Tutorium. Aufgabe 56. p b. h 4. Geg.: h = 1m, d = 0,45m, b = 1m, g = 9,81 m kg. Freischnittskizze für die Klappe und Geometrie: F =

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1 Kontinuumsmecanik, Prof. Popov, WiSe 5/6, 7.&8. Woce Lösunsinweise Seite..5 Plenarübun Tutorium Aufabe 5 Aufabe 56 Zwei Flüssikeitsbeälter sin nac nebensteener Skie urc ein Rorsystem miteinaner verbunen. Über er Flüssikeit in beien Beältern befinet sic Luft. In en Beältern un em Rorsystem befinen sic rei verscieene Flüssikeiten mit en Dicten ρ, ρ un ρ 3. Die Druckifferen wiscen en beien Beältern beträt p a p b = p. Wie roß ist ie Dicte ρ 3 er ritten Flüssikeit? Ge.: p,,, 3,, ρ, ρ, p a p p b p a ρ 3 ρ ρ 3 pb Eine in einem Wasserbeälter einebaute Klappe er Höe un er Breite b ist im Punkt D um eine oriontale Acse rebar elaert. a Wie roß ist ie resultierene Wasserlast F auf ie Klappe in Abänikeit von er Höe es Wasserspieels? b Bei welcer Höe es Wasserspieels öffnet sic ie Klappe urc ie Wasserlast selbsttäti? Stellen Sie Ir Erebnis in einem Diaramm ar. c Berecnen Sie nun mit en eebenen Zalenwerten, bei welcer Wasseröe sic ie Klappe öffnet. Ge.: = m, =,5m, b = m, = 9,8 m k s, ρho = 3 m 3 D Freiscnittskie für ie Klappe un Geometrie: ρ ρ 3 ρ 3 Für jees er beien U-Rore errsct Kräfteleicewict. Es wir jeweils as yrostatisce Gruneset in Höe e vom Boen aus aufestellt un er Druck für ie beien Scenkel jees U- Rores leicesett. Dabei sei p er Druck an er öcsten Stelle wiscen en beien Beältern. Linkes U-Ror: p a +ρ e = p+ρ e+ρ 3 Rectes U-Ror: p b +ρ e = p+ρ 3 e+ρ 3 3 Subtraiert man Gleicun von Gleicun, so eribt sic: e p a p b +ρ e ρ e = ρ e ρ 3 e+ρ ρ 3 3 ρ 3 = = p a p b +ρ +ρ 3 p a p b +ρ +ρ 3 3 p p D pos. Zälr. F pos. Zälr. a In ruenen inkompressiblen Flüssikeiten unter Scwerkrafteinfluß nimmt er Druck mit er Flüssikeitstiefe linear u: p = p +ρ 5 Die resultierene Kraft berecnet sic als Interal es Druckes mal Normalenvektor auf ie Oberfläce über ie esamte Oberfläce. Da ier nur wei nennenswerte Oberfläcen innen un außen mit parallelen Normalenvektoren voranen sin, eribt sic wenn er Flüssikeitsspieel über er Klappenoberkante ist: ] p p ]b = bρ = bρ 6 b Die Klappe öffnet sic, wenn as oment um ie Dreacse neativ wir = p p ] m b 7 mit = : 3 = ρb = ρb 3 ] + 3 ] 8 Da er Wasserruck mit er Tiefe immer unimmt, kann ie Klappe in keinem Fall öffnen, wenn. Desalb ist

2 Kontinuumsmecanik, Prof. Popov, WiSe 5/6, 7.&8. Woce Lösunsinweise Seite..5 u beacten, aß < ist: < > =: krit 9 wenn er Wasserspieel über krit steit, öffnet sic ie Klappe. Dies ist aber nur eine Teillösun, ie einen Wasserspieel > voraussett un amit nur für 3 ilt. Die Teillösun wir urc ie rote Kurve im anesprocenen Intervall carakterisiert siee Skie. Doc was passiert, wenn er Drepunkt er Klappe ser weit unten liet? Gilt < 3, ann öffnet sic ie Klappe bereits bevor er Wasserspieel ie obere Kante er Klappe erreict. In iesem Fall liet nämlic eine Dreick-förmie Druckverteilun vor. Der Anriffspunkt er resultierenen Druckkraft liet bei 3. Liet er Kraftanriffspunkt oberalb es Drepunktes, ann öffnet sic ie Klappe. Daraus folt: krit > 3, > 3 Damit bescreibt ie blauestricelte Kurve für en Bereic > 3 as Lösunsveralten! 5 Die Formel für en yrostatiscen Druck lautet py = ρ W y a Die Druckkraft es Wassers auf ein kleines Oberfläcenelement A ist pya Für ie -Komponente er Druckkraft berücksictien wir von er Fläce A nur ie vertikale Projektion A y, ie in ie y-ebene liet un amit für ie Kraft in -Rictun verantwortlic ist. F = pya y 3 Die Projektion A y sett sic aus er Breite es Damms b in -Rictun un einer kleinen Strecke y in y-rictun usammen: un einesett in 3 eribt: A y = by F = ρ W byy 5 krit 3 Lösun für 3 < Lösun für < 3 Die esamte Kraft eralten wir urc bestimmtest Interieren. Dabei läuft y wiscen Wasseroberfläce un R Grun. F = ρ W byy 6 F = ρ WbR 7 b Auc für ie Vertikalkraft es Wassers betracten wir en Druck auf eine Projektion er Fläce A, iesmal natürlic ie Projektion A in er -Ebene. 6 8 cfürieeebenenzalenwerteist 3 < <.Wenn er Wasserstan en Wert, m erreict, öffnet sic ie Klappe. Aufabe 55 Eine transportable Hocwassersperre sei viertelylinerförmi mit em Raius R un er Breite b senkrect ur Zeicenebene ausefürt. Sie bestet aus omoenem aterial er Dicte ρ S = 3 ρ W. Die Sperre liet lose auf em Grun. Es sei anenommen, aß wiscen Sperre un Grun kein Wasser einrint un aß ort er Haftreibunskoeffiient µ wirksam ist. Es soll er öcste Wasserstan = R betractet weren. a Wie roß ist ie Horiontalkraft F es Wassers auf ie Sperre? b Wie roß ist ie Vertikalkraft es Wassers auf ie Sperre? c Wie roß muss er Haftunskoeffiient µ minestens sein, amit ie Sperre nict werutsct? Wie verläuft ie Wirkunslinie er resultierenen Wasserlast? Gib einen Punkt un ie Neiun an. Ge.: ρ W, R, b, y ρ W ρ S R = pya 8 Auc ier at ie Fläce A wieer ie Tiefe b un ie Breite. un 9 einesett in 8 eribt: A = b 9 = ρ W by = ρ W by Da y en Abstan von er Wasseroberfläce ur Scleuse anibt un offensictlic von er Position abänt können wir leier nict so einfac interieren wie noc bei Gleicun 5. Bei Betractun er Funktion one Herleitun y = R R R

3 Kontinuumsmecanik, Prof. Popov, WiSe 5/6, 7.&8. Woce Lösunsinweise Seite 3..5 fällt bereits auf, ass ie Lösun ieses Interals nict unbeint trivial ist aber natürlic ennoc eine ute Übun, Tipp: Substitution. it ein weni Umformen un Grunkenntnissen er Analysis lässt sic ieser Recenaufwan aber umeen. Dau ieen wir unäcst ie konstanten Faktoren ρ W b vor as Interal. Zu lösen bleibt also y 3 Aus Analysis ist bekannt, ass as Erebnis ieses Interals nicts aneres als er Fläceninalt wiscen er Funktion y un er Acse ist. In unserem Fall also ie Fläce es Wassers über er Scleuse. Diese bestimmen wir einfac, inem wir von em Quarat mit Seitenläne = R en Viertelkreis er Scleuse abieen. Der Viertelkreis mit Raius R at natürlic ie Fläce R. Das Erebnis entsprict enau em es esucten Interals. y = R R = R Einesett in eribt as ie Lösun: = ρ W br 5 Das selbe Erebnis erält man natürlic auc, wenn man as Interal recnerisc löst. c Biser aben wir leilic ie Druckkraft es Wasser berücksicti, natürlic rückt aber usätlic noc as Eienewict ie Sperre nac unten. Die Querscnittsfläce er Sperre aben wir bereits mit R bestimmt. it er Tiefe b un er Dicte ρ S = 3ρ W eribt sic ie asse un amit ie Gewictskraft G ie natürlic in positive y Rictun wirkt G = R bρ S = 3 }{{} R bρ W 6 asse Die Haftbeinun lautet allemein H µ N 7 Das statisce Kräfteleicewict in Rictun liefert sofort H = F H = ρ WbR 8 Eine vielleictnoc leictere ölickeitfüriebestimmun er Vertikalkraft finet sic in en Vorlesunsnotien im Kapitel Der scwimmene Körper Die vertikale Komponente er Kraft ist leic em Gewict er Flüssikeit, welce sic oberalb er Fläce befinet Das entsprict im wesentlicen unserem Recenwe mit ρ W br als asse un er Erbescleuniun. Die Normalkraft N eralten wir aus em Kräftleicewict in y Rictun N = +G = ρ W br + 3 R bρ W N = + ρ W br 9 Gerae noc Haften ist im Grenfall für H = µ N, ann ilt für µ µ = H N = + µ = + ρ WbR ρw br 3 Die un y Komponenten er Wasserlast wuren bereits am Anfan ieser Aufabe bestimmt. Die Resultierene Kraft können wir als Vektor arstellen F ρ WbR ρw br 3 Den Neiunswinkel α von er y Acse mat. positiv können wir über en Tanens bestimmmen. tanα = F F α = arctan = arctan ρ WbR ρw br α = arctan 3 Die recnerisce Bestimmun eines Punktes auf er Wirkunslinie ist leier nict so einfac, lässt sic aber wieerum umeen. Jee kleine Druckkraft F stet immer senkrect auf er Oberfläce A. Zuem et eine Senkrecte auf er Oberfläce es Viertelyliners immer auc urc ie Ecke, um ie er Kreisboen aufespannt wir, also quasi en ittelpunkt es eacten Vollkreises. Da sie alle urc en selben Punkt een, bilen iese vielen Kräfte F eine entrale Kräfteruppe vl. Statik/ecanik I. Die Resultierene ieser Kräfte un nicts aneres ist F ist wieerum eine Kraft eren Wirkunslinie urc en selben Punkt verläuft. Damit ist ein Punkt auf er Wirkunslinie also er Ursprun es Raius. R r 33 R

4 Kontinuumsmecanik, Prof. Popov, WiSe 5/6, 7.&8. Woce Lösunsinweise Seite..5 Hausaufaben p, p siee Skie un scließlic p B ermittelt: Aufabe 5 Zwei mit inkompressiblen Flüssikeiten er Dicten ρ A bw. ρ B efüllte Beälter sin in er skiierten Weise über ein U-Ror- anometer verbunen. Die Dicte er anometerflüssikeit ist ρ C. Wie roßist ie Druckifferen p A p B in Abänikeit vom anometerausscla? Ge.: A, B,, ρ A, ρ B, ρ C A ρ A B p = ρ A A +pa 38 p = ρ C +p 39 p B = ρ B B +p { p A p B = ρ A A ρ B B + ρ C ρ A ρ B } ρ C ρ B p A p B Aufabe 5 Aus em Kraftleicewict am infinitesimalen Fluiteilcen erält man mit er Volumenicte f un em Druck p für ein ruenes Flui: f = rap 3 Dieselbe Formel erält man aus er lokalen Form er Impulsbilan für en Speialfall Statik un für en Fall, ass er Spannunstensor nur einen Druckanteil entält. Im Erscwerefel wirkt auf einem Körper er Dicte ρ ie Volumenkrafticte Eine senkrecte Trennwan er Breite b, ie ein Wasserreservoir er Wassertiefe een ein aneres er Tiefe abscließt, soll vor Überlastun escütt weren. Bei Überscreiten einer bestimmten Wassertiefe soll er Ventilkörper er asse m abeben, amit as Wasser vom Beälter in en Beälter fließen kann. a Ab welcem Wasserstan,krit überscreitetas resultierene oment res um en Punkt B en kritiscen Wert krit = 9,8 6 Nm? b Wie roßmuß ie Ventilfläce A sein, amit as Ventil bei Erreicen es Wasserstanes,krit öffnet? Ge.: = 3 = m, p = bar, = 9,8 m s, m = k, krit = 9,8 6 Nm, b = m a Freiscnittskie er Trennwan: p p res B A m 3 f = ρe p = ρ 35 Ween p = p y = ist er Druck ier nur von er Höe abäni. Aus 35 eribt sic: p = ρ +p 36 Bei inkompressiblen eien ρ =const. wir araus: A ρ A p = p ρ 37 p p B 3 p +ρ p +ρ 3 B B Der Anteil es Luftrucks ebt sic auf beien Seiten aus un wir aer im Folenen nict berücksictit. Für en aus er Wassersäule resultierenen Druck in er Tiefe siee Skie links un rects er auer ilt ann: p l = ρ 3 bw. p r = ρ. omentenleicewict bl. B: B = = 3 3 p l b p r b 3 ρ 3 b ρ b = 6 ρb 3 3 3, ρ C ρ B p B p A Auseen vom linken Gefäß mit p A wir für en Druck also: 6,krit = krit ρb 5, m 6

5 Kontinuumsmecanik, Prof. Popov, WiSe 5/6, 7.&8. Woce Lösunsinweise Seite 5..5 b Das Ventil öffnet, wenn ie Differen er Druckkräfte erae leic er Gewictskraft m ist: m = p u p o A = p +ρ 3 p ρ ]A A! = m ρ,krit 3 7 8,75m = 75 cm 9 Das ist.b. eine Kreissceibe mit etwa 3 cm Durcmesser. Aus Stal ebaut müßte sie etwa einen eter ick sein. c Die notwenie Hebelarmläne a kann aus einem omentenleicewict um O berecnet weren. O! = = af A af A = b p p ]s+b ρs+ = bρ s +s + ] = bρ s +s + 3 ] 3 53 = a = 8 s +s + 3 3] 5 Aufabe 57 Die Öffnun einer Beälterwan wir urc eine Klappe K mit er Breite b senkrect um Bil un er Höe versclossen. Sie ist über einen um O rebaren un masselosen Winkelebel mit einem ylinriscen masselosen Scwimmer S Durcmesser, Breite b verbunen. Der Auftrieb es Hebels were vernaclässit. Ge.: p,s,,b,ρ,, S ρ a O K p s Alternativ: Die Berecnunen er Kräfte un er omente kann auc rapisc erfolen. a O F A p +ρs p s+ 3 F A s s+ a Bestimmen Sie ie Auftriebskraft es Scwimmers, wenn er Wasserspieel auf er Höe es Drepunkts O liet. b Bestimmen Sie ie Druckverteilun innen an er Klappe un ie Kraft, ie aufrun es Wasserrucks von innen auf ie Klappe wirkt. c Wie roß muss a sein, amit ie Klappe öffnet, wenn er Wasserspieel bis ur Höe es Drepunkts O estieen ist? a Hinweis: Die Definition für ie jeweilie Auftriebskraft F A ist u beacten. F A = ρ V Zyl = ρ b] = 8 ρ b 5 b Der Druckverlauf ist urc ie Grunleicun er für inkompressible Fluie bestimmt. Dabei ist u beacten, wie ie Koorinate einefürt wir Voreicen un Ursprun. F K ist ie Kraft ie von innen auf Grun es Wassers auf ie Klappe wirkt. p +ρs+ρ R Recteck = p +ρsb 55 R Dreieck = ρb 56 R3 Recteck = p b 57 O! = = af A s+ R R 3 s+ 3 R af A = ρsb s+ + s+ ρb 3 58 R R R 3 = a = 8 s +s + 3 3] 59 p = p +ρs+ρ 5 F K = pb = b p +ρs+ρ] F K = b p +ρs+ ] ρ 5