Wir betrachten zwei Hyperkreise und im n dimensionalen. Raume, die durch die beiden Hyperkugelpaare(1)

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1 Differentioigeometrie der Kreisscharen III, von Soji NAKAJIMA in Hamburg, Deutschland. Wir betrachten zwei Hyperkreise und im n dimensionalen. Raume, die durch die beiden Hyperkugelpaare(1) dargestellt sind. Wir definieren mit u nd setzen voraus. Dann haben wir fur die Buscholtransformationen (1) zu berucksichtigen. Die c in (1) sind von den c in (1) vdllg unabhaiigige neue Grossen. Nattirlich haben wir Vektoren und Tensoren bezuglich der Bu. scheltransformationen von einerseits und von andererseits zu unterscheiden. Nun definieren wir zu A den reziproken Tensor A und zu A den reziproken Tensor A wie folgt: wobei (1) Vergl. Differentialgeometrie der Kreissoharen (II), The Tohoku Math. Journal, Bd. 31 (1929).

2 DIFFERENTIALGEOMETRIE DER KREISSOHAREN III. 211 Es gilt dann und In haben wir ein Grossensystem, bei dern beide Arten von Indizen vorkoinmen, einen,, gemischten gtensor, der sich nach (2) transformiert. Die Matrix (3) in dem eine lineare Beziehung der Form (4) besteht. Die Bedeutung von (4) ist aber die dass es eirie Hyperkugel gibt, auf der beide Hyperkreise im n dimensionalen Rauine liegen. Offenbar ist diese Bedingung gleichbedeutend mit der, dass ich beide Hyperkreise in zwei Punkten im n dimensionalen Raume s schneiden. Gilt (3) nicht, so sind die vier Hilfshyperkugeln linear unabhangig, und ihre Invarianten gegendber Mobiu stransforinationen sich sicher alle aus den skalaren Produkten bilden lassen. Diese sind aber alle durch die drei Tensoren A, A, S gegeben, von denen die ersten zwei wegen der Symmetrie Aƒ ƒà=aƒàƒ, AƒÊ=AƒÊ e aus drei, der letzte aus vier j Skalarprodukten bestehen. Insgesamt haben wir also 10 solche Skalarprodukte. Um Invarianten unserer Hyperkreise zu bekommen, haben wir aus ihnen solche Ausdriicke zu bilden, die gegeniiber (1) invariant ind. s Die Bildung der Invarianten der beiden Hyporkreise kommt also darauf hinaus, aus den Formeln(2) (2) VergL, Differentialgeometrie der Kreisscharen (II), The T8hoku Math. Journal, Bd. 31 (1929).

3 212 SOJI NAKAJIMA: and (2) die 8 Grossen cƒ ƒà, cƒêzu eliminieren. Wir warden also 10-8=2 Invarianten der Hyperkreise orwarten. Wir bilden nun den in ƒ und ƒà symcnetrischen Tensor (5) der nur indizen erster Art tragt. Statt der 7 Grossen AƒÊ, Sƒ fuhren wir nun drei Grossen Tƒ ƒà neben. Aƒ ƒà ein, damit haben wir 4 Grossen verloren. Da aber in den Transformationsformeln von Aƒ ƒàund Tƒ ƒà die c, garnicht vorkommen, entspricht dieser Verlustgerade der Elimination der 4 Grossen cƒê. Es bleibt die Aufgabe, dieinvarianten der gloichartigen Tensoren Aƒ ƒà, Tƒ ƒà zu bestimmen. Das entspricht aber gerade dem Problem der Invariantenbestirnmung zweier quadratischer Formen im Gebiet zweier Variabeln, wie sie in der Flachentheorie vorkommt. Der Gauss'schen und mittleren Krummung entsprechend haben wir die beiden Invarianten (6) wo T die Determinante Tƒ ƒà ist. Aus (5) ergibt rich (7) Somit hat man auch (8) Aus (8) ersieht man, dass die Invarianten in den Tensoren beider schel symmetrisch sind, trotz der Bevorzugung des ersten Buschels durch Einfuhrung von Tƒ ƒà bei ihrer Herleitung. Wir betrachten nun spezielle Falle von Hyperkreispaaren. (A). K=O. In diesem Falle gibt es durch jeden der beiden Hyperkreise eine Hyperkugel, die zu dem andern senkrecht ist. Denn es gibt nur dann eine Hyperkugel mit

4 DIFFERENTIALGEOMETRIE DER KREISSOHAREN III. 213 (9) wenn die Detertminante des Gleichungsystems in den hotnogenen Grossen pa verschwindet, also wenn S=K=O Dieselbe Bedingung erhalt man auch fur den Fall der Existenz einer analogen Hyperkugel im zweiten Buschel. Umgekehrt folgt aus K=O, die Moglichkeit der Gleichung (9) und somit die Existenz von und analog von. (B). H=O. Fuhren wir Fur und zwei Paare normierter senkrechter Hilfshyperkugeln ein, so wird u nd Da H aus einer Summe von Quadraten Hyperkreise nur dann verschwinden, wenn besteht, kann es fur ist. Sa=0 Im Komplexen ist die geometrische Bedeutung von H=O die folgende: Durch jeden der Hyperkreise gibt es ein Paar von Hyperkugeln, die einen Scheitel des anderen Hyperkreises enthalten. Fur H=O bestehen die beiden Paare aus zueinander senkrechten Hyperkugeln. Solche Hyperkreispaare seien harmonisch genannt. Der Beweis ist bei Einfuhrung der Scheitel als Hilfskugeln leicht zu fiffiren. (C). Sa=0, so mit H=K=O. In diesem Falle ist nach (9) j ede Hyperkugel durch zu senkrecht, und umgekehrt auch Hyperkugel durch senkrecht zu. D). 2H-K=1. In diesem Fall schneiden sich die Hyperkreise. ( Denn durch ist die gemeinsame Orthogonalhyperkugel beider Hyperkreise gegeben.

5 214 SOJI NAKAJIMA: DIFFERENTIALGFEONETRIE DER KREISSOEiAREN. Sie schrumpft fur sich schneidende Hyperkreise auf einen Punkt. zusammen die Rechenregel fuhrt aber auf die behauptete Gleichung. Wenn wir anstatt (10) nehmen, Satz: dann folgt aus (A) der Satz: In dem Fall gibt es durch die t Hyperkreise eine Hyperkugel, die zu den andern senkrecht ist, wobei Si gemischte Tensoren zwischen (10) rind. Aus (B) (C) und (D), kann man die ahnlichen Satze beweison. Mai 1928