Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/08, Mathematik, Wirtschaftsingenieurwesen

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1 Studiegag Modul Art der Leistug Klausur-Kezeiche Wirtschaftsigeieurwese Mathematik Prüfugsleistug Datum WB-WMT-P 0804 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführede zur Verfügug gestellte Papier, ud gebe Sie sämtliches Papier (Lösuge, Schmierzettel ud icht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführede ab. Eie icht vollstädig abgegebee Klausur gilt als icht bestade. Beschrifte Sie jede Boge mit Ihrem Name ud Ihrer Immatrikulatiosummer. Lasse Sie bitte auf jeder Seite / ihrer Breite als Rad für Korrekture frei, ud ummeriere Sie die Seite fortlaufed. Notiere Sie bei jeder Ihrer Atworte, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösuge ud Lösugswege sid i eier für de Korrektate zweifelsfrei lesbare Schrift abzufasse. Korrekture ud Streichuge sid eideutig vorzuehme. Uleserliches wird icht bewertet. Bei ummerisch zu lösede Aufgabe ist außer der Lösug stets der Lösugsweg azugebe, aus dem eideutig hervorzugehe hat, wie die Lösug zustade gekomme ist. Die Klausur-Aufgabe köe eibehalte werde. Dies bezieht sich icht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf dee Lösuge eizutrage sid. Zur Prüfug sid bis auf Schreib- ud Zeicheutesilie ausschließlich die achstehed geate Hilfsmittel zugelasse. Werde adere als die hier agegebee Hilfsmittel verwedet oder Täuschugsversuche festgestellt, gilt die Prüfug als icht bestade ud wird mit der Note 5 bewertet. Bearbeitugszeit: 0 Miute Hilfsmittel: Azahl Aufgabe: Höchstpuktzahl: 00 HFH-Tascherecher Formelsammlug Mathematik Vorläufiges Bewertugsschema: Puktzahl Note vo bis eischl ,0 sehr gut 90 94,5, sehr gut 85 89,5,7 gut 80 84,5,0 gut 75 79,5, gut 70 74,5,7 befriediged 5 9,5,0 befriediged 0 4,5, befriediged 55 59,5,7 ausreiched 50 54,5 4,0 ausreiched 0 49,5 5,0 icht ausreiched Viel Erfolg! Klausuraufgabe, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese WB-WMT-P 0804

2 Klausuraufgabe, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Bitte beachte Sie: Die Aufgabe W ud W sid ur vo de Studierede des Studiegages Wirtschaftsigeieurwese zu bearbeite. Studierede des Soderstudiegages Techik für Absolvete wirtschaftswisseschaftlicher Fachrichtuge bearbeite bitte astelle dieser Aufgabe die Aufgabe T ud T am Ede der Aufgabeblätter. Aufgabe W ur für Studiegag Wirtschaftsigeieurwese 8 Pukte Ei Kredit über ,00 wird i gleich große Tilgugsrate zurückgezahlt. Der Zissatz beträgt 0 % p.a. Die Zise im elfte Jahr betrage 0.000,00. Bereche Sie die Laufzeit des Kredites. Aufgabe W ur für Studiegag Wirtschaftsigeieurwese Pukte Herr Musterma zahlt begied mit dem Jahre 00 jährlich achschüssig folgede Beiträge i seie Lebesversicherug: : 5.000, : 0.000, : 0.000,00 ab 0: keie Beiträge. Die Lebesversicherug wird im Erlebesfall am Ede des Jahres 00 ausbezahlt. Die Verzisug des eibezahlte Kapitals über die Laufzeit der Lebesversicherug beträgt 7 % p.a. (Ziseszis).. Wie hoch ist der Auszahlugsbetrag der Lebesversicherug?. Welche kostate jährliche achschüssige Beiträge zwische 00 ud 05 hätte zum gleiche Auszahlugsbetrag geführt? Hiweis: Sollte Sie bei Teilaufgabe. keie Lösug erhalte, so gehe Sie bitte bei der Lösug der Teilaufgabe. vo eiem Auszahlugsbetrag ,00 aus. WB-WMT-P 0804 Seite /

3 Klausuraufgabe, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Aufgabe Pukte Gegebe seie die Matrize 5 4 a b 4 7 A = ud B =. 7 8 Bestimme Sie für die Matrix A die Elemete a ud b so, dass C = A B =. 9 4 Hiweis: Veraschauliche Sie sich die Matrixmultiplikatio mit dem Schema vo FALK. Aufgabe 4 0 Pukte Bestimme Sie die allgemeie Lösug der Differetialgleichug x y = xe x y +. Aufgabe 5 4 Pukte Für das Widerstadsmomet W eies Balkes mit rechteckigem Querschitt Breite b ud der Höhe h gilt die Beziehug W ( b, h) = bh. Als vollstädige Messergebisse sid b = ( 80 ± ) mm ud h = ( 40 ± ) mm gegebe. 5. Bestimme Sie mit Hilfe des quadratische Fehlerfortpflazugsgesetzes die allgemeie Lösug für die kombiierte Stadardusicherheit u (W ). 5. Gebe Sie für die vollstädige Messergebisse die ummerische Lösug für die kombiierte Stadardusicherheit u (W ) a. 8 Aufgabe 5 Pukte Gegebe ist die Fuktio z = f ( x, y) = x + xy y mit D = { x, y) x R, y R} (. Utersuche Sie diese Fuktio auf Extrema. Welche Art vo Extremwerte liegt vor? WB-WMT-P 0804 Seite /

4 Klausuraufgabe, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Bitte beachte Sie: Die Aufgabe T ud T sid ausschließlich ur vo de Studierede des Soderstudiegages Techik für Absolvete wirtschaftswisseschaftlicher Fachrichtuge zu bearbeite. Aufgabe T 4 Pukte I für die Fuktio f ( x) = l(si x) de Defiitiosbereich, die Nullstelle ud die Extremwerte (Agabe vo x i Bogemaß). Bestimme Sie im Itervall = [ 0, π] Aufgabe T Pukte Die Fläche zwische dem Graphe eier Fuktio (x) I = a, b eie Schwerpukt. Die y-koordiate des Schwerpuktes lässt sich mit Hilfe der folgede Formel bereche: b ( f ( x)) dx a ys =, a < b. b a f ( x) dx f ud der x-achse besitzt im Itervall [ ] Bereche Sie die y-koordiate des Schwerpuktes der Fläche, die durch de Graphe der Fuktio f ( x) = 4 x ud die x-achse begrezt wird. Als Itervallgreze a ud b solle die Nullstelle der Fuktio f (x) ageomme werde. WB-WMT-P 0804 Seite /

5 Korrekturrichtliie zur Prüfugsleistug Mathematik am Wirtschaftsigeieurwese WB-WMT-P 0804 Für die Bewertug ud Abgabe der Prüfugsleistug sid folgede Hiweise verbidlich: Die Vergabe der Pukte ehme Sie bitte so vor, wie i der Korrekturrichtliie ausgewiese. Eie summarische Agabe vo Pukte für Aufgabe, die i der Korrekturrichtliie detailliert bewertet worde sid, ist icht gestattet. Nur da, we die Pukte für eie Aufgabe icht differeziert vorgegebe sid, ist ihre Aufschlüsselug auf die eizele Lösugsschritte Ihe überlasse. Stoße Sie bei Ihrer Korrektur auf eie adere richtige als de i der Korrekturrichtliie agegebee Lösugsweg, da ehme Sie bitte die Verteilug der Pukte sigemäß zur Korrekturrichtliie vor. Rechefehler sollte grudsätzlich ur zur Abwertug des betreffede Teilschrittes führe. Wurde mit eiem falsche Zwischeergebis richtig weitergerechet, so erteile Sie die hierfür vorgesehee Pukte ohe weitere Abzug. Ihre Korrekturhiweise ud Puktbewertug ehme Sie bitte i eier zweifelsfrei lesbare Schrift vor. Die vo Ihe vergebee Pukte ud die daraus sich gemäß dem achstehede Noteschema ergebede Bewertug trage Sie i de Klausur-Matelboge sowie i das Formular Klausurergebis (Ergebisliste) ei. Bitte lege Sie Ihrer Bewertug das folgede Bewertugsschema zugrude: Puktzahl vo bis eischl. Note 95 00,0 sehr gut 90 94,5, sehr gut 85 89,5,7 gut 80 84,5,0 gut 75 79,5, gut 70 74,5,7 befriediged 5 9,5,0 befriediged 0 4,5, befriediged 55 59,5,7 ausreiched 50 54,5 4,0 ausreiched 0 49,5 5,0 icht ausreiched Die korrigierte Arbeite reiche Sie bitte spätestes bis zum 0. Juli 008 i Ihrem Studiezetrum ei. Dies muss persölich oder per Eischreibe erfolge. Der agegebee Termi ist ubedigt eizuhalte. Sollte sich aus vorher icht absehbare Grüde eie Termiüberschreitug abzeiche, so bitte wir Sie, dies uverzüglich dem Prüfugsamt der Hochschule azuzeige (Tel. 040 / bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de). Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese WB-WMT-P 0804

6 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Bitte beachte Sie: Die jeweils im Lösugstext ageführte Pukte ( ) gebe a, für welche Atwort die eizele Teilpukte für die Aufgabe zu vergebe sid. Lösug W vgl. SB, Absch.. 8 Pukte Da gleich große Tilgugsrate vereibart sid, hadelt es sich um eie Ratetilgug. Für die Zise i der j-te Periode eier Ratetilgug gilt (Formelsammlug 0.): [ S ( j T ] i Z j = 0 ). S0 i Z j Umstelle ach der Tilgugsrate T ergibt: T = ( j ) i. Mit S 0 = , 00, j =, Z = 0.000, 00 ud i = p 00 = 0, ( p =0 %) folgt ,00 0, 0.000,00 T = = 0.000,00. ( ) 0, Für die Tilgugsrate gilt (Formelsammlug 0.) S0 T =. Umstelle ach ud Eisetze ergibt S ,00 = = = 5 Jahre. T 0.000,00 WB-WMT-P 0804 Seite /0

7 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug W vgl. SB, Absch../. ud SB, Absch.. Pukte : Reteedwert für achschüssige Eizahluge vo 5.000,00 über 5 Jahre: q R = r (Formelsammlug 9.). q Mit r = 5.000, 00, = 5 ud q =, 07 folgt 5,07 R 5 = 5.000,00 = 8.75,70. 0,07 Verzisug des erhaltee Reteedwertes bis eischließlich 00 (5 Jahre): K = K 0 q (Formelsammlug 8.). Mit K 0 = 8.75, 70, = 5 ud q =, 07 folgt 5 5 = K = 8.75,70,07 79., : Reteedwert für achschüssige Eizahluge vo 0.000,00 über 5 Jahre: R. q = r q Mit r =0.000, 00, = 5 ud q =, 07 folgt 5,07 R 5 = 0.000,00 = ,9 0,07 Verzisug des erhaltee Reteedwertes bis eischließlich 00 (0 Jahre): K = K 0 q. Mit K 0 = , 9, = 0 ud q =, 07 folgt 0 0 = K = ,9,07.5, : Reteedwert für achschüssige Eizahlug vo 0.000,00 über 5 Jahre: R. q = r q Mit r = 0.000, 00, = 5 ud q =, 07 folgt 5,07 R 5 = 0.000,00 = 5.04,78 0,07 WB-WMT-P 0804 Seite /0

8 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Verzisug des erhaltee Reteedwertes bis eischließlich 00 (5 Jahre): K = K 0 q. Mit K 0 =5.04, 78, = 5 ud q =, 07 folgt 5 0 = K = 5.04,78,07.4,8. Für de Auszahlugsbetrag folgt K = K + K + K = 79., +.5,74 +.4,8 5.77, =. Barwert der Verzisug (bezoge auf das Jahr 05): K K 0 = (Formelsammlug 8.) q Mit K = 5.77, 8, = 5 ud q =, 07 folgt 5.77,8 K 0 = = 5.4,75. 5,07 Der Barwert etspricht dem Reteedwert eier achschüssige Rete mit Eizahluge i de Jahre Für die Reterate folgt ach Formelsammlug 9.: R ( q ) r =. q Mit R = K 5.4, 75, = 5 ud q =, 07 folgt 5 0 = 5.4,75 0,07 r = = 0.07,59. 5,07 Hiweis: Bei Verwedug vo K = , 00 ergibt sich eie Rate vo r = 8.5, 90. Die Pukte sid etspreched zu verteile. WB-WMT-P 0804 Seite /0

9 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug vgl. SB, Absch.. Pukte 4 a b 4 A =, Schema vo FALK: 4 a b B = 7 8, C = A B = Aus dem Schema folgt: a + b = a 7 + b = 70 Umforme liefert Gleichuge mit de Ubekate a ud b: a + 7b = (I) 7 a + 8b = 8 (II) Aus (I) folgt: 7b a = Eisetze i (II) liefert 7b 7 + 8b = 8 ( 49b) + 48b = 8 b = 8 b = Somit ist 7b a = = = WB-WMT-P 0804 Seite 4/0

10 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug 4 vgl. SB 8.0, Absch... 0 Pukte x y = xe x y + (ihomogee Dgl. Ordug der Form y + g( x) y = h( x) ). Schritt: Lösug der homogee Dgl y + x y = 0 Lösug über Treug der Variable, allgemeie Lösugsformel (Formelsammlug.): = g( x)dx yh C e Mit g ( x) = x folgt somit = x dx yh C e. x d = x yh x = C e Hiweis: Wird das Verfahre der Treug der Variable detailliert ausgeführt, so ist die gleiche Azahl der Pukte zu vergebe.. Schritt: Löse der ihomogee Dgl Lösug durch Variatio der Kostate C i y h : x y = c( x) e Differeziere ud Eisetze i die Ausgagsgleichug der ihomogee Dgl, allgemeie Lösugsformel (Formelsammlug.): g( x)dx c ( x) = h( x) e. Mit g ( x) = x ud x h( x) = xe folgt d x x x c ( x) = xe e x x x x c ( x) = xe e = xe Hiweis für Korrektore: x x Der etstadee Ausdruck c ( x) = xe ka mit de Mittel ud Methode aus Studiebrief 7 Itegralrechug icht geschlosse itegriert werde. Die Aufgabe ist für die Studierede damit icht vollstädig lösbar. Durch Festlegug des Fachbereiches Techik vom ist die Aufgabe 4 mit maximal Pukte zu bewerte. Die damit maximale Gesamtpuktzahl vo 9 Pukte wird abschließed durch eie Korrekturfaktor auf die dem Notespiegel äquivalete Puktskala umgerechet (Äderug des Bewertugsmaßstabes). WB-WMT-P 0804 Seite 5/0

11 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug 5 vgl. SB 8.0, Absch.../.. 4 Pukte siehe ÜA. W ( b, h) = b h, vollstädige Messergebisse: b = ( 80 ± ) mm ; h = ( 40 ± ) mm 5. Awedug quadratisches Fehlerfortpflazugsgesetz (Formelsammlug.): u( W ) = W W u ( b) + u ( h). b h Bildug der partielle Ableituge: W h W = = b b W = b h = W. h h Damit folgt: u( W ) = W u ( b) + W u ( h) b h u( W ) = W u ( b) + W u ( h) b h u ( W ) = W u( b) u( h) +. b h Hiweis: Das Verwedug vo W bei der Bestimmug der partielle Ableituge führt hier zu eier W W Vereifachug der Lösugsdarstellug. Wird = h ud = bh verwedet, wird b h als Ergebis u ( W ) = ( ) h u b bhu( h) + erzielt, die Pukte sid etspreched zu erteile. 5. Aus de vollstädige Messergebisse folgt: u ( b) = mm, u ( h) = mm. Eisetze i Ergebis aus Teilaufgabe 5. liefert mit de Messergebisse h = 40 mm : b = 80 mm ud u( W ) = = 47,745 0 mm = 47,75 cm WB-WMT-P 0804 Seite /0

12 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Hiweis: ( ) ( ) Wird als Ergebis vo Teilaufgabe 5. ( ) h u b bhu h u W = + verwedet, erhält ma das gleiche Resultat, die Pukte sid etspreched zu erteile. Lösug vgl. SB 9, Absch Pukte siehe ÜA 4.: z = f ( x, y) = x + xy y, ( x, y) { x R R} D =, y Bestimmug der partielle Ableituge. Ordug: f x = x + y f y = x y Nullsetze der partielle Ableituge liefert das Gleichugssystem: x x + y y = = 0 0. (I) (II) Aus (I) folgt: y = x y = x. Eisetze i (II) ergibt: 4 x x = 0 x x = 0 x x = Somit ist x = 0 ud x = 0 x = x = 8 x = 8 =. 4 4 Mit x = 0 folgt aus Mit x = folgt aus y = x somit y = 0. y = x somit y =. Die statioäre Pukte sid somit P (0, 0) ud P (, ). WB-WMT-P 0804 Seite 7/0

13 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Es ist die hireichede Bedigug f xx ( x, y ) f yy( x, y ) f xy( x, y ) 0 zu überprüfe. Bildug der partielle Ableituge. Ordug: f xx = x, f yy = y, f xy = f yx =. Betrachtug vo P (0, 0) : fxx(0, 0) f yy(0, 0) fxy(0, 0) = 0 0 = < 0. Also liegt i P (0, 0) ei Sattelpukt vo f ( x, y) vor. Betrachtug vo P (, ) : fxx(, ) f yy(, ) fxy(, ) = ( ) ( ) = 08 > 0. Da die hireichede Bedigug erfüllt ist ud f xx(, ) = < 0 gilt, liegt i P (, ) ei (lokales) Maximum vo f ( x, y) vor. > WB-WMT-P 0804 Seite 8/0

14 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug T vgl. SB 4, 5 ud Pukte Defiitiosbereich: f ( x) = l(si x) Logarithmusfuktio l z ist ur defiiert für z > 0, damit muss si x > 0 sei. Im Itervall = [ 0, π] I ist si x > 0 für ( 0, π) x, damit = { x R < x < π} D 0. Nullstelle: Aus l(si x ) = 0 folgt si x = (wege l = 0 ) I = { x R < x < π} D 0 gilt si x = für π x =. Extrema: Bilde der. ud. Ableitug: f ( x) = l(si x) cos x f ( x) = cos x = = cot x (Awedug der Ketteregel) si x si x f ( x) = (Ableitug elemetarer Fuktioe, Formelsammlug 8.) si x Notwedige Bedigug für ei Extrema ist f ( x) = 0 : f ( x) = cot x = 0 I = { x R < x < π} D 0 gilt cot x = 0 für π x =. Hireichede Bedigug für ei Extrema ist f ( x) = 0 ud f ( x) 0 : f ( x) = si π f = si x = < 0 π π Damit liegt i x = ei lokales Maximum vor. WB-WMT-P 0804 Seite 9/0

15 Korrekturrichtliie, Prüfugsleistug 0/08, Mathematik, Wirtschaftsigeieurwese Lösug T vgl. SB 7, Absch../. ud 4. Pukte Bestimmug der Nullstelle (Itegratiosgreze): = Aus 4 x 0 folgt umittelbar x = ud x. Schwerpukt: b ( f ( x)) dx a ys =, a < b. b f ( x) dx a Berechug des Itegrals im Neer: = x (4 x ) dx = 4x 8 8 = ( 8 ) ( 8 + ) = = Berechug des Itegrals im Zähler: 4 ( 4 x ) dx = ( 8x + x ) dx 5 8 x = x x = = 4 + = + = y 5 S = = = 5 WB-WMT-P 0804 Seite 0/0