IV. Digitale Signalverarbeitung

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1 Digitale Signalverarbeitung IV. Digitale Signalverarbeitung Nachdem in den vorangegangenen Kapiteln die grundlegenden Eigenschaften der in der physialischen Meßtechni aufgenommenen Signale und ihrer Störungen behandelt wurden, sowie die Technien, um diese Störungen zu minimieren, soll im folgenden die weitergehende Verarbeitung und Analyse dieser Signale behandelt werden, die fast ausschließlich digital erfolgt, d. h. unter Einsatz des Computers. IV. Disrete Spetralanalyse Eine der häufigsten Anwendungen der digitalen Signalverarbeitung zur Auswertung von physialischen Meßsignalen ist die Spetralanalyse von digitalisierten Signalen. Um die dabei auftretenen Probleme verstehen zu önnen, soll zunächst das Spetrum von analogen und digitalisierten Signalen betrachtet werden. Dabei wird für die digitale Signalverarbeitung der Fall angestrebt, daß sowohl das Zeitsignal als auch das Spetrum als disrete Folgen im Rechner abgespeichert werden önnen. Um zu dieser Eigenschaft zu gelangen, betrachten wir zunächst aperiodische Signale, die entweder ontinuierlich oder disret sein önnen. Für den disreten Fall ann man das Signal auch als Produt des ontinuierlichen Signals mit einem δ-kamm auffassen, so daß sich das Spetrum dieses disretisierten Signals als Faltung des Orginal-Spetrums mit der Fourier- Transformierten des δ-kamms, nämlich dem δ-kamm mit der inversen Periodizität schreiben läßt: Aperiodische Signale Kontinuierliche Signale Disrete Signale s(t), < t < + s(n), n, s(n)= st (), t = n sonst (IV.) πift Sf ( ) = st ( ) e dt Sd () f = S() f f T Sf n ()= T T n = (IV.)

2 Digitale Signalverarbeitung Spetrum aperiodisch, ontinuierlich Spetrum periodisch, ontinuierlich Für periodische Signale gilt: s(t+nt') = s(t), wobei T die Periodenlänge bezeichnet. Man ann ein periodisches Signal daher als die Faltung einer Periode dieses Signals mit einem δ-kamm der Periodizität T auffassen. Das Spetrum ist daher a periodisch und disret mit der Periodizität /T. Für das periodische disrete Signal ergibt sich dagegen wiederum eine Multipliation des periodischen Signals mit einem δ-kamm der Periode T, so daß als Fouriertransformierte die Faltung resultiert: Periodische Signale Kontinuierliche Signale Disrete Signale s(t)=s (t) (t) s (t) = (s (t) (t) ) T d T T (t) (IV.3) S(f) = S (f) (f) S (f) = (S (f) (f)) /T d /T /T (f) (IV.4) Das Spetrum eines periodischen, disreten Signals ist dabei wieder periodisch und disret, wobei die Feinstrutur des Zeitsignals (d. h. die Abtastperiode) zur Großstrutur des Spetrums wird (d. h. zur Periodizität des Spetrums) während die Grobstrutur des Zeitsignals (d. h. die Periodizität des Zeitsignals) zur Feinstrutur des Spetrums wird (d. h. zur Linienstrutur des Spetrums). Dieser Fall ist für die digitale Signalverarbeitung aber besonders wichtig, weil sowohl das Zeitsignal als auch das Spetrum sich als disrete Folge darstellen lassen. Die Beziehung zwischen einer Periode dieses disreten, periodischen Zeitsignals und einer Periode des zugehörigen disreten, periodischen Spetrums wird als disrete Fouriertransformation bezeichnet. Für sie gilt:

3 Digitale Signalverarbeitung 3 N s(n) S ( ) = s( n) e n= πi n N S() N sn N Se π ( ) = ( ) i K= n N (IV.5) Bei der disreten Fouriertransformation wird also die Integration in eine Summation über eine Periode verwandelt. Da es sich auch hierbei um eine lineare, zeitinvariante Transformation handelt, sind die meisten Eigenschaften der Fouriertransformation auch für die disrete Fouriertransformation die gleichen. Hin- und Rüctransformation der DFT unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen des Exponenten. Die Normierung mit /N wird oft weggelassen. Ein wichtiger Unterschied zur ontinuierlichen Fouriertransformation ist jedoch die Faltung: Da die DFT nur als eine Periode des (unendlich langen, periodischen) Spetrums verstanden werden ann, gilt der Faltungssatz nicht für die exate Faltung, sondern nur für die zylische Faltung: Die disrete Fourier-Rüctransformation des Produts zweier disreter Spetren ist nicht die Faltung der zugehörigen Zeitfuntionen, sondern der periodische fortgesetzten Zeitfuntionen, so daß sich u. U. das Ende der Periode in den Anfang des betrachteten Zeitbereichs hinein verschmiert. Aufgrund der Definition der DFT benötigt die Berechnung eines Spetralwertes S() n Multipliationen und n Additionen, so daß der Rechenaufwand für eine vollständige disrete Fouriertransformation proportional mit N geht. Falls N eine Zweierpotenz ist, d. h. N = m läßt sich der Rechenaufwand durch die Anwendung der Fast Fouriertransformation (FFT) erheblich verringern. Dieses wird durch eine geschicte Zerlegung der für die Berechnung einer vollständigen DFT notwendigen Operationen erreicht, die sich in eine Abfolge von Elementar-Filterfuntionen mit zwei Eingängen und zwei Ausgängen (sogenannten Butterfly-Operationen) zerlegen lassen. Nachdem man log (N) Zwischenschritte berechnet hat, bei denen jeweils für jeden Wert eine weitere Butterfly-Operation durchgeführt wurde, önnen die Ausgangswerte in Bit-verehrter Reihenfolge abgespeichert werden.

4 4 Digitale Signalverarbeitung Abb. 4.: Schema der FFT In jedem dieser Teilschritte werden dabei N Multipliationen und N Additionen durchgeführt, so daß der Gesamt-Rechenaufwand proportional zu N log N wird. Da diese Größe mit zunehmenden N wesentlich geringer ansteigt als N, ist gerade bei großen Signallängen eine Anwendung der FFT sinnvoll, so daß eine Spetralanalyse mit dem Computer fast immer eine FFT benutzt. Dies ann für Signale mit einer Anzahl von Samples, die nicht einer Zweierpotenz entspricht, z. B. durch Anfügen von Nullen erreicht werden. Außerdem existiert eine Zahl von zahlentheoretischen Fouriertransformationen, die für andere Primzahlen als für die gelten, so daß auch bei Signallängen, die nicht einer Zweierpotenz, sondern einer günstigen Primzahlzerlegung entsprechen, effiziente Algorithmen für die Spetralanalyse eingesetzt werden önnen. Im folgenden sollen zwei Probleme bei der disreten Spetralanalyse näher behandelt werden, die von großer pratischer Bedeutung sind, und zwar die Fensterung und die zeitabhängige Spetralanalyse. Das Problem der Fensterung ergibt sich immer dann, wenn das Spetrum eines ontinuierlichen, aperiodischen Signals s(t) mit Hilfe einer endlichen, disreten Fouriertransformation geschätzt werden soll. Dazu wird das Signal mit einem Analyse-Zeitfenster zeitlich begrenzt und zudem äquidistant abgetastet:

5 Digitale Signalverarbeitung 5 Abb. 4.: Vom ontinuierlichen aperiodischen Signal zum disreten, gefensterten Signal Während das ontinuierliche, aperiodische Signal ein ontinuierliches, aperiodisches Spetrum S(f) besitzt, mit der Zusatzannahme, daß S(f) bandbegrenzt ist, besitzt das entsprechende abgetastete, aperiodische Signal S d (t) ein periodisches, ontinuierliches Spetrum. Bei der Fensterung des abgetasteten Signals, d.h. bei der Multipliation mit dem Fenster w(t), wird im Spetralbereich eine Faltung mit der Fouriertransformierten der Fensterfuntion W(f) durchgeführt, so daß das resultierende Spetrum ein periodisches Linienspetrum ist, daß mit W(f) gefaltet, also verschmiert ist. Mit der disreten Fouriertransformation (DFT) wird jeweils nur eine Periode dieses periodisch fortgesetzten, mit dem Fenster w(t) abgeschnittenen und abgetasteten Signals s w (t) betrachtet. Das resultierende disrete Spetrum ist demnach die disrete Version des mit W(f) verschmierten Orginalspetrums. Um den dabei entstehenden Fehlerer möglichst lein zu halten, sollte ein Fenster w(t) mit möglichst δ-förmiger Fouriertransformierten W(f) gewählt werden. Dies ann durch ein möglichst langes Analyse-Fenster und durch eine optimierte Fensterfuntion approximativ erreicht werden. Am häufigsten werden die folgenden Fensterfuntionen gewählt: Hanning-Fenster: πn w( n) = 5, 5, cos M (IV.6) πn Hamming-Fenster: w( n) = 54, 46, cos M (IV.7)

6 6 Digitale Signalverarbeitung πn 4 n Blacman-Fenster: w3( n) = 4, 5, cos 8, cos M + π M (IV.8) Abb.4.3: Die verschiedenen Fenster im Zeit- und Frequenbereich Um für die Spetralanalyse einen möglichst geringen Rechenaufwand durch Verwendung einer FFT zu benötigen, ann das Fenster mit Nullen aufgefüllt werden, so daß die Gesamtfensterlänge gerade eine Zweierpotenz von Abtastwerten umfaßt. Durch dieses Hinzufügen von Nullen im Zeitbereich wird die Abtastung des verschmierten Spetrums im Frequenzbereich zwar verbessert, es wird jedoch eine zusätzliche Information gewonnen. Man ann daher eine Interpolation im Frequenzbereich dadurch berechnen, daß man eine entsprechend längere FFT wählt, für die man an das ursprüngliche Analyse-Fenster eine entsprechend größeren

7 Digitale Signalverarbeitung 7 Zahl von Nullen. Das grundlegende Problem bei der zeitlichen Fensterung des zu analysierenden Zeitsignals ist die Zeit-Frequenz-Unschärfe: Wenn eine hohe Frequenzauflösung gewünscht wird, muß W(f) möglichst δ-förmig sein. Dies ist äquivalent damit, daß w(t) möglichst lang ist, was wiederum mit einer geringen Zeitauflösung orrespondiert, d. h. das Spetrum wird über einen entsprechend langen Zeitausschnitt errechnet, so daß die auftretenden Spetralanteile nicht einem definierten Zeitpunt zugeordnet werden önnen. Genau wie bereits in dem ersten Abschnitt besprochen, ann das Zeit-Bandbreitenprodut aufgrund der Unschärferelation nicht unterschritten werden, so daß man sich entweder für eine hohe Zeitauflösung oder für eine hohe Frequenzauflösung entscheiden muß. Auch die im folgenden Abschnitt zu behandelnde Zeit-Frequenz-Analyse ann dieses prinzipielle Problem nicht lösen. IV. Zeit-Frequenz-Analyse Das Ziel einer gleichzeitig möglichst guten Zeit- und Frequenzauflösung wird mit der disreten Zeit-Frequenz-Analyse angestrebt: Dabei soll der momentane Frequenzgehalt eines Signals als Funtion der Zeit dargestellt werden. Es wird also eine Funtion S(f, t) gesucht, die im disreten Fall einem Raster von Werten in der Zeit-Frequenz-Ebene entspricht, d. h. es werden Funtionswerte nur für disrete Zeitpunt t i und disrete Frequenzen f j berechnet. Die lassische Zeit-Frequenz-Verteilungsfuntion ist die Kurzzeit-Fourier-Analyse (oder Spretrogramm) mit der allgemeinen Form für den analogen Fall πift' Sft (, ) = st ( ' + twt ) ( ') e dt' (IV.9) Dabei handelt es sich also um die Frequenzanalyse des um t zentrierten Signalausschnittes s(t +t), der mit dem Fenster w(t ) gewichtet wird.

8 8 Digitale Signalverarbeitung Abb.4.4: Zeitfrequenzanalyse Im disreten Fall wird ein Signalausschnitt zum Zeitpunt t m ausgewertet und die disrete Fouriertransformation zu den Frequenzen f gebildet: N Sf (, t ) = snt ( + t ) wne ( ) m m n= πi n N (IV.) Bei dieser disreten Kurzzeitfourieranalyse treten die folgenden Variablen auf:.) Die Abtastfrequenz f s = /T, die bei der Disretisierung von s(t) in die disrete Zahlenfolge s(n) auftritt..) Die Fensterlänge M(in Anzahl von Samples) der Fensterfuntion w(n) 3.) Länge N der disreten Fouriertransformation (DFT) 4.) Abstand aufeinanderfolgender Analyse-Zeitpunte t m, d. h. / Framerate F. Diese vier Variablen sollten so gewählt werden, daß das Originalsignal s(t) aus dem disreten Spetrogramm vollständig reonstruiert werden ann. Es darf also bei der Berechnung des Spetrogramms bei entsprechender Wahl der Parameter ein Informationsverlust auftreten. Aus diesen For-

9 Digitale Signalverarbeitung 9 derungen resultieren die folgenden Abtasttheoreme:.) Abtasttheorem: f s = f (IV.) grenz T D. h. die höchste im Originalsignal vorommende Frequenz f grenz darf maximal die Hälfte der Abtastfrequenz betragen. Dieses ist das bereits behandelte Abtasttheorem der digitalen Signalverarbeitung..) Die Länge des Analysefensters M ist umgeehrt proportional zur Zeitauflösung der Kurzzeitfrequenzanalyse und ist proportional zur Frequenzauflösung der Kurzzeitfrequenzanalyse, d. h. die Fensterlänge ist ein freier Parameter der Kurzzeitfrequenzanalyse, die je nach Anforderung entweder eine hohe Zeit- und niedrige Frequenzauflösung oder umgeehrt aufweist. Bei Sprachsignalen ist eine gängige Fensterlänge etwa ms. 3.) N Fensterlänge M, d. h. die Länge der DFT muß mindestens so groß sein wie die Länge des Analysefensters. In der Regel wird die DFT sogar länger als das Analyse-Fenster gewählt, um einerseits eine bessere Abtastung des Spetrums zu erreichen und um andererseits mögliche Artefate durch ziruläres Aliasing zu vermeiden, das bei der Durchführung von Modifiationen im Frequenzbereich und anschließender Reonstrution des Signals auftreten ann: Anhand der Kurzzeitspetralanalyse ist es nämlich möglich, gezielt zu bestimmten Zeitpunten eine Änderung des Spetrums (Filterung) durchzuführen. Für das modifizierte Spetrum gilt dann: S'( f, t ) = H( f ) S( f, t ) m n m ( ) s'( n+ t ) = h( n) s( n+ t ) w( n) (IV.) m m D. h., daß bei der Rüctransformation des im Spetralbereich veränderten Signals in den Zeitbereich eine Faltung des gefensterten Originalsignals mit der Impulsantwort h(n) auftritt, so daß sich der Bereich des Signals, in dem eine Nullen auftreten, um die Länge der Impulsantwort h(n) verlängert. Damit sich diese Verschmierung des ursprünglich durch das Zeitfenster zeitlich begrenzten Signals nicht über die Ränder hinweg erstrect (und damit ein Überfließen vom Ende des DFT-Zeitsignals in den Anfang

10 Digitale Signalverarbeitung dieses Signals passiert) muß also die Länge der DFT N genügend groß sein. Dieses zweite Abtasttheorem besagt also, daß N Fensterlänge M + Länge von h(n) (IV.3) Bei der Hintransformation müssen demnach eine genügend große Anzahl von Nullen an das gefensterte Signal angefügt werden, um die entsprechende DFT-Länge zu erreichen. 4.) Das dritte Abtasttheorem der Kurzzeitfrequenzanalyse beinhaltet eine Forderung für die Analyse-Frame-Rate. Die Kurzzeit-Fouriertransformierte S(f,t) ann auch als Filterban aufgefaßt werden, bei der in einer Reihe von Bandpaßanälen jeweils ein Ausgangssignal erzeugt wird, das sich zeitlich nur sehr langsam ändert (bandbegrenzte Signale): πift' πift πift' S( f,) t = s(' t+ t) w(') t e dt' = e s(') t e w(' tt) dt' (IV.4) S(f,t m ) ist daher für ein festes f als Funtion von t m eine Tiefpaßsignal. Die obere Grenzfrequenz dieses Signals f grenz entspricht bei einem Hamming- Fenster w(t) gerade der ersten Nullstelle der Übertragungsfuntion (bei M ) und beträgt damit: f grenz M f s (IV.5) Da ein derartiges Tiefpaßsignal mit mindestens der doppeltem vorommenden Frequenz abgetastet werden muß, folgt daraus, daß die Frame- Rate (d. h. die Häufigeit, mit der dieses Tiefpaßsignal abgetastet werden muß) gerade den Wert annehmen muß: fs F = 4 (IV.6) M Dieses entspricht einem Überlapp aufeinanderfolgener Analyse-Frames von 3/4. Diese Forderung, daß zur vollständigen Repräsentation des Eingangssignals ein Überlapp der aufeinanderfolgenden Analyse Intervalle von 3/4 auftreten sollte, wird als drittes Abtasttheorem bezeichnet. Falls ein größerer Fehler toleriert werden ann und als obere Grenzfrequenz des Bandpaß-Signals nicht die erste Nullstelle des Hamming-Fensters,

11 Digitale Signalverarbeitung sondern bereits eine Abschwächung um ca. db ausreichend ist, genügt der halbe Überlapp aufeinanderfolgender Analyse-Frames. Im folgenden sollen zwei prinzipielle Möglicheiten zur Reonstrution des Nutzzeit-Fourier analysierten Signals disutiert werden, die beide das Original-Signal perfet reonstruieren önnen, sich aber in ihrer Konzeption unterscheiden. Zur genaueren Abhandlung sei auf den Artiel von J. B. Allen (977)verwiesen. Der erste Ansatz ist die Filterban-Summation: Dabei wird S(f, t m ) für ein festes t m als der Ausgang einer Filterban aufgefaßt: N st ( N Sf t e m) = (, m) = πim N i ( m n ) N N N sn t wn e π N = ( + m ) ( ) n= = = δ( nm) N (IV.7) Abb.4.5: Filterban-Summation Der Vorteil dieser Filterban-Summationstechni, ist die Summation über wenige, u. U. nicht äquidistante Frequenzen, die zu einer vollständigen Reonstrution des Signals führen. Eine derartige nicht-äquidistante Aufteilung ist z. B. für die gehöradäquate Frequenzanalyse oder die Wavelet-

12 Digitale Signalverarbeitung Analyse notwendig. Außerdem wiren sich spetrale Modifiationen sofort auf das reonstruierte Signal aus, da die entsprechenden Bandpaßanäle instantan abgeschwächt bzw. verstärt werden. Zu den Nachteilen einer derartigen Techni gehört, daß für jeden reonstruierten Wert s(t m ) das gesamte Spetrum S(f, t m ) vorliegen muß. Da das reonstruierte Signal mit der Original-Abtastfrequenz wieder vorliegen soll, bedeutet dies, daß zu jedem Abtastzeitpunt das gesamte Spetrum neu berechnet werden muß, so daß insgesamt der Rechenaufwand sehr hoch wird. Ein weiterer Nachteil ist, daß die zu der spetralen Modifiation H(f, t m ) gehörende Impulsanwort h(t m ) mit der Fensterfuntion gewichtet wird: Sf ( t ) = Hf (, t ) Sf (. t ) st ( ) = sn ( ) [ ht ( ) wn ( )] (IV.8), m m m m m Dies bedeutet, daß nicht eine beliebige spetrale Modifiation durchgeführt werden ann, sondern nur eine spetrale Modifiation, deren zugehörige Impulsantwort in das Analyse-Fenster w(n) paßt. Die zweite Reonstrutionsmethode ist das Overlapp-Add-Verfahren (OLA): Bei diesem Verfahren wird zu jedem Reonstrutionszeitpunt das gesamte Zeitfenster (und nicht nur ein Signalwert) aus der inversen DFT reonstruiert. Die so entstandenen reonstruierten Zeitfenster werden suzessive überlappend aufaddiert: N i n π N sn ( + t wn N Sf t e m) ( ) = (, m) = ( m ) ( m ) sn ( ) = sn+ t wn ( ) = snwn ( ) t tm tm = sn ( ) wn ( tm ) = sn ( ) W( ) tm Gleichanteil von w(n) (IV.9)

13 Digitale Signalverarbeitung 3 Abb.4.6: Overlapp-Add-Verfahren Der Vorteil dieser Reonstrutionsmethode ist, daß eine Zurüctransformation nur an wenigen Zeitpunten t m erforderlich ist, so daß der Rechenaufwand sint. Bei dem Überlapp aufeinanderfolgender Analyse-Frames von ¾ erhöht sich damit die Datenrate um den Fator 4, während sie bei den oben disutierten Filterban-Summationsverfahren um den Fator N (d. h. Länge der DFT) sich erhöhte. Ein weiterer Vorteil ist, daß eine Fensterung der zu einer spetralen Modifiation H(f ) gehörenden Impulsantwort h(t) auftritt, sofern nicht die o. a. zirulären Alliasing-Artefate auftreten (d. h. die Länge der DFT ausreichend ist): N sn ( ) = sf (, tm) Hf ( ) e N tm = i n π N = w( nt ) [ s( n)* h( n)] = [ s( n)* h( n)] W( ) tm m (IV.) s (n) bezeichnet dabei das modifizierte Zeitsignal, das als eine exate (zylische) Faltung des Original-Signals mit der gewünschten Impulsantwort resultiert. Zu den Nachteilen dieser Reonstrutionsmethode zählt, daß die exat äquidistanten Frequenzen der inversen DFT für die Reonstrution erforderlich sind. Außerdem wiren sich zeitlich veränderliche spetrale Modifiationen nicht instantan auf das reonstruierte Zeitsignal aus, sondern wiren sich auf mehrere Frames verteilt aus, so daß die spetralen Änderungen nur zeitlich tiefpaßgefiltert sich auf das reonstruierte Zeitsignal auswiren. Wenn man an einer sofortigen Umsetzung der gewünschten

14 4 Digitale Signalverarbeitung Filterfuntion in das reonstruierte Zeitsignal interessiert ist, sollte man daher der Filterban-Summationstechni den Vorteil geben. Wenn andererseits eine geringe Datenrate bzw. ein geringerer Rechenaufwand im Vordergrund steht, ist das Overlap-Add-Verfahren im Vorteil. Dieses Verfahren wird auch in einer Reihe von Anwendungen vom digitalen Rundfun über die Codierung von Sprache und Musisignalen bis hin zur Realisierung moderner, intelligenter digitaler Hörgeräte eingesetzt (vgl. Kollmeier, 99). IV. 3 Digitale Filter Während wir im vorherigen Abschnitt die spetrale Analyse eines digitalisierten Zeitsignals und die mögliche Modifiation dieser Zeit-Frequenzdarstellung und ihrer Reonstrutionsmöglicheiten besprochen haben, wollen wir im folgenden die spetrale Modifiation eines beliebig langen Eingangssignals mit einem festen Filter behandeln, das digital realisiert wird. Ein derartiges digitales Filter operiert auf einer Folge x(n) von disreten Eingangswerten, wobei n sämtliche ganzen Zahlen überstreichen ann. Die Elementaroperationen eines digitalen Filters sind dabei:.) Multipliation mit einer Konstanten α IR: x(n) α x(n).) Die Addition zweier Signale: x(n), y(n) αx(n) + βy(n), α,β IR 3.) Die Zeitverzögerung des Signals um ein ganzzahliges Vielfaches der Abtastperiode: x(n) x(n-) Diese Elementar-Operationen IE sind sämtlich linear, d. h. IE(λx(n) + µy(n)) = λie(x(n)) + µie(y(n)) (IV.) und verschiebungsinvariant, d. h. y(n) = IE(x(n)) y(n+) = IE(x(n+)) (IV.) Aus der beliebigen Kombination dieser Elementaroperationen läßt sich damit ein lineares, Zeit- bzw. Verschiebungs-invariantes System aufbauen, das wir als digitales Filter bezeichnen: Wenn wir als Eingangsfolge die Werte x(n) und als Ausgangsfolge die

15 Digitale Signalverarbeitung 5 Werte y(n) bezeichnen, so wird das digitale Filter durch die sogenannte Differenzengleichung definiert: M yn ( ) = α xn ( ) + βyn ( ) = N = (IV.3) Abb. 4.7: Schema des digitalen Filters Ein digitales Filter wird damit aus einem nichtreursiven Anteil und einem reursiven Anteil zusammengesetzt, wobei in letzterem der Ausgangswert wieder an den Eingang geführt wird und im ersteren Fall der Eingangswert nach Zeitverzögerung, Additionen und Multipliationen an den Ausgang geführt wird. Um die Eigenschaften eines derartigen digitalen Filters näher beleuchten zu önnen, betrachten wir zunächst die Impulsantwort. Sie ist definiert als die Folge von Ausgangswerten, die sich bei Eingabe einer δ- Impulsfolge auf den Eingang ergibt. Eingangssignal: δ( n) für n = = sonst

16 6 Digitale Signalverarbeitung für n < Ausgangssignal: hn ( ) = α für n = min( nn, ) α h n für n n + β ( ) > = (IV.4) Die Impulsantwort ist daher eindeutig durch die Koeffzienten α und β bestimmt, so daß durch diese Koeffizienten auch sämtliche Eigenschaften des Filters festgelegt werden. Für den Fall, daß alle β = sind, vereinfacht sich die Impulsantwort zu: β = für alle h(n) = α n für n (IV.5) Dieser Fall einer endlich andauernden Impulsantwort wird als Finite Impulse Response (FIR)-Filter oder als nichtreursives Filter bezeichnet. Für den Fall, daß mindestens ein β ist, ergibt sich die Impulsantwort h(n) zu min( nn, ) β für mind. ein hn ( ) = α + β hn ( ), n n = (IV.6) d. h. die Imupulsantwort dauert unendlich an, so daß man dieses Filter als Infinite Impulse Response (IIR) oder reursives Filter bezeichnet. Als Ordnung des Filters bezeichnet man dabei die maximale Verzögerung im Filter, d. h. das Maximum aus M und N. Je höher diese Ordnung ist, d. h. je größer der Aufwand ist, den man für die Realisation des Filters betreiben muß, desto stärer ist die Auswirung des Filters auf den Frequenzbereich. Durch Fouriertransformation der Differenzengleichung (IV.3), bei der die Glieder einzeln fouriertransformiert werden önnen, ergibt sich aufgrund der Linearität und der Verschiebungseigenschaft der Fouriertransformation für die Fouriertransformierten X(f) des Eingangssignals bzw. Y(f) des Ausgangssignals die folgenden Beziehungen:

17 Digitale Signalverarbeitung 7 M ift ( ) N π πift β ( ) Xf () = α Xf () e + Yf () e = = (IV.7) Beim Zusammenfassen aller Glieder in X und in Y sowie bei Division durch X(f) (unter der Voraussetzung, daß X(f) für alle betrachteten Frequenzen) ergibt sich damit als Übertragungsfuntion H(f) des Filters πift ( e ) α Yf () = Hf () = = N Xf () ) β M = πift ( e ) (IV.8) Diese Übertragungsfuntion H(f) hängt nur von e πift ab, d. h., daß nur das Produt f T = f/f s relevant ist. Sämtliche vorommenden Frequenzen sind damit auf die Abtastfrequenz f s normiert, so daß in der digitalen Signalverarbeitung die normierte Frequenz von bis,5 (d. h. halbe Abtastfrequenz läuft). Außerdem ist die Übertragungsfuntion periodisch mit f s. Diese Eigenschaft folgt aus der disreten Strutur der Impulsantwort h(n), deren Fouriertransformierte gerade die Übertragungsfuntion sein muß. Um die Übertragungsfuntion H(f) nun in einfacherer Form schreiben zu önnen, führen wir eine Variablen-Transformation durch, die (im allgemeinen Fall) als z-transformation bezeichnet wird: z= π e if T (IV. 9) Für die Übertragungsfuntion ergibt sich dann: πift ( ) Hf () = He = Hz () = K M α = N = β z z (IV.3)

18 8 Digitale Signalverarbeitung Abb. 4.8: Übertragungsfuntion, periodisch mit f s Wenn f sämtliche Werte der reellen Frequenzachse von - durchläuft, durchläuft z zylisch den omplexen Einheitsreis. Die Variablen- Transformation z = e πift ist damit eine onforme (d. h. loal winelerhaltende) Abbildung, die die reelle Frequenzachse auf den (omplexen) Einheitsreis transformiert. Die Verallgemeinerung dieser Variablen- Transformation auf die gesamte omplexe Ebene stellt dann die (weiter unten behandelte) allgemeine z-transformation dar. Als Beispiel betrachten wir zunächst den Fall eines einfachen nichtreursiven Filters zweiter Ordnung mit der Impulsantwort: α =, α =, α =, β = β = (IV.3) Als Differenzengleichung ergibt sich: yn ( ) = xn ( ) + xn ( ) + xn ( ) (IV.3) Die Übertragungsfuntion als Funtion von f sowie als Funtion von z ergibt sich damit zu:

19 Digitale Signalverarbeitung 9 πift ( ) He = πift + e + e 4πifT z Hz () = + z + z = ( z + ) hn ( ) =,, (IV.33) Abb. 4.9: Übertragungsfuntionen und Impulsantwort des nicht reursiven Filters Als zweites Beispiel behandeln wir ein reursives Filter erster Ordnung mit den Filteroeffizienten α =, α = α = α =, β =,9, β = β =. Als Impulsantwort errechnet sich: n hn ( ) = ( 9, ), n (IV.34) Abb. 4.: Impulsantwort Als Übertragungsfuntion H(f) und Übertragungsfuntion H(z) ergibt sich dann: Hf () =,9 e π ift

20 Digitale Signalverarbeitung Abb. 4.: Übertragungsfuntion von f und z Hz () =,9 z (IV.35) Anhand dieser Beispiele wird bereits deutlich, daß die z-transformierte die einfachste und am diretesten aus der Impulsantwort folgende Beschreibung eines digitalen Filters ist. Diese leichte Handhabbareit ist insbesondere durch die disrete Natur des behandelten linearen Systems bedingt. Für den allgemeinen Fall ergibt sich die folgende Definition der z- Hintransformation, die für ein beliebiges z gilt, sofern H(z) existiert: hn ( ) Hz ( ) = hnz ( ) n (IV.36) n= Um zu zeigen, daß diese Definition onsistent ist mit der oben durchgeführten Fouriertransformation mit anschließender Variablensubtitution, drücen wir h(n) wie folgt aus: hn ( ) = ht () n = T ht () δ ( tnt) n= πift πift H() f = h( n) e dt = h()( t δ t nt) e dt πift = ht () δ( tnte ) dt = = n= n= n= hne ( ) hnz ( ) πiftn n n= (IV.37) Bei der z-rüctransformation ergibt sich das Problem, daß die z- Transformierte auf einer gesamten Ebene (der omplexen Ebene) definiert ist (sofern sie in diesem Gebiet existiert), so daß für die Rüctransformation ein Linienintegral in der omplexen z-ebene angegeben werden muß. Dieses Linienintegral ann z. B. als Integral über den gesamten

21 Digitale Signalverarbeitung Einheitsreis, d. h. z = ausgeführt werden: Hz () hn () = Hzz () πi z = n dz (IV.38) Um diese Definition plausibel zu machen, önnen wir uns zum einen überlegen, daß der Integrationsweg bei der inversen Fouriertransformation, der über sämtliche Frequenzen von - bis + geht, für den Fall der z- Rüctransformation über den gesamten Einheitsreis gehen müßte. Andererseits önnen wir uns auch die z-rüctransformation für ein Signal h(n) ansehen, deren z-hintransformation wir ennen: πi n Hzz () dz= hz () πi n = z = dz = h ( ) δ( n ) πi, πi = für n n da z dz = πi für n = (IV.39) Dabei haben wir die Aussage des Cauchy schen Integralsatzes bzw. Residuen-Satzes benutzt, daß das Integral über eine geschlossene Kurve gerade den Wert annimmt, den eine Reihenentwiclung von H(z) bei dem Glied /z annimmt. Aus dieser Betrachtung folgt bereits die unmittelbare Anwendung der Sätze aus der Funtionentheorie für die digitale Signalverarbeitung. Weitere Eigenschaften der z-transformationen finden sich bei Oppenheim/Schafer, (975) Kapitel. Die oben erhaltene Darstellung der Übertragungsfuntion als Polynom M- ten Grades im Zähler und Polynom N-ten Grades im Nenner läßt sich auch dazu ausnutzen, zu einer anschaulichen Interpretation der z- Transformierten zu gelangen. Nach dem Hauptsatz der Algebra lassen sich Zähler und Nenner-Polynom in Linearfatoren zerlegen, wobei die Linearfatoren im Zähler der Form z - z o sind (z o bezeichnet die Nullstellen des Zählerpolynoms) bzw. der Form z - z pi (z pi bezeichnen dabei die Pole, d.h. die Nullstellen des Nenner-Polynoms). Es ergibt sich damit die folgende Produtdarstellung (Pol-Nullstellenzerlegung der Übertragungsfuntion)

22 Digitale Signalverarbeitung Hz ()= M ( zoz ) α = N ( zpiz ) i= (IV.4) Für den Betrag von H(z) ergibt sich damit aufgrund der Eigenschaft, daß der Betrag eines Produtes das Produt der Beträge ist, die folgende Zerlegung: Hz ()= Π Abstände zwischen z und den Nullstellen Π Abstände zwischen z und den Polen (IV.4) Abb. 4.: Geometrische Interpretation des Betrags von H(z) Als geometrische Interpretation dieser Formel ergibt sich der Betrag der Übertragungsfuntion bei einem festen, vorgegebenen Wert von z auf dem Einheitsreis als das Produt der Abstände zwischen diesem Wert zu sämtlichen Nullstellen geteilt durch das Produt aus den Abständen dieses Puntes zu sämtlichen Polen. Wenn eine Nullstelle damit dicht beim Einheitsreis liegt, wird der Betrag der Übertragungsfuntion sehr lein, während der Betrag sehr große Werte annimmt, wenn ein Pol sehr dicht an dem Einheitsreis liegt. Eine ähnliche Betrachtung läßt sich für die Phase der Übertragungsfuntion anstellen, die sich als die Summe über die Winel der Nullstellenabstände minus der Summe über die Winel der Polabstände interpretieren läßt. Mit dieser Pol-Nullstellenzerlegung der Übertragungsfuntion läßt sich daher aus der Verteilung der Pole und Nullstellen in der omplexen z-ebene die Eigenschaften der Übertragungsfuntionen qualitativ abschätzen. Umgeehrt lassen sich durch Vorgabe von Polen und Nullstellen die Eigenschaften der Übertragungsfuntion gut vorhersagen, so daß für das Filterdesign zumeist die Lage der Pole und Nullstellen und nicht die Werte der Koeffizienten in der Differenzgleichung vorgegeben werden. Für die Vorgabe von Nullstellen z o

23 Digitale Signalverarbeitung 3 und Polen z p gelten allerdings die folgenden Einschränungen: ) Die Nullstellen z bzw. die Pole z pi dürfen entweder reell sein oder nur in onjugiert-omplexen Paaren auftreten. Diese Einschränung folgt aus der Bedingung, daß die Koeffizienten α und β reell sein müssen, damit es sich um einen als reellen Filter realisierbares digitales Filter handelt. ) z p <, d. h. Pole dürfen nur innerhalb des Einheitsreises liegen. Diese Bedingung ist notwendig, damit der Filter stabil ist. Wenn ein Pol außerhalb des Einheitsreises liegt, existiert zwar eine z- Transformierte, als z-rüctransformation ergibt sich aber eine exponentiell ansteigende Impulsantwort, die damit einem nicht-stabilen Filter entspricht. Als Beispiel dazu betrachten wir das obige reursive Filter erster Ordnung mit der Übertragungsfuntion Hz ()= zz, z reell, z > p p p n hn ( )= z p (IV.4) d. h. die Impulsantwort divergiert (instabiles System). Als Pol-Nullstellendarstellung für die oben angeführten Beispiele eines nicht-reursiven Filters zweiter Ordnung bzw. reursiven Filters erster Ordnung ergeben sich folgende Zerlegungen: a) y( n) = x(n) + x(n ) + x(n ) ( )( ) Hz () = + z + z = ( ) z ( ) z (IV.43)

24 4 Digitale Signalverarbeitung Abb. 4.3: Geometrische Interpretation und Übertragungsfuntion des. Beispiels Dieses nichtreursive Filter hat somit eine doppelte Nullstelle bei - und agiert damit als Tiefpaßfilter, bei dem die halbe Abtastfrequenz genau auf abgeschwächt wird. b) yn ( ) = xn ( ) + 9, yn ( ) Hz () =, z p = 9, (IV.44) 9, z Abb. 4.4:. Beispiel Dieses reursive Filter erster Ordnung wirt ebenfalls als Tiefpaßfilter, wobei die Übertragungsfuntion bei der Frequenz um so spitzer und schärfer ausfällt, je dichter der Pol an den Einheitsreis rüct. IV. 4 Entwurf ( Design ) digitaler Filter

25 Digitale Signalverarbeitung 5 Während wir bisher nur den Fall vorgegebener Pole und Nullstellen und der daraus resultierenden Übertragungsfuntion bzw. Impulsantwort betrachtet haben, soll im folgenden das umgeehrte Problem betrachtet werden, in dem eine gewünschte Übertragungsfuntion vorgegeben wird und die Lage der Nullstellen bzw. Pole so gewählt werden soll, daß ein digitales Filter realisiert wird, das diesen gewünschten Eigenschaften möglichst nahe ommt. Die Vorgabe eines entsprechenden Filters ist in der Praxis immer dann wichtig, wenn die digital abgespeicherten Daten auf eine bestimmte Art gefiltert werden sollen. Die gewünschte Filterfuntion wird dabei innerhalb von gewissen Toleranzgrenzen vorgegeben. Abb. 4.5: Toleranzbereich der Übertragungsfuntion Im allgemeinen wird der Betrag der Übertragungsfuntion im Durchlaßbereich und im Sperrbereich mit jeweils einer gewissen Toleranzgrenze vorgegeben, sowie der Frequenzbereich des Übergangs zwischen diesen beiden Bereichen. Die grundlegende Frage des Filterdesigns ist es nun, wieviele Nullstellen und wieviele Pole man wo hinlegt, um diese Filterfuntion zu erreichen. Dabei ist folgende Vorgehensweise angebracht:.) Soll es sich um ein IIR (Infinite Impulse Response) oder ein FIR (Finite Impulse Response) Filter handeln? Ein IIR Filter hat die Vorteile eines geringen Implementierungsaufwandes bei hoher Filterwirung und die direte Übertragung lassischer Filterdesigns (z. B. Butterworth, Tschebycheff, Bessel-Filter etc.). Dagegen besitzt ein IIR-Filter den Nachteil, gegebenenfalls numerisch instabil zu sein, insbesondere wenn die Pole zu dicht am Einheitsreis liegen. Aufgrund von Rechenungenauigeiten bei den Filteroeffizienten und den zu verarbeitenden digitalen Daten önnen instabile (d. h. exponentiell anwachsende) Impulsantworten auftreten oder sogenannte Grenzzylen entstehen (d. h.

26 6 Digitale Signalverarbeitung periodisch durchlaufene Zustände des reursiven Filters). Außerdem weisen IIR-Filter eine Dispersion auf, d. h. die einlaufenden Signale werden je nach ihrer Frequenz unterschiedlich lang durch den Filter verzögert. Dadurch önnen impulsartige Eingangssignale am Ausgang star über den Zeitbereich verschmiert erscheinen. Obwohl mit einigen reursiven Filtertypen (Bessel-Filtern) die Dispersion im Durchlaßbereich minimiert wurde, ist dieser Filtertyp nicht zu verwenden, wenn eine hohe Impulstreue (d. h. eine möglichst geringe Verfälschung der Zeitfuntion des Signals) gewünscht wird. Ein FIR-Filter besitzt dagegen die Vorteile, numerisch stabil zu sein und bei symmetrischer Impulsantwort phasenlinear zu sein, d. h. es tritt eine Dispersion auf (Beweis siehe unten). Für diese Art von Filter sind analytische Lösungen mit geringem Designaufwand ausrechenbar (Windowing- Design mit Approximation idealer Übertragungsfuntionen) und es existieren auch numerische Optimierungsalgorithmen für das direte FIR- Filterdesign (z. B. Remez-Exchange-Algorithmus, vgl. Oppenheim/Schafer,975). Der wichtigste Nachteil von FIR-Filtern ist dagegen der relativ hohe Implementierungsaufwand, der für eine vorgegeben Filterwirung auftritt. Im allgemeinen ist die Filterwirung, die durch einen Pol erreicht wird, wesentlich stärer als die Filterwirung, die durch eine Nullstelle bewirt wird. Um den oben angeündigten Beweis der Phasenlinearität eines FIR- Filters mit symmetrischer Impulsantwort zu erbringen, betrachten wir den Fall, daß hn ( ) = hn ( n), für n N (IV.45) Dabei gehen wir davon aus, daß N ungerade ist. Als z-transformierte ergibt sich davon:

27 Digitale Signalverarbeitung 7 N n ( Nn) [ ] n Hz ( ) = hnz ( ) = hn ( ) z + z n= n= N/ = z h( n) z + z n= N N N/ n = z h( n) Re z, da h( n) reell ist = z H() z N/ N N N n n N n= (IV.46) N (Für den Fall, daß N gerade ist, muß der Term mit h separat behandelt werden, an der prinzipiellen Rechnung änderst sich sonst nichts). Die Übertragungsfuntion läßt sich demnach aufspalten in einen reinen reellen Fator, der den Betrag der Übertragungsfuntion ennzeichnet und einen Phasenfator z -N/, der einer frequenzunabhängigen Verzögerung mit der halben Länge der Impulsantwort entspricht. Damit wäre der Beweis einer ausbleibenden Dispersion bei symmetrischer Impulsantwort erbracht..) Nachdem der Typ des Filters festgelegt wurde, ist die Ordnung des Filters (d. h. die Anzahl der Nullstellen bzw. Pole) festzulegen. Generell gilt, daß die Approximation an eine ideale Übertragungsfuntion umso besser wird, je höher die Ordnung des Filters ist. Da andererseits der Implementierungsaufwand mit zunehmender Ordnung zunimmt, muß in der Praxis immer ein Kompromiß zwischen beiden Anforderungen gefunden werden. Dieser Kompromiß hängt star von den jeweiligen Randbedingungen ab (d. h. inwiefern der Implementierungsaufwand ein härteres Kriterium als die Güte der Übertragungsfuntion darstellt). 3.) Schließlich muß die Methode ausgewählt werden, mit der das gesuchte Filter entworfen werden soll. Dazu gibt es zum einen die Möglicheit einer numerischen, computerbasierten Optimierung der Koeffizienten eines digitalen Filters, die vorwiegend für FIR-Filter durchgeführt wird, und andererseits die Übertragung eines analogen Filterdesigns in ein digitales Filter. Bei dieser letzteren Methode gibt es zum einen das Impulsantwort-invariante Design, bei der die Impulsantwort des analogen Filters in ein digitales Filter übernommen wird (dies ist vorwiegend beim Design von FIR-Filtern der Fall) oder ein Übertragungsfuntion-invariantes Design, bei dem die Übertragungsfuntion des analogen Filters (im Frequenzbereich von ) in die entsprechende Übertragungsfuntion des digitalen

28 8 Digitale Signalverarbeitung Filters (von bis zur halben Abtastfrequenz) übertragen wird. Diese Design-Methode wird vorwiegend bei IIR-Filtern angewandt. Beim Impulsantwort-invarianten Design von FIR-Filtern, das auch als Windowing-Design bezeichnet werden ann, wird die ideale Impulsantwort der gewünschten analogen Übertragungsfuntion ausgerechnet. Falls diese ideale Übertragungsfuntion beispielsweise eine rechtecförmige Tiefpaßcharateristi darstellt, wäre die zugehörige Impulsantwort eine sinc-funtion. Die Idee besteht nun darin, diese analoge, ideale Impulsantwort zum einen zu disretisieren und zum anderen mit einer Fensterfuntion zu multiplizieren, um aus der unendlichen Impulsantwort eine realisierbare, endliche Impulsantwort zu machen. h(t) h(n) = h(t) T (t) (IV.47) Abb. 4.6: Ideale Impulsantwort (z.b. sinc) Abb. 4.7: Gefensterte Impulsantwort Wenn in das vorgegebene Zeitfenster M Samples der disretisierten Impulsantwort hineinpassen, läßt sich h(t) durch ein nichtursives FIR-Filter approximieren, für dessen Koeffizienten gelten: α i = h(i) für i M (IV.48)

29 Digitale Signalverarbeitung 9 Abb. 4.8: Strutur des FIR-Filters Um die resultierende Übertragungsfuntion des FIR-Filters zu berechnen, stellen wir zunächst die disretisierte, abgeschnittene Impulsantwort h d (n) als Multipliation mit einer Kammfuntion und einem Fenster sowie einer zeitlichen Verschiebung um MT/ dar (d. h. Verschiebung um die halbe Fensterlänge): h ( n ) = d h ( t ) () t w t * MT T t MT δ MT H () f = [( H() f ( f T )) W ( f M T )] z (IV.49) d Abb. 4.9: Übertragungsfuntion, verschmiert mit FFT der Fensterfuntion

30 3 Digitale Signalverarbeitung Die resultierende Übertragungsfuntion des digitalen Filters ist zum einen (als Konsequenz der zeitlichen Abtastung) eine periodische Überlagerung der ursprünglichen Übertragungsfuntion. Außerdem ist die ideale Übertragungsfuntion mit der Fouriertransformierten des Fensters verschmiert, so daß als resultierende Übertragungsfuntion nicht notwendigerweise eine glatte, die ideale Übertragungsfuntion immer optimal approximierende Funtion herausommt. Stattdessen önnen bei der Approximation Überraschungen und Interpolations-Produte auftreten (z. B. durch das Gibb sche Phänomen). Um diese Abweichungen zu vermeiden, sollte ein möglichst langes Fenster mit einer möglichst δ-förmigen Fouriertransformierten verwendet werden. Dazu bieten sich die bereits in der Frequenzanalyse vorgestellten Hamming- oder Hanning-Fenster an. Außerdem önnen die Vorgaben für die ideale Übertragungsfuntion leicht modifiziert werden, um eine möglichst gute Approximation an den gewünschten Verlauf der Übertragungsfuntion zu erhalten. Nähere Einzelheiten finden sich z. B. bei Oppenheim/Schafer (975) oder bei Lacroix (98). Beim Frequenzgangs-invarianten Filterdesign, das für die Konstrution von IIR-Filtern angewendet wird, besteht die grundlegende Idee darin, die auf der Laplace s-ebene optimierte Lage von Polen und Nullstellen eines analogen digitalen Filters so auf die z-ebene zu übertragen, daß die gesamte Frequenzachse der Laplace-Transformation eineindeutig auf den Einheitsreis der z-transformation abgebildet wird. Dies ann so geschehen, daß bei tiefen Frequenzen annäherungsweise eine : Abbildung zwischen dem analogen und disreten Fall auftritt, während bei hohen Frequenzen die Abbildung auf den Einheitsreis immer stärer omprimierend wirt, so daß die Frequenzen ± bei - auf dem Einheitsreis abgebildet werden. Abb. 4.: Gesamte Frequenzachse, eineindeutig auf Einheitsreis abgebildet Dabei wird die line s-halbebene in das Innere des Einheitsreises der z- Ebene abgebildet und die Imaginärteil-Achse der Laplace-Ebene wird auf den Rand des Einheitsreises in der z-ebene transformiert. Die Punte ±i der Laplace-Ebene werden auf die Punte z = - übertragen. Dem-

31 Digitale Signalverarbeitung 3 entsprechend wird der Frequenzgang eines analogen Filters in den Frequenzgang eines digitalen Filters so übertragen, daß die Übertragungsfuntion zu höheren Frequenzen star zusammengedrängt wird. Abb. 4.: Frequenzgang des analogen und digitalen Filters Um eine derartige Abbildung zwischen der Laplace-s-Ebene und der z- Ebene der z-transformation zu realisieren, bedient man sich der sogenannten bilinearen Transformation: s = z T + z T + s z = T (IV.5) s Diese bilineare Transformation bewirt eine Frequenz-Verzerrung (Frequency-Warping) bei der die Zuordnung zwischen der ursprünglichen Frequenz des analogen Filters f a und der neuen Frequenz des digitalen Filters f d, folgendermaßen realisiert ist: πt f a π fd = tan (IV.5) Abb. 4.: Frequenzverzerrung ( Warping )

32 3 Digitale Signalverarbeitung Für sehr leine Werte von s ist diese Abbildung approximativ gleich. Als Beispiel rechnen wir den Fall eines Butterworth-Tiefpaß-Filters zweiter Ordnung (Grenzfrequenz ω )durch. Hs () =, + s+ s ω ω z s T + z Hz () = z + ω T + z z + ω T + z ( + z ) = + + z ω T ω T ω T ω T ω T z (IV.5) Aus den zwei Polen des analogen Butterworth-Tiefpasses zweiter Ordnung werden daher zwei Pole und zwei Nullstellen (d. h. eine doppelte Nullstelle bei z = -) für den digitalen Fall. Weiterhin muß man beachten, daß die ursprüngliche Grenzfrequenz des analogen Filters nicht mehr für den digitalen Filter gilt. Stattdessen gilt für die gewünschte Grenzfrequenz des digitalen Filters: f d = fs = 8 8 T πt ω = π fa = tan f d = π T T 758. (IV.53) ω liegt wegen der Frequenzverzerrung daher etwas höher als π f d. Als Übertragungsfuntion H(z) ergibt sich damit:

33 Digitale Signalverarbeitung 33 ( + z ) Hz () = z z (IV.54) Die Lage der Polstellen z p/, sowie die Koeffizienten α bis α errechnen sich demnach zu: Zp =, 474 ±. 333i / α 64 =,, α =,8, α = 64, (IV.55) ) Nachdem nun auf verschiedene Arten und Weisen digitale Filter aus analogen Filter-Design-Prinzipien berechnet wurden, soll noch erwähnt werden, daß digitale Filter aus digitalen Prototyp-Filtern errechnet werden önnen, indem spezielle Tiefpaß-Hochpaß- oder Tiefpaß-Bandpaß- Transformationen verwendet werden. Die grundlegende Idee ist dabei die Abbildung des Einheitsreises in der z-ebene auf sich selbst, z. B. für den Fall einer Tiefpaß-Hochpaß-Transformation mit der Änderung z -z. Abb. 4.3: Hoch- Tiefpaß-Transformation D. h. aus der Tiefpaß-Übertragungsfuntion mit einem Maximum des Betrags in der Nähe von Null wird eine Hochpaß-Übertragungsfuntion, bei der das entsprechende Maximum bei z = - auftritt. Eine große Klasse von weiteren Transformationen, mit denen ein digitales Filter in ein anderes digitales Filter umgerechnet werden ann, findet sich in Tabelle..

34 34 Digitale Signalverarbeitung Tabelle 4.: Transformationen eines Tiefpaß-Digital-Filter-Prototyps mit der Grenzfrequenz θ p Filter-Typ Tranformation associated design formulas Tiefpaß z Z Z = α α α θ ω θ ω = + sin sin p p p p ω p = gewünschte Grenzfrequenz Hochpaß + + Z Z α α α ω θ ω θ = + cos cos p p p p ω p = gewünschte Grenzfrequenz Bandpaß Z Z Z Z α α α ω ω ω ω = + cos cos p = cot tan ω ω θ ω,ω = gewünschte obere und untere Grenzfrequenz Bandsperre Z Z Z Z α α α ω ω ω ω = + cos cos p = tan tan ω ω θ ω,ω = gewünschte obere und untere Grenzfrequenz

35 Digitale Signalverarbeitung 35 Literatur Allen, J. B. (977): Short term spectral analysis, synthesis, and modification by discrete Fourier transform, IEEE Trans. ASSP 5, Alrutz, H.: Über die Anwendung von Pseudorauschsignalen zur Messung an linearen Übertragungssystemen ; Dissertation, Universität Göttingen, 983. Claasen, T. A. C. M., Meclenbräuer, W. F. G. (98): The Wigner- Distribution- a Tool for Time-Frequency Signal Analysis, Part I-III, Philips Journal of Research 35, 7-5, 76-3, Cohen, L. (989): Time-Frequency Distributions-A Review; Proceedings of the IEEE 77, Golomb, S.W.: Shift Register Sequences; Holden-Day 967. Kollmeier, B.: Meßmethodi, Modellierung und Verbeserung der Verständlicheit von Sprache; Habilitationsschrift, Universität Göttingen, 99. Kunze, H. J.: Physialische Meßmethoden; Teubner, 986. Lacroix, A.: Digitale Filter: Eine Einführung in zeitdisrete Signale und Systeme; Oldenbourg, 98. Lüe, H. D.: Signalübertragung; Springer, 989. Mildenberger, O.: System- und Signaltheorie, Vieweg, 989. Müller, R.: Rauschen; (Halbleiter-Eletroni), Springer, 99. Oppenheim, A. V., Schafer, W.: Digital Signal Processing; Prentice Hall, 975. Papoulis, A. : Probabilitiy, random variables and stochastic processes, McGraw Hill, 965 Papoulis, A: The Fourier Integral and its Applications; McGraw-Hill, 96 Press, W. Teuolsy, S., Vetterling, W. T., Flannery, B. P., Numerical Recipes in C-The Art of Scientific Computing; Cambridge University Press, 99. Ronneberger, D.: Vorlesungssript Spetral- und Korrelationsanalyse, III.Physialisches Institut, Universität Göttingen, 989. Sachs L.,: Angewandte Statisti: Anwendung statistischer Methoden; Springer, 99. Schroeder, M. R.: Fractals, Chaos, Power Laws; Freeman, 99. Schroeder, M. R.: Number theory in science and communication; Springer, 986. Stearns, S. D.: Digitale Verarbeitung analoger Signale, Oldenbourg, 979.