Konruenzabbildunen. Verkettun von csenspieelunen sind Konruenzabbildunen. Jede Konruenzabbildun ist durc die bbildun eines Dreiecks eindeuti estelet. Wir wissen, welce bbildunstypen sic durc die Verkettun von öcstens 3 csenspieelunen ereben: csenspieelun bei 1 cse (eensinnie bbildun), Dreun oder Versciebunen bei 2 csen (leicsinnie bbildun), Scubspieelun oder csenspieelun bei 3 csen (eensinnie bbildun). Wir wollen nun zeien, dass sic auc jede Konruenzabbildun durc öcstens 3 csenspieelunen darstellen lässt. Dazu beweisen wir zunäcst den olenden Satz. Satz 2.9 Geeben seien zwei Dreiecke und *** mit leic lanen Seiten. Dann lässt sic Dreieck au Dreieck *** durc eine Verkettun von öcstens 3 csenspieelunen abbilden. eweis: Geeben sei ein Dreieck und ein dazu konruentes Dreieck ***. nzueben ist ein rodukt von 1, 2 oder 3 csenspieelunen, welces au *** abbildet. Idee: nabe von csenspieelunen (oder von identiscen bb.) mit den Eienscaten : a *, ( a, a ) : a * ; * bleibt est, ( a ) warum ibt es eine solce Spieelun? : a * ; * und * bleiben est. warum ibt es eine solce Spieelun? usansdreiecke Konstruktion der csenspieelunen * ' '' * EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER Satz 2.10 Jede Konruenzabbildun lässt sic als Einac-, weiac- oder Dreiacspieelun darstellen. eweis u einer eebenen Konruenzabbildun wält man ein beliebies Dreieck aus. bildet au das Dreieck *** mit leicen Seitenlänen wie ab. Nac Satz 2.9 kann man das Dreieck durc eine Verkettun von 3 csenspieelunen au *** abbilden. Da diese Verkettun eine Konruenzabbildun ist und ween Satz 2.6 Konruenzabbildunen durc das ild eines Dreiecks eindeuti bestimmt sind olt, dass leic ist, also durc 3 csenspieelunen darestellt werden kann. Satz 2.11 Die Verkettun von beliebi vielen csenspieelunen lässt sic au eine Verkettun von 3 csenspieelunen reduzieren. (Dreispieelunssatz) eweis Einace Folerun aus Satz Satz 2.12 Jede Konruenzabbildun ist von einem der Typen csenspieelun, Dreun, Versciebun, Scubspieelun. eweis Einace Folerun aus Satz und der nalyse der Verkettun von 3 csenspieelunen. 2.9 Hintereinanderausüren von 4 und mer Geradenspieelunen Im voraneenden bscnitt aben wir allemein ezeit, dass sic Verkettunen von beliebi vielen csenspieelunen au die Verkettun von 3 csenspieelunen zurücküren lassen. Wir aben bei diesem Nacweis nict ezeit, wie sic diese csenspieelunen aus den eebenen csenspieelunen ereben. Die soll nun an zwei eispielen konkret ezeit werden. Wir untersucen exemplarisc die Verkettun von 2 Dreunen und die Verkettun von zwei Versciebunen. Wir verwenden wieder die zuvor scon merac anewandte Metode der Elimination von Spieelacsen. Die Übertraun dieser Metode au weitere Fälle (etwa die Verkettun einer Dreun und einer Versciebun) möe als Übunsauabe dienen. * ' * Verkettun von zwei Dreunen Geeben seien zwei Dreunen um versciedene Drezentren 1 und 2 mit den Drewinkeln 1 und 2. Die Verkettun der Dreunen kann durc 4 csenspieelunen (S os )o(s os i ) darestellt werden. Hier wird die bbildun eines Dreiecks ezeit, was nur zur besseren Veranscaulicun dient, die nabe der csen alleine enüt natürlic. Die csenpaare (,) und (,i) können wieder um iren jeweilien Scnittpunkt unter eibealtun des einesclossenen Winkels edret werden, so dass = wird; es ist dann = 1 2. Natürlic ätten wir scon zu einn leic und so wälen können, dass sie zusammenallen und leic sind. 1 2 uabe Füren Sie ür die nebensteenden usansdreiecke dieselbe Konstruktion der Spieelacsen durc. * * * * *

8 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER Wir alten diese Erebnisse nocmals est. '' '' '' ' 60 1 ' ' 45 2 '' '' i '' ' ' ' 22,5 2 i' '' ' ' '' ' ' 30 ' ' '' ,5 2 Satz 2.13 Die Verkettun von zwei Dreunen ist eine Versciebun, wenn ür die Drewinkel 1 und 2 ilt =360, andernalls eine Dreun um den Winkel Die Verkettun von zwei Versciebunen ist eine Versciebun nac den Gesetzen der Vektoraddition. um Scluss wird noc ein Überblick darüber eeben, was bei der Verkettun von 4 csenspieelunen esceen kann. Geeben seien die csenspieelunen S o S o S o S i = ( S o S o S ) o S i. Folende Fälle sind mölic: Es ist (S os )o(s os i )= (S os )o(s os i ) = S o(s os )os i = S oidos i = S os i. Scneiden sic und i im unkt, dann eribt sic eine Dreun um um (ild), sind und i parallel, dann eribt sic eine Versciebun. (Für welce Winkel 1 und 2 tritt dieser zweite Fall ein?) Selbstverständlic konnten wir scon im Voraus saen, dass nur diese beiden Fälle eintreten konnten (warum?), der ier eebene Nacweis ibt aber eine unmittelbare Konstruktion des Drezentrums aus den csen der Einzeldreunen an. Verkettun von zwei Versciebunen Geeben seien zwei Versciebunen in versciedene Rictunen (leice Rictunen: trivial), die durc S o S und S o S i darestellt sind. Wir zeien, dass die Verkettun wieder eine Versciebun ist Wir eralten die bekannte Vektoraddition ür die Versciebunen. Dreun von (,) um, so dass au ällt upunkt1 upunkt2 upunkt i ' upunkt1 ' i upunkt2 Dreun von (, ) um den Mittelpunkt von und von (,i) um den Mittelpunkt von so dass und zusammen allen. Formaler zusammeneasst: 1. ( S o S o S ) ist Spieelun: Spieelun o Spieelun Dreun oder Versciebun 2. ( S o S o S ) ist Scubspieelun: Scubspieelun o Spieelun Dreun oder Versciebun u 2.: Man stellt die Scubspieelun durc 3 csenspieelunen dar und kann annemen: und. 1.Fall: i : S o S und S o S i sind Versciebunen. Versciebun 2.Fall: Nict i. Dann kann man die csen und i um iren Scnittpunkt S dreen, so dass wird, und dann das aar, so verscieben, dass mit zusammenällt. Dreun um i. i upunkt1 ''' '' '''' upunkt2 Formaler zusammeneasst: (S o S )o (S o S i )= (S o S )o (S o S i ) = (S o S )o (S o S i ) = S o(s o S )os i = S o(id)os i = S os i und i sind scneiden sic in einem unkt. S ' '' '' '''' i' upunkt2 upunkt2 ' ' ' S i' upunkt1 upunkt1 ' S ' ''' ' ''' '' ' i' '' (S o S )o (S o S i )= S o(s o S )os i = S o(s o S )os i = (S o S )o (S o S i ) = (S o S )o (S o S i ) = S o(s o S )os i = S o(id)os i = S os i und i sind parallel und ir bstand ist die Hälte der Läne der Seite. Satz 2.14 Die Verkettun von 4 csenspieelunen ist eine Dreun oder eine Versciebun. Die Verkettun von 4 csenspieelunen lässt sic stets ersetzen durc die Verkettun von 2 (eeineten) csenspieelunen ''''

9 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER Hintereinanderausüren von mer als 4 csenspieelunen: Mit Satz 2.14 und dessen eweis lässt sic nocmals ein eweis ür den Dreispieelunssatz (Satz 2.11) eben, der zeit, wie die Reduktion der nzal der csenspieelunen scrittweise vorenommen werden kann: Sei n die nzal der csenspieelunen, n > 4. S 1 o S 2 o S 3 o S 4 o... o S n = (S 1 o S 2 o S 3 o S 4 ) o... o S n = (S 1 o S 2 ) o... o S n (ween Satz 2.14) ür n 4 lässt sic die nzal der csenspieelunen scrittweise um jeweils 2 reduzieren. stets Reduktion au maximal 1, 2 oder 3 csenspieelunen mölic.