Grundlagen der Differentialrechnung

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1 Grundlen der Dierentilrecnun Grundlen der Dierentilrecnun Grundlen der Dierentilrecnun Höe üer NN in m Einürun in die Kurvendiskussion 500 C In der Dierentilrecnun etrcten wir die Dierentition von Funktionen sowie die drus resultierenden Anwendunen Die Dierentition einer Funktion, wir sprecen mitunter uc von der Aleitun, knn eometrisc ls die Steiun einer Funktion interpretiert werden Aus diesem Grund escätien wir uns zunäcst mit dem Steiunseri A B D E F Steiunseri ei nzrtionlen Funktionen Für die Steiun einer lineren Funktion mit m wissen wir ereits, dss sie mit Hile zweier Punkte des Grpen ermittelt werden knn: m y y y Dei ist es leicülti, welce Punkte der Gerden zur Berecnun der Steiun ewält werden, d die Steiun ür die esmte Gerde leic leit P / y Enternun vom Strt in km A9: Streckenproil einer Rdretppe Ds oie Scuild stellt ein Streckenproil einer Rdretppe dr Hier ist oensictlic, dss die Steiun in den Punkten A und B positiv ist und in den Punkten D is F netiv Deutlic wird er uc, dss die Steiun im Punkt A erelic rößer ist ls im Punkt B, woei eide er rößer ls Null d positiv sind Der Punkt C sceint m öcsten Punkt der Strecke zu lieen Ds Steiunsverlten n solcen Punkten werden wir später enuer untersucen 5 y y P / y Um zu untersucen, wie die Steiun einer Kurve in einem estimmten Punkt estimmt werden knn, wollen wir zunäcst die eincste, uns eknnte nictli- nere Funktion untersucen: die Qudrtunktion mit der Gleicun Wir wollen zunäcst die Steiun des Funktionsrpen der Qudrtunktion der Normlprel im Punkt / P estimmen D ist, etrcten wir somit / P A8: Steiunsdreieck einer Gerden durc P / y und P / y P Oensictlic ist die Steiun dort zumindest positiv, der enue Wert ist er uneknnt Wir können jedoc ei der Betrctun von nzrtionlen Funktionen nict wie ei lineren Funktionen von der Steiun sprecen Die Steiun ist vielmer in jedem Prelpunkt P eine ndere A50: Normlprel mit dem Punkt P/

2 P A5: Normlprel mit P A5: Normlprel mit und P P Grundlen der Dierentilrecnun Beknnt ist jedoc, wie die Steiun einer Gerden estimmt wird Dzu enötien wir einen zweiten Punkt ier / 9 P A5 Die Steiun der Gerden durc die Punkte P und P eträt y y 9 8 m Diese Gerde entsprict jedoc nur unenu dem Kurvenverlu im Punkt P Genuer wird diesem entsprocen, wenn wir sttt des Punktes P / 9, den Punkt P / enutzen, d dieser näer n unserem Punkt P liet A5 Für die Steiun der Gerden ilt y y m Nc den oien Üerleunen muss dnn die Steiun einer Gerden durc den Punkt,5 /,5 P noc enuer der Steiun der Normlprel im Punkt P entsprecen Für diese Steiun erit sic,5,5 m,5,5 0,5 Die Steiun Grundlen der Dierentilrecnun m t der Tnente n den Grpen der Qudrtunktion im Punkt P / entsprict demnc so enu wie nur mölic der Steiun des Grpen in diesem Punkt Wie roß ist nun er diese Steiun? Die Tnente erlten wir, indem wir den Punkt P immer näer n n n / n den Punkt P ernrücken lssen Die Steiunen der versciedenen Seknten entsprecen dnn immer enuer der Steiun der Tnente Dei näert sic der -Wert von P immer mer der -Wert von P n Diese stetie n n / n Annäerun entsprict mtemtisc eseen einer Grenzwertetrctun und zwr etrcten wir ier nict den Grenzwert ür, sondern den Grenzwert ür Die Steiun m t der Tnente im Punkt P entsprict somit dem Grenzwert der Sekntensteiunen ür Wir wollen nun die Steiun m t erecnen: m t D nun immer näer n die ernrückt, is es prktisc identisc ist mit ir, liet der Versuc ne, den Wert der Steiun durc ds Einsetzen von ür zu estimmen Dies ist jedoc nict mölic, d der Nenner des Bruces dnn zu Null wird und der Quotient nict deiniert ist Dennoc können wir nc einer Umormun den Wert der Steiun u diese Art estimmen, d der Zäler des Quotienten der inomiscen Formel entsprict mn knn lso mit m t kürzen: P A5: Normlprel mit Tnente im Punkt P Lssen wir lso den zweiten Punkt immer näer n den Punkt P ernrücken, so entsprict die erecnete Steiun immer enuer der ttsäclicen Steiun des Grpen im Punkt P Rückt dieser Punkt so ne ern, dss er mit dem Punkt P zusmmenällt, so erlten wir eine Gerde, die nur den Punkt P mit dem Grpen emeinsm t Solc eine Gerde nennen wir Tnente n den Grpen im Punkt P A 5 Noc einml der Hinweis: Die ier estimmte Steiun m t ist ledilic die Steiun ür die erde etrctete Stelle Für jede ndere Stelle muss die Steiun - mit demselen Verren - esondert estimmt werden Deinition Aleitun der QF n der Stelle Die Steiun des Grpen der Qudrtunktion in einem Punkt / P ist leic der Steiun der Tnente n den Grpen in diesem Punkt Die Steiun der Tnente wird ls Grenzwert der Sekntensteiunen estimmt Diese Steiun ekommt einen speziellen Nmen, sie wird ls Aleitun der Qudrtunktion n der Stelle ezeicnet

3 Grundlen der Dierentilrecnun Die Steiun m der Qudrtunktion im Punkt P / knn lso wie olt estimmt werden: m Für einen elieien Punkt P / ilt m Grundlen der Dierentilrecnun Stz und Deinition Bildun der Aleitun / Dierenzierrkeit Die Aleitun der Funktion n der Stelle ires Deinitionsereices erlten wir, indem wir den Dierenzenquotienten ilden, den Grenzwert des Dierenzenquotienten ilden Flls dieser Grenzwert eistiert, so setzen wir Die Funktion eißt dnn n der Stelle dierenzierr Eistiert dieser Grenzwert nict, so eißt n der Stelle nict dierenzierr Dierenzierrkeit und Aleitun In diesem Kpitel werden wir nc der nsculicen Einürun des Aleitunseries diesen näer untersucen und einie Deinitionen und Reeln einüren Deinition Steiun einer Funktion Die Steiun des Grpen einer Funktion in einem Punkt P ist leic der Steiun der Tnente n den Grpen in diesem Punkt Geometrisce Deinition Aleitun n der Stelle Unter der Aleitun einer Funktion n der Stelle us irem Deinitionsereic versteen wir die Steiun der Tnente n den Grpen der Funktion n der Stelle Diese Aleitun wird mit ezeicnet Anmerkunen Der Grenzwert des Dierenzenquotienten d die Aleitun der Funktion n der Stelle ist lso leic der Steiun des Grpen von n der Stelle und dmit uc leic der Steiun der Tnente n dieser Stelle Gnzrtionle Funktionen sind n jeder Stelle ires Deinitionsereices dierenzierr Deinition Aleitunsunktion Die Funktion : mit, woei us dem Deinitionsereic von sein muss, eißt die Aleitunsunktion der dierenzierren Funktion D eine elieie Stelle us dem Deinitionsereic ist, werden wir stttdessen uc einc screien: : 5 6

4 Deinition öere Aleitunen zweite Aleitun von ist die Aleitunsunktion von dritte Aleitun von ist die Aleitunsunktion von Beispiel Bestimmun der Aleitun ür Grundlen der Dierentilrecnun Entsprecend der oien Deinition erlten wir die Aleitun dieser Funktion n der Stelle ls Grenzwert des Dierenzenquotienten: d, 58 5 Um den Grenzwert des Dierenzenquotienten durc Einsetzen des Wertes ür estimmen zu können, muss zunäcst eine Polynomdivision durceürt werden, d nsonsten der Nenner zu Null würde Neenrecnun: Also ilt : Grundlen der Dierentilrecnun Der Wert der Aleitun dieser Funktion n der Stelle, lso ür, eträt somit 5 Entsprecend der oien Deinitionen ist dmit uc die Steiun des Grpen n dieser Stelle leic 5, die wiederum ls Steiun der Tnente n dieser Stelle deiniert ist lso ilt uc ür die Tnentensteiun n dieser Stelle m 5 Aleitunsunktion und Tnentenleicun Bestimmt mn den Grenzwert des Dierenzenquotienten nict ür eine konkrete Stelle des Deinitionsereices z B, sondern ür eine elieie Stelle ID, so erält mn den Funktionsterm der Aleitunsunktion Die Aleitun n einer elieien Stelle des Deinitionsereices und dmit die Steiun des Grpen und leiczeiti die Steiun der Tnente n dieser Stelle knn dnn durc Einsetzen des jeweilien Wertes in den Funktionsterm der Aleitunsunktion erecnet werden Für die Qudrtunktion mit wurde der Grenzwert des Dierenzenquotienten ür eine elieie Stelle und somit der Funktionsterm der Aleitunsunktion ereits estimmt Es ilt Somit knn die Aleitun der Qudrtunktion n llen Stellen des Deinitionsereices durc Einsetzen der Funktionswerte in die Funktionsleicun von estimmt werden Z B oder 8 Um die Gleicun der Tnente n den Grpen der Qudrtunktion n der Stelle zu estimmen, enötien wir die Steiun der Tnente n dieser Stelle Dür ilt m t 6 Zudem wird uc der Funktionswert n dieser Stelle erecnet: 9 t 7 8

5 Grundlen der Dierentilrecnun Grundlen der Dierentilrecnun Die Punktproe erit dnn ür die Tnente olende Funktionsleicun: Also t m t t 6 9 Die oien Üerleunen zur Aleitunsunktion und zur Bestimmun der Tnentenleicun können nlo u lle nzrtionlen Funktionen üertren werden A5: Grp der konstnten Funktion mit, Aleitunsreeln In diesem Ascnitt werden einie Aleitunsreeln eineürt Die Grenzwertetrctunen, die wir iser stets durcüren mussten, um eine Aleitun Aleitunsunktion zu estimmen, können dnn zumindest ei nzrtionlen Funktionen entllen Stz Aleitun konstnter Funktionen Für konstnte Funktionen mit c c IR ilt stets 0 Oder kurz c 0 Stz Aleitun linerer Funktionen Jede linere Funktion mit m t ls Aleitun m Kurz Beweis: Für lle ID ilt m m m m m m m m m m m Beweis: Für lle ID ilt Anmerkun c c Der Grp einer konstnten Funktion ist immer eine Gerde prllel zur -Acse, d er esitzt die Steiun m 0 A5 Stz Potenzreel Jede Potenzunktion mit t ls Aleitun Kurz n n IN n n n n n 9 0

6 Grundlen der Dierentilrecnun Au den Beweis wird n dieser Stelle ewusst verzictet Wir verweisen den eneiten Leser n dieser Stelle u lterntive Sculücer und Fclitertur z B indet sic in Griesel/Postel, 999, S68 ein ser nsculicer Beweis Stttdessen notieren wir: Stz Fktorreel Ist die Funktion n der Stelle dierenzierr, so ist uc die Funktion mit k und IR k n der Stelle dierenzierr und es ilt k Kurz: k k Beweis: Für lle ID ilt k k k k k k Stz Summenreel Sind die Funktionen und n der Stelle dierenzierr, so ist uc die Funktion mit n der Stelle dierenzierr und es ilt Kurz Beweis: Für lle ID ilt Grundlen der Dierentilrecnun Stz Dierenzenreel Sind die Funktionen und n der Stelle dierenzierr, so ist uc die Funktion mit n der Stelle dierenzierr und es ilt Kurz Beweis: Der Beweis olt nlo zum Beweis der Summenreel Stz Aleitun von Eponentilunktionen Für Eponentilunktionen mit ilt 0 Beweis: Entsprecend der Deinition der Aleitun ilt ier Ersetzt mn durc, so olt:

7 Grundlen der Dierentilrecnun Hinweis Die Berecnun der jeweilien Aleitunskonstnten 0 ür Eponentilunktionen ist nict one weiteres durcürr Sie knn jedoc mit Hile der ntürlicen Eponentilunktion und des ntürlicen Loritmus durceürt werden siee Anmerkunen unten Stz Aleitun der ntürlicen Eponentilunktion Für die ntürlice Eponentilunktion mit ilt: e e Beweis: Au einen vollständien Beweis soll ier verzictet werden Er olt letztlic unmittelr us dem Ncweis, dss ür die Eulersce Zl e ilt Grundlen der Dierentilrecnun T9: Beispiele ür Aleitunsunktionen Funktion Aleitunsunktion e 7e 0 e e 6 e Anmerkunen ln Mit Hile der Formel e können wir jede Eponentilunktion durc die ntürlice Eponentilunktion Es ilt e drstellen ln ln e e Mit Hile dieser Formel erit sic scließlic ür die Aleitun von elieien Eponentilunktionen mit olende Formel ür die Aleitun: ln mit IR \ { } Um Funktionen wie eispielsweise e leiten zu können, enötien wir eine weitere Aleitunsreel, die so ennnte Kettenreel, u die wir im Rmen dieses Buces jedoc nict eineen wollen In der olenden Telle sind einie Funktionen iren jeweilien Aleitunsunktionen eenüerestellt, um die Anwendun der oien Reeln zu verdeutlicen 5 Etremstellen Wir en ereits eine nze Reie von Mölickeiten, den Grpen einer nzrtionlen Funktion mölicst enu zu zeicnen: Der Verlu des Grpen m Rnde des Deinitionsereices knn estimmt werden Grenzwertverlten Der Scnittpunkt mit der y-acse und die Scnittpunkte mit der -Acse können ermittelt werden Wir können den Grpen in Ascnitte Intervlle mit positiven und netiven Funktionswerten einteilen und stren monoton steiende zw llende Ascnitte erkennen Noc nict eklärt ist, wie mn ermitteln knn, is zu welcem Punkt der Grp stren monoton steit zw ällt Bevor wir üerleen, wie diese Punkte estimmt werden können, müssen jedoc zunäcst einie Berie estelet werden Dzu etrcten wir zunäcst ds olende Beispiel:

8 Grundlen der Dierentilrecnun Grundlen der Dierentilrecnun Beispiel Einürun in die Etremstellen Die FOS des Sculjres 00/00 tte sic im Winter üer die Tempertur in der Sculul escwert: Ml wr es inen zu klt, dnn wieder zu wrm Bei Messunen wärend des olenden Scultes er sic ür die Zeit von 8:00 Ur is :00 Ur olende Messkurve: Konkret edeutet ds: Geeen sei die Funktion mit dem Deinitionsereic ID 9 5 solutes Mimum reltives Mimum y d e c A / reltiver Hocpunkt B / C D d / d c / c E soluter Hocpunkt e/ e F / 8:00 9:0 :00 :0 :00 A55: Messun der Tempertur in der Sculul Etremstellen c d e U ID [ ; ] Ds solute Minimum der emessenen Temperturen l demnc direkt zu Beinn der Auzeicnunen um 8:00 Ur Es etru 5 Celsius Geen :00 Ur trt ein weiteres Minimum ein, ds llerdins ei einer etws öeren Tempertur l 9 Celsius und demnc ls reltives Minimum ezeicnet werden knn [Minimum ür die Zeit een :00 Ur oder z B ür die Zeit von 9:0 Ur is :0 Ur] Scließlic iel die Tempertur nc :0 Ur steti weiter, is dnn um :00 Ur die Messunen einestellt wurden Die öcste emessene Tempertur ds solute Mimum der Temperturen wurde demnc um :0 Ur emessen Zuvor wurde ereits um 9:0 Ur ein reltives Mimum der emessenen Temperturen erreict [Mimum ür die Zeit een 9:0 Ur oder z B ür die Zeit von 8:00 Ur is :00 Ur] Die Tempertur dieses Mimum liet mit Celsius unter der des soluten Mimums von Celsius, der die Bezeicnun ls reltives Mimum Minimum zw Mimum ezeicnen wir in der Mtemtik uc ls Etremum Üertren u eine Funktion estet ein Etrempunkt E stets us einer Etremstelle und dem zueörien Etremwert zw Etremum: Deinition soluter Hocpunkt Ein Punkt d / d ür lle A56: Asoluter und reltiver Hocpunkt D eißt soluter Hocpunkt des Grpen der Funktion, lls ID ilt Deinition reltiver Hocpunkt Ein Punkt / < d B eißt reltiver Hocpunkt des Grpen der Funktion, lls sic eine Teilmene von ID, in der entlten ist, inden lässt mtemtisc: eine Umeun U mit U ID, so dss ür lle U ilt E / e e 5 6

9 Grundlen der Dierentilrecnun Grundlen der Dierentilrecnun reltives Minimum solutes Minimum Deinition soluter Tiepunkt Ein Punkt c / c ür lle Etremstellen A57: Asoluter und reltiver Tiepunkt C eißt soluter Tiepunkt des Grpen der Funktion, lls ID ilt y d e c A / soluter Tiepunkt B / > c C c d e ID [ ; ] / d D d c / c E e / e Ue reltiver Tiepunkt F / Deinition Rndetremum Ein solutes Etremum n einer Rndstelle des Deinitionsereices nennen wir uc Rndetremum Wir sprecen dnn von einem Rndminimum zw einem Rndmimum Anmerkun Ein reltives Etremum knn nict m Rnd des Deinitionsereices lieen, d dies ür eine Umeun der Etremstelle deiniert ist, d die -Werte müssen sowol vor ls uc nc der Etremstelle lieen y d e soluter Tiepunkt soluter Hocpunkt F c A Deinition reltiver Tiepunkt Ein Punkt e / e E eißt reltiver Hocpunkt des Grpen der Funktion, lls sic eine Teilmene von ID, in der e entlten ist, inden lässt mtemtisc: eine Umeun U e mit U e ID, so dss ür lle ilt c d e ID [ ; ] A58: Rndetrem e 6 Monotoniestz Kriterien ür Etremstellen Deinition Etrempunkt, Etremstelle, Etremwert, Mimum, Minimum Als Oereri ür Hoc- und Tiepunkte verwenden wir den Beri Etrempunkt Ist E e / e mit e us ID ein Etrempunkt, so eißt e Etremstelle, der Funktionswert e eißt Etremum oder Etremwert Der Funktionswert eines Hocpunktes eißt Mimum Der Funktionswert eines Tiepunktes eißt Minimum Nun wollen wir untersucen, wie der ekte Wert der Etremstellen zw Etrempunkte Hoc- und Tiepunkte estimmt werden knn Ansculic ist klr, dss der Grp is zum Erreicen des Hocpunktes stren monoton steit und nscließend wieder ällt Entsprecend ällt der Grp stren monoton vor einem Tiepunkt und steit nscließend wieder n Wenn der Grp steit, ist uc seine Steiun positiv, ei llenden Grpen netiv Drus erit sic der so ennnte Monotoniestz: 7 8

10 Stz Monotoniestz Die Funktion sei in einem Intervll I dierenzierr Grundlen der Dierentilrecnun monoton wäcst Wenn im Intervll I, dnn ilt ür lle I monoton ällt 0 0 Umekert ilt uc: Wenn 0 monoton wcsend ür lle I, dnn ist im Intervll I 0 monoton llend Lssen wir die Gleiceit zweier neeneinnder lieender Funktionswerte nict zu, so sen wir: > 0 stren monoton wcsend Wenn lle I, dnn ist im Intervll I < 0 stren monoton llend Nun steit ein Grp eknntlic is zum Hocpunkt monoton n einscließlic des Hocpunktes und ällt nscließend monoton eenlls einscließlic des Hocpunktes Nc dem Teil des Monotoniestzes ilt demnc ür die zum Hocpunkt eörende Etremstelle e und leiczeiti e 0 e 0 e Dies ist nur dnn mölic, lls ilt 0 Diese Eiensct mcen wir uns zu Nutze: Stz notwendies Kriterium ür reltive Etremstellen Die Funktion sei n der Stelle dierenzierr Wenn eine reltive Etremstelle ist, ilt 0 Anmerkun Dieser Stz ist nsculic klr Actun: Seine Umkerun ist jedoc lsc In A59 ist der Grp der Funktion zu drestellt, zu dem uc der Punkt eört P 0 / 0 D ier ist, ilt Oensictlic ist jedoc der Punkt P 0 / 0 weder ein Hocpunkt noc ein Tiepunkt Punkte mit solcen Eienscten, soennnte Sttelpunkte, werden wir in Kpitel 7 kennen lernen Grundlen der Dierentilrecnun A59: Grp zu Die Bedinun us oiem Stz ist somit zwr notwendi ür einen Etrempunkt, sie reict er ür den Ncweis eines Etrempunktes nict us Es wurde jedoc ereits merc u ds Monotonieverlten vor und nc Hocpunkten zw Tiepunkten und dessen Folerunen ür ds Vorzeicen der Steiun des Grpen inewiesen Mit Hile dieser Üerleunen knn ein ür den Ncweis eines Etrempunktes usreicendes Kriterium ormuliert werden, mit dem sor die Art des Etremums Hocpunkt oder Tiepunkt estimmt werden knn Stz Hinreicendes Kriterium ür reltive Etremstellen Vorzeicenwecselkriterium Sei die Funktion in einer Umeun U der Stelle dierenzierr mit 0 Wenn nun n der Stelle einen /-Vorzeicenwecsel t, dnn liet n der Stelle ein reltiver Hocpunkt vor Wenn nun n der Stelle einen /-Vorzeicenwecsel t, dnn liet n der Stelle ein reltiver Tiepunkt vor Der Beweis dieses Stzes erit sic us der Betrctun der A60 9 0

11 Grundlen der Dierentilrecnun Grundlen der Dierentilrecnun III inreicende Bedinun ür Etremstellen Vorzeicenwecselkriterium: positive Steiun netive Steiun positive Steiun Um ds Vorzeicenwecselkriterium nwenden zu können, müssen eeinete Umeunsstellen der Etremstellen usewält werden Diese Stellen müssen immer zwiscen den Etremstellen inkl der Rndetrem lieen Wird eine Etremstelle üersprunen, so erält mn ein lsces Erenis Um dies zu vermeiden, ist es sinnvoll, sic zuerst eine Skizze nzuertien, in der die mölicen Etremstellen Nullstellen der Aleitunsunktion, lso Erenisse der notwendien Bedinun mrkiert sind Nun werden eeinete Umeunsstellen usewält Skizze: 0 A60: Vorzeicenwecselkriterium Zur Verdeutlicun üren wir nun einie Beispielrecnunen durc Beispiel Etrempunkte der Funktion mit 6 Bestimmen Sie die reltiven Hoc- und Tiepunkte der Funktion mit 6 Lösun: Die Bestimmun der Etrempunkte erolt in vier Scritten: I Bestimmun der Aleitunsunktion: Wir estimmen die Aleitunsunktion, d diese zur Suce der Etremstellen notwendie Bedinun ' 0 enötit wird Vorzeicenwecsel der Steiun, d ür, ei : Zur Üerprüun muss ein -Wert, der kleiner ist ls usewält werden, z B, und ein -Wert, der rößer ist ls, er kleiner ls, z B II notwendie Bedinun ür Etremstellen: :6 in Formel Demnc it es zwei Stellen, n denen ein Hoc- zw Tiepunkt vorlieen könnte Vor ist ds Vorzeicen lso positiv, nc netiv Somit liet ein / -Vorzeicenwecsel vor Der Grp steit somit unmittelr vor und ällt unmittelr dnc D ei liet ein Hocpunkt Actun: Die Reienole ist ei der Üerprüun u Vorzeicenwecsel nz entsceidend ür ds Erenis

12 Vorzeicenwecsel der Steiun d ür ei : Grundlen der Dierentilrecnun Hier knn der ereits erecnete Wert n der Stelle 0 enutzt werden er liet vor und es liet keine weitere Nullstelle der Aleitunsunktion dzwiscen und ls rößerer Wert soll erecnet werden Vor ist ds Vorzeicen lso netiv, nc positiv Somit liet ein /-Vorzeicenwecsel vor, d ei ist ein Tiepunkt IV Bestimmun der Koordinten der Etrempunkte: Wir wissen jetzt, dss und ttsäclic Etremstellen sind, und dss ei ein Hocpunkt vorliet zw ei ein Tiepunkt Um den Punkt er neen zu können, elt die y-koordinte Diese estimmen wir, indem wir die eiden -Werte in die Funktionsleicun von einsetzen: 6 6, lso HP / 6 6, lso TP / A6 vernsculict noc einml die Erenisse: Beispiel Etrempunkte der Funktion mit 8 0 Grundlen der Dierentilrecnun Bestimmen Sie die reltiven Hoc- und Tiepunkte der Funktion mit I II Skizze: III Bestimmun der Aleitun: notwendie Bedinun ür Etremstellen: : 0 0 inreicende Bedinun ür Etremstellen: Vorzeicenwecsel der Steiun d ür ei : in Formel Vor ist ds Vorzeicen lso netiv, nc positiv Somit liet ein /-Vorzeicenwecsel vor, d ei ist ein Tiepunkt A6: Funktionsrp der Funktion mit 6 Vorzeicenwecsel der Steiun d ür ei 0 : Hier knn der ereits erecnete Wert n der Stelle enutzt werden und ls rößerer Wert soll ' erecnet werden 6 6 Vor ist ds Vorzeicen lso positiv, nc netiv Somit liet ein / -Vorzeicenwecsel vor, d ei ist ein Hocpunkt

13 Vorzeicenwecsel der Steiun d ür ei : Grundlen der Dierentilrecnun Hier knn der ereits erecnete Wert n der Stelle enutzt werden er liet vor und ls rößerer Wert soll ' erecnet werden Vor ist ds Vorzeicen lso netiv, nc positiv Somit liet ein /-Vorzeicenwecsel vor, d ei ist ein Tiepunkt IV Bestimmun der Koordinten der Etrempunkte: Die elenden y-werte der Etremstellen estimmen wir durc Einsetzen in : 8 6 6, lso TP / , lso HP 0 / , lso TP / 6 Die Bestimmun und Berecnun des zweiten Tiepunktes ätten wir nict unedint durcüren müssen, denn der Funktionsterm von esitzt nur erde Eponenten, ist lso csensymmetrisc zur y-acse Somit muss neen dem Tiepunkt / 6 eistieren, der denselen Funktionswert esitzt, nämlic / 6 TP ein weiterer Tiepunkt ei TP 7 Linkskurve, Rectskurve Wendestellen Grundlen der Dierentilrecnun Ein weiteres Kriterium zur Unterteilun von Funktionsrpen, ds eim mölicst ekten Zeicnen des Grpen ilreic ist, erit sic us der Untersceidun von Links- zw Rectskurven Stellen wir uns den olenden Grpen ls Strße u einer Lndkrte vor, so würde ei der Bescreiun der zu renden Strecke sicerlic dru inewiesen, dss wir im Strßenverlu zunäcst eine Rectskurve und nscließend eine Linkskurve durcren müssen A6: Funktionsrp mit untersciedlicem Krümmunsverlten Bei der Rectskurve im oien Grpen liet oensictlic zunäcst eine positive Steiun vor > 0 und nscließend eine netive Steiun < 0 Die olende Aildun stellt den Zusmmenn zwiscen dem Steiuns- und dem Kurvenverlten eines Funktionsrpen dr Hierus erit sic unmittelr die mtemtisce Deinition von Links- zw Rectskurven A6: Funktionsrp der Funktion mit 8 A6: Zusmmenn zwiscen Steiun und Krümmun us: Griesel/Postel, 999, S07 5 6

14 Deinition Rects- und Linkskurve Der Grp einer in einem Intervll I ] ; [ Grundlen der Dierentilrecnun dierenzierren Funktion ildet im Intervll I eine Linkskurve, lls die Aleitunsunktion üer ds Intervll I stren monoton wäcst Der Grp einer in einem Intervll I ] ; [ dierenzierren Funktion ildet im Intervll I eine Rectskurve, lls die Aleitunsunktion üer ds Intervll I stren monoton ällt Wir sen uc: Der Grp ist linksekrümmt zw rectsekrümmt Der Monotoniestz ür dierenzierre Funktionen lieert nun ein Kriterium, mit dem wir ds Vorlieen einer Links- zw Rectskurve und vor llem den Wecsel von einer Links- in eine Rectskurve reltiv einc ncweisen können Die Monotonie wird ierei u positive zw netive Funktionswerte der ersten Aleitun zurückeürt Demnc ist die Aleitunsunktion z B stren monoton wcsend, lls deren Aleitun lso dort rößer ls Null ist Stz inreicendes Kriterium ür Rects- und Linkskurven Ist eine im Intervll I zweiml dierenzierre Funktion, so ilt: Wenn > 0 ür lle I ist, dnn ildet der Grp der Funktion im Intervll I eine Linkskurve Wenn < 0 ür lle I ist, dnn ildet der Grp der Funktion im Intervll I eine Rectskurve Der Punkt, n dem eine Links- in eine Rectskurve zw eine Rects- in eine Linkskurve üeret, wird Wendepunkt ennnt Der Wendepunkt trennt lso eine Links- von einer Rectskurve zw umekert Deinition Wendepunkte / Wendestellen Die Funktion sei in einer Umeun von w zweiml dierenzierr Dnn eißt Wendestelle und / w w W Wendepunkt des Grpen der Funktion, lls w der Grp von ür lle w eine Linkskurve ildet und ür lle w eine Rectskurve, oder er der Grp von ür lle w eine Rectskurve ildet und ür lle w eine Linkskurve Stz und Deinition Sttelpunkte Grundlen der Dierentilrecnun Ht der Grp einer dierenzierren Funktion im Wendepunkt W w / w zusätzlic eine orizontle werecte Tnente, so nennt mn diesen esonderen Wendepunkt Sttelpunkt Eine Funktion t lso enu dnn einen Sttelpunkt, lls sie dort eine Wendestelle t und zusätzlic ilt w 0 Ds crkteristisce Ausseen eines Sttelpunktes in einem Funktionsrpen ist A59 S8 zu entnemen Betrctet mn die Grpen us A6 S88, so wird deutlic, dss n den Stellen, n denen eine Wendestelle vornden, eim Grpen der ersten Aleitun ein Hocpunkt oder ein Tiepunkt vorliet Dies erit sic uc unmittelr us der Deinition ür Links- zw Rectskurven Wenn z B ei einer Linkskurve die Funktion stren monoton wäcst und ei einer Rectskurve stren monoton ällt, so muss eim Üern von einer Links- in eine Rectskurve der Üern von stren monoton wcsend zu stren monoton llend stttinden, d die Steiun muss dort Null sein D wir ier er üer ds stren monotone Wcsen zw Fllen der Aleitunsunktion sprecen, muss demnc n dieser Stelle 0 elten Wir müssen lso ledilic die Kriterien ür ds Vorlieen eines Hoc- zw Tiepunktes ei einer Funktion u üertren, um einen Wendepunkt ncweisen zu können Demnc ilt: Stz Kriterien ür Wendestellen Geeen sei eine n der Stelle w zweiml dierenzierre Funktion Notwendie Kriterien ür Wendestellen: Wenn w eine Wendestelle der Funktion ist, dnn ist w eine Etremstelle von, somit ilt 0 w Hinreicendes Kriterium ür Wendestellen: Wenn w 0 und n der Stelle w einen Vorzeicenwecsel esitzt, dnn ist w eine Wendestelle der Funktion 7 8

15 Stz Kurvenverlten ei Wendestellen Ht die Funktion ei w eine Wendestelle, so ilt Grundlen der Dierentilrecnun Bei einem / -Vorzeicenwecsel indet ei w der Üern von einer Links- in eine Rectskurve sttt Bei einem /-Vorzeicenwecsel indet ei w der Üern von einer Rects- in eine Linkskurve sttt Eine Folerun us diesem Stz ist die Mölickeit, die inreicenden Kriterien ür ds Vorlieen von Etremstellen und dmit uc ür ds Vorlieen von Wendestellen nders ormulieren zu können So en wir in der Umeun eines reltiven Hocpunktes eine Rectskurve vorlieen und in der Umeun eines reltiven Tiepunktes eine Linkskurve Drus erit sic der olende Stz: Stz inreicendes Kriterium ür Etremstellen mittels Für eine Funktion, die in einer Umeun der Stelle ist, ilt: e zweiml dierenzierr Wenn 0 und zuleic e < 0 ist, dnn t der Grp von n der e Stelle e einen reltiven Hocpunkt e Wenn 0 und zuleic > 0 ist, dnn t der Grp von n der Stelle e einen reltiven Tiepunkt e Ds Üertren dieser Kriterien u Wendepunkte erit den olenden Stz: Stz inreicendes Kriterium ür Wendestellen mittels Für eine Funktion, die in einer Umeun der Stelle ist, ilt: w dreiml dierenzierr Wenn 0 und zuleic 0 ist, dnn t der Grp von n der w Stelle w eine Wendestelle w Dei ilt: Ist > 0, so indet ein Üern von einer Rects- in eine Linkskurve sttt w Ist < 0, so indet ein Üern von einer Links- in eine Rectskurve sttt w Grundlen der Dierentilrecnun Zur Verdeutlicun und Festiun dieser Fülle n Inormtionen werden nun einie Beispielrecnunen zur Bestimmun von Wendepunkten von uns vorestellt Beispiel Bestimmen Sie die Wendepunkte der Funktion mit I II Bestimmun der Aleitunsunktionen: notwendie Bedinun: : 6 Somit ist eine potentielle Wendestelle ermittelt worden Mittels der inreicenden Bedinun muss nun üerprüt werden, o es ttsäclic eine Wendestelle ist Zusätzlic knn estestellt werden, wie sic ds Kurvenverlten ändert III inreicende Bedinun Vorzeicenwecsel: Zur Üerprüun des Vorzeicenwecsels werden die Stellen 0 und 0 enutzt An der Stelle indet demnc ein / -Vorzeicenwecsel ei sttt Somit t dort eine Wendestelle Es indet ei ein Wecsel von einer Links- in eine Rectskurve sttt Nun muss noc die elende y-koordinte estimmt werden, um den Wendepunkt neen zu können IV Bestimmun der Koordinten: Um die elende y-koordinte zu estimmen, wird der ermittelte -Wert in die Funktionsleicun von einesetzt: Also W / 9 0

16 A65 vernsculict noc einml unser Erenis: Grundlen der Dierentilrecnun < 0 Somit liet ier ein WP vor Üern von Links- in Rectskurve > 0 Somit liet ier ein WP vor Üern von Rects- in Linkskurve Grundlen der Dierentilrecnun Nun müssen noc die elenden y-koordinten estimmt werden, um die Wendepunkte neen zu können Beispiel Bestimmen Sie die Wendepunkte der Funktion mit A65: Funktionsrp der Funktion mit Benutzen Sie dür ds inreicende Kriterium mittels I Bestimmun der Aleitunsunktionen: IV Bestimmun der Koordinten: Um die elenden y-koordinten zu estimmen, werden die ermittelten -Werte in die Funktionsleicun von einesetzt: Also W / 8 und W 6 / 6 A66 verdeutlict noc einml unsere Erenisse: II notwendie Bedinun: p q Formel Somit sind zwei potentielle Wendestellen ermittelt worden Mittels der inreicenden Bedinun muss nun üerprüt werden, o es ttsäclic Wendestellen sind Zusätzlic knn estestellt werden, wie sic ds Kurvenverlten ändert III inreicendes Kriterium mittels der dritten Aleitun: Bei der Anwendun dieses Kriteriums, müssen die potentiellen Wendestellen in die dritte Aleitun einesetzt werden Ist der Funktionswert dnn unleic Null, so liet eine Wendestelle vor A66: Funktionsrp der Funktion mit

17 8 Vollständie Kurvendiskussion Grundlen der Dierentilrecnun Ziel einer vollständien Kurvendiskussion ist es, den Grpen einer Funktion, zw seinen Verlu innerl des Deinitionsereices, mölicst ekt zu nlysieren und mit Hile dieser Erenisse zu skizzieren Dzu werden die versciedenen Metoden und Verren, die iser erreitet wurden, zusmmenesst und eine nc der nderen zur Anlyse des Funktionsrpen einesetzt Dmit keine wictie Eiensct der Funktionen zw der Grpen üerseen wird, ist es sinnvoll eine estimmte Systemtik einzuüren Somit wird ei den Berecnunen und Betrctunen der Kurvendiskussion immer die leice Reienole einelten Diese Reienole wird in dem olenden Scem estelet: T0: Scem einer vollständien Kurvendiskussion ür nzrtionle Funktionen Areitsscritt Deinitionsereic Deinitionsmene Symmetrie zum Ursprun oder zur y-acse Grenzwertverlten und Scnittpunkt mit der y-acse Hinweise und Bemerkunen Der Deinitionsereic einer nzrtionlen Funktion ist immer die esmte Mene ller reellen Zlen ID IR Der Deinitionsereic einer erocen-rtionlen Funktion weist in der Reel Deinitionslücken u; nzrtionle Funktionen werden in diesem Rmen nict endelt Acsensymmetrie zur y-acse, lls ilt Punktsymmetrie zum Ursprun, lls ilt Bei nzrtionlen Funktionen änt ds zu untersucende Symmetrieverlten dvon, o im Funktionsterm usscließlic erde Acsensymmetrie zur y-acse oder usscließlic unerde Eponenten Punktsymmetrie zum Ursprun utreten Die Grenzwerte m Rnde des Deinitionsereices änen ei nzrtionlen Funktionen usscließlic vom Summnden mit dem öcsten Eponenten der Funktionsvrilen, der im Funktionsterm utritt erder/unerder Eponent und positiver/netiver Koeizient 0 Bedinun: 0 Also ist 0 zu erecnen Dnn ist 0 / 0 S y Für eine nzrtionle Funktion ilt demnc / S y Scnittpunkte mit der -Acse 6 Aleitunen 7 Etrempunkte 8 Wendepunkte 9 Wertemene und Wertetelle Bedinun: 0 Grundlen der Dierentilrecnun Diese Bedinun ürt zu einer Gleicun der Form: n n n n n n 0 0 Ist der öcste Eponent n leic oder, so erit sic eine linere oder qudrtisce Gleicun Ist der öcste Eponent n rößer ls lso,, 5,, so sollte zunäcst versuct werden, die in der Gleicun utretenden Eponenten durc Ausklmmern zu verkleinern Ist dies nict mölic oder leit nc dem Ausklmmern ein Polynom dritten oder öeren Grdes erlten, so ist eine Polynomdivision zur Bestimmun der Nullstellen erorderlic Die ersten eiden zw die ersten drei Aleitunen werden mit Hile der Aleitunsreeln notiert notwendie Bedinun: 0 inreicende Bed: Vorzeicenwecselkriterium ei lterntiv: Kriterium mittels der zweiten Aleitun, um zu entsceiden, o ein Hoc- oder Tiepunkt vorliet y-koordinten der ermittelten Etremstellen erecnen, indem die - Werte in die Funktionsleicun von einesetzt werden notwendie Bed: 0 inreicende Bed: Vorzeicenwecselkriterium ei lterntiv: Kriterium mittels der dritten Aleitun, um zu entsceiden, o ein Wendepunkt vorliet Flls eine der Wendestellen zu den Stellen eört, n denen 0 ilt, so liet dort ein Sttelpunkt vor y-koordinten der ermittelten Wendestellen erecnen, indem die - Werte in die Funktionsleicun von einesetzt werden Die Wertemene knn mit Hile der Grenzwerte us und den ermittelten Hoc- zw Tiepunkten us 7 neeen werden: Sind die eiden Grenzwerte us verscieden, so ist die Wertemene stets die Mene ller reellen Zlen W IR Sind eide Grenzwerte identisc und, so it es einen soluten Hocpunkt H s 0 / 0 und die Wertemene estet us llen reellen Zlen, die kleiner sind ls der Funktionswert dieses y IR y 0 Hocpunktes, lso W { } Sind eide Grenzwerte identisc und, so it es einen soluten Tiepunkt T s 0 / 0 und die Wertemene estet us llen reellen Zlen, die rößer sind ls der Funktionswert dieses Tie- y IR y 0 punktes, lso W { } In der Wertetelle werden lle im Verlu der Kurvendiskussion ermittelten Punkte mit iren Eienscten zusmmenesst 0 Skizze des Grpen Der Grp wird mit den Erenissen von is 9 skizziert

18 Grundlen der Dierentilrecnun Anmerkunen Durc Punkt 6 der Kurvendiskussion entällt ei der Bestimmun der Etrem- und Wendepunkte unter Punkt 7 und 8 die Bestimmun der Aleitunen, so dss der in den iserien Beispielen durceürte Vierscritt I is IV zu einem Dreiscritt I is III wird Die Voreensweise ei einer vollständien Kurvendiskussion und die ewonnenen Erkenntnisse lssen sic von den nzrtionlen Funktionen uc u ndere Funktionenklssen, insesondere uc u die Eponentilunktionen üertren Für die ntürlice Eponentilunktion mit e wissen wir, dss sie üer nz IR stren monoton wäcst, ire Funktionswerte lle rößer ls Null sind und die y-acse ei / S vom Grpen escnitten wird Sie y t weder einen Scnittpunkt mit der -Acse, noc Etrem- oder Wendepunkte Ire Wertemene ist W IR Bei Funktionen, deren Funktionsterme sic us Eponentilunktionen und nzrtionlen Funktionen oder us mereren Eponentilunktionen zusmmensetzen, können durcus Scnittpunkte mit der -Acse oder Etrem- oder Wendepunkte utreten Die Gleicunen, die sic dnn entsprecend der Voren us T0 ereen, sind dnn soennnte Eponentilleicunen und werden in der Reel durc die Anwendun der Umkerunktion der ntürlicen Eponentilunktion, der ntürlicen Loritmusunktion elöst So ilt zum Beispiel ei der Funktion mit ür die Scnittpunkte mit der -Acse: 0 e e ln e 0 ln,9 ln e Anwendun von ln Es sei ier nocmls dru inewiesen, dss mit Hile der Formel ln ln e e jede Eponentilunktion u die ntürlice Eponentilunktion zurückeürt werden knn Grundlen der Dierentilrecnun Wir werden nun zur Verdeutlicun und Üun zwei komplette Kurvendiskussionen von nzrtionlen Funktionen durcüren Diejenien Leser, die sic eine solce Kurvendiskussion zutruen, sollten diese Beispiele selstständi durcrecnen Sollten Sie unsicer sein, ist es nerct, die Recnun Scritt ür Scritt nczuvollzieen Beispiele ür eine vollständie Kurvendiskussion Beispiel 6 9 Füren Sie eine vollständie Kurvendiskussion der Funktion mit durc Deinitionsmene D eine nzrtionle Funktion ist, ilt 6 9 ID IR Symmetrie zum Ursprun oder zur y-acse D im Funktionsterm von sowol erde ls uc unerde Eponenten utreten, ist der Grp von weder punktsymmetrisc zum Ursprun noc csensymmetrisc zur y-acse Grenzwertverlten und, d der öcste Eponent von, der im Funktionsterm utritt, unerde ist n und sein Koeizient positiv ist Scnittpunkt mit der y-acse, somit: y 0 / 0 Bedinun: Scnittpunkte mit der -Acse Bedinun: Bin Formel S 5 6

19 Grundlen der Dierentilrecnun Also 6 Aleitunen 7 Etrempunkte N 0 0 und 0 / N doppelte Nullstelle ei / I notwendie Bedinun: III y-koordinten der Etrempunkte estimmen durc Einsetzen der -Werte in : Somit ereen sic die Punkte 8 Wendepunkte I notwendie Bedinun: , denn ist uc Nullstelle HP / und TP / 0 Grundlen der Dierentilrecnun : p q Formel : 6 II inreicende Bedinun: Vorzeicenwecsel von II inreicende Bedinun: Vorzeicenwecsel von Üerprüun von Bei indet lso ein / -Vorzeicenwecsel von sttt, d ier liet ein Hocpunkt vor Üerprüun von : Bei indet lso ein /-Vorzeicenwecsel von sttt, d ier liet ein Tiepunkt vor Üerprüun von : Bei indet lso ein / -Vorzeicenwecsel von sttt, d ier liet ein Wendepunkt vor D keine Nullstelle von wr, ist dieser Wendepunkt kein Sttelpunkt III y-koordinten des Wendepunktes estimmen durc Einsetzen der -Werte in : Der Wendepunkt t lso die olenden Koordinten: 9 Wertemene und Wertetelle Es ilt und WP / sind verscieden, lso ist die Wertemene W IR, ds eißt, die eiden Grenzwerte 7 8

20 Wertetelle: Grundlen der Dierentilrecnun -Wert 0 y-wert 0 0 Eienscten S y, N HP WP N, TP Scnittpunkt mit der y-acse Bedinun: Scnittpunkt mit der -Acse Bedinun: 0, somit: 0 / 0 Grundlen der Dierentilrecnun S y 0 Skizze des Grpen ± Also N 0, N 0 / 0 und / 0 / 6 Aleitunen 0 : 0 N 0 ± Beispiel A67: Funktionsrp der Funktion mit 6 9 Füren Sie eine vollständie Kurvendiskussion der Funktion mit durc Deinitionsmene D eine nzrtionle Funktion ist ilt ID IR Symmetrie zum Ursprun oder zur y-acse D im Funktionsterm von usscließlic erde Eponenten utreten, ist der Grp von csensymmetrisc zur y-acse Grenzwertverlten, weil der öcste Eponent von, der im Funktionsterm utritt, erde ist n und sein Koeizient netiv 7 Etrempunkte I notwendie Bedinun: II inreicende Bedinun: Vorzeicenwecsel von Üerprüun ei : ' 8 ' ± 9 0

21 Grundlen der Dierentilrecnun Grundlen der Dierentilrecnun Bei indet lso ein / -Vorzeicenwecsel von sttt, d ier liet ein Hocpunkt vor Üerprüun ei 0: ' ' Bei 0 indet lso ein /-Vorzeicenwecsel von sttt, d ier liet ein Tiepunkt vor Üerprüun ei : ' ' 8 Bei indet lso ein / -Vorzeicenwecsel von sttt, d ier liet ein Hocpunkt vor Üerprüun ei : Bei indet lso ein /-Vorzeicenwecsel von sttt, d ier liet ein Wendepunkt vor D keine Nullstelle von wr, ist dieser Wendepunkt kein Sttelpunkt Üerprüun ei : Au Grund der Acsensymmetrie des Grpen von muss uc ei ein Wendepunkt vorlieen, d ier indet ein / -Vorzeicenwecsel von sttt Es liet somit uc ier kein Sttelpunkt vor III y-koordinten des Wendepunktes estimmen durc Einsetzen der -Werte in : III y-koordinten der Etrempunkte estimmen durc Einsetzen der -Werte in : 5 0, , denn 0 ist uc Nullstelle, u Grund der Acsensymmetrie des Grpen von Somit ereen sic die Punkte 8 Wendepunkte I notwendie Bedinun: 0 HP /, TP 0 / 0 und HP / 0 ± 0,8 : 0, ,56 Acsensymmetrie Die Wendepunkte en lso die olenden Koordinten: 5 9 WP / und WP / 9 Wertemene und Wertetelle Es ilt 5 9, ds eißt es it einen öcsten Punkt des Grpen somit ein solutes Mimum in diesem Fll sor zwei, die eiden Hocpunkte HP / und HP / Also ilt { y R y } W II inreicende Bedinun: Vorzeicenwecsel von

22 Grundlen der Dierentilrecnun Wertetelle: -Wert 0 y-wert 0 0,56 0 0,56 0 Eienscten N HP WP S y, N, TP WP HP N 0 Skizze des Grpen A68: Funktionsrp der Funktion mit