Einführung in Maple. Kap. 3: Lösung von Differentialgleichungen mit Maple. Lösung von Differentialgleichungen mit Maple

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1 Einführung in Maple Stand Januar 05 (Version 3.0) - F.Wünsch Dieses Skript basiert auf Kursen von Julian Berwanger, Martin Decker, Thomas Pruschke, Joachim Keller, Harald Dobler, Florian Chmela und Roland Winkler. Kap. : Grundlagen Kap. : Graphik mit Maple Kap. 3: Lösung von Differentialgleichungen mit Maple Kap. 4: Programmierung und Prozeduren Kap. 5: Lineare Algebra Lösung von Differentialgleichungen mit Maple Generelle Konzepte Ein Standardproblem in vielen Bereichen der Anwendung ist das Lösen von Differentialgleichungen. Dies sind Gleichungen, welche neben der gesuchten Funktion auch noch ihre Ableitungen enthalten. Ein Beispiel: = x y( x ) y mit der Lösung y( x) = C e x oder = x x y( x ) y( x ) mit der Lösung y( x ) = C sin( x ) + C cos( x ) etc. Die Formulierung in Maple lautet: > diff(y(x),x)=y(x); > diff(y(x),x$)=-y(x); oder alternativ und flexibler > D(y)(x)=y(x); = x y( x ) y( x ) y( x ) = y( x ) x D( y )( x ) = y( x ) Page > D(D(y))(x)=-y(x); (D@@)(y)(x)=-y(x); ( D ( ) )( y )( x ) = y ( x ) ( D ( ) )( y )( x ) = y ( x ) Maple kann solche Gleichungen unter Umständen analytisch lösen. Das gilt insbesondere für lineare DGln und die meisten DGln erster Ordnung (d. h. in denen höchstens die erste Ableitung vorkommt), da hier explizite Lösungsvorschriften existieren. Der Maple-Befehl zur Lösung von DGln lautet dsolve: > dsolve( diff(y(x),x)=y(x), y(x) ); y( x ) = _C e x > dsolve(diff(y(x),x$)+y(x)=0,y(x)); y( x ) = _C sin( x ) + _C cos( x ) Die alternative Formulierung über den D-Operator: > dsolve( D(y)(x)-y(x)=0,y(x)); y( x ) = _C e x > dsolve(d(d(y))(x)+y(x)=0,y(x)); y( x ) = _C sin( x ) + _C cos( x ) > dsolve((d@@)(y)(x)+y(x)=0,y(x)); y( x ) = _C sin( x ) + _C cos( x ) Man beachte: Maple schreibt immer die allgemeinste Lösung hin und führt dazu Integrationskonstanten _C,_C,... ein. In praktischen Problemen muss man diese Integrationskonstanten mittels Anfangsbedingungen y( x 0 ) = y 0, D( y)( x 0 ) = Dy 0,... festlegen. Man beachte, dass für die Anfangsbedingungen bei Ableitungen der gesuchten Funktion grundsätzlich die D-Operatorschreibweise benutzt werden muss! Dem Befehl dsolve werden DGL und Anfangsbedingungen gemeinsam als Menge übergeben. Beispiele: > dsolve({d(y)(x)-y(x)=0,y(0)=7},y(x)); y( x ) = 7 e x > dsolve({diff(y(x),x$)+y(x)=0,y(0)=7,d(y)(0)=},y(x)); y( x ) = sin( x ) + 7 cos( x) Allgemein gilt, dass man für DGln n-ter Ordnung genau n-anfangsbedingungen y( x 0 ), D( y )( x 0 ), D ( D( y) )( x 0 ),... angeben muss. Diese Schreibweise wird leicht unübersichtlich. Es ist besser, die Differential-Gleichung und die Anfangsbedingungen vorher zu definieren: > dgl:=diff(y(x),x$)+y(x)=0; # Definiere Differential-Gleichung Page

2 dgl := y( x ) + y( x) x > anfb:=y(0)=,d(y)(0)=; # Folge der Anfangsbedingungen anfb := y( 0) =, D( y )( 0) = > dsolve(dgl,y(x)); # löse allgemein y( x ) = _C sin( x ) + _C cos( x ) > dsolve({dgl,anfb},y(x)); # löse mit Anfangsbedingungen y( x ) = sin( x ) + cos( x) Maple kann auch nichtlineare DGln (hier meist nur erster Ordnung, also nur mit x y( x )) lösen: > dgl:= (y(x)^-x)*diff(y(x),x)+x^-y(x)=0; dgl := ( y( x) x ) + = x y( x) x y( x ) 0 > dsolve(dgl,y(x),implicit); # so erhält man die implizite Darstellung _C + + = 3 x3 x y( x ) 3 y( x ) 3 0 So erhält man eine implizite Lösung der Gleichung. Wenn man die vollständige Lösung wissen will, kann man noch die Option explicit angeben (in Maple 8 schaut's noch wüster aus): > dsolve(dgl,y(x),explicit); y( x ) = + %( / ) 3 x %, ( / 3 ) y( x ) = + 4 %( / 3 ) x / % ( 3 ) y( x ) = 4 %( / 3 ) x / % ( 3 ) I 3 %( / ) 3 I 3 %( / ) 3 x % ( / ) x 3, % ( / 3 ) % := _C 4 x x _C + 6 _C x 3 + x 6 Maple V führt hier Platzhalter ein, wobei Maple 8 die Lösung ohne sie abzukürzen ausgibt. Es ist Geschmacksache was man nun als übersichtlicher ansieht. Umgang mit den Lösungen Im Folgenden geht es darum, wie man die Maple-Ausgabe der Lösungen weiterverarbeiten kann. Dazu nehmen wir uns ein physikalisches Beispiel her, nämlich den freien Fall. Die Bewegungs-DGl hierfür ist m z( t) = m g t mit der Masse m und der Schwerebeschleunigung g=9.8. Page 3 > dgl:=m*diff(z(t),t$)=-m*g; # m kürzt sich eh raus! dgl := m z( t) = m g t > anf:=z(0)=z0,d(z)(0)=v0; anf := z( 0) = z0, D( z)( 0) = v0 > sol:=dsolve({dgl,anf},z(t)); sol := z( t) = + + g t v0 t z0 Jetzt versuchen wir einmal, das Ergebnis für g=9.8, z0=0 und v0=0 zu zeichnen. Um hier nicht von vornherein Schiffbruch zu erleiden, muss man Maple allerdings erst einmal mitteilen, welche numerischen Werte g, z0 und v0 haben sollen. Hierzu kann man entweder mittels g:=9.8, z0:=... und v0:=... den Variablen selbst Werte zuweisen. Das ist sicher für g sinnvoll, da man kaum die Erdbeschleunigung manipulieren will. Für z0 und v0 ist das aber ungünstig, da dann eine Neuzuweisung die komplette Neuberechnung nach sich zieht. Einfacher geht es mit dem Befehl substitute: subs(var=wert,var=wert,...,ausdruck) ersetzt in ausdruck die Variable var mit dem Wert wert usw., wie wir wissen. Also: > sol:=subs(g=9.8,sol); # Ersetzte g dauerhaft in "sol" sol := z( t ) = t + v0 t + z0 Maple kann keine Gleichungen zeichnen. Probieren wir assign, dann ist z(t) (nicht z!) bekannt: > z(t); > assign(sol); > z; > z(t);z(4); z( t) z t + v0 t + z0 z( 4) Alternativ kann man die rechte Seite der Gleichung mit dem Befehl rhs herauspräparieren und sie der Variablen Z zuweisen: Z:=rhs(sol); # right hand side Z := t + v0 t + z0 Nun geht's zum Plotten; noch ist aber z(t) und Z abhängig von t und zwei weiteren Parametern. Das Standard-Kochrezept: mache aus der allgemeinen Lösung eine Funktion mit allen vorkommenden Variablen: > z:=unapply(z(t),t,v0,z0); # Mache aus z(t) als Ausdruck rechts eine Funktion z(t) z := ( t, v0, z0) t + v0 t + z0 > Z:=unapply(Z,t,v0,z0); # Mache aus Z als Ausdruck Page 4

3 rechts eine Funktion Z(t) Z := ( t, v0, z0 ) t + v0 t + z0 > plot(z(t,0,0),t=0..); > solve({z(t,0,0)=0,t>0},t); { t = } Wie üblich, wird die Lösung als Menge zurückgeliefert. Um damit weiterarbeiten zu können, müssen wir die Lösung einzeln rauspräparieren: > solve({z(t,0,0)=0,t>0},t)[]; t = > t0:=rhs(solve({z(t,0,0)=0,t>=0},t)[]); t0 := > plot(z(t,0,0),t=0..t0); > plot(z(t,0,0),t=0..); Nun sollte das Teilchen nicht im Boden verschwinden, d.h. 0 Z ist eine Randbedingung des Problems. Daher suchen wir uns die Nullstelle der Lösung für den physikalischen relevanten Bereich t>0: Page 5 Systeme von DGln Ein anderer häufig auftretender Fall ist, dass man ein System von Differentialgleichungen vorliegen hat, also etwas von dem Typ a a [ D( x)( t ), D( y )( t )] = a a [ x( t ), y( t) ] Auch das löst Maples dsolve-befehl: > dgls:=d(x)(t)=a*x(t)+a*y(t),d(y)(t)=a*x(t)+a*y(t); dgls := D( x )( t ) = a x( t) + a y( t ), D( y )( t ) = a x( t) + a y( t) > dsolve({dgls},{x(t),y(t)}); { y( t ) = _C %3 + _C %, x( t ) = ( _C a %3 + _C a %3 + _C % %3 _C a % + _C a % _C % % ) / a} Page 6

4 % := a a a + a + 4 a a % := e ( / t a + / t a / t % ) %3 := e ( / t a + / t a + / t % ) Weil Maple 8 nicht die Abkürzungen %, %, %3 verwendet, schaut es hier noch unübersichtlicher aus. Etwas übersichtlicher wird das Ergebnis für eine spezielle Wahl der Koeffizienten: > a:=0;a:=;a:=-;a:=0; > dgls; a : a := a := - a : D( x)( t ) = y( t ), D( y )( t ) = x( t) > dsolve({dgls},{x(t),y(t)}); { y( t ) = cos( t ) _C sin( t ) _C, x( t ) = sin( t ) _C + cos( t ) _C} Die Lösung dieses Problems entspricht der von D ( D( x) )( t ) + x( t) mit y( t ) = D( x )( t ). In der Tat sind beide DGln äquivalent, eine lineare DGL zweiter Ordnung entspricht also einem System aus zwei linearen DGLs erster Ordnung: > dgl:=(d@@)(x)(t)+x(t)=0; dgl := ( D ( ) )( x )( t ) + x( t) > dsolve(dgl,x(t)); x( t ) = sin( t ) _C + cos( t ) _C Stellen wir die Lösung des Systems doch einmal für die Anfangsbedingungen x(0)= und y(0)=0 dar: > anfb:=x(0)=,y(0)=0; anfb := x( 0) =, y( 0) > sol:=dsolve({dgls,anfb},{x(t),y(t)}); sol := { x( t ) = cos( t ), y( t) = sin( t )} Es gibt jetzt mehrere Möglichkeiten, auf die Lösungen zuzugreifen, um sie z.b. anschließend zu zeichnen: > rhs(sol[]); rhs(sol[]); cos( t) sin( t ) liefert das Gewünschte. Allerdings ist da wiederum die Reihenfolge nicht garantiert. Eine andere Möglichkeit ist > assign(sol); > x(t);y(t); # y(t) und x(t) sind hier nur Platzhalter und keine Funktionen cos( t) sin( t ) Page 7 > plot({x(t),y(t)},t=0..*pi); Es ist also zum Plotten nicht unbedingt nötig, mit unapply eine richtige Funktion aus dem Ergebnis zu machen. Beispiel: Gedämpfte Schwingung Das ist die DGL zweiter Ordnung, x ist die Auslenkung; die Dämpfung oder Reibung ist proportional zur Geschwindigkeit D( x) ( t) > dgl:=(d@@)(x)(t)+*gamma*d(x)(t)+omega^*x(t)=0; dgl := ( D ( ) )( x )( t) + γ D( x) ( t) + ω x( t) > anf:=x(0)=,d(x)(0)=0; # x(t=0)=, v(t=0)=0 anf := x( 0) =, D( x)( 0) > sol:=dsolve({dgl,anf},x(t)); ( γ + % ) e ( ( γ ( γ ω ) ( γ + ω ) ) t ) sol := x( t ) = % > assign(sol); > x(t); % := γ ω ( γ + % ) e ( ( γ ( γ ω ) ( γ + ω ) ) t ) % ( γ % ) e ( ( γ + ( γ ω ) ( γ + ω) ) t ) % ( γ % ) e ( ( γ + ( γ ω ) ( γ + ω) ) t ) % := γ ω > x:=unapply(x(t),t,gamma,omega); # immer gleich Funktion draus machen! Page 8 %

5 x := ( t, γ, ω ) ( γ + γ ω ) e ( ( γ ( γ ω ) ( γ + ω) ) t ) ( γ γ ω ) e ( ( γ + ( γ ω ) ( γ + ω) ) t ) γ ω γ ω > plot(x(t,/8,),t=0..0); # so ist's schön plotbar. Hier gezeigt für gamma=/8 und für omega= t =.0, x( t ) = , x( t ) = t > rhs(sol(.0)[]); # Ort x für t = Man erhält für jeden Wert von t eine Liste, in der die Zeit, der Wert von x( t ) zu diesem Zeitpunkt und der Wert der Ableitung aufgelistet sind. Bei Systemen oder DGln höherer Ordnung stehen natürlich noch die anderen Größen in der Liste. Man kann jetzt entweder selbst mittels dieser Liste sich eine Wertetabelle anlegen, z.b. mittels des Befehls seq (da wir ja Zahlenwerte als Lösung haben, keine Funktion): > seq([rhs(sol(i/0)[]),rhs(sol(i/0)[])],i=0..00): #Liste mit Zeit- und Ortskoordinatenpaaren und diese dann mittels plot anschauen: > plot([%]); # Liste aller [t,x(t)] - Paare Numerische Lösung und graphische Darstellung Ist nur eine numerische Lösung der DGl erwünscht oder möglich, kann man sich mit odeplot aus dem plots Packet behelfen. Dazu muss man aber in dsolve den Parameter numeric angeben: > with(plots): Wieder 'ne gedämpfte Schwingung, hier gleich Spezialfall ω =, γ = 4 > dgl:=(d@@)(x)(t) + D(x)(t)/4 + x(t)=0; dgl := ( D ( ) )( x )( t ) + D( x )( t ) + x( t) 4 > anf:=x(0)=,d(x)(0)=0; anf := x( 0) =, D( x)( 0) > sol:=dsolve({dgl,anf},x(t),numeric); sol := proc( rkf45_x)... end Was soll das? Zurückgegeben wird eine Prozedur zum Berechnen der Lösungen zu beliebigen Zeitpunkten t: > sol(.0); # Lösung für t =.0 Page 9 > seq([rhs(sol(i/0)[]),rhs(sol(i/0)[3])],i=0..00): plot([%]); # Liste aller [x(t),v(t)] - Paare Page 0

6 Oder man benutzt Maples odeplot (ordinary differential equation) (geht aber nur mit t und x(t), nicht mit den Ableitungen) : > odeplot(sol,[x(t),diff(x(t),t)],0..0,numpoints=00); > with(detools); [ DEnormal, DEplot, DEplot3d, DEplot_polygon, DFactor, Dchangevar, GCRD, LCLM, PDEchangecoords, RiemannPsols, abelsol, adjoint, autonomous, bernoullisol, buildsol, buildsym, canoni, chinisol, clairautsol, constcoeffsols, convertalg, convertsys, dalembertsol, dediffop, dfieldplot, diffopde, eigenring, endomorphism_charpoly, equinv, eta_k, eulersols, exactsol, expsols, exterior_power, formal_sol, gen_exp, generate_ic, genhomosol, hamilton_eqs, indicialeq, infgen, integrate_sols, intfactor, kovacicsols, leftdivision, liesol, line_int, linearsol, matrixde, matrix_riccati, moser_reduce, mult, newton_polygon, odeadvisor, odepde, parametricsol, phaseportrait, poincare, polysols, ratsols, reduceorder, regular_parts, regularsp, riccati_system, riccatisol, rightdivision, separablesol, super_reduce, symgen, symmetric_power, symmetric_product, symtest, transinv, translate, untranslate, varparam, zoom ] Wir wollen uns hier nur die Befehle DEplot und phaseportrait anschauen. Als Beispiel wieder die Schwingungsgleichung von gerade eben. >?DEplot # Wenn man etwas nicht weiß wie es funktioniert einfach mal in die Hilfe schauen > dgl:=(d@@)(x)(t)+d(x)(t)/4+x(t)=0; anf:=x(0)=,d(x)(0)=0; dgl := ( D ( ) )( x )( t ) + D( x )( t ) + x( t) 4 anf := x( 0) =, D( x)( 0) DEplot löst auch gleichzeitig die DGL. Die Syntax von DEplot ist gewöhnungsbedürftig - man muss eine Liste der Liste von Anfangsbedingungen übergeben, sprich [[anf]]: > DEplot(dgl,x(t),t=0..0,[[anf]],stepsize=.05, linecolor=red,thickness=); Anhang für Fortgeschrittene: das Paket DEtools Wesentlich größere Darstellungsmöglichkeiten bietet das Paket DEtools. Page Page

7 Man kann das ganze auch als ein System von DGln erster Ordnung angeben, was ja bei linearen DGLs geht; dadurch erhält man zusätzliche Gestaltungsmöglichkeiten. Wie schon erwähnt: physikalisch gesehen beschreibt die erste DGL das Verhalten der Geschwindigkeit y, die zweite erkärt, was die Geschwindigkeit eigentlich ist: > dgls:=d(y)(t)+y(t)/4+x(t)=0,d(x)(t)=y(t); anfb:=x(0)=,y(0)=0; dgls := D( y )( t ) + + =, 4 y( t ) x( t) 0 D( x)( t ) = y( t ) anfb := x( 0) =, y( 0) Zunächst kann man die Position x( t ) auftragen (Parameter scene): > DEplot([dgls],[x(t),y(t)],t=0..0,[[anfb]], scene=[x(t),y(t)],stepsize=.05,x=-.., linecolor=red,thickness=0); Ebenso könnte man die Geschwindigkeit y( t ) behandeln. Häufig ist auch ein sogenanntes Phasenportrait sinnvoll, bei dem y( t ) gegen x( t ) aufgetragen wird (siehe oben). Dazu kann man die Option scene richtig wählen oder den Befehl phaseportrait benutzen. > DEplot([dgls],[x(t),y(t)],t=0..0,[[anfb]], scene=[x(t),y(t)], stepsize=.05,x=-..,y=-.., scaling=constrained,linecolor=black, thickness=,arrows=none); Page 3 Page 4

8 > phaseportrait([dgls],[x(t),y(t)],t=0..0,[[anfb]], stepsize=.05,x=-..,y=-.., scaling=constrained,linecolor=black,thickness=); Hier wird statt [x(0)=,y(0)=] die Kurzform [0,,] verwendet und in eine Mengen-Klammer gepackt (Anfangsbedingung: t=0, x(t=0)=, y(t=0)=). Eine Folge von Anfangsbedingungen lässt sich jetzt mit dem seq-befehl erzeugen: > start:=seq([0,0,n/0],n=..0); start 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3 :=,,,,,, 0, 0, 7, , 0, 4, 0, 0, 9, [ 0, 0, ] 5 0 und in phaseportrait einsetzen. > phaseportrait([dgls],[x(t),y(t)],t=0..5,{start}, scaling=constrained,linecolor=black); Eine alternative Formulierung wäre: > phaseportrait([dgls],[x(t),y(t)],t=0..5,{[0,,]}, scaling=constrained,linecolor=black); Page 5 Page 6

9 Und hier das Ganze noch mit einer äußeren treibenden Kraft: > dgls := D(y)(t)+y(t)/4+x(t)=*cos(3*t), D(x)(t)=y(t); dgls := D( y )( t ) + + =, 4 y( t ) x( t) cos( 3 t ) D( x )( t ) = y( t ) > anfb := [0,,0],[0,0,]; anfb := [ 0,, 0 ], [ 0, 0, ] > phaseportrait([dgls],[x(t),y(t)],t=0..50,{anfb}, stepsize=.05,x=-...,y=-...5, linecolor=[red,blue],thickness=); Trotz der unterschiedlichen Anfangsbedingungen erhält man für lange Zeiten den gleichen stationären Endzustand. Page 7 Page 8