Ein integriertes Verkehrsnachfrage- und Bewertungsmodell Ansatz einer Synthese von Mikroökonomie und Verkehrsplanung

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1 Ein integriertes Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodell Ansatz einer Synthese von Mikroökonomie und Verkehrsplanung Zur Erlangung des akademishen Grades Doktoringenieur (Dr.-Ing.) von der Fakultät Verkehrswissenshaften Friedrih List der Tehnishen Universität Dresden genehmigte DISSERTATION von Diplomingenieur Christian Winkler geboren am 07. November 1978 Gutahter: Prof. Dr.-Ing. habil. Dieter Lohse Prof. Dr.-Ing. Kay W. Axhausen Tag der Einreihung: Tag der Verteidigung:

2 Danksagung II Danksagung Mein ausdrükliher und herzliher Dank gilt meinem Doktorvater Herrn Prof. Dieter Lohse für das entgegengebrahte Vertrauen, die Betreuung dieser Arbeit und die damit verbundenen fahlihen und persönlihen Gesprähe und Ratshläge. Herrn Prof. Kay Axhausen möhte ih für die Übernahme des Zweitgutahtens und die wertvollen Anregungen danken. Ein weiterer Dank gebührt Herrn Prof. Bernhard Wieland für die fruhtbaren Diskussionen und Hinweise aus Siht der Ökonomen. Herrn Prof. Reinhold Maier und Herrn PD Christian Shiller danke ih für die Gewährung der Freiräume, die zur eigenständigen Bearbeitung des Forshungsthemas außerordentlih wihtig waren. Darüber hinaus bedanke ih mih bei Herrn PD Christian Shiller für die große Unterstützung und Motivation im Besonderen in der Anfangszeit der Bearbeitung. Außerdem haben noh weitere Personen einen Anteil am Gelingen dieser Arbeit. Für untershiedlihste Hilfe und Anregungen bin ih dankbar: Stephanie Haubold, Jana Monse, Juliane Pillat, Dr. Heidrun Teihert und Frank Zimmermann. Ein ganz besonderer und persönliher Dank gilt meiner Familie. Vor allem meinen Eltern, die mih stets auf meinem Weg unterstützt haben sowie meiner Shwester Susanne für das sorgfältige Korrekturlesen der Arbeit. Aber der größte Dank gilt meiner Frau Anja, niht nur für den Verziht auf gemeinsame Wohenenden und Abende, sondern auh für die grenzenlose Geduld, sih die neu erworbenen Erkenntnisse erläutern zu lassen. Спаси бо за всё!

3 Autorenreferat III Autorenreferat In dieser Arbeit wird ein Modell zur integrierten Verkehrsnahfrage- und Nutzenberehnung für den privaten Personenverkehr entwikelt, mit dem eine harmonisierte Bewertung der entsheidungsrelevanten Aufwände der Verkehrsteilnehmer in der Verkehrsnahfragemodellierung und der Nutzen-Kosten-Analyse ermögliht wird. Notwendig ist die Modellentwiklung und die damit verbundene Zusammenführung, da die derzeit praktizierte methodishe Trennung zum einen niht theoriekonform mit der Nutzen-Kosten-Analyse ist, zum anderen daraus fehlerhafte Ergebnisse im Rahmen der ökonomishen Gesamtbewertung einer Verkehrsinvestition resultieren können. Das entwikelte Modell liefert als Ergebnis einerseits die Verkehrsnahfrage für den Ohne- und Mitfall (ohne und mit zu bewertender Verkehrsinvestition), andererseits wird die Änderung der Konsumentenrente der Verkehrsteilnehmer ausgegeben, die unmittelbar in die Nutzen-Kosten-Analyse einfließt. Das zugrundegelegte Verkehrsnahfragemodell ist das EVA-Logit-Modell, das dem EVA-Grundmodell in Form eines Logit-Modells entspriht und damit mikroökonomish interpretierbar und integrierbar ist. Die Nutzenänderung der Verkehrsteilnehmer wird durh das Integral des EVA-Logit-Modells bestimmt und mit Hilfe der in der Verkehrsnahfrage modellierten Bewertungspräferenzen der Verkehrsteilnehmer gegenüber den Reisekosten monetarisiert. Das Ergebnis stellt die konsistent bestimmte Änderung der Konsumentenrente dar. Die Funktionsfähigkeit und Verwendbarkeit des entwikelten Modells wird anhand einer Beispielanwendung getestet.

4 Inhaltsverzeihnis IV Inhaltsverzeihnis 1 Einleitung Ausgangssituation Zielsetzung Aufbau der Arbeit Mikroökonomishe Grundlagen Der individuelle Entsheidungsprozess Die mikroökonomishe Konsumtheorie Das ökonomishe Marktmodell Prinzipien der ökonomishen Gesamtbewertung Änderung der Konsumentenrente Ursprung Vertiefende Betrahtungen Aggregation und soziale Wohlfahrtsfunktion Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung Verkehrsangebotsmodellierung Verkehrsnetzmodellierung Ermittlung bewertungsrelevanter Aufwände Verkehrsnahfragemodellierung Verkehrserzeugung Quelle-Ziel-Gruppen Ermittlung der Kennwerte Randsummenbedingungen Ziel- und Verkehrsmittelwahl EVA-Grundmodell Überblik EVA-Grundmodell auf Basis des BAYESshen Axioms EVA-Grundmodell auf Basis der Informationsgewinnminimierung Stohastishe diskrete Wahltheorie...48

5 Inhaltsverzeihnis V Hintergrund Allgemeiner Ansatz Logit-Modell Bewertung von Alternativen Bewertungsfunktionen Verknüpfung von Aufwänden Routensuh- und Routenwahlverfahren Routensuhverfahren Routenwahlmodelle Gleihgewiht zwishen Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage Der Verkehrsmarkt Nutzergleihgewiht Systemoptimum Gleihgewihtsebenen Induzierter Verkehr Bewertungskonzepte Konsum- und Zufallsnutzentheorie Indirekte Nutzenfunktion Bedingte indirekte Nutzenfunktion Unbedingte indirekte Nutzenfunktion Eigenshaften indirekter Nutzenfunktionen Eigenshaften des Erwartungswertes des unbedingten indirekten Nutzens Eigenshaften von Zufallsnutzenmodellen Änderung des internen Nutzens und der Konsumentenrente Logsum-Differenz Konzept Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente Halbierungsregel Konzept Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente Erweiterte approximative Ansätze Numerishe Integration bei großen Aufwandsänderungen Dreiek-Methode bei ungleihen Alternativenmengen Einkommenseffekte und Nihtlinearitäten Aggregation der veränderten Konsumentenrenten

6 Inhaltsverzeihnis VI 4.3 Ersparnisansatz Konzept Induzierter Verkehr beim Ersparnisansatz Einshätzung und Vergleih der Bewertungsansätze Wert der Reisezeiteinsparung Standardisierte Bewertungsverfahren Einige ausgewählte Verfahren Besonderheiten standardisierter Bewertungsverfahren Einheitliher Wert der Reisezeiteinsparungen Wahrgenommene und niht wahrgenommene Kosten Modellentwiklung Anforderungen und Überblik EVA-Logit-Modell Randsummenbedingungen Unelastishe Randsummenbedingungen Elastishe Randsummenbedingungen Vorzeihen und Größe der Pseudo-Potentiale Prognoseansatz Bewertung von Aufwänden EVA-Transformationen Mehrere Reisekosten- und Reisezeitkomponenten Verkehrsmittelspezifishe Bewertung Eigenshaften der EVA-Nutzenfunktion Änderung des internen Nutzens Korrigierte Logsum-Differenz zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens Methodishe Problematik der Logsum-Differenz Korrigierte Logsum-Differenz für unelastishe Randsummenbedingungen Korrigierte Logsum-Differenz für elastishe Randsummenbedingungen Halbierungsregel zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens Halbierungsregel bei unelastishen Randsummenbedingungen Halbierungsregel bei elastishen Randsummenbedingungen

7 Inhaltsverzeihnis VII Erweiterte approximative Ansätze zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens Numerishe Integration bei großen Aufwandsänderungen Dreiek-Methode bei ungleihen Alternativenmengen Grenznutzen des Einkommens Änderung der Konsumentenrente Ansätze zur Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente Berüksihtigung tageszeitabhängiger Aufwands- und Verkehrsnahfrageänderungen Berüksihtigung projektinduzierter Raumstrukturänderungen Einordnung in die ökonomishe Gesamtbewertung Beispielanwendung Vorbemerkungen Verkehrsmodellierung Bestimmung der Pseudo-Potentiale Bewertung Änderung des internen Nutzens Grenznutzen des Einkommens Änderung der Konsumentenrente Ersparnis Zusammenfassung und Ausblik Literaturverzeihnis Anhang

8 Abbildungsverzeihnis VIII Abbildungsverzeihnis Abbildung 2-1: Individueller Optimierungsvorgang...11 Abbildung 2-2: Das ökonomishe Marktmodell...12 Abbildung 2-3: Konsumentenrente eines Konsumenten...17 Abbildung 3-1: CR-Funktion nah LOHSE...28 Abbildung 3-2: Quelle-Ziel-Gruppen-Einteilung mit 17 Gruppen...32 Abbildung 3-3: Kurzshreibweise einer zweidimensionalen Verkehrsstrommatrix...37 Abbildung 3-4: Ableitungsansätze simultaner Ziel- und Verkehrsmittelwahlmodelle...38 Abbildung 3-5: Vergleih der exponentiellen und der EVA-2-Bewertungsfunktion...58 Abbildung 3-6: Vergleih der Elastizitäten der exponentiellen und der EVA-2- Bewertungsfunktion...59 Abbildung 3-7: Box-Tukey-Transformationen der Aufwände...63 Abbildung 3-8: EVA-2-Transformationen der Aufwände...63 Abbildung 3-9: EVA-2-Transformationen der Parameter...65 Abbildung 3-10: Gleihgewiht von Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage...69 Abbildung 3-11: Shematisher Rükkopplungsprozess zwishen Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage...72 Abbildung 4-1: Halbierungsregel...92 Abbildung 4-2: Numerishe Integration bei großen Aufwandsänderungen...95 Abbildung 4-3: Interner Nutzen bei Einführung einer neuen Alternative...97 Abbildung 4-4: Numerishe Integration bei Einführung einer neuen Alternative...98 Abbildung 4-5: Ersparnisansatz und induzierter Verkehr Abbildung 5-1: Grundstruktur des integrierten Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodells Abbildung 5-2: EVA-Nutzenfunktionen in Abhängigkeit eines Aufwandes a Abbildung 5-3: Verlauf der zweiten Ableitung der EVA-Nutzenfunktion nah der Reisekostenkomponente Abbildung 5-4: Beispiel Zielwahl mit unelastishen Randsummenbedingungen Abbildung 5-5: Nutzenänderung bei konstantem Zielverkehrsaufkommen Abbildung 5-6: Nutzenänderung bei Erhöhung des Zielverkehrsaufkommens Abbildung 5-7: Subjektiver Wert der Reisezeiteinsparung der Komponente Abbildung 5-8: Shematishe Darstellung des Bewertungsmoduls Abbildung 5-9: Verkehrsplanerishe und ökonomishe Komponenten in einer ökonomishen Gesamtbewertung Abbildung 6-1: Berehnungsstufen Abbildung 6-2: Verkehrsangebotsmodell der Stadt Zwikau Abbildung 6-3: Umlegungsergebnis des MIV im Ohnefall Abbildung 6-4: Umlegungsergebnis des MIV im Mitfall Abbildung 6-5: MIV-Differenznetz Abbildung A-1: Einfahes Kennwertmodell für den Personenverkehr

9 Tabellenverzeihnis IX Tabellenverzeihnis Tabelle 4-1: Vergleih der Bewertungskonzepte Tabelle 4-2: Zeitwerte je Fahrtzwek und Verkehrsmittel für ausgewählte Länder Tabelle 4-3: Gegenüberstellung ausgewählter standardisierter Bewertungsverfahren Tabelle 5-1: Berehnungsansätze der Änderung der Konsumentenrente exakte Berehnung mittels der Logsum-Differenz Tabelle 5-2: Berehnungsansätze der Änderung der Konsumentenrente Näherung mittels der Halbierungsregel Tabelle 6-1: Bewertungsrelevante Aufwände im Beispiel Tabelle 6-2: Quelle-Ziel-Gruppen im Beispiel Tabelle 6-3: Notwendige Umrehnungen in VISEVA Tabelle 6-4: Verwendete Berehnungsansätze zur Bestimmung der exakten Änderung des internen Nutzens Tabelle 6-5: Ergebnis Änderung des internen Nutzens Tabelle 6-6: Ergebnis Änderung des internen Nutzens je Ortsveränderung Tabelle 6-7: Modellierte Grenznutzen des Einkommens Tabelle 6-8: Ergebnis Änderung der Konsumentenrente Tabelle 6-9: Ergebnis Zerlegte Änderung der Konsumentenrente Tabelle 6-10: Ergebnis Transformierte Aufwandsersparnisse Tabelle 6-11: Ergebnis Monetarisierte Aufwandsersparnisse

10 Anhangverzeihnis X Anhangverzeihnis Anhang A: Einfahes Kennwertmodell für den Personenverkehr Anhang B: Ableitung des Logit-Modells Anhang C: EVA-Grundmodell als universales Logit-Modell Anhang D: Verkehrsstrombasierte Berehnung der Nutzenänderung mit Pseudo- Potentialen Anhang E: Verkehrsaufkommen und Modal-Split des Ohne- und Mitfalls je Quelle-Ziel-Gruppe und Verkehrsmittel Anhang F: Nutzenänderungsergebnisse auf Basis der korrigierten Logsum-Differenz

11 Abkürzungsverzeihnis XI Abkürzungsverzeihnis BPR BVWP CR-Funktion DM EA EVA-Modell EWS FGSV HR IIA-Eigenshaft MID MIV MRS MS Exel MS NI NKA ÖPV Pkw QZG RSB SB SrV svtts TAG TUBA VISEVA VISUM VSS vtts Bureau of Publi Roads Bundesverkehrswegeplan Capaity Restraint Funtion (Kapazitätsbeshränkungsfunktion) Dreiek-Methode Ersparnisansatz Simultanes Erzeugungs-, Verteilungs- und Aufteilungsmodell Empfehlungen für Wirtshaftlihkeitsuntersuhungen an Straßen Forshungsgesellshaft für Straßen- und Verkehrswesen Halbierungsregel Independene from Irrelevant Alternatives Mobilität in Deutshland Motorisierter Individualverkehr Grenzrate der Substitution (marginal rate of substitution) Mirosoft Exel Modal-Split Numerishe Integration Nutzen-Kosten-Analyse Öffentliher Personenverkehr Personenkraftwagen Quelle-Ziel-Gruppe Randsummenbedingung Standardisierte Bewertung von Verkehrswegeinvestitionen des Öffentlihen Personennahverkehrs System repräsentativer Verkehrsbefragungen subjektiver Wert der Reisezeiteinsparung (subjetive value of travel time savings) Transport Analysis Guidane Transport User Benefit Appraisal, ein für das britishe Verkehrsministerium entwikeltes Softwareprogramm zur ökonomishen Bewertung von multimodalen Verkehrsmaßnahmen Programmsystem der PTV AG, Verkehr in Städten und Regionen, Erzeugung-Verteilung-Aufteilung Programmsystem der PTV AG, Verkehr in Städten und Regionen, Umlegung Shweizerisher Verband der Strassen- und Verkehrsfahleute Wert der Reisezeiteinsparung (value of travel time savings)

12 Notationen XII Notationen Es werden die für die vorliegende Arbeit wihtigsten Zeihen aufgelistet. Niht aufgeführt sind Parameter. a Aufwand A k Verkehrsmittelaufkommen eines Verkehrsmittels k A n Alternativenmenge des Entsheidungsträgers n soziales Gewiht in Wohlfahrtsfunktion BG Besetzungsgrad der Fahrzeuge B ijk Aufwandsbewertung der Quelle-Ziel-Relation ij mit dem Verkehrsmittel k Quelle-Ziel-Gruppe / verhaltenshomogene Gruppe C Kapazität einer Streke C k Verkehrsmittelkonstante E (). Operator Erwartungswert E Ersparnis E (). Operator mittlerer Erwartungswert e stohastishe Nutzenkomponente (Störgröße) f A, f I äußere und innere Bewertungsfunktion fa k Faktor zur Einhaltung der Randsummenbedingung des Verkehrsmittelaufkommens fq i, fz j Faktoren zur Einhaltung der quell- und zielseitigen Randsummenbedingungen F indirekter Nutzen / bedingter indirekter Nutzen (bedingte Optimierung) * F unbedingter indirekter Nutzen / maximaler Nutzen einer Entsheidungssituation ** F unbedingter indirekter Pseudo-Nutzen / maximaler Pseudo-Nutzen einer Entsheidungssituation F deterministisher Anteil des bedingten indirekten Nutzens g Generalisierte Kosten ga Generalisierter Aufwand GA Generalisierter Gesamtaufwand GN Grenznutzen h Transformationsfunktion I Informationsgewinn KR Konsumentenrente k Reisekostenkomponenten l LAGRANGE-Multiplikator, Grenznutzen des Einkommens me monetäre Einsparung M Mitfall Verkehrsstärke auf der Streke s M s

13 Notationen XIII n Individuum/repräsentativer Verkehrsteilnehmer/Entsheidungsträger O Ohnefall OV Ortsveränderung P Wahrsheinlihkeitsmaß p* Gleihgewihtspreis p i Preis eines Gutes i q i, z j Lagefaktoren Q i Quellverkehrsaufkommen des Verkehrsbezirks i P Q Quellverkehrspotential des Verkehrsbezirks i i Q,Z i j,a k Quell-, Ziel- und Verkehrsmittelaufkommen ohne Einhaltung entsprehender vorgegebener Verkehrsaufkommen q, t, y Pseudo-Potentiale für Quelle i, Ziel j und Verkehrsmittel k i j k rk Reisekosten RK Gesamtreisekosten rz Reisezeit RZ Gesamtreisezeit s Streke SG Sättigungsgrad t 0 Fahrzeit bei M=0 TM Fahr- bzw. Wartezeit in Abhängigkeit der Verkehrsstärke M u direkter Nutzen (ermittelt über direkte Nutzenfunktion) u b alternativenspezifisher Nutzen der Alternative b (Kontext diskrete Wahlmodelle) u deterministishe Nutzenkomponente (Kontext diskrete Wahlmodelle) V Gesamtverkehrsaufkommen v ijk Verkehrsstrom von Verkehrsbezirk i nah Verkehrsbezirk j mit Verkehrsmittel k v ijkr Verkehrsstrom v ijk mit einer bestimmten Route r v ijkrt Verkehrsstrom v ijkr zu einem bestimmten Zeitpunkt t W gesellshaftlihes Wohlfahrtsmaß X unabhängige erklärende Variable einer Nutzenfunktion x i konsumierte Menge des Gutes i x i (p i ) MARSHALLshe Nahfragefunktion für das Gut i x, o, p LAGRANGE-Faktoren (zur Ableitung des EVA-Grundmodells) i j k y Geldeinkommen (Budget) Z j Zielverkehrsaufkommen des Verkehrsbezirks j P Z Zielverkehrspotential des Verkehrsbezirks j j z Reisezeitkomponenten

14 Einleitung 1 1 Einleitung 1.1 Ausgangssituation Investitionsmaßnahmen im Verkehrswesen sind oftmals mit einem erheblihen finanziellen Aufwand verbunden, der durh das Gemeinwesen eines Staates erbraht werden muss. Da die knapper werdenden finanziellen Ressouren begrenzt sind und öffentlihe Projekte um diese Mittel konkurrieren, werden z. B. in Deutshland auf Bundesebene für solhe Maßnahmen gemäß dem Haushaltsgrundsätzegesetz (HGrG) 6 Abs. 2 (vgl. BMJ [18]) sowie der Bundeshaushaltsordnung (BHO) 7 Abs. 2 (vgl. BMJ [17]) Wirtshaftlihkeitsuntersuhungen gefordert. Im Verkehrssektor erfolgen Wirtshaftlihkeitsanalysen im Rahmen von Maßnahmenuntersuhungen, die das Kernstük der verkehrsplanerishen Bearbeitung darstellen (vgl. FGSV [52] S. 14). Die Untersuhung von Investitionsmaßnahmen umfasst dabei, neben der Entwiklung von Handlungskonzepten, die für die konkrete Wirtshaftlihkeitsuntersuhung unmittelbar relevanten Shritte der Abshätzung (Quantifizierung) und der Bewertung der Projektwirkungen. Die Wirkungsabshätzung beinhaltet im Wesentlihen die Ermittlung der Änderung der - Verkehrsnahfrage, - Aufwände der Verkehrsteilnehmer (z. B. Reisezeiten, Reisekosten), - Einnahmen des Staates bzw. des Betreibers, - externen Kosten (z. B. Unfallkosten, Lärmkosten). Die Quantifizierung der meisten Projektwirkungen basiert unmittelbar auf der Änderung der Verkehrsnahfrage, die mittels Verkehrsnahfragemodellen bestimmt wird. Im Anshluss der Wirkungsabshätzung erfolgen die Bewertung der Projektwirkungen und deren Aggregation zu einer Gesamtgröße. Die ökonomishe Gesamtbewertung wird mit Hilfe eines Bewertungsverfahrens durhgeführt, wobei die Nutzen-Kosten-Analyse das bedeutendste wirtshaftlihkeitsanalytishe Verfahren darstellt. Die Nutzen-Kosten- Analyse ist ein Werkzeug der Wohlfahrtsökonomie, die ein Teilgebiet der Mikroökonomie ist. Sie stellt den a priori monetär vorliegenden Investitionskosten zu monetarisierende Nutzenänderungen gegenüber und weist die Vorteilhaftigkeit einer Maßnahme aus, wenn der Nutzen die Kosten übersteigt. Eine große Herausforderung stellt die Ermittlung der Nutzenänderungen der Verkehrsteilnehmer einer Verkehrsmaßnahme dar, auf die durh die veränderte Verkehrsnahfrage

15 Einleitung 2 und die veränderten Aufwände geshlossen werden kann. Hierfür geht die Nutzen-Kosten- Analyse davon aus, dass über den individuellen Nutzen jeder Einzelne selbst am besten urteilen kann. Aus diesem Grund bedient sih die Nutzen-Kosten-Analyse der mikroökonomishen Konsumtheorie zur Ermittlung der individuellen Nutzenänderungen und unterliegt somit klaren theoretishen Regeln und Anforderungen bzgl. des Verhaltens und Bewertens der einzelnen Individuen. Von zentraler Bedeutung dabei ist, dass die Ermittlung der Nahfrage und des Nutzens eine modelltheoretishe Einheit darstellt. Auf den Verkehr übertragen ergibt sih somit die Notwendigkeit einer integrierten Verkehrsnahfragemodellierung und Nutzenberehnung der Verkehrsteilnehmer. Die in der Verkehrsplanungspraxis übliherweise angewandten Verfahren verstoßen jedoh gegen diese Anforderung, da die Quantifizierung und die Bewertung der Projektwirkungen meist zwei völlig voneinander entkoppelte Berehnungsshritte darstellen. Während die Modellierung der Verkehrsnahfrage in den letzten Jahrzehnten einer stetigen Weiterentwiklung und Verfeinerung unterworfen wurde, besitzt die Betrahtung und Entwiklung einer theoriekonsistenten, integrierten Verkehrsnahfrage- und Nutzenermittlung der Verkehrsteilnehmer in der verkehrsplanerishen Fahliteratur kaum Präsenz. Ausnahmen, die sih mit dieser Problematik auseinandersetzen und dabei sowohl ökonomishe als auh verkehrsplanerishe Aspekte betrahten, sind z. B. BATES [8], HELMS [66], DE JONG ET AL. [79] oder WILLIAMS [155]. Neben dem erwähnten theoretishen Konflikt, der sih aus der entkoppelten Verkehrsnahfrage- und Nutzenberehnung ergibt, gehen dadurh auh zahlreihe für die Bewertung wihtige Zusammenhänge und Ergebnisse des Verkehrsnahfragemodells verloren. Werden z. B. niht alle relevanten Nahfragedimensionen in der Nutzenberehnung beahtet, so ergeben sih von der realen Nutzenänderung abweihende Ergebnisse, wie ZÖLLIG und AXHAUSEN jüngst in [162] untersuhten. Dies führt zur Fehlallokation der Ressouren und verhindert die maximal möglihe Wohlfahrtssteigerung. 1.2 Zielsetzung Aus den vorangegangenen Ausführungen wird einerseits der Dissens zwishen den mikroökonomishen Anforderungen und der praktishen Umsetzung der Nutzenberehnung der Verkehrsteilnehmer in der Verkehrsplanung deutlih. Andererseits ergeben sih dadurh fehlerhafte Ergebnisse, die negative praktishe Folgen in Form von falshen Projektprioritäten haben können. Es ist daher das zentrale Ziel dieser Arbeit diesen Konflikt im Detail zu beleuhten und mittels eines integrierten Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodells zu beheben. Dabei wird ausshließlih privater Personenverkehr betrahtet, da sih sowohl dessen Verkehrsnahfragemodellierung als auh die ökonomishe Bewertung der Projektwirkungen für die Verkehrsteilnehmer wesentlih von anderen Verkehrsarten, z. B. dem Wirtshaftsverkehr, untersheiden und eigenständige Forshungsfelder darstellen.

16 Einleitung 3 Ebenfalls werden keine externen Kosten in dem zu entwikelnden Modell betrahtet, da sie keinen Bestandteil von Verkehrsnahfragemodellen darstellen. Der ökonomishe Bewertungsteil des Modells beinhaltet somit ausshließlih die Bestimmung der monetären Projektwirkungen auf die Verkehrsteilnehmer des privaten Personenverkehrs. Die Interdisziplinarität der gestellten Aufgabe erfordert sowohl eine ausführlihe Betrahtung mikroökonomisher Zusammenhänge als auh verkehrsplanerisher Anforderungen an die Verkehrsnahfragemodelle. Zentrale Fragen, die in dieser Dissertation im Detail zu beantworten sind, lauten: - (1) Was sind mikroökonomishe Annahmen und Anforderungen an eine konsistente Nahfrage- und Nutzenberehnung? - (2) Welhe verkehrsplanerishen Anforderungen gibt es an die Verkehrsnahfragemodellierung und welhe Modelle sind geeignet? - (3) Existieren Ansätze für die integrierte Verkehrsnahfrage- und Nutzenberehnung und können diese als Grundlage dienen? - (4) Ist ein integriertes Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodell ableitbar? - (5) Genügt das in der Arbeit entwikelte integrierte Modell den mikroökonomishen und verkehrsplanerishen Anforderungen? Ad (1): Die mikroökonomishe Konsumtheorie beshreibt einen Modellansatz zur Ableitung von Nahfragemengen eines Individuums. Grundannahme dabei ist das Postulat der individuellen Nutzenmaximierung unter Beahtung des Einkommensbudgets, der Güterpreise und der individuellen Präferenzen bzgl. der Güter. Mit den sih ergebenden Nahfragemengen erreiht das Individuum das unter den gegebenen Umständen maximal möglihe Nutzenniveau. Das monetäre Äquivalent dieses maximalen Nutzens stellt die Konsumentenrente dar, der bei der integrierten Verkehrsnahfrage- und Nutzenberehnung eine zentrale Rolle zukommt. Die Beleuhtung der mikroökonomishen Zusammenhänge und Anforderungen soll den Rahmen der Theoriekonformität für verkehrsnahfragespezifishe Annahmen aufzeigen. Ad (2): Zentrales Anliegen der Verkehrsnahfragemodellierung ist die realistishe Abbildung des Verkehrsgeshehens und dessen Prognose. Dabei sollten die Modelle multimodal sein und alle verkehrsrelevanten Entsheidungen abbilden. Ein solhes Modell stellt das von LOHSE entwikelte EVA-Modell dar, das im Zentrum der Betrahtungen der Verkehrsnahfragemodellierung steht. Das EVA-Modell zeihnet sih im Besonderen durh die Einhaltung untershiedliher Randsummenbedingungen und die Modellierung nihtlinearer Bewertungspräferenzen der Verkehrsteilnehmer aus. Weiterhin ist auh das Logit-Modell von großer Bedeutung, da es zum einen den theoretishen Ursprung in der Mikroökonomie hat

17 Einleitung 4 und aus der Zufallsnutzenmaximierung abgeleitet ist, zum anderen eine leihte Berehnung der Verkehrsnahfrage ermögliht. Ad (3): Es ist zu reherhieren, ob und welhe Ansätze zur integrierten Verkehrsnahfrage- und Nutzenberehnung existieren und ob diese den mikroökonomishen Anforderungen genügen. Von Bedeutung dabei ist im Besonderen die Integrierbarkeit des Verkehrsnahfragemodells. Ad (4): Ziel dieses Shrittes ist die Entwiklung des EVA-Logit-Modells, das die gewünshten Eigenshaften des EVA-Modells (Randsummenbedingungen, Nihtlinearitäten) mit denen des Logit-Modells (mikroökonomishe Kompatibilität) verbindet, wodurh sowohl die verkehrsplanerishen als auh die mikroökonomishen Anforderungen erfüllt werden. Durh die Integration des Modells soll die Änderung der Konsumentenrente als monetäres Nutzenmaß bestimmbar sein. Das Ziel ist somit die Verzahnung der Verkehrsnahfragemodellierung und der Nutzenberehnung unter dem Blikwinkel beider Wissenshaftsgebiete. Ad (5): Es ist zu klären, ob das EVA-Logit-Modell den notwendigen Anforderungen genügt und konsistent ist. Hierfür muss es zum einen die gleihen Verkehrsnahfrageergebnisse liefern wie das EVA-Modell, zum anderen sind die mikroökonomishen Restriktionen mittels geeigneter Prüfmethoden nahzuweisen. 1.3 Aufbau der Arbeit Die vorliegende Arbeit gliedert sih in sieben Kapitel. Die nah der Einleitung folgenden Kapitel 2 bis 5 orientieren sih im Wesentlihen an den oben aufgeworfenen Fragen, wobei in Kapitel 2 die Vorstellung für die Arbeit relevanter mikroökonomisher Grundlagen erfolgt. Das daran anshließende Kapitel beshreibt die Grundlagen der Verkehrsangebotsund Verkehrsnahfragemodellierung. Im Zentrum der Betrahtungen stehen das EVA- Modell und die stohastishe diskrete Wahltheorie, deren bedeutendster Vertreter das Logit-Modell darstellt. Ein weiterer wihtiger Punkt in dem Kapitel ist die Gleihgewihtsmodellierung zwishen Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage mit Bezügen zum ökonomishen Marktmodell. Außerdem wird ein besonderes Augenmerk auf den induzierten Verkehr gelegt, da dieser im Rahmen der Nutzenquantifizierung eine große Bedeutung besitzt. In Kapitel 4 werden bestehende Bewertungskonzepte zur Ermittlung der Nutzenänderungen der Verkehrsteilnehmer vorgestellt. Das Kapitel umfasst dabei zunähst die

18 Einleitung 5 Betrahtung theoretisher Zusammenhänge hinsihtlih der mikroökonomishen Kompatibilität von Zufallsnutzenmodellen. Anshließend werden darauf aufbauend konkrete theoriekonsistente Ansätze zur Bestimmung der Nutzenänderungen aufgezeigt und diskutiert und abshließend die Nutzenermittlung der Verkehrsteilnehmer in standardisierten Bewertungsverfahren vorgestellt. Im fünften Kapitel erfolgt die Ableitung des EVA-Logit-Modells und dessen Prüfung auf verkehrsplanerishe und mikroökonomishe Anforderungen. Darüber hinaus wird ein Bewertungsmodul entwikelt, welhes die Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente durh die Integration des EVA-Logit-Modells umfasst. In Kapitel 6 wird das entwikelte integrierte Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodell anhand eines praktishen Beispiels getestet. Mit der Zusammenfassung und dem Ausblik shließt die Arbeit ab.

19 Mikroökonomishe Grundlagen 6 2 Mikroökonomishe Grundlagen In diesem Kapitel werden die für diese Arbeit notwendigen mikroökonomishen Grundlagen vorgestellt. Hierbei stehen die Aspekte individueller Entsheidungsprozess, mikroökonomishe Nahfragetheorie und Bewertung im Mittelpunkt. 2.1 Der individuelle Entsheidungsprozess Jeder bewusst durhgeführten Handlung liegt ein Entsheidungsprozess zugrunde. Zur modelltheoretishen Abbildung solher Handlungen sind Annahmen über die Determinanten dieses Prozesses notwendig. Der individuelle Entsheidungsprozess ist universal und stellt niht nur die Grundlage zur Strukturierung, Klassifizierung und Modellierung von ökonomishen Entsheidungen dar, sondern auh aller anderen Modelle, die das menshlihe Verhalten abbilden. Ein Individuum durhläuft bei einer Auswahlentsheidung untershiedlihe Phasen, wodurh der Entsheidungsprozess als Abfolge nahstehender sequentieller Shritte betrahtet werden kann (vgl. BEN-AKIVA/LERMAN [14] S. 31 f.): - Definition des Entsheidungsproblems, - Generierung von Alternativen, - Bewertung der Attribute der Alternativen, - Auswahl einer Alternative und - Umsetzung. Kernpunkt ist die Bewertung der Alternativen, da sie die Grundlage für die Auswahlentsheidung darstellt (vgl. EGGERT [45] S. 30). Eine spezifishe Entsheidungstheorie 1, die den obigen Ablauf des individuellen Entsheidungsprozesses unterstellt, weist folgende Elemente auf (vgl. BEN-AKIVA/LERMAN [14] S. 32): - Entsheidungsträger, - Auswahlalternativen, 1 Niht jede reale Auswahlentsheidung weist ein solhes exaktes Shema auf. Zum Beispiel kann ein Individuum auh nah Intuition oder Gewohnheit entsheiden. Stehen diese Entsheidungssituationen im Mittelpunkt, sind andere Entsheidungsmodelle zu verwenden.

20 Mikroökonomishe Grundlagen 7 - messbare Attribute der Alternativen und - eine Entsheidungsregel. Der Entsheidungsträger kann ein Individuum oder auh eine Gruppe von Personen (z. B. Haushalt, Organisation) sein. Jeder Auswahlentsheidung liegt per definitionem eine nihtleere Menge von Alternativen zugrunde. Die Menge der Alternativen, mit denen der Entsheidungsträger konfrontiert wird, sind jene Alternativen, die für ihn realisierbar sind. Diese Realisierbarkeit hängt von vershiedenen Nebenbedingungen ab, z. B. von der physishen Verfügbarkeit und dem Einkommen. In der klassishen Konsumtheorie (siehe Kapitel 2.2) werden unter Alternativen i. Allg. Güterbündel verstanden, die sih der Konsument leisten kann. Hinsihtlih der Attribute der Alternativen ist zu untersheiden, ob sih die zu vergleihenden Güterbündel aus jeweils homogenen oder heterogenen Gütern zusammensetzen. Homogene Güter sind völlig gleihartig. Sie werden im Güterbündel lediglih durh ihre Quantität untershieden. Heterogene Güter differieren in mehr Eigenshaften als der Menge und müssen dahingehend durh einen Vektor ihrer Attribute im Güterbündel repräsentiert werden. Dies trifft auh für die Güter der Verkehrsnahfrage zu. Für ein Entsheidungsproblem mit zwei oder mehr Alternativen wird eine Entsheidungsregel benötigt. Die Regel muss den internen Mehanismus beshreiben können, der vom Entsheidungsträger angewandt wird, um eine eindeutige Lösung zu finden. Hierbei heben sih insbesondere vier Kategorien heraus (vgl. BEN-AKIVA/LERMAN [14] S. 35 ff.): 2 - Dominanz, - Zielerfüllung, - Lexikographishe Regeln und - Nutzenmaximierung. Die in der Konsumtheorie bedeutendste und in dieser Arbeit relevante Regel ist die Nutzenmaximierung. Das Nutzenprinzip setzt voraus, dass die Attributwerte einer Alternative so zu einem Skalenwert zusammengefasst werden können, dass ein funktionaler Zusammenhang zwishen Skalenwert und Attributen vorliegt. Der Skalenwert repräsentiert dabei die Attraktivität der Alternative und wird als Nutzen bezeihnet, den der Entsheidungsträger versuht durh seine Alternativenauswahl zu maximieren. Die Nutzenfunktion zur Bestimmung des Nutzens ermögliht den Vergleih der Attribute und deren gegenseitige Kompensation. 2 In der Literatur gibt es zahlreihe untershiedlihe Ansätze für Entsheidungsregeln (siehe hierzu z. B. SLOVIC ET AL. [130] und SVENSON [137]).

21 Mikroökonomishe Grundlagen Die mikroökonomishe Konsumtheorie Diese Theorie zeigt eine Möglihkeit der konkreten Formulierung des Entsheidungsprozesses auf und gestattet dadurh die Ableitung mikroökonomisher Entsheidungs- und Nahfragemodelle. Als Entsheidungsträger wird ein Haushalt oder der Konsument betrahtet. Ferner gilt die Annahme, dass der Konsument Bündel von mehreren homogenen und beliebig teilbaren Gütern konsumiert. Hierin ist jedes Gut mit einer bestimmten Menge vertreten. Wesentlih komplexer sind die Bestimmungen hinsihtlih der Auswahlalternativen und der Entsheidungsregel. Zwar formuliert VARIAN ([148] S. 19): 3 Die ökonomishe Theorie des Konsumenten ist sehr einfah: Ökonomen nehmen an, dass die Konsumenten das beste Güterbündel wählen, das sie sih leisten können, die konkrete Gestaltung ist jedoh keineswegs trivial. Zu klären sind im Besonderen, was unter das Beste und leisten können zu verstehen ist. Bedeutende Elemente der mikroökonomishen Konsumtheorie sind: - Güterbündel, - Präferenzen, - Nutzen und - Budgetrestriktion. Das Güterbündel kann formal beshrieben werden durh (vgl. HANUSCH [62] S. 16): ( x,...,x ) x =. (2.1) 1 I Hierbei bezeihnet x i (i = 1,..., I) die konsumierte Menge des Gutes i und der Vektor x steht für das gesamte Güterbündel. Da die betrahteten Güter als homogen angesehen werden, erfolgt keine explizite Attributierung. Jedem Konsumenten steht nur ein bestimmtes Geldeinkommen (Budget) y zur Verfügung, welhes er maximal für den Konsum der Güter verwenden kann. Die Güter weisen zudem Preise auf, die mit p i (i = 1,..., I) bezeihnet werden. Die entsprehende Einkommensrestriktion bzw. Budgetbeshränkung lautet: å. (2.2) i i i y ³ p x Hieraus folgt, dass der Betrag, der für das gesamte Güterbündel ausgegeben werden kann, niht größer sein darf als der dafür zur Verfügung stehende Geldbetrag. Durh diese Einshränkung werden alle Güterbündel (Alternativen) eingegrenzt, die sih der Konsument leisten kann. 3 Die ökonomishe Theorie des Konsumenten bzw. die mikroökonomishe Konsumtheorie wird ebenfalls als mikroökonomishe Haushaltstheorie bezeihnet.

22 Mikroökonomishe Grundlagen 9 Die Beantwortung der Frage nah dem besten Güterbündel bedarf einer Entsheidungsregel, die hier auf dem Nutzenkonzept basiert. Der Nutzen wird dabei [...] lediglih als eine Möglihkeit, die Präferenzen zu beshreiben, angesehen (VARIAN [148] S. 52). Es stehen folglih die Präferenzen im Zentrum der Bewertung der Alternativen. In diesem Zusammenhang wird häufig vom rationalen Verhalten der Konsumenten gesprohen. Dieses Verhalten wird hierbei allerdings niht als Verhalten angesehen, das von einem Beobahter als vernünftig, klug oder weise betrahtet werden muss (vgl. DEMMLER [34] S. 11). Es ist hierunter vielmehr ein Konzept zu verstehen, das den Entsheidungsprozess selbst zu beshreiben versuht, wobei die Ausprägung der Präferenzen der Konsumenten gewissen Regeln folgen muss. Hierdurh wird eine modelltheoretishe Beshreibung einer Entsheidung, die eine eindeutige Lösung gestattet, ermögliht. Der Ansatz ist zunähst unabhängig von einer konkreten Formulierung der Präferenzen. Diese müssen jedoh die Axiome der Vollständigkeit, Reflexivität und Transitivität erfüllen (vgl. BEN- AKIVA/LERMAN [14] S. 38). Von besonderer Bedeutung ist die Transitivität, da Präferenzen diese Eigenshaft niht zwingend haben müssen. Sie ist somit eine Hypothese über das Entsheidungsverhalten, die erst die Formulierung der Entsheidungsregel ermögliht. Die Transitivität sagt aus, wenn ein Güterbündel A einem Güterbündel B vorgezogen wird und B einem Güterbündel C vorgezogen wird, so wird A dem C vorgezogen. Das Konzept des rationalen Verhaltens wird modelltheoretish durh den Prozess der Nutzenmaximierung unter Einhaltung der Budgetrestriktion realisiert, wodurh eine rationale Wahl eines Güterbündels erfolgt (individuelles Programm der optimalen Ressourenallokation). Hierfür ist die Aufstellung einer Nutzenfunktion 4 notwendig, durh die die Präferenzordnung der Konsumenten formal dargestellt werden kann und ein betrahtetes Güterbündel auf einen skalaren Nutzenwert abgebildet wird. Allgemein kann eine solhe Funktion geshrieben werden als (vgl. HANUSCH [62] S. 16): ( ) ( ) u = u x = u x,...,x, (2.3) 1 I wobei u der Nutzen ist, der dem Konsumenten aus dem Konsum des Güterbündels x entsteht. Auf Basis des so formulierten Nutzens lassen sih untershiedlihe Güterbündel miteinander vergleihen. Die Nutzenfunktion hat die Aufgabe, jedem möglihen Güterbündel eine Zahl so zuzuweisen, dass bevorzugte Bündel eine höhere Zahl aufweisen als weniger erwünshte (vgl. VARIAN [148] S. 52). Das individuelle Programm der optimalen Ressourenallokation entspriht formal einem Maximierungsproblem in Form des folgenden Lagrange-Ansatzes (vgl. VARIAN [147] S. 100): 4 Treffender als der Begriff Nutzenfunktion ist Präferenzfunktion, da die Funktion dem Vergleih von Güterbündeln auf Grundlage der Präferenzen der Konsumenten dient. In dieser Arbeit wird jedoh der in der Literatur dominierenden Bezeihnung Nutzenfunktion gefolgt.

23 Mikroökonomishe Grundlagen 10 L = u ( x,...,x 1 I) -l é æ p x ö y ù - i i çè ç å êë i ø. (2.4) úû Durh Differenzieren der Lagrange-Funktion nah x i ergeben sih die Bedingungen erster Ordnung: u x ( x) i -l p = 0 oder ( x) u 1 l = x p i i i. (2.5) Der Lagrange-Multiplikator kann als Grenznutzen des Einkommens interpretiert werden, d. h. liefert eine Aussage, um wie viel der Nutzen des Konsumenten ansteigt, wenn er eine Einheit zusätzlihes Einkommen erhält. Er ist im Optimum eine Funktion der konsumierten Gütermengen und folglih von den Preisen (mit Vektor p = ( p,..., p 1 I) ) aller Güter und dem individuellen Einkommen abhängig, d. h. (,y) l = l p. (2.6) Aus den Optimalitätsbedingungen (2.5) und der Budgetbedingung (2.2) lassen sih die optimalen Gütermengen x* bestimmen. Hierfür sind alle Güterpreise und das zur Verfügung stehende Budget vorzugeben. Außerdem ergibt sih durh die Optimierung folgende notwendige Bedingung (vgl. VARIAN [148] S. 87 f.): u x u x ( x) i ( x) j pi = für i, j = 1,...,I. (2.7) p j Gleihung (2.7) besagt, dass die Grenzrate der Substitution 5 (MRS) zwishen den Gütern u ( x) (mit als Grenznutzen der letzten konsumierten Einheit von xi ) bei Auswahl des xi optimalen Güterbündels (linke Seite der Gleihung) gleih ihrem Preisverhältnis ist. Zur Verdeutlihung soll Abbildung 2-1 dienen. Hierin ist der individuelle Optimierungsvorgang für einen Zwei-Güter-Fall dargestellt. Die Kurven in der Abbildung stellen die sogenannten Indifferenzkurven dar, die eine grafishe Darstellung der MRS sind. Je höher die Kurve (im Sinne von Entfernung zum Koordinatenursprung) desto höher der Nutzen. Ihre Lage gibt folglih die Nutzenniveaus an. Die dargestellte Gerade entspriht der 5 Unter der Grenzrate der Substitution (marginal rate of substitution; MRS) wird verstanden, wie viel ein Konsument bereit ist von Gut j aufzugeben, um eine zusätzlihe Einheit von Gut i konsumieren zu können und gerade dasselbe Nutzenniveau zu erreihen. Für weitere Erläuterungen siehe VARIAN [148] S. 47 ff.

24 Mikroökonomishe Grundlagen 11 Budgetgerade, deren Anstieg genau dem Preisverhältnis entspriht. Das optimale Güterbündel ist jene Kombination, durh die die höhste Indifferenzkurve unter Einhaltung des Budgets erreiht wird. Hieraus ergibt sih, dass das optimale Bündel jenes ist, bei dem die Budgetgerade die Indifferenzkurve tangiert. Genau in diesem Punkt entsprehen sih MRS und das Preisverhältnis (Anstieg der Budgetgeraden) (vgl. VARIAN [147] S. 101). x 2 Indifferenzkurven optimales Güterbündel Budgetgerade x 1 Abbildung 2-1: Individueller Optimierungsvorgang Die optimalen Gütermengen hängen von allen Güterpreisen p i und dem individuellen Geldbudget y ab: i ( ) ( ) x = x p,..., p,y i i 1 I. (2.8) = x p,y Wird allein der Preis für Gut i variiert und alle anderen Preise und das Geldbudget werden konstant gehalten (eteris-paribus-nahfragefunktion), resultieren daraus die normalen bzw. MARSHALLshen Nahfragefunktionen (vgl. HANUSCH [62] S. 26): ( ) x = x p. (2.9) i i i 2.3 Das ökonomishe Marktmodell In den bisherigen Ausführungen wurde der Entsheidungs- und Nahfrageprozess von Konsumenten beleuhtet, wie er der mikroökonomishen Konsumtheorie zugrunde liegt. Eine wesentlihe Bedeutung besitzen dabei die Preise der Güter. Preise sind i. d. R. jedoh keine fixen Größen, sondern Ergebnis des Marktmehanismus, bei dem Angebot und Nahfrage (aller Konsumenten) sih gegenseitig regulieren. Das ökonomishe Marktmodell beshreibt die Zusammenhänge und Funktionsmehanismen des freien Marktes.

25 Mikroökonomishe Grundlagen 12 Der freie Markt ist dadurh harakterisiert, dass sih hier private Anbieter und Nahfrager treffen und Güter gegen Geld taushen. Die Nahfrager erwerben so viel von einem Gut, wie sie maximal dafür zu zahlen bereit sind, und die Anbieter produzieren jene Menge an Gütern, für die sie ein Gewinnmaximum erzielen. Unter der Annahme der vollkommenen Konkurrenz entsteht hierdurh ein Marktgleihgewiht bei einem bestimmten (Gleihgewihts-)Preis p* und einer dazugehörigen Gütermenge x*. Bei diesen Zusammenhängen geht die ökonomishe Theorie i. d. R. davon aus, dass die Nahfragekurve sinkt und die Angebotskurve steigt. 6 Beide Kurven geben jeweils in Abhängigkeit des Preises an, welhe Menge des Gutes nahgefragt bzw. angeboten würde. Der Gleihgewihtspreis, der letztlih realisiert wird, ist durh den Shnittpunkt der Kurven definiert (vgl. VARIAN [148] S. 294 ff.). In Abbildung 2-2 ist der Zusammenhang grafish dargestellt. Angebotskurve Preis p p* Konsumentenrente Produzentenrente Nahfragekurve x* Menge x Abbildung 2-2: Das ökonomishe Marktmodell 7 Bei einer fallenden Nahfragekurve wird vorausgesetzt, dass die Konsumenten mehr von einem Gut konsumieren würden, wenn der Preis unterhalb des Gleihgewihtspreises wäre und weniger, wenn er darüber läge. Für die Angebotsseite und die Produzenten lassen sih diese Zusammenhänge übertragen. Eine steigende Angebotskurve besagt, dass der Produzent mit steigendem Preis bereit ist, mehr zu produzieren. Die fallende Nahfragekurve besagt weiterhin, dass für den größten Teil der konsumierten Güter der gezahlte Gleihgewihtspreis p* geringer ist als der maximale Preis, den die Konsumenten hierfür zu zahlen bereit wären. Es ergibt sih somit für diese Güter (links 6 Hierbei handelt es sih um ein sogenanntes normales Gut. Ein gegenteiliger Zusammenhang ergibt sih bei GIFFEN-Gütern. Weitere Informationen hierzu siehe z. B. VARIAN [148]. 7 Wie in der ökonomishen Literatur üblih, werden auh hier vereinfahend lineare Nahfrage- und Angebotskurven dargestellt. In der Realität und im Verkehr treten i. d. R. nihtlineare Zusammenhänge auf.

26 Mikroökonomishe Grundlagen 13 vom Shnittpunkt) eine positive Differenz zwishen maximaler Zahlungsbereitshaft 8 und zu zahlendem Preis p*. Diese Differenz wird Konsumentenrente genannt und in Kapitel 2.5 vorgestellt. Auh hier gilt wieder eine äquivalente Aussage für die Angebotsseite die Produzentenrente. Unter der Annahme nutzenmaximierenden Verhaltens der Konsumenten und gewinnmaximierenden Verhaltens der Produzenten ergibt sih das Marktgleihgewiht, wenn die Summe aus Konsumentenrente und Produzentenrente maximal ist. Bei jedem anderen Preis, der niht dem Gleihgewihtspreis entspriht, gibt es einen Anreiz für einige Akteure, ihr Verhalten zu verändern (vgl. VARIAN [148] S. 295). Das in Abbildung 2-2 dargestellte Marktmodell beinhaltet die Marktnahfragekurve, die eine Aggregation aller individuellen Nahfragekurven darstellt. Die Beshreibung und Analyse des Nahfrageverhaltens erfolgt jedoh in der Mikroökonomie auf Basis einzelner Konsumenten, eine Aggregation erfolgt nur zur Beshreibung des Marktgeshehens. Die voranstehenden kurzen theoretishen Erläuterungen zum ökonomishen Marktmodell stellen nur einen sehr kleinen Einblik in die Thematik dar. Für weitergehende Informationen wird auf die gängige mikroökonomishe Literatur verwiesen (siehe hierzu z. B. VARIAN [147] und [148] oder FEHL/OBERENDER [48]). Die für diese Arbeit notwendigen weiteren Marktbetrahtungen erfolgen an den entsprehenden Stellen. 2.4 Prinzipien der ökonomishen Gesamtbewertung Die bisherigen Überlegungen in diesem Kapitel umfassten reine ökonomishe Nahfrageund Marktbetrahtungen. Anhand von Abbildung 2-2 wird jedoh deutlih, dass es einen unmittelbaren Zusammenhang zwishen Nahfrage und Nutzenermittlung in Form der Konsumentenrente gibt. Bevor dahingehende analytishe Betrahtungen angestellt werden, erfolgt zunähst die Vorstellung der grundsätzlihen Prinzipien der ökonomishen Gesamtbewertung, um die konkreten Ansätze zur Ermittlung der Nutzenmaße in den Gesamtkontext einordnen zu können. Hierdurh wird jedoh kein vollständiger Überblik über die Nutzen-Kosten-Analyse (NKA) gegeben. Detaillierte Darstellungen hierzu finden sih z. B. in HANUSCH [62] oder MÜHLENKAMP [109]. Der Nutzen, der den Verkehrsteilnehmern infolge der Realisierung eines Verkehrsprojektes zugutekommt, findet als wesentliher Bestandteil Eingang in die NKA. Deren Annahmen und Prinzipien muss auh die Bestimmung der Nutzen der Verkehrsteilnehmer genügen. Es ist aus diesem Grund notwendig, die wesentlihen Prinzipien der ökonomishen Gesamtbewertung mittels NKA, auh wenn diese niht unmittelbar Gegenstand der Dissertation sind, hier kurz darzulegen. 8 Die Zahlungsbereitshaftskurve entspriht der inversen Nahfragekurve, deren Verlauf der Nahfragekurve entspriht. Es erfolgt lediglih das formale Vertaushen des Funktionsarguments und des Funktionswertes.

27 Mikroökonomishe Grundlagen 14 Die NKA stellt ein Bewertungsverfahren für den öffentlihen Sektor dar und ist das wahrsheinlih bekannteste wirtshaftlihkeitsanalytishe Verfahren in diesem Bereih (vgl. HANUSCH [62] S. 1). Sie ist ein Verfahren der Projektselektion mit dem Ziel der Ermittlung der sozialen Nettonutzen alternativer Investitionsprojekte (ABAY [1] S. 1). Gerade auf dem Gebiet öffentliher Projekte, wozu Verkehrsinvestitionen gehören, hat die NKA ihr Haupteinsatzgebiet, da hier i. d. R. sehr große Kosten und zum Teil irreversible Folgen entstehen. Das Hauptziel einer Investitionsmaßnahme ist oft die Verbilligung von Gütern (z. B. eine Fahrt im Pkw). Es kann jedoh infolge der Realisierung auh zu niht bezwekten Preiserhöhungen kommen. Von beidem können Individuen und/oder private Unternehmen, die Mitglieder der Gesellshaft darstellen, betroffen sein. Die Investitionsmaßnahme führt bei einer Preisreduzierung unmittelbar zu einer Nutzenerhöhung für die Individuen und mittelbar, durh eine investitionsinduzierte Kostenersparnis im Herstellungsprozess der Unternehmen, zu einer Anhebung der individuellen Konsummöglihkeiten. In der ökonomishen Beurteilung mittels NKA soll jede projektinduzierte Änderung der Konsummöglihkeiten (unmittelbar als auh mittelbar) berüksihtigt werden. Als Endzwek des wirtshaftlihen Handelns wird jedoh niht der Konsum sondern das Befriedigen individueller Bedürfnisse betrahtet. Der Beitrag, den der Konsum eines Güterbündels impliziert, wird i. Allg. in der Ökonomie und so auh in der NKA nah dem Nutzen bemessen. Das Bewertungsmaß der NKA stellen folglih individuelle Nutzenniveaus dar (vgl. HANUSCH [62] S. 2). Der monetären Bewertung der Projektwirkungen liegen darüber hinaus folgende zwei grundsätzlihe Postulate zugrunde (vgl. ABAY [1] S. 3): - Die Summe der individuellen Wertshätzungen (Nutzen), die jedes Individuum der Gesellshaft dem Projekt beimisst, entspriht dem sozialen Wert des Projektes. - Der Wert, den ein einzelnes Individuum einem Projekt beimisst, ist mit seiner Zahlungsbereitshaft für das Projekt identish. Es folgt aus diesen Forderungen, dass die NKA [...] konsequent vom individualistishen Paradigma [...] (HANUSCH [62] S. 2) ausgeht, da jedes Individuum am besten über das eigene Wohlfahrtsniveau urteilen kann. Die NKA verlangt, dass die gesamtwirtshaftlihe Bewertung allein auf der Grundlage der Präferenzen der Individuen zu erfolgen habe. Die Durhführung eines Projektes, wie z. B. der Bau einer Straße, ist jedoh niht nur mit Nutzenänderungen der Individuen verbunden, sondern verlangt den Einsatz von (knappen) Ressouren, die auh alternativ an anderer Stelle eingesetzt werden könnten. Somit führt die Realisierung eines Projektes auh zu unmittelbaren negativen Folgen für die Volkswirtshaft, da die einzusetzenden Mittel an anderer Stelle fehlen und dort Produktionseinshränkungen erfordern, woraus wiederum ein Konsumverziht resultiert. Diese

28 Mikroökonomishe Grundlagen 15 Kosten werden als Opportunitätskosten bezeihnet und im Rahmen der NKA dem sozialen Wert eines Projektes, in Form der aggregierten Nutzen der Individuen, gegenübergestellt. Gefordert wird, dass solhe Projekte realisiert werden, deren Differenz von aggregierten Nutzen und Opportunitätskosten positiv ist (Nettonutzen des Projekts) (vgl. HANUSCH [62] S. 2 f.). 9 Shwierig bei der Durhführung der NKA ist die Ermittlung der Zahlungsbereitshaften der Individuen für ein Projekt und damit die Bestimmung seines sozialen Wertes. Zum einen wäre der Aufwand der Befragung aller betroffenen Individuen oftmals praktish niht möglih, zum anderen besteht die Gefahr der Vershleierung der wirklihen Zahlungsbereitshaften, gerade wenn sie positiv sind (vgl. ABAY [1] S. 3). 10 Da die Möglihkeit der direkten Erhebung der Zahlungsbereitshaften niht erfolgversprehend ist, werden die individuellen Zahlungsbereitshaften der an einem Markt beobahtbaren Projektwirkungen bestimmt. Aus deren Preis- und Mengenänderungen kann auf die aggregierten Zahlungsbereitshaften geshlossen werden. 11 Die Bestimmung der Zahlungsbereitshaften aus den Marktpreis- und Mengenänderungen beobahtbarer Projektwirkungen ist wiederum nur möglih, wenn ein Marktpreis existiert und dieser dem sozialen Wert entspriht. Dies ist jedoh oftmals und gerade im Verkehrssektor problematish, da für zahlreihe Projektwirkungen kein Markt existiert. Liegen keine Marktpreise vor, so müssen entsprehende Opportunitätskosten (Shattenpreise) bestimmt werden, die dem Nutzen einer alternativen Verwendung entsprehen (vgl. BAUM ET AL. [11] S. 47). Im Rahmen der vorliegenden Dissertation spielt vor allem der Shattenpreis für die Reisezeit zumindest für den nihtgewerblihen Verkehr eine wihtige Rolle. Die Bedeutung der Reisezeit(-einsparungen) bei Investitionen im Verkehrswesen ist außerordentlih hoh. Shattenpreise sind ebenfalls zur Bewertung externer Effekte (nihtkompensierte Voroder Nahteile Dritter) zu bestimmen. Die Berüksihtigung externer Effekte ist ein wesentliher Aspekt der NKA, der allerdings niht Gegenstand dieser Arbeit ist. 12 Dies niht aus dem Grund, dass sie vernahlässigbar wären, sondern dass sih deren Bewertung einer Harmonisierung mit der Bewertung innerhalb der Verkehrsnahfrage, der nur die 9 Es können noh vershiedene andere Kennwerte gebildet werden. Vor allem ist noh das Nutzen-Kosten- Verhältnis von Bedeutung. 10 Es handelt sih hierbei um das sogenannte free rider - oder Trittbrettfahrerphänomen. 11 Grundlage der NKA bildet das Verhalten der Nahfrager und Anbieter auf einzelnen Märkten, weshalb in diesem Rahmen die Aussagen der Markttheorie (vgl. Kapitel 2.3) gelten. 12 Die Diskussion und möglihe Bewertung externer Effekte des Verkehrs wurde und wird vielfah anderweitig erforsht. Siehe hierzu z. B. INFRAS [74] oder BECKER ET AL. [13].

29 Mikroökonomishe Grundlagen 16 durh die Verkehrsteilnehmer wahrgenommenen und aufzubringenden Aufwände zugrunde liegen, entziehen. 13 Die NKA basiert auf dem Mit-und-Ohnefall-Prinzip. Zur Bewertung eines Projektes dürfen nur jene Wirkungen berüksihtigt werden, die tatsählih durh das Bewertungsobjekt hervorgerufen werden. Auswirkungen, die auh ohne die Realisierung auftreten, dürfen niht in die Bewertung einbezogen werden. Zur Einhaltung dieser Bedingung werden zwei Fälle für den Bereih der Investitionen im Verkehrssektor definiert: 1. Ohnefall Der Ohnefall stellt den Planungsfall ohne das Investitionsvorhaben dar. Er basiert auf dem gegebenen und vollständig modellierten Ist-Zustand und ist aus diesem abzuleiten. Dieser Fall berüksihtigt ebenfalls alle vorhersehbaren Änderungen des Verkehrsangebotes und der Verkehrsnahfrage bis zum Planungshorizont, die ohne die Realisierung des Investitionsvorhabens auftreten würden. Der Ohnefall dient als Vergleihsfall für den Mitfall. 2. Mitfall Damit ist der eigentlihe Planungsfall, der das Investitionsvorhaben enthält, zu verstehen. Dieser Fall wird aus dem Ohnefall einshließlih des Investitionsvorhabens abgeleitet, d. h. inklusive aller sih daraus ergebenden Konsequenzen bezüglih des Verkehrsangebotes und der Verkehrsnahfrage. Existieren mehrere Planungsalternativen (Mitfälle), so sind alle mit demselben Ohnefall zu vergleihen (vgl. LOHSE [88] S. 403). 2.5 Änderung der Konsumentenrente Ursprung Die Konsumentenrente als monetäres Nutzenmaß geht auf DUPUIT zurük, der in einer 1844 veröffentlihten Arbeit Kritik an der zur damaligen Zeit vorherrshenden kostenorientierten Vorstellung über den Nutzen eines Gutes äußerte und ein alternatives Maß definierte (vgl. DUPUIT [43]). 14 DUPUIT ging in seinen Überlegungen von einer fallenden Gesamtnahfragekurve für das öffentlihe Gut (Überfahrt über eine Brüke) aus. Der Kern der Argumentation liegt darin, dass keinesfalls der Wert des Gutes allein daran gemessen werden kann, welher marktmäßige Erlös (Kosten für eine Überfahrt 13 Eine möglihe Internalisierung externer Effekte stellt ein verkehrspolitishes Diskussionsfeld dar und wird hier niht betrahtet. 14 Bemerkenswert ist, dass DUPUIT Ingenieur mit ökonomishem Interesse war und das Konzept der Konsumentenrente erstmalig für die Ermittlung einer optimalen Maut für eine Brüke einsetzte. Es handelt sih somit um ein (Verkehrs-)Ingenieurskonzept, welhes erst später von Ökonomen übernommen und weiterentwikelt wurde.

30 Mikroökonomishe Grundlagen 17 multipliziert mit der Anzahl der Überfahrten) erzielt wird. Dieser Betrag stellt nur jenen Wert dar, den die zum Zuge kommenden Nahfrager mindestens bereit sind zu zahlen, um das Gut zu erhalten. Unter der Annahme einer fallenden Nahfragekurve ist es jedoh offensihtlih, dass ein Teil der Nahfrager einen zum Teil erheblihen höheren Betrag zu zahlen bereit wären. Der Ansatz ist auf die individuelle Ebene übertragbar (die Gesamtnahfragekurve des Marktes ergibt sih durh die horizontale Addition der individuellen Nahfragekurven) und soll nahfolgend anhand eines Beispiels aus der Dissertation von ABAY (vgl. [1] S. 8 f.) erläutert werden. In Abbildung 2-3 ist eine individuelle Nahfragekurve für ein beliebiges Gut x dargestellt, wobei der Preis des Gutes p 0 (= 60 Euro) ist und der Konsument x 0 (= 8) Einheiten in einer bestimmten Zeiteinheit konsumiert. Die Kurve zeigt, dass der Konsument bei einem Preis von 130 Euro gerade eine Einheit des Gutes kaufen würde. Seine (maximale) Zahlungsbereitshaft für die erste Einheit beträgt folglih genau 130 Euro. Er muss jedoh nur p 0 (= 60 Euro) zahlen, weshalb sein Nettonutzen für diese erste Einheit 70 Euro (130 60) beträgt. Analog ergeben sih die Nettonutzen für alle weiteren Einheiten. Für die ahte Einheit entspriht die Grenzbewertung (Zahlungsbereitshaft) genau dem Preis p 0 und der hierfür resultierende Nettonutzen ist Null. Der Konsument stellt mit dieser Einheit seinen Konsum ein. Der gesamte Nettonutzen ergibt sih als Summe der shraffierten Flähen. Wird unterstellt, dass das Gut in unendlih kleinen Einheiten käuflih erwerbbar ist, so ergibt die Flähe p 0 AB die Konsumentenrente des Konsumenten, d. h. den gesamten individuellen Nettonutzen. Diese Flähe entspriht wiederum der Differenz der gesamten Zahlungsbereitshaft bzw. des Bruttonutzens (Flähe 0ABx 0 ) und der Gesamtausgaben (Flähe 0p 0 Bx 0 ). Preis p p 0 A B p 1 C Nahfragekurve x 0 x 1 Menge x Abbildung 2-3: Konsumentenrente eines Konsumenten (Quelle: ABAY [1] S. 8) In vielen Anwendungsfällen ist die Konsumentenrente niht von unmittelbarem Interesse, sondern vielmehr deren Änderung. Diese beshreibt den Nettonutzengewinn, wenn

31 Mikroökonomishe Grundlagen 18 das betrahtete nahgefragte Gut bereits vorher konsumiert wurde. Die Änderung der Konsumentenrente dient im Allgemeinen zur Bewertung von Investitionsmaßnahmen, die eine Zustandsänderung (vom Ohne- zum Mitfall) hervorrufen. Es sei hierfür angenommen, dass der Preis des Gutes x in Abbildung 2-3 infolge einer Investition von p 0 auf p 1 fällt und es zu einer Nahfrageausdehnung auf x 1 kommt. Der Nutzenzuwahs ergibt sih folglih als Flähe p 1 p 0 BC Vertiefende Betrahtungen Die vorangegangenen Erläuterungen beshränkten sih zur Einführung auf das Grundprinzip der Konsumentenrente bzw. deren Änderung. Die folgenden Ausführungen geben einen Einblik in die Einbettung und Begründung dieses Ansatzes in die mikroökonomishe Konsumtheorie und orientieren sih im Wesentlihen an der derzeit aktuellen ökonomishen Grundlagenliteratur zu diesem Thema (z. B. VARIAN [147] und [148], MÜHLENKAMP [109], HANUSCH [62] und AHLHEIM/ROSE [3]). In Kapitel 2.2 wurden die Grundlagen der Konsumtheorie und deren Nahfragebestimmung vorgestellt, an die an dieser Stelle angeknüpft werden soll. Unter Verwendung der allgemeinen Formulierung der Nahfragefunktionen aus Gleihung (2.8): ( ) ( ) x = x p,..., p,y i i 1 I, = x p,y i können die optimalen Gütermengen in die Nutzenfunktion (2.3): ( x ) ( ) u = u = u x,...,x 1 I eingesetzt werden, woraus die indirekte Nutzenfunktion F resultiert. Es gilt: (,y) u x (,y),...,x (,y) F p = é ù ê ë 1 p I p ú û. (2.10) Die indirekte Nutzenfunktion gibt das unter den gegebenen Präferenzen, Preisvektor p und Budgetrestriktion y maximale Nutzenniveau an, welhes das Individuum erzielen kann. Die indirekte Nutzenfunktion spielt bei der Nutzenermittlung in Form der Änderung der Konsumentenrente eine entsheidende Rolle. Kommt es infolge einer Projektrealisierung zu einer Preisreduzierung, ändert sih auh das gewählte Güterbündel und das damit einhergehende Nutzenniveau. Für die Änderung des Nutzenniveaus gilt: (,y) F(,y) F df = dp + dy å p p. (2.11) i i p y i

32 Mikroökonomishe Grundlagen 19 Die partiellen Ableitungen lauten (zur Ableitung siehe z. B. VARIAN [147] S. 107 ff.): F ( p,y) p i i ( ) =-l x p,y (2.12) und F ( p,y) y = l. (2.13) Durh Einsetzen in Gleihung (2.11) ergibt sih: ( ) å p i i. (2.14) i df =-l x,y dp + ldy Eine Nutzenänderung kann durh eine Preis- und/oder Einkommensänderung erfolgen. Eine Einkommensänderung ist im Rahmen der Bewertung von Investitionsmaßnahmen im Verkehrswesen i. d. R. niht relevant, d. h. das Einkommen ist konstant (dy = 0) und kann im Folgenden vernahlässigt werden. Es gilt: i i ( ) df =-l åx p,y dp (2.15) i und es ergibt sih die Nutzenänderung vom Ohnefall O zum Mitfall M durh: M O ( ) ( ) ( ) i ( ) ò ò DF = F p,y - F p,y = d F =- l p,y å x p,y dp. (2.16) i PF Das Konzept stößt an dieser Stelle auf zwei grundlegende in der Mikroökonomie bekannte und viel diskutierte Probleme, die der eindeutigen Nutzenberehnung entgegenstehen. Zum einen beshreibt das obige Integral ein Linienintegral, dessen Wert vom Integrationsweg PF abhängt das sogenannte Pfadabhängigkeitsproblem. Zum anderen hängt der Grenznutzen des Einkommens (bzw. des Geldes) neben dem Einkommen selbst auh von den Preisen p ab. Zunähst sei die Problematik des Grenznutzens des Einkommens erläutert. Eine Preisänderung führt zu zwei Effekten den Substitutionseffekt und den Einkommenseffekt. Der Substitutionseffekt beshreibt, dass Preisänderungen zu einer relativen Vorteilhaftigkeit (bei Verbilligung) eines Gutes x gegenüber den anderen Gütern führen und sih eine Nahfrageänderung zugunsten des Gutes x (bei substitutiven Gütern) einstellt. Maßgebend ist die relative Änderung der Preise. Demgegenüber steht der Einkommenseffekt, der besagt, dass Preisänderungen die Kaufkraft beeinflussen. Erfolgt eine Preissenkung für ein Gut x, so steigt bei gleihem Einkommen die Kaufkraft und es können mehr Güter(mengen) erworben werden. Preiserhöhungen reduzieren die Kaufkraft. PF i

33 Mikroökonomishe Grundlagen 20 Der Einkommenseffekt führt zu einer bedeutenden Einshränkung des Konsumentenrentenkonzepts. Die Konsumentenrente bzw. deren Änderung ergibt sih als Flähe unterhalb der MARSHALLshen Nahfragekurve unter der eteris paribus Bedingung, d. h. weder die Preise anderer Güter noh das Einkommen ändern sih. Hierbei kann unmittelbar aus dem beobahteten Geldeinsatz für das konsumierte Gut auf den (unbeobahteten) Nutzen geshlossen werden (vgl. MISHAN [107] S. 9). Der Einkommenseffekt führt jedoh zu einer Ausdehnung der Nahfrage, die niht nur durh die Preisreduzierung für die bisher niht konsumierten Gütermengen induziert ist, sondern zusätzlih durh die Einsparung der bereits vorher konsumierten Gütermengen hervorgerufen wird. Das Konzept der Konsumentenrente basiert jedoh auf Zahlungsbereitshaften je Gütermenge, die bei unverändertem Einkommen realisiert werden. Hieraus folgt, dass das durh die Einsparungen (bei den bereits vorher konsumierten und nun verbilligten Gütermengen) freigewordene Einkommen so gering sein muss, dass es keinen Einfluss auf die neukonsumierte Gütermenge hat. Zur Eindeutigkeit der Konsumentenrente als Flähe unter der MARSHALLshen Nahfragekurve ist ein Einkommenseffekt von Null erforderlih. Die Unabhängigkeit des Grenznutzens des Einkommens von den Preisen p i stellt hierfür eine notwendige Bedingung dar. Es muss gelten: woraus l l ( p,y) p i (,y) = l( y) = 0, (2.17) p (2.18) folgt. Bezogen auf Gleihung (2.16) dient gewissermaßen als Umrehnungsfaktor zwishen der Nutzenänderung und der Änderung der (monetären) Konsumentenrente. Auh hierbei wird deutlih, dass zur eindeutigen Lösung des Integrals konstant sein muss, da nur dann aus dem Integral herausgezogen werden kann. MISHAN zeigt jedoh, dass die Konstanz des Grenznutzens des Einkommens zwar eine notwendige, jedoh keine hinreihende Bedingung zum Ausshluss von Einkommenseffekten darstellt (vgl. MISHAN [107] S. 21). Es kann aber gezeigt werden (vgl. z. B. HANUSCH [62] S. 32), dass wenn: xi y = 1 y x i (2.19) gilt, d. h. die Einkommenselastizitäten aller Güter den Wert Eins besitzen, kein Einkommenseffekt auftritt. 15 Die Nahfrage nah den einzelnen Gütern verläuft somit proportional zum Einkommen. 15 Erfüllt wird dies nur durh Nahfragefunktionen, denen eine homothetishe Nutzenfunktion zugrunde liegt. Für nähere Erläuterungen siehe z. B. DEMMLER [34] S. 53 ff.

34 Mikroökonomishe Grundlagen 21 Für Nahfragefunktionen, die diese Restriktionen einhalten, folgt daraus (zur Herleitung siehe z. B. MISHAN [107] S. 18 ff.): x x i j = p p. (2.20) j i Diese Bedingung wird als symmetrishe Kreuzpreisableitungen bezeihnet und impliziert eine Symmetrie des Substitutionseffektes. Nahfragefunktionen, die diese Bedingung erfüllen, weisen stets einen konstanten Grenznutzen des Einkommens auf. Treten keine Einkommenseffekte auf, liefert die Änderung der Konsumentenrente bei einer Änderung des Preises des betrahteten Gutes x i stets die korrekte monetäre Nutzenänderung. Das gilt auh, wenn beispielsweise infolge einer Preisreduzierung von x i ein substitutives Gut x j (mit konstantem Preis) eine Reduktion der Nahfrage erfährt. Zwar resultiert hieraus eine Verringerung der Konsumentenrente bei x j, da die Nahfragekurve nah links vershoben wird, allerdings darf diese Verringerung niht mit der Konsumentenrente bei x i verrehnet werden. Der Grund hierfür ist der konstante Preis für x j, wodurh der Konsument bzgl. dieses Gutes niht shlehter gestellt wird. Werden Gütermengen x j durh x i substituiert, so erfolgt das zum Vorteil des Konsumenten, der wiederum durh den Flähenzuwahs unter der Nahfragekurve von x i rihtig angegeben wird (vgl. z. B. VAN SUNTUM [136] S. 58 f. oder ABAY [1] S. 17). Treten infolge der Projektrealisierung auh Preisänderungen bei einem oder mehreren anderen Gütern auf, so stimmt das Konsumentenrentenkonzept niht mehr. Aus diesem Grund entwikelte HOTELLING das Konzept weiter, wobei er den Fall der simultanen Preisänderung mehrerer Alternativen infolge einer Projektrealisierung im Verkehrsbereih betrahtete (vgl. HOTELLING [72]). HOTELLING formulierte das in Gleihung (2.16) definierte Linienintegral, für das mit konstantem Grenznutzen des Einkommens gilt: M O ( ) ( ) ( ) i ( ) ò DF = F p,y - F p,y = df =-l y å x p dp (2.21) i PF und die Lösung des Integrals vom Integrationsweg abhängt. Die Berehnung der Konsumentenrente bzw. deren Änderung infolge einer Projektrealisierung, die zu multiplen Preisänderungen führt, sind nur exakt, wenn Pfadunabhängigkeit gilt. HOTELLING zeigte, dass die Pfadunabhängigkeit dann gewährleistet ist, wenn die Nahfragefunktionen symmetrishe Kreuzpreisableitungen besitzen. Dies ist garantiert, wenn Gleihung (2.20) gilt. Es kann geshlussfolgert werden, dass ohne Einkommenseffekte die Änderung der Konsumentenrente ein exaktes Nutzenmaß darstellt und die Bedingung für symmetrishe Kreuzpreisableitungen hierfür hinreihend ist. Die eindeutige und allgemeine Lösung lautet dann: ò PF i

35 Mikroökonomishe Grundlagen 22 i p M i DF DKR = =-å xi ( ) dpi l ò p. (2.22) p O i Die Änderung der Konsumentenrente KR entspriht hierbei dem monetären Äquivalent von DF. Das Konzept der (Änderung der) Konsumentenrente ist exakt, wenn infolge einer Projektrealisierung keine Einkommenseffekte auftreten. Für den gegenteiligen Fall sind aus theoretisher Siht die von HICKS [70] entwikelten alternativen Maße Kompensationsvariation (CV) und Äquivalenzvariation (EV) vorzuziehen, die auh bei Einkommenseffekten exakte Nutzenmaße liefern. Die Vorteile der Variationsmaße gegenüber der Konsumentenrente stehen dem Nahteil gegenüber, dass sie als Flähe unterhalb sogenannter kompensierter Nahfragekurven definiert sind. Problematish dabei ist, dass diese (um den Einkommenseffekt kompensierte) Nahfragekurven niht direkt beobahtbar sind. Vergleihende Untersuhungen von WILLIG ergaben jedoh, dass die Untershiede bei geringen Einkommenseffekten zwishen der Änderung der Konsumentenrente, der Äquivalenz- und Kompensationsvariation sehr klein sind (vgl. WILLIG [157] S. 589). 16 HANUSCH kommt zu dem Shluss, dass die Wahl des Nutzenmaßes [...] letztlih dem Analytiker überlassen [...] ist, da die Nahfragebestimmung, auf der jede NKA basiert, mit erheblih größeren Fehlern behaftet ist ([62] S. 54) Aggregation und soziale Wohlfahrtsfunktion Das vorgestellte Konzept der Änderung der Konsumentenrente umfasst die monetäre Nutzenänderung eines Individuums. Um jedoh zu einer gesamtwirtshaftlihen Bewertung zu gelangen, ist die Aggregation aller projektinduzierten individuellen veränderten Konsumentenrenten notwendig. Zu diesem Zwek ist eine soziale Wohlfahrtsfunktion W aufzustellen (vgl. z. B. HANUSCH [62] S. 32): ( F F ) W = W,...,. (2.23) 1 N n=1...n Laufindex Individuum Die Wohlfahrt der Gesellshaft basiert hierbei auf den Nutzenniveaus der Individuen, die wiederum von den Preisen p i und dem individuellen Einkommen y abhängig sind. Die Wohlfahrtsänderung der Gesellshaft wird durh das vollständige Differential der Wohlfahrtsfunktion W bestimmt: W dw = å df = åa df F n n n n n n. (2.24) 16 Treten keine Einkommenseffekte auf, so gilt ΔKR = CV = EV.

36 Mikroökonomishe Grundlagen 23 Die individuellen Nutzenänderungen df lassen sih durh Gleihung (2.15) beshreiben. 17 Werden die veränderten Nutzenniveaus in (2.24) eingesetzt, so ergibt sih: n æ ö dw = åa l - ( ) ç åx p,y dp n n in n i. (2.25) çè ø n i Der Faktor n repräsentiert den individuellen Grenznutzen des Einkommens, der eine subjektive Größe darstellt. Demgegenüber steht n für das soziale Gewiht, mit dem der Nutzen des Individuums n in die Gesamtwohlfahrt einfließt. Der Term hängt einerseits von der funktionalen Form der Wohlfahrtsfunktion ab (z. B. RAWLshe Wohlfahrtsfunktion), andererseits sind, bei der hier betrahteten BERNOULLI-NASH-Wohlfahrtsfunktion, die Wertungen bzgl. der vershiedenen individuellen Nutzen Aufgabe der politishen Entsheidungsträger (vgl. GÁLVEZ/JARA-DÍAZ [58] S. 208). 18 Während der individuelle Gewihtungsfaktor n die Präferenzen der Individuen entsprehend ihrem Verhalten angeben soll und damit zur Nahfragemodellierung gehört, ist die soziale Gewihtung Aufgabe des politishen Verantwortungsbereihs. 19 Dabei ist die Frage zu beantworten, ob - die soziale Wohlfahrt durh die Veränderungen der individuellen Nutzenniveaus gleihgewihtig beeinflusst wird, d. h. a = 1 für alle n oder n - niedrige oder hohe Nutzenniveaus stärker gewihtet werden (vgl. HANUSCH [62] S. 34). Häufig wird auh vor dem Hintergrund der Vermeidung einer politishen sozialen Gewihtung ein einheitliher sozialer Grenznutzen des Einkommens s für alle Individuen angenommen: a l =... = a l = l. (2.26) 1 1 n n s Hieraus resultiert: ln a = 1. (2.27) l n s 17 Es soll auh hier gelten: dy = Das soziale Gewiht darf keinesfalls durh den Analytiker vergeben werden. Ob jedoh politishe Entsheidungsträger tatsählih eine solhe Gewihtung vornehmen würden, ist fraglih. 19 Aus theoretisher Siht ist grundsätzlih für die Bestimmung einer sozialen Wohlfahrtsfunktion die interpersonelle Vergleihbarkeit der Nutzen notwendig (siehe hierzu z. B. HANUSCH [62] S. 33).

37 Mikroökonomishe Grundlagen 24 Mittels des sozialen Grenznutzens des Einkommens s erfolgt die Bestimmung der gesamten monetären Wohlfahrtsänderung: dw 1 æ ö = åa l - ( ) ç åx p,y dp n n in n i l l çè s s n i ø l æ ö n = åa - ( ) ç åx p,y dp n in n i çè n l s i ø. (2.28) æ ö = å - ( ) ç åx p,y dp in n i çè ø n i Durh diesen Ansatz werden alle Veränderungen der individuellen Nutzen mittels eines für alle Individuen gleihen sozialen Grenznutzens des Einkommens: a l = l (2.29) n n s monetarisiert. Daraus resultiert jedoh, dass das soziale Gewiht mit dem Einkommen steigt, da (vgl. Gleihung (2.27)): a n l = s l n (2.30) gilt und der Grenznutzen des Einkommens des Individuums n mit zunehmendem Einkommen sinkt (vgl. GÁLVEZ/JARA-DÍAZ [58] S. 209). Die Änderung der gesamtwirtshaftlihen Wohlfahrt zwishen Ohne- und Mitfall ergibt sih shließlih durh: M s s s O DW W W = -. (2.31) l l l Durh das Integrieren des obigen Differentials resultiert die monetäre Wohlfahrtsänderung (vgl. Gleihung (2.22)): DW l p M dw l M i = ò =-ååò s O O p s pi n i p ( ) x p,y dp. (2.32) in n i Die Thematik der Aggregation der Konsumentenrenten und der sozialen Wohlfahrtsfunktion soll an dieser Stelle niht weiter vertieft werden. Deren Probleme hinsihtlih einer gesellshaftlih akzeptablen Gewihtung sind jedoh offensihtlih. Im Rahmen dieser Arbeit wird das soziale Gewiht n explizit betrahtet.

38 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 25 3 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung In diesem Kapitel werden die für diese Arbeit relevanten Ansätze der Verkehrsangebotsund Verkehrsnahfragemodellierung vorgestellt. Da dies niht alle existierenden Modelle umfasst, sei auf die entsprehende Fahliteratur wie z. B. LOHSE [88] und [92], STEIERWALD ET AL. [135], ORTÚZAR/WILLUMSEN [115] und HENSHER/BUTTON [68] verwiesen. Außerdem erfolgt im letzten Unterkapitel eine gesonderte Betrahtung des induzierten Verkehrs. 3.1 Verkehrsangebotsmodellierung Zur Durhführung von Ortsveränderungen wird ein entsprehendes Angebot benötigt. Im Fahgebiet der Verkehrsplanung kann unter dem Begriff Verkehrsangebot die gesamte verkehrstehnishe und verkehrsorganisatorishe Ausgestaltung der Streken und Knoten einshließlih der Abbiegebeziehungen im Verkehrsnetz verstanden werden. Hierzu zählen neben den infrastrukturellen Einrihtungen, wie z. B. Anzahl der Fahrstreifen, auh die Angebotsmerkmale des ÖPV (Öffentliher Personenverkehr) beispielsweise in Form von der Gestaltung des Liniennetzes oder den Zugfolgezeiten. Die wihtigsten Determinanten des Verkehrsangebots und seiner Auslastung sind die für die Durhführung von Ortsveränderungen zu erbringenden Aufwände 20, denen als Shnittstelle zwishen Angebot und Nahfrage eine zentrale Bedeutung zukommt. Sie dienen als Grundlage der in der Verkehrsnahfrageberehnung abgebildeten Wahlentsheidungen für Ziele, Verkehrsmittel und Routen. Zur Ermittlung der benötigten Aufwände bedarf es eines Verkehrsangebotsmodells, in dem die konkret vorhandenen Verkehrsnetze und alle relevanten Eigenshaften der Verkehrsarten integriert werden müssen. Da es sih um ein Modell handelt erfolgt dies vereinfaht und shematisiert, jedoh in einem so hinreihend genauen Detaillierungsgrad, wie es für den jeweiligen Planungsgegenstand notwendig ist und sih daraus ergebende Wirkungen ableiten lassen können. 20 In der Literatur wird auh häufig der Begriff Widerstände verwendet.

39 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung Verkehrsnetzmodellierung Die realen Verkehrsnetze der Verkehrsarten mit ihrer Vielzahl von Kreuzungen und Streken müssen im Verkehrsmodell durh ihre wesentlihe Netzgestalt nahgebildet werden. Zur konkreten Umsetzung dient die Graphentheorie 21, die das mathematishe Werkzeug zur Beshreibung von Verkehrsnetzen darstellt. Im Allgemeinen erfolgt die Darstellung des Verkehrsnetzes durh Streken und Knoten. Die Streken werden dabei durh Knoten begrenzt und in drei Gruppen eingeteilt: - freie Streken, entsprehen Straßenabshnitten zwishen zwei Straßenknoten, - Knotenstreken, symbolisieren Abbiegevorgänge innerhalb eines Straßenknotens und - Füllstreken, die die Einspeisung des Verkehrs abbilden. Eine besondere Bedeutung kommt den Füllknoten und Füllstreken zu. Die Füllknoten repräsentieren im Verkehrsangebotsmodell die (sihtbaren) Quellen und Ziele, in denen alle Fahrten beginnen und enden, die abgebildet bzw. umgelegt werden. Die Füllstreken symbolisieren die Einspeisung des Verkehrs von der tatsählihen (Verkehrs-)Quelle (Verkehrsbezirksshwerpunkt 22 ) zum Füllknoten und vom Füllknoten zum tatsählihen (Verkehrs-)Ziel (vgl. LOHSE [88] S. 269) Ermittlung bewertungsrelevanter Aufwände Auf Basis des Verkehrsangebotsmodells erfolgt die Quantifizierung bewertungsrelevanter Aufwände zur räumlihen Überwindung der Netzelemente. Diese wihtigen Kriterien für die Wahlentsheidungen setzen sih aus den Aufwänden aller genutzten Netzelemente zusammen. Grundsätzlih ist es möglih, dass ein Verkehrsteilnehmer untershiedlihe Netzelemente kombiniert und diese Kombinationen mit untershiedliher Wahrsheinlihkeit annimmt. Aus diesem Grund ist es notwendig, alle Netzelemente durh die Zuordnung der entsprehenden Aufwände zu harakterisieren (vgl. LOHSE [88] S. 274). Die einflussreihste Aufwandsgröße stellt die Reisezeit 23 dar. Darüber hinaus können auh weitere relevante und quantifizierbare Größen Eingang finden, die miteinander verknüpft und gewihtet werden. Die Bestimmung der Aufwände erfolgt auf verkehrstehnishen Grundlagen, wobei grundsätzlih nah Verfahren mit konstanten und variablen Aufwänden untershieden 21 Einen ausführlihen Überblik über die Theorie geben z. B. DIESTEL [39] und DOMSCHKE [41]. 22 Innerhalb der Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung erfolgt eine Aufteilung des Untersuhungsgebietes in Verkehrsbezirke. Dies ist aus dem planungsmethodishen Grund der eindeutigen Zuordnung der Quellen und Ziele zu bestimmten regionalen Einheiten notwendig. Hierbei heißt der Verkehrsbezirk, in dem die Ortsveränderung beginnt, Verkehrsquelle, während der Verkehrsbezirk, in dem die Ortsveränderung endet, als Verkehrsziel bezeihnet wird. Für nähere Erläuterungen siehe z. B. LOHSE [88] S. 88 ff. 23 Die Reisezeit setzt sih i. Allg. aus vershiedenen Zeitaufwänden einer Reise zusammen. Hierbei sind die Fahrzeit auf der freien Streke und die Wartezeiten am Knotenpunkt von besonderer Bedeutung.

40 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 27 werden kann (vgl. LOHSE [88] S. 275 ff.). Realistisher und daher von größerer Bedeutung sind Verfahren zur Bestimmung variabler Aufwände. Dabei ändern sih die Aufwände im Verlauf der Berehnungen und der real existierende Zusammenhang zwishen Verkehrsstärke und Aufwand ist modelltheoretish abbildbar. Notwendig wird die Berüksihtigung dieser Zusammenhänge, da in vorhandenen komplexen Verkehrsnetzen Engpässe, in Form von Kapazitätsbeshränkungen, vorkommen und sih auf die Fahr- bzw. Wartezeiten auswirken. Alternative Routen können in untershiedlihem Maße davon betroffen sein, wodurh sih abweihende Routenaufwände ergeben. Verkehrsteilnehmer versuhen, größere Aufwände zu vermeiden, weshalb sie als Reaktion auf Routen mit geringeren Aufwänden ausweihen. Zur Modellierung variabler Aufwände im Speziellen Fahr- und Wartezeiten 24 werden sogenannte CR-Funktionen (Capaity Restraint) verwendet. Mittels dieser Funktionen werden Fahr- bzw. Wartezeiten TM in Abhängigkeit der Verkehrsstärke M und der Kapazität C beshrieben. Als Anforderung für die funktionale Form der CR-Funktion gilt, dass sie realitätsnahe Zeiten im normalen Verkehrsstärkenbereih 0 M C und ebenfalls noh für die anwahsenden Zeiten im Bereih M» C bzw. M > C liefern soll. In der Praxis wird oft ein BPR-Ansatz (vgl. BUREAU OF PUBLIC ROADS in [71]) verwendet. In Gleihung (3.1) ist die BPR1-Funktion formal dargestellt. æ b ö æm ö TM = t 1 a 0 + ç C ç çè ø çè ø t 0 Fahrzeit bei M = 0 a, b Parameter (3.1) Der Ansatz führt allerdings bei hohen Auslastungsgraden zu unrealistish hohen Aufwänden, d. h. der Anstieg nimmt nihtlinear zu. Verkehrstehnishe Untersuhungen zeigten jedoh, dass die tatsählihen Fahr- und Wartezeiten ab einem Sättigungsgrad SG (SG = M/C) von a. 1,2 weitgehend linear verlaufen (vgl. SCHNABEL [125] S. 248). Der Grund für die Linearisierung des Anstiegs liegt in der zeitlih endlihen Dauer der überlasteten Verkehrszustände, bei denen der Zufluss (Verkehrsstärke) über der Kapazität liegt. Vor diesem Hintergrund entwikelte LOHSE die BPR1-Funktion dahingehend weiter zu (vgl. Lohse [89]): 24 Fahr- und Wartezeiten sind jene Aufwandsgrößen die offensihtlih mit der Verkehrsstärke variieren. Für andere Aufwände, die mit diesen Größen korrelieren, ist dies grundsätzlih ebenfalls möglih.

41 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 28 TM F ì æ b ö æmö æmö t 1 a wenn F 0 + C C ç çè ø çè ø = çè ø í ï. (3.2) æ b-1 b F ö æmö t0 ( 1 a F ) a b t 0 ( M F C) wenn > F ç C çc ï è ø è ø ïî Beginn des linearen Anstiegs Ab dem frei wählbaren Punkt SG = F wird bei dieser Funktion der Grundtyp der BPR1-Funktion (gilt für M/C F) mit dem in diesem Punkt vorhandenen Anstieg linear weitergeführt. In Abbildung 3-1 ist die Funktion grafish dargestellt. Fahr- bzw. Wartezeit TM 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 F=1,2 a=1 b=6 F 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 Sättigungsgrad (M/C) Abbildung 3-1: CR-Funktion nah LOHSE Neben den beiden hier vorgestellten CR-Funktionen gibt es noh eine Vielzahl weiterer Funktionen, die für spezielle Anwendungen entwikelt wurden. Ein Überblik über vershiedene CR-Funktionstypen findet sih z. B. in ORTÚZAR/WILLUMSEN [115] und PTV [120]. Alle CR-Funktionen bestimmen die TM-Zeiten auf Basis von t 0, deren Größe sih unmittelbar aus der Länge und der freien bzw. zulässigen Geshwindigkeit der einzelnen Strekenabshnitte ableitet. Die zulässige Geshwindigkeit unterliegt wiederum dem Ausbauzustand und den verkehrsorganisatorishen Rahmenbedingungen. Im Verkehrsangebotsmodell erfolgt die Bestimmung der Aufwände von Routen. Die meisten Verkehrsnahfragemodelle benötigen jedoh einen Wert über alle verwendeten Routen einer Quelle-Ziel-Relation. Hierfür wird häufig ein mit den Verkehrsstärken der gefundenen Routen gewogener arithmetisher Mittelwert als Aufwandsgröße verwendet.

42 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung Verkehrsnahfragemodellierung Im Zentrum dieser Arbeit steht der private Personenverkehr sowie dessen Modellierung und Bewertung. 25 Personenverkehr wird von KÖHLER ET AL. ganz allgemein definiert als ([81] S. 43): [...] Summe von Ortsveränderungen einzelner Personen, die das Ergebnis eines Prozesses sind, dessen Ursprung in den Bedürfnissen der betreffenden Person liegt. Die Kausalkette dieses Prozesses, der zur Verkehrsnahfrage führt, lautet (vgl. KÖHLER ET AL. [81] S. 44): Bedürfnisse Aktivitätenbedarf Aktivitätennahfrage Ortsveränderungen. Die Ortsveränderung selbst stellt i.d. R. niht die eigentlihe Aktivität dar und ist damit lediglih Mittel zum Zwek. Es gibt folglih kein planungsrelevantes Verkehrsbedürfnis, sondern nur den Aktivitätenbedarf (z. B. Wohnen, Arbeiten, Einkaufen), der zur Aktivitätennahfrage führt, welhe die Verkehrsnahfrage hervorruft. Die Verkehrsnahfrage dient somit der Befriedigung des mittelbaren Bedürfnisses Ortsveränderung, die durh die räumlihe Trennung der vershiedenen Aktivitätenbedürfnisse entsteht. Zur Quantifizierung wird die von SCHILLER in [124] vorgeshlagene Differenzierung der Verkehrsnahfrage für den Personenverkehr übernommen. Dabei gilt, dass die Verkehrsnahfrage die Anzahl von Subjekten (Personen) oder Objekten (z. B. Fahrzeuge) - einer verhaltenshomogenen Gruppe, - die eine Ortsveränderung OV OV - von einer Quelle i OV i - zu einem Ziel j OV j ist. Die Summe über alle Ortsveränderungen OV einer aktivitätenhomogenen Gruppe - von einer Quelle OV i ergibt das Quellverkehrsaufkommen Q i, - zu einem Ziel OV j ergibt das Zielverkehrsaufkommen Z j. Das Quellverkehrsaufkommen Q i und das Zielverkehrsaufkommen Z j einer aktivitätenhomogenen Gruppe lässt zwishen den Quellen i und den Zielen j wiederum - den Verkehrsstrom v v ij, - mit einem Verkehrsmittel k v ijk, - über eine Route r v ijkr, - zu einem Zeitpunkt t v ijkrt entstehen (vgl. SCHILLER [124] S. 48). Die Verkehrsaufkommen und die untershiedlih ausgeprägten Verkehrsströme repräsentieren hierbei vershiedene Dimensionen der Verkehrsnahfrage (vgl. OPPENHEIM [114] S. 10). Sie untersheiden sih in der jeweiligen Aggregationsstufe. 25 Da im Rahmen dieser Arbeit Bewertungsansätze des privaten Personenverkehrs betrahtet werden erfolgt nahfolgend keine Vorstellung des Wirtshaftsverkehrs. Einen umfangreihen Überblik über diese Thematik gibt beispielsweise WERMUTH in [135].

43 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 30 Zur Abbildung der Verkehrsnahfrage in einem Raum werden Verkehrsnahfragemodelle verwendet, durh die [...] die Ortsveränderungen bezüglih der Aktivitätenwahl (Verkehrserzeugungsmodelle), der Verkehrszielwahl (Verkehrsverteilungsmodelle), der Verkehrsmittelwahl (Verkehrsaufteilungsmodelle) und der Routenwahl (Verkehrsumlegungsmodelle) beshrieben werden (LOHSE in [6] S. 1220). Der Anwendungsbereih dieser Modelle umfasst primär die Erfassung und Darstellung der Wirkungen verkehrinfrastruktureller, betriebliher und organisatorisher Maßnahmen auf die Verkehrsnahfrage. Ein wesentliher Anspruh an Verkehrsnahfragemodelle ist somit die Prognosefähigkeit. In den folgenden Unterkapiteln wird die Verkehrsnahfragemodellierung im Detail behandelt. Dabei soll das von LOHSE Anfang der 70er Jahre des letzten Jahrhunderts entwikelte makroskopishe Verkehrsnahfragemodell EVA 26 (kurz: EVA-Modell) als Grundlage dienen. Das Modell ist in vershiedenen Forshungsberihten (z. B. LOHSE [87] und [88], LOHSE ET AL. [90] und [91], SCHILLER [123] und [124] und DUGGE [42]) ausführlih beshrieben. Für die Darstellungen der Kapitel sowie wird im Wesentlihen auf diese Veröffentlihungen zurükgegriffen Verkehrserzeugung Gegenstand der Verkehrserzeugung ist die Bestimmung der Quell- und Zielverkehrsaufkommen aller Verkehrsbezirke sowie des Gesamtverkehrsaufkommens des Untersuhungsgebietes für einen bestimmten Zeitraum. Hierfür fließen in die Berehnung harakteristishe Raumstrukturpotentiale und die Lagegunst der einzelnen Verkehrsbezirke ein. Zur quantitativen Erfassung des Zusammenhangs zwishen Raumstrukturpotentialen und Verkehrsaufkommen dienen empirish erhobene Produktions- und Attraktionsraten. Die konkrete Verwendung spezieller Daten ist vom jeweiligen Modelltyp und der Verfügbarkeit der Daten abhängig. Das im EVA-Modell zugrunde gelegte Verkehrserzeugungsmodell ist das Kennwertmodell. Es beruht auf einer differenzierten Untersuhung der Entstehungsursahen von Ortsveränderungen bzw. Fahrten. Das Kennwertmodell stellt ein disaggregiertes Modell dar, das auf der Betrahtung aktivitätenhomogener Shihten (Quelle-Ziel-Gruppen) basiert. Diese entsprehen einer Einteilung der Ortsveränderungen des Personenverkehrs in Abhängigkeit bestimmter realisierter Aktivitäten von maßgebenden Bezugspersonen und Strukturgrößen, die mit den Ortsveränderungen in Zusammenhang stehen. Hierdurh wird versuht, elementare stohastishe Zusammenhänge, die durh Kennwerte erklärt werden können, abzubilden (vgl. LOHSE [88] S. 161). 26 EVA steht für Erzeugung, Verteilung und Aufteilung.

44 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung Quelle-Ziel-Gruppen Ausgangspunkt für die Beshreibung von Quelle-Ziel-Gruppen (QZG) sind sogenannte Aktivitätenketten. Diese stellen eine Folge von Aktivitäten dar, deren Reihenfolge den Tagesablauf einer Person beshreibt. Die Häufigkeiten solher Aktivitätenketten werden im Rahmen von Verkehrsbefragungen erhoben. Quelle-Ziel-Gruppen werden aus erhobenen Aktivitätenketten gebildet, indem disaggregierte verhaltenshomogene Verkehrsnahfrageklassen herausgelöst werden. So ergeben sih beispielsweise aus einer Aktivitätenkette: Wohnen-Arbeiten-Sonstiges-Wohnen (W-A-S-W) die entsprehenden Quelle-Ziel-Gruppen: W-A, A-S und S-W. Durh die räumlihe Trennung der Aktivitäten werden zu deren Durhführung Ortsveränderungen notwendig, denen im Rahmen des QZG-Systems je eine Quellkategorie (z. B. W) und eine Zielkategorie (z. B. A) zugeordnet werden. Hieraus resultiert wiederum eine eindeutige Zuordnung der Ortsveränderung zu einer Quelle-Ziel- Gruppe (z. B. W-A). Durh die Disaggregierung der Aktivitätenkette und den damit verbundenen Ortsveränderungen (Wege) geht jedoh deren Zusammenhang zur gesamten Wegekette verloren (vgl. WERMUTH in [135] S. 259). Auswertungen von DUGGE (vgl. [42] S. 11 f.) zeigen aber, dass über 75 % aller ausgewerteten Wegeketten kurz sind und ausshließlih heimgebundene Ortsveränderungen aufweisen, wodurh kein Informationsverlust bei Anwendung der Quelle-Ziel-Gruppen resultiert. Für einen Großteil der weiteren Wegeketten, die z. T. sehr komplex sind, können i. d. R. keine empirish repräsentativen Kennwerte ermittelt werden. Der Personengruppenbezug bei Quelle-Ziel-Gruppen wird durh die Zuordnung mindestens einer maßgebenden Bezugsperson auf der Produktionsseite hergestellt. Demgegenüber muss der Attraktionsseite mindestens eine Strukturgröße zugeordnet werden. Für die Quelle-Ziel-Gruppe W-A gilt beispielsweise, dass der Produktionsseite (Quelle) die Bezugsperson Erwerbstätige zugewiesen wird und der Attraktionsseite (Ziel) die Anzahl der Arbeitsplätze. In Abhängigkeit der zur Verfügung stehenden empirishen Daten (Bezugspersonen, Strukturgrößen, Produktions- und Attraktionsraten) und dem angestrebten Detaillierungsgrad der Verkehrsnahfragemodellierung können untershiedlihe Quelle-Ziel-Gruppen-Einteilungen verwendet werden. Häufig verwendete Einteilungen sind z. die 13er, 17er oder 21er Einteilung. In Abbildung 3-2 ist die 17er Einteilung dargestellt. Die Berehnung der Verkehrserzeugung auf Basis von Quelle-Ziel-Gruppen erfordert den Bezug der Quellen und Ziele zu einem Heimatstandort. Hieraus ergeben sih folgende drei QZG-Typen (vgl. LOHSE ET AL. [92] S. 10 f.): - QZG-Typ 1: Beginn (Quelle) der Ortsveränderung am Heimatstandort - QZG-Typ 2: Ende (Ziel) der Ortsveränderung am Heimatstandort - QZG-Typ 3: Beginn und Ende der Ortsveränderung niht am Heimatstandort.

45 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 32 Hierbei können sowohl die Wohnung (1. Priorität) als auh die Arbeitsstätte (2. Priorität) der Heimatstandort sein. von nah Wohnen Arbeiten Kindereinrihtung Bildung Dienstlihe Erledigung Einkaufen Freizeit Sonstiges Wohnen Arbeiten Kindereinrihtung Bildung Dienstlihe Erledigung Einkaufen Freizeit - WA (1) WK (1) WB (1) WD (1) WE (1) WF (1) WS (1) AW (2) - AS (1) KW (2) BW (2) DW (2) SA (2) SS (3) EW (2) FW (2) SW (2) Abbildung 3-2: Quelle-Ziel-Gruppen-Einteilung mit 17 Gruppen (Klammerwert = QZG-Typ) Sonstiges Ermittlung der Kennwerte Zur Anwendung des Kennwertmodells werden Verhaltenskennwerte zur Berehnung der Quell-, Ziel- und Gesamtverkehrsaufkommen benötigt. Diese Kennwerte umfassen die Produktionsraten (spezifishe Verkehrsaufkommen), Attraktionsraten (Erzeugungsraten) und die Binnenverkehrsanteile. Produktionsraten Die Produktionsrate ist durh LOHSE ET AL. ([92] S. 23) definiert [...] als mittlere Anzahl von Ortsveränderungen pro Person und Tag [...]. Sie wird für jede Bezugsperson in jeder Quelle-Ziel-Gruppe benötigt. Zur Ermittlung von Produktionsraten ist die Erhebung umfangreiher empirisher Daten hinsihtlih des Mobilitätsverhaltens der Bevölkerung des Untersuhungsgebiets notwendig. Entsprehende regelmäßige Erhebungen in Deutshland sind z. B. System repräsentativer Verkehrsbefragungen (SrV) oder Mobilität in Deutshland (MiD). Ausgangsbasis für die Ableitung der Produktionsraten aus den empirishen Daten bilden die bereits oben erwähnten Aktivitätenketten bzw. die Häufigkeit ihrer Durhführung je Bezugspersonengruppe. Die Produktionsrate ist stets das Verbindungselement zwishen der Anzahl der Bezugspersonen und den realisierten Ortsveränderungen. Die Bezugspersonengruppen umfassen jeweils alle Personen des Untersuhungsgebiets, die hinsihtlih der Merkmale Alter, Berufstätigkeit und Pkw-Verfügbarkeit homogen sind. Dennoh ist es möglih und teilweise auh nötig, weitere Unterteilungen vorzunehmen. Gründe hierfür sind signifikante Verhaltensuntershiede, die sih in einer untershiedlihen Produktionsrate abbilden lassen. Beispielsweise können bei entsprehend vorliegenden Daten Produktionsraten in Abhängigkeit der Lage des Verkehrsbezirks bestimmt werden und in das Kennwertmodell einfließen. Ein mögliher Ansatz hierfür findet sih in LOHSE [89]. Eine empirishe Untersuhung hinsihtlih des Einflusses des speziellen Raumtyps und damit der Lage liefert WITTWER [161]. WITTWER kommt jedoh zum Ergebnis, [...] dass der Raumtypeneinfluss gegenüber anderen verhaltensbestimmenden Merkmalen gering ist [...] ([161]

46 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 33 S.213 f.). Allerdings wird auf eine Restunsiherheit hingewiesen, da die ausgewerteten Daten teilweise widersprühlih sind. Es ist offensihtlih, dass an dieser Stelle weiterer Forshungsbedarf besteht. Attraktionsraten Aktivitäten an untershiedlihen Orten sind Grund für die Durhführung von Ortsveränderungen. Die Realisierung der Aktivität ist abhängig von den hierfür notwendigen Strukturgrößen. Diese Strukturgrößen (z. B. Arbeitsplätze) sind i. d. R., ähnlih den Bezugspersonen, aus statistishen Daten zu erheben. Analog der Zuweisung der Produktionsraten zu den Bezugspersonen, sind den Strukturgrößen Attraktionsraten zuzuweisen, die [...] als Anzahl der Ortsveränderungen pro Tag und Einheit der Strukturgröße [...] festzulegen bzw. zu shätzen sind (LOHSE ET AL. [92] S. 25). Die Bestimmung dieser Attraktionsraten ist jedoh deutlih unsiherer als die Ermittlung der Produktionsraten, da hierfür gesiherte empirishe Untersuhungen niht vorliegen (vgl. LOHSE [89] S. 98). Binnenverkehrsanteile Durh die Angabe von Binnenverkehrsanteilen werden nur jene Ortsveränderungen der Bevölkerung des Untersuhungsgebietes berehnet, die vollständig im Untersuhungsgebiet realisiert werden. Grenzübershreitende Ortsveränderungen und solhe, die vollständig außerhalb des Untersuhungsgebietes realisiert werden, gehen niht in die Berehnung ein. Die Binnenverkehrsanteile sind sowohl für die Berehnung des Quell- als auh des Zielverkehrs abzushätzen Randsummenbedingungen Die realen Verkehrsaufkommen unterliegen vershiedenen Abhängigkeiten. Während das Gesamtverkehrsaufkommen und die Verkehrsaufkommen an den Heimatstandorten durh die Anzahl der Bezugspersonen und die entsprehenden Produktionsraten eindeutig bestimmt werden können, haben die Raumstrukturgrößen sowie das Verkehrsangebot und dessen Bewertung in Form der Lagegunst einen zusätzlihen Einfluss auf einige Quell- und Zielverkehrsaufkommen (abhängig vom QZG-Typ). Für die Bestimmung der Quell- und Zielverkehrsaufkommen können grundsätzlih drei Abhängigkeiten formuliert werden: - ausshließlihe Wirkung der Raumstrukturgrößen und deren Kapazitäten, - Wirkung der Raumstrukturgrößen, deren Kapazitäten und der Lagegunst und - nur Lagegunstwirkung. Der Einfluss der Lagegunst kann jedoh erst durh die simultane Verkehrsverteilung und Verkehrsaufteilung berüksihtigt werden. Die mathematishe Beshreibung der genannten Abhängigkeiten erfolgt durh die Randsummenbedingungen, die den

47 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 34 ermittelten (vorläufigen) Verkehrsaufkommen der Verkehrserzeugung entsprehen. 27 Die Randsummenbedingungen können hierbei in vershiedener Art und je nah Anwendungsfall formuliert werden und in das EVA-Modell einfließen. Unelastishe Randsummenbedingungen Bei diesen Randsummenbedingungen ergeben sih die Erwartungswerte der Verkehrsaufkommen ausshließlih aus den maßgebenden Strukturgrößen. Dies ist bei der Betrahtung von Quelle-Ziel-Gruppen der Fall, die räumlih niht substituierbare Aktivitäten (z. B. Arbeiten, Bildung) zum Gegenstand haben. Hieraus folgt, dass die Lagegunst der Verkehrsbezirke keinen Einfluss auf die entsprehenden Quell- und Zielverkehrsaufkommen hat. Darüber hinaus werden im Rahmen der simultanen Verkehrsverteilung und -aufteilung die Verkehrsmittelaufkommen ebenfalls als unelastishe Randsummenbedingungen vorgegeben. Für diesen dreidimensionalen Anwendungsfall lautet die mathematishe Formulierung der unelastishen Randsummenbedingungen: åå j k åå i åå i k j v v v ijk ijk ijk = Q = Z i = A j k. (3.3) A Verkehrsmittelaufkommen i=1...i Laufindex Quellverkehrsbezirk Q Quellverkehrsaufkommen j=1...j Laufindex Zielverkehrsbezirk Z Zielverkehrsaufkommen k=1...k Laufindex Verkehrsmittel v Verkehrsstrom =1...C Laufindex Quelle-Ziel-Gruppe Es gilt allgemein: A = V MS (3.4) k k MS k V Verkehrsmittelanteil (Modal-Split-Anteil) des Verkehrsmittels k in der Quelle-Ziel-Gruppe Gesamtverkehrsaufkommen der Quelle-Ziel-Gruppe Elastishe Randsummenbedingungen Die Anwendung dieser Randsummenbedingungen erfolgt, wenn sih die Erwartungswerte der Verkehrsaufkommen niht allein aus den maßgebenden Strukturgrößen ergeben, sondern die untershiedlihe Lagegunst der Verkehrsbezirke eine Bedeutung besitzt. Dies gilt im Besonderen für substituierbare Aktivitäten wie z. B. Einkaufen und Freizeit. Die tatsählihen Verkehrsaufkommen sind somit auh von der Lagegunst der Verkehrsbezirke abhängig. Zum Beispiel besitzt ein Einkaufszentrum, das verkehrlih sehr gut ershlossen ist und damit eine gute Lagegunst aufweist, gegenüber einem äquivalenten 27 Die Randsummenbedingungen per se sind Elemente der simultanen Verkehrverteilung und Verkehrsaufteilung. Die quantitative Ermittlung der Randsummenbedingungen steht jedoh im engen Zusammenhang mit der Verkehrserzeugung, weshalb sie bereits an dieser Stelle vorgestellt wird.

48 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 35 Einkaufszentrum, welhes jedoh eine shlehtere Lagegunst besitzt, einen Wettbewerbsbzw. Konkurrenzvorteil. Solange keine Überlastung (in Form von Auslastung durh andere Verkehrsteilnehmer) des günstiger gelegenen Einkaufszentrums eintritt 28 werden die Verkehrsteilnehmer dieses mit einer höheren Wahrsheinlihkeit aufsuhen. 29 Aufgrund der Lagegunstabhängigkeit der Quell- und Zielverkehrsaufkommen bei Anwendung elastisher Randsummenbedingungen ergeben sih die entsprehenden tatsählih eintretenden Verkehrsaufkommen erst im Rahmen der Verkehrsverteilung und Verkehrsaufteilung. In der Verkehrserzeugung werden hingegen lediglih minimale und maximale Verkehrsaufkommen bestimmt. Hierbei repräsentieren die maximalen Verkehrsaufkommen die Obergrenze, d. h. die maximale Aufnahmefähigkeit des Verkehrsbezirks. Die minimalen Verkehrsaufkommen entsprehen zwingend zu realisierenden Verkehrsaufkommen, die selbst bei äußerst shlehter Lagegunst durhgeführt bzw. modelliert werden müssen (vgl. SCHILLER [124] S. 73 ff.). Mathematish lassen sih diese Zusammenhänge für den dreidimensionalen Fall wie folgt darstellen: åå min max min max i ijk i i i i j k min max min max j åå ijk j j j j i k Q v = Q Q Q < Q Z v = Z Z Z < Z åå i j v ijk = A k. (3.5) Grundsätzlih einzuhaltende Nebenbedingung unabhängig von der Art der Randsummenbedingung ist: ååå ijk i j k v = V. (3.6) Damit wird gewährleistet, dass das produzierte Gesamtverkehrsaufkommen stets eingehalten bzw. realisiert wird. Für tiefergreifende Diskussionen bzgl. vershiedener Randsummenbedingungen, deren Gegenüberstellung und Zusammenführung sei auf LOHSE [88], LOHSE ET AL. [92] und SCHILLER [124] verwiesen. In der Berehnungsvorshrift des einfahen Kennwertmodells (Anhang A) findet sih der sogenannte Randsummenausgleih. Hintergrund dieses Berehnungsshrittes ist die 28 Bei der Anwendung elastisher Randsummenbedingungen muss im Untersuhungsgebiet eine ausreihende Gesamtkapazität der Strukturgrößen zur Aufnahme der Verkehrsaufkommen gewährleistet sein. 29 Es sind noh zusätzlihe Nebenbedingungen in Form auslastungsabhängiger Attraktivitäten bzw. Lagegunst formulierbar, die eine Reduzierung der Attraktivität infolge der Erhöhung der Auslastung, beispielsweise eines Einkaufszentrums, berüksihtigen. Weiterführende Darstellungen hierzu finden sih z. B. in LOHSE ET AL. [92] und SCHILLER [124].

49 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 36 Feststellung, dass in der Realität bestimmte Aktivitätenketten häufiger auftreten als andere und damit Asymmetrien bei bestimmten Quelle-Ziel-Gruppen auftreten. Beispielsweise treten i. d. R. die Ortsveränderungen der Quelle-Ziel-Gruppen W-A, A-E und E-W häufiger auf als W-E, E-A und A-W, was sih ebenfalls in empirish erhobenen Produktionsraten widerspiegelt (vgl. LOHSE ET AL. [92] S. 32). Die Asymmetrien führen dazu, dass bei der Summation über alle Quell-Ziel-Gruppen i. Allg. gilt: å å Q ¹ Z. (3.7) i i i=1...i =1...C Laufindex Verkehrsbezirk (i=j) Laufindex über alle Quelle-Ziel-Gruppen Hieraus ergäbe sih ein Füllen oder Leeren der einzelnen Verkehrsbezirke, was im Kontrast zur beobahtbaren Realität steht, dass innerhalb eines verkehrlih geshlossenen Zeitraumes eine weitgehende Gleihheit der Quell- und Zielverkehrsaufkommen der Verkehrsbezirke herrsht. Im Rahmen der Verkehrsnahfragemodellierung kann daher die sinnvolle Annahme gelten: å å Q = Z. (3.8) i i Zur Einhaltung dieser Bilanzbedingung erfolgt eine Ausgleihsrehnung im QZG-Typ 3. Da hierfür alle Verkehrsaufkommen bekannt sein müssen, erfolgt der Randsummenausgleih erst nah der Berehnung der Verkehrsverteilung und Verkehrsaufteilung (vgl. LOHSE ET AL. [92] S. 32 ff.). Hieraus wird deutlih, dass Verkehrserzeugung, Verkehrsverteilung und Verkehrsaufteilung beim EVA-Modell keine unabhängigen und sequentiellen Berehnungsmodule darstellen, sondern durh sinnvolle Rükkopplungen verknüpft sind Ziel- und Verkehrsmittelwahl Bevor die simultane Ziel- und Verkehrsmittelwahl vorgestellt wird, sollen beide Ansätze getrennt betrahtet werden. Hierdurh werden untershiedlihe Restriktionen und Modellphilosophien neuerer simultaner Berehnungsansätze deutlih, deren Beahtung für die weiterführenden Überlegungen notwendig ist. Für die Zielwahl finden Modelle der Verkehrsverteilung Anwendung. Diese [...] dienen der Ermittlung der Verkehrsströme v ij zwishen allen möglihen Quellen i und Zielen j, also der Aufspaltung der Quellverkehrsaufkommen Q i auf die Ziele j bzw. der Zielverkehrsaufkommen Z j auf die Quellen i (LOHSE [89] S. 110). Das Ergebnis sind die Elemente der zweidimensionalen Verkehrsstrommatrix (vgl. Abbildung 3-3). Im Rahmen der Zielwahl besitzen die Randsummenbedingungen, aufgrund des räumlihen Bezugs, eine hohe Bedeutung.

50 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 37 von i nah j 1... j... J 1... i... I v 11 Q v ij Q i v IJ Z 1... Z j... Z J V Q I Abbildung 3-3: Kurzshreibweise einer zweidimensionalen Verkehrsstrommatrix Ein weit verbreitetes Verkehrsverteilungsmodell ist das sogenannte Gravitationsmodell, welhes in seiner formalen Struktur eine Analogie zum NEWTONshen Gravitationsgesetz aufweist und danah benannt wurde (vgl. BATES in [68] S. 26 f.). Das Modell ist im Besonderen hinsihtlih der Bewertungsfunktion (Potenzfunktion; vgl. Kapitel ) und der Einhaltung von Randsummenbedingungen eingeshränkt. Aus diesem Grund erfolgten in der Vergangenheit Weiterentwiklungen, wovon im Besonderen der Ansatz der Entropiemaximierung von WILSON ([158] und [159]) von Bedeutung ist. WILSON fasste die Entropiemaximierung als einen theoretishen Erklärungsansatz zur Begründung der bereits vorher erfolgten Modellerweiterungen zur Einhaltung vershiedener Randsummenbedingungen und der Verwendung einer Exponentialfunktion als Bewertungsfunktion auf. Die für die Ableitung dieses Ansatzes notwendige vorzugebende Systembedingung, die den Gesamtaufwand über alle realisierten Ortsveränderungen umfasst, rief allerdings Kritik hervor, da hierdurh aus einer Systemgröße individuelle Nutzerbewertungen abgeleitet werden (vgl. BRÖCKER [23] S. 94 f. und LOHSE ET AL. [92] S. 54 f.). Darüber hinaus gibt es zahlreihe weitere alternative Bewertungsfunktionen, die zur Erreihung besserer Modellierungsergebnisse dienen sollen (siehe z. B. MÄCKE/HÖLSKEN [95], MÄCKE/RUSKE [96], LOHSE ET AL. [92] und WERMUTH in [135]). Die Verkehrsmittelwahl wird mit Hilfe von Verkehrsaufteilungsmodellen realisiert, mit denen die Wahl eines zur Verfügung stehenden Verkehrsmittels erfolgt. Es kann dabei grundsätzlih in die Trip-End- und Trip-Interhange-Modelle untershieden werden (vgl. LOHSE [88] S. 234 ff.). Bei Trip-End-Modellen erfolgt unmittelbar nah der Verkehrserzeugung die Verkehrsmittelwahl auf Basis empirisher Grundlagen. Im Rahmen der Trip- Interhange-Modelle erfolgt die Verkehrsmittelwahl nah der Zielwahl. Hierfür werden i. d. R. Modelle der stohastishen diskreten Wahltheorie angewendet. Randsummenbedingungen sind dabei niht Bestandteile der Modelle. Sowohl die sequentielle und unabhängige Berehnung der Ziel- und Verkehrsmittelwahl als auh deren methodish untershiedlihe Modellierungsansätze sind kritikwürdig. Die Unabhängigkeit der Berehnungen ist abzulehnen, da davon auszugehen ist, dass Ziel- und Verkehrsmittelwahl in vielen Fällen von den Verkehrsteilnehmern niht unabhängig

51 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 38 voneinander getroffen werden. Die sequentielle Berehnung führt außerdem zu dem Problem, dass im Rahmen der Zielwahl bei Trip-Interhange-Modellen keine nah Verkehrsmitteln differenzierten Aufwandsgrößen herangezogen werden können. Somit muss für die Zielwahl eine Aufwandsgröße bestimmt werden, die für alle Verkehrsmittel als gleih angenommen werden kann (z. B. Luftlinienentfernung). Aus den oben genannten Gründen wurden in der Vergangenheit Modelle entwikelt, die eine simultane Ziel- und Verkehrsmittelwahl berehnen. Die vershiedenen Ableitungsmöglihkeiten dieser Modelle erfolgen jeweils auf der Annahme eines gemeinsamen theoretishen Entsheidungsaxioms der Ziel- und Verkehrsmittelwahl, wobei der Erklärungsansatz auf die zusätzlihe Dimension übertragen wird (siehe Abbildung 3-4). Zielwahl (Verteilungsmodelle mit Randsummenbedingungen) Verkehrsmittelwahl (stohastishe diskrete Wahlmodelle ohne Randsummenbedingungen) simultane Ziel- und Verkehrsmittelwahlmodelle Abbildung 3-4: Ableitungsansätze simultaner Ziel- und Verkehrsmittelwahlmodelle Im folgenden Kapitel wird das EVA-Grundmodell 30 vorgestellt, das seinen Modellursprung in der Zielwahl hat und Randsummenbedingungen umfasst. Daran anshließend erfolgt die Vorstellung der stohastishen diskreten Wahltheorie als zweite wesentlihe Grundlage simultaner Ziel- und Verkehrsmittelwahlmodelle. Sie ist mikroökonomish begründet und für weitere Überlegungen von Bedeutung EVA-Grundmodell Überblik Das EVA-Grundmodell hat seinen Ursprung in der Verkehrsverteilung. Aufbauend auf deren Modellierungsanforderungen und -ansätzen wurde die Verkehrsverteilung um eine weitere Dimension (Verkehrsmittel) erweitert. Die in der Verkehrsverteilung verankerten Randsummenbedingungen besitzen auh hier eine bedeutende Rolle und werden auf die Verkehrsmittelwahl ausgedehnt. 30 Das EVA-Grundmodell beshreibt nur die tri-lineare Modellierung der Verkehrsverteilung und Verkehrsaufteilung. Im Gegensatz dazu enthält das gesamte EVA-Modell auh die Erzeugung mit Randsummenausgleih.

52 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 39 Ausgangspunkt ist ein bilineares Verteilungsmodell mit unelastishen Randsummenbedingungen. In seiner allgemeinsten Form lautet es: 31 v = B fq fz ij ij i j v = Q üï ij i ï j ïïý v = Z ij j ï i ïï þ å å. (3.9) Randsummenbedingungen B ij fq i, fz j Aufwandsbewertung der Quelle-Ziel-Relation ij mittels einer Bewertungsfunktion Faktoren zur Einhaltung der quell- und zielseitigen Randsummenbedingungen Das darauf aufbauende EVA-Grundmodell der simultanen Ziel- und Verkehrsmittelwahl mit unelastishen Randsummenbedingungen ist in der Kurzshreibweise in Formel (3.10) dargestellt. v = B fq fz fa ijk ijk i j k åå j i i k åå k åå j v ijk ijk ijk Q = i ï ïïïï v Z Randsummenbedingungen v = j ý ïïïï = A k üï ï ï ïþ (3.10) B ijk fa k Aufwandsbewertung der Quelle-Ziel-Relation ij des Verkehrsmittels k mittels einer Bewertungsfunktion Faktor zur Einhaltung der Randsummenbedingung des Verkehrsmittelaufkommens A k Die simultane Ziel- und Verkehrsmittelwahl erfolgt hierbei simultan für alle Quelle-Ziel- Gruppen. Die Anzahl der zu berehnenden Verkehrsstrommatrizen ist gegeben durh das Produkt aus der Anzahl der Quelle-Ziel-Gruppen und der betrahteten Verkehrsmittel. Abshließend sind die QZG-feinen Verkehrsstrommatrizen je Verkehrsmittel durh den Besetzungsgrad zu dividieren und anshließend je Verkehrsmittel über alle Quelle-Ziel- Gruppen zu aggregieren. Den Aufwandsbewertungen B ijk kommt eine herausragende Rolle hinsihtlih der Modellierungsqualität zu. Hierbei kann bzw. muss im Sinne einer Bewertung entsprehend der Präferenzen der Verkehrsteilnehmer eine Bewertungsfunktion definiert werden (siehe Kapitel ). Die mittels der Bewertungsfunktion bestimmten Bewertungen je Alternative stellen a-priori-bewertungen in einem offenen Entsheidungsraum dar. 31 Auf die Indizierung der Quelle-Ziel-Gruppen wird im Folgenden bei der Vorstellung des EVA-Grundmodells verzihtet.

53 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 40 Entsprehend der wahrsheinlihkeitstheoretishen Ableitung des EVA-Grundmodells (vgl. Kapitel ) gilt die Einshränkung: 0 B 1. ijk Im tatsählihen Verkehrsgeshehen treten jedoh neben den Aufwänden, die unmittelbar in die Bewertung B ijk einfließen, weitere Raumrestriktionen auf, die durh die Vorgabe in Form der Randsummenbedingungen beahtet werden. Die simultane Ziel- und Verkehrsmittelwahl mittels des EVA-Grundmodells unter Einhaltung von Randsummenbedingungen ermittelt hierbei die möglihst geringste Abweihung von der (a-priori-)bewertung B ijk. Lösungsverfahren Die Lösung der Gleihung (3.10) erfolgt mittels eines sukzessiven approximativen Iterationsverfahrens. Hierbei entspriht die Lösungsmatrix v ijk einer Lineartransformation der a-priori-bewertungsmatrix B ijk. Zur Eindeutigkeit der Lösung muss neben der Beahtung von B ijk und der Randsummenbedingungen ebenfalls die Minimierung des Informationsgewinns (siehe Kapitel ) gewährleistet sein. Als Lösungsverfahren finden beispielsweise das FURNESS- (FURNESS [57]) und das MULTI-Verfahren (LOHSE in [126]) Anwendung. Das FURNESS-Verfahren ist das bekannteste und meist angewandte Iterationsverfahren zur Lösung bilinearer Gleihungssysteme. Es kann jedoh auh auf ein trilineares System übertragen werden. Das MULTI-Verfahren wurde speziell für die Lösung des EVA-Grundmodells entwikelt und hat die Eigenshaft, dass es i. d. R. shneller iteriert. Ausführlihe Beshreibungen hinsihtlih der Lösungsverfahren bei untershiedlihen Randsummenbedingungen finden sih z. B. in LOHSE ET AL. [90] und SCHILLER [124]. Potentiale Neben den Bewertungen B ijk und den Randsummenbedingungen können bzw. müssen für eine adäquate Modellierung Potentiale der Verkehrsbezirke in der simultanen Ziel- und Verkehrsmittelwahl berüksihtigt werden. Die Potentiale stellen durh die Verkehrsteilnehmer wahrgenommene und bewertete Eigenshaften der Ziele bzw. Quellen der Verkehrsbezirke dar. Größere Potentiale besitzen ein höheres Anziehungsgewiht als kleinere Potentiale, da davon ausgegangen werden kann, dass größere Potentiale einen höheren Bekanntheitsgrad besitzen. Die Potentiale gehen als ein zusätzlihes Gewiht des betreffenden Verkehrsbezirks in die simultane Ziel- und Verkehrsmittelwahl ein. Bei unelastishen Randsummenbedingungen sind die Quell- und Zielverkehrsaufkommen bereits im Rahmen der Verkehrserzeugung eindeutig determiniert, weshalb eine Berüksihtigung von Quell- und Zielverkehrspotentialen in der simultanen Ziel- und Verkehrsmittelwahl keinen Einfluss auf die berehneten Verkehrsströme besitzt. Im Gegensatz dazu werden bei elastishen Randsummenbedingungen lediglih Ober- und Untergrenzen der Verkehrsaufkommen durh die Verkehrserzeugung festgelegt. Die Verkehrsbezirke konkurrieren in diesen Grenzen um die Verkehrsaufkommen, wobei die Potentiale (neben der Lagegunst) der Verkehrsbezirke einen Einfluss haben. Hierbei sind

54 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 41 die drei untershiedlihen QZG-Typen zu beahten. Beim Typ 1 finden nur Zielverkehrspotentiale, beim Typ 2 nur Quellverkehrspotentiale und beim Typ 3 sowohl Ziel- als auh Quellverkehrspotentiale Eingang. Das EVA-Grundmodell mit Berüksihtigung von Zielverkehrspotentialen (Typ 1) lautet (vgl. z. B. LOHSE ET AL. [92] S. 118): P ijk ijk j i j k v = B Z fq fz fa åå j k åå = Q Z v = Z Z Z < Z åå ijk i min max min max j ijk j j j j i k i j v v ijk = A k. (3.11) P Z Zielverkehrspotential j Zur Bestimmung der Potentiale sind vershiedene Ansätze denkbar, wobei der allgemeinste Fall die Gleihsetzung der maximalen Verkehrsaufkommen (Obergrenze der Verkehrsaufkommen) mit den Potentialen darstellt. 32 Für die Quell- und Zielverkehrspotentiale folgt daraus: Q Z P i P j = Q = Z max i max j. (3.12) Prognosefähigkeit Die Prognosefähigkeit ist ein Qualitätsmerkmal eines Verkehrsnahfragemodells. Für die Verkehrserzeugung und Zielwahl wird die Prognosefähigkeit modelltheoretish problemlos gewährleistet, da Veränderungen in den Strukturgrößen und Produktions- und Attraktionsraten ohne Weiteres in das Prognosemodell integriert werden können. Dies ist zwar grundsätzlih auh für die Verkehrsmittelwahl möglih, jedoh fehlt i. d. R. die Kenntnis über den Modal Split für den Prognosefall. Das EVA-Grundmodell in der bisher vorgestellten Form entspriht dem Ansatz mit externer Vorgabe des Modal Splits aus empirishen Erhebungen, womit die Verkehrsmittelaufkommen A k bestimmt und in Form von Randsummenbedingungen eingehalten werden können. Da diese Informationen für den Prognosefall niht vorliegen, sind für die entsprehende Verkehrsmittelwahl äquivalente Erklärungsgrößen, die aus der Analysefallberehnung bestimmbar sind, notwendig. 32 Ein noh allgemeinerer Fall, der alle möglihen Varianten enthält, basiert auf elastishen Randsummenbedingungen mit auslastungsabhängiger Attraktivität (siehe LOHSE ET AL. [92]).

55 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 42 Der Verkehrsmittelanteil an einem Verkehrsstrom y ijk für den Analysefall lautet: y ijk v fa B ijk k ijk = = v fa B å k' å ijk ' k ' ijk ' k'. (3.13) Die Bewertungen B ijk sind hierbei von subjektiven (Präferenzen) und objektiven (Aufwände, Potentiale) Einflüssen abhängig und sollen das menshlihe Verhalten möglihst genau abbilden. Sie allein vermögen jedoh i. d. R. niht den realen Modal Split, der sih als Reaktion auf ein reales Verkehrsangebot in Abhängigkeit der Präferenzen der Verkehrsteilnehmer ergibt, im Modell abzubilden. Deshalb geht der Modal Split als ein reales beobahtbares Produkt der subjektiven und objektiven Kriterien als externe Größe in das Modell ein. Die fa k -Faktoren gewährleisten für jede Quelle-Ziel-Gruppe die Einhaltung der QZG-feinen Verkehrsmittelaufkommen. Für die Prognoseberehnung werden aus diesen Faktoren die Verkehrsmittelkonstanten C k, die normierten Verkehrsmittelgewihten entsprehen, wie folgt gebildet: C k fak = å fa. (3.14) k' k' Der Berehnungsansatz für die Prognose ist ein bi-linearer Modellansatz mit der Vorgabe der konstanten Faktoren C k. Für den Fall unelastisher Randsummenbedingungen lautet der Ansatz: P ijk ijk k i j v = B C fq fz åå j k åå i k v v ijk ijk = Q i = Z j. (3.15) Die Faktoren C k sind für jede Quelle-Ziel-Gruppe aus der Analyse zu bestimmen und für die Prognose vorzugeben. Die Faktoren fq i und fz j sind analog dem Analysefall iterativ zu bestimmen. Es ergeben sih somit die prognostizierten Verkehrsströme unter Beahtung veränderter Raum- und Verkehrsangebotsstruktur und unter unveränderten Verkehrsmittelgewihten. Aufgrund der Veränderungen ergibt sih auh ein neuer Modal Split. Modellerweiterungen Das EVA-Grundmodell ist das Urmodell für weitere Modellentwiklungen. Hierzu zählen Modellerweiterungen zur Berüksihtigung polarer und bipolarer Einzugsgebiete (vgl. LOHSE ET AL. [92] S. 62 f. und S. 92 ff.). Diese Gebiete repräsentieren in Abhängigkeit der Pole Wohnstätte (polar) und Arbeitsstätte (bipolar) den räumlihen Bereih, in denen die Ortsveränderungen durhgeführt werden. Dadurh wird gewährleistet, dass Quellen

56 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 43 und Ziele in größerer Entfernung von der Wohnstätte und der Arbeitsstätte seltener aufgesuht werden als im Nahbereih. Andere Modellerweiterungen entwikelten SCHILLER [123] (Berüksihtigung des ruhenden Verkehrs) und DUGGE [42] (Erweiterung der Simultanrehnung um die Routenwahl). In den bisherigen Ausführungen wurde das EVA-Grundmodell kurz vorgestellt und harakterisiert. Im Rahmen dieser Arbeit sind darüber hinaus Untersuhungen hinsihtlih des Erklärungsansatzes und der Interpretationsmöglihkeiten notwendig. Daher werden in den nähsten Kapiteln die modelltheoretishen Ableitungen des Modells vorgestellt EVA-Grundmodell auf Basis des BAYESshen Axioms Die Ableitung des EVA-Grundmodells ist auf Basis der Wahrsheinlihkeitstheorie möglih (siehe LOHSE ET AL. [92]). Diesen Überlegungen liegt die Annahme über das Verkehrsgeshehen als Massenersheinung mit Zufallsharakter zugrunde. Hierzu wird eine Grundgesamtheit potentieller Verkehrsteilnehmer, die eine Quelle i, ein Ziel j und ein Verkehrsmittel k zufällig auswählen, betrahtet. Die Verkehrsteilnehmer bewerten den Aufwand der ausgewählten Alternative und realisieren die Ortsveränderung ijk (Annahme oder Ablehnung) in Abhängigkeit der Bewertungswahrsheinlihkeit B ijk. Folgende zufällige Ereignisse als Teilmenge eines abstrakten Wahrsheinlihkeitsraumes werden zur mathematishen Beshreibung der potentiellen Ortsveränderungen eingeführt: - A potentiell möglihe Ortsveränderung beginnt in i (i = 1,..., I), i - E j potentiell möglihe Ortsveränderung endet in j (j = 1,..., J), - M potentiell möglihe Ortsveränderung wird mit Verkehrsmittel k durhgeführt k (k = 1,..., K), - W potentiell möglihe Ortsveränderung wird angenommen und durhgeführt, - W potentiell möglihe Ortsveränderung wird abgelehnt und niht durhgeführt. Durh Anwendung der Mengenoperationen Vereinigung und Durhshnitt ergibt sih das Ereignisfeld F in. Das Ereignisfeld besitzt als kleinste Ereignisse: ( ) ( ) A ÇE ÇM ÇW bzw. A ÇE ÇM Ç W. (3.16) i j k i j k Die Annahme bzw. Ablehnung des jeweiligen Ereignisses erfolgt in Abhängigkeit der durh die Verkehrsteilnehmer vorgenommenen Bewertung der Aufwände. Für das auf dem Ereignisfeld zu definierende Wahrsheinlihkeitsmaß P werden folgende Annahmen getroffen: - die Ereignisse A i, E j und M k sind unabhängig und es gilt folglih: ( ) ( ) ( ) ( ) P A ÇE Ç M = P A P E P M, (3.17) i j k i j k

57 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 44 - die bedingten (Bewertungs-)Wahrsheinlihkeiten B ijk zur Realisierung der potentiell möglihen Ortsveränderung ijk bezüglih der Bewertung des Aufwandes sind bekannt: ( ( )) B = P W A ÇE Ç M, (3.18) ijk i j k P( A E M W) ( ) - die Verkehrsströme v ijk werden proportional zu den bedingten (Auswahl-)Wahrsheinlihkeiten ( i j k) v P ( A E M ) W V ijk i j k Ç Ç angenommen: = Ç Ç. (3.19) Der Verkehrsstrom v ijk ergibt sih somit aus der Wahrsheinlihkeit der Auswahl der Ortsveränderung ijk aus der Grundgesamtheit aller realisierten Ortsveränderungen multipliziert mit dem Gesamtverkehrsaufkommen V. Die bedingten (Auswahl-)Wahrsheinlihkeiten sind jedoh niht bekannt. Zur Ermittlung kann die Formel von BAYES herangezogen werden (siehe z. B. MERZIGER ET AL. [106] S. 196). ( ) Ç Ç wer- Für die Ermittlung der a-posteriori-wahrsheinlihkeiten P ( A E M i j k) W den die a-priori-wahrsheinlihkeiten PW ( ( AÇE Ç M i j k) ), P( A i ), ( j ) ( ) k P M als bekannt vorausgesetzt. Mittels der Formel von BAYES ergibt sih dann: (( i j k) ) P A ÇE Ç M W = = P( W ( A ÇE ÇM )) P i j k ( A ÇE ÇM i j k) åååpw ( ( A ÇE ÇM i' j' k' )) P( A ÇE ÇM i' j' k' ) i' j' k' ååå i' j' k' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B P A P E P M ijk i j k B P A P E P M i' j'k' i' j' k' Werden die unbedingten a-priori-wahrsheinlihkeiten ( ) i P A, ( ) j P E und P E und ( ) k. (3.20) P M über gegebene Quell-, Ziel- und Verkehrsmittelpotentiale bestimmt und keine weiteren Restriktionen in Form von Randsummenbedingungen beahtet, ergibt sih das EVA-Grundmodell ohne bzw. mit offenen Randsummenbedingungen, die einen Grenzfall der elastishen Randsummenbedingungen darstellen. Randsummenbedingungen stellen in der Verkehrsnahfragemodellierung ein bedeutendes Instrument dar, weshalb eine explizite wahrsheinlihkeitstheoretishe Betrahtung notwendig ist und hier für unelastishe Randsummenbedingungen erfolgt. Für diesen Fall können die Wahrsheinlihkeiten P( A i ), P( E j ) und P( M k ) niht als bekannt vorausgesetzt werden, weshalb die bedingten a-posteriori-wahrsheinlihkeiten P( A W i ),

58 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 45 P( E W j ) und ( k ) P M W für die Berehnung herangezogen werden. Diese Wahrsheinlihkeiten sind durh die Verkehrserzeugung festgelegt und es gilt: Q Z j A i k P( A W i ) =, P( E W j ) =, P( M W k ) =. (3.21) V V V Werden die unbedingten und bedingten Wahrsheinlihkeiten ins Verhältnis gesetzt, resultieren sogenannte Lagefaktoren: ( i) ( ) ( j ) ( j ) ( k) ( ) P A P E P M q =, z = sowie a = i j k P A W P E W P M W Durh Umstellung ergibt sih: i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k. (3.22) P A = P A W q, P E = P E W z, P M = P M W a. (3.23) i i i j j j k k k Somit ergeben sih durh Einsetzen in (3.20) die a-posteriori-wahrsheinlihkeiten zur Durhführung der Ortsveränderungen: (( i j k) ) P A ÇE Ç M W = ( B P( A W) q P ijk i i ( E W j ) z P j ( M W k ) ak ) Bi' j'k' P( A W i' ) q P i' ( E W j' ) zj' ååå i' j' k' æ ö ç çè P( M W k' ) a k' ø und folglih das EVA-Grundmodell mit unelastishen Randsummenbedingungen: v ijk i' j' k' i' j' k' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B P A W q P E W z P M W a ijk i i j j k k = V B P A W q P E W z P M W a ååå i' j'k' i' i' j' j' k' k' Q Z i j Ak B q z a ijk i j k = V V V V Q Z i' j' Ak' åååb q z a i' j'k' i' j' k' V V V Dies kann umformuliert werden zu: (3.24). (3.25) Q Z i j Ak v = B q z a f, (3.26) ijk ijk i j k V V V woraus sih die allgemeine Kurzshreibweise des EVA-Grundmodells (vgl. Gleihung (3.10)) durh Zusammenfassen ergibt:

59 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 46 v = B fq fz fa ijk ijk i j k åå j i i k åå k åå j v v v ijk ijk ijk = Q i = Z j = A k. Durh die Lösung des trilinearen Gleihungssystems unter Einhaltung der Randsummenbedingungen und Minimierung des Informationsgewinns ergeben sih die Lösungsfaktoren fq i, fz j und fa k. Erst durh diese Faktoren lassen sih die unbedingten Wahrsheinlihkeiten ( ) i P A, ( ) P E und ( ) j P M bestimmen. k EVA-Grundmodell auf Basis der Informationsgewinnminimierung Eine weitere Ableitung des EVA-Grundmodells ist (unmittelbar) über den Ansatz der Minimierung des Informationsgewinns (siehe hierzu LOHSE ET AL. [92]) möglih und formal dem theoretishen Ansatz der Entropiemaximierung von WILSON ähnlih, jedoh allgemeiner. Analog zum vorangegangen Kapitel erfolgt auh hier die Ableitung des EVA- Grundmodells mit unelastishen Randsummenbedingungen. Entsprehende Ansätze für elastishe Randsummenbedingungen sind deutlih komplexer und sollen daher an dieser Stelle niht aufgezeigt werden (siehe hierzu LOHSE ET AL. [92], LOHSE [89] und SCHILLER [123]). Wie bereits in Kapitel beshrieben, stellt die a-priori-bewertungsmatrix B ijk den Ausgangspunkt der Überlegungen dar. Die Bewertung erfolgt auf Basis der Präferenzen der Verkehrsteilnehmer, wodurh davon auszugehen ist, dass die sih ergebende Matrixordnung einem gewünshten Zustand der Verkehrsteilnehmer entspriht. 33 Neben dieser originären, auf den Präferenzen der Verkehrsteilnehmer beruhenden Verteilung, wirken jedoh zusätzlihe Raumrestriktionen, die der Verwirklihung dieser Wunshverteilung entgegen stehen. Diese Restriktionen fließen in Form der Randsummenbedingungen in das Modell ein. Die unter den gegebenen Bewertungen und Restriktionen realisierte Verkehrsnahfrage der Verkehrsteilnehmer kann durh den Ansatz der Minimierung des Informationsgewinns (siehe SHANNON [127], BREGMAN [21], LOHSE ET AL. [92]) beshrieben werden. Der Berehnungsansatz zur Ermittlung des Informationsgewinns für das EVA-Grundmodell lautet: 33 Es werden hier bewusst niht die Begriffe Nutzen oder Nutzenmaximierung verwendet, da in dieser Arbeit der Begriff Nutzen unter der strengen Definition des in der Mikroökonomie verwendeten Nutzenprinzips Anwendung finden soll (vgl. Kapitel 2 und ). Es ist dennoh grundsätzlih möglih, dass die Bewertungen B ijk der Nutzenmaximierung im ökonomishen Sinne genügen.

60 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 47 é æv ö ù ê ç ú I = v ln çè B ë øû ijk ååå ijk. (3.27) ç i j k ê ijk ú Ziel des Ansatzes der Informationsgewinnminimierung ist es jene Verkehrsstrommatrix v ijk zu finden, welhe unter Einhaltung der Randsummenbedingungen die geringste Abweihung von der Ausgangsmatrix aufweist. Es handelt sih folglih um ein Extremwertproblem mit Nebenbedingungen. Zur Bestimmung des Informationsgewinnminimums kann eine von BREGMAN entwikelte Relaxationsmethode zur Lösung konvexer Optimierungsaufgaben (vgl. BREGMAN [21] S. 147 ff.) Anwendung finden. Es gilt hierbei, dass zu einer gegebenen Bewertungsmatrix B ijk und unter Berüksihtigung affin-linearer Nebenbedingungen der Form: åå j i i k åå k åå j v v v ijk ijk ijk = Q i = Z j = A k die gesuhten Verkehrsströme: v = B fq fz fa ijk ijk i j k als Lösung des konvexen Optimierungsproblems: 34 é æv ö ù ijk ( ijk ijk ) I v B = v ln ååå v Min! ijk - ç ijk i j k B (3.28) ê çè ijk ø ú ë û beshrieben werden können. Zusätzlih gilt: - der Ausdruk ( 0 ln0) wird als Null interpretiert, - die Summation erstrekt sih über alle Tripel ( i, j,k ) der Menge M = {( i,j,k) = B > 0 ijk } und > mit ( i, j,k) M v = 0 - der gültige Bereih wird von allen Matrizen v ijk 0 mit ( i, j,k) Ï M gebildet. Î und ijk 34 Die zusätzlihe Subtraktion des Gesamtverkehrsaufkommens (åååv ijk ) ermögliht eine wesentlih i j k einfahere mathematishe Handhabung ohne eine Beeinflussung des Ergebnisses.

61 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 48 Durh Anwendung der Multiplikatorenmethode von LAGRANGE auf das Optimierungsproblem (3.28) mit den oben stehenden Nebenbedingungen ergibt sih folgende LAGRANGE-Funktion: é æv ö ù æ ö ijk F = v ln ååå ijk - v + x v -Q ijk i ijk i i j k B å åå ê ç ijk ú i ç j k ë è ø û è ø. (3.29) æ ö æ ö + o v Z å p v A j - ijk j + - k ijk k çåå å åå j è i k ø k ç è i j ø Wenn das System wenigstens eine zulässige Lösung besitzt, dann existiert ebenfalls eine eindeutig bestimmte optimale Lösung, welhe den Nebenbedingungen und den Gleihungen: æv ö F ijk = ln + x + o + p = 0 i j k ( i, j,k) ÎM v ç B ijk çè ijk ø (3.30) genügt. Hieraus folgt die optimale Lösung: ( ) i j k v = B e e e i,j,k ÎM ijk ijk -x -o -p = B fq fz fa e -x ijk i j k e -o e -p, (3.31) i j mit fq =, fz = und fa i j k = k, wobei x i, o und p die LAGRANGE-Faktoren j k darstellen. Die optimale Lösung des Ansatzes entspriht dem EVA-Grundmodell mit unelastishen Randsummenbedingungen. Im Untershied zur wahrsheinlihkeitstheoretishen Ableitung ist eine Interpretation bzw. Transformation der Bewertungen als Wahrsheinlihkeitsmaß niht notwendig (aber möglih), weshalb dieser Ansatz im Vergleih (noh) weniger restriktiv ist. Für die Bewertungen B ijk gilt jedoh die praktish gegebene Einshränkung: B ³ 0. ijk Stohastishe diskrete Wahltheorie Hintergrund Ausgangspunkt dieser Theorie sind mikroökonomishe Problemstellungen diskreter Natur an deren Lösung die klassishe mikroökonomishe Konsumtheorie sheitert. Werden diskrete Gütermengen nahgefragt, so ist die Annahme beliebig teilbarer Gütermengen verletzt. Dies trifft auh bei der Formulierung von Verkehrsnahfragemodellen auf mikroökonomisher Basis zu, da stets nur ein Gut, d. h. eine Fahrt realisiert werden kann.

62 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 49 Der Lösungsansatz findet sih auf dem Gebiet der Verhaltenswissenshaften. 35 Hier wurden im Rahmen psyhologisher Experimente (vgl. THURSTONE [141]) ansheinend zufällige Reaktionen von Probanden auf einen gegebenen Stimulus festgestellt, die mit deterministishen Ansätzen niht befriedigend erklärt werden konnten. Daher wurden zur Erklärung des Verhaltens teilstohastishe Entsheidungsmodelle entwikelt, die im Gegensatz zu rein deterministishen Modellen auh eine stohastishe Modellkomponente besitzen. Die Übertragung auf mikroökonomishe Fragestellungen gelang, indem ein beobahtbarer Nutzen als messbarer Stimulus aufgefasst wurde, woraus eine ökonomishe stohastishe Wahltheorie resultiert. Die Problematik der diskreten Wahl kann folglih mittels Modellen der stohastishen Wahltheorie gelöst werden. Hierbei lassen sih grundsätzlih zwei Ansätze untersheiden (vgl. BEN-AKIVA/LERMAN [14] S. 48 ff.): - stohastishe Wahltheorie mit konstantem (deterministishen) Nutzen und - stohastishe Wahltheorie mit stohastishem Nutzen (Zufallsnutzentheorie). Die beiden Ansätze untersheiden sih hinsihtlih der Berüksihtigung der stohastishen Komponente. Modelle mit konstantem Nutzen weisen eine stohastishe Entsheidungsregel auf, während Modelle mit stohastishem Nutzen eine deterministishe Entsheidungsregel besitzen. In Hinblik auf ökonomishe Untersuhungen und Interpretationen ist die zweite Modellklasse von wesentlih größerer Bedeutung, da sie im Grundgedanken der mikroökonomishen Konsumtheorie wesentlih ähnliher und mit der Annahme rationalen Verhaltens der Entsheidungsträger vereinbar ist. Aufgrund dieser Bedeutung wird in der Literatur im Zusammenhang mit der (stohastishen) diskreten Wahltheorie (disrete hoie theory) zumeist die Zufallsnutzentheorie (random utility theory) unterstellt. Im Folgenden wird der Ansatz der stohastishen diskreten Wahltheorie auf Grundlage der Zufallsnutzentheorie vorgestellt. Da die Thematik sehr umfangreih ist und hier nur in den für diese Arbeit relevanten Punkten erläutert wird, sei für weiterführende Darstellungen beispielsweise auf DOMENCICH/MCFADDEN [40], MANSKI/MCFADDEN [102], BEN- AKIVA/LERMAN [14], TRAIN [143] und MAIER/WEISS [100] verwiesen, auf denen auh die folgenden Ausführungen weitestgehend beruhen. 35 Einen historishen Abriss über die Entwiklung der diskreten Wahltheorie gibt MCFADDEN in [105].

63 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung Allgemeiner Ansatz Zunähst ist für die Darstellung des allgemeinen Ansatzes der Modelle diskreter Wahlentsheidungen die Alternativenmenge A n der einzelnen Entsheidungsträger (Choie Set), die zwishen den Individuen variieren kann 36, zu definieren: { } A = a,a,...,a. (3.32) n 1n 2n B n n a n=1...n b=1...b n Elemente der Alternativenmenge Laufindex Entsheidungsträger Laufindex Elemente der Alternativenmenge Eine inhaltlihe Spezifikation erhalten die Alternativen durh die Beshreibung ihrer Charakteristika in Anlehnung an den Ansatz von LANCASTER [85], der eine Erweiterung der mikroökonomishen Konsumtheorie darstellt. Die Bewertung und der Vergleih der Alternativen erfolgt auf Basis des Nutzens. Hierfür ist eine Nutzenfunktion u aufzustellen, die neben den durh ihre Charakteristika beshriebenen Alternativen ebenfalls sozioökonomishe Charakteristika der Entsheidungsträger beinhaltet. Der alternativenspezifishe Nutzen kann ausgedrükt werden als: ( ) ( ) u a = u C, S. (3.33) b bn bn n C S Vektor der Alternativenharakteristika Vektor der sozioökonomishen Charakteristika des Entsheidungsträgers Die in Gleihung (3.33) beshriebene Nutzenfunktion ist vollständig deterministisher Natur. Da dies im Rahmen diskreter Auswahlentsheidungen zu keinen realistishen Ergebnissen führt, erfolgt die Formulierung im Rahmen der Zufallsnutzentheorie (vgl. MANSKI [101]), wobei die Nutzenfunktion neben der deterministishen ebenfalls eine stohastishe Komponente umfasst. 37 Es gilt somit: ( ) ( ) e( ) u = u a = u C, S + C, S = u + e. (3.34) bn bn bn n bn n bn bn Die Funktion u stellt hierbei die deterministishe Nutzenkomponente dar und beshreibt die Beziehung der beobahtbaren Charakteristika der Alternativen und der sozioökonomishen Charakteristika der Individuen und dem deterministishen Nutzen. Die stohastishe Nutzenkomponente auh Störgröße oder Störterm genannt repräsentiert hingegen einen vom Modellierer niht erfassbaren Einfluss, der als Differenz zwishen dem 36 Zum Beispiel hat eine Person ohne Führershein im Rahmen der Verkehrsmittelwahl niht die Alternative des Fahrens eines Pkw. Die Gesamtheit über alle überhaupt verfügbaren Alternativen wird als universelle Alternativenmenge bezeihnet. 37 Durh diese additive Zusammenfassung zweier Nutzenkomponenten weist der Nutzen kardinale Eigenshaften auf. Dies steht zwar im Widerspruh zur vorherrshenden ordinalen Nutzentheorie innerhalb der Mikroökonomie, BATLEY zeigt jedoh in [10], dass der kardinale Nutzen in Modellen der Zufallsnutzenmaximierung als Repräsentant des ordinalen Nutzens aufgefasst werden kann.

64 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 51 wahren Nutzen u und dem erfassten Nutzen u verstanden werden kann (vgl. TRAIN [143] S. 19). Hierdurh wird der Gesamtnutzen u als Zufallsgröße beshrieben, wobei u als Erwartungswert und als Streuung um diesen Wert interpretierbar sind. Für die Unvollständigkeit der zur Erklärung des beobahteten Entsheidungsverhaltens benötigten Informationen werden in der Fahliteratur folgende vier Hauptgründe aufgezählt (vgl. z. B. BEN-AKIVA/LERMAN [14] S. 56 f.): - unbeobahtete Charakteristika der Alternativen (C bn ist unvollständig), - unbeobahtete sozioökonomishe Charakteristika (S n ist unvollständig), - Messfehler und - Instrumentenvariablen, d. h. Variablen, die nur indirekt beobahtet werden können. Neben den genannten Gründen, die die Unvollständigkeit der Informationen des Modellierers bezüglih des Entsheidungsverhaltens der Entsheidungsträger umfassen, ist im Rahmen der Verkehrsnahfragemodellierung auh ein subjektiver Shätzfehler der Entsheidungsträger zu beahten. Es ist davon auszugehen, dass der Verkehrsteilnehmer die realen Aufwände niht exakt kennt bzw. wahrnimmt und die der Entsheidung zugrundeliegenden Aufwände einer Streuung unterliegen. Die Störgröße umfasst somit sowohl die Unvollständigkeit der Informationen des Modellierers als auh des Entsheidungsträgers. In der Zufallsnutzentheorie wird entsprehend dem klassishen Nutzenkonzept dem Entsheidungsträger rationales Verhalten unterstellt, woraus das Prinzip der Zufallsnutzenmaximierung resultiert. Es wird dabei eine Wahrsheinlihkeitsaussage über die Auswahl der Alternative a bn getroffen, die bei Zugrundelegung der (Zufalls-)Nutzenmaximierung der Wahrsheinlihkeit entspriht, dass diese Alternative den höhsten Nutzen aufweist. Es gilt: ( ) ( e e bn bn b' n b' n n ) ( e e bn bn b' n b' n n ) ( e e bn b' n b' n bn n ) P = Prob u ³ u, b' = 1,...,B bn bn b' n n = Prob u + ³ u +, b' = 1,...,B = Prob u + - u ³, b' = 1,...,B = Prob u - u ³ -, b' = 1,...,B. (3.35) Aus den Gleihungen (3.35) wird deutlih, dass für die Auswahlwahrsheinlihkeit einer Alternative, aufgrund der additiven Verknüpfung der deterministishen und stohastishen Nutzenkomponente, die Nutzendifferenzen maßgebend sind. Da über die stohastishen Nutzenanteile der Alternativen nihts Genaues bekannt ist, werden diese als zufällig betrahtet. Infolgedessen muss eine Annahme über deren Verteilung erfolgen. Durh die konkrete Annahme und Festlegung dieser Verteilung, der damit ebenfalls die Wahrsheinlihkeitsverteilung von u unterliegt, kann die rehte Seite der Gleihungen in (3.35)

65 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 52 berehnet werden. Allgemein kann die gemeinsame Verteilung der Störterme aller Alternativen des Individuums n angegeben werden als: ( ) f e, e..., e. (3.36) n 1n 2n B n n Die Funktion f wird als Dihtefunktion bezeihnet und entspriht einer stetigen Wahrsheinlihkeitsverteilung. 38 Sie sagt jedoh nihts über die Beziehung der alternativenspezifishen Störterme aus. Diese können grundsätzlih über die Individuen und auh über die Alternativen variieren und miteinander korrelieren. Die Auswahlwahrsheinlihkeit einer Alternative b = 1 des Individuums n ergibt sih durh Lösen des folgenden geshahtelten Integrals, wobei alle Wehselwirkungen zwishen den Alternativen berüksihtigt werden: + u + e -u 1n 1n 2n 1n 1n B n n u + e -u ( ) P... f e, e,..., e d e...de = ò ò ò. (3.37) 1n n 1n 2n B n B n 1n n n Die numerishe Berehnung von (3.37) ist sehr aufwendig und bei einer größeren Alternativenanzahl kaum praktikabel. Durh die Annahme einer mathematish günstigen Verteilung von ist jedoh, wie noh gezeigt wird, die Berehnung der Auswahlwahrsheinlihkeiten in einer geshlossenen Form möglih. Dies ist darüber hinaus noh von der Unabhängigkeit der Zufallskomponente von den alternativenspezifishen und sozioökonomishen Charakteristika abhängig (vgl. Gleihung (3.34)). Wenn das gewährleistet ist, dann bewirkt eine Änderung eines Charakteristikums (wird in u berüksihtigt) eine Vershiebung, aber keine Veränderung der Verteilung von u. Diese Eigenshaft wird als Translationsinvarianz bezeihnet und führt dazu, dass Nutzendifferenzen unabhängig vom Absolutwert stets zu gleihen Auswahlwahrsheinlihkeiten führen. Deterministishe Nutzenkomponente Die deterministishe Nutzenkomponente stellt den eindeutig quantifizierbaren Anteil der Nutzenfunktion dar und ist folglih maßgebend für die Bewertung der Alternativen. In der Literatur wird zumeist die deterministishe Nutzenkomponente durh eine Nutzenfunktion beshrieben, die linear in den Parametern ist. Diese lautet allgemein: ( ) u = å b X mit X = h C, S. (3.38) bn l bnl bnl l bn n l Hierbei wird X bnl als l-te unabhängige erklärende Variable der Nutzenfunktion u bezeihnet. Die Funktion h l stellt die Transformation dar, die der Modellierer mit den Rohdaten, d. h. den Werten der Charakteristika der Alternativen und den Werten der sozioökonomishen Charakteristika, durhführt. Die Transformationen dienen der Erhöhung der 38 Daher ist die Wahrsheinlihkeit für u in = u jn stets Null und es liegt immer eine eindeutige Präferenzordnung vor. Für nähere Erläuterungen siehe z. B. MAIER/WEISS [100] S. 102ff.

66 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 53 Erklärungskraft des Modells, wofür grundsätzlih keine Restriktionen gesetzt und auh nihtlineare Funktionen zulässig sind (siehe Kapitel ). Die Parameter l stellen zu shätzende Größen dar, die beispielsweise aus stated-response-befragungen gewonnen werden können. Die mittels der Funktion h l transformierten Variablen lassen sih folgendermaßen klassifizieren (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 127 f.): - Generishe Variablen: sind erklärende Variablen, die über alle Alternativen variieren und sih i. Allg. aus C bn ergeben. Sie können darüber hinaus auh über die Individuen variieren. Beispiel: Reisezeit und Reisekosten. - Alternativenspezifishe Konstanten: repräsentieren i. d. R. qualitative Ausprägungen. Beispiel: Verkehrsmittelkonstante, Quell- und Zielpotentiale. - Alternativenspezifishe sozioökonomishe Variablen: weisen ähnlihe Merkmale wie die alternativenspezifishen Konstanten auf, variieren allerdings über die Individuen. Beispiel: einkommensabhängige Variable nur für das Verkehrsmittel MIV. Neben der vorgestellten Form der Nutzenfunktion mit linearen Parametern existieren beliebig viele Möglihkeiten der Spezifikation der deterministishen Nutzenkomponente. Die Beliebtheit der vorgestellten Form liegt in der einfahen Shätzbarkeit der Parameter. Stohastishe Nutzenkomponente Im Gegensatz zur deterministishen Nutzenkomponente kann die stohastishe Nutzenkomponente niht durh beobahtbare und messbare Größen quantifiziert werden. Für sie muss eine Annahme über die Verteilungsfunktion der Störterme getroffen werden, die über grundlegende Eigenshaften des Modells entsheidet. Aufgrund dieser Bedeutung wird die Spezifizierung der Verteilung der Störterme zur Klassifizierung der Zufallsnutzenmodelle herangezogen. Die bedeutendsten Verteilungen der Störterme und die Hauptvertreter der daraus ableitbaren Modelle sind: - Gumbelverteilung (Logit-Modell), - Normalverteilung (Probit-Modell) und - Gleihverteilung der Differenz der Störterme (lineares Wahrsheinlihkeitsmodell). Im Rahmen der Verkehrsnahfragemodellierung besitzt das Logit-Modell die größte Bedeutung. Dies liegt vor allem an der geshlossenen Modellform zur Berehnung der Auswahlwahrsheinlihkeiten (vgl. Gleihung (3.37)). Das Logit-Modell soll aufgrund seiner Bedeutung nahfolgend vorgestellt werden Logit-Modell Während die meisten Modelle der Zufallsnutzentheorie für den binären Fall, d. h. die Wahl zwishen zwei Alternativen, noh relativ problemlos angewandt werden können, ist dies für den multinomialen Fall niht oder nur unter sehr großem rehentehnishen Aufwand möglih. Mit dem multinomialen Logit-Modell allerdings sind die

67 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 54 Auswahlwahrsheinlihkeiten einer beliebig großen Anzahl von Alternativen problemlos berehenbar. Die formale Darstellung lautet: P bn m u bn e =. (3.39) å m ub'n e b' Skalierungsparamter Die Ableitung des Modells findet sih in Anhang B und beruht auf der Annahme unabhängig und identish Gumbel-verteilter Störterme. Der Skalierungsparameter dient der Skalierung des Nutzens und muss zur Identifizierung der Parameter der deterministishen Nutzenkomponente a priori fixiert werden (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 139). In der Regel wird dem Parameter der Wert Eins zugewiesen. 39 Das multinomiale Logit-Modell kann folglih auh geshrieben werden als: P bn b' u bn e =. (3.40) å ub'n e Entsprehend der Zufallsnutzentheorie sind alle nahfragebeeinflussenden Faktoren Bestandteil der deterministishen Nutzenfunktion, in der die Präferenzen der Verkehrsteilnehmer Eingang finden. Die formale Struktur des Modells und die Exponentialfunktion sind Resultate aus der Annahme über die Verteilungsfunktion der Störterme. Die mittels des Logit-Modells bestimmten Auswahlwahrsheinlihkeiten genügen den Axiomen der Wahrsheinlihkeitsrehnung nah KOLMOGOROW (siehe z. B. BAMBERG ET AL. [7] S. 80). Somit gilt: 0 P 1 und bn å P = 1, wobei die Auswahlwahrsheinlihkeiten von Null und Eins nur im Grenzübergang erreiht werden (vgl. b'n b' MAIER/WEISS [100] S. 138). Aus diesen Eigenshaften ist ersihtlih, dass trotz der strengen theoretishen Annahmen zur Ableitung des Logit-Modells dieses ebenfalls den allgemeineren wahrsheinlihkeitstheoretishen Anforderungen genügt. Hierdurh ist es möglih, jedes auf Auswahlwahrsheinlihkeiten basierende Modell in Form des Logit- Modells darzustellen (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 224). In diesem Zusammenhang wird in der Literatur vom universalen Logit-Modell oder auh mother logit gesprohen. In Anhang C ist das EVA-Grundmodell in Form des universalen Logit-Modells dargestellt. Eine weitere bedeutende Eigenshaft des Modells ist die sogenannte IIA-Eigenshaft (Independene from Irrelevant Alternatives), die besagt, dass das Verhältnis der Auswahlwahrsheinlihkeiten zweier Alternativen unabhängig von der Verfügbarkeit und den 39 Der Parameter hat in bestimmten Logit-Modellvarianten (Nested-Logit-Modell) eine explizite Bedeutung. Die Thematik wird jedoh in dieser Arbeit niht betrahtet.

68 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 55 Charakteristika anderer Alternativen ist (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 141). Diese Eigenshaft weisen alle Modelle zur Bestimmung von Auswahlwahrsheinlihkeiten auf, die den Axiomen der Wahrsheinlihkeitsrehnung genügen und bei denen nur Eigenshaften der betrahteten Alternative in deren deterministishe Nutzenfunktion eingehen (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 226). Das Logit-Modell hat zur Verbesserung der Modelleigenshaften zahlreihe Weiterentwiklungen erfahren. Hierzu zählen z. B. das Nested-Logit-Modell oder das Mixed-Logit- Modell. Das Probit-Modell ist das flexibelste Zufallsnutzenmodell, welhes auf die Annahme unabhängig und identish verteilter Störterme verzihtet, deren Auswahlwahrsheinlihkeiten jedoh niht in einer mathematish geshlossenen Form bestimmt werden können. Das von BRILON/DETTE entwikelte Rubit-Modell (vgl. [22]) ist (ähnlih dem Logit-Modell) einfah berehenbar, wird jedoh über die Annahme der multiplikativen Verknüpfung der deterministishen und stohastishen Nutzenkomponente abgeleitet. Stohastishe diskrete Wahlmodelle und das Logit-Modell als deren Hauptvertreter besitzen im Rahmen der Verkehrsnahfragetheorie zwei wesentlihe Anwendungsgebiete. Dies sind zum einen die Modellierung der Verkehrsnahfrage, zum anderen die Shätzung der Zahlungsbereitshaften der Verkehrsteilnehmer für die Einsparung einer Zeiteinheit, d. h. zur Ermittlung des Wertes der Zeit, aus Befragungsergebnissen. Für die Berehnung der Verkehrsnahfrage stellt das Wahlmodell die Verkehrsnahfragefunktion für einen repräsentativen Verkehrsteilnehmer einer Personen- und/oder Quelle-Ziel-Gruppe dar. Dabei ist zu beahten, dass zusätzlih bestehende Untershiede in den sozioökonomishen Charakteristika der Verkehrsteilnehmer einer Gruppe niht explizit in u eingehen und als Störungseinfluss aufgefasst werden (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 199). Die deterministishe Nutzenkomponente ist für jeden Verkehrsteilnehmer der Gruppe gleih. Zur Bestimmung der tatsählih realisierten Nahfrage aller Verkehrsteilnehmer der Gruppe ist die Auswahlwahrsheinlihkeit mit dem entsprehenden Verkehrsaufkommen zu multiplizieren. Im Fall der globalen Fixierung des Gesamtverkehrsaufkommens lautet die Verkehrsnahfragefunktion für die simultane Ziel- und Verkehrsmittelwahl einer Quelle-Ziel-Gruppe (Joint-Logit-Modell): v ijk u ijk e = V. (3.41) u i' j'k' e ååå i' j' k' Die Fixierung kann ebenfalls quell- oder zielseitig erfolgen, hingegen ist die Einhaltung beidseitiger Randsummenbedingungen niht möglih. Der zweite oben genannte Anwendungsfall liefert für zahlreihe Bewertungsverfahren die monetären Zeitwerte für die Monetarisierung von Reisezeiteinsparungen im Rahmen

69 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 56 der ökonomishen Gesamtbewertung von Verkehrsprojekten mittels NKA. Weitere Erläuterungen dazu finden sih in Kapitel Bewertung von Alternativen Nahezu jedem Verkehrsnahfragemodell liegt eine Bewertung der Alternativen zugrunde. Bereits in Kapitel 3.1 wurde erwähnt, dass der Aufwand, der der Realisierung der Alternative entgegen wirkt, von zentraler Bedeutung ist. Der Aufwand setzt sih häufig aus mehreren Aufwandskomponenten, wie z. B. Fahrzeit, Zu- und Abgangszeit, Wartezeit und Fahrtkosten, die je nah Anwendungsfall und betrahtetem Verkehrsmittel berüksihtigt werden, zusammen. Für die Verkehrsnahfrageberehnung ist die Bestimmung einer Gesamtbewertung je Alternative, unabhängig von der Anzahl zu berüksihtigender Aufwände, notwendig. Eine solhe wertende Verknüpfung der vershiedenen Aufwände ist grundsätzlih durh die Bewertung der Einzelgrößen mit anshließender multiplikativer Verknüpfung m m ( ) B = f a (3.42) m a Aufwand m=1...m Laufindex Aufwandsgröße f Bewertungsfunktion(en) oder mittels additiver Verknüpfung der Aufwände mit anshließender Bewertung möglih. æ ö B = f f ( a ) ç å (3.43) çè ø A I m m Beide Ansätze beinhalten Bewertungsfunktionen als zentrales Element. Die Bewertungsfunktion in (3.42) und die Funktion f A in (3.43) stellen dabei einen funktionalen Zusammenhang zwishen einer (zusammengefassten) Aufwandsgröße als maßgebendes Charakteristikum einer Alternative und der Akzeptanz der Alternative durh den Verkehrsteilnehmer dar. Gleihung (3.43) beinhaltet eine zweistufige Bewertung in Form der inneren Bewertungsfunktionen f I und der äußeren Bewertungsfunktion f A. Funktion f I entspriht dabei einer wertenden Wihtungsfunktion zur Zusammensetzung untershiedliher Aufwände. Hinsihtlih der expliziten Betrahtung der äußeren Bewertungsfunktion ist zwishen den vorgestellten Modellansätzen zu untersheiden. In verkehrsplanerishen Modellen stellt die funktionale Form der äußeren Bewertungsfunktion eine zentrale Modelleigenshaft dar, die auf die Modellierungsqualität großen Einfluss hat. Die Funktion ist nah der Fähigkeit der adäquaten Abbildung menshlihen Bewertungsverhaltens zu wählen. Demgegenüber erfolgt im Rahmen der Modelle der diskreten Wahl (in der ökonomishen

70 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 57 Fahliteratur) keine unmittelbare Betrahtung der äußeren Bewertungsfunktion, obgleih auh diese Modelle über dieses Element verfügen. In diesem Zusammenhang kann die Exponentialfunktion als äußere Bewertungsfunktion des Logit-Modells verstanden werden. Die Alternativenbewertungen der in dieser Arbeit relevanten Modelle lassen sih alle mittels der beiden oben gezeigten Ansätze formulieren, wobei Gleihung (3.43) im Folgenden eine größere Bedeutung besitzt. Im nähsten Unterkapitel sollen spezielle (äußere) Bewertungsfunktionen betrahtet und verglihen werden. Daran anshließend erfolgt die Vorstellung mehrerer mögliher Ansätze zur Bildung eines zusammengesetzten Aufwands, d. h. der inneren Bewertungsfunktion Bewertungsfunktionen Bewertungsfunktionen 40 besitzen die Aufgabe, die Akzeptanz der Verkehrsteilnehmer bezüglih eines zu überwindenden (zusammengefassten) Aufwandes möglihst realitätsnah abzubilden. Die Begründung der Auswahl spezieller Funktionstypen erfolgt in Abhängigkeit empirisher Beobahtungen des Verkehrsgeshehens und daraus abgeleiteter Annahmen über das Verhalten der Verkehrsteilnehmer. Bedeutende Funktionstypen für die Bewertung der Aufwände sind Potenz-, Exponential- sowie EVA-1- und EVA-2-Funktionen. Die Potenzfunktion ergibt sih zum einen unmittelbar aus dem Gravitationsgesetz und ist die ursprünglihe Bewertungsfunktion des Gravitationsmodells der Verkehrsverteilung, zum anderen ist sie Bestandteil des Rubit- Modells (vgl. BRILON/DETTE [22]). Die theoretishe Begründung des Gravitationsmodells durh den Ansatz der Entropiemaximierung von WILSON führt zur Exponentialfunktion, die ebenso Teil des Logit-Modells ist. Aufgrund teilweise unzureihender Eigenshaften zur Abbildung menshlihen Bewertungsverhaltens dieser Funktionstypen entwikelte LOHSE (vgl. [87], [88], [89]) die EVA-Funktionen, wobei spezielle psyhologishe und physiologishe Erkenntnisse über die Wahrnehmung von Reizen beim Menshen Berüksihtigung fanden. Auf das Verhalten der Verkehrsteilnehmer übertragen ergibt sih dabei, dass die Bewertung bzw. Wertshätzung einer Alternative mit zunehmendem absolutem Aufwand sinkt und Aufwandsuntershiede im Nahbereih eher unbedeutend sind und folglih nahezu gleih bewertet werden. Es gibt darüber hinaus noh zahlreihe weitere Ansätze und Kombinationen vershiedener Funktionen (siehe z. B. LOHSE ET AL. [92], WERMUTH in [135] oder ORTÚZAR/WILLUMSEN [115]). Von besonderer Bedeutung sind jedoh die Exponential- und die EVA-2-Funktion 41, die nahfolgend genauer betrahtet und verglihen werden. 40 Unter Bewertungsfunktion wird in diesem Kapitel sowohl die Bewertungsfunktion in (3.42) als auh die äußere Bewertungsfunktion in (3.43) verstanden. 41 Die EVA-2-Funktion ist eine Weiterentwiklung der EVA-1-Funktion.

71 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 58 Die monoton fallende (negative) exponentielle Bewertungsfunktion lautet: f a = e -b (3.44) A ( ) a Parameter und die ebenfalls monoton fallende EVA-2-Bewertungsfunktion ist: æ ö æa ö fa ( a) = 1 + ç C ç çè ø çè ø b -a. (3.45), C Exponenten (deren Produkt bestimmt das asymptotishe Verhalten für große Aufwandswerte) Skalenparameter für die Aufwandswerte (es gilt: B(C)=1/2 Die grafishe Gegenüberstellung beider Funktionen findet sih in Abbildung 3-5. Der Untershied beider Funktionsverläufe wird im Besonderen im Nahbereih deutlih. Hierbei tendiert der Anstieg der EVA-2-Funktion gegen den Wert Null, woraus eine Halbglokenkurve entsteht. Dies spiegelt das Bewertungsverhalten der Verkehrsteilnehmer deutlih besser wider als der im Nahbereih stark abfallende Verlauf der exponentiellen Bewertungsfunktion. 1 0,8 EVA-2-Fkt. exp. Fkt. 0,6 f(a) 0,4 0,2 0 Aufwand a Abbildung 3-5: Vergleih der exponentiellen und der EVA-2-Bewertungsfunktion Ein weiterer interessanter Aspekt ergibt sih bei der Betrahtung der Elastizitäten der Funktionen. Die Elastizität kann definiert werden als (vgl. z. B. LUH/STADTMÜLLER [94] S. 126): e ( a) A ( a) fa = a f a (3.46) ( a)

72 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 59 und entspriht einer relativen Änderung der Funktion f A, wenn eine relative Änderung von a erfolgt. Sie gibt damit die Empfindlihkeit der Verkehrsteilnehmer gegenüber Aufwandsänderungen an. Für die exponentielle Bewertungsfunktion lautet sie: e ( a) =-b a, (3.47) für die EVA-2-Bewertungsfunktion: e(a) =-a b C b a b + a b. (3.48) Beide Verläufe sind grafish in Abbildung 3-6 gegenübergestellt. Die exponentielle Bewertungsfunktion weist einen linearen Verlauf der Elastizität auf. Hieraus resultiert, dass beispielsweise zwei Minuten Gehzeit von einem Fußgänger deutlih shlehter bewertet werden als eine Minute, was jedoh gerade im Nahbereih das Verhalten der Verkehrsteilnehmer niht realistish abbildet. Dieser Tatsahe wird hingegen die EVA-2- Bewertungsfunktion gereht, weshalb im Nahbereih eine nahezu unelastishe Reaktion modelliert und eine Absolutshwelle implizit abgebildet wird. Diesem Anfangsbereih shließt sih der mittlere Abshnitt an, der ein wesentlih sensibleres Verhalten und damit eine stärkere Reaktion auf Aufwandsuntershiede unterstellt. Der letzte Bereih weist einen konstanten Elastizitätsverlauf auf. Hierdurh wird berüksihtigt, dass bei hohen Aufwänden die Verkehrsteilnehmer eine relativ konstante Sensibilität gegenüber Aufwandsänderungen besitzen. 0-2 Aufwand a -4-6 Elast. EVA-2 Elast. exp. Fkt. Elastizität Abbildung 3-6: Vergleih der Elastizitäten der exponentiellen und der EVA-2-Bewertungsfunktion Durh die hohe Flexibilität der EVA-2-Funktion ist die Anpassung an vershiedene Bewertungssituationen möglih. Sie eignet sih daher sowohl für die Ziel- als auh für die Verkehrsmittelwahl und folglih auh für die Simultanberehnung (vgl. LOHSE [89] S. 30).

73 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 60 Die Vorteile der EVA-2-Bewertungsfunktion gegenüber der exponentiellen Bewertungsfunktion (und auh den meisten anderen) liegen in der besseren Anpassung an das menshlihe Verhalten über den gesamten Aufwandsbereih. Im Zusammenhang mit der simultanen Ziel- und Verkehrsmittelwahl stellt sih diese Eigenshaft als großer Vorteil dar. Hierbei besteht die Problematik, dass die Bewertungsfunktion (neben den Randsummenbedingungen) z. T. eine sehr große Anzahl an Alternativen in Form von Quelle-Ziel- Beziehungen für alle Verkehrsmittel bewerten bzw. erklären muss. In großen Planungsräumen mit kleinräumiger Verkehrsbezirkseinteilung müssen somit Ortsveränderungen in einem großen Aufwandsbereih abgebildet werden. Bewertungsfunktionen mit nur einem Parameter, die i. d. R. die Bewertung im mittleren Aufwandsbereih hinreihend abbilden, sind hierfür weniger gut geeignet (vgl. SCHILLER [124] S. 69). Die hohe Anpassungsfähigkeit der EVA-2-Funktion wird durh ihre drei Parameter erreiht. Bestimmt werden die Parameter durh die Modellkalibrierung, deren Ziel die möglihst adäquate Abbildung empirish erhobener Daten, wie z. B. mittlere Reisezeiten und Reiseweiten und Quershnittverkehrsstärken, im Modell ist. Die Kalibrierung ist durh den Verkehrsplaner iterativ durhzuführen und ist in Abhängigkeit der Genauigkeitsanforderungen und der Anzahl der Parameter sehr aufwandsintensiv. Ein spezieller mathematisher Kalibrierungsalgorithmus zur Reduzierung des Kalibrierungsaufwandes stellt das BFGS-Verfahren (vgl. z. B. LOHSE ET AL. [92] S. 140 ff.) dar Verknüpfung von Aufwänden Bei Anwendung des Ansatzes (3.43) zur Berüksihtigung mehrerer Aufwände ist vor der gemeinsamen (äußeren) Bewertung zunähst eine sinnvolle Aggregation der Einzelgrößen mittels einer inneren Bewertungsfunktion notwendig. Eine solhe Funktion wurde bereits in Kapitel in allgemeiner Weise als deterministishe Nutzenfunktion diskreter Wahlmodelle vorgestellt. Es gilt (vgl. (3.38)): ( X ) = = å b = ( C S ) f u X mit X h, I bn bn nl bnl bnl l bn n l mit X bnl als l-te unabhängige erklärende Variable der Nutzenfunktion und h l als Transformationsfunktion. Neben tatsählihen positiven Nutzen der Alternativen, wie z. B. Zielpotentialen, stellen die Aufwände zur Realisierung der Alternative die quantifizierbaren Charakteristika dar. Erfolgt eine formale Unterteilung in erklärende Variablen der Charakteristika der Aufwände und weitere Charakteristika, dann gilt: å å. (3.49) u = b X + b X bn nm bnm nl bnl m l¹ m m=1...m Laufindex Aufwandsgröße

74 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 61 Die Aufwände stellen einen negativen Nutzen dar, da sie der Realisierung der Alternativen entgegenwirken. Hieraus resultiert, dass die entsprehenden Parameter ein negatives Vorzeihen aufweisen. Die positive additive gewihtete Verknüpfung untershiedliher Aufwände wird im Folgenden als Generalisierter Aufwand ga bezeihnet. Die deterministishe Nutzenfunktion mit Generalisiertem Aufwand lautet somit: u =- ga + å b X. (3.50) bn bn nl bnl l¹ m Unter Vernahlässigung alternativenspezifisher Konstanten entspriht folglih die deterministishe Nutzenfunktion dem negativen Generalisierten Aufwand. Der Generalisierte Aufwand repräsentiert hier das zentrale Element der inneren Bewertungsfunktion, für die untershiedlihe funktionale Formen existieren. Grundsätzlih lassen sih die Ansätze nah linearen und nihtlinearen additiven Ansätzen unterteilen. Linearer additiver Ansatz Ausgehend von den Gleihungen (3.49) und (3.50) ergibt sih die lineare additive Verknüpfung von Aufwänden durh eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwishen Aufwänden und erklärenden Variablen zu (unter Vernahlässigung der Indizes b und n): å b. (3.51) m m m m m ga = a mit X = a Die Parameter dienen der Gewihtung der einzelnen Aufwandskomponenten entsprehend dem Empfinden der Verkehrsteilnehmer. Beispielsweise wirken 30 min ÖPV- Zugangszeit unangenehmer als 30 min Beförderungszeit im ÖPV, was durh ein höheres Gewiht der ÖPV-Zugangszeit ausgedrükt wird. In der Literatur wird der lineare Ansatz häufig als Generalisierte Kosten bezeihnet. Dieser Begriff wurde im Verkehrsbereih 1961 von TANNER in [139] eingeführt (zitiert nah GOODWIN [60] S. 2). Zu beahten ist jedoh, dass im Untershied zur allgemeineren Generalisierten Aufwandsfunktion eine Generalisierte Kostenfunktion einen monetären Funktionswert liefert. Daraus resultiert die Notwendigkeit eines Wertes der Zeit, der der Monetarisierung der Zeitkomponenten dient. Die einfahste Form der Generalisierten Kostenfunktion besteht somit aus den Komponenten Geld und Reisezeit sowie dem Wert der Reisezeit (vgl. GOODWIN [60] S. 2).

75 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 62 Nihtlinearer additiver Ansatz Der beshriebene lineare Ansatz kann durh den nihtlinearen additiven Ansatz verallgemeinert werden. Für den Ansatz des Generalisierten Aufwandes gilt (vgl. WINKLER [160] S. 107 ff.): ( ) å b. (3.52) m m m m ga = H a a H allgemeine Transformationsfunktion Der lineare Ansatz ergibt sih unter der Annahme H(a m ) = 1. Entgegen dem allgemeinen Ansatz (3.52) erfolgt in der Literatur i. d. R. eine Kopplung der Transformationsfunktion H mit dem Parameter oder der Aufwandsgröße, die jedoh problemlos durh (3.52) darstellbar sind. Die Transformation der Aufwände wird in Anlehnung an (3.38) mit h(a) bezeihnet. Der entsprehende Ansatz des Generalisierten Aufwandes lautet demnah: ( ) å b h a m m. (3.53) m ga = Durh die Funktion h ist es u. a. möglih, die Aufwandswerte in Abhängigkeit von sih selbst zu höheren oder niedrigeren Werten zu transformieren. Häufig angewandte Funktionen sind die Potenz- und Logarithmusfunktion. Flexiblere Formen werden mittels der Box-Cox- und Box-Tukey-Transformation erzielt. Der allgemeinere Ansatz ist dabei die Box-Tukey-Transformation, die die Box-Cox-Transformation als Sonderfall enthält (vgl. BEN-AKIVA/LERMAN [14] S. 179). Formal gilt: ( ) ha ( a) ( ) l ìï ln a + für l = 0 = ï íæ ö. (3.54) ï ïç a a 1 ç + - / l für l > 0 ïè ïî ø, Parameter Die Box-Cox-Transformation ergibt sih für = 0. Der Parameter dient der Vershiebung des Graphen gegenüber der Abszisse. Im Allgemeinen wird = 1 verwendet, wodurh der Graph durh den Koordinatenursprung verläuft. In Abbildung 3-7 sind Box-Tukey-Transformationen mit vershiedenen -Werten und = 1 dargestellt. Die Darstellungen zeigen, dass für > 1 die transformierten Werte überproportional, für = 1 proportional und für < 1 unterproportional gegenüber dem originären Aufwandswert sind. Der Vorteil der höheren Flexibilität und Anpassungsfähigkeit wird durh den zusätzlihen Parameter erzielt.

76 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung h(a) Aufwand a Abbildung 3-7: Box-Tukey-Transformationen der Aufwände Eine noh variablere Transformation der Aufwände ist mittels der von LOHSE in [89] entwikelten EVA-2-Transformation möglih. Diese lautet für a ³ 0 : a ìï a > 0 bei Überproportionalität æ b æ ö ö ( ) = + a h a a ï 1 mit ía = 0 bei Proportionalität. (3.55) çè ø ç C è ø ïa < 0 bei Unterproportionalität ïî,, C Parameter In Abbildung 3-8 sind einige EVA-2-Transformationen der Aufwandswerte dargestellt. Neben den angegebenen vershiedenen -Parametern, gelten für alle abgebildeten Transformationskurven die Parameter = 2 und C = h(a) Aufwand a Abbildung 3-8: EVA-2-Transformationen der Aufwände

77 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 64 Neben der Transformation der Aufwände existieren in der verkehrsplanerishen Literatur ebenfalls Ansätze, die eine nihtlineare Transformation der Parameter realisieren. Hierbei gehen die Aufwandsgrößen stets originär, d. h. untransformiert, in die Bewertung ein. Die Gewihtung erfolgt entsprehend der Präferenzen der Verkehrsteilnehmer nihtlinear in Abhängigkeit der Aufwände. Der Ansatz zur Bestimmung des Generalisierten Aufwandes lautet: ( ) å b. (3.56) m m m ga = a a Ausführlihe Untersuhungen und die Entwiklung eines Ansatzes für ein Verkehrsmittelwahlmodell mit nihtlinearen Parametern führte WALTHER in [152] durh. Hierin wurden für alle relevanten Zeitaufwände entsprehende nihtlineare Zeitbewertungsfunktionen, die den nihtlinearen Parametern entsprehen, entwikelt. Ausgangspunkt für die Entwiklung der Zeitbewertungsfunktionen waren psyhologishe Studien, die u. a. feststellten, dass ÖPV-Nutzer dem Begriff Haltestelle überwiegend negativ gegenüber eingestellt sind. Dies wird mit einer assoziativen Verknüpfung des Begriffs Haltestelle mit den negativen Begriffen Warten und Zeitverlust begründet. Die Fußwegzeit wird hingegen etwas positiver beurteilt, da damit eine (produktive) Aktivität verbunden ist (vgl. WALTHER [152] S. 9 f.). Als Referenzaufwand dient die Fahrzeit im Fahrzeug, die keiner Transformation unterzogen wird. Der allgemeine Ansatz der Zeitbewertungsfunktion kann geshrieben werden als: ( fa ) b a = + d e. (3.57) ( ), d, f Parameter Ähnlihe psyhologishe und verkehrsplanerishe Überlegungen liegen dem Ansatz der nihtlinearen Parameter von LOHSE (vgl. [89] S. 36 ff.) zugrunde. Hierbei erfolgt die Definition der EVA-2-transformierten Parameter durh: a æ b ö æa ö b ( a) = KSK + KSV 1 + ç C. (3.58) ç çè ø çè ø KSK, KSV Parameter Auh diese Transformation genügt entsprehend der bereits vorgestellten EVA-2- Bewertungsfunktion den Ansprühen einer adäquaten Modellierung des Verkehrsverhaltens. Den Ansätzen von WALTHER und LOHSE ist gemein, dass die Parameter mit zunehmendem Aufwand steigen. In Abbildung 3-9 sind EVA-2-Transformationen der Parameter für vershiedene -Werte dargestellt. Für die weiteren Parameter gilt: KSK = 0, KSV = 1, = 2 und C = 30.

78 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung ,5 2 a 1,5 1 0, Aufwand a Abbildung 3-9: EVA-2-Transformationen der Parameter Unabhängig von der Transformation stellt die Bestimmung der Parameter für die praktishe Anwendung eine große Herausforderung dar. Dabei ist offensihtlih, dass mit steigender Anzahl zu bestimmender Parameter zwar die Anpassungsfähigkeit, jedoh auh der Aufwand zur Bestimmung der Parameter steigt. Enthalten die Ableitungen der Generalisierten Aufwandsfunktion nah den zu shätzenden -Parametern selbst keine Parameter, so können Standard-Shätzalgorithmen wie die Maximum-Likelihood- Shätzung herangezogen werden (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 126 f.). Hängen die Ableitungen jedoh wiederum selbst von Parametern ab, müssen hierfür komplexere Methoden wie beispielsweise eine bedingte Maximum-Likelihood-Shätzung oder das BFGS-Verfahren Anwendung finden Routensuh- und Routenwahlverfahren Die Routensuh- und Routenwahlverfahren sind die wesentlihen Bestandteile der Umlegung. Routensuhverfahren ermitteln hierbei die möglihen Wege bzw. Routen r zwishen allen Verkehrsbezirken für jedes Verkehrsmittel. Grundlage hierfür stellt das integrierte Verkehrsnetzmodell dar (vgl. Kapitel 3.1.1). Darauf aufbauend bestimmen die Routenwahlmodelle entsprehend dem Wahlverhalten der Verkehrsteilnehmer die Aufteilung der berehneten Verkehrsströme v ijk auf die sinnvollen alternativen Routen r des Verkehrsnetzes, woraus die Routenströme v ijkr resultieren. Aus diesen Routenströmen kann die Verkehrsstärke M eines Netzelements s des Verkehrsmittels k bestimmt werden durh: ìï 1 falls s Î r M = v d BG d ï ks ååå = ijkr s k s í. (3.59) i j r ï 0 falls s Ï r ïî BG Besetzungsgrad der Fahrzeuge

79 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 66 Routensuh- und Routenwahlverfahren stehen niht unmittelbar im Mittelpunkt dieser Arbeit, weshalb diese Thematik hier nur kurz vorgestellt wird. Umfassende Ausführungen bezüglih dieser Verfahren finden sih beispielsweise in RAMMING [122], DUGGE [42] und VRTIC [149] Routensuhverfahren Routensuhverfahren lassen sih in die beiden Kategorien Bestwegverfahren und Mehrwegverfahren unterteilen (vgl. z. B. LOHSE [88] S. 285 ff.). Bestwegverfahren ermitteln dabei aus allen möglihen Routen jene, deren Summe der Aufwände über alle zu überwindenden Netzelemente am geringsten ist. Durhzuführen ist das Verfahren für jede Quelle- Ziel-Relation. Bedeutende mathematishe Algorithmen, die diesen Verfahren zugrunde liegen sind z. B. der MOOREshe Algorithmus und das DIJKSTRA-Verfahren. Mehrwegverfahren bestimmen aus der Gesamtheit aller möglihen Routen mehrere alternative Wege, deren Untersheidungsgrad sehr variabel sein kann. Aus der Menge der gefundenen Wege werden die sinnvollen Routen mittels bestimmter Kriterien, wie z. B. Umweg- und Ähnlihkeitsfaktoren, ausgewählt. Aufgrund der untershiedlihen Routen ergeben sih zwishen einer Quelle und einem Ziel differierende Aufwände. Für die Zielund Verkehrsmittelwahl wird jedoh ein Aufwand für jede Quelle-Ziel-Relation je Verkehrsmittel benötigt. Dieser Einzelwert kann entweder ausshließlih durh die jeweils günstigste Route oder als ein über die Verkehrsanteile aller genutzten Routen gewihteter Mittelwert definiert werden Routenwahlmodelle Routenwahl- bzw. Verkehrsstromaufteilungsmodelle dienen dem Zwek, den berehneten Verkehrsstrom v ijk auf die gefundenen Routen sinnvoll aufzuteilen. Hierfür wird in der Literatur häufig in deterministishe und stohastishe Modellansätze untershieden. Aufgrund der inkonsistenten Verwendung der Begrifflihkeiten soll hier SCHILLER in [124] (S. 106 f.) folgend zwishen deterministishem und stohastishem Modell und dem deterministishen und stohastishen (mathematishen) Algorithmus untershieden werden. Der deterministishe Modellansatz ist gekennzeihnet durh die Annahme, dass alle Verkehrsteilnehmer bezüglih der Routenwahl die vollständige Information über das Verkehrsgeshehen besitzen und alle für die Routenwahl relevanten Routeneigenshaften im Modell Berüksihtigung finden. Dies ist beispielsweise bei der Verwendung der WARDROPshen Axiome der Fall. Stohastishe Modelle basieren wie die stohastishen diskreten Wahlmodelle auf der Annahme der unvollständigen Information des Modellierers und des Verkehrsteilnehmers.

80 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 67 Daher werden auh im Rahmen der Routenwahl das Logit-Modell und das universale Wahlmodell in untershiedlihsten Ausprägungen angewendet. Von einem deterministishen Algorithmus kann gesprohen werden, wenn dessen Nahrehnung mit den gleihen Eingangsgrößen möglih ist und keine Zufallszahlen gezogen werden (formal analytish). Erfolgt hingegen die Ziehung von Zufallszahlen, so handelt es sih um einen stohastishen Algorithmus (zufällige Simulation von Ereignissen). Derzeit finden sowohl deterministishe als auh stohastishe Modelle Anwendung, wobei der stohastishe Ansatz i. d. R. wesentlih realistisher ist. Hierbei besitzt die bereits in Kapitel vorgestellte IIA-Eigenshaft eine besondere Bedeutung. Bei Missahtung signifikanter Korrelationen zwishen den Alternativen können Fehler auftreten. Aufgrund der Vielzahl von Alternativen bei der Routenwahl ist diese Problematik hier von großer Bedeutung. Daher gibt es zahlreihe spezielle Modellansätze, die mittels Ähnlihkeitsmaßen gemeinsame Routenabshnitte beahten und hierdurh die Auswahlwahrsheinlihkeiten der Routen beeinflussen (siehe hierzu z. B. CASCETTA [26]). 3.3 Gleihgewiht zwishen Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage Der Verkehrsmarkt Das in Kapitel 2.3 kurz erläuterte ökonomishe Modell des freien Marktes entspriht dem sogenannten vollkommenen Markt und stellt ein theoretishes Modell dar. Dieses kann niht ohne Weiteres auf den Verkehrsmarkt übertragen werden, da der Verkehr teilweise Eigenshaften eines öffentlihen Gutes aufweist und hierdurh die Funktionsmehanismen des Marktes gestört werden. Öffentlihe Güter sind zum einen gekennzeihnet durh das Fehlen des Marktausshlussprinzips, d. h. zahlungsunwillige Nahfrager kommen dennoh zum Zuge. Zum anderen weisen sie das Nihtrivalitätsaxiom auf, nah dem der Nutzen eines Gutes niht durh die gleihzeitige Nutzung anderer Konsumenten beeinträhtigt wird. Die Verkehrsangebotsstruktur ist heterogen, da einerseits die Verkehrsinfrastruktur durh den Staat bereitgestellt wird und allen zugänglih ist und andererseits der Verkehr durh private und öffentlihe Anbieter erbraht wird. 42 Für die Verkehrsinfrastruktur besitzt das Fehlen des Marktausshlussprinzips Gültigkeit. Demgegenüber trifft es bei der Realisierung des Verkehrs zumindest für MIV und ÖPV niht zu. Für das 42 Die Verkehrsinfrastruktur und der ÖPV sind durh hohe Fixkosten und ausgeprägte Kostendegression gekennzeihnet, was zu Größenvorteilen bei der Produktion ( eonomies of sale ) führt. Da dies jedoh niht zur Eigenwirtshaftlihkeit führt, obliegen diese Bereihe i. Allg. der öffentlihen Hand.

81 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 68 Nihtrivalitätsaxiom gilt, dass dieses ebenfalls bei MIV und ÖPV unter Umständen verletzt werden kann. Gerade beim MIV ergeben sih bei hoher Auslastung der Straßen (hoher Sättigungsgrad, vgl. Kapitel 3.1.2) zum Teil starke Wehselwirkungen und die Verkehrsteilnehmer stehen in Konkurrenz. Die Verkehrsnahfrage setzt sih wie auf dem freien Markt aus einer Vielzahl von privaten Individuen zusammen, deren Nahfrage auf den zu überwindenden Aufwand wirkt. Der Verkehr ist folglih kein klassishes öffentlihes Gut sondern vielmehr eine Mishform (vgl. HELMS [66] S. 24). Die dargelegten Überlegungen sind vor allem im Zusammenhang mit der Preisbildung im Verkehrssektor und verkehrspolitishen Fragestellungen von Bedeutung (siehe z. B. ABERLE [2]). Dabei spielen z. B. externe Effekte, deren möglihe Internalisierung und auh volkswirtshaftlihe Analysen hinsihtlih der Einführung nutzungsabhängiger Straßengebühren eine bedeutende Rolle. Diese Themen sind niht Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Vielmehr stehen die Wehselwirkungen von Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage, so wie sie tatsählih auftreten und modelliert werden, im Fokus. Hierbei sind die Analogien zum freien Markt von Interesse, durh die der (modellierte) Verkehrsmarkt hinsihtlih des Gleihgewihts zwishen Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage untersuht werden kann. Der Begriff Gleihgewiht drükt aus, dass ein System ohne äußere Einwirkung in seinem Zustand verharrt. Der Gleihgewihtszustand wird durh die Anpassung von Angebot und Nahfrage erreiht und lässt sih als Shnittpunkt beider Funktionen bestimmen. Hierbei spielt der Aufwand bzw. der Generalisierte Aufwand eine bedeutende Rolle. Die Verkehrsnahfrage wird darüber hinaus von Quell-, Ziel- und Verkehrsmittelpotentialen und Randsummenbedingungen determiniert (siehe Kapitel 3.2). Zur Vereinfahung des Sahverhaltes wird im Folgenden jedoh die Verkehrsnahfrage nur in Abhängigkeit eines Aufwands betrahtet. Unter diesen Umständen ergibt sih das Gleihgewiht formal: ( ) ya ( ) va =. (3.60) a Aufwand v Verkehrsnahfragefunktion y Verkehrsangebotsfunktion Für die Bestimmung des Gleihgewihts ist es jedoh von Vorteil, die inverse Nahfragefunktion und die inverse Angebotsfunktion zu bestimmen und gleihzusetzen (vgl. VARIAN [148] S. 296 f.). Die inversen Funktionen ermitteln dabei den Aufwand in Abhängigkeit der Verkehrsnahfrage, wobei dieser dem Durhshnittsaufwand jedes Verkehrsteilnehmers entspriht. Allgemein gilt für das Gleihgewiht: v ( ) ( ) a v = a v. (3.61) y a ( v ) inverse Verkehrsnahfragefunktion a ( ) v y v inverse Verkehrsangebotsfunktion

82 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 69 Hierdurh liefern beide Funktionen den Aufwand als Funktionswert, wodurh das Gleihgewiht als Optimierungsproblem formuliert werden kann. Die inverse Nahfragefunktion entspriht dabei der Zahlungsbereitshaftsfunktion, d. h. sie gibt jene Werte an, die die Verkehrsteilnehmer für die Realisierung der Ortsveränderung zu zahlen bereit sind. Im Rahmen der Verkehrsangebotsmodellierung wurden CR-Funktionen betrahtet, die der inversen Angebotsfunktion eines Netzabshnitts entsprehen. Der Weg einer nahgefragten Alternative besteht jedoh i. d. R. niht nur aus einem Netzabshnitt. Vielmehr setzt sih der Weg aus vielen Netzelementen zusammen, die wiederum Bestandteil anderer Wege sein können. Im Rahmen der Verkehrsmodellierung kommen daher zur Gleihgewihtsbestimmung spezielle Algorithmen zur Anwendung (siehe Kapitel 3.3.2). In Abbildung 3-10 ist eine Gleihgewihtssituation dargestellt, in der der Gleihgewihtspunkt bei v*; a* liegt. Aufwand a a y (v) a* a v (v) v* Verkehrsstrom v Abbildung 3-10: Gleihgewiht von Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage Ändern sih die Präferenzen der Verkehrsteilnehmer, so resultiert daraus eine Änderung der Verkehrsnahfragekurve. Investitionen im Verkehrswesen oder Beeinflussungsmaßnahmen des Verkehrs führen zu einem anderen Verlauf der Angebotskurve. Beide Fälle entsprehen einer Störung des stabilen Gleihgewihtszustandes und führen zu Anpassungsvorgängen, die in einem neuen Gleihgewiht enden. Besondere Relevanz besitzt der Fall der Bestimmung des neuen Gleihgewihts infolge einer Investitionsmaßnahme, da hierdurh die verkehrlihen Veränderungen bestimmt werden können, die großen Einfluss auf das Bewertungsergebnis der NKA haben. Die vershiedenen Alternativen in der Verkehrsnahfragemodellierung, wie Quelle-Ziel- Relationen, Verkehrsmittel oder Routen stehen in einem substitutiven Verhältnis zueinander, weshalb sih die Gleihgewihte der Alternativen niht unabhängig voneinander ergeben. Die modelltheoretishe Umsetzung dieser Wehselwirkungen wird in den folgenden Kapiteln kurz erläutert.

83 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung Nutzergleihgewiht In der Verkehrsmodellierung kommt der Gleihgewihtsberehnung im Besonderen bei der Routenwahl, aber niht nur dort eine große Bedeutung zu. Hierbei steht den Verkehrsteilnehmern für ihre Verbindung zwishen Quelle und Ziel eine Vielzahl mögliher Routen zur Verfügung. Die grundlegenden Ansätze unterstellen auh hier nutzenmaximierendes Verhalten der Verkehrsteilnehmer (Nutzer). Dementsprehend wählen sie jene Route, deren Generalisierter Aufwand minimal bzw. deren Nutzen maximal ist. In Abhängigkeit der Annahme der vorhandenen Information der Verkehrsteilnehmer über die alternativen Routen und die vorhandenen Informationen des Modellierers über das Entsheidungsverhalten der Verkehrsteilnehmer wird grundsätzlih in ein deterministishes und ein stohastishes Nutzergleihgewiht untershieden. Deterministishes Nutzergleihgewiht Es handelt sih hier um einen Ansatz, der auf der Grundlage vollständiger Information der Verkehrsteilnehmer und des Modellierers basiert und eine deterministishe Entsheidungsregel besitzt. Das bekannteste Modellierungsaxiom ist das 1. WARDROPshe Prinzip (vgl. WARDROP [153]). Dabei erfolgt die Aufteilung der Verkehrsströme auf die Routen so, dass sih auf allen benutzten Routen die gleihen Aufwände einstellen. Alle anderen niht genutzten Routen weisen den gleihen oder einen höheren Generalisierten Aufwand auf. Die entsprehende Zielfunktion mit Bezug zu Gleihung (3.59) lautet (vgl. z. B. ORTÚZAR/WILLUMSEN [115] S. 356 f.): M ( ) å ò s ijr s ( s ) min z v = ga M dm (3.62) s 0 unter den Nebenbedingungen: v = v mit v ³ 0. å ijr ij ij r Der Berehnungsansatz kann mittels vershiedener Verfahren iterativ gelöst werden. Im Besonderen sind der MSA- (vgl. SMOCK [132]) und der FRANK-WOLFE-Algorithmus (vgl. FRANK/WOLFE [55]) zu nennen (siehe z. B. auh ORTÚZAR/WILLUMSEN [115] S. 342 f. und 361 f.). Stohastishes Nutzergleihgewiht Der Nahteil des deterministishen Nutzergleihgewihts liegt in der Annahme der vollständigen Information der Verkehrsteilnehmer und des Modellierers, was niht der Realität entspriht. Dieser Nahteil kann durh die Modellierung eines stohastishen Nutzergleihgewihts aufgehoben werden. Hierfür werden i. d. R. diskrete Wahlmodelle zur Routenwahl herangezogen. Das Gleihgewiht ist auh hier erreiht, wenn kein Verkehrsteilnehmer durh einen Routenwehsel seinen (geshätzten) Generalisierten Aufwand verringern kann.

84 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 71 Das stohastishe Nutzergleihgewiht lässt sih ebenfalls als Optimierungsproblem formulieren. Eine möglihe Zielfunktion lautet (vgl. SHEFFI/POWELL [128] S. 193): M ( ) å ( ) åå ( ( )) åò s ijr s s s ij ij s ( s ) min z v = M ga M - v E ga M - ga M dm. (3.63) s i j s 0 E(ga ij ) erwarteter oder wahrgenommener Generalisierter Aufwand M Vektor der Verkehrsstärken aller Streken s Neben der Modellierung des Gleihgewihts bei der Routenwahl ist dies ebenfalls für die Ziel- und Verkehrsmittelwahl möglih und nötig (siehe Kapitel 3.3.4) Systemoptimum Das Nutzergleihgewiht basiert auf dem individualistishen Paradigma, wonah jeder Einzelne souverän handelt. Unter den gegebenen Umständen wird der Aufwand jedes Einzelnen minimal. Dies führt jedoh niht zwingend zum minimal möglihen Gesamtaufwand aller Verkehrsteilnehmer. Dieser Fall wird als Systemoptimum (2. WARDROPshes Prinzip) bezeihnet. Zur Bestimmung dieses Optimums erfolgt ähnlih der Berehnung des Nutzergleihgewihts die Aufstellung einer Zielfunktion, wobei hierfür oftmals (auh andere Funktionen sind je nah Optimierungsziel möglih) die Minimierung des Produkts aus Generalisiertem Strekenaufwand und der Verkehrsstärke der Streke verwendet wird. Der entsprehende Ansatz lautet (vgl. ORTÚZAR/WILLUMSEN [115] S. 362): ( ) = ijr å s ( s ) = å s s ( s ) (3.64) min z v GA M M ga M GA s M s s Generalisierter Gesamtaufwand auf der Streke s Verkehrsstärke auf Streke s unter den Nebenbedingungen: v = v mit v ³ 0. å ijr ij ij r s Zur Erreihung des Systemoptimums ist eine übergeordnete Steuerung der Verkehrsteilnehmer notwendig, was jedoh kaum realisierbar ist. Grundsätzlih möglih ist hingegen die Einführung einer strekenabhängigen Nutzungsabgabe für Fahrzeuge, so dass das Nutzergleihgewiht in Rihtung des Systemoptimums exklusive der Reisekosten vershoben wird (vgl. LINDSEY/VERHOEF in [68] S. 367) Für weitere Informationen bezüglih der Thematik der Modellierung von strekenabhängigen Nutzungsabgaben siehe z. B. BOBINGER [20], HELMS [66], TEUBEL [140].

85 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung Gleihgewihtsebenen In Kapitel wurden gezeigt, dass das stohastishe Nutzergleihgewiht die Realität besser widerspiegelt als das deterministishe Nutzergleihgewiht. Da die Verkehrsnahfrage niht nur bei der Routenwahl aufwandsabhängig ist, muss ebenfalls auf der Ebene der Ziel- und Verkehrsmittelwahl ein stohastishes Nutzergleihgewiht mit dem Verkehrsangebot für eine adäquate Verkehrsmodellierung realisiert werden. Es sind somit mehrere Rükkopplungen zwishen Angebot und Nahfrage notwendig, die in Abbildung 3-11 shematish dargestellt sind. Verkehrsnahfrage Erzeugung Ziel- und Verkehrsmittelwahl Routenwahl Iterative Bestimmung des Gleihgewihts der Umlegung bis zum Erreihen des Abbruhkriteriums nein Abbruhkriterium der äußeren Rükkopplung erreiht? Verkehrsangebot ja Ende Start Abbildung 3-11: Shematisher Rükkopplungsprozess zwishen Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage (Quelle: SCHILLER [124] S. 113) Die Rükkopplung mit der Ziel- und Verkehrsmittelwahl (äußere Rükkopplung) dient der Wahl alternativer Ziele und/oder Verkehrsmittel in Abhängigkeit der neuen Aufwände, die sih für die kapazitätsabhängigen Verkehrsmittel ergeben. Infolge der Einhaltung der Randsummenbedingungen und der veränderten relativen Vorteilhaftigkeit der Verkehrsmittel untereinander resultieren für alle Verkehrsmittel Änderungen in der Verkehrsnahfrage. Die Rükkopplungen sind solange durhzuführen, bis das Abbruhkriterium eingehalten wird. Werden auf allen Ebenen die Kriterien erfüllt, ist das vollständige Gleihgewiht erreiht. In Bezug auf die Verkehrsmodellierung als Grundlage der ökonomishen Gesamtbewertung von Investitionsmaßnahmen ist zu beahten, dass ein Gleihgewiht sowohl für den Mit- als auh für den Ohnefall zu erreihen ist. 3.4 Induzierter Verkehr Der induzierte Verkehr ist ein in den letzten Jahrzehnten kontrovers diskutiertes Thema. Niht nur die Shwierigkeiten der Modellierung und Quantifizierung dieses Verkehrs standen im Mittelpunkt der Debatte, sondern auh die ökonomishe Bewertung damit hervorgerufener Projektwirkungen, weshalb hier eine genauere Betrahtung notwendig ist. Im Folgenden wird das Phänomen induzierter Verkehr betrahtet. Die Thematik der

86 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 73 Bewertung des induzierten Verkehrs wird in Kapitel 4 aufgegriffen. Ein Überblik über die bestehende, sehr umfassende Literatur zu diesem Thema soll an dieser Stelle niht gegeben werden. Hierfür sei z. B. auf FGSV [53], HELMS [66] und LITMAN [86] verwiesen. Im realen Verkehrsgeshehen streben Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage für einen größeren Zeitraum (Tag, Wohe, Jahr) gegen ein relativ stabiles (globales) Nutzergleihgewiht, das im Rahmen der Verkehrsmodellierung nahgebildet wird. Dabei wird die Art und Weise des Verkehrsgeshehens durh zahlreihe Einflussgrößen wie die bestehende Flähennutzung (Raumstrukturgrößen), das Verkehrsverhalten der Menshen, das Verkehrsangebot et. determiniert. Eine neue verkehrswirksame Maßnahme stellt einen Eingriff in das Verkehrssystem dar und stört das bestehende Nutzergleihgewiht. Da die Verkehrsnahfrage i. d. R. niht aufwandsunelastish ist, führt die neue Maßnahme zu einer Reaktion bei den Verkehrsteilnehmern. Hierdurh finden Änderungen in der Abfolge der Aktivitäten, Zielwahl, Verkehrsmittelwahl, Routenwahl et. statt (vgl. FGSV [53] S. 17). Resultat ist ein neues Nutzergleihgewiht mit der Maßnahme. Somit stehen sih zur Quantifizierung des induzierten Verkehrs zwei relativ stabile globale Nutzergleihgewihtszustände gegenüber (vgl. FGSV [53] S. 17). Der induzierte Verkehr besteht im Wesentlihen aus den folgenden Komponenten (vgl. FGSV [53] S. 5): - intramodale Verlagerungen: entstehen bei gleihbleibenden Quelle-Ziel-Relationen und Verlagerungen auf andere Routen innerhalb des gleihen Verkehrsmittels, - intermodale Verlagerungen: entstehen bei gleihbleibenden Quelle-Ziel-Relationen und Verlagerungen auf andere Verkehrsmittel, ggf. mit neuer Routenwahl, - interlokale Verlagerungen: entstehen bei veränderten Quelle-Ziel-Relationen, ggf. verbunden mit der Nutzung anderer Verkehrsmittel, - neue Ortsveränderungen: entstehen bei zusätzlih realisierten Ortsveränderungen (Neuverkehr). Neben diesen klassishen Komponenten kann der induzierte Verkehr jedoh auh intertemporale Verlagerungen, die durh eine veränderte Zeitwahl entstehen, umfassen (vgl. z. B. EM [44] S. 109 f. und CDT [27]). Die Modellierung der Zeitwahl stellt ein derzeit bedeutendes Forshungsfeld dar (vgl. ORTÚZAR/WILLUMSEN [115] S. 391). Entsprehende Betrahtungen sind im Rahmen dieser Arbeit allerdings niht zusätzlih leistbar, was folglih auh auf die Darstellung intertemporaler Verlagerungen zutrifft. Von Bedeutung ist die zeitlihe Betrahtung der Maßnahmewirkung. Kurzfristig nah Realisierung der Maßnahme treten verkehrlihe Änderungen in Form des primär induzierten Verkehrs auf. Dieser umfasst dabei [...] die Gesamtheit aller durh eine Maßnahme kurzfristig verursahten Verkehrsmengen- und Verkehrsaufwandsveränderungen, das heißt, den gesamten verlagerten und neu hinzukommenden Verkehr (FGSV [53] S. 5). Der primär induzierte Verkehr wird nur aus Veränderungen des Verkehrsverhaltens der

87 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 74 Verkehrsteilnehmer hervorgerufen. Die räumlihe Verteilung der Bevölkerung und der Nutzungsgelegenheiten wird als konstant betrahtet. Neben den unmittelbaren (primären) verkehrlihen Wirkungen führt die verkehrswirksame Maßnahme u. U. zu mittelbaren (sekundären) Veränderungen der Siedlungsstrukturen (Arbeits- und Wohnungsmarkt), auf dem Dienstleistungssektor usw. (vgl. SCHILLER [124]) S. 28). Infolge dieser langfristigen maßnahmebedingten Raumstrukturänderungen entstehen weitere langfristige verkehrlihe Verlagerungen und Neuverkehre (Zu- oder Abnahme möglih). Der sekundär induzierte Verkehr kann somit als [...] die durh eine Maßnahme [...] mittelbar und langfristig verursahten Verkehrsverlagerungen und Neuverkehre im Vergleih des primären Mit-Falls und des sekundären Mit-Falls [...] der betrahteten Maßnahme [...] definiert werden (FGSV [53] S. 22). Die exakte Untersheidung in primär und sekundär induzierten Verkehr einer verkehrswirksamen Maßnahme ist zwar theoretish möglih, praktish jedoh kaum durhführbar. Dies liegt zum einen an zu geringen induzierten Verkehrsmengen gegenüber dem Gesamtverkehr, zum anderen an starken Vermishungen und Überlagerungen mit anderen Maßnahmen. Ein weiteres großes Problem stellt der Zeitpunkt der Entstehung des entsprehenden induzierten Verkehrs dar. Während der Zeitpunkt der Entstehung des primär induzierten Verkehrs relativ klar abgrenzbar ist (kurzfristig nah Inbetriebnahme), ist dies für den sekundär induzierten Verkehr (praktish) niht eindeutig feststellbar. Große verkehrswirksame Investitionsmaßnahmen unterliegen langen Planungen und bieten Investoren, Politikern u. a. so die Möglihkeit, bereits vor dem Bau bzw. der Inbetriebnahme der Maßnahme verkehrsgünstige Standortentsheidungen für die Investitionen zu treffen (vgl. SCHILLER [124] S. 28 f.). Hierdurh treten dann bereits vorher Verkehre auf, die eigentlih sekundär induzierten Verkehr darstellen. Eine sinnvolle explizite Quantifizierung des sekundär induzierten Verkehrs ersheint aus dieser Perspektive kaum realistish. Grundsätzlih lässt sih bzgl. des induzierten Verkehrs festhalten, dass das Ausmaß des induzierten Verkehrs sehr von den gegebenen Rahmenbedingungen abhängt. Starke Maßnahmen führen zu ausgeprägteren Wirkungen, wobei solhe Maßnahmen vor allem hohe Aufwandsrükgänge in hohbelasteten Regionen darstellen. Darüber hinaus sind die Aufwandselastizitäten und damit das Verkehrsverhalten der Verkehrsteilnehmer maßgebend. Hohe Elastizitäten führen zu starken Reaktionen in Form der Anpassung der Verkehrsnahfrage und folglih zu induziertem Verkehr. Hierbei ist jedoh zu beahten, dass die Verhaltensänderungen bei niht substituierbaren Aktivitäten geringer sind als bei substituierbaren Aktivitäten (vgl. SCHILLER [124] S. 29). In diesem Zusammenhang wurden zur Berehnung der interlokal verlagerten Wege in der letzten Bundesverkehrswegeplanung lediglih 7,7 % aller Wege mit einer freien Zielwahl identifiziert (vgl. ENGLMANN ET AL. [46] S. 5).

88 Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung 75 Generell lassen sih Verlagerungen gegenüber Neuverkehr in Form neuer realisierter Fahrten (neues Gesamtverkehrsaufkommen) empirish deutlih einfaher und siherer nahweisen. Über das Ausmaß des Neuverkehrs infolge der Realisierung einer Verkehrsinvestition herrsht weitgehend die Annahme, dass dieser eher gering ausfällt, da die Wegehäufigkeit pro Person und die durhshnittlih im Verkehr verbrahte Zeit relativ konstante Größen darstellen (vgl. FGSV [53] S. 5 f.). Modelltheoretish kann der Neuverkehr im Rahmen der Verkehrserzeugung mittels elastisher Produktionsraten berüksihtigt werden (vgl. Kapitel ). Davon zu untersheiden ist der Neuverkehr im Sinne von neuen Verkehrsaufwänden, der durh zusätzlihe Verkehrsaufwände beshrieben wird. Diese zusätzlihen Aufwände werden sowohl durh verlagerte als auh neu hinzukommende Fahrten hervorgerufen.

89 Bewertungskonzepte 76 4 Bewertungskonzepte Die volkswirtshaftlihe Wirkung einer neuen Verkehrsmaßnahme ist vielfältig und im Rahmen einer NKA erfassbar. Die grundsätzlihe Berehnung lautet zusammengefasst (vgl. MACKIE ET AL. [99] S. 5): ökonomishe Gesamtwirkung = Änderung des monetären internen Nutzens + Änderung in den Betreiberkosten und Einnahmen - Änderung der externen Kosten - Investitionskosten Die mikroökonomish konsistente Bestimmung der Änderung des internen Nutzens der Verkehrsteilnehmer ist Gegenstand dieser Arbeit. Der Begriff interner Nutzen umfasst dabei den Nutzen der Verkehrsteilnehmer. In diesem Kapitel werden zum einen theoretishe Zusammenhänge und bestehende Ansätze zur Berehnung der Änderung des internen Nutzens unmittelbar aus dem Verkehrsnahfragemodell aufgezeigt. Die Zufallsnutzentheorie und das Logit-Modell stehen dabei aufgrund der mikroökonomishen Begründung im Zentrum der Betrahtungen. Zum anderen erfolgen die Vorstellung ausgewählter praktisher Bewertungsansätze und deren Diskussion vor dem Hintergrund theoretisher Anforderungen. Verkehr dient, mit Ausnahme von Ortsveränderungen als Selbstzwek, dem Ziel der Ausübung einer nutzenbringenden Aktivität an einem anderen Ort und stiftet selbst keinen Nutzen. Eine Nutzenerhöhung durh die Realisierung einer Verkehrsinvestition resultiert somit zum einen aus der Reduzierung der Aufwände bei gleiher Verkehrsnahfrage und der damit verbundenen Freisetzung individueller Ressouren, zum anderen aus der Möglihkeit, andere Ziele mit den bestehenden Ressouren zu erreihen. Wird das Postulat der individuellen Nutzenmaximierung als Grundlage der Verkehrsnahfrage unterstellt, so erfahren die Verkehrsteilnehmer an den neuen Zielen einen höheren Nutzen, da sie sonst ihr altes Ziel niht substituieren würden. Diese Zusammenhänge wurden in der ökonomishen Fahliteratur vielfah dargelegt und sollen hier niht wiederholt werden. Für entsprehende Erläuterungen siehe z. B. ABAY [1], FRERICH [56], JARA-DÍAZ [76] und VAN DER TAK und RAY [138].

90 Bewertungskonzepte Konsum- und Zufallsnutzentheorie Bevor die Bewertungskonzepte vorgestellt werden, erfolgt in diesem Kapitel die Darlegung wihtiger Zusammenhänge zwishen der klassishen mikroökonomishen Konsumtheorie und der Zufallsnutzentheorie. Dabei werden im Besonderen indirekte Nutzenfunktionen und deren Eigenshaften sowie die Eigenshaften von Zufallsnutzenmodellen vorgestellt Indirekte Nutzenfunktion In der mikroökonomishen Konsumtheorie werden für beliebig teilbare Güter die nahgefragten Gütermengen mittels eines individuellen Programms der optimalen Ressourenallokation bestimmt (vgl. Kapitel 2.2). Die Auswahl dieses optimalen Güterbündels führt zum maximalen Nutzen. Wenn in der direkten Nutzenfunktion die Gütermengen durh die entsprehenden Preise und das Einkommen substituiert werden, dann resultiert daraus die indirekte Nutzenfunktion, die das maximal erreihbare Nutzenniveau in Abhängigkeit dieser Größen beshreibt. Die mikroökonomish konsistente Bestimmung der monetären Nutzenänderungen infolge einer Verkehrsmaßnahme direkt aus dem Verkehrsnahfragemodell bedarf einer indirekten Nutzenfunktion (siehe Kapitel 2.5.2) Bedingte indirekte Nutzenfunktion Ausgangspunkt der Betrahtungen ist das individuelle Optimierungsprogramm für stetige Güter (vgl. Kapitel 2.2). Das Programm wird zur Berüksihtigung sih ausshließender Verkehrsalternativen um ein entsprehendes diskretes Gut erweitert. Damit kann die Verkehrsnahfrage als ein Bestandteil des vom Konsumenten n zu wählenden Gesamtgüterbündels formuliert werden. Die Bestimmung der Nahfragefunktionen für die stetigen Güter x n erfolgt dann unter der Annahme der Nutzenmaximierung und unter der Bedingung der Auswahl einer speziellen Alternative a bn (diskretes Gut). Das bedingte Optimierungsprogramm für a bn lautet (vgl. z. B. MCFADDEN in [102] S. 207): ( x X n n bn) å max u, y ³ p x + rk n in in bn i (4.1) mit rk bn als Reisekosten der diskreten Alternative a bn der Alternativenmenge A n. Entsprehend LANCASTERs Ansatz wird die Alternative a bn in der indirekten Nutzenfunktion durh deren Charakteristika beshrieben, wobei die Reisekosten rk bn darin niht enthalten sind. Darüber hinaus wird X bn durh sozioökonomishe Charakteristika der Entsheidungsträger determiniert. 44 Für die weiteren Überlegungen, die sih auf das diskrete Gut 44 Oft werden die sozioökonomishen Charakteristika erst später eingeführt. Zur einfaheren Nahvollziehbarkeit der Gesamtzusammenhänge werden sie jedoh, HANEMANN in [61] folgend, im individuellen Optimierungsprogramm explizit berüksihtigt.

91 Bewertungskonzepte 78 beziehen, ist die Anwendung des omposite gommodity-theorems zwekmäßig, wodurh die stetigen Güter x in zu einem generalisierten Konsumgut x 0n zusammengefasst werden können (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 44 f.). Dadurh werden theoretishe Betrahtungen bezüglih des diskreten Gutes vereinfaht, besitzen aber dennoh Allgemeingültigkeit (vgl. VARIAN [146] S. 21). Es gilt: p x = å p x. (4.2) 0n 0n in in i Die Betrahtung des generalisierten Konsumgutes als Numéraire ermögliht darüber hinaus die Eliminierung von p 0n (vgl. VARIAN [146] S. 26): y ³ p x + rk n 0n 0n bn y rk n bn ³ x +, (4.3) 0n p p 0n 0n y ³ x + rk mit p = 1 n 0n bn 0n wodurh rk bn und y n relativ zu p 0n gemessen werden. Durh die Fixierung auf den Wert Eins vershwindet p 0n. Es ist jedoh zu beahten, dass p 0n weiterhin implizit enthalten ist. Die bedingte indirekte Nutzenfunktion bei Auswahl der Alternative a bn lautet: ( y rk, ) F - X. (4.4) bn n bn bn Die Funktion ist abhängig von der funktionalen Form der zugrunde liegenden direkten Nutzenfunktion, X bn und (y n rk bn ), d. h. dem bedingten Budget, das bei der Wahl der Alternative a bn für den Konsum von x 0n noh zur Verfügung steht. Die bedingte indirekte Nutzenfunktion gibt an, welher Nutzen bei der Wahl einer bestimmten diskreten Alternative (Bedingung) und bestimmten Einkommen y n erreiht werden kann (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 37). Gleihung (4.4) ist rein deterministisher Natur, was im Kontext der Verkehrsnahfrage zu fehlerhaften Ergebnissen führt. Daher ist der in (4.4) beshriebene Nutzen, entsprehend der Zufallsnutzentheorie, ohne Verlust der Allgemeingültigkeit um die zusätzlihe stohastishe Größe zu erweitern (vgl. MCFADDEN [105] S. 15). Die bedingte indirekte Nutzenfunktion lautet demnah: F ( y rk,, e ) - X (4.5) bn n bn bn bn und es gilt aufgrund der additiven Trennbarkeit in eine deterministishe und eine stohastishe Nutzenkomponente (vgl. HAU [63] S. 480): F = F + e. (4.6) bn bn bn F entspriht dem indirekten Pendant von u bn bn in Gleihung (3.34).

92 Bewertungskonzepte 79 Die einfahste bedingte indirekte Nutzenfunktion wird durh folgenden linearen Ansatz ausgedrükt (vgl. z. B. MCFADDEN in [102] S. 209): ( y rk ) F = b - + b X + e, (4.7) bn rkn n bn n bn bn der in der Literatur häufig MCFADDEN in [102] folgend als AIRUM-Form (Additive Inome Random Utility Maximization) bezeihnet wird. Wird die Reisezeit explizit aufgeführt, resultiert: ( ) å F = b y -rk -b rz + b X + e. (4.8) bn rkn n bn rzn bn l n b l n bn l Da die Reisezeit einen Aufwand darstellt, geht sie negativ in die Nutzenfunktion ein. Aufgrund des linearen und additiven Einflusses des Einkommens kann y n zur Bestimmung der Auswahlwahrsheinlihkeiten vernahlässigt werden, da es keinen Einfluss besitzt. Das kann unter Verwendung von (3.35) mit zur Vereinfahung lediglih der Berüksihtigung von (y n rk bn ) gezeigt werden: ( b ( ) b ( ) e e ) b ( ) e e P = Prob y -rk - y - rk ³ -, b' = 1,...,B bn rkn n bn rkn n b' n b' n bn n ( rkn b' n bn b' n bn n ) = Pr ob rk - rk ³ -, b' = 1,...,B Hierdurh kann (4.8) wie folgt vereinfaht werden: 45 F =-b rk -b rz + b X + e å =- ga + b X + e å bn rkn bn rzn bn ln bln bn l bn ln bln bn l. (4.9) Der deterministishe Anteil entspriht dem Ausdruk der in Kapitel gezeigten linearen Form der Gleihung (3.50), die somit eine bedingte indirekte Nutzenfunktion ist. Unabhängig von der speziellen Ausprägung der bedingten indirekten Nutzenfunktion lassen sih damit wihtige Kenngrößen bestimmen. Der Grenznutzen des Einkommens lautet: F l =. (4.10) y Aufgrund des Zusammenhangs zwishen Einkommen und Reisekosten folgt des Weiteren: F l =-. (4.11) rk. 45 Es handelt sih hierbei eigentlih um eine beshränkte bedingte indirekte Nutzenfunktion, da sie niht den gesamten Nutzen, sondern lediglih den negativen Nutzen infolge der Realisierung der Verkehrsalternative angibt (vgl. JARA-DÍAZ [76] S. 54).

93 Bewertungskonzepte 80 Der Grenznutzen des Einkommens entspriht somit dem negativen Grenznutzen der Reisekosten. Neben können außerdem der Grenznutzen der Reisezeit und der Grenznutzen der Charakteristika der Alternative bestimmt werden: GN rz F = rz (4.12) und GN GN X l F =. (4.13) X l Grenznutzen Mit Hilfe der Grenznutzen lassen sih über die Grenzrate der Substitution (MRS; siehe Kapitel 2.2) die subjektiven Werte der Reisezeiteinsparung (subjetive value of travel time savings) 46 svtts F F =- rz = rz F F y rk (4.14) und der Charakteristika der Alternative svx l F Xl = F y (4.15) bestimmen. Es handelt sih bei diesen Werten um subjektive Größen, da sie aus der subjektiven indirekten Nutzenfunktion bestimmt werden Unbedingte indirekte Nutzenfunktion Die vorangegangen Betrahtungen bezogen sih stets auf den (bedingten) Fall, dass eine bestimmte Alternative a bn gewählt wird. Der Entsheidungsträger steht jedoh der Entsheidungssituation gegenüber, jene Alternative aus der Menge A n zu wählen, die ihm in Kombination mit der Auswahl weiterer stetiger Güter den maximalen Nutzen liefert. Dieser wird durh die unbedingte indirekte Nutzenfunktion ausgedrükt (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 41). 46 Aufgrund der Aufwandseigenshaft der Reisezeit ergibt sih durh eine Erhöhung von rz eine negative Zahlungsbereitshaft. Da hier jedoh die Zahlungsbereitshaft für die Reduzierung von rz bestimmt wird, erfolgt die Bildung der negativen MRS.

94 Bewertungskonzepte 81 Die (deterministishe) unbedingte indirekte Nutzenfunktion eines Individuums lautet allgemein (vgl. z. B. MCFADDEN in [102] S. 208): F ( y -, ) = max F ( y -rk, ) * n n An An n n bîa bn n bn bn rk X X. (4.16) Dabei entspriht ( - n A n) n n y rk einem Vektor mit den Elementen (y n rk bn ) und X An n einem Vektor mit den Komponenten X bn, für jedes b Î A. Die unbedingte indirekte Nutzenfunktion ist folglih genau jene bedingte indirekte Nutzenfunktion, die den höhsten n Nutzen aufweist. Im Rahmen der Zufallsnutzentheorie wird F entsprehend Gleihung (4.5) durh eine bn zusätzlihe stohastishe Nutzenkomponente bn beshrieben, weshalb F * ebenfalls von n dieser Größe abhängt (vgl. IBÁÑEZ/BATLEY [73] S. 20): ( y - rk, X, ) = max ( y -rk, X, ) * n n An An An n n n bîa bn n bn bn bn F e F e. (4.17) n Der maximale Nutzen F * stellt ebenso wie F n bn eine Zufallsgröße dar und ist das wahrsheinlihkeitstheoretishe Pendant der indirekten Nutzenfunktion der klassishen mikroökonomishen Konsumtheorie (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 115). Für die Zielstellung dieser Arbeit ist der Erwartungswert der Zufallsvariable lautet: F * von noh größerer Bedeutung und n * ( F ( rk X )) ç F n n An An An bn( X e n bn bn bn) æ ö E y -,, e = Eç max y - rk,,. (4.18) n n n çèbî A ø n Eigenshaften indirekter Nutzenfunktionen Indirekte Nutzenfunktionen stellen Ergebnisse individueller Optimierungsprogramme dar, welhe auf Basis einfaher direkter Nutzenfunktionen problemlos ableitbar sind. Bei komplexeren direkten Nutzenfunktionen ist das mathematish sehr kompliziert oder niht lösbar (vgl. TRAIN [142] S. 80). Da dadurh zahlreihe mikroökonomishe Problemstellungen niht untersuhbar wären, besteht die Möglihkeit, indirekte Nutzenfunktionen unmittelbar zu definieren. Diese müssen jedoh mikroökonomish konsistente Formen aufweisen, wodurh die Existenz dazugehöriger direkter Nutzenfunktionen und das individuelle Optimierungsprogramm implizit gewährleistet werden. Indirekte Nutzenfunktionen sind durh spezielle Eigenshaften gekennzeihnet, durh deren Einhaltung die mikroökonomishe Konsistenz gewährleistet wird. Grundsätzlih * n muss F diesen Bedingungen genügen, allerdings zeigen NUNES ET AL. in [113], dass die Eigenshaften von F * durh F n bn determiniert werden und daher die Prüfung von F bn genügt.

95 Bewertungskonzepte 82 Die zu erfüllenden Eigenshaften von F lauten (vgl. NUNES ET AL. [113] S. 258): bn - (1) niht zunehmend in rk bn sowie niht abnehmend in y n, - (2) stetig bei allen rk 0, y bn n > 0, - (3) homogen vom Grade Null in (y n, rk bn ) und - (4) konvex in rk bn. Ad (1): Zur Gewährleistung einer Nihtzunahme in rk bn muss gelten: ( y rk, X, e ) F - bn n bn bn bn rk bn Analog erfolgt die Prüfung für y n : ( y rk, X, e ) F - bn n bn bn bn y n 0 für b ÎA. (4.19) n ³ 0 für b ÎA. (4.20) n Ad (2): Stetige Funktionen weisen in ihrem Wertebereih keine Sprungstellen auf. Funktionen, die aus stetigen Funktionen mittels der Grundrehenarten gebildet werden, sind wiederum stetig. Ad (3): Die Homogenität vom Grade Null besagt, dass die Budgetmenge konstant bleibt, wenn alle Preise/Reisekosten und das Einkommen mit einer positiven Zahl multipliziert werden. Diese Notwendigkeit folgt unmittelbar aus der Budgetrestriktion des Optimierungsprogramms mit dem Faktor k: y k ³ p k x + rk k, was der ursprünglihen n 0n 0n bn Restriktion: y n ³ p n x n + rk bn entspriht. Für die bedingte indirekte Nutzenfunktion muss folglih gelten: F ( k ( y - rk ), X, e ) = F ( y -rk, X, e bn n bn bn bn bn n bn bn bn ) für k > 0. F erfüllt diese Bedingung, da y n und rk bn in Bezug auf den Numeráire-Preis p 0n angegeben werden. Aus Glei- bn hung (4.3) wird deutlih, dass in F bn stets implizit die Beziehung ( y - rk n bn) / p0n besteht. Es gilt folglih: ( ) k y -rk n k 1 bn = y -rk n bn. (4.21) Ad (4): Grundsätzlih stellt Quasikonvexität indirekter Nutzenfunktionen eine notwendige Bedingung zur Erzielung einer optimalen, d. h. nutzenmaximalen, Entsheidung dar und

96 Bewertungskonzepte 83 gewährleistet, dass die Preisindifferenzkurven konvex sind. Unter diesen Bedingungen sind die Indifferenzkurven der Güter konvex und die Optimierung unter Beahtung des Einkommensbudgets liefert eine eindeutige Lösung (siehe Kapitel 2.2). Die Bedingung zur Einhaltung der Quasikonvexität lautet allgemein (vgl. VARIAN [147] S. 103): ( ) ' ' ( ( ) ) ( ) ( ) F k p+ 1-k p max F p, F p für 0 k 1. (4.22) Für indirekte Nutzenfunktionen mit nur einem Preis wird Quasikonvexität durh jede in dem Preis monoton abnehmende Funktion gewährleistet (vgl. DALY/HYMAN [31] S. 11). Die bedingte indirekte Nutzenfunktion beinhaltet jedoh neben rk bn zusätzlih implizit den Preis des Numeráires p 0n, in dem die Funktion ebenfalls quasikonvex sein muss. Der Nahweis der Quasikonvexität bei mehreren Preisen ist mathematish sehr komplex und ist ggf. lokal mittels Simulationsrehnungen zu prüfen. Es kann jedoh gezeigt werden, dass für indirekte Nutzenfunktionen mit einem implizit enthaltenen Numeráire-Preis die Quasikonvexität sowohl in rk bn als auh in p 0n gewährleistet ist, wenn die Funktion global konvex in rk bn ist (vgl. ANDERSON ET AL. [5] S. 71). Das ist erfüllt, wenn gilt: 2 ( y rk, X, e ) F - bn n bn bn bn rk 2 bn ³ 0 für b ÎA n, (4.23) also die zweite Ableitung der bedingten indirekten Nutzenfunktion nah rk bn niht negativ ist Eigenshaften des Erwartungswertes des unbedingten indirekten Nutzens In Kapitel 2 wurde dargestellt, dass auf Grundlage indirekter Nutzenfunktionen individuelle Nutzenänderungen infolge einer Projektrealisierung bestimmt werden können. Diese Änderungen stellen im Rahmen von Verkehrsinvestitionen den internen Nutzengewinn oder -verlust dar. Zur Bestimmung dieser Größe ist der Erwartungswert des unbedingten * indirekten Nutzens EF von besonderer Bedeutung, der folgende zwei wihtige n Eigenshaften aufweist (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 116): * - (1) Durh eine Erweiterung der Alternativenmenge kann sih EF niht verringern. n * - (2) Die Ableitung von EF nah F n bn ergibt für translationsinvariante Verteilungen für die Auswahlwahrsheinlihkeit P bn.

97 Bewertungskonzepte 84 Ad (1): Es gilt: æ ö æ ö ' Emax ( Fbn ( y rk,, e n bn bn bn )) Emax( Fbn ( y rk,, e n bn bn bn ) - - ) füra ÍA ç X ç X n n. (4.24) ' èbîan ø èbîan ø * Eine zusätzlihe Alternative kann EF somit nur erhöhen oder unverändert lassen, da n gemäß dem Nutzenmaximierungsprinzip stets jene Alternative mit dem höhsten Zufallsnutzen gewählt wird. Die Eigenshaft gilt für alle Zufallsnutzenmodelle, vorausgesetzt die * Werte für EF existieren. n Ad (2): Es gilt: * ( F ( rk X e n n An An An) ) E y -,, ( y rk, X ) F - n n n bn n bn bn = P bn. (4.25) Eigenshaften von Zufallsnutzenmodellen Zur Gewährleistung von (4.25) müssen Zufallsnutzenmodelle bestimmte Eigenshaften erfüllen. Die Eigenshaften lassen sih anhand der Ableitungen von P bn nah F bn zeigen, die in der sogenannten JACOBI-Matrix zusammengefasst werden können (vgl. MAIER/WEISS [100] S. 117 f.): J P n æ ö P1n P1n F F 1n B n n =. (4.26) ç ç P P Bn Bn n n ç F F çè 1n B n ø n Die Modelleigenshaften lauten: J unterliegen der Summenrestriktion für Wahrsheinlih- P n - (1) Die Elemente von keiten. - (2) Die Matrix J ist symmetrish. P n - (3) Änderungen, die alle F bn auf gleihe Weise beeinflussen, haben keinen Einfluss auf die Auswahlwahrsheinlihkeiten. - (4) Die Erhöhung von F bn für eine Alternative kann die entsprehende Auswahlwahrsheinlihkeit niht verringern und die Auswahlwahrsheinlihkeiten der anderen Alternativen niht erhöhen.

98 Bewertungskonzepte 85 Die Eigenshaften (2) bis (4) gelten nur für Modelle mit translationsinvarianter Verteilung für. Ad (1): Die Summe der Auswahlwahrsheinlihkeiten weist stets den Wert Eins auf. Die Reaktionen der Auswahlwahrsheinlihkeiten auf Veränderungen von F bn müssen sih daher aufheben: P bn å = 0. (4.27) b Fb'n Ad (2): Aus der Symmetrie von ( Fn ) 2 * J folgt für die Elemente der Matrix P n J : P n P E P bn b' n = = F F F F. (4.28) b'n bn b'n bn Die Auswahlwahrsheinlihkeit der Alternative a bn reagiert somit gleih auf eine Änderung des deterministishen Nutzens der Alternative a b n, wie die Auswahlwahrsheinlihkeit von a b n auf eine Änderung des deterministishen Nutzens von a bn. Sind diese symmetrishen Ableitungen für das Modell gewährleistet, so ist es integrierbar (Integrabilitätsbedingung). Ad (3): Eigenshaft (3) ergibt sih aus Eigenshaft (2), da hierdurh die Indizes b und b in (4.27) vertausht werden können. Ad (4): Dies folgt aus der Annahme der Nutzenmaximierung und es gilt: P ìï³ 0 für b = b' bn = ï í. (4.29) Fb'n ï 0 für b ¹ b' ïî Mittels der in diesem Unterkapitel vorgestellten Eigenshaften der indirekten Nutzenfunktionen und Zufallsnutzenmodelle lassen sih Verkehrsnahfragemodelle auf ihre mikroökonomishe Kompatibilität prüfen. Ist diese gewährleistet, so kann die Änderung des monetären internen Nutzens unmittelbar aus dem Modell bestimmt werden.

99 Bewertungskonzepte Änderung des internen Nutzens und der Konsumentenrente Nah der Diskussion der grundlegenden Zusammenhänge der Konsumtheorie und der Zufallsnutzenmaximierung in Kapitel 4.1 erfolgt an dieser Stelle darauf aufbauend die Darstellung praktikabler Ansätze zur Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente. Dabei ist analog zu den Erläuterungen in Kapitel zunähst die Änderung des internen Nutzens und anshließend, mittels des Grenznutzens des Einkommens, dessen monetäres Äquivalent, die Änderung der Konsumentenrente, zu bestimmen. In dem Grundlagenkapitel wurde ebenfalls dargelegt, dass die Konsumentenrente nur dann ein exaktes monetäres Nutzenmaß ist, wenn keine Einkommenseffekte auftreten. Hierfür sind symmetrishe Kreuzpreisableitungen der Verkehrsnahfragefunktion eine notwendige und hinreihende Voraussetzung. Für Zufallsnutzenmodelle muss gelten: ( Fn ) 2 * P E P bn = = rk rk rk rk b' n b'n bn b'n bn. (4.30) Das stellt eine erweiterte Bedingung gegenüber der in Kapitel gezeigten Eigenshaft (2) dar und wird für Zufallsnutzenmodelle gewährleistet, wenn zusätzlih gilt: Fbn - = l = konstant. (4.31) n rk bn Die Konstanz des Grenznutzens des Einkommens über alle Alternativen wird nur durh in den monetären Größen lineare bedingte indirekte Nutzenfunktionen (AIRUM-Form) erfüllt. 47 Jede nihtlineare Transformation von (y n rk bn ) verletzt (4.31) und impliziert Einkommenseffekte. Linearität in den Reisekosten ist somit zur eindeutigen Bestimmung der Konsumentenrente eine zentrale Modellvoraussetzung. Aus verkehrsplanerisher Siht ist dies problematish, da hierdurh entsprehende nihtlineare Transformationen, die das Verhalten der Verkehrsteilnehmer oft besser abbilden, ausgeshlossen sind. In Kapitel werden daher Ansätze zur Näherung der Konsumentenrente bei nihtlinearen Transformationen aufgezeigt. 47 Die AIRUM-Form genügt allen in Kapitel genannten Anforderungen (siehe hierfür z. B. MCFADDEN in [102] S. 209).

100 Bewertungskonzepte Logsum-Differenz Konzept Im Rahmen der Zufallsnutzentheorie ist der maximale Nutzen des Entsheidungsträgers n eine Zufallsgröße, deren Erwartungswert ( * ) n E F zur Bestimmung der Konsumentenrente von Bedeutung ist. Das Logit-Modell als Hauptvertreter der Theorie weist alle in den Kapiteln und genannten Eigenshaften auf. WILLIAMS [156] und SMALL/ROSEN [131] zeigen, dass für das Logit-Modell * ( F ( rk X e n n An An An) ) E y -,, Fbn n n n e = P ( F ) = (4.32) bn A n n F F ( y -rk, X b'n bn n bn bn ) åe * gilt (vgl. (4.25)) und ( n ) bestimmbar ist: Hierbei ist b' E F als Stammfunktion von P bn analytish geshlossen An n Fbn * e ( F ( rk X )) ò å ( ) æ ö Fbn E y -,, e = F df = ln ç åe + C.(4.33) çè ø å n n An An An n n n F An bn b'n n - b e b' ln F bn å e F der sogenannte Logsum-Term, der dem Logarithmus des Nenners b des Logit-Modells entspriht. C ist eine unbekannte Konstante, weshalb niht auf das absolute Maß des internen Nutzens geshlossen werden kann. Für die Bewertung von Verkehrsinvestitionen ist die Änderung des maximalen (internen) Nutzens von größerer Bedeutung, auf die C keinen Einfluss hat. Die gesuhte Nutzenänderung wird mit Hilfe der Logsum-Differenz bestimmt: æ ö ( ) M O * F F bn bn DE F = - ç ln n åe lnåe. (4.34) çè ø b b Die Bestimmung der Nutzendifferenz zwishen Mit- und Ohnefall erfolgt hierbei mittels eines einfahen analytish geshlossenen Ansatzes. * Wird E ( n ) D F mittels n monetarisiert, resultiert die (gesuhte) Änderung der Konsumentenrente (vgl. z. B. TRAIN [143] S. 60) aus: 48 b 48 Es handelt sih dabei grundsätzlih um die Änderung der Erwartungswerte der Konsumentenrente. Der Operator des Erwartungswertes der Konsumentenrente wird jedoh hier und im Folgenden zur Vereinfahung vernahlässigt.

101 Bewertungskonzepte 88 1 æ ö M O F F bn bn DKR = - ç ln n åe ln åe. (4.35) l çè ø n b b Auf die Verkehrsnahfragemodellierung übertragen ergibt sih die Änderung der Konsumentenrente für einen repräsentativen Verkehrsteilnehmer n der Quelle-Ziel-Gruppe auf Basis einen Joint-Logit-Modells demnah aus: *M *O ( ( ) ( )) = 1 DKR E F - E F n n n l æ ö M O 1 ijk ijk = - ln åååe F F ln åååe l ç è i j k i j k ø und für die Gesamtheit der Quelle-Ziel-Gruppe zu: *M *O ( ( ) ( )) (4.36) = 1 DKR E F - E F l. (4.37) æ ö M O 1 F F ijk ijk = - ln åååe ln åååe V l ç è i j k i j k ø kann entweder extern vorgegeben oder intern aus F bestimmt werden. Im Kontext der harmonisierten Bewertung ist die interne Bestimmung vorzuziehen, weil hierdurh die Präferenzen der Verkehrsteilnehmer in die Bewertung Eingang finden. Da signifikant von der Höhe des Einkommens abhängt, wird ersihtlih, dass innerhalb der Quelle-Ziel-Gruppen das Einkommen der Verkehrsteilnehmer beahtet werden sollte. Dies ist z. B. durh eine Unterteilung der Quelle-Ziel-Gruppen nah Personengruppen untershiedliher Einkommensklassen möglih. Dadurh wird gewährleistet, dass die Präferenzen der Verkehrsteilnehmer bezüglih der Reisekosten neben dem Reisezwek ebenfalls vom Einkommen bestimmt werden. 49 Im Folgenden soll jedoh zunähst vereinfahend davon ausgegangen werden, dass alle Personen einer Quelle-Ziel-Gruppe der gleihen Einkommensklasse angehören Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente Die Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente auf Basis der Logsum-Differenz liefert einen monetären Nutzenwert je Quelle-Ziel-Gruppe infolge einer Projektrealisierung. Aus praktisher Siht kann es von Interesse sein, die Nutzenänderung differenziert nah 49 Durh diese Unterteilung erfolgt eine abgestufte Beahtung interpersoneller Einkommenseffekte. Intrapersonelle Effekte, die durh untershiedlihe Reisekosten entstehen, können jedoh nur durh nihtlineare Funktionen abgebildet werden.

102 Bewertungskonzepte 89 Aufwandsänderungen, verbleibendem und induziertem Verkehr und Verkehrsmitteln auszuweisen. Für die Nutzenzuweisung zu den einzelnen Aufwandsänderungen auf Basis der Logsum- Differenz ist die sequentielle Integration des Logit-Modells nah den Aufwandskomponenten notwendig. HELMS zeigt, dass die aufeinander folgende Integration unter Konstanthaltung aller weiteren Einflussgrößen zwar zu einem korrekten Gesamtergebnis führt, die Nutzenzuweisung jedoh vom Integrationsweg, also der Reihenfolge der Integration, abhängt. Die Nutzenzerlegung bzgl. der Aufwandskomponenten ist somit niht sinnvoll möglih (vgl. HELMS [66] S. 202 ff.). Das Joint-Logit-Modell bestimmt die wahrsheinlihste Verteilung des Verkehrsaufkommens V auf die möglihen Alternativen ijk, so dass E ( F * ) maximal ist. ( * ) E F gibt dabei je Quelle-Ziel-Gruppe den maximalen Nutzen der Gesamtentsheidung, also über alle Alternativen ijk, an. Eine Nutzenausweisung nah den einzelnen Verkehrsmitteln k (oder anderen Alternativen(-gruppen)) sowie induziertem und verbleibendem Verkehr für die einzelnen Verkehrsströme v ijk ist niht möglih. Ist V für Mit- und Ohnefall gleih O M ( V = V ), so tritt bezogen auf V kein induzierter Neuverkehr auf. Kommt es hingegen zu einer Änderung des Verkehrsaufkommens, gilt also V ¹ V, so kann der Ansatz in (4.36) niht direkt angewendet werden, da die Nutzendifferenz mit einem Verkehrsaufkommen V zu multiplizieren ist. Eine pragmatishe Lösung stellt die O M Mittelwertbildung aus V und V dar (vgl. KOHLI/DALY [82] S. 12). Es gilt: ( ( ) ( )) æ M O + ö *M *O V V ç 1 DKR = E F -E F n n. (4.38) l ç çè 2 ø Dadurh wird auh der Nutzengewinn/-verlust infolge der projektinduzierten Änderung des Gesamtverkehrsaufkommens berüksihtigt. Die Verwendung des Mittelwertes impliziert dabei eine lineare Nahfragekurve für V. O M Halbierungsregel Ende der 1960er Jahre wurde die Methodik der Halbierungsregel ( Rule of a Half ) als Näherungslösung zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens erstmals im Rahmen einer Projektbewertung im Verkehrswesen angewendet (vgl. WILLIAMS [156] S. 289). Von Bedeutung ist dieser Ansatz zum einen für Modelle, die die Bedingung (4.28) niht erfüllen und folglih niht integrierbar sind, zum anderen zur Zerlegung des Nutzens nah den Verkehrsalternativen. Die Halbierungsregel findet ihre inhaltlihe Begründung unmittelbar im Ursprungskonzept nah DUPUIT und wird in diesem Kontext in der Literatur vorrangig dargestellt

103 Bewertungskonzepte 90 (siehe z. B. ABELSON/HENSHER in [69], MACKIE ET AL. [99], HELMS [66]). In Kapitel 2.5 wurde bereits gezeigt, dass das ursprünglihe Konzept eher intuitiv begründet ist und erst durh die Einbettung in die mikroökonomishe Konsumtheorie ein rigoroses theoretishes Fundament erhält. Wird die mikroökonomishe Begründung vernahlässigt, kann mittels der Halbierungsregel die Änderung des internen Nutzens basierend auf nahezu jedem beliebigen Verkehrsnahfragemodell bestimmt werden (vgl. JARA-DÍAZ/FARAH [77] S. 207). Vor dem Hintergrund der angestrebten Konsistenz zwishen Verkehrsnahfragemodellierung und wohlfahrtstheoretisher Bewertung soll die Halbierungsregel jedoh im Folgenden für (mikroökonomish begründete) Zufallsnutzenmodelle theoretish konsistent abgeleitet werden Konzept * Bei der Halbierungsregel erfolgt die Berehnung von E ( n ) D F, im Gegensatz zur Logsum- Differenz, für jede einzelne Alternative a b getrennt. Das wird durh die Zerlegung der Gesamtnahfragefunktion und die Integration der einzelnen Auswahlwahrsheinlihkeiten P bn erreiht. Die gesamte Änderung des internen Nutzens des Entsheidungsträgers n ergibt sih zu: bn * * ( ) = å ( ) = ( ) M åò DE F DE F P F df. (4.39) n bn bn A n bn n b b F F O bn Die Auswahlwahrsheinlihkeiten P bn werden von den sih simultan ändernden Nutzen F bn aller Alternativen a beeinflusst, weshalb die Berehnung der einzelnen ( * E ) b bn Kenntnis des Integrationsweges von O F nah bn M F erfordert. bn D F die In Anlehnung an WILLIAMS in [155] kann gezeigt werden, dass die Halbierungsregel als Näherungslösung unter der Annahme eines linearen Integrationspfads zwishen F O und bn M F resultiert. Hierbei wird unterstellt, dass die relative Änderung zwishen beiden bn Gleihgewihtszuständen für alle Alternativen gleih und konstant ist: ( ) ì O M O ü F s F F + - 1n 1n 1n O M O PF = ï F s n í + bn ( F - F ï bn bn) ý 0 s 1. (4.40) O M O F + s Bn ( F -F Bn Bn) ïî n n n ïþ

104 Bewertungskonzepte 91 Unter der Annahme des Integrationspfads PF n ergibt sih: * ( ) = ( F ) = å ò DE F P df n bn A n bn n b PFn 1 å ò b 0 å bn ( )( ( ) ) P s d F s / ds ds. (4.41) M O ( ) P bn bn bn ( ) = F -F s ds 1 ò b 0 bn Anshließend erfolgt eine Taylorreihenentwiklung im Punkt der Ohnefallsituation d. h., = 0: 2 ( ) ( ) F O, bn 1 ì ü dp 0 * M O ï bn 1 d P 0 2 bn DE ( F ) = ( - ) í ( ) ï å F F n bn bn ò P 0 s s... ýds, (4.42) bn 2 b ds 2 0 ds ïî ïþ wobei alle Ableitungen an der Stelle = 0 erfolgen. Die Terme zweiter und höherer Ordnung werden bei marginalen Änderungen des Nutzens niht berüksihtigt, was eine Linearisierung von P bn an der Stelle = 0 zur Folge hat. Unter dieser Annahme gilt: bn ( ) dp 0 ds bn M bn ( s = )- ( s = ) P 1 P 0 = P -P O bn bn. (4.43) Durh Einsetzen in und Integration von (4.42) nah ergibt sih: ( * ) = å( M - O ) O + 1 å( M - O ) ( M - O n bn bn bn bn bn bn bn) DE F F F P F F P P. (4.44) 2 b Der Ausdruk kann zusammengefasst werden zu: * 1 O M M O ( ) = å( + ) ( - n bn bn bn bn) b b DE F P P F F. (4.45) 2 Durh die Monetarisierung mittels n ergibt sih wiederum die Änderung der Konsumentenrente des Entsheidungsträgers n: ( ) ( ) 1 1 DKR = P + P F -F 2 l å O M M O n bn bn bn bn b n. (4.46) Für die simultane Verkehrsnahfrageberehnung folgt für die Quelle-Ziel-Gruppe : O M M O ( ) ( ) 1 1 DKR = ååå v + v F -F. (4.47) ijk ijk ijk ijk 2 i j k l

105 Bewertungskonzepte 92 Die Nutzenfunktionen F umfassen alle quantifizierbaren entsheidungsrelevanten ijk Einflussgrößen, deren Änderungen auf die Verkehrsnahfrage und die Höhe der Konsumentenrente Einfluss haben. Sind die alternativenspezifishen Charakteristika für Mitund Ohnefall konstant, so resultiert KR nur aus Aufwandsänderungen: ( ) ( ) 1 1 DKR = v + v ga -ga 2 l ååå O M O M ijk ijk ijk ijk i j k. (4.48) Die in der Literatur gebräuhlihste Form ergibt sih durh die Verwendung der Generalisierten Kosten g: ( ) ( ) 1 D KR = ååå v O + v M g O -g M, (4.49) ijk ijk ijk ijk 2 i j k wodurh der Grenznutzen des Einkommens nur noh implizit in der Formel enthalten ist. Das Prinzip der Halbierungsregel ist in Abbildung 4-1 grafish dargestellt. 50 Dabei ist zu beahten, dass der Generalisierte Aufwand die unabhängige Größe (Ordinate) darstellt. Somit entspriht die Flähe unterhalb der Nahfragekurve zwar dem internen Nutzen, jedoh niht der Konsumentenrente. Für deren Bestimmung ist die Monetarisierung des Nutzens mittels des Grenznutzens des Einkommens notwendig. Aus der Abbildung wird deutlih, dass die Halbierungsregel zur Ermittlung der Nutzenänderung (shraffierte Flähe) auf einer linearen Approximation der Nahfragefunktion (Gerade BC) basiert und i. Allg. kein exaktes Ergebnis liefert. Generalisierter Aufwand ga ga O A B ga M E D C Nahfragekurve v O v M Verkehrsstrom v Abbildung 4-1: Halbierungsregel 50 Zur Vereinfahung ist der eteris-paribus-fall dargestellt, bei dem sih zwishen Ohne- und Mitfall ausshließlih die Aufwände der betrahteten Alternative ändern. Auf die Darstellung der Angebotskurven wird darüber hinaus aus Gründen der Übersihtlihkeit verzihtet. Die Gleihgewihtszustände in den Punkten B und C ergeben sih jedoh infolge der Shnittpunkte der Nahfrage- und der Angebotskurven.

106 Bewertungskonzepte Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente Im Gegensatz zur Logsum-Differenz ist eine Zerlegung von KR bei Anwendung der Halbierungsregel möglih. Die Möglihkeit der Disaggregation nah vershiedenen Alternativen(-gruppen), wie z. B. den Verkehrsmitteln, wird bei Betrahtung der oben gezeigten Formeln deutlih. Wird auf die Summierung über k verzihtet, resultieren die Werte KR k je Verkehrsmittel. Die Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente nah den Aufwandsänderungen ist ebenfalls problemlos durhführbar. Mit F å =- ga + b X ijk ijk l ijkl l å =-b rk -b rz + b X resultiert (mit X = X ): rk ijk rz ijk l ijkl l O M O M O M ( ) ( ) 1 DKR = ååå v + v rk -rk 2 ijk ijk ijk ijk i j k O M brz O M ( v v ijk ijk ) ( rz rz ijk ijk ) 1 + ååå b i j k rk. (4.50) Die Verhältnisse der Präferenzparameter entsprehen dem subjektiven monetären Wert der Reisezeiteinsparung, die dem Verkehrsnahfragemodell zugrunde liegen. Eine andere Möglihkeit der Zerlegung besteht in der getrennten Ausweisung von KR nah verbleibendem und induziertem Verkehr. Der Ansatz leitet sih direkt aus (4.44) ab und lautet formal: ( ) 1 DKR F F ååå M O min = - v ijk ijk ijk i j k l i j k M O max min ( F F ijk ijk ) ( v v ijk ijk ) ååå l Dabei sind v min { O M ijk = min v,v ijk ijk } und v max max { v O,v M } ijk ijk ijk. (4.51) =, wodurh die Formel sowohl für induzierten als auh reduzierten Verkehr angewendet werden kann. O M Mit X = X ergibt sih: ( ) 1 O M min DKR = ååå ga -ga v ijk ijk ijk i j k l ååå l i j k O M max min ( ga ga ijk ijk ) ( v v ijk ijk ). (4.52)

107 Bewertungskonzepte 94 Der erste Term repräsentiert (mit ga O > ga M ) den Konsumentenrentenzuwahs des verbleibenden Verkehrs, der der Einsparung der monetarisierten Generalisierten Aufwände entspriht. In Abbildung 4-1 wird dieser Nutzen durh die Flähe ABDE dargestellt. Demgegenüber gibt der zweite Term den monetären Nutzengewinn des induzierten Verkehrs (Flähe BCD) an, der durh die projektinduzierte Erreihbarkeit/Zugänglihkeit (z. B. eines Ziels) bei gleihen individuellen Ressouren erzielt wird. Der erste zusätzlihe Verkehrsteilnehmer erfährt dabei einen Nutzengewinn in vollem Umfang ebenso wie die verbleibenden Verkehrsteilnehmer (Punkt B). Er war im Ohnefall gerade indifferent zwishen Realisierung und Unterlassung der betrahteten Ortsveränderung. Der letzte hinzukommende Verkehrsteilnehmer erzielt keinen zusätzlihen Nutzengewinn, da er im Mitfall gerade indifferent ist und durh eine marginale Erhöhung des Generalisierten Aufwands auf die Durhführung der betrahteten Ortsveränderung verzihten würde (Punkt C). Somit wird unterstellt, dass die Gesamtheit der neu hinzukommenden Verkehrsteilnehmer im Mittel eine Änderung der Konsumentenrente in Höhe der Hälfte der Einsparung der monetarisierten Generalisierten Aufwände erfährt. Es wird deutlih, dass bei der Bewertung des induzierten Verkehrs keine Untersheidung in verlagerten oder Neuverkehr getroffen wird. Für eine vollständige und korrekte Nutzenerfassung sind jedoh alle betroffenen Relationen (mit v O ¹ v M ) zu ijk ijk berüksihtigen, da verlagerter Verkehr u. U. auf der ursprünglihen ijk-relation einen zusätzlihen Nutzengewinn oder -verlust erfährt. ABAY zeigt in [1] ausführlih, dass das Konzept für alle relevanten Aufwands- und Mengenänderungen konsistent ist. Eine weitere Zerlegung des verbleibenden und induzierten Verkehrs in die Nutzenkomponenten kann zu fehlerhaften Nutzenzuweisungen beim induzierten Verkehr führen, weshalb darauf verzihtet werden sollte (vgl. EM [44] S. 63). Dies gilt jedoh niht für den verbleibenden Verkehr Erweiterte approximative Ansätze Die Halbierungsregel zur Näherung der Änderung des internen Nutzens führt unter folgenden Umständen zu keinem oder einem fehlerhaften Ergebnis: - große Änderungen der Generalisierten Kosten/Aufwände zwishen Ohne- und Mitfall und - ungleihe Alternativenmenge zwishen Ohne- und Mitfall. Die Problematik der großen Aufwandsänderungen wird unmittelbar aus Abbildung 4-1 deutlih. Die Abweihung der linearen Approximation der Nahfragekurve steigt bei nihtlinearen Nahfragekurven mit zunehmenden Aufwandsdifferenzen. Der zweite Anwendungsfall umfasst vor allem neue bzw. wegfallende Verkehrsmittel und Ziele, für welhe die Vergleihsaufwände des Ohne- bzw. Mitfalls fehlen. Zur Lösung der Probleme

108 Bewertungskonzepte 95 entwikelten NELLTHORP und HYMAN die Halbierungsregel weiter. Nahfolgend werden die Ansätze basierend auf NELLTHORP/HYMAN [110] vorgestellt Numerishe Integration bei großen Aufwandsänderungen Der Ansatz der Numerishen Integration stellt eine Erweiterung der Halbierungsregel dar, wobei die zu bestimmende Flähe unterhalb der Nahfragekurve niht mittels einer, sondern mehrerer Trapezflähen approximiert wird. Die modellierten Gleihgewihtszustände des Mit- und Ohnefalls, die der Halbierungsregel zugrunde liegen, werden beibehalten und durh zusätzlihe Zwishenpunkte ergänzt. Das Prinzip ist in Abbildung 4-2 grafish dargestellt, in der die shattierte Flähe die genäherte Nutzenänderung angibt. Generalisierter Aufwand ga ga O ga 3 ga 2 ga 1 ga M v O v 3 v 2 v 1 v M Verkehrsstrom v Abbildung 4-2: Numerishe Integration bei großen Aufwandsänderungen Die Bestimmung der Zwishenpunkte ergibt sih auf Grundlage äquidistant verteilter Generalisierter Aufwände. Zur Festlegung der in Abbildung 4-2 dargestellten drei Zwishenpunkte erfolgt die Definition der Generalisierten Aufwände wie folgt: ( ) ( ) ( ) 1 O M M = - + ijk ijk ijk ijk ga 0,25 ga ga ga 2 O M M = - + ijk ijk ijk ijk ga 0,5 ga ga ga 3 O M M = - + ijk ijk ijk ijk ga 0,75 ga ga ga. (4.53) Unter Vorgabe dieser Werte sind die entsprehenden Verkehrsströme v 1, ijk 2 v und v 3 ijk ijk mittels des Verkehrsnahfragemodells zu berehnen. Darauf aufbauend kann die Änderung des internen Nutzens mittels der Numerishen Integration bestimmt werden. Dessen Monetarisierung mittels des Grenznutzens des Einkommens liefert die Änderung der Konsumentenrente:

109 Bewertungskonzepte 96 DKR O ( + 3 ) O ( - 3 v v ga ga ijk ijk ijk ijk ) ( v v ) ( ga ga ijk ijk ijk ijk ) ( ijk ijk ) ( ijk ijk ) 1 M 1 M + ( v + v ) ( ga -ga ijk ijk ijk ijk ) æ ö ç ç ç = ååå ç. (4.54) 2 i j k l + v + v ga - ga ç çè ø Das Konzept der Numerishen Integration ist einfah, besitzt jedoh einen erhöhten Berehnungsaufwand. Daher sind die Notwendigkeit der Anwendung und die erforderlihe Anzahl der Zwishenpunkte zu prüfen. Als Kriterium für die Differenziertheit der Numerishen Integration ist die erforderlihe Genauigkeit der approximativen Nutzenberehnung gegenüber dem exakten Nutzenmaß vorzugeben. Als akzeptabel befinden NELLTHORP/HYMAN eine Abweihung von 10 %, für deren Einhaltung folgende Regel zur Anwendung der Numerishen Integration vorgeshlagen wird (vgl. [110] S. 8): M O M O ijk ijk ijk ijk O M O M ijk ijk ijk ijk ga ga v v ³ 33% NI. (4.55) ga ga v v Neben der Änderung der Generalisierten Aufwände wird zusätzlih die Abweihung der Verkehrsströme zwishen Mit- und Ohnefall betrahtet, da große Differenzen der Verkehrsströme ebenfalls zu fehlerhaften Ergebnissen bei der Anwendung der Halbierungsregel führen. Die Anzahl der Zwishenpunkte rihtet sih ebenfalls nah der prozentualen Änderung der Generalisierten Aufwände. Wird ein zusätzliher Zwishenpunkt eingeführt, liefert die Numerishe Integration akzeptable Ergebnisse bis zu einer Änderung von a. 70 %. Bei noh größeren Abweihungen sind drei Zwishenpunkte zu berehnen, wobei der Ansatz grundsätzlih eine beliebige Anzahl an Zwishenpunkten erlaubt Dreiek-Methode bei ungleihen Alternativenmengen Die Problematik wird nahfolgend für die Erweiterung der Alternativenmenge im Mitfall erläutert. Infolge der Einführung eines neuen Verkehrsmittels oder durh die Erreihbarkeit eines neuen Ziels, sind für die entsprehende Alternative nur v M, ijk M ga und ijk O v = 0 gegeben, ga O hingegen niht. Gleihes gilt, wenn die Alternative zwar im ijk ijk O Ohnefall existiert, jedoh ga so hoh ist, dass die Alternative niht nahgefragt wird ijk ( v O = 0). Für beide Fälle ist der gesamte interne Nutzen im Mitfall zu bestimmen, der ijk durh die shraffierte Flähe in Abbildung 4-3 repräsentiert wird.

110 Bewertungskonzepte 97 Generalisierter Aufwand ga ga M Nahfragekurve v O =0 v M Verkehrsstrom v Abbildung 4-3: Interner Nutzen bei Einführung einer neuen Alternative Zur Berehnung dieser Flähe ist folgendes uneigentlihe Integral zu lösen: M M æf ö F ijk ijk * DE ( F ) = ( ) = ( ) ò P F df V ijk ijk A ijk ò v F df. (4.56) ijk A ijk ç çè- ø - Aufgrund multipler Abhängigkeiten der Alternativen ist jedoh der Integrationspfad unbekannt und eine Näherungslösung notwendig. Hierfür shlagen NELLTHORP/HYMAN die Dreiek-Methode vor, bei der, ausgehend von einem zu definierenden Hilfs-Ohnefall, die verbleibende Restflähe unterhalb der Nahfragekurve mit einem Dreiek genähert wird. Da die Einführung neuer Alternativen i. Allg. mit großen Aufwandsänderungen verbunden ist, erfolgt die Anwendung dieser Methode in Kombination mit der Numerishen Integration. Die Approximation des gesamten internen Nutzens der Verkehrsteilnehmer einer neuen Alternative ist in Abbildung 4-4 unter Verwendung von fünf Zwishenpunkten grafish dargestellt, wobei der Zwishenpunkt (ga ho, v ho ) dem Hilfs-Ohnefall entspriht. Bei dem Ansatz ist es von zentraler Bedeutung, jenen Aufwand möglihst genau zu nähern, bei dem die Nahfrage eingestellt wird. Es handelt sih dabei um den Prohibitiv-Aufwand, dessen Näherungswert in der Abbildung mit ga PN gekennzeihnet ist.

111 Bewertungskonzepte 98 Generalisierter Aufwand ga ga PN ga ho ga 4 ga 3 ga 2 ga 1 ga M v ho v 4 v 3 v 2 v 1 v M Verkehrsstrom v Abbildung 4-4: Numerishe Integration bei Einführung einer neuen Alternative Die Generalisierten Aufwände zur Bestimmung der Zwishenpunkte sind bis auf ga PN wiederum äquidistant verteilt. Der Wert für ga PN wird hingegen unter Zuhilfenahme der Zwei-Punkt-Form zur Bestimmung einer Geraden festgelegt. Unter Verwendung der Punkte (ga ho, v ho ) und (ga 4, v 4 ) kann die Gerade definiert werden: ( ) ho 4 ( v - v ) ( ) ho 4 ho ho 4 ga ga ga ga ga = v + ga - v v - v. (4.57) Mit v PN = 0 kann ga PN bestimmt werden: æ ho ö PN 4 ga v ga v ga = ga -. (4.58) ç ho 4 - è v v ø Alle Teilstüke sind dann mittels der Halbierungsregel bestimmbar. Unter Beahtung des Grenznutzens des Einkommens ergibt sih shließlih die Änderung der Konsumentenrente durh: æ æ ö æ ho ö ö ga v ga v ijk ijk ijk ijk 4 - v ijk - ho 4 çè ç è ø ø v v ijk ijk DKR = + ( + ) ( - ) + ( + ) ( - ijk v v ga ga v v ga ga ijk ijk ijk ijk ijk ijk ijk ijk ) 2 l. (4.59) M M 1 + ( v + v ) ( ga - ga ) + v + v ijk ijk ijk ijk ( ijk i ) ( ga - ga ) jk ijk ijk ç çè ø

112 Bewertungskonzepte 99 Für den Näherungswert ga PN und damit die Genauigkeit des Ergebnisses besitzt die Festlegung des Hilfs-Ohnefalls eine große Bedeutung. NELLTHORP/HYMAN shlagen zur Bestimmung dieses Punktes folgende Regel vor (vgl. [110] S. 15): ga ho ijk M ijk = 3 ga. (4.60) In vershiedenen Berehnungsbeispielen stellen die Autoren jedoh fest, dass stets ein Fehler von mindestens 10 % verbleibt. Als Hauptfehlerquelle wird der Bereih kleiner Aufwandswerte identifiziert, was Folge der äquidistanten Verteilung der Generalisierten Aufwände ist. NELLTHORP/HYMAN empfehlen daher weitere Untersuhungen, falls die Abweihung als zu groß bewertet wird (vgl. [110] S. 15) Einkommenseffekte und Nihtlinearitäten Bisher wurden Einkommenseffekte infolge von Verkehrsprojekten niht thematisiert, da ein Einkommenseffekt von Null Voraussetzung für die Eindeutigkeit der Konsumentenrente als monetäres Nutzenmaß ist. Die Annahme ist jedoh nur gerehtfertigt, wenn die Reisekosten relativ klein zum Einkommen sind (vgl. JARA-DÍAZ [76] S. 55). Das gilt niht für die Verkehrsnahfrage: - in Entwiklungsländern (siehe z. B. JARA-DIÁZ/VIDELA [78]), - bei extensivem road priing (vgl. DALY ET AL. [32] S. 2) und - teuren Reisen (vgl. ABAY [1] S. 11). Neben den genannten Fällen, in denen die Reisekosten einen signifikanten Anteil am Einkommen darstellen, werden häufig auh nihtlineare Transformationen der Reisekostenkomponente zur Erzielung besserer Modellierungsergebnisse verwendet (siehe Kapitel ), die formal ebenfalls implizit Einkommenseffekte unterstellen. Entsprehend den Darstellungen in Kapitel 4.1 ist zur Abbildung von Einkommenseffekten jedoh das Einkommen als erklärende Variable in die Nutzenfunktion zu integrieren (vgl. IBÁÑEZ/BATLEY [73] S. 6). Die Vernahlässigung des Einkommens trotz nihtlinearer Transformationen wird in Kapitel aus mikroökonomisher Siht diskutiert. Wenn Einkommenseffekte auftreten, dann stellt die Konsumentenrente kein exaktes Nutzenmaß dar. Die Mikroökonomie sieht in diesem Fall die Bestimmung der Kompensations- oder Äquivalenzvariation vor. Deren Berehnung führt jedoh im Rahmen der Verkehrsnahfragemodellierung zu theoretishen und praktishen Problemen. Zwar wurden auf dem Gebiet in den letzten Jahren zahlreihe Ansätze entwikelt (siehe z. B. MCFADDEN [104], KARLSTRÖM/MOREY [80] oder DE PALMA/KILANI [116]), diese sind jedoh für große Alternativenmengen derzeit noh niht praktikabel. Die Entwiklung pragmatisher Ansätze stellt ein mikroökonomishes Grundlagenproblem dar, dessen Lösung niht Gegenstand dieser Arbeit sein kann.

113 Bewertungskonzepte 100 Es wird daher i. Allg. auh bei Einkommenseffekten auf das Konzept der Konsumentenrente als Näherungslösung zurükgegriffen. Dabei stellt der Grenznutzen des Einkommens das kritishe Element dar. Zur Monetarisierung der Nutzenänderungen je Quelle-Ziel-Gruppe wird sowohl bei der Logsum-Differenz als auh bei der Halbierungsregel und der Numerishen Integration hierfür jeweils ein Wert benötigt. Bei nihtlinearen Zusammenhängen wird somit der Erwartungswert von für jede Quelle-Ziel-Gruppe gesuht. Ausgehend von folgender allgemeiner Nutzenfunktion: ( rk ) F = b f y - + b X (4.61) ijk rk n ijk ijk resultiert der vom individuellen Einkommen und von den Reisekosten abhängige Grenznutzen des Einkommens: l ( y, ) ( - rk n ijk ) F df y ijk rk = = b. (4.62) y dy n rk n Der Erwartungswert lautet: n ( - rk n ijk) ( ( )) æ ö df y E l y, rk = b E n rk. (4.63) ç dyn çè ø Zur Ermittlung des Erwartungswertes des Grenznutzens des Einkommens gibt es grundsätzlih mehrere Möglihkeiten: - (1) arithmetisher Mittelwert des Ohne- oder Mitfalls, - (2) gewihteter Mittelwert des Ohne- oder Mittfalls, - (3) Mittelwert aus arithmetishen oder gewihteten Mittelwerten des Ohne- und Mitfalls. Ad (1): Die arithmetishe Mittelwertbildung über alle Alternativen lautet: 51 df y æ ö ( - ) ååå df y rk dy E ( l ( y, rk )) = b E = b n rk ç rk dyn I J K çè ø n ijk i j k n ( -rk n ijk ). (4.64) k = 1...K Laufindex Verkehrsmittel mit Reisekosten 51 Der Ausdruk I entspriht der Mähtigkeit der Menge I, d. h. der Anzahl der Elemente der Menge I.

114 Bewertungskonzepte 101 Ad (2): Die über die realisierten Verkehrsströme gewihtete Mittelwertbildung über alle Alternativen lautet: ( - rk n ijk ) æ ö df y E ( l ( y, rk )) = b E n rk ç dyn çè ø df y = b rk ååå ( - rk n ijk ) i j k n ååå dy i j k v ijk v ijk. (4.65) Ad (3): Liegen die Erwartungswerte sowohl für den Ohne- als auh den Mitfall vor, so ist ebenfalls der Mittelwert aus arithmetishen oder gewihteten Mittelwerten bestimmbar: O M ( l ( rk )) + ( l n ( rk n ) ) E y, E y, E( l ( y, rk )) =. (4.66) n 2 In der Literatur wird i. Allg. nur der Fall (1) betrahtet (vgl. z. B. KOHLI/DALY [82] S. 13 und HELMS [66] S. 187). Ein gewihteter Wert ersheint jedoh logisher, da er die Betroffenheit berüksihtigt. Untersuhungen hinsihtlih der Genauigkeit der Änderung der Konsumentenrente bei Einkommenseffekten führten CHERCHI ET AL. in [28] durh. Die Autoren verglihen an einem einfahen Beispiel der Verkehrsmittelwahl Ergebnisse der Halbierungsregel mit denen der Kompensationsvariation. Sie stellten fest, dass ab einer 30-prozentigen Erhöhung der Reisekosten der Fehler der Änderung der Konsumentenrente signifikant wird, wenn gleihzeitig die Höhe der Reisekosten einer Alternative einem Anteil des individuellen Einkommens von über 25 % entspriht (vgl. CHERCHI ET AL. [28] S. 17). Zwar erlauben die Berehnungen keine endgültigen Shlussfolgerungen, jedoh sheint die Nutzenberehnung mittels der Änderung der Konsumentenrente für den (Regel-)Fall hinreihend genau zu sein. rkijk y Aggregation der veränderten Konsumentenrenten In Kapitel wurde gezeigt, wie mittels einer sozialen Wohlfahrtsfunktion individuelle Nutzen zu einem sozialen Gesamtnutzen zusammengefasst werden können. Der Ansatz lässt sih hier auf die Aggregation der veränderten Konsumentenrenten je Quelle-Ziel-

115 Bewertungskonzepte 102 Gruppe übertragen. Der monetäre Gesamtnutzen ergibt sih dann als Summe der gewihteten veränderten Konsumentenrenten: å DKR = a D KR. (4.67) Der soziale Gewihtungsfaktor ist durh den politishen Entsheidungsträger vorzugeben. Hierdurh ist es möglih, untershiedlihe Gewihte nah Wegezweken zu vergeben. Von größerer Bedeutung ist jedoh, wenn die Quelle-Ziel-Gruppen zusätzlih nah Einkommensklassen unterteilt werden. Dann können die veränderten Konsumentenrenten der Personen untershiedliher Einkommensklassen differenziert gewihtet werden. Da der Grenznutzen mit steigendem Einkommen sinkt, liefert eine Nutzenänderung des gleihen Betrags bei hohem Einkommen eine höhere veränderte Konsumentenrente als bei niedrigem Einkommen. Eine Gleihgewihtung der veränderten Konsumentenrenten aller Quelle-Ziel-Gruppen mit = 1 würde somit zu einer impliziten Gewihtung nah den Einkommen führen. Welhe Gewihtung vorzunehmen ist, kann und darf jedoh niht Gegenstand des Modellierers sein. Die Verantwortung hierfür liegt ausshließlih beim politishen Entsheidungsträger. 4.3 Ersparnisansatz Neben der Änderung der Konsumentenrente besitzt, vor allem in der verkehrsplanerishen Praxis, der Ersparnisansatz eine Bedeutung zur Quantifizierung von Nutzenänderungen. Die Methodik zielt dabei auf die Bestimmung der projektinduzierten Ausgabenänderungen der Verkehrsteilnehmer ab und orientiert sih am Ressoureneinsatz. Aufgrund der hohen praktishen Bedeutung sollen das Konzept und damit verbundene Besonderheiten nahfolgend kurz vorgestellt werden Konzept Der Ersparnisansatz stellt ein pragmatishes mikroökonomishes Konzept zur Bewertung öffentliher Güter und externer Effekte dar, da für diese Fälle oftmals keine Nahfragekurven und Marktpreise bekannt sind (vgl. HANUSCH [62] S. 76). Unabhängig davon führt eine Projektrealisierung jedoh zu beobahtbaren Kostenersparnissen, durh die Ressouren freigesetzt werden. Diese Ersparnisse stellen ein Maß für den durh die Investitionsmaßnahme gestifteten Nutzen dar Es wird unterstellt, dass die Kostenersparnis in der alten Verwendung genau dem Wertzuwahs in der neuen Verwendung entspriht. Voraussetzung hierfür ist die Annahme der vollkommenen Konkurrenz, wodurh der Preis eines Produktionsfaktors in allen Verwendungen gleih ist. Er entspriht seinem Wertgrenzprodukt (vgl. HANUSCH [62] S. 84).

116 Bewertungskonzepte 103 Grundlage des Ansatzes ist die Berehnung direkt messbarer Ersparnisse. Für die Verkehrsteilnehmer umfasst das alle entsheidungsrelevanten Aufwände, d. h. im Besonderen Reisezeit und Reisekosten. Die Ersparnisse werden aus den Gesamtaufwänden des Mitund Ohnefalls berehnet. Formal gilt für den allgemeinen Gesamtaufwand je Quelle-Ziel- Gruppe : åååå GA = GA mit GA = v ga. (4.68) ijkr ijkr ijkr ijkr i j k r Die Ersparnis E ergibt sih dann: O M E = GA - GA. (4.69) Die monetäre Einsparung je Quelle-Ziel-Gruppe mit veränderten Gesamtreisekosten RK und Gesamtreisezeiten RZ lautet demnah: me = DRK + vtts DRZ. (4.70) Hierbei bezeihnet vtts den Wert der Reisezeiteinsparung (value of travel time savings). Da auh in (4.70) die untershiedlihen Bezugspersonen und der Fahrtzwek einen Einfluss auf vtts haben, erfolgt die Nutzenberehnung je Quelle-Ziel-Gruppe. Die Aggregation über alle Quelle-Ziel-Gruppen liefert den Gesamtnutzen. Der Wert der Reisezeiteinsparung wird beim Ersparnisansatz i. Allg. extern vorgegeben, allerdings ist es theoretish möglih, den subjektiven Wert des Verkehrsnahfragemodells (svtts) hierfür heranzuziehen. Erfolgt im Verkehrsnahfragemodell die Berüksihtigung von Einkommenseffekten, so ist, analog den Ausführungen in Kapitel 4.2.4, ein Erwartungswert des Grenznutzens des Einkommens zu bilden, der zur Bestimmung des Erwartungswertes für svtts heranzuziehen ist. Aufgrund der ansatzimmanenten disaggregierten Bestimmung der Gesamtaufwandsänderungen je Aufwandskomponente ist die Zerlegung des Gesamtnutzens nah den Aufwandskomponenten und den Verkehrsmitteln a priori gewährleistet Induzierter Verkehr beim Ersparnisansatz Der Ansatz weist bezüglih der Bewertung des induzierten Verkehrs einige Besonderheiten auf, die zu beahten sind. Zur Erläuterung dient Abbildung 4-5, in der die Nahfragekurve eines Verkehrsstroms in Abhängigkeit der Reisezeit dargestellt ist Die Betrahtung nur eines Aufwands ermögliht eine einfahere Nahvollziehbarkeit der Berehnung der Einsparung der originären Größen, die bei dem Ansatz die Grundlage der Nutzenberehnung darstellen. Die Verkehrsnahfrage ist jedoh, wie bisher stets angenommen, von weiteren Einflussgrößen, die untereinander gewihtet sind, abhängig.

117 Bewertungskonzepte 104 Reisezeit rz rz O O rz M I M Nahfragekurve II III v O v M Verkehrsstrom v Abbildung 4-5: Ersparnisansatz und induzierter Verkehr Ausgangspunkt ist die Gleihgewihtssituation des Ohnefalls O, in der die Verkehrsnahfrage v O realisiert wird. Infolge einer Verkehrsinvestition sinkt rz O auf rz M, wodurh die Verkehrsnahfrage auf v M steigt. Der Ressourenverbrauh an Reisezeit wird für den Ohnefall durh die Summe der Flähen I und II und für den Mitfall durh die Summe der Flähen II und III repräsentiert. Während für den verbleibenden Verkehr (v O ) eine Einsparung in Höhe der Flähe I resultiert, verursaht der induzierte Verkehr (v M v O ) zusätzlihe Reisezeitaufwendungen (Flähe III). Für den betrahteten Verkehrsstrom übersteigen die Reisezeiten des induzierten Verkehrs die Einsparung des verbleibenden Verkehrs und es entsteht auf dieser Relation ein negativer Nutzen. Der induzierte Verkehr setzt sih aus verlagertem Verkehr und ggf. Neuverkehr zusammen. Der verlagerte Verkehr umfasst dabei jene Verkehrsteilnehmer, die im Ohnefall andere Relationen nutzten. Der dort reduzierte Verkehr führt zu Reisezeiteinsparungen in Höhe der Ausgaben im Ohnefall, wodurh auf diesen Relationen ein entsprehender projektinduzierter Nutzen resultiert. Die Summierung der (monetarisierten) Ressourenverbräuhe über alle Relationen und alle Aufwandsgrößen im Ohne- und Mitfall und deren Saldierung ergibt die gesamte Nutzenänderung der Verkehrsteilnehmer. Dieses Ergebnis führt jedoh i. d. R. zu einer Untershätzung des tatsählihen Nutzens, da nur die im Verkehr realisierten Einsparungen betrahtet werden. Der Nutzen des induzierten Verkehrs, der durh die verbesserten Erreihbarkeiten (z. B. weiter entfernter Ziele) erzielt wird, geht niht in die Berehnung ein. Dieser zusätzlihe Nutzengewinn müsste durh die Quantifizierung und Saldierung des von den Verkehrsteilnehmern am Ziel ihrer Ortsveränderung erfahrenen Nutzens bestimmt werden. Allgemein bedeutet das, dass es erforderlih wäre, alle Interdependenzzusammenhänge der Verkehrsmaßnahme zu erfassen, was jedoh praktish kaum möglih ist (vgl. FEST [49] S. 67).

118 Bewertungskonzepte Einshätzung und Vergleih der Bewertungsansätze Die vorgestellten Bewertungsansätze sollen nahfolgend gegenübergestellt werden. Tabelle 4-1 beinhaltet eine entsprehende Übersiht bezüglih vershiedener Bewertungskriterien. Mit Ausnahme der drei ersten Kriterien findet eine dreistufige Bewertungsskala Anwendung. Neben der tabellarishen Bewertung werden zusätzlih kurze Einshätzungen getroffen. Kriterium Logsum- Halbierungsregel Dreiek-Methode ansatz Numerishe Integration/ Ersparnis- Differenz Ergebnis KR KR KR E Bewertungspräferenzen intern (intern) (intern) (intern) Verkehrsnahfragemodell Logit k. R. k. R. k. R. Theoriekonsistenz induzierter Verkehr Einkommenseffekt neue Alternativen Genauigkeit Zerlegbarkeit Anshaulihkeit Berehnungsaufwand Harmonisierbarkeit Legende: +: Vorteil, -: Nahteil, 0: neutral, k. R.: keine Restriktion, Tabelle 4-1: Vergleih der Bewertungskonzepte Logsum-Differenz: Die Logsum-Differenz zur Berehnung der Änderung der Konsumentenrente erfordert die Verkehrsnahfrageberehnung mittels des Logit-Modells. Die Bewertungspräferenzen der Verkehrsnahfragemodellierung fließen unmittelbar in die Berehnung ein, weshalb eine externe Vorgabe niht erforderlih ist. Hierdurh wird eine theoriekonforme Bewertung gewährleistet. Einkommenseffekte stellen ein grundsätzlihes Problem im Rahmen der Berehnung der Konsumentenrente dar, weshalb hierfür bei der Berüksihtigung dieser Effekte für die Verkehrsnahfrage Näherungslösungen für den Grenznutzen des Einkommens verwendet werden müssen. Ein Vorteil des Ansatzes ist die sehr einfahe Berehen- und Umsetzbarkeit. Aus praktisher Siht steht dem jedoh der Nahteil der Unfähigkeit der Zerlegbarkeit der Nutzen nah den Nutzenkomponenten und den Verkehrsmitteln gegenüber. Dies ist zwar mikroökonomish irrelevant, jedoh ersheint das für eine praktishe Anwendung von Bedeutung. Aufgrund der theoretishen Konsistenz durh die direkte Integrierbarkeit des Verkehrsnahfragemodells und der Nutzung interner Präferenzen bietet der Ansatz gute Voraussetzungen für die Harmonisierung der Bewertungsansätze.

119 Bewertungskonzepte 106 Halbierungsregel: Die Halbierungsregel ist eine Näherungslösung zur Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente und ist somit a priori fehlerbehaftet. Die Abweihung vom exakten Ergebnis hängt dabei von der Form der Verkehrsnahfragekurve ab. Hinsihtlih der Einkommenseffekte gelten die gleihen Einshränkungen wie bei der Logsum-Differenz. Bezüglih der Bewertungspräferenzen ist festzuhalten, dass diese aus dem Verkehrsnahfragemodell verwendet werden können. In Kapitel wurde dieses Vorgehen vor dem Hintergrund der Harmonisierung bereits dargestellt. Das ist jedoh keineswegs der in der Literatur vorherrshende Weg. Ein Vorteil der Halbierungsregel gegenüber dem Logsum-Ansatz ist die Unabhängigkeit vom Logit-Modell. Es ist grundsätzlih möglih, die Änderung der Konsumentenrente mittels der Halbierungsregel für jedes Verkehrsnahfragemodell anzuwenden. Es ist allerdings zu beahten, dass hieraus ggf. kein mikroökonomish konsistentes Ergebnis resultiert. Genügt die Verkehrsnahfrageberehnung den mikroökonomishen Anforderungen niht, so ist das Resultat der Halbierungsregel lediglih intuitiv begründet. Als Nahteil ist anzusehen, dass das Konzept bei Einführung neuer Alternativen sheitert. Im Gegensatz zur Logsum-Differenz ist eine Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente problemlos möglih, wodurh sih eine höhere Anshaulihkeit des Ergebnisses ergibt. Dies ist aus der Perspektive der Praxis von Vorteil. Der Berehnungsaufwand hängt von der Alternativenanzahl ab, ist aber stets höher als bei der Logsum-Differenz. Eine Harmonisierung mit der Bewertung der Verkehrsnahfrage ist einwandfrei gewährleistet, wenn die internen Präferenzen der Verkehrsteilnehmer Eingang finden. Zur vollständigen mikroökonomishen Konsistenz sind zusätzlihe Bedingungen des Verkehrsnahfragemodells zu erfüllen (siehe Kapitel 4.1). Numerishe Integration / Dreiek-Methode: Die erweiterten approximativen Ansätze sind Weiterentwiklungen der Halbierungsregel und weisen daher grundsätzlih die gleihen Eigenshaften auf. Durh die Ansätze werden jedoh eine höhere Genauigkeit und die Möglihkeit der Bewertung neu eingeführter Alternativen gewährt. Den Vorteilen steht jedoh der Nahteil des höheren Berehnungsaufwands gegenüber. Die von NELLTHORP/HYMAN entwikelten Methoden sind einfah und praktikabel, bedürfen jedoh, wie die Autoren selbst feststellen, noh weiterer Entwiklungen. Ersparnisansatz: Der Ersparnisansatz stellt ein pragmatishes Verfahren dar, welhes eine Nutzennäherung über Umwege erzielt. Die Zerlegbarkeit der Ersparnisse ist problemlos durhführbar. Der Berehnungsaufwand ist äquivalent zur Halbierungsregel und abhängig von der Anzahl der Alternativen. Unter Verwendung des modellinternen subjektiven Wertes der Reisezeiteinsparung ist eine harmonisierte Bewertung möglih. Zu beahten ist die Bewertung des

120 Bewertungskonzepte 107 induzierten Verkehrs, da diese zu einer Nutzenuntershätzung führt, die nur durh eine zusätzlihe Nutzenerfassung (am Ziel) kompensiert werden kann. Das ersheint derzeit niht praktikabel, weshalb der Ansatz (ohne die zusätzlihe (externe) Nutzenerfassung) nur dann Anwendung finden sollte, wenn infolge eines Verkehrsprojekts kein oder nur geringer induzierter Verkehr zu erwarten ist. 4.5 Wert der Reisezeiteinsparung Die Realisierung einer Verkehrsinvestition geht nahezu immer mit einer Änderung der Reisezeiten der Verkehrsteilnehmer einher. Der dadurh hervorgerufene Nutzen stellt i. d. R. einen großen Nutzenanteil in der Bewertung der Investition dar. Im Rahmen der NKA ist dieser Nutzen zu monetarisieren, wofür ein geeigneter Wertansatz benötigt wird. Die Bestimmung und die Höhe dieses Wertes der Reisezeiteinsparung stellt ein viel untersuhtes und diskutiertes Forshungsfeld dar. 54 Es ist im Rahmen dieser Arbeit daher niht möglih, die Thematik ausführlih zu behandeln, sondern kann nur kurz umrissen werden. Für einen umfassenden Einblik sei z. B. auf LÜTHI [93] und PAULUßEN [117] verwiesen. Mit der allgemeinen Frage nah dem Wesen und dem Wert der Zeit setzten sih zahlreihe wissenshaftlihe Disziplinen auseinander, wobei die Sihtweisen z. T. sehr differieren (vgl. PAULUßEN [117] S. 16 ff.). Eine dieser Wissenshaften ist die Ökonomie. Deren Zeitwertforshung versuht, den individuellen Wert der Reisezeiteinsparung zu ermitteln. Die Problematik ist somit Gegenstand der Mikroökonomie. 55 Basis für die Überlegungen auf diesem Gebiet stellen vor allem die theoretishen Arbeiten auf dem Gebiet der Zeitallokationstheorie von BECKER [12] und DESERPA [35] dar, deren Ansätze durh zahlreihe Untersuhungen Verfeinerungen und Anpassungen an spezielle Fragestellungen erfuhren. Alle diese Ansätze weisen die gemeinsame zentrale Annahme auf, dass die Zeit bei vielen ökonomishen Aktivitäten eine bedeutende Rolle spielt und eine knappe individuelle Ressoure ist. Aus diesem Grund wurde der allgemeine Ansatz des individuellen Optimierungsprogramms der Ressourenallokation (siehe Kapitel 2.2) um eine zusätzlihe Zeitrestriktion (und weitere tehnologishe Restriktionen) erweitert. Die sih daraus ergebenden Nahfragefunktionen und die indirekte Nutzenfunktion stellen Resultate der Nutzenmaximierung unter Beahtung der zur Verfügung stehenden Einkommens- und Zeitbudgets dar. 54 Weitgehend Einigkeit herrsht über den Wert der Reisezeiteinsparung des Wirtshaftsverkehrs. Hier wird entsprehend der Grenzproduktivitätstheorie der Lohnsatz verwendet (vgl. PAULUßEN [117] S. 29 f.). 55 Lange Zeit wurden makroökonomishe Ansätze zur Bestimmung der Werte genutzt, die jedoh keine verhaltensorientierte Betrahtung beinhalten. Aus theoretisher Siht sind diese Ansätze abzulehnen, da sie aufgrund ihrer Globalbetrahtung keinen Bezug zum Individuum besitzen.

121 Bewertungskonzepte 108 Die Überlegungen lassen sih auf das Optimierungsprogramm unter Beahtung einer diskreten Verkehrsalternative übertragen. Dabei gehen die Reisezeiten analog den Reisekosten niht als Alternativenharakteristikum, sondern über die Zeitbudgetrestriktion in die bedingte indirekte Nutzenfunktion ein. Diesbezüglih erste Untersuhungen führten TRAIN und MCFADDEN [144] am Beispiel eines Verkehrsmittelwahlmodells für Wege zur Arbeit durh. Ziel war die mikroökonomishe Begründung des Einflusses des Lohnsatzes der Erwerbstätigen in der bedingten indirekten Nutzenfunktion. Ein weiterer, in der derzeitigen Praxis bedeutenderer Ansatz wurde von TRUONG und HENSHER [145] abgeleitet und von BATES [9] berihtigt. Hierbei werden neben dem allgemeinen Zeitbudget weitere tehnologishe Nebenbedingungen eingeführt, die untere minimale Zeitgrenzen für die Durhführung einer Fahrt festlegen. Die Reisezeit findet als unerwünshte Größe Eingang in das Optimierungsprogramm, wodurh ein Nutzengewinn durh die Reduzierung der Reisezeit und eine damit einhergehende Erhöhung der Freizeit erklärt wird. Das Ergebnis dieses Ansatzes weist die formale Struktur der in Kapitel abgeleiteten linearen bedingten indirekten Nutzenfunktion auf. Die Reisezeitpräferenzen dieses Funktionstyps geben folglih ein zeitallokationstheoretish begründetes individuelles Verhalten unter Beahtung des allgemeinen Zeitbudgets an. Die Berüksihtigung zeitallokationstheoretisher Überlegungen in Modellen der Zufallsnutzenmaximierung ist sehr komplex und niht primärer Gegenstand dieser Arbeit. Es ist gerade vor dem Hintergrund nihtlinearer Reisezeitpräferenzen noh viel Forshungsarbeit zu leisten. Einige erste Ansätze finden sih z. B. in BLAYAC [15], BLAYAC/CAUSSE [16] und JARA-DÍAZ/VIDELA [78]. Neben den theoretishen Betrahtungen ist vor allem die empirishe Ermittlung des Wertes der Reisezeiteinsparungen von großer Bedeutung. Hierfür gibt es eine Vielzahl vershiedener Ansätze, wobei der Zahlungsbereitshaftsansatz [...] im Einklang mit den theoretishen Grundgedanken steht (PAULUßEN [117] S. 145). Bei diesem Ansatz werden anhand des beobahteten oder geäußerten Verhaltens 56 der Verkehrsteilnehmer individuelle Nutzenfunktionen konstruiert, mit denen Wertausdrüke für Reisezeiteinsparungen (Zahlungsbereitshaften) abgeleitet werden können. Da auh im Rahmen der Zeitwertforshung der Gesamtnutzen der Verkehrsteilnehmer für den Modellierer eine Zufallsgröße darstellt, werden ebenfalls Zufallsnutzenmodelle zur Nahbildung des Entsheidungsverhaltens herangezogen. Unter der Annahme der speziellen Wahrsheinlihkeitsverteilung der stohastishen Nutzenkomponente können mittels spezieller Shätzalgorithmen die wahrsheinlihsten Präferenzparameter bestimmt 56 Am häufigsten kommen dabei sogenannte Stated-Preferene-Befragungen zur Anwendung, bei denen den Probanden eingeshränkte Entsheidungssituationen zur Auswahl gestellt werden.

122 Bewertungskonzepte 109 werden. 57 Das Verhältnis der Grenznutzen der Reisezeit und des Einkommens gibt dann den wahrsheinlihsten svtts an (siehe Kapitel 4.1.1). Die Größe des svtts ist von zahlreihen Einflüssen abhängig, was eine gesonderte Bestimmung für untershiedlihe Untersuhungsgebiete erfordert. Aus diesem Grund gibt es eine unübershaubare Anzahl an Studien, die sih mit dieser Thematik empirish auseinandersetzen. Bedeutende, landesweite Studien, die der Bestimmung der Wertansätze zur Monetarisierung von Reisezeiteinsparungen in NKAs dienen, sind z. B. MACKIE ET AL. [97] für Großbritannien, FOSGERAU ET AL. [54] für Dänemark und KÖNIG ET AL. [84] für die Shweiz. In allen diesen Studien hängt der svtts signifikant von der Höhe des individuellen Einkommens ab. Weitere bedeutende Einflussgrößen sind z. B. Reisezwek, Reiseweite und das verwendete Verkehrsmittel (Komfort, Siherheit et.). Für standardisierte Bewertungsverfahren im Verkehrswesen werden die einkommensabhängigen Werte der Reisezeiteinsparungen jedoh i. Allg. zu einem einheitlihen gewihteten Wert zusammengefasst (siehe Kapitel 4.6). Aus theoretisher Siht ist dies problematish, da es gegen das fundamentale Prinzip der NKA verstößt, wonah der Nutzen mittels der individuellen Zahlungsbereitshaften zu bestimmen ist. In der nahfolgenden Tabelle sind beispielhaft einige aktuelle Zeitwerte zusammengestellt. Die Werte stammen aus einer umfangreihen Metaanalyse, in der je Land die Ergebnisse untershiedliher länderspezifisher Studien statistish ausgewertet und verglihen wurden. Land/Region Deutshland Großbritannien Shweiz EU-25 Zeitwerte [Euro/h] Verkehrsmittel Pendeln andere Fahrt Stadt Überland Stadt Überland Zug/Pkw 9,48 12,18 7,95 10,21 Bus 6,82 8,75 5,72 7,34 Zug/Pkw 10,24 13,15 8,59 11,03 Bus 7,36 9,45 6,17 7,93 Zug/Pkw 12,22 15,69 10,24 13,15 Bus 8,78 11,28 7,36 9,46 Zug/Pkw 10,29 13,21 8,63 11,08 Bus 7,40 9,50 6,20 7,96 Tabelle 4-2: Zeitwerte je Fahrtzwek und Verkehrsmittel für ausgewählte Länder Preisstand 2003 (Quelle: SHIRES/DE JONG [129] S. 22 ff.) 57 Die im Rahmen von Zeitwertstudien gewonnenen Präferenzparameter der Nutzenfunktionen der Verkehrsteilnehmer bilden häufig auh eine wihtige Informationsquelle für Verkehrsnahfragemodelle. Im Idealfall sind beide Modellansätze und die verwendeten Präferenzen identish.

123 Bewertungskonzepte Standardisierte Bewertungsverfahren Die bisherigen Ausführungen beinhalteten die zu beahtenden mikroökonomishen Randbedingungen und die Beleuhtung mögliher Konzepte für eine konsistente Berehnung der Änderung des internen Nutzens. In welhem Maße die in der Praxis angewandten standardisierten Bewertungsverfahren diesen Anforderungen genügen, soll nahfolgend erläutert werden. Standardisierte Bewertungsverfahren im Verkehrswesen stellen relativ exakt vorgeshriebene und nahvollziehbare Verfahren dar, welhe i. d. R. durh Empfehlungen oder Rihtlinien eine besondere Geltung erlangt haben (vgl. LOHSE [88] S. 405). Das Festshreiben einer bestimmten Methodik erlaubt den Vergleih untershiedliher zu bewertender Maßnahmen, die um die knappen Ressouren der Gesellshaft konkurrieren Einige ausgewählte Verfahren Neben den drei deutshen standardisierten Bewertungsverfahren sollen zusätzlih Verfahren, die in der Shweiz und in Großbritannien zur Anwendung kommen, betrahtet werden. Die shweizer Rihtlinie stellt das im deutshsprahigen Raum momentan aktuellste Verfahren dar. Der Grund für die Einbeziehung des britishen Verfahrens ist die britishe Vorreiterstellung auf dem Gebiet der Anwendung der NKA im Verkehrswesen. MACKIE und KELLY kommen im Zuge der Auswertung einer europäishen Vergleihsstudie (HEATCO [65]) zum Shluss: The UK remains at the forefront of the use of CBA to inform deision making ([98] S. 18). In Tabelle 4-3 sind die Rihtlinien gegenübergestellt. Die Kriterien beziehen sih dabei nur auf Aspekte bezüglih der Bestimmung der Änderung des monetären internen Nutzens und vor dem Hintergrund einer möglihen harmonisierten Bewertung. Es ist zu beahten, dass für die methodishe Gegenüberstellung der Verfahren die Nutzenermittlung eines Jahres betrahtet wird. Der gesamte Bewertungszeitraum für Verkehrsinvestitionen umfasst i. d. R. viele Jahre, der häufig vereinfahend als statish betrahtet wird. Hierdurh ist die Extrapolation der Ergebnisse des berehneten Jahres möglih. Sind signifikante zeitlihe Änderungen der Verkehrsnahfrage zu erwarten, müssen allerdings weitere Berehnungen durhgeführt werden.

124 Bewertungskonzepte 111 Kriterium Bestimmung der Änderung des internen Nutzens Bewertung des induzierten Verkehrs Anzahl Zeitabshnitte pro Jahr (modelliert) Deutshland Shweiz Großbritannien EWS SB BVWP VSS-Norm TAG (TUBA) Straße niht integriert ÖPNV integriert Straße, Shiene, Wasserstraße integriert Straße niht integriert Straße, Shiene, ÖPNV, u. a. niht integriert EA HR, EA EA, Zushlag HR HR, NI (ja) ja ja ja ja 15 (1) 1 (1) 1 (1) 360 (1) 3 (3) 5 (5) Bewertungsebene Streke Verkehrsstrom Streke Verkehrsstrom Verkehrsstrom vtts-bestimmung vtts-einteilung Bewertungsgegenstand Verkehrsnahfrageberehnung makroökonomish Pkw, Bus, Tag in Anlehnung an BVWP Shüler, Erwahsene ZB ZB ZB Verkehrsmittel Fahrtzwek, Distanz, Verkehrsmittel Pendeln, andere Fahrtzweke Legende: EA: Ersparnisansatz, HR: Halbierungsregel, NI: Numerishe Integration, ZB: Zahlungsbereitshaft Tabelle 4-3: Gegenüberstellung ausgewählter standardisierter Bewertungsverfahren EWS Empfehlungen für Wirtshaftlihkeitsuntersuhungen an Straßen [50] Die EWS sind eine von der Forshungsgesellshaft für Straßen- und Verkehrswesen im Jahre 1997 herausgegebene Empfehlung zur Durhführung einer NKA für Straßenbauinvestitionen. Die Verkehrsnahfrageberehnung ist niht Gegenstand der EWS. Es wird lediglih darauf hingewiesen, dass die Berehnung der zu prognostizierenden Verkehrsnahfrage stets auf der Grundlage einer Verkehrsuntersuhung zu erfolgen hat, die auf der Verkehrsanalyse basiert. Falls bei einem Ausbau einer bestehenden Streke nur geringe Auswirkungen auf anderen Strekenabshnitten des Netzes zu erwarten sind, wird auh eine einfahe Trendprognose als akzeptabel angesehen (vgl. S. 11). Die Methodik zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens erfolgt auf Basis des Ersparnisansatzes, wobei die für den Mitfall berehnete Fahrtenmatrix sowohl auf das Mit- als auh auf das Ohnefallverkehrsnetz umgelegt wird. Dadurh wird jedoh der Kausalzusammenhang, der zum induzierten Verkehr führt, missahtet. Es können hierdurh viel zu hohe Aufwände im Ohnefall entstehen, da gerade im Bereih hoher Sättigungsgrade bereits wenige zusätzlihe Fahrzeuge zu einer starken Erhöhung des Aufwands führen können. Die Verwendung dieses Ansatzes führt zu z. T. erheblihen Nutzenübershätzungen (vgl. NEUBURGER [111] S. 55).

125 Bewertungskonzepte 112 Der shwankenden Verkehrsnahfrage eines Jahres wird in den EWS durh die Unterteilung in drei vershiedene Tagesgruppen (Normalwerktage, Urlaubswerktage, Sonn- und Feiertage) mit jeweils fünf vershiedenen Zeitabshnitten Rehnung getragen. Daraus resultieren 15 Zeitabshnitte [...] mit annähernd gleihartigem Verkehrsablauf (S. 19). Die Verkehrsnahfrage jedes Zeitabshnitts wird, aufbauend auf einem modellierten 24-Stundenwert, mittels vorgegebener, empirish bestimmter Faktoren abgeshätzt. Die Aufwandsersparnisse (Reisekosten, Reisezeit) werden für alle Stunden jedes Zeitabshnitts als Differenz aus dem Mit- und Ohnefall gebildet und anshließend summiert. Grundlage dafür sind die Verkehrsstärken der einzelnen Strekenabshnitte des Verkehrsnetzes. Zur Monetarisierung der Reisezeiteinsparungen wird ein makroökonomish hergeleiteter Ansatz verwendet. Dieser geht davon aus, dass das Volkseinkommen in Deutshland im Jahre 1992 jeweils zur Hälfte durh die Erwerbstätigen und durh die Leistungen der Gesamtbevölkerung erzielt wurde (vgl. FGSV [51] S. 64). Zur Berüksihtigung untershiedliher Reisezeitkosten privater Pkw-Nutzer und Buspassagiere 58 werden hierfür untershiedlihe Wertansätze verwendet. Darüber hinaus erfolgt für Pkw-Nutzer eine Untersheidung der Wertansätze in Werktage und Sonn- und Feiertage. Die Wertansätze an Sonn- und Feiertagen entsprehen dabei genau der Hälfte der Werktage. 59 SB Standardisierte Bewertung von Verkehrswegeinvestitionen des ÖPNV (Version 2006) [75] Die SB ist ein von Intraplan Consult GmbH und dem Verkehrswissenshaftlihen Institut Stuttgart GmbH im Auftrag des Bundesministers für Verkehr, Bau und Stadtentwiklung erstelltes standardisiertes Bewertungsverfahren zur Gesamtbewertung von Investitionen des ÖPNV. Mit diesem Verfahren wird die Fördermöglihkeit von Vorhaben nah dem Gemeindeverkehrsfinanzierungsgesetz geprüft. Die SB umfasst neben einer NKA einen nutzwertanalytishen Ansatz, der weitere niht monetarisierbare Wirkungen erfasst. Neben dem Bewertungsverfahren ist in der SB die Methodik zur Berehnung der Verkehrsnahfrage festgeshrieben. Grundsätzlih wird bei dem Verfahren nur zwishen den Verkehrsmitteln ÖPV und MIV sowie den Personengruppen Erwahsene und Shüler untershieden (vgl. S. 32). Die Verkehrsnahfrageberehnung umfasst zum einen ein inkrementelles Verkehrsmittelwahlmodell für den ÖPV und den MIV, welhes auf den entsprehenden Verkehrsstrommatrizen des Ohnefalls basiert, zum anderen einen Ansatz zur Abshätzung des Neuverkehrs des ÖPV. Der intermodal verlagerte Verkehr und der Neuverkehr werden 58 Der Wertansatz für die Buspassagiere ist in den EWS niht explizit angegeben, sondern mit den Lohnkosten des Fahrers vermisht. 59 Für ausführlihe Erläuterungen bezüglih der Wertansätze zur Monetarisierung der Reisezeiteinsparungen siehe FGSV [51].

126 Bewertungskonzepte 113 darüber hinaus nur für Erwahsene bestimmt. Für den Shülerverkehr wird eine konstante Verkehrsmittelwahl und, ebenso wie für die Erwahsenen, eine konstante Zielwahl unterstellt (vgl. S. 44). Der Shülerverkehr kann lediglih seine Routenwahl ändern. Die in der SB ermittelte Änderung des internen Nutzens ergibt sih durh Reisezeiteinsparungen im ÖPV und durh eingesparte MIV-Betriebskosten des zum ÖPV verlagerten MIV (vgl. S. 63 ff.). Für die Bewertung werden konstante Reisekosten und Reisezeiten des MIV unterstellt. Reisekosten im ÖPV werden niht betrahtet. Zur Berehnung des Nutzens infolge der Reisezeiteinsparungen shreibt die SB seit der Überarbeitung im Jahre 2006 die Verwendung der Halbierungsregel vor. Die Berüksihtigung eingesparter MIV-Betriebskosten, durh vom MIV zum ÖPV verlagerte Fahrten, führt jedoh zu Doppelzählungen, woraus systematishe Nutzenübershätzungen resultieren. Der Grund dafür ist, dass der Nutzen der Betriebskosteneinsparungen bereits in der veränderten Konsumentenrente, die unterhalb der Verkehrsnahfragekurve des ÖPV bestimmt wurde, enthalten ist. 60 Gehen eingesparte MIV- Betriebskosten in die Berehnung ein, so ist für alle Aufwände auh für die niht berüksihtigten Reisekosten des ÖPV der Ersparnisansatz zu verwenden. Die Nutzenänderung wird auf der Grundlage der Verkehrsströme des ÖPV und MIV eines durhshnittlihen Werktages bestimmt und mit konstanten Faktoren auf Jahreswerte hohgerehnet. Dabei wird ohne nähere Erläuterungen für Shüler der Wert 250 und für Erwahsene der Wert 300 verwendet (vgl. S. 65). Die gesonderte Berehnung durhshnittliher Samstage und Sonn- und Feiertage wird als zu aufwendig erahtet (vgl. S. 20). Zur Monetarisierung der Reisezeitreduzierung im ÖPV werden für Shüler und Erwahsene zwei untershiedlihe Wertansätze bereitgestellt, wobei der Wert für Erwahsene fast dreimal höher ist. Eine nähere Erläuterung zur Bestimmung der Wertansätze wird niht gegeben, bis auf den Hinweis, dass sie [...] in Anlehnung an das Verfahren der BVWP festgelegt [...] sind (S. 82). In diesem Zusammenhang interessant ist die Annahme in der SB, dass kleine Reisezeitdifferenzen einen geringeren Nutzen liefern und daher bis zu einer Höhe von fünf Minuten vermindert in die Berehnung eingehen (vgl. S. 64). BVWP Bundesverkehrswegeplan 2003 [19] Der BVWP stellt einen Investitionsrahmenplan und ein Planungsinstrument der deutshen Bundesregierung dar. Er umfasst Investitionen für die Verkehrsträger Straße, Shiene und Wasserstraße. Den Kern des gesamtwirtshaftlihen Bewertungsverfahrens zur Aufstellung des BVWP stellen verkehrsträgerspezifishe NKAs dar. Privater Personenverkehr und der damit verbundene Nutzen wird nur für Straßen- und Shienenprojekte 60 Für ausführlihe Erläuterungen siehe VAN SUNTUM [136] S. 163 ff. und S. 174.

127 Bewertungskonzepte 114 berüksihtigt. Die Verkehrsnahfrage des Personenverkehrs für den Ohnefall wurde projektübergreifend für Deutshland mittels eines sequentiellen vierstufigen und multimodalen Verkehrsnahfragemodells berehnet (BVU ET AL. [24]). Während dieses Modell auh zur Ermittlung der Verkehrsnahfrage des Mitfalls für die Shienenprojekte angewandt wird, erfolgt für Straßenprojekte keine Neuberehnung. Im Rahmen dieser Projektbewertungen ist zur Abbildung der Routenwahl im Mit- und Ohnefall zunähst ein deutlih detaillierteres Verkehrsangebotsmodell notwendig, wofür die berehneten Verkehrsstrommatrizen disaggregiert werden. Die Verkehrsnahfrage des Mitfalls ergibt sih dann durh Bewertungsprognosen, die lediglih eine neue Routenwahl umfassen (vgl. S. 151 ff.). Die Berehnung der Änderung des internen Nutzens basiert im Wesentlihen auf der Ersparnis infolge der Reisekosten- und Reisezeitänderungen, die für jedes Strekenelement des Netzes bestimmt werden. Im Rahmen der Bewertung von Shieneninfrastrukturprojekten entspriht der verwendete Ansatz dem Vorgehen in Kapitel Für Straßenprojekte erfolgt die Berehnung der Ersparnis der Reisekosten- und Reisezeiten auf Grundlage konstanter Verkehrsstrommatrizen aller Verkehrsmittel. Nutzenänderungen infolge intermodaler Verkehrsverlagerungen werden aufbauend auf einem zusätzlihen Verkehrsmittelwahlmodell für MIV und ÖPV im Rahmen der Projektbewertungen bestimmt (vgl. S. 170 ff.). Dabei werden die Reisekosten- und Reisezeitersparnisse durh den Verkehrsmittelwehsel zum MIV ermittelt. Zur Abshätzung einer projektinduzierten veränderten Zielwahl sowie des Neuverkehrs für Straßenprojekte dient die Bewertungskomponente Wirkungen des induzierten Verkehrs (vgl. S. 209 ff.). Diese Größe stellt eine Sammlung untershiedlihster Wirkungen des interlokal verlagerten MI-Verkehrs und des MI-Neuverkehrs dar, wozu neben externen Effekten auh die Nutzen der Verkehrsteilnehmer zählen. Die Nutzenänderung wird dabei in Abhängigkeit veränderter Reisezeiten der auf das Verkehrsnetz umgelegten Verkehrsströme und vorgegebener Zushlagfaktoren, die die Wirkungen des induzierten Verkehrs paushal monetär abshätzen, abgeleitet. Ermittelt wurden diese Zushlagfaktoren in einer zuvor von STASA ET AL. [133] durhgeführten Studie, in der vierzig Projekte bezüglih der Wirkung des induzierten Verkehrs untersuht wurden. Die Differenzierung zwishen Shienen- und Straßenprojekten erstrekt sih auh auf die Berüksihtigung untershiedliher Zeitabshnitte eines Jahres. Während bei Shienenprojekten die modellierte Verkehrsnahfrage eines durhshnittlihen Werktages für den Personenverkehr mit dem Faktor 365 auf ein ganzes Jahr hohgerehnet wird (vgl. S. 245 ff.), erfolgt bei Straßenprojekten eine deutlih differenziertere Betrahtung des straßengebundenen Verkehrs. Hierfür erfolgt neben der Betrahtung der bereits bei den EWS erläuterten 15 Zeitabshnitte eine zusätzlihe Differenzierung in 24 Zeitsheiben pro

128 Bewertungskonzepte 115 Tag. Daraus folgen 360 untershiedlihe Verkehrszustände eines Jahres, die aufbauend auf den modellierten Verkehrsstrommatrizen eines durhshnittlihen Werktages mittels vorgegebener Faktoren berehnet werden (vgl. S. 280 f.). Die Werte der Reisezeiteinsparungen ergeben sih aufbauend auf den Werten des BVWP 1992, für den Zeitwerte aus internationalen Zahlungsbereitshaftsanalysen abgeleitet wurden. Im Rahmen der Aktualisierung der Bewertungsmethodik des BVWP 2003 wurden diese Werte fortgeshrieben. Der Wertansatz wird unter der niht näher erläuterten Begründung, dass im nihtgewerblihen Verkehr [...] unterhalb einer bestimmten Shwelle [...] Reisezeitverkürzungen niht wahrgenommen werden, für Straßenbauprojekte paushal um 30 % Prozent reduziert (S. 74). Diese Verminderung wird jedoh niht für Shienenprojekte durhgeführt. Selbst in diesem Zusammenhang ermittelte Reisezeitverkürzungen des MIV werden mit dem vollen Wertansatz bewertet. VSS-Norm SN [150] Die VSS-Norm ist eine vom Shweizerishen Verband der Strassen- und Verkehrsfahleute im Jahre 2005 herausgegebene Grundnorm zur Durhführung einer NKA für Straßenbauinvestitionen. 61 Die Verkehrsnahfrageberehnung stellt keinen Gegenstand der Norm dar. Grundsätzlih wird jedoh der Einsatz eines multimodalen Verkehrsmodells verlangt. Allerdings sind in Abhängigkeit der Projektwirkungen vereinfahte Abshätzungen akzeptabel (vgl. S. 27 und EM [44] S. 90 ff.). Die Änderung des monetären internen Nutzens wird in Form der veränderten Konsumentenrente mit Hilfe der Halbierungsregel bestimmt. Dabei wird zwishen verbleibendem und induziertem Verkehr entsprehend Gleihung (4.52) in Kapitel untershieden. Zusätzlih erfolgt die getrennte Ausweisung der Einsparungen nah Reisekosten und Reisezeiten des verbleibenden Verkehrs. Die Berehnungen sind für den MIV und Busverkehr durhzuführen (vgl. S. 31). Zur Berüksihtigung untershiedliher Verkehrszustände erfolgt die Unterteilung der Jahresstunden in drei Kategorien (Spitzenstunde, Hauptverkehrszeit, Nebenverkehrszeit). Hierfür sind jeweils gesonderte Modellberehnungen durhzuführen (vgl. S. 26). Als Bewertungsebene werden die Verkehrsströme v ijk verwendet, deren Aufwände sih aus dem gewihteten Mittelwert aller genutzten Routen zusammensetzen (vgl. S. 23). Die verwendeten Werte zur Monetarisierung der Reisezeiteinsparungen werden durh die VSS-Norm SN a [151] vorgegeben, welhe in einer zuvor für die Shweiz durhgeführten Zahlungsbereitshaftsanalyse (KÖNIG ET AL. [84]) abgeleitet wurden. Zur 61 Die Methodik kann ebenfalls zur Bewertung verkehrspolitisher und verkehrsorganisatorisher Maßnahmen herangezogen werden (vgl. S. 5).

129 Bewertungskonzepte 116 Monetarisierung der Reisezeiteinsparungen werden shließlih nah Fahrtzwek, Distanz und Verkehrsmittel (MIV, ÖPV) differenzierte Ansätze herangezogen. TAG Transport Analysis Guidane [38] Der TAG stellt eine Anleitung zur Durhführung einer Bewertung von Investitionen im Verkehrswesen in Großbritannien dar, die einer Finanzierung oder Bewilligung durh das Department for Transport bedürfen. Die Anleitung ist seit dem Jahre 2003 über das Internet zugänglih und wird daher als WebTAG bezeihnet. Der WebTAG reflektiert den im Jahre 1998 in Großbritannien entwikelten New Approah to Appraisal (NATA), der einen analytishen, multikriteriellen Bewertungsrahmen darstellt (vgl. DFT [37] S. 2). Er bietet für alle möglihen Investitionen im Verkehrswesen Anleitungen und Hinweise, wobei die NKA ein zentrales Element darstellt. Zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens wurde das Softwareprodukt TUBA (Transport User Benefit Appraisal) [108] entwikelt, das einen multimodalen Bewertungsansatz umfasst. Die Verkehrsnahfrage wird niht in TUBA berehnet, weshalb das Programm kein integriertes Verkehrsnahfrage- und Bewertungstool ist. Im WebTAG finden sih allerdings ausführlihe Hinweise und Anleitungen bezüglih einer zwekmäßigen Verkehrsnahfragemodellierung. In TUBA ist der in Kapitel vorgestellte Ansatz der Numerishen Integration zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens implementiert. Der Nutzen wird je Verkehrsmittel nah den einzelnen Aufwandswerten getrennt ausgewiesen, jedoh niht nah verbleibendem und induziertem Verkehr. Die untershiedlihen Verkehrszustände des Jahres werden durh die Unterteilung der Jahresstunden in fünf Kategorien (AM peak, PM peak, Inter-peak, Off-peak, Weekend) berüksihtigt (vgl. MM [108] S. 11). Für diese Zeitabshnitte werden repräsentative Modellierungsergebnisse benötigt. Die Verkehrsströme v ijk stellen die Bewertungsebene dar, deren Aufwände aus dem verwendeten Verkehrsnahfragemodell als gewihtete Mittelwerte bereitzustellen sind (vgl. MM [108] S. 13). Zur Monetarisierung der Reisezeiteinsparungen erfolgt nah Vorgabe des Departments for Transport eine Untersheidung nah den Fahrtzweken Pendeln und Andere. Pendeln bedeutet dabei die Fahrt von und zur Arbeit, während alle anderen Zweke zusammengefasst werden (vgl. DfT [38] unit S. 4 f.). Die verwendeten Wertansätze basieren auf der von MACKIE ET AL. durhgeführten Zeitwertstudie [97], in der Zahlungsbereitshaften zur Reisezeiteinsparung bestimmt wurden. Einshätzung der Verfahren Keines der standardisierten Verfahren genügt vollständig den theoretishen Anforderungen einer harmonisierten Bewertung, wobei sih die einzelnen Ansätze z. T. erheblih

130 Bewertungskonzepte 117 untersheiden. Zwar umfassen die Methodik des BVWP und die SB neben der Bewertung auh Verkehrsnahfrageberehnungen, eine Nutzenermittlung unmittelbar aus dem Modell erfolgt jedoh niht. Ebenfalls stehen die modellierten Präferenzen der Verkehrsteilnehmer in keinem Zusammenhang mit den vorgegebenen Wertansätzen der Reisezeiteinsparungen Besonderheiten standardisierter Bewertungsverfahren Einheitliher Wert der Reisezeiteinsparungen Der subjektive Wert der Reisezeiteinsparungen hängt im Besonderen vom individuellen Einkommen ab. Theoretish müssten diese einkommensabhängigen Werte, welhe die Präferenzen der Verkehrsteilnehmer abbilden, zur Monetarisierung der individuellen Reisezeiteinsparungen im Rahmen der NKA herangezogen werden. Dies ist jedoh in den standardisierten Verfahren niht der Fall und ein einheitliher, ggf. nah Reisezwek oder Verkehrsmittel unterteilter, sozialer Wertansatz wird verwendet. ORTÚZAR und WILLUMSEN argumentieren diesbezüglih, dass der subjektive Wert die Zahlungsfähigkeit reflektiert und niht den wahren Wert der Reisezeiteinsparungen (vgl. [115] S. 457). HELMS unterstützt hingegen die Verwendung des subjektiven Wertes damit, dass der wahre Wert [...] sih letztlih aus genau den Lohnsätzen, die über die Zahlungsfähigkeit bestimmen, welhe das Verhalten der Verkehrsteilnehmer ausdrükt, ergibt (HELMS [66] S. 137). Eine bewusste Änderung der Wertansätze entspriht dann einer Korrektur der Einkommensverteilung durh den Analytiker, wodurh jedoh das Wesen der NKA verletzt wird (vgl. HELMS [66] S. 137). In der Literatur herrsht bezüglih dieser Problematik keinesfalls Einigkeit, weshalb die Thematik hier niht abshließend geklärt werden kann. In der Praxis werden fast ausshließlih einheitlihe Werte verwendet, da ein solher Wert derzeit auh eine unvermeidbare politishe Restriktion darstellt (vgl. DFT [36] S. 15). Aus theoretisher Siht ist ein einheitliher Wert allerdings abzulehnen, da er letztlih zu inkorrekten Nutzenergebnissen führen kann (vgl. HEATCO [64] S. 27). Eine Korrektur der untershiedlihen subjektiven Werte ist durh die von der Politik vorzugebenden zwekmäßigen sozialen Gewihte in einer sozialen Wohlfahrtsfunktion zu erreihen Wahrgenommene und niht wahrgenommene Kosten Die NKA basiert auf dem Rationalitätsprinzip, welhes einem vollständig informierten Konsumenten die Wahrnehmung aller anfallenden Kosten unterstellt. Bei der Modellierung der Verkehrsnahfrage werden hingegen nur die unmittelbar anfallenden Reisekosten berüksihtigt. Grund dafür ist, dass Verkehrsteilnehmer des MIV Kosten für z. B. fahrleistungsabhängige Abshreibungen, Reifen, Öl, Wartung und Reparatur i. d. R. niht in die Entsheidung einbeziehen. Bezogen auf die Verkehrsentsheidung stellen sie niht

131 Bewertungskonzepte 118 wahrgenommene Kosten dar. Dem stehen die entsheidungsrelevanten Kosten für z. B. Treibstoff, Maut und Parkgebühren gegenüber, die als wahrgenommene Kosten bezeihnet werden. Ein Widerspruh besteht nun in der Annahme des rationalen Verhaltens, auf dem die NKA basiert, und der Vernahlässigung einiger tatsählih anfallender Kosten bei der Ermittlung der Verkehrsnahfrage. Es stellt sih die Frage, ob und wie diese niht wahrgenommenen Kosten in der NKA Berüksihtigung finden sollten. In der Literatur dominieren drei untershiedlihe Herangehensweisen: - (1) Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente einshließlih niht wahrgenommener Kosten, - (2) Bestimmung der Ersparnis niht wahrgenommener Kosten und - (3) Vernahlässigung der niht wahrgenommenen Kosten. Ansatz (1) wird beispielsweise in der VSS-Norm verwendet. Dabei wird die Änderung der Konsumentenrente mittels der Halbierungsregel unter Beahtung aller anfallenden Kosten bestimmt (siehe VSS [150] S. 32). Die Nutzenänderung besteht folglih aus einem wahrgenommenen und einem niht wahrgenommenen Teil. Aus nutzentheoretisher Siht ist dies jedoh problematish, da es niht im Einklang mit der vollständigen Informiertheit der Konsumenten steht (vgl. VAN SUNTUM [136] S. 162). Alternativ gehen bei (2) die niht wahrgenommenen Kosten als Ersparnis in die NKA ein. Dieser Ansatz wird beispielsweise in den EWS und in TUBA verfolgt. Während die EWS für alle Nutzenkomponenten den Ersparnisansatz anwendet, werden in TUBA die Ersparnisse nur für die niht wahrgenommenen Kosten bestimmt. Die monetäre Änderung des internen Nutzens in Form der Änderung der Konsumentenrente wird somit korrekt bestimmt. Allerdings entsteht durh die zusätzlihe Verwendung des Ersparnisansatzes ein Methodenmix. Die dritte Möglihkeit (3) besteht in der Vernahlässigung der niht wahrgenommenen Kosten. Dem steht jedoh die Tatsahe gegenüber, dass auh niht wahrgenommene Kostenreduzierungen einen Nutzen stiften. Selbst wenn die Verkehrsteilnehmer diese anfallenden Kosten niht in ihre Verkehrsnahfrageentsheidung einfließen lassen, kann doh davon ausgegangen werden, dass die Änderungen von den Verkehrsteilnehmern erfahren werden und folglih auh in der NKA Berüksihtigung finden sollten (vgl. BATES [8] S. 44). Welher dieser Ansätze letztlih in Bewertungsverfahren angewendet werden sollte, kann hier niht abshließend geklärt werden. In dieser Arbeit steht die Ermittlung der Änderung des internen Nutzens direkt aus dem Verkehrsnahfragemodell im Mittelpunkt, in welhem Zusammenhang Ansatz (1) problematish ist.

132 Modellentwiklung Modellentwiklung 5.1 Anforderungen und Überblik Die derzeit angewandten Bewertungsverfahren in der Praxis sind durh eine vollständige Entkopplung der Verkehrsnahfrageberehnung und der sih anshließenden Nutzenberehnung im Rahmen der NKA harakterisiert. Die im Verkehrsnahfragemodell abgebildeten Präferenzen der Verkehrsteilnehmer finden keinen Eingang in die Nutzenberehnung. In Kapitel 2 wurde jedoh gezeigt, dass die NKA als wohlfahrtstheoretishes Instrument auf mikroökonomishen Zusammenhängen basiert und die Berehnung der Nutzenänderungen der Verkehrsteilnehmer diesen Ansätzen genügen muss. Grundannahme dabei ist das rationale Verhalten der Individuen, die jene Nahfrage realisieren, die den höhsten Nutzen liefert. Der kausale Wirkungszusammenhang zwishen Nahfrage und Nutzen, die auf den gleihen Präferenzen der Individuen beruhen, ist eine zentrale Bedingung der NKA, die in den standardisierten Bewertungsverfahren verletzt wird. Ein Grund für den Dissens zwishen Theorie und Praxis liegt oberflählih betrahtet in der wesentlihen Andersartigkeit der mikroökonomishen Nahfragetheorie und der verkehrsplanerishen Verkehrsnahfragemodelle. Letztere besitzen meist keine explizite mikroökonomishe Begründung, weshalb eine unmittelbare Nutzenberehnung aus dem Nahfragemodell niht ohne Weiteres möglih ist. Eine Alternative stellen Zufallsnutzenmodelle dar, die ihren Ursprung in der Mikroökonomie haben und entsprehend interpretierbar sind. Diese Modelle weisen jedoh niht alle verkehrsplanerish notwendigen Eigenshaften (in Bezug zur Realität) auf und erreihen daher oftmals niht die erforderlihe Modellierungsqualität. Der größte Nahteil besteht darin, dass Randsummenbedingungen niht beahtet werden. In Kapitel 4 wurden die wihtigsten Ansätze für eine integrierte Verkehrsnahfrageund Nutzenberehnung aufgezeigt. Voraussetzung dafür ist eine mikroökonomish kompatible Verkehrsnahfrageberehnung, die durh die Verwendung des Logit-Modells erreiht wird. Das Modell ist formal geshlossen formulierbar, daher einfah anwendbar und die Stammfunktion (Logsum-Term) ist bekannt. Allerdings gilt auh für das Logit- Modell, dass Randsummenbedingungen niht integraler Bestandteil sind. Ausgehend von dem umrissenen Spannungsfeld ist das Ziel dieses Kapitels die Entwiklung eines integrierten Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodells für den privaten

133 Modellentwiklung 120 Personenverkehr, das den verkehrsplanerishen Anforderungen der Verkehrsnahfragemodellierung genügt und ein mikroökonomish konsistentes Nutzenmaß liefert. Hierfür ist es notwendig, dass sih die Verkehrsnahfrage und der interne Nutzen auf Grundlage der gleihen Bewertungspräferenzen ergeben. Als monetäres Nutzenmaß wird die Änderung der Konsumentenrente bestimmt, da, wie in Kapitel dargelegt, die Variationsmaße derzeit niht für umfangreihe Modellberehnungen praktikabel sind. Da die aus praktisher Siht relevante Nutzenzerlegung nah den Aufwandskomponenten und/oder dem induzierten und verbleibenden Verkehr mittels der Logsum-Differenz niht sinnvoll möglih ist, werden, neben der exakten Nutzenberehnung, ebenfalls die approximativen Ansätze Eingang in das integrierte Modell finden. Der Ersparnisansatz wird hingegen niht berüksihtigt, da die Nutzenermittlung des induzierten Verkehrs mit diesem Ansatz niht allein auf Grundlage der Verkehrsnahfrage möglih ist. In Abbildung 5-1 ist die Grundstruktur des integrierten Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodells dargestellt, wobei die, gegenüber der bisherigen verkehrsplanerishen Verkehrsmodellierung, neuen und geänderten Komponenten hervorgehoben sind. Ausgangspunkt ist die Angebotsmodellierung des Ohnefalls entsprehend der Darstellungen in Kapitel 3.1. Das Ergebnis stellen die über alle genutzten Routen gewihteten mittleren Aufwände dar, die in die Verkehrsnahfrageberehnung eingehen. Der Ansatz der Verkehrserzeugung wird ebenfalls niht verändert und erfolgt mittels des Kennwertmodells. Die daran anshließende simultane Ziel- und Verkehrsmittelwahl bestimmt die Verkehrsströme in Abhängigkeit der einzuhaltenden Randsummenbedingungen, der zu überwindenden Aufwände und der Präferenzen der Verkehrsteilnehmer. Dieser Berehnungsshritt muss für eine integrierte Verkehrsnahfrage- und Nutzenberehnung mikroökonomish konsistent sein. Das in Kapitel vorgestellte EVA-Grundmodell wurde niht unmittelbar aus mikroökonomishen Ansätzen abgeleitet und weist daher vordergründig niht die Verbindung zur mikroökonomishen Nutzenberehnung auf. Allerdings ist mit dem Modell eine sehr hohe Modellierungsqualität erreihbar, die gewahrt bleiben muss. Es wird daher das dem EVA-Grundmodell adäquate EVA-Logit- Modell durh identishe Umformungen und spezielle mikroökonomishe Festlegungen herausgearbeitet und damit gezeigt, dass die Eigenshaften des Logit-Modells auh in den verkehrsplanerish gewünshten Eigenshaften des EVA-Grundmodells immanent enthalten sind. Die mittels des EVA-Logit-Modells berehneten Verkehrsströme werden anshließend auf das Angebotsmodell umgelegt, wobei ein stohastishes Nutzergleihgewiht zu modellieren ist. Mittels eines weiteren Rükkopplungskreislaufs zwishen Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage stellt sih, nah einer hinreihenden Anzahl an Rükkopplungen, das äußere stohastishe Nutzergleihgewiht ein, mit dem die Berehnung des Ohnefalls beendet ist und alle für die Bewertung notwendigen Daten zwishengespeihert werden. Als nähster Shritt erfolgt die Berehnung des Mitfalls analog dem Ohnefall.

134 Modellentwiklung 121 Wenn die Nahfrageberehnungen des Mit- und Ohnefalls abgeshlossen sind, shließen sih unmittelbar die Bewertungsberehnungen an. Das neue Bewertungsmodul umfasst das Einlesen aller relevanten Daten aus der Nahfrageberehnung (Verkehrsströme, Präferenzparameter, Aufwände et.), die Berehnung der Änderung des internen Nutzens, die Ermittlung des Grenznutzens des Einkommens und die Änderung der Konsumentenrente. Eine detaillierte Darstellung des Bewertungsmoduls findet sih in Abbildung 5-8. Aufwände nein äußeres GG? ja OF und MF berehnet? ja nein Verkehrsnahfrage Verkehrserzeugung (Kennwertmodell) Verkehrsangebot Routenwahl und Umlegung Daten zwishenspeihern Bewertung Daten einlesen simultane Ziel- und Verkehrsmittelwahl (EVA-Logit-Modell) Inneres GG Netzmodellierung Berehnung: Änderung des internen Nutzens Berehnung: Grenznutzen des Einkommens Verkehrsströme Berehnung: Änderung der Konsumentenrente Generalisierte Aufwände, Pseudo-Potentiale Start Ende Berehnungspfad und Datenübergabe nur Datenübergabe OF MF Ohnefall Mitfall Abbildung 5-1: Grundstruktur des integrierten Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodells Im Folgenden werden zum einen das EVA-Logit-Modell herausgearbeitet und nah mikroökonomishen Kriterien geprüft, zum anderen die Berehnungsansätze des Bewertungsmoduls abgeleitet. Nah der grundlegenden Ableitung des integrierten Modells erfolgt die Betrahtung weiterer relevanter Aspekte. Hierzu zählen einerseits die Beahtung zeitabhängiger Verkehrsnahfrage- und Aufwandsshwankungen, andererseits langfristige Projektwirkungen in Form von Siedlungsstrukturänderungen. Diese projektinduzierten Änderungen sind zwar derzeit kaum quantifizierbar (siehe Kapitel 3.4), allerdings besitzt die Thematik eine zunehmende wissenshaftlihe Relevanz. Im letzten Unterkapitel erfolgt ein kurzer Ausblik hinsihtlih der Implementierung des integrierten Modells in die ökonomishe Gesamtbewertung. 5.2 EVA-Logit-Modell Nahfolgend wird der Modellansatz vorgestellt, der die mikroökonomishe Kompatibilität des EVA-Grundmodells aufzeigt. Dieser Ansatz, dann als EVA-Logit-Modell bezeihnet, stellt in einer allgemeineren Terminologie ein randsummenbeshränktes (Joint-)Logit- Modell der simultanen Ziel- und Verkehrsmittelwahl unter Beahtung nihtlinearer

135 Modellentwiklung 122 Bewertungspräferenzen zur Berehnung der Auswahlwahrsheinlihkeiten dar. Die einzuhaltenden Verkehrsaufkommen werden in der Verkehrserzeugung, analog zum EVA- Modell, mit dem Kennwertmodell bestimmt. Für die Ableitung des EVA-Logit-Modells stellt die funktionale Form der deterministishen Nutzenkomponente das zentrale Integrationselement dar. Für ein mikroökonomish konsistentes Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodell muss, neben der durh den Logit- Ansatz a priori gewährleisteten Integrierbarkeit des Verkehrsnahfragemodells, die Nutzenfunktion die Eigenshaften indirekter Nutzenfunktionen aufweisen, die daher zu prüfen sind. Darüber hinaus ist für alle nahfolgenden Überlegungen die Formulierung des Zufallsnutzens in Form: F = F + e (5.1) ijk ijk ijk die Ausgangsbasis, wobei, wie in Anhang B gezeigt, mittels identish und unabhängig Gumbel-verteilter stohastisher Nutzenkomponenten das Logit-Modell resultiert: P ijk F ijk e =. (5.2) F ååå i' j'k' e i' j' k' F ist im Folgenden so zu bestimmen, dass die mittels des EVA-Logit-Ansatzes ijk bestimmten Auswahlwahrsheinlihkeiten gewährleisten, dass die Verkehrsströme: v = P V (5.3) ijk ijk den mittels des EVA-Grundmodells berehneten Verkehrsströmen entsprehen Randsummenbedingungen Zur Vereinfahung werden in diesem Unterkapitel die (transformierten) Alternativenaufwände allgemein zum Generalisierten Aufwand ga zusammengefasst Unelastishe Randsummenbedingungen Alle beobahtbaren und quantifizierbaren Charakteristika der Alternativen sind im Rahmen der Zufallsnutzentheorie in der deterministishen Nutzenfunktion zu berüksihtigen. Hierzu zählen zunähst die Aufwände je Alternative und die a priori bestimmbaren Quell- und Zielpotentiale. Da bei unelastishen Randsummenbedingungen die Quell- und Zielverkehrsaufkommen sowie die Verkehrsaufkommen der einzelnen Verkehrsmittel eindeutig vorgegeben werden, ist eine explizite Beahtung von Potentialen in der Nutzenfunktion niht erforderlih Die Einbeziehung der Potentiale ist aber grundsätzlih möglih.

136 Modellentwiklung 123 Unelastishe Randsummenbedingungen gewährleisten die Einhaltung der in der Verkehrserzeugung bestimmten Verkehrsaufkommen und stellen eine Nebenbedingung des simultanen Ziel- und Verkehrsmittelwahlmodells dar. Die einzuhaltenden Verkehrsaufkommen sind Ergebnisse der Entsheidungen der Verkehrsteilnehmer und beinhalten Informationen über diese Prozesse. Es ist daher notwendig, diese Informationen in der deterministishen Nutzenfunktion mittels Pseudo-Potentialen zu berüksihtigen, deren Größe das Ergebnis des iterativen Lösungsprozesses unter Einhaltung der vorgegebenen Randsummenbedingungen ist. 63 Formal lautet der deterministishe Anteil der Nutzenfunktion: F =- ga + q + t + y. (5.4) ijk ijk i j k i, j, k Pseudo-Potentiale für Quelle i, Ziel j und Verkehrsmittel k je Quelle-Ziel-Gruppe Die Pseudo-Potentiale stellen quell-, ziel- und verkehrsmittelspezifishe Größen dar. Sie sind niht a priori quantifizierbar, jedoh aus theoretisher Siht notwendige Eingangsgrößen der Nutzenfunktion. Sie dienen darin der Korrektur des a-priori-nutzens, so dass die mittels Zufallsnutzenmaximierung bestimmten Auswahlwahrsheinlihkeiten jene Ausprägung aufweisen, die zur Einhaltung der Randsummenbedingungen führt. Die allgemeine Berehnungsvorshrift zur Ermittlung der Verkehrsströme mit dem EVA-Logit-Modell lautet: v ijk åå j åå i åå i (- ga + q + t + y ijk i j k ) e = V (- ga + q + t + y i' j'k' i' j' k') e k k j v v v ååå i' j' k' ijk ijk ijk Es gilt weiterhin: = Q = Z i = A j k. (5.5) v ijk (-gaijk ) q tj y i k e e e e = V. (5.6) (-ga i' j'k') q t i' j' yk' e e e e ååå i' j' k' 63 Ähnlihe Überlegungen bezüglih des Gravitationsmodells der Zielwahl finden sih z. B. bei ANAS [4] und ERLANDER/STEWART [47].

137 Modellentwiklung 124 Unter der Annahme, dass fa = e yk geshrieben werden: k v ijk ååå i' j' k' (-ga ) B = e ijk gilt, kann mit fq = e q i, fz = e tj und ijk B fq fz fa ijk i j k = V. (5.7) B fq fz fa Darüber hinaus gilt: ååå i' j'k' i' j' k' V = B fq fz fa (5.8) ijk i j k i j k und es ergibt sih das EVA-Grundmodell in seiner typishen kompakten Shreibweise (siehe auh die Ableitungen in den Kapiteln und ): v = B fq fz fa. (5.9) ijk ijk i j k In dieser kompakten Shreibweise (5.9) ist das EVA-Logit-Modell (5.5) mit seiner exponentiellen (äußeren) Bewertungsfunktion als eine Ausprägungsvariante enthalten. Die genauere Betrahtung der Aufwandsbewertungen erfolgt in Kapitel Die Bestimmung der Pseudo-Potentiale ist durh die gezeigten Zusammenhänge mittels Transformationen der Lösungsfaktoren des EVA-Grundmodells möglih: ( ) q i i i t j ( j ) j i fq = e ln fq = q j fz = e ln fz = t ( ) y k k k k fa = e ln fa = y. (5.10) Eine Änderung bzw. Anpassung der shon beim EVA-Grundmodell erwähnten Lösungsverfahren (Furness-, Multiverfahren) oder anderer Lösungsansätze für diese mathematishe Aufgabenklasse ist somit selbstverständlih niht notwendig. Ein weiterer grundsätzliher Zusammenhang folgt aus åå j k åå i åå i k j (- ga + q + t + y ijk i j k ) e = Q (- ga + q + t + y ijk i j k ) e = Z (- ga + q + t + y ijk i j k ) e = A i j k i ååå i j k j (- ga + q + t + y ijk i j k ) e = V :. (5.11) Es wird daraus ersihtlih, dass die beim EVA-Modell bzw. EVA-Logit-Modell bestimmten Pseudo-Potentiale explizit der Einhaltung der Randsummenbedingungen dienen.

138 Modellentwiklung Elastishe Randsummenbedingungen Im Gegensatz zu Modellen mit unelastishen Randsummenbedingungen ergeben sih bei elastishen Randsummenbedingungen die endgültigen Quell- und Zielverkehrsaufkommen erst in der simultanen Ziel- und Verkehrsmittelwahl. Dabei besitzen Quell- und/oder Zielpotentiale (Q P, Z P ) einen Einfluss und müssen einen unmittelbaren Eingang in die Berehnung finden. Die Potentiale stellen a priori quantifizierbare Merkmale der Quellen und Ziele dar und können als quell- und zielspezifishe Charakteristika in die Nutzenfunktion integriert werden. Die Einhaltung der Randsummenbedingungen wird wiederum mittels Pseudo-Potentialen realisiert. Die deterministishe Nutzenfunktion mit quell- und zielseitigen Potentialen lautet demnah: P P ( ) ( ) F =- ga + h Q + h Z + q + t + y. (5.12) ijk ijk i j i j k h Transformationsfunktion der Quell- und Zielpotentiale Der formale Modellansatz zur Bestimmung der Verkehrsströme lautet folglih: v ijk P P (- ga + h( Q ) + h( Z ) + q + t + y ijk i j i j k ) e = V P P (- ga + h( Q ) + h( Z ) + q + t + y i' j'k' i' j' i' j' k') e ååå i' j' k' min max min max i åå ijk i i i i j k min max min max j åå ijk j j j j i k Q v = Q Q Q < Q Z v = Z Z Z < Z åå i j v ijk = A k. (5.13) Die originäre Shreibweise des EVA-Grundmodells ergibt sih entsprehend der Ausführungen der unelastishen Randsummenbedingungen und der zusätzlihen Annahme: P P ( ) = lnq i ( i ) P P ( ) = ln j ( Zj ) hq h Z. (5.14) Durh mathematishe Umstellungen resultiert shließlih: v ijk B Q Z fq fz fa ijk i j i j k = V P P B Q Z fq fz fa ååå i' j' k' P P i' j'k' i' j' i' j' k' (5.15) und durh Kürzen: P P ijk ijk i j i j k v = B Q Z fq fz fa. (5.16)

139 Modellentwiklung 126 Analog der Ausführungen zum Fall der unelastishen Randsummenbedingungen lassen sih die letztlih bestimmten Verkehrsaufkommen angeben durh: åå j k åå i k åå i j P P (- ga + h( Q ) + h( Z ) + q + t + y ijk i j i j k ) e = Q P P (- ga + h( Q ) + h( Z ) + q + t + y ijk i j i j k ) e = Z P P (- ga + h( Q ) + h( Z ) + q + t + y ijk i j i j k ) e = A i j k. (5.17) Mit Hilfe der Pseudo-Potentiale können auh weitere Randsummenbedingungen problemlos in das EVA-Logit-Modell Eingang finden. Das gilt beispielsweise für die Berüksihtigung polarer und bipolarer Einzugsgebiete. Auf die entsprehenden formalen Darstellungen soll hier verzihtet werden Vorzeihen und Größe der Pseudo-Potentiale Die Pseudo-Potentiale bedürfen einer genaueren Analyse, wofür die Gleihungen in (5.11) und (5.17) zu beahten sind, in denen die bestimmten Verkehrsaufkommen die a-posteriori-lösung darstellen. Im Folgenden werden nur die Gleihungen in (5.17) betrahtet, da hierin die Gleihungen in (5.11) formal enthalten sind. Die dazugehörige a-priori-lösung (Start-Lösung) ohne Einhaltung vorgegebener Randsummenbedingungen (Pseudo-Potentiale sind alle Null) lautet: åå j k åå i k åå i j P P (- ga + h( Q ) + h ijk i ( Z j )) e = Q P P (- ga + h( Q ) + h ijk i ( Z j )) e = Z P P (- ga + h( Q ) + h ijk i ( Z j )) e = A i j k. (5.18) Q i,z j,a k Quell-, Ziel- und Verkehrsmittelaufkommen ohne Einhaltung vorgegebener Randsummenbedingungen (a-priori-verkehrsaufkommen) Das Vorzeihen und die Größe der Pseudo-Potentiale sind abhängig von den einzuhaltenden Randsummenbedingungen und den a-priori-lösungen, die durh die Generalisierten Aufwände und die Potentiale beeinflusst werden. Es gilt (mit q i + t j + y k = pp ijk ): Q < Q pp > 0, Q = Q pp = 0, Q > Q pp < 0 i i ijk i i ijk i i ijk Z < Z pp > 0, Z = Z pp = 0, Z > Z pp < 0. (5.19) j j ijk j j ijk j j ijk A < A pp > 0,A = A pp = 0,A > A pp < 0 k k ijk k k ijk k k ijk

140 Modellentwiklung 127 Wenn die a-priori-verkehrsaufkommen kleiner als die a-posteriori-verkehrsaufkommen sind, dann sind die Pseudo-Potentiale positiv. Das bedeutet, dass durh die Pseudo-Potentiale ein zusätzliher positiver Nutzen modelliert werden muss, damit die vorgegebenen Verkehrsaufkommen erzielt werden. Umgekehrt gilt, dass die Pseudo-Potentiale negativ sind, wenn die a-priori-verkehrsaufkommen die a-posteriori-verkehrsaufkommen übersteigen. Die Pseudo-Potentiale fungieren dann faktish als zusätzliher negativer Nutzen, der die a-priori-nahfrage der Verkehrsteilnehmer z. B. nah einem Ziel reduziert. Entsprehen sih a-priori- und a-posteriori-lösungen, dann nehmen die Pseudo-Potentiale den Wert Null an. Hinsihtlih des Vorzeihens und der Größe der Pseudo-Potentiale besitzen im Besonderen die Potentiale eine große Bedeutung. Werden z. B. keine Potentiale in der Nutzenfunktion beahtet, dann kann i. Allg. davon ausgegangen werden, dass die a-priori- Verkehrsaufkommen geringer als die a-posteriori-verkehrsaufkommen sind, infolgedessen die Pseudo-Potentiale als positive Werte bestimmt werden. Wenn hingegen Potentiale beahtet werden, dann können in Abhängigkeit der Größe der Potentiale die a-priori- Verkehrsaufkommen größer als die a-posteriori-verkehrsaufkommen sein und folglih die Pseudo-Potentiale ein negatives Vorzeihen aufweisen. Somit gilt festzuhalten, dass die Absolutwerte der Pseudo-Potentiale nur bedingt interpretierbar sind. Im Rahmen dieser Arbeit sind projektinduzierte Veränderungen der Pseudo-Potentiale von Interesse, aus denen aber wihtige Informationen abgeleitet werden können Prognoseansatz Für die Prognoseberehnung ist der Modal-Split unbekannt. Die für die Prognose notwendigen Informationen werden im EVA-Grundmodell aus der Analyseberehnung gewonnen. Demnah lautet der Verkehrsmittelanteil an einem Verkehrsstrom y ijk für den Analysefall: y (- ga + y ) (-ga v ijk k ijk ) yk ijk e e e = = = v (- + y ) (- ) ijk ' e e e å å å ijk ga ga k' k' ijk ' k ' ijk ' k' k' y. (5.20) Für die Prognoseberehnung werden hieraus die Verkehrsmittelkonstanten C k bestimmt: C k k e = å k' y e y k'. (5.21) Die Verkehrsmittelkonstanten entsprehen normierten Verkehrsmittelgewihten, von denen i. Allg. angenommen wird, dass sie im Prognosezeitraum konstant sind und daher in der Prognoseberehnung als verkehrsmittelspezifishe Präferenzen in die Nutzenfunktion einfließen können. Da diese Konstanten C k dann für den Prognosefall bekannt sind,

141 Modellentwiklung 128 reduziert sih die Berehnung auf einen bi-linearen Modellansatz. Dieser lautet für den Fall unelastisher Randsummenbedingungen: v ijk åå j åå i (- ga + ln( C )-q -t ijk k i j ) e = V (- ga + ln( C )-q -t i' j'k' k' i' j') e k k v v ååå i' j' k' ijk ijk = Q = Z i j. (5.22) Durh Umstellung ergibt sih shließlih die bekannte Shreibweise des EVA-Grundmodells: v ijk B C fq fz ijk k i j = V åååb C fq fz i' j'k' k' i' j'. (5.23) i' j' k' = B C fq fz ijk k i j Für die weiteren Überlegungen ist es allerdings vorteilhaft, auf die Normierung (5.21) zu verzihten. Die Prognoseberehnung erfolgt dann unmittelbar auf den in der Analyse bestimmten Pseudo-Potentialen der Verkehrsmittel. Diese werden dann unverändert in die Prognoseberehnung übernommen und führen zum gleihen Ergebnis wie mit den Faktoren ln ( C k ). Die Berehnung der Verkehrsströme für den Prognosefall lautet dann: v ijk åå j åå i A (- ga + q + t + y ijk i j k ) e = V A (- ga + q + t + y i' j'k' i' j' k') e k k v v ååå i' j' k' ijk ijk = Q = Z i j y A k. (5.24) In der Nutzenberehnung werden allgemein statt Analyse und Prognose die Begriffe Ohnefall und Mitfall verwendet. Es werden, da im weiteren Verlauf der Arbeit die Nutzenberehnung im Vordergrund steht, im Folgenden ausshließlih die Begriffe Ohnefall und Mitfall verwendet Bewertung von Aufwänden Die Bewertung von Aufwänden in Zufallsnutzenmodellen erfolgt mittels einer inneren und einer äußeren Bewertungsfunktion (siehe Kapitel ). Die äußere Bewertungsfunktion entspriht im Logit-Modell einer Exponentialfunktion, deren alleinige Nutzung das menshlihe Bewertungsverhalten jedoh ungenügend abbildet. Zur Erhöhung der

142 Modellentwiklung 129 Abbildungsqualität des menshlihen Verhaltens müssen EVA-Transformationen in der inneren Bewertungsfunktion, d. h. in der deterministishen Nutzenfunktion des EVA- Logit-Modells, Eingang finden EVA-Transformationen Zunähst sollen die Aufwandstransformationen bestimmt werden, mittels derer das Logit- Modell die gleihen Aufwandsbewertungen wie die EVA-2-Bewertungsfunktion liefert. 64 Die Gesamtbewertung der Aufwände im EVA-Grundmodell lautet: æ bm æ ö ö a = mijk B + 1 ijk ç ç è ø m Cm çè ø -a m (5.25) und kann transformiert zu: æ -a ö æ -a ö b m b m æ ö æ ö m m æ ö æ ö a a mijk = + = mijk B + exp ln 1 exp åln 1. (5.26) ijk ç ç m ç èc ø m ç èc ø m ç è ø m ç è ø è ø è ø Durh Umstellen ergibt sih: æ æ ö ö æ ö b m a mijk B = exp - + å a ln 1. (5.27) ijk m ç ç m ç ècm ø è è øø Die resultierende deterministishe EVA-Nutzenfunktion lautet (ohne (Pseudo-)Potentiale) somit: æ b æ ö ö m a =- mijk F + å a ln 1. (5.28) ijk m ç ç è ø m Cm çè ø In Abbildung 5-2 sind Varianten der EVA-Nutzenfunktion in Abhängigkeit eines Aufwandes a dargestellt. Es gelten für alle Kurvenverläufe die Parameter = 2 und C = 10. Zu beahten ist dabei der EVA-typishe, nahezu horizontale Kurvenverlauf im niedrigen Aufwandsbereih, der die Wahrnehmungs- und Bewertungsshwelle der Verkehrsteilnehmer gegenüber geringen Aufwänden widerspiegelt. 64 Im Folgenden wird zur Vereinfahung nur der Begriff EVA statt EVA-2 verwendet.

143 Modellentwiklung Aufwand a (a) Abbildung 5-2: EVA-Nutzenfunktionen in Abhängigkeit eines Aufwandes a Für die Modellierung der Verkehrsnahfrage sind keine weiteren Überlegungen notwendig. Zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens muss (5.28) jedoh eine indirekte Nutzenfunktion sein. Da durh nihtlineare Transformationen bei a m = rk Einkommenseffekte modelliert werden, ist für die mikroökonomishe Konsistenz das Einkommen explizit als Modellvariable zu berüksihtigen. Die deterministishe EVA- Nutzenfunktion lautet dann mit den Aufwänden Reisekosten und Reisezeit: æ b ( ) ö æ b æ ö ( ) ö rk æ ö rz y - rk n ijk = rz ijk F a ln ( ) 1 a ln ( ) 1. (5.29) ijk rk rz ç C ( ) çc ( ) ç è rk ø ç è rz ø è ø è ø Die Funktion repräsentiert somit eine konkrete Form der allgemeinen nihtlinearen bedingten indirekten Nutzenfunktion (siehe Kapitel 4.2.4): F = b - -b. (5.30) f ( ) ( y rk ) h rk ( ) ( rz ) rz ijk n ijk ijk Die in (5.29) formulierte EVA-Nutzenfunktion impliziert Einkommenseffekte, die jedoh im Verkehr im Normalfall ( rk y) niht auftreten. Eine Möglihkeit nihtlineare Transformationen der Reisekosten ohne das Einkommen und folglih ohne Einkommenseffekte zu begründen, wird im nahfolgenden Unterkapitel vorgestellt Mehrere Reisekosten- und Reisezeitkomponenten Die Funktion in (5.29) umfasst, wie auh alle Überlegungen in Kapitel 4, die Reisekosten und Reisezeiten als jeweils einen aggregierten Wert. Dies entspriht jedoh niht dem Verhalten der Verkehrsteilnehmer, die die Einzelaufwände untershiedlih wahrnehmen

144 Modellentwiklung 131 und bewerten. Somit sind die Reisekosten und die Reisezeit in ihre jeweiligen Einzelkomponenten zu zerlegen und in der Nutzenfunktion zu berüksihtigen. Die Zerlegung der Reisezeit (in Fahrzeit, Zu- und Abgangszeit et.) ist dabei ohne Weiteres möglih, da die einzelnen Zeitkomponenten ebenfalls als Alternativenharakteristika aufgefasst werden. Demgegenüber gehen die Reisekosten über die Einkommensrestriktion ein. Eine Disaggregierung in z. B. Kraftstoffkosten, Maut, Parkgebühren et. mit jeweils untershiedlihen Präferenzen führt dabei zu theoretishen Problemen, da daraus vershiedene Grenznutzen des Einkommens resultieren. Aus mikroökonomisher Siht sind untershiedlih zu bewertende Kostenkomponenten unplausibel, da sie in der gleihen monetären Skala gemessen werden und der Verkehrsteilnehmer als rational betrahtet wird. Dennoh ist dieses Phänomen real und folglih zu berüksihtigen. Für den Fall linearer Präferenzen führt daher MCFADDEN behavioral weights als psyhologishe Gewihte ein (vgl. MCFADDEN [105] S. 14 f.). Es gilt dann: æ ö F = b - - ( ) ç y åb k ijk rk n b bijk çè åb z. (5.31) d dijk ø b d k Reisekostenkomponente b Laufindex der Reisekostenkomponenten k z Reisezeitkomponente d Laufindex der Reisezeitkomponenten z Weiterhin kann für die Reisekostenkomponenten geshrieben werden: æ ö b ( ) ç y -å = - çè ø ( ) å n b b k bijk b y rk n b b rk ( rk) b k bijk. (5.32) b Wie in Kapitel gezeigt wurde, besitzt der lineare Term b ( ) y zur Bestimmung der Auswahlwahrsheinlihkeiten keinen Einfluss und kann vernahlässigt werden. Der Parameter (rk) geht im zweiten Term der rehten Seite als konstanter Faktor ein und muss zur Identifizierung von b fixiert werden. Mit (rk) = 1 resultiert: å å F =- b k - b z. (5.33) ijk b bijk d dijk b d Der Ansatz der psyhologishen Gewihtung untershiedliher Reisekosten- und Reisezeitkomponenten kann auh mittels nihtlinearer Gewihtungsfunktionen erfolgen: æ ö F = b - ( ) ( ) ç y åb h k - ijk n b bijk åb h rk d ( z dijk ). (5.34) çè ø b Werden die oben abgeleiteten EVA-Transformationen zur Definition von h verwendet, so ergibt sih: d b rk n

145 Modellentwiklung 132 æ æ b öö æ b æ ö æ ö ö b d k z bijk dijk F = b ( ) y åa ln 1 åa ln 1. (5.35) ijk rk n b d çè ø çè ø ç b C ç b d C ç d è è øø è ø Für die Reisekostenkomponenten gilt wiederum: æ æ b ö æ æ b ö b b æ ö æ ö k k bijk bijk b - + = - + ( ) y ( ) ( ) åa ln1 b y åb a ln1. (5.36) rk n b rk n ç rk b ç ç b ç ècb ø ç b ç ècb ø è è ø è è ø Mit (rk) = 1 und Vernahlässigung von b y resultiert shließlih: ( rk) n æ b æ ö ö æ b æ ö ö b d k z =- bijk + - dijk F + åa ln 1 åa ln 1. (5.37) ijk b d çè ø çè ø b C ç b d C ç d è ø è ø Nah diesem Ansatz unterliegt das Einkommen im Untershied zu (5.29) keiner (nihtlinearen) Transformation und geht niht in die Nutzenfunktion ein. Somit werden in der Funktion keine ehten Einkommenseffekte berüksihtigt und die nihtlinearen Kostentransformationen dienen der Abbildung (zusätzliher) psyhologisher Effekte. 65 Zu beahten ist aber, dass in den Bewertungspräferenzen der Reisekostenkomponenten die (linearen) Einkommenspräferenzen implizit enthalten sind. Sollen hingegen tatsählih Einkommenseffekte abgebildet werden, dann ist die Funktion f in (5.30) zusätzlih nihtlinear (wie in (5.29)) zu definieren. Allerdings ist das nur für spezielle Anwendungsfälle sinnvoll (siehe Kapitel 4.2.4) Verkehrsmittelspezifishe Bewertung Aufwände werden von den Verkehrsteilnehmern in Abhängigkeit des genutzten Verkehrsmittels untershiedlih wahrgenommen und bewertet. So wird die Reisezeit mit dem Fahrrad u. a. wegen der Anstrengung anders erlebt als die Reisezeit im Pkw. Im EVA- Grundmodell wird das durh verkehrsmittelspezifishe Präferenzen je Aufwand beahtet. Diese differenzierte Bewertung ist auf die EVA-Nutzenfunktion zu übertragen und es resultiert: æ b æ ö ö æ b æ ö ö bk dk k z =- bijk + - dijk F + åa ln 1 åa ln 1. (5.38) ijk bk dk çè ø çè ø b C ç bk d C ç dk è ø è ø Durh die verkehrsmittelspezifishe Indizierung der Präferenzparameter wird ausgedrükt, dass die Parameter, neben den Aufwänden und Quelle-Ziel-Gruppen, ebenfalls je 65 Der Ansatz kann natürlih auh bei nur einer Reisekostenkomponente herangezogen werden.

146 Modellentwiklung 133 Verkehrsmittel zu bestimmen sind. Unter Berüksihtigung aller differenzierten Bewertungen lautet das EVA-Logit-Modell mit unelastishen Randsummenbedingungen folglih: v ijk = åå j k åå i k åå i j v v v ååå i' j' k' ijk ijk ijk = Q = Z i = A j k e e æ æ b æ ö bk ö æ b æ ö dk ö ö k z bijk dijk åa ln 1 åa ln 1 q t y bk dk i j k b ç ç èçcbk ø d ç èç Cdk ø è è ø è ø ø æ æ b æ ö b'k' ö æ b k æ ö d'k' ö ö b'i' j'k' - a ln 1+ ç z d'i' j'k' b'k' å çè C b'k' ø åa ln 1 q t y d'k' i' j' k' ç è ø b' ç ç d' ç Cd'k' è è ø è ø ø V.(5.39) Eigenshaften der EVA-Nutzenfunktion Für eine konsistente Nutzenberehnung muss das EVA-Logit-Modell den in Kapitel 4.1 erläuterten Bedingungen genügen. Die Eigenshaften des Zufallsnutzenmodells und die damit verbundene Integrierbarkeit werden durh das Logit-Modell gewährleistet. Zu prüfen ist hingegen, ob die EVA-Nutzenfunktion die Eigenshaften indirekter Nutzenfunktionen aufweist. Die vollständige EVA-Nutzenfunktion lautet: æ b b bk dk æk ö ö æ æz ö ö bijk dijk F =- a ln 1 a ln 1 ijk å + bk - + dk b C å bk d C ç ç ç dk è è ø ø èç è ø ø, (5.40) + b X + q + t + y + e å l lk lijk i j k ijk wobei die stohastishen Nutzenkomponenten unabhängig und identish Gumbel-verteilt sind. Die Pseudo-Potentiale stellen erklärende Variablen dar, die den Entsheidungen der Verkehrsteilnehmer zugrunde liegen, dem Modellierer jedoh niht bekannt sind. Durh die Einhaltung beobahtbarer Verkehrsaufkommen (Randsummenbedingungen) werden die Pseudo-Potentiale iterativ bestimmt. Mittels der zusätzlihen Variablen X können beobahtbare Alternativenharakteristika, wie z. B. Potentiale oder Komfort, Eingang finden. Gleihes gilt grundsätzlih auh für die Zeitaufwände, deren spezielle Transformationen sih durh die EVA-Bewertungsfunktion ergeben. Aus ökonomisher Siht sind die Reisekostenkomponenten, die speziellen EVA-Transformationen unterliegen, von größter Bedeutung. Die Kosten stellen die ökonomishen

147 Modellentwiklung 134 Variablen der Funktion dar und determinieren die mikroökonomishe Kompatibilität. Diese ist gewährleistet, wenn die Funktion in (5.40) die Eigenshaften indirekter Nutzenfunktionen besitzt. Dabei ist zu beahten, dass alle Reisekostenkomponenten bei der Prüfung zu berüksihtigen sind. Zur Vereinfahung der Darstellung gilt im Folgenden für die Pseudo-Potentiale: pp = q + t + y. ijk i j k (1) Niht zunehmend in allen bijk sowie niht abnehmend in Es wird untersuht, ob gilt: æ ö F - ( ) ç y å h k, X,pp, e ijk n bijk ijk ijk ijk çè b ø 0 für ijk Î A. (5.41) k bijk Die erste partielle Ableitung der EVA-Nutzenfunktion nah bijk liefert: y n ( b -1 bk æ ö ) kbijk a b bk F ç çèc ijk bk ø =- k æ b æ ö ö bk bijk ç çç kbijk C çç + çç 1 bk çç ç C ø bk çè ø bk. (5.42) Für den relevanten Aufwandsbereih von k ³ und den Parameterbedingungen bijk 0 a > 0 b > 0 C > 0 ist (5.42) stets negativ und weist nur bei k = 0 eine bk bk bk bijk Nullstelle auf. Die Bedingung (5.41) ist folglih erfüllt. Analog ist zu prüfen, dass die Funktion niht abnehmend im Einkommen ist: æ ö F - ( ) ç y å h k, X,pp, e ijk n bijk ijk ijk ijk çè b ø ³ 0 für ijk Î A. (5.43) y n Das Einkommen geht linear in die Funktion ein und wird daher vernahlässigt. Grundsätzlih lautet die erste Ableitung für den linearen Fall: F ijk y n = b. (5.44) ( rk) Entsprehend (5.35) weist (rk) ein positives Vorzeihen auf, wodurh (5.43) stets gewährleistet wird.

148 Modellentwiklung 135 (2) Stetig bei allen k 0, y >0 bijk n Die Transformationen der Reisekostenkomponenten setzten sih ausshließlih aus stetigen Einzelfunktionen zusammen. Es handelt sih dabei um: - Division durh einen positiven Divisor: k bijk /C bk, - Potenzieren mit einem positiven Exponenten: ( /C ) bk - Addition mit Eins: 1 + ( / C ) bk k, bijk bk - Logarithmieren: ln 1 ( / C ) b bijk bk b k, æ b ö bk ç + k und bijk bk çè ø æ b + ö bk a ç k bk bijk bk. çè ø - Multiplikation mit einem Multiplikator: ln ç 1 ( / C ) Da sowohl k bijk als auh die Einzelfunktionen stetig sind, ist auh die Nutzenfunktion in k stetig. Das Einkommen geht, wenn es berüksihtigt wird, additiv in die Funktion bijk ein und genügt somit ebenfalls der Anforderung. (3) Homogen vom Grade Null in ( y n,k bijk) Betrahtet sei zunähst die Budgetbedingung des individuellen Optimierungsprogramms, das die Reisekostenkomponenten als objektive Größen beinhaltet: y ³ p x n 0 0 +å k. (5.45) bijk b Durh Umstellung nah dem Numeráire-Gut ergeben sih das Einkommen und die einzelnen Reisekostenkomponenten relativ zum Numeráire-Preis: x 0 yn - p 0 å b p k 0 bijk, (5.46) wodurh das Einkommen und die Kosten stets durh p 0 dividiert werden. Hieraus resultiert, dass die Multiplikation aller Preise/Reisekosten mit einem konstanten Faktor k die Budgetmenge niht verändert. In der indirekten Nutzenfunktion ist p 0 folglih zu berüksihtigen und es gilt dann: æ æ ö ö y k n k k bijk F - å h, X,pp, e ijk ijk ijk ijk ç çè ø è p k b p k 0 0 ø. (5.47) ææ æ ö ö ö ç yn k = ç bijk F - çç ijk çç åh, X,pp, e ijk ijk ijk ç ç çèè p0 b è p0 øø ø

149 Modellentwiklung 136 Aufgrund der Annahme: p 0 = 1, ersheint p 0 niht in der indirekten Nutzenfunktion, ist jedoh stets implizit enthalten und (5.47) gewährleistet. Unter dieser Voraussetzung erfüllt die EVA-Nutzenfunktion die Homogenität vom Grade Null in den Reisekosten. (4) Quasikonvex in allen bijk und p 0 Zum Nahweis der Quasikonvexität der Preise/Reisekosten in der indirekten Nutzenfunktion kann die Prüfung der Konvexität in bijk herangezogen werden. Die Nutzenfunktion ist konvex in den Reisekosten, wenn gilt: æ ö 2 F - ( ) ç y åh k, X,pp, e ijk n bijk ijk ijk ijk çè b ø ³ 0 für ijk Î A. (5.48) 2 k bijk Die zweite partielle Ableitung der EVA-Nutzenfunktion nah bijk lautet: ( 2 b -2) ( b -2 bk bk æ ö æ ö ) k k bijk 2 bijk a ( - ) b a b 1 b 2 F çèc ø çèc ijk bk bk ø = k æ b bijk æ ö ö ç æ b æ ö ö bk bk ççk 2 bijk çç 2 k bijk + Cbk çç 1 C ççç bk ç + 1 C ø èc ø bk bk çè ø ç çè ø bk bk bk bk bk. (5.49) Das Vorzeihen dieser Funktion und damit die Krümmung der EVA-Nutzenfunktion hängt wesentlih vom Parameter bk ab. Zur Verdeutlihung sind zwei Verläufe mit den Parametern bk = 2, C bk = 10 und bk = 3 (links) und bk = 1 (rehts) in Abbildung 5-3 dargestellt. 0,015 0,01 0,025 0, ,02-0, / 2-0,01-0,015-0,02-0,025 2 / 2 0,015 0,01-0,03-0,035-0,04 0,005-0,045-0,05 0 Reisekostenkomponente Reisekostenkomponente Abbildung 5-3: Verlauf der zweiten Ableitung der EVA-Nutzenfunktion nah der Reisekostenkomponente Das linke Diagramm repräsentiert den Verlauf für Parametersätze mit bk > 1. Demnah ist die EVA-Nutzenfunktion im Nahbereih konkav und im mittleren und Fernbereih konvex. Durh den konkaven Verlauf erfüllt die EVA-Nutzenfunktion für bk > 1

150 Modellentwiklung 137 niht die Anforderung der globalen Konvexität. Allerdings bilden die EVA-Transformationen das Bewertungsverhalten der Verkehrsteilnehmer im Nahbereih sehr realistish ab. Das rehte Diagramm zeigt analog den grundsätzlihen Verlauf für alle b 1. Für bk diese Fälle genügt die EVA-Nutzenfunktion der Anforderung der globalen Konvexität. Problematish dabei ist, dass durh die Einshränkung des Definitionsbereihs von bk die Aufwandsbewertung im Nahbereih, ähnlih der negativen Exponentialfunktion als äußere Bewertungsfunktion, stark abfällt. Der konkave Bereih für bk > 1 wird durh die beiden Nullstellen der Funktion begrenzt. Die Nullstellen ergeben sih allgemein für den relevanten Bereih von k ³ 0 bijk und die Parameter a > 0 b > 0 C > 0 zu: {} b { } bk b bk bk bk 0 mit b 1 bk. (5.50) 0,C - 1 mit b > 1 bk bk bk Aus den Nullstellen wird ersihtlih, dass der Parameter bk keinen Einfluss auf die Krümmung der Nutzenfunktion besitzt. Der Bereih, für den die EVA-Nutzenfunktion konkav ist, wird im Wesentlihen durh den Parameter C bk vorgegeben und zusätzlih durh den multiplikativen Wurzelausdruk leiht beeinflusst. Der teilweise konkave Verlauf der EVA-Nutzenfunktion impliziert partielle konkave Indifferenzkurvenbereihe. Durh die Kombination konkaver und konvexer Bereihe der Indifferenzkurven resultieren im Rahmen der Nutzenmaximierung multiple Optima, d. h. die Budgetgerade könnte zwei (oder mehr) untershiedlihe Indifferenzkurven tangieren. Es besteht dann theoretish die Möglihkeit, dass die unterstellte indirekte Nutzenfunktion niht der global optimalen Lösung des individuellen Optimierungsprogramms entspriht, sondern lediglih ein lokales Maximum beshreibt. Die Bedingung der Globalität der Krümmung stellt eine Grundannahme der klassishen mikroökonomishen Konsumtheorie zur modelltheoretish eindeutigen Bestimmung des Optimums dar. Sie ist somit eine Hypothese über das menshlihe Verhalten, welhe niht psyhologish, sondern vielmehr mathematish gerehtfertigt wird. In vielen Anwendungsbereihen der Mikroökonomie ist das vertretbar und bewährt. Im Gegensatz dazu ist diese Annahme im Rahmen der multimodalen Verkehrsnahfragemodellierung, bei der oft auh Grenzaufwandsbereihe von großer Bedeutung sind, problematish. Trotz dieses theoretishen Widerspruhs soll der Definitionsbereih von bk der Reisekosten niht eingeshränkt werden. Ist durh bk > 1 die Realität besser abbildbar, so sind entsprehende Werte zu verwenden, da dies das Ziel einer jeden Nahfragemodellierung sein sollte. Widersprühe zwishen den Annahmen der Konsumtheorie und

151 Modellentwiklung 138 beobahteten Präferenzen von Konsumenten traten bereits in der Vergangenheit auf. Beispielsweise stehen empirish nahweisbare Shwellenwerte und Grenzbereihe in der Wahrnehmung im Gegensatz zur unterstellten vollständigen Informiertheit der Konsumenten. Dieses Problem wurde jedoh mikroökonomish analysiert und in die Theorie eingeführt (siehe COOMBS ET AL. [30] und GEORGESCU-ROEGEN [59]) sowie bereits in diskreten Wahlmodellen umgesetzt (siehe z. B. CANTILLO ET AL. [25]), was zeigt, dass die Konsumtheorie Weiterentwiklungen unterliegt. Es wäre somit zum einen eine zukünftige Forshungsaufgabe, die oben aufgezeigte Problematik mikroökonomish eingehend zu beleuhten und, wenn möglih, zu lösen. 66 Das kann im Rahmen dieser Arbeit niht geleistet werden, da es sih dabei um mikroökonomishe Grundlagenforshung handelt. Zum anderen sollte in verkehrsplanerishen Untersuhungen geprüft werden, ob mit der (derzeit mikroökonomish geforderten) Einshränkung des Definitionsbereihs von bk der Reisekosten realistishe Ergebnisse erzielt werden können. 5.3 Änderung des internen Nutzens Nahfolgend werden die Berehnungsansätze des Bewertungsmoduls dargelegt. Grundlage dafür sind die in Kapitel 4.2 vorgestellten Ansätze, die hinsihtlih der Anwendbarkeit bei Beahtung von Randsummenbedingungen und nihtlinearen Präferenzen zu prüfen und anzupassen sind. Zur Vereinfahung und klaren Strukturierung wird zunähst die Änderung des internen Nutzens (unter Beahtung von Randsummenbedingungen) bestimmt und in den nahfolgenden Kapiteln 5.4 und 5.5 die Thematiken der Monetarisierung (mit nihtlinearen Präferenzen) und der Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente behandelt Korrigierte Logsum-Differenz zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens Methodishe Problematik der Logsum-Differenz Die Differenz der Logsum-Terme des Mit- und Ohnefalls (Logsum-Differenz) stellt, wie in Kapitel erläutert, ein exaktes Nutzenmaß dar, falls die Auswahlwahrsheinlihkeiten mittels eines Logit-Modells bestimmt werden. Grundlage hierfür sind die sih ändernden und quantifizierbaren Komponenten des deterministishen Nutzens der Alternativen. Das EVA-Logit-Modell weist jedoh neben den a priori bestimmbaren Generalisierten 66 Es sollte dabei beahtet werden, dass die modellierten Nihtlinearitäten lediglih Folge psyhologisher Gewihtungen sind.

152 Modellentwiklung 139 Aufwänden und Alternativenharakteristika Pseudo-Potentiale zur Einhaltung der Randsummenbedingungen auf, deren Einfluss auf das Nutzenergebnis noh zu untersuhen ist. Die Stammfunktion des EVA-Logit-Modells ist ebenso wie beim Logit-Modell durh den Logsum-Term definiert. Da jedoh in diesem Ansatz die Pseudo-Potentiale enthalten sind, wird zur nahfolgenden Untersheidung das resultierende Ergebnis als Erwartungs- ** wert des maximalen Pseudo-Nutzens ( n ) ** Ohnefall entspriht dann E ( n ) E F bezeihnet. Die Differenz zwishen Mit- und D F. Die Wirkung der Pseudo-Potentiale auf das Nutzenergebnis wird nahfolgend anhand eines einfahen Rehenbeispiels mit drei Verkehrsbezirken in Abbildung 5-4 erläutert. Das Beispiel ist zur Vereinfahung auf die Zielwahl bei Beahtung unelastisher Randsummenbedingungen beshränkt und es erfolgt keine Unterteilung in einzelne Quelle-Ziel-Gruppen. Ohnefall Mitfall Generalisierte Aufwände Pseudo-Potentiale Generalisierte Aufwände Pseudo-Potentiale i / j i j 1 3,00 4,00 5,00 1 3,486 3, ,00 2,00 2,00 2 1,866 2, ,00 2,00 2,00 3 2,834 3,159 8,186 9,371 i / j i j 1 3,00 4,00 3,00 1 3,233 3, ,00 2,00 2,00 2 1,999 2, ,00 2,00 2,00 3 2,792 2,885 8,025 8,951 Verkehrsströme i / j Q i 1 43,73 11,09 5,18 60,00 2 3,18 16,22 20,60 40,00 3 3,08 42,69 54,22 100,00 Z j 50,00 70,00 80,00 V 200,00 E( n **) 5,298 Verkehrsströme i / j Q i 1 28,56 8,85 22,59 60,00 2 3,06 19,05 17,89 40, ,38 42,10 39,52 100,00 Z j 50,00 70,00 80,00 V 200,00 E( n **) 5,298 Abbildung 5-4: Beispiel Zielwahl mit unelastishen Randsummenbedingungen Gegeben sind die Generalisierten Aufwände ga ij für den Ohne- und Mitfall, wobei die Aufwände auf den Relationen 1-3 und 3-1 infolge einer Projektrealisierung sinken. Der Berehnungsansatz lautet: v ij å j å i (- ga + q + t ij i j ) e = V (- ga + q + t i' j' i' j' ) e v v ij ij åå i' j' = Q i = Z j. (5.51)

153 Modellentwiklung 140 Die Verkehrsströme ergeben sih im Lösungsverfahren mit dem Ansatz der Informationsgewinnminimierung unter Einhaltung der Randsummenbedingungen (z. B. mit dem Multi- Modell). Weiterhin wird angenommen, dass die Aufwandsreduzierungen im Mitfall ausshließlih zu verlagertem Verkehr führen, Neuverkehr wird niht realisiert ( V = V O M ). Die Pseudo-Potentiale werden im Ohne- und im Mitfall jeweils so bestimmt, dass die Einhaltung der Quell- und Zielverkehrsaufkommen sowie des Gesamtverkehrsaufkommens gewährleistet wird. Durh die Verringerung der Aufwände im Mitfall sinken die Pseudo- Potentiale der von der Aufwandsreduzierung betroffenen Quellen und Ziele (Verkehrsbezirk 1 und 3). Die Pseudo-Potentiale des Verkehrsbezirks 2 steigen hingegen, da für diesen Verkehrsbezirk, im Gegensatz zu den Verkehrsbezirken 1 und 3, keine Erreihbarkeitsverbesserung resultiert, die vorgegebenen Quell- und Zielverkehrsaufkommen aber eingehalten werden müssen. In der Gesamtsumme sinken die Pseudo-Potentiale, da insgesamt eine Verbesserung der Erreihbarkeiten innerhalb des Untersuhungsgebietes erzielt wird. Aus Kapitel 5.2 ist bekannt, dass (- ga + q + t ) e = V åå ij i j gilt, woraus sih die Logsum-Differenz bei konstantem Gesamtverkehrsaufkommen ( V æ M M M ( ) ö æ O O O (- + + ) ö ** ga q t ga q t ij i j ( ) = ij i j DE F ln - ååe ln ååe n ç ç è i j ø è i j ø. æ M ö M O ( ) ( ) V = ln V - ln V = ln = ln () 1 = 0 ç O èv ø Auf das obige Beispiel angewandt resultiert: ** M O ( n ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j O M = V ) ergibt: DE F = ln V - ln V = ln ln 200 = 5,298-5,298 = 0. Der Ansatz der Nutzenermittlung mittels der Logsum-Differenz sheitert somit bei der Beahtung von Randsummenbedingungen, da damit offensihtlih keine Nutzenänderung quantifiziert wird, die Verkehrsteilnehmer jedoh infolge der Reduzierung der Generalisierten Aufwände eine reale Nutzenerhöhung erzielen. Diese gesuhte und zu quantifizierende Nutzenänderung ist ( * E ) n E( * ) ¹ E( ** n n ) und damit: D F. Es gilt folglih bei Beahtung von Randsummenbedingungen: F F (5.52) ( * ) ¹ E( ** n n ) DE F D F. (5.53) Die Änderung des Erwartungswertes des maximalen Pseudo-Nutzens entspriht somit niht der Änderung des Erwartungswertes des maximalen Nutzens.

154 Modellentwiklung 141 Die obigen Aussagen sind auf den Fall elastisher Randsummenbedingungen übertragbar. Grundsätzlih gilt bei konstantem Gesamtverkehrsaufkommen V, sowohl bei elastishen als auh unelastishen Randsummenbedingungen, dass die Logsum-Differenz den Wert Null liefert. Ändert sih hingegen das Gesamtverkehrsaufkommen, dann gibt ** ( n ) DE F eine zusätzlihe Nutzenänderung an. Die aufgezeigte Problematik bedarf einer genaueren Analyse, die in den nähsten Unterkapiteln durhgeführt wird. Derzeit existieren nur wenige Ansätze, bei denen aus einem Verkehrsnahfragemodell mit Randsummenbedingungen unmittelbar der Nutzen ermittelt wird; dazu zählen vor allem NEUBURGER/WILCOX [112], WILLIAMS [155], MARTÍNEZ/ARAYA [103] und SIMMONDS/BATES [33]. Diese Ansätze beruhen jedoh alle auf dem Zielwahlmodell auf Basis der Entropiemaximierung und untersheiden sih von den folgenden Untersuhungen sowohl hinsihtlih des Verkehrsnahfragemodells als auh in der methodishen Herangehensweise zur Nutzenbestimmung Korrigierte Logsum-Differenz für unelastishe Randsummenbedingungen Zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens mittels des EVA-Logit-Modells dient als Ausgangspunkt die folgende Differentialbetrahtung für einen repräsentativen Verkehrsteilnehmer n der Quelle-Ziel-Gruppe : ** ** M **O ** ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) DE F = E F - E F =ò de F. (5.54) PF ** Unter Beahtung der Zusammenhänge in (2.11) und (4.25) kann das Differential de ( F n ) ausgedrükt werden durh: ** ( F ) = ååå ( ) de P F df (5.55) und es ergibt sih: n ijk A ijk i j k ** ( ) = ååå ( ) ò DE F P F df. (5.56) n ijk A ijk PF i j k Es handelt sih dabei um ein Linienintegral, das allgemein vom Integrationspfad PF abhängt (siehe Kapitel 2.5.2). Da für das EVA-Logit-Modell die Stammfunktion (Logsum- Term) bekannt ist, kann (5.56) jedoh pfadunabhängig gelöst werden. Allerdings liefert die Logsum-Differenz, wie oben gezeigt, niht die gesuhte Nutzendifferenz. Es ist somit 67 Der Ansatz von SIMMONDS und BATES besitzt zu den hier aufgeführten Darlegungen einen ähnlihen methodishen Grundgedanken zur Nutzenbestimmung (niht bzgl. des Verkehrsnahfragemodells), wobei deren Zielgröße jedoh die Konsumentenrente und niht (wie hier) deren Änderung ist.

155 Modellentwiklung 142 für die weiteren Betrahtungen eine eingehende Analyse des Integrals des EVA-Logit- Modells notwendig. Für den Fall unelastisher Randsummenbedingungen gilt F =- ga ijk ijk q i t j y k. Darüber hinaus kann das totale Differential df ijk durh die Summe der partiellen Differentiale ausgedrükt werden (vgl. CHIANG/WAINWRIGHT [29] S. 184 ff.): F F F F ijk ijk ijk ijk df =- dga + dq + dt + dy ga q t y ijk ijk i j k ijk i j k. (5.57) Aufgrund der additiven und ungewihteten Aggregation des Generalisierten Aufwands 68 und der Pseudo-Aufwände in der EVA-Nutzenfunktion gilt: F F F F ijk ijk ijk ijk = = = = 1 ga q t y ijk i j k (5.58) und (5.57) kann vereinfaht werden zu: df =- dga + dq + dt + dy. (5.59) ijk ijk i j k Mit P = P ijk ijk ( F A ) gilt dann: ** de ( ) = åååp (- dga + d + d + d n ijk ijk i j k ) F q t y (5.60) i j k und in (5.56) unter Beahtung der Integrationsgrenzen eingesetzt resultiert: M F A ** ( ) = ååå ( n ijk ijk i j k ) ò DE F P dga dq dt dy O FA i j k. (5.61) Weiterhin ist die Zerlegung des Integrals (5.61) notwendig. Da die Stammfunktion des ** DE F zwishen EVA-Logit-Modells existiert, kann der Ausdruk ( n ) O O O O O F = (, q, t, y A A A A A) M M M M M F = A (, q, t, y A A A A) ga als festem Ausgangspunkt (Ohnefall) und ga als variablem Punkt (Mitfall), die durh einen beliebigen Pfad (pfadunabhängig) miteinander verbunden sind, eindeutig bestimmt werden durh (vgl. MERZIGER ET AL. [106] S. 148): 68 Die Einzelaufwände sind untereinander nihtlinear gewihtet.

156 Modellentwiklung 143 A ** M O O O ( ) =- ååå ( ga q t y ) ò ò M ga ò DE F P,,, dga ** ( n ) n ijk A A A A ijk O i j k gaa M qa O qa M ta O ta M ya ò ååå i j k ååå i j k ååå O i j k ya P M M O O ( ga q t y ),,, dq ijk A A A A i P M M M O ( ga q t y ),,, dt ijk A A A A j P M M M M ( ga q t y ),,, dy ijk A A A A k. (5.62) DE F resultiert aus der Summe der Integrale über die einzelnen Einflussgrößen, deren Werte mittels der Logsum-Differenz, unter Konstanthaltung aller anderen Integrationsvariablen, naheinander bestimmt werden können. Allerdings sind die berehneten Nutzenanteile der Integrale abhängig von der Integrationsreihenfolge und eine Nutzenzuweisung je Einflussgröße ist niht sinnvoll möglih (siehe Kapitel ). Auf das Gesamtergebnis hat die Reihenfolge der Integration jedoh keinen Einfluss und es kann vereinfaht geshrieben werden: A A ** DE( F )=- åååp dga + åååp dq ò M ga ò n ijk ijk ijk i O i j k O i j k ga q A A M M t y A A ååå + P dt + P dy O ta ò M q ò ååå ijk j ijk k i j k O i j k ya. (5.63) Die gesuhte Größe der Änderung des Erwartungswertes des internen Nutzens eines repräsentativen Verkehrsteilnehmers infolge der Realisierung einer Verkehrsmaßnahme entspriht allgemein dem Integral der Nahfragefunktion in den Grenzen der Generalisierten Aufwände des Mit- und Ohnefalls (vgl. WILLIAMS [155] S. 154): M ga A * ( F )=-ò ååå DE P dga n ijk ijk O i j k gaa. (5.64) Zur Bestimmung von (5.64) wird zunähst (5.63) umgestellt und (5.64) implizit ausgedrükt:

157 Modellentwiklung 144 * ** ( ) ( ) DE F = DE F - P dq - P dt - ò M qa ò ååå ååå M ta ò ååå n n ijk i ijk j O i j k O i j k q t A A M ya O ya i j k P ijk dy k ** Die mittels der Logsum-Differenz eindeutig bestimmbare Größe E ( n ). (5.65) D F wird somit formal um den Anteil der Pseudo-Potentiale bereinigt, deren Beträge jedoh von der Integrationsreihenfolge abhängen. Ausdruk (5.65) kann weiterhin vereinfaht werden, da, wie in Kapitel 5.2 gezeigt wurde, für das EVA-Logit-Modell O k M k y = y (5.66) gilt. Die Pseudo-Potentiale gehen folglih als im Ohnefall bestimmte verkehrsmittelspezifishe Präferenzen in den Mitfall ein. Das dritte Integral in (5.65) liefert somit den Wert Null und kann vernahlässigt werden: * ** ( ) ( ) M qa ò ååå ååå DE F = DE F - P dq - P dt n n ijk i ijk j O i j k O i j k q t A A M ta ò. (5.67) * Die Eindeutigkeit von E ( n ) D F hängt somit nur von den Integralen nah den quell- und zielspezifishen Pseudo-Potentialen ab. Diese Integrale sind eindimensional und weisen nur die Dimension der Quell- oder Zielwahl auf. Da eine Änderung von i keinen Einfluss auf die Auswahlwahrsheinlihkeiten der Ziele und Verkehrsmittel besitzt (gleihes gilt reziprok für die Zielseite), kann geshrieben werden: * ** ( ) ( ) ò å ò å DE F = DE F - P dq - P dt. (5.68) n n i i j j PF i PF j P i P j Auswahlwahrsheinlihkeit der Quelle i Auswahlwahrsheinlihkeit des Ziels j P i und P j entsprehen der Nahfrage eines repräsentativen Verkehrsteilnehmers der Quelle-Ziel-Gruppe nah den Quellen und Zielen. Die (Gesamt)Nahfragefunktionen 69 zur Bestimmung von P i und P j sind niht explizit definiert und deren Stammfunktionen unbekannt. Aufgrund mögliher multipler Änderungen der Pseudo-Potentiale sind die Werte der Integrale der Nahfragefunktionen abhängig vom Integrationspfad. 69 Es handelt sih dabei um eine Funktion zur Bestimmung der Auswahlwahrsheinlihkeiten der Quellen und eine Funktion zur Bestimmung der Auswahlwahrsheinlihkeiten der Ziele. Die Einzelwerte sind implizit durh die Summierung der Auswahlwahrsheinlihkeiten P ijk über die jeweils niht betrahteten Dimensionen gegeben.

158 Modellentwiklung 145 Der Ansatz (5.68) stellt die Grundlage für die Berehnung der Änderung des internen Nutzens eines repräsentativen Verkehrsteilnehmers der Quelle-Ziel-Gruppe dar. Zur Bestimmung der gesuhten Nutzenänderung aller Verkehrsteilnehmer einer Quelle-Ziel- Gruppe muss die Nutzenänderung des repräsentativen Verkehrsteilnehmers mit dem Gesamtverkehrsaufkommen multipliziert werden, wobei nahfolgend in drei relevante Fälle zu untersheiden ist: - (1) keine Änderung der Verkehrsaufkommen, - (2) einheitlihe Änderung der Verkehrsaufkommen und - (3) verkehrsbezirksspezifishe Änderung der Verkehrsaufkommen. Ad (1): Bei diesem Fall sind die Quell-, Ziel- und Gesamtverkehrsaufkommen konstant: O M O M O M i i i j j j Q = Q = Q, Z = Z = Z, V = V = V. (5.69) Daraus resultieren die Auswahlwahrsheinlihkeiten P i und P j : Q P = P = P = i i i V O M i Z O M P = P = P = j j j V j. (5.70) Es handelt sih somit um konstante, durh die Verkehrserzeugung eindeutig bestimmte und vorgegebene Werte. Für diesen Sonderfall sind die Werte der Integrale in (5.68) pfadunabhängig 70, weshalb die Summierungen über i und j und die entsprehenden Auswahlwahrsheinlihkeiten aus den Integralen herausgezogen werden können: * ** ( ) ( ) å M qi ò å DE F = DE F - P dq - P dt. (5.71) M tj n n i i j j i O j O q t i j Die Lösung der Integrale liefert dann: * ( ) = ** ( ) - M ( - O å ) - å M ( - O n n i i i j j j ) DE F DE F P q q P t t. (5.72) Aufgrund von = O M i V V gilt E ( ) n = 0 * ( ) =- M ( - O å ) - å M ( - O n i i i j j j) ** D F und es resultiert: DE F P q q P t t. (5.73) i j j ò 70 Pfadunabhängigkeit ist gewährleistet, da eine Änderung der Pseudo-Potentiale keinen Einfluss auf die Nahfrage hat, wodurh die JACOBI-Matrix der Gesamtnahfragefunktionen P i und P j symmetrish ist (siehe Kapitel 4.1.2).

159 Modellentwiklung 146 Die Änderung des Erwartungswertes des maximalen Nutzens eines repräsentativen Verkehrsteilnehmers wird somit durh die Änderung der Pseudo-Potentiale ausgedrükt. Zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens aller Verkehrsteilnehmer der Quelle-Ziel-Gruppe muss (5.73) mit V multipliziert werden: æ ö ( ) ( ) ( ) DE F * = åp q M q O åp t M t O V, (5.74) i i i j j j ç è i j ø woraus durh Ausmultiplizieren und Umstellen folgt: ( * ) = å ( O - M ) + å ( O - M i i i j j j ) DE F Q q q Z t t. (5.75) i j Das Ergebnis liefert ein exaktes Nutzenmaß, das genau der Nutzenänderung infolge der verkehrsprojektinduzierten Änderung der Generalisierten Aufwände entspriht. Dabei wird die Nutzenänderung je Quell- und Zielverkehrsaufkommen und damit je Verkehrsbezirk in Abhängigkeit der Änderung der Pseudo-Potentiale quantifiziert. Zur Verdeutlihung ist die Ermittlung der Nutzenänderung als Flähe unterhalb der unelastishen Nahfragekurve des Zielverkehrsaufkommens in Abbildung 5-5 dargestellt, wobei O und M die berehneten Gleihgewihtssituationen repräsentieren. Pseudo-Potential j j O j M I O M unelastishe Nahfragekurve Z j O = Z j M Zielverkehrsaufkommen Z j Abbildung 5-5: Nutzenänderung bei konstantem Zielverkehrsaufkommen Die Abbildung zeigt, dass die Nutzenänderung durh die Reduzierung der Pseudo- Potentiale repräsentiert wird (Flähe I). Ist beispielsweise der Verkehrsbezirk 1 durh eine Verkehrsinvestition besser (als Ziel) erreihbar, so sinkt das Pseudo-Potential des Ziels, um das Zielverkehrsaufkommen konstant zu halten. Die projektinduzierte Reduzierung der Pseudo-Potentiale führt so zu einem Nutzengewinn (siehe (5.75)), da die Verkehrsteilnehmer (im Modell) weniger gezwungen werden, das Ziel zu wählen. Die Zusammenhänge gelten analog für den Nutzenanteil des Quellverkehrsaufkommens.

160 Modellentwiklung 147 Ad (2): Im Untershied zu (1) verursaht die Verkehrsmaßnahme eine Änderung des Verkehrsverhaltens der Verkehrsteilnehmer in Form der Erhöhung/Reduzierung der Anzahl an Wegen pro Zeiteinheit. Die Änderung der (elastishen) Produktionsraten der Verkehrsteilnehmer ist dabei im gesamten Untersuhungsgebiet konstant. Daraus resultieren um einen einheitlihen Steigerungsfaktor k geänderte Quell-, Ziel- und Gesamtverkehrsaufkommen und es gilt: M O M O M O i i j j Q = k Q, Z = k Z, V = k V. (5.76) Die in der Verkehrserzeugung bestimmten veränderten Quell-, Ziel- und Gesamtverkehrsaufkommen sind für die Nutzenberehnung zu berüksihtigen. Da jedes Quell- und Zielverkehrsaufkommen sowie das Gesamtverkehrsaufkommen des Mitfalls ein um den einheitlihen Faktor k erhöhtes Verkehrsaufkommen des Ohnefalls darstellt, gilt für die Auswahlwahrsheinlihkeiten der Quellen und Ziele: P i M O M O Q Q Z Z i i j j = =, P = = M O j M O V V V V. (5.77) Durh die Konstanz von P i und P j sind die Werte der Integrale in (5.68) wiederum pfadunabhängig und es resultiert (5.71): * ** ( ) ( ) å å DE F = DE F - P dq - P dt. M qi ò M tj n n i i j j i O j O q t i j Die Lösung der Integrale liefert dann analog (5.72): * ( ) = ** ( ) - M ( - O å ) - å M ( - O n n i i i j i i ) DE F DE F P q q P t t. i O M Für den hier betrahteten Fall V ¹ V ergibt sih jedoh im Untershied zu (1) ** ( ) ¹ n DE F 0. Die Logsum-Differenz darf somit niht vernahlässigt werden. Unter Beahtung des Zusammenhangs: j ò æ M M M O ö æ O O O O ö ** - ga + q + t + y - ga + q + t + y ijk i j k ( ) = ijk i j k DE F ln - åååe ln n åååe ç ç è i j k ø è i j k ø * kann dann E ( n ) M O ( ) ln ( V ) = ln V - æ M ö V = ln ç O çè V ø D F formuliert werden: (5.78)

161 Modellentwiklung 148 æ M ö * ( ) V = M O M O DE F ln - ( - )- ( - åp q q n i i i åp t t j i i). (5.79) O ç èv ø i j Die Berehnung der Nutzenänderung aller Verkehrsteilnehmer einer Quelle-Ziel-Gruppe ergibt sih durh die Multiplikation mit dem Gesamtverkehrsaufkommen, für das bei Beahtung von Neuverkehr der Mittelwert der Verkehrsaufkommen des Mit- und Ohnefalls (siehe Kapitel 4.2.1) verwendet wird: æ æ M ö ö æ O M ö D * + ( ) V = M O M O V V - ( - )- ( - ) E F ln ç ç åp åp O i i i j i i ç è èv q q t t ø i j ø è 2. (5.80) ø Durh Ausmultiplizieren und Umstellen resultiert: æ M ö æ O M ö æ O M ö DE F q q O çèv ø èç 2 ø i çè 2 ø æ O M + ö Z Z j j + å O M ( t -t i i ) j ç çè 2 ø * V V + V Q + Q ( ) = ç ç + å i i O M ln ç ( - i i ). (5.81) Das Ergebnis ist wiederum unter Annahme einer linearen Nahfragefunktion des Gesamtverkehrsaufkommens ein exaktes Nutzenmaß. Zur Verdeutlihung wird der Zusammenhang für den Nutzenanteil des Zielverkehrsaufkommens in Abbildung 5-6 dargestellt, wobei die modellierten Gleihgewihtssituationen des Mit- und Ohnefalls durh die Punkte O und M markiert sind. Pseudo-Potential j j M M I lineare Nahfragekurve j O O Z j O Z j M Zielverkehrsaufkommen Z j Abbildung 5-6: Nutzenänderung bei Erhöhung des Zielverkehrsaufkommens Die Nutzenänderung wird in der obigen Abbildung durh die Flähe I repräsentiert. Die in der Verkehrserzeugung bestimmten höheren Verkehrsaufkommen (Neuverkehr) im

162 Modellentwiklung 149 Mitfall werden im EVA-Logit-Modell durh höhere Pseudo-Potentiale eingehalten. Die Erhöhung der Pseudo-Potentiale führt zu einer Nutzenreduzierung. Die Zusammenhänge gelten analog für den Nutzenanteil des Quellverkehrsaufkommens. Der Neuverkehr verursaht im Modell eine Erhöhung respektive eine (gegenüber einem Mitfall ohne Neuverkehr) geringere Reduzierung der Pseudo-Potentiale. Durh diesen quell- und zielspezifishen negativen Nutzen des Neuverkehrs wird die zusätzlihe Konkurrenz der neu hinzukommenden Verkehrsteilnehmer für die vorher bereits vorhandenen Verkehrsteilnehmer ausgedrükt. Der (positive) Nutzen der Verkehrsteilnehmer des Neuverkehrs wird durh den ersten Term der rehten Seite in (5.81) quantifiziert und resultiert direkt aus der Logsum-Differenz. Dieser Wert ist für V M O > V stets größer Null. Ad (3): Dieser Fall untersheidet sih zu (2) dahingehend, dass die Produktionsraten in der Verkehrserzeugung in Abhängigkeit der Betroffenheit von der Änderung der Generalisierten Aufwände je Verkehrsbezirk variieren können. Die Quell- und Zielverkehrsaufkommen ändern sih folglih um verkehrsbezirksspezifishe Faktoren k: M O M M i Q i j Z j Q = k Q, Z = k Z. (5.82) i j Das Gesamtverkehrsaufkommen setzt sih aus der Summe der Quell- und Zielverkehrsaufkommen zusammen und es resultiert: å i å i å O O O i j j M M M i å j j Q = Z = V Q = Z = V. (5.83) Daraus folgt der Steigerungsfaktor des Gesamtverkehrsaufkommens: k V M V = O V. (5.84) Die Steigerungsfaktoren der Quell-, Ziel- und des Gesamtverkehrsaufkommens untersheiden sih und es gilt: O M O M i i j j P ¹ P, P ¹ P. (5.85) Im Gegensatz zu den Fällen (1) und (2) sind P i und P j somit niht unabhängig von den Pseudo-Potentialen und die Werte der Integrale in (5.68) sind pfadabhängig. Zur Integration von P i über i und P j über j sind die Gesamtnahfragefunktionen nah P i und P j heranzuziehen, die jedoh niht bekannt sind.

163 Modellentwiklung 150 Der funktionale Zusammenhang zwishen den Auswahlwahrsheinlihkeiten und den Pseudo-Potentialen ist im EVA-Logit-Modell niht formal geshlossen bestimmbar, da er das Resultat eines iterativen Lösungsalgorithmus ist. Somit sind alle einzelnen P i und P j nur für die Gleihgewihtssituationen des Ohne- und Mitfalls bekannt. Unter der Annahme linearer Nahfragefunktionen können die Mittelwerte der Auswahlwahrsheinlihkeiten bestimmt werden und die Integrale in (5.68) lassen sih vereinfahen zu: M M æ O M q ö i + æ O M t + ö j * ** P P P P i i ( ) = ( )- j j DE F DE F å - n n ç å è ò dqi ø çè ò dt. (5.86) j i 2 O j 2 ø O Die Lösung der Integrale liefert dann: æ O M ö æ O M + ö * ** P + P P P i i ( ) = ( )- M O j j ( - )- M O DE F DE F å q q ( - å t t n n i i j j ).(5.87) ç è ø i 2 j çè 2 ø Die Nutzenänderung für alle Verkehrsteilnehmer der Quelle-Ziel-Gruppe resultiert aus der Multiplikation mit dem Gesamtverkehrsaufkommen, für die analog zu (2) wiederum eine lineare Nahfragekurve angenommen wird. Im zweiten und dritten Term der rehten Seite in (5.87) sind bereits die linearen Übergänge zwishen Ohne- und Mitfall formal berüksihtigt, weshalb die Auswahlwahrsheinlihkeiten mit den entsprehenden Gesamtverkehrsaufkommen des Ohne- und Mitfalls multipliziert werden. Unter Beahtung von (5.78) resultiert: æ M ö æ O M + ö æ O M V V V Q + Q ö DE F ç ç q q O ç èv ø è 2 ø i è 2 ø æ O M + ö Z Z j j + O M å ( t -t j j ) ç j çè 2 ø * ( ) = ç ç i i + åç O M ln ( - i i ) qi tj. (5.88) Die Lösung entspriht dem Ansatz in (5.81) und stellt damit die allgemeine Lösung im Fall unelastisher Randsummenbedingungen dar. Die Lösung enthält ebenfalls Fall (1) als Sonderfall, mit Q O M = Q, Z O = Z M und V O = V M. In Anhang D wird gezeigt, wie die i i j j Nutzenberehnung verkehrsstrombasiert erfolgen kann, wobei die Pseudo-Potentiale auf die Verkehrsströme verteilt werden Korrigierte Logsum-Differenz für elastishe Randsummenbedingungen Aufgrund der erst in der simultanen Ziel- und Verkehrsmittelwahl endgültig bestimmten Quell- und Zielverkehrsaufkommen, bedarf die Nutzenberehnung bei der Einhaltung von elastishen Randsummenbedingungen einer gesonderten Betrahtung. Dabei ist auh zu beahten, dass Quell- und/oder Zielpotentiale in die EVA-Nutzenfunktion eingehen. Die methodishe Herangehensweise ist jedoh mit den Ausführungen zu den unelastishen

164 Modellentwiklung 151 Randsummenbedingungen identish, weshalb nur die abweihenden Aspekte nahfolgend dargestellt werden. Ausgangspunkt sind die Ansätze (5.54) bis (5.56), wobei hier der allgemeine Fall mit quell- und zielseitigen Potentialen betrahtet wird und P P ( ) ( ) F =- ga + h Q + h Z ijk ijk i j q i t j y k gilt. Das totale Differential df ijk wird gebildet durh: F F F ijk ijk P ijk df =- dga + dh( Q ) + dh Z ga hq hz P ( ) F F F ijk ijk ijk + dq + dt + dy q t y P ( ) P ( ) ijk ijk i j ijk i j i j k i j k. (5.89) Die Quell- und Zielpotentiale spiegeln die Attraktivität und die Flähennutzung der Verkehrsbezirke wider. Die Potentiale können grundsätzlih zwishen dem Mit- und Ohnefall differieren, allerdings sind im Rahmen der Bewertung von Verkehrsmaßnahmen nur jene Änderungen zu berüksihtigen, die durh diese Maßnahme hervorgerufen werden. Potentialänderungen werden hier niht betrahtet (siehe dazu Kapitel 5.7) und es gilt dh ( Q P ) = i 0 sowie ( P ) j = dh Z 0. Folglih resultiert wiederum (5.57) und (5.59): df =- dga + dq + dt + dy. ijk ijk i j k Durh Einsetzen ergibt sih (5.61): ** ( ) = ååå ( n ijk ijk i j k ) ò DE F P dga dq dt dy. PF i j k Die Pseudo-Potentiale haben bei elastishen Randsummenbedingungen die gleihen Auswirkungen auf die Nutzenberehnung wie bei unelastishen Randsummenbedingungen. * Die Ableitungen und Umstellungen zur Bestimmung von DE ( F n ) im Rahmen der Betrahtung unelastisher Randsummenbedingungen lassen sih somit auh auf den Fall elastisher Randsummenbedingungen übertragen und es resultiert der Ansatz (5.68): * ** ( ) ( ) ò å å DE F = DE F - P dq - P dt. n n i i j j PF i PF j Bei elastishen Randsummenbedingungen sind die Auswahlwahrsheinlihkeiten der Quellund Zielverkehrsaufkommen niht durh die Verkehrserzeugung fixiert und neben den Raumstrukturgrößen auh in den Grenzen der minimalen und maximalen Verkehrsaufkommen von der Lagegunst und damit den Aufwänden abhängig. Es gelten somit, analog zu Fall (3) bei unelastishen Randsummenbedingungen, die Ungleihungen (5.85): O M O M i i j j P ¹ P, P ¹ P. ò

165 Modellentwiklung 152 Die Lösungen der Integrale sind folglih wiederum pfadabhängig. Da nur für den Mit- und Ohnefall die Wahrsheinlihkeiten bekannt sind, muss eine Annahme über den Integrationsweg zwishen den Gleihgewihtssituationen getroffen werden. Hierfür wird erneut ein linearer Pfad gewählt und es ergibt sih (5.86): M M æ O M q ö i + æ O M t + ö j * ** P P P P i i ( ) = ( )- j j DE F DE F å - n n ç å è ø ò dqi çè ò dt. j i 2 O j 2 ø O Der Ansatz ist formal identish mit Fall (3) bei unelastishen Randsummenbedingungen. Die Nutzenänderung aller Verkehrsteilnehmer einer Quelle-Ziel-Gruppe lautet dann gemäß (5.88): æ M ö æ O M + ö æ O M V V V Q + Q ö DE F ç ç q q O ç èv ø è 2 ø i è 2 ø æ O M + ö Z Z j j + O M å ( t -t j j ) ç j çè 2 ø * ( ) = ç ç i i + åç O M ln ( - i i ) Wenn kein projektinduzierter Neuverkehr entsteht, d. h. V = V gilt, dann resultiert: qi æ O M ö æ O M + ö * Q + Q Z Z i i ( ) = O M j j ( - ) + O M DE F å q q ( - å t t i i j j ). (5.90) ç è ø i 2 j çè 2 ø Die Ausweisung der verkehrsstromspezifishen Nutzenänderung ist analog zum Fall der unelastishen Randsummenbedingungen möglih, da der dort resultierende Ansatz unmittelbar aus (5.81) abgeleitet ist und demnah auh für elastishe Randsummenbedingungen Gültigkeit besitzt (siehe Anhang D). Die vorangegangenen Ableitungen erfolgten für jeweils quell- und zielseitige unelastishe oder elastishe Randsummenbedingungen. Für Quelle-Ziel-Gruppen mit quell- und zielseitig untershiedlihen Randsummenbedingungen kann die Berehnung der Nutzenänderungen durh entsprehende Kombinationen erfolgen. Für eine Quelle-Ziel-Gruppe mit beispielsweise quellseitig unelastisher und zielseitig elastisher Randsummenbedingung ohne Neuverkehr resultiert: æ O M ö Z + Z * O M j j ( ) = ( - ) + O M DE F åq q q å ( t -t i i i j j ). (5.91) ç i j çè 2 ø Wenn projektinduzierter Neuverkehr entsteht, gilt allgemein Ansatz (5.88). O M. tj

166 Modellentwiklung Halbierungsregel zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens Halbierungsregel bei unelastishen Randsummenbedingungen Ausgangspunkt sind die Überlegungen zur Korrektur der Logsum-Differenz um die Pseudo-Potentiale in Kapitel , die zum Ansatz (5.68) führen: * ** ( ) ( ) ò å å DE F = DE F - P dq - P dt. n n i i j j PF i PF j ** Mit Hilfe der Halbierungsregel kann E ( n ) ò D F genähert werden, wobei die relationsspezifishen Auswahlwahrsheinlihkeiten unter der Annahme eines linearen Integrationsweges einzeln integriert werden: ijk ** ( ) ( ) F = åååò M DE F P F df. (5.92) n ijk A ijk i j k F O ijk Die Lösung der Integrale lautet entsprehend der Halbierungsregel in (4.45): ** 1 O M M O ( ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE F P P F F. (5.93) 2 i j k Mit F =- ga + q + t + y und y = y ergibt sih: ijk ijk i j k O k ** 1 O M M M M O O O ( ) = ååå( + ) ( (- + + )-(- + + n ijk ijk ijk i j ijk i j )) DE F P P ga q t ga q t. (5.94) 2 i j k Der Ausdruk kann umgeformt werden zu: ** 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE P P ga ga 2 i j k M k O M M O ( P P ijk ijk ) ( q q i i ) 1 + ååå i j k O M M O ( P P ijk ijk ) ( t t j j ) 1 + ååå i j k. (5.95)

167 Modellentwiklung 154 Durh Summierung der Auswahlwahrsheinlihkeiten des zweiten und dritten Terms kann der Ausdruk vereinfaht werden: ** 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE P P ga ga 2 ** Wird E ( n ) i j k O M M O O M M O ( P P ) ( q q i i i i ) å( P P j j ) ( t t j j ) å i j. (5.96) D F in (5.68) substituiert, ergibt sih für die gesuhte Nutzenänderung eines repräsentativen Verkehrsteilnehmers der Quelle-Ziel-Gruppe : * 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE P P ga ga 2 i j k O M M O O M M O å( P P ) ( q q ) å( P P i i i i j j ) ( t t j j ) i j ò åp dq i i ò åp dt j j PF i PF j. (5.97) Zur Bestimmung der Nutzenänderung aller Verkehrsteilnehmer einer Quelle-Ziel-Gruppe ist wiederum in folgende drei relevante Fälle zu untersheiden: - (1) keine Änderung der Verkehrsaufkommen, - (2) einheitlihe Änderung der Verkehrsaufkommen und - (3) verkehrsbezirksspezifishe Änderung der Verkehrsaufkommen. Ad (1): Wenn kein projektinduzierter Neuverkehr entsteht, d. h. die Produktionsraten konstant sind, dann gilt (5.70) und die Auswahlwahrsheinlihkeiten der Quellen und Ziele sind im Mit- und Ohnefall gleih: Q P = P = P = i i i V O M i Z O M P = P = P = j j j V j. Unter dieser Voraussetzung lauten die Lösungen der beiden Integrale in (5.97): ò PF Q Z i M O j M O P dq = ( q - q ) undò P dt = ( t -t i i i i j j j j ). (5.98) V V å å å å i i PF j j

168 Modellentwiklung 155 Durh Einsetzen in (5.97) resultiert: * 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE 2 i j k P P ga ga Q Z i + å - + i V j V - Q Z i -å - - V V - i M O j M O ( q q i i ) å ( t t j j ) M O j M O ( q q i i ) å ( t t j j ) j (5.99) und somit: * 1 O M O M ( ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE F P P ga ga. (5.100) 2 i j k Die Nutzenänderung aller Verkehrsteilnehmer einer Quelle-Ziel-Gruppe ergibt sih durh Multiplikation mit dem Gesamtverkehrsaufkommen: 1 DE( F * ) = ååå( v O + v M ) ( ga O -ga M ijk ijk ijk ijk ). (5.101) 2 i j k Der Ausdruk entspriht exakt der Nutzenberehnung mittels der Halbierungsregel für Verkehrsnahfragemodelle ohne Randsummenbedingungen. Ad (2): In diesem Fall variieren alle Verkehrsaufkommen um den gleihen Faktor k zwishen Mitund Ohnefall und die Auswahlwahrsheinlihkeiten der Quellen und Ziele sind im Mit- ** n und Ohnefall identish (allerdings gilt ( ) ¹ DE F 0 ). Folglih resultiert: * 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE P P ga ga 2 i j k + P å i å M ( q O q ) åp M ( t O t ) M ( q O q ) j åp M ( t O t ) i i i j j j - P i i i i j j j j. (5.102) Die letzten vier Terme der rehten Seite können gekürzt werden und es ergibt sih für alle Verkehrsteilnehmer der Quelle-Ziel-Gruppe wiederum der Ansatz der Halbierungsregel in (5.101). Der Nutzen des Neuverkehrs ist, wie in Kapitel gezeigt, in diesem Ansatz enthalten. Ad (3): Verkehrsbezirksspezifishe Änderungen der Verkehrsaufkommen infolge der projektinduzierten Änderung der Produktionsraten führen zu (5.85): O M O M i i j j P ¹ P, P ¹ P.

169 Modellentwiklung 156 Analog der Überlegungen in Kapitel werden auh hier vereinfahend lineare Nahfragefunktionen der Auswahlwahrsheinlihkeiten P i und P j angenommen, wodurh die Integrale in (5.97) gelöst werden können: ò PF ò PF å i å j P P æ O M + ö P P i i dq = å q -q ç i çè 2 ø æ O M + ö P P dt = å t -t ç j çè 2 ø M O ( ) i i i i ( ) j j M O j j j j Werden die Lösungen in (5.97) eingesetzt, so resultiert: * 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ). (5.103) DE 2 i j k P P ga ga i 2 j O M M O O M M O å( P P ) ( q q i i i i ) å( P P j j ) ( t t j j ) O M M O O M M O å( P P ) ( q q i i i i ) å( P P j j ) ( t t j j ) i j. (5.104) Wiederum können die letzten vier Terme gekürzt werden und der einfahe Halbierungsregelansatz (5.101) liefert auh für diesen Fall die resultierende Approximation der Nutzenänderung für alle Verkehrsteilnehmer der Quelle-Ziel-Gruppe Halbierungsregel bei elastishen Randsummenbedingungen Die nahfolgenden Betrahtungen bauen auf den Überlegungen bzgl. der unelastishen Randsummenbedingungen auf. Der Untershied besteht im Wesentlihen im zusätzlihen Einfluss der Quell- und Zielpotentiale und der erst in der simultanen Ziel- und Verkehrsmittelwahl endgültig bestimmten Verkehrsströme. Die Grundlage der Betrahtungen stellt wiederum Ansatz (5.68) dar: * ** ( ) ( ) ò å å DE F = DE F - P dq - P dt, ** wobei E ( n ) n n i i j j PF i PF j ò D F mittels der Halbierungsregel genähert wird. Hierfür wird erneut der allgemeine Ausdruk in (4.45) herangezogen: ** 1 O M M O ( ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE F P P F F. 2 i j k P P Mit ga h ( Q ) h ( Z ) ijk ijk i j i j k F = q + t + y und y = y und der Summierung der Auswahlwahrsheinlihkeiten über die niht betroffenen Dimensionen ergibt sih: O k M k

170 Modellentwiklung 157 ** 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE P P ga ga 2 i j k 1 æ M Oö O M + ( + ) P P å P P hq ( ) -hq ( ) i i ç i i 2 çè i ø 1 æ M Oö O M + å( + ) P P P P h( Z ) -h( Z ) j j ç j j 2 çè ø j å i O M M O O M M O ( P P ) ( q q i i i i ) å( P P j j ) ( t t j j ) P Da hier von konstanten Quell- und Zielpotentialen ausgegangen wird, also ( i ) P und h( Zj ) 0 j. (5.105) D hq = 0 D = gilt, ergibt sih formal der gleihe Ansatz wie im Fall unelastisher Randsummenbedingungen. Somit folgt daraus Ansatz (5.97): * 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE P P ga ga 2 i j k O M M O O M M O å( P P ) ( q q ) å( P P i i i i j j ) ( t t j j ). i j ò åp dq i i ò åp dt j j PF i PF j Die Lösung der Integrale erfolgt analog der Betrahtungen in Kapitel , in denen ein linearer Integrationspfad zwishen den Gleihgewihtslösungen gewählt wurde. Damit ergeben sih die Lösungen entsprehend (5.103): ò PF ò PF å i å j P P æ O M + ö P P i i dq = å q -q ç i çè 2 ø æ O M + ö P P dt = å t -t ç j 2 çè ø M O ( ) i i i i ( ) j j M O j j j j Wenn die Lösungen der Integrale in (5.97) eingesetzt werden, so führt das zum Ansatz (5.104), der durh Kürzen wiederum den Ansatz (5.101) liefert. Die Halbierungsregel gilt sowohl für unelastishe als auh elastishe Randsummenbedingungen und kann daher auh für Fälle mit quell- und zielseitig untershiedlihen Randsummenbedingungen herangezogen werden..

171 Modellentwiklung Erweiterte approximative Ansätze zur Bestimmung der Änderung des internen Nutzens Numerishe Integration bei großen Aufwandsänderungen Die Nutzenberehnung bei großen Aufwandsänderungen ist mittels der Numerishen Integration durhzuführen. Der Ansatz basiert, wie in Kapitel gezeigt, unmittelbar auf der Halbierungsregel, weshalb die Numerishe Integration ebenfalls zur Nutzenberehnung bei der Einhaltung von Randsummenbedingungen anwendbar ist. Es soll an dieser Stelle noh kurz auf zwei zu beahtende Aspekte eingegangen werden: - (1) Zwishenpunkte als Gleihgewihte und - (2) Entstehung von Neuverkehr. Ad (1): Gemäß der Numerishen Integration müssen die Zwishenpunkte für eine bestmöglihe Näherung der Integrale äquidistant verteilt sein, wofür die entsprehenden Generalisierten Aufwände mittels des Ansatzes (4.53) unmittelbar festgelegt werden. Durh die direkte Anpassung der Generalisierten Aufwände ist jedoh niht gewährleistet, dass die Zwishenpunkte (Nutzer)Gleihgewihte darstellen. Hierfür muss das Verkehrsangebot, z. B. über die Kapazität einer neuen Streke, so verändert werden, dass die gesuhten Generalisierten Aufwände der Zwishenpunkte aller Alternativen resultieren. Es ist jedoh zum einen niht a priori bestimmbar, um welhen Wert die Angebotsgröße geändert werden muss, damit die gesuhten Aufwände resultieren, zum anderen ist offensihtlih, dass sih dann niht für alle Alternativen äquidistante Generalisierte Aufwände ergeben (müssen). Dem Problem steht jedoh die Tatsahe gegenüber, dass die Numerishe Integration per se eine Näherungslösung darstellt und die Abweihungen zwishen den äquidistant verteilten Generalisierten Aufwänden und den sih im Gleihgewiht ergebenden Aufwänden nur gering sind. Eine Gleihgewihtsmodellierung für die Zwishenpunkte ersheint daher und vor dem Hintergrund des großen zusätzlihen Rehenaufwands niht gerehtfertigt. Ad (2): Die Numerishe Integration ist, wie die Halbierungsregel, bei Neuverkehr anwendbar. Es ist jedoh bei der praktishen Umsetzung zu beahten, dass für die Berehnung der Verkehrsströme der Zwishenpunkte ein Gesamtverkehrsaufkommen festgelegt werden muss. Entsprehend der bisherigen Annahmen in diesem Kapitel soll auh hierfür von einem linearen Zusammenhang im Fall von projektinduziertem Neuverkehr ausgegangen werden. Daraus resultiert die Berehnung der Verkehrsströme für drei Zwishenpunkte:

172 Modellentwiklung 159 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 M O O ijk ijk v = P 0,25 V - V + V 2 2 M O O ijk ijk v = P 0,5 V - V + V 3 3 M O O ijk ijk v = P 0,75 V - V + V. (5.106) Dreiek-Methode bei ungleihen Alternativenmengen Der interne Nutzen kann bei einer veränderten Alternativenmenge im Mitfall mittels der Dreiek-Methode genähert werden. Der grundsätzlihe theoretishe Ansatz wurde bereits in Kapitel dargelegt und kann auh hier angewendet werden. Es ist dabei jedoh zu beahten, dass eine steigende Anzahl neuer oder wegfallender Alternativen zu einem zunehmenden fehlerhaften Ergebnis führt. Es gilt abshließend für die untersuhten Methodiken der Berehnung der Änderung des internen Nutzens festzuhalten, dass der in Kapitel vorgestellte Ansatz der Logsum-Differenz für das EVA-Logit-Modell mit Randsummenbedingungen angepasst werden kann und ein exaktes Nutzenmaß liefert. Durh die Untersuhungen der approximativen Ansätze konnte gezeigt werden, dass diese bei der Beahtung von Randsummenbedingungen ohne Korrekturen angewendet werden können. Dabei gelten aber die gleihen Einshränkungen, die in Kapitel erläutert wurden. Vor allem sind dabei große Aufwandsänderungen und ungleihe Alternativenmengen zwishen Mit- und Ohnefall zu beahten. Da die approximativen Ansätze i. Allg. stets nur eine Näherung des exakten Nutzenergebnisses darstellen, gilt grundsätzlih, dass das exakte Nutzenmaß (korrigierte Logsum-Differenz) immer zu berehnen ist und das maßgebende Resultat darstellt. Die approximativen Ansätze finden ihre Berehtigung zur zusätzlihen Anwendung jedoh, wenn die Zerlegung des Nutzens erforderlih ist (siehe Kapitel 5.5.2). 5.4 Grenznutzen des Einkommens Zur Monetarisierung der Änderung des internen Nutzens, d. h. zur Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente, ist es erforderlih, den Grenznutzen des Einkommens zu bestimmen. Eine harmonisierte Bewertung innerhalb des integrierten Verkehrsnahfrageund Bewertungsmodells verlangt, dass der Grenznutzen des Einkommens im Rahmen der Bewertung aus den in der Verkehrsnahfrageberehnung abgebildeten Präferenzen der Verkehrsteilnehmer abgeleitet wird. Da das Einkommen keine explizite Eingangsvariable in der EVA-Nutzenfunktion darstellt, sind die in der Nutzenfunktion enthaltenen monetären Größen für die Bestimmung heranzuziehen. Es sind zunähst die Grenznutzen der einzelnen Reisekostenkomponenten zu ermitteln, die der ersten Ableitung der Nutzenfunktion nah den einzelnen Komponenten

173 Modellentwiklung 160 entsprehen. 71 Im EVA-Logit-Modell lautet der entsprehende Bewertungsteil der EVA- Nutzenfunktion für eine Reisekostenkomponente : æ b ö k æ ö k ( ) =- ijk F k a ln + 1. (5.107) ijk k ç ç èc ø k çè ø Die Präferenzparameter, und C sind für jede Reisekostenkomponente je Quelle-Ziel- Gruppe und Verkehrsmittel zu bestimmen. Der jeweilige Grenznutzen lautet: GN ( k ) ijk ( b -1 k æ ö ) kijk a b k F ç çèc ijk k ø = =- k æ b æ ö ö k ijk ç çç kijk C çç + çç 1 k çç ç C ø k çè ø k. (5.108) Es ergeben sih daraus n untershiedlihe Präferenzfunktionen: n = ååb k k. (5.109) k = 1...K Laufindex Verkehrsmittel mit Reisekosten B Mähtigkeit der Menge B, d. h. Anzahl der Reisekostenkomponenten Mittels jeder dieser Präferenzfunktionen ist in Abhängigkeit der aufzubringenden Reisekosten ein situativer (alternativenspezifisher) Grenznutzen der Reisekosten zu bestimmen. Die Einzelwerte sind weiterhin zu einem Erwartungswert zu aggregieren, wozu der in Kapitel verwendete Ansatz (4.65) herangezogen wird. Der Erwartungswert entspriht dabei einem über alle Verkehrsströme gewihteten Mittelwert. Der Ansatz muss jedoh zusätzlih um die Dimension der untershiedlihen Reisekostenkomponenten erweitert werden: ( ( )) EGN åååågn ( kbijk ) vijk b i j k k =. (5.110) B v ååå i j k k ijk Da sih die damit jeweils berehneten Erwartungswerte des Ohne- und Mitfalls untersheiden können, ist analog dem Ansatz (4.66) der mittlere Erwartungswert des Mit- und Ohnefalls zu bestimmen: 71 Die Verwendung des Begriffs Grenznutzen der Reisekosten ersheint niht unmittelbar nahe liegend, ist jedoh in dem hier betrahteten Zusammenhang gängig in der Literatur.

174 Modellentwiklung 161 ( ( )) EGN O M ( ( k )) + ( ( k )) E GN E GN k =. (5.111) 2 Dieser Wert entspriht dann faktish dem gesamtheitlihen Grenznutzen der Reisekosten, dessen Pendant der gesuhte Grenznutzen des Einkommens ist (vgl. Kapitel ). Somit gilt dann: ( ( )) l =-EGN k. (5.112) Mit dem QZG-spezifishen Grenznutzen des Einkommens können auh die Änderungen des internen Nutzens von Null-Kosten-Alternativen, wie z. B. alle Fußgängerrelationen, monetarisiert werden. Bei den bisherigen Darstellungen erfolgte keine Unterteilung der Quelle-Ziel-Gruppen in Einkommensklassen. Dadurh ist die Annahme implizit, dass die Bewertungspräferenzen für alle Personen einer Quelle-Ziel-Gruppe durh einen repräsentativen Verkehrsteilnehmer unabhängig vom Einkommen abgebildet werden können. Das Einkommen von Personen, z. B. Erwerbstätigen in der Quelle-Ziel-Gruppe W-A, unterliegt jedoh i. d. R. einer großen Streuung. Einkommensstarke Personen weisen aufgrund ihres höheren Einkommens eine geringere Reisekostensensibilität auf als einkommensshwahe Personen. Wenn eine Differenzierung nah Einkommensklassen in den Quelle-Ziel-Gruppen erfolgt, dann können diese Effekte besser berüksihtigt werden, allerdings resultiert daraus ein deutlih erhöhter empirisher und Modellkalibrierungsaufwand. Die Anzahl der Präferenzfunktionen ergibt sih dann durh: n = åååb ke e k. (5.113) e Laufindex Einkommensklassen Die Ermittlung der Erwartungswerte der Reisekosten und daraus abgeleitet des Grenznutzens des Einkommens erfolgt analog der obigen Darstellungen. Es ist möglih, den Grenznutzen des Einkommens für jede Einkommensklasse zu bestimmen. Allerdings wird dann eine zusätzlihe Gewihtung zwishen den untershiedlihen Klassen notwendig (siehe Kapitel und Kapitel 5.5.1).

175 Modellentwiklung Änderung der Konsumentenrente Ansätze zur Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente Die veränderte Konsumentenrente als monetäres Nutzenmaß stellt die gesuhte Größe des Bewertungsmoduls dar. Alle notwendigen Ansätze und Voraussetzungen wurden in den vorangegangenen Kapiteln dargelegt. Die Berehnungsmethoden auf Basis der korrigierten Logsum-Differenz (exakte Berehnung) und der Halbierungsregel (Näherung) sind in den beiden Tabellen 5 1 und 5 2 zusammengefasst. Alle Variablen innerhalb der Formeln stellen Ergebnisse des integrierten Modells dar, wodurh eine harmonisierte Bewertung der entsheidungsrelevanten Aufwände in der Verkehrsnahfrage und der wohlfahrtstheoretishen Gesamtbewertung gewährleistet ist. Verkehrsnahfrage KR exakte Berehnung unelastishe RSB O V = V M 1 æ ö O M O M ( ) ( ) DKR = åq q q i i i åz t t j j j l ç è i j ø unelastishe RSB O V ¹ V M DKR æ æ M ö æ O M ö æ O M + + ö ö V V V Q Q + i i O M ln ( - ) ç å q q O ç i i ç è ø è 2 ø i è 2 1 V ø = æ ö l + Z Z + j j O M å ( t - t ) ç j j ç è j 2 è ø ø O M elastishe RSB O M V = V, æ æ O M ö æ O M ö ö 1 Q + Q Z + Z i i O M j j = ( - ) + O M DKR ( - ) å q q å t t i i ç j j l çè i è 2 ø j ç è 2 ø ø elastishe RSB O V ¹ V M DKR æ æ M ö æ O M ö æ O M + + ö ö V V V Q Q + i i O M ln ( - ) ç å q q O ç i i ç è ø è 2 ø i è 2 1 V ø = æ ö l + Z Z + j j O M å ( t - t ) ç j j ç è j 2 è ø ø O M Tabelle 5-1: Berehnungsansätze der Änderung der Konsumentenrente exakte Berehnung mittels der Logsum-Differenz

176 Modellentwiklung 163 Verkehrsnahfrage unelastishe RSB O O M M V = V, V ¹ V elastishe RSB V O M = V, O V ¹ V M KR Näherung ( ) ( ) 1 DKR = v + v ga -ga 2 l ijk ijk ijk ijk i j k ååå O M O M ( ) ( ) 1 DKR = v + v ga -ga 2 l ijk ijk ijk ijk i j k ååå O M O M Tabelle 5-2: Berehnungsansätze der Änderung der Konsumentenrente Näherung mittels der Halbierungsregel Auf die Darstellung der Ansätze untershiedliher quell- und zielseitiger Randsummenbedingungen wird in den Tabellen verzihtet. Für den Fall der Logsum-Differenz ergeben sih die Berehnungsansätze aus den entsprehende Kombinationen der Ansätze für elastishe und unelastishe Randsummenbedingungen. Für die Näherungslösung sind keine Anpassungen notwendig. Die Ansätze in den Tabellen liefern die veränderten Konsumentenrenten je Quelle-Ziel- Gruppe. Für die NKA ist jedoh deren aggregierter Wert notwendig. Dabei ist die Frage nah der Gewihtung der Quelle-Ziel-Gruppen zu klären, wie es bereits in Kapitel diskutiert wurde. Ohne eine Unterteilung nah Einkommensklassen ersheint eine zusätzlihe Gewihtung in der sozialen Wohlfahrtsfunktion niht notwendig. Zwar äußern sih in den Grenznutzen der Einkommen je Quelle-Ziel-Gruppe auh die untershiedlihen Einkommen der Bezugspersonengruppen Erwerbstätige besitzen ein höheres Einkommen als Shüler, allerdings ist es volkswirtshaftlih sinnvoll (und politish vertretbar), wenn Nutzenänderungen (z. B. durh eingesparte Reisezeit) von Erwerbstätigen höher gewihtet werden als von Shülern. Somit ergibt sih das Gesamtergebnis über alle Quelle-Ziel- Gruppen (mit = 1) durh: DKR = å D KR. (5.114) Eine zweite Gewihtungsproblematik entsteht aus interregionalen Vergleihen von zu bewertenden Verkehrsinvestitionen. Häufig konkurrieren Verkehrsmaßnahmen, die in untershiedlihen Regionen realisiert werden sollen, um die gleihen finanziellen Ressouren. Dabei sind untershiedlihe regionale Einkommensverteilungen zu beahten. Wenn die Änderung des internen Nutzens mittels des hier entwikelten Modells bestimmt wird, dann spiegelt sih die Einkommensverteilung in den untershiedlihen Grenznutzen des Einkommens wider. Grundsätzlih kann dieses Problem auf zwei Arten gelöst werden: - untershiedlihe Gewihtung in der sozialen Wohlfahrtsfunktion oder - Mittelung der Grenznutzen des Einkommens über alle Projekte.

177 Modellentwiklung 164 Der Ansatz der Mittelung verlangt die gleihzeitige Bewertung der Projekte wie beispielsweise im BVWP. Dann können aus den je Projekt intern berehneten Werten jeweils die Mittelwerte bestimmt werden. Durh diesen Ansatz ist ebenfalls eine harmonisierte Bewertung gewährleistet, da die für die Monetarisierung notwendigen Grenznutzen modellintern bestimmt werden Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente Die Ausweisung der Änderung der Konsumentenrente nah den Aufwandsgrößen oder verbleibendem und induziertem Verkehr ist nur mittels der approximativen Berehnungsansätze möglih. Für das entwikelte Modell wird das nahfolgend auf Grundlage der Halbierungsregel gezeigt. Ausgangspunkt sind die Generalisierten Aufwände, die für mehrere Reisekosten- und Reisezeitkomponenten definiert sind durh: æ b æ ö ö æ b æ ö ö bk dk k z = bijk + + dijk ga + åa ln 1 åa ln 1. (5.115) ijk bk dk çè ø çè ø b C ç bk d C ç dk è ø è ø Zur Vereinfahung gilt im Folgenden: æ b ö æ b ö bk dk æ ö æ ö k z bijk + = ( ) dijk ln + 1 h k und ln 1 = h ( z ). (5.116) çè ø bijk çè ø dijk C C ç bk ç dk è ø è ø Die veränderte Konsumentenrente infolge der Änderung der Reisekostenkomponente b ergibt sih zu: 1 ååå( O M O M ) ( ( ) ( )) l DKR = v + v a h k - h k 2 b ijk ijk bk bijk bijk i j k (5.117) sowie infolge der Änderung der Reisezeitkomponente d zu: 1 ååå( O M O M ) ( ( ) ( )) l DKR = v + v a h z - h z 2 d ijk ijk dk dijk dijk i j k. (5.118) Die Präferenzparameter, und C sind konstant, weshalb aus der Klammer herausgezogen werden kann. Die Zerlegung ermögliht die Ausweisung der Wirkung je Aufwandskomponente auf die Änderung der Konsumentenrente. Dabei ist jedoh zu beahten, dass niht die Differenz der originären Aufwandsgrößen gebildet wird, sondern von deren nihtlinearen Transformationen. Der Grenznutzen der einzelnen Reisekosten- und Reisezeitkomponenten ist abhängig vom situativen Aufwand und untersheidet sih zwishen Mit- und Ohnefall. An dieser Stelle wird der Untershied zu aufwandsunabhängigen Präferenzen deutlih, bei

178 Modellentwiklung 165 denen die originären Aufwandsdifferenzen mittels der konstanten MRS zwishen Einkommen und den einzelnen Aufwänden monetarisiert werden. Die MRS sind im obigen Ansatz implizit enthalten und abhängig vom Aufwand. Zur Verdeutlihung wird das am Beispiel der subjektiven Werte der Einsparungen der einzelnen Reisezeitkomponenten gezeigt, die sih formal durh: svtts dijk ( b -1 dk æ ö ) zdijk a b dk ç çèc dk ø - æ b æ ö ö dk ç çç zdijk C çç + çç 1 dk çç ç C ø dk çè ø =- l dk (5.119) ergeben. Deren Verläufe sind in Abbildung 5-7 beispielhaft dargestellt, wobei die Parameter l = 0,8, = 2 und C = 20 gelten. 0,7 svtts der Reisezeitkomponente [Euro/min] 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Reisezeitkomponente [min] Abbildung 5-7: Subjektiver Wert der Reisezeiteinsparung der Komponente Aus der Abbildung wird deutlih, dass im Nahbereih der svtts gering ist und nur langsam steigt. Im mittleren Aufwandsbereih nimmt der svtts den höhsten Wert an, während für hohe Aufwände der Wert wieder sinkt. Es wird dadurh abgebildet, dass die Verkehrsteilnehmer bei mittleren Aufwänden die höhste Zahlungsbereitshaft zur Verringerung der Reisezeit besitzen. Der Wert der Reisezeiteinsparung je Reisezeitkomponente ist ein Ergebnis der Modellkalibrierung und abhängig von den Präferenzparametern. Liegen für den betrahteten Untersuhungsraum aktuelle Zeitwertshätzungen vor, so können und sollten diese Ergebnisse zur Kalibrierung herangezogen werden.

179 Modellentwiklung 166 Neben der Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente nah den Aufwandskomponenten ist ebenfalls die Unterteilung nah verbleibendem und induziertem Verkehr möglih (mit min = { O M max v min v,v ijk ijk ijk } und = O M ijk { ijk ijk } ( ) v max v,v ): 1 O M min DKR = ååå ga -ga v ijk ijk ijk l i j k 1 + ååå l i j k O M max min ( ga ga ijk ijk ) ( v v ijk ijk ). (5.120) Der erste Term repräsentiert den Anteil des verbleibenden und der zweite Term den Anteil des induzierten Verkehrs, der, wie in Kapitel 3.4 definiert, sowohl den verlagerten als auh den Neuverkehr umfasst. Die Zerlegung der Änderung der Konsumentenrente stellt den letzten Shritt im Rahmen des Bewertungsmoduls dar. In Abbildung 5-1 wurde die Grundstruktur des integrierten Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodells abgebildet. In Abbildung 5-8 ist eine detailliertere Darstellung des Bewertungsmoduls zusammenfassend dargestellt, wobei ersihtlih wird, dass in die Berehnung ausshließlih Ergebniswerte der Verkehrsmodellierung einfließen, wodurh eine harmonisierte Bewertung gewährleistet ist. Weiterhin ist zu beahten, dass die Nutzenberehnung mit Hilfe der approximativen Berehnungsansätze nur optional erfolgt, wenn eine Nutzenzerlegung gewünsht ist. Das exakte Ergebnis ist stets zu berehnen und stellt das maßgebende Resultat dar.

180 Modellentwiklung 167 Daten einlesen Ohnefall, (alle i, j, ) Q, Z, V (alle i, j, ) h(a) (alle m, ijk, ) v (alle ijk, ) Mitfall, (alle i, j, ) Q, Z, V (alle i, j, ) h(a) (alle m, ijk, ) v (alle ijk, ) Legende: h(a) i j k m v Q V Z Quelle-Ziel-Gruppe transformierter Aufwand Quelle Ziel Verkehrsmittel Aufwandsgröße Verkehrsstrom Quellverkehrsaufkommen Gesamtverkehrsaufkommen Zielverkehrsaufkommen E( * Veränderung des Erwartungswertes des internen Nutzens KR Veränderung der Konsumentenrente Reisekostenkomponente Grenznutzen des Einkommens, Pseudo-Potentiale DM Dreiek-Methode GN Grenznutzen HR Halbierungsregel NI Numerishe Integration Datenübergabe aus Verkehrsmodellierung Berehnung: Änderung des internen Nutzens Zerlegung erwünsht? nein E( * HR (alle a, ) (approximatives Ergebnis) ja E( * Logsum (alle ) (exaktes Ergebnis) ja ZP erforderlih? nein Berehnung der Verkehrsnahfrage der ZP, Übergabe der Daten und Nutzenberehnung mittels NI (und DM bei neuen Alternativen) Keine weitere Berehnung nur a= nur a= Berehnung: Grenznutzen des Einkommens E(GN( )) (Ohnefall),(alle ) E(GN( )) (Mitfall),(alle ),(alle ) Berehnung: Änderung der Konsumentenrente Zerlegung erwünsht? nein Monetarisierung von E( * mittels : KR HR/NI/DM, (alle a, ) (approximatives Ergebnis) ja Monetarisierung von E( * mittels : KR Logsum, (alle ) (exaktes Ergebnis) Aggregation über alle Aggregation über alle Ausgabe von KR unterteilt nah den Aufwandskomponenten a oder verbleibendem und induziertem Verkehr Ausgabe von KR als Gesamtaggregat Abbildung 5-8: Shematishe Darstellung des Bewertungsmoduls

181 Modellentwiklung Berüksihtigung tageszeitabhängiger Aufwands- und Verkehrsnahfrageänderungen Die Änderung der Konsumentenrente ist abhängig von der Größenordnung der Aufwandsund der Verkehrsnahfrageänderung. Die Aufwände resultieren dabei aus der Wehselwirkung des Verkehrsangebots und der Verkehrsnahfrage. Da die Nahfrage nah Verkehr infolge der Ausübung einer Aktivität an einem anderen Ort entsteht und die Aktivitäten (Arbeiten, Einkaufen et.) von untershiedliher Dauer und zu untershiedlihen Zeiten durhgeführt werden, variiert die Verkehrsnahfrage in Abhängigkeit der Tageszeit. 72 Durh diese Shwankungen ändern sih wiederum die kapazitätsabhängigen Aufwände des MIV. Die Aufwände im ÖPV ergeben sih durh das ÖPV-Angebot (Linien, Takt et.), welhes aufgrund wirtshaftliher Aspekte der ÖPV-Unternehmen in nahfrageshwäheren Tageszeiten reduziert wird. Die Aufwände im Rad- und Fußverkehr sind hingegen i. d. R. tageszeitunabhängig. Für strategishe Planungen sind i. Allg. tagesfeine (Umfang beträgt 24 Stunden) Verkehrsnahfrageberehnungen ausreihend. Im Rahmen einer wohlfahrtstheoretishen Gesamtbewertung in Form der NKA ist hingegen die Änderung der Konsumentenrente möglihst genau zu bestimmen, weshalb die tageszeitabhängigen Aufwands- und Nahfrageshwankungen berüksihtigt werden müssen. Wegen der im hier konzipierten Modell angestrebten harmonisierten Bewertung ist folglih sowohl die Verkehrsnahfrage als auh die Änderung der Konsumentenrente unter Beahtung des tageszeitlihen Aspekts zu berehnen. Tageszeitabhängige Aufwands- und Verkehrsnahfrageänderungen sind durh eine zeitsheibenfeine Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung abbildbar. Für das EVA-Modell stellte SCHILLER in [123] erstmalig die zeitsheibenfeine Modellierung ausführlih dar. Die grundsätzlihe Methodik der Verkehrsnahfrageberehnung wird dabei niht verändert und die zeitsheibenfeine Modellierung kann auh mittels des EVA- Logit-Modells durhgeführt werden. Eine Zeitsheibe sollte wenigstens eine Stunde umfassen (vgl. SCHILLER [123] S. 81). Die grundsätzlihe Problematik besteht in der Bestimmung der notwendigen Daten, da gegenüber der tagesfeinen Modellierung ein höherer Datenbedarf besteht. Auf Basis der zeitsheibenfeinen Verkehrsnahfragemodellierung kann im integrierten Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodell die Änderung der Konsumentenrente je Zeitsheibe abgeleitet werden. Nahfolgend werden die entsheidenden 72 Darüber hinaus ist aufgrund untershiedliher Aktivitätenmuster zwishen Werktagen und Wohenenden zu untersheiden. Eine dritte Ebene stellen signifikante Aufwands- und Verkehrsnahfrageänderungen über die Jahre des gesamten Bewertungszeitraums dar. Die Auswirkungen sind durh zusätzlihe Modellrehnungen für die entsprehenden Tage und Jahre zu quantifizieren.

182 Modellentwiklung 169 Punkte kurz erläutert. Für eine ausführlihe Darstellung der zeitsheibenspezifishen Verkehrsnahfragemodellierung sei auf die erwähnte Arbeit von SCHILLER verwiesen. Ermittlung der Aufwände Zeitsheibenfeine Aufwände und deren Bewertungen können bei der Verkehrsnahfragemodellierung zu erheblihen Asymmetrien in den aggregierten tagesfeinen Verkehrsstrommatrizen je Quelle-Ziel-Gruppe führen, die niht mittels des Randsummenausgleihs korrigiert werden können (vgl. DUGGE [42] S. 160). Allerdings stellt SCHILLER fest, dass die Verkehrsteilnehmer die Aufwände von QZG-Paaren (z. B. W-A/A-W) niht getrennt voneinander bewerten, sondern beide Fahrten bzgl. der Ziel- und Verkehrsmittelwahl im Zusammenhang beurteilen und danah ihre Entsheidung treffen (vgl. SCHILLER [123] S. 76). Es sind somit die Aufwandsmittelwerte der Hin- und Rükfahrten zu bestimmen, die für die einzelnen Aufwände a m lauten: a mijk a = + a mijkt mijkt 2. (5.121) t Index für Zeitsheibe der Hinfahrt t Index für Zeitsheibe der Rükfahrt Die gemittelten Aufwände gehen shließlih in die EVA-Nutzenfunktionen der Zeitsheiben t und t ein. Voraussetzung für die Bildung der Mittelwerte ist jedoh die Kenntnis des Rükfahrtzeitpunktes, die aus der Verteilung der Aktivitätendauer in Abhängigkeit vom Ankunftszeitpunkt gewonnen werden kann. 73 Verkehrserzeugung Eine weitere zu beahtende Problematik besteht in der Bestimmung der Quell- und Zielverkehrsaufkommen je Zeitsheibe, wofür die entsprehenden tagesfeinen Größen vorausgesetzt werden. Mit Hilfe QZG-spezifisher, empirish erhobener Tagesganglinien können die Tageswerte auf die Zeitsheiben aufgeteilt werden. Dabei ist zunähst für jede Quelle- Ziel-Gruppe festzulegen, ob die Verkehrsteilnehmer ihre Ortsveränderungen zeitlih abfahrts- oder ankunftsorientiert planen. Zum Beispiel sind Fahrten der Quelle-Ziel- Gruppe W-A ankunftsorientiert, da der Arbeitsbeginn entsheidend ist und niht das Verlassen der Wohnung. Je nah Quelle-Ziel-Gruppe sind folglih abfahrts- oder ankunftsorientierte Tagesganglinien zu erheben. 74 Für abfahrtsorientierte Tagesganglinien ergeben sih die zeitsheibenfeinen Quellverkehrsaufkommen mit Hilfe der relativen Häufigkeit der Zeitsheibe t am Gesamtverkehr des Tages je Quelle-Ziel-Gruppe it zu: Q = Q h. (5.122) it i it 73 Die Verteilung kann aus vershiedenen Erhebungen, wie z. B. SrV, gewonnen werden. Das Verfahren zur Bestimmung des Rükfahrtzeitpunktes wird in SCHILLER [123] beshrieben. 74 Wenn keine ankunftsorientierten Tagesganglinien vorliegen, so können diese aus abfahrtsorientierten Tagesganglinien bestimmt werden. Ausführungen hierzu finden sih z. B. in LOHSE [89].

183 Modellentwiklung 170 Das Zielverkehrsaufkommen je Zeitsheibe ergibt sih dann durh die zeitsheibenfeinen Verkehrsströme: å Z = v h. (5.123) jt ij it i Die Berehnung der Verkehrsaufkommen unter Verwendung ankunftsorientierter Tagesganglinien erfolgt analog, ausgehend von der Berehnung der Zielverkehrsaufkommen. 75 Wie bei der tagesfeinen Berehnung können auh bei der Betrahtung von Zeitsheiben Asymmetrien bei den Quell- und Zielverkehrsaufkommen je Verkehrsbezirk über einen gesamten Tag auftreten. Dann gilt über alle Quelle-Ziel-Gruppen und Zeitsheiben (mit i = j): åå åå Q ¹ Z. (5.124) it t t it Zur Korrektur ist ein Randsummenausgleih durhzuführen, wofür alle Zeitsheiben zu aggregieren sind, da beim Ausgleih die Quell- und Zielverkehrsaufkommen der Quelle- Ziel-Gruppen Typ 3 eines gesamten Tages geändert werden (Die Berehnung erfolgt analog zu den Darstellungen in Kapitel und Anhang A). Darüber hinaus wird vorausgesetzt, dass sih alle Personen zum Zeitpunkt der Verkehrsruhe (beispielsweise drei Uhr) an ihrem Heimatstandort befinden (vgl. SCHILLER [123] S. 86). Die Tagesverkehrsaufkommen der Quelle-Ziel-Gruppen des Typs 3 werden anshließend mittels der entsprehenden Tagesganglinien auf die einzelnen Zeitsheiben aufgeteilt. Zeitsheibenfeine Änderung der Konsumentenrente Unter der Voraussetzung der zeitsheibenfeinen Verkehrsnahfrageberehnung ist die entsprehende Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente je Zeitsheibe durhführbar. Zu beahten ist dabei lediglih die Erweiterung der Berehnung um die Dimension der Zeitsheibe. Die exakte Berehnung auf Basis der korrigierten Logsum-Differenz liefert je Zeitsheibe und Quelle-Ziel-Gruppe für den allgemeinen Lösungsansatz: DKR æ æ M ö æ O M ö æ O M + + ö ö V V V Q Q t t t + it it O M ln ( - ) å q q O it it ç ç ç è ø è 2 ø i è 2 1 Vt ø = æ ö. (5.125) l Z + Z jt jt + O M å ( t - t ) jt jt ç ç è j 2 è ø ø t O M 75 Unter bestimmten Umständen (z. B. bei einer dynamishen Umlegung) ist es notwendig, ankunftsorientierte in abfahrtsorientierte Tagesganglinien zu transformieren. Ein entsprehender Ansatz ist z. B. in DUGGE [42] beshrieben.

184 Modellentwiklung 171 Für die Halbierungsregel ergibt sih: ( ) ( ) 1 DKR = v + v ga -ga 2 l t ijkt ijkt ijkt ijkt i j k ååå O M O M. (5.126) Der Grenznutzen des Einkommens wird analog den Ausführungen in Kapitel 5.4 bestimmt, wobei zusätzlih die Dimension der Zeitsheibe zu berüksihtigen ist. 5.7 Berüksihtigung projektinduzierter Raumstrukturänderungen In den bisherigen Überlegungen wurden langfristige Auswirkungen der Verkehrsmaßnahme auf die Raumordnung niht explizit betrahtet, da diesbezüglih Siedlungsstrukturänderungen kaum eindeutig bestimmbar sind und daher in der Praxis niht berüksihtigt werden können. Allerdings wird diesen Änderungen zunehmend größere Beahtung geshenkt, da es erste modelltheoretishe Ansätze zur Quantifizierung solher Effekte durh integrierte Flähennutzungs- und Verkehrsmodelle gibt (für einen theoretishen Überblik siehe z. B. MARTÍNEZ in [68] und WEGENER/FÜRST [154]). Inwiefern diese Ansätze tatsählih in der Lage sind, für einzelne Verkehrsmaßnahmen realistish Änderungen der Siedlungsstrukturen zu bestimmen, wird in der Fahwelt z. T. sehr kritish betrahtet (siehe z. B. SCHILLER [124] S. 35 ff.) und kann an dieser Stelle niht geklärt werden. Unter der Voraussetzung, dass durh zukünftige Weiterentwiklungen projektinduzierte Änderungen der Flähennutzungs- und Siedlungsstrukturen eindeutig bestimmt werden können, soll dargelegt werden, ob das entwikelte integrierte Verkehrsnahfrageund Bewertungsmodell in der Lage ist, sih daraus ergebende interne Nutzenänderungen zu quantifizieren. Im EVA-Logit-Modell werden geänderte Siedlungsstrukturen durh veränderte Raumstrukturdaten und Quell- und/oder Zielpotentiale beahtet. Zum einen fließen die neuen Raumstrukturdaten in die Verkehrserzeugung ein, woraus veränderte Verkehrsaufkommen resultieren. Zum anderen bewirken Änderungen der Quell- und Zielpotentiale eine angepasste Quell- und Zielwahl bei elastishen Randsummenbedingungen. Bei unelastishen Randsummenbedingungen verursahen Raumstrukturänderungen in der Verkehrsnahfrageberehnung ausshließlih veränderte Verkehrsaufkommen der Verkehrsbezirke. Das hat den gleihen Effekt wie projektinduzierte veränderte Produktionsraten, wie für die Nutzenberehnung mittels der korrigierten Logsum-Differenz in Kapitel diskutiert wurde. Folglih sind die entsprehenden abgeleiteten Ansätze auh für veränderte Raumstrukturdaten anwendbar.

185 Modellentwiklung 172 Quell- und Zielpotentiale werden bei unelastishen Randsummenbedingungen i. d. R. niht beahtet. Allerdings ist die Berüksihtigung grundsätzlih möglih und im Rahmen einer Projektbewertung mit zu erwartenden projektinduzierten Raum- und Siedlungsstrukturänderungen sinnvoll. Zwar haben die Potentiale keinen Einfluss auf die resultierenden Verkehrsaufkommen, eine Änderung der Potentiale im Mitfall wirkt sih jedoh auf die Änderung der Pseudo-Potentiale und damit auf den quantifizierbaren Nutzen aus. Die Nutzenberehnung bei Berüksihtigung von Änderungen der Quell- und Zielpotentiale erfordert eine etwas genauere Betrahtung, welhe sowohl für den Fall elastisher als auh unelastisher Randsummenbedingungen mit veränderten Potentialen Gültigkeit besitzt. Zur Beahtung der Potentialänderungen gilt dh ( Q P ) ¹ 0 und/oder ( P ) ¹ i dh Z 0. Ausgangspunkt der Betrahtungen stellt Gleihung (5.89) für den Fall sih ändernder quell- und zielseitig elastisher Randsummenbedingungen dar: und mit F F F ijk ijk P ijk df =- dga + dh( Q ) + dh Z ga hq hz P ( ) F F F ijk ijk ijk + dq + dt + dy q t y P ( ) P ( ) ijk ijk i j ijk i j i j k i j k j F F F F F F ijk ijk ijk ijk ijk ijk = = = = = = 1 ga hq hz q t y P P ( i ) ( j ) ijk i j k (5.127) folgt P P ( ) ( ) df =- dga + dh Q + dh Z + dq + dt + dy. (5.128) ijk ijk i j i j k Der allgemeine Ansatz ist dann gegeben durh: ** P P ( ) = ååå (- + ( ) + ( ) n ijk ijk i j i j k) ò DE F P dga dh Q dh Z dq dt dy.(5.129) PF i j k Unter Berüksihtigung der Zusammenhänge zur Zerlegung des Integrals in Kapitel ergibt sih:

186 Modellentwiklung 173 A A ** P ( F ) =- ååå + n ijk ijk ååå ijk ( i ) ò ò ååå P ( ) + P dh Z + P dq ò M ga O gaa PM ZA PO ZA M ta ååå + P dt + P dy O ta ò PM Q DE P dga P dh Q i j k PO i j k QA M qa ò ò ååå ijk j ijk i i j k O i j k qa M ya ååå ijk j ijk k i j k O i j k ya. (5.130) Gesuht sind die realen Nutzenänderungen infolge der Projektrealisierung, die neben den Aufwandsänderungen ebenfalls infolge der Potentialänderungen erzielt werden. Somit gilt: A A * P ( F ) =- ååå + n ijk ijk ååå ijk ( i ) + M ga ò ò O gaa PM ZA PO ZA ååå P ( j ) PM Q DE P dga P dh Q i j k PO i j k QA i j k P ijk dh Z ò. (5.131) Demzufolge sind auh hier lediglih die Auswirkungen der Pseudo-Potentiale in (5.130) zu extrahieren und es resultiert wiederum mit y O M = y der allgemeine Ansatz (5.68): * ** ( ) ( ) ò å DE F = DE F - P dq - P dt, ò k å n n i i j j PF i PF j der die Grundlage aller Berehnungsansätze in Kapitel 5.3 darstellt. Die (zusätzlihe) Nutzenänderung durh veränderte Potentiale ist in DE ( F ** n ) enthalten. Zur Einhaltung der Randsummenbedingungen im Mitfall werden jedoh infolge der veränderten Aufwände und veränderten Potentiale die Pseudo-Potentiale angepasst. Somit wird auh der durh die Quell- und Zielpotentialänderungen resultierende Nutzen unmittelbar durh die abgeleiteten Ansätze quantifiziert. Für die approximativen Berehnungsansätze sei die Problematik am Beispiel der Halbierungsregel gezeigt. Der Ausgangspunkt ist wieder (5.68), wobei DE ( F ** n ) durh (5.105) definiert ist. Die Pseudo-Potentiale können mit Hilfe von (5.103) eliminiert werden und es resultiert: * 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - n ijk ijk ijk ijk ) DE P P ga ga 2 i j k 1 æ M Oö O M + ( + ) P P å P P hq ( ) -hq ( ) i i ç i i 2 çè i ø 1 æ M Oö O M + å( + ) P P P P h( Z ) -h( Z ) j j ç j j 2 çè ø j k. (5.132)

187 Modellentwiklung 174 Durh Multiplikation mit dem Gesamtverkehrsaufkommen kann die Nutzenänderung aller Verkehrsteilnehmer der Quelle-Ziel-Gruppe bestimmt werden: * 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - ijk ijk ijk ijk ) DE v v ga ga 2 i j k 1 æ M Oö O M + ( + ) P P å Q Q hq ( ) -hq ( ) i i ç i i 2 çè i ø. (5.133) 1 æ M Oö O M + å( + ) P P Z Z h( Z ) -h( Z ) j j ç j j 2 çè ø j Da die Potentiale quell- und zielspezifishe Größen sind, ergibt sih die entsprehende Nutzenänderung in Abhängigkeit der Änderung der Quell- und Zielverkehrsaufkommen. Allerdings kann der Ansatz auh auf Basis der Verkehrsströme formuliert werden: * 1 O M O M ( F ) = ååå( + ) ( - ijk ijk ijk ijk ) DE v v ga ga 2 i j k 1 æ M Oö O M + ( + ) P P ååå v v h( Q ) -h( Q ) ç. (5.134) ijk ijk i i 2 çè i j k ø 1 æ M Oö O M + ååå( + ) P P v v ( ) - ( ) h Z h Z ijk ijk ç j j 2 çè ø i j k Die Monetarisierung der Nutzenänderungen erfolgt analog der Ausführungen in Kapitel 5.5. Es ist festzuhalten, dass das entwikelte integrierte Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodell auh Nutzenänderungen infolge langfristiger Struktureffekte quantifizieren kann. Voraussetzung ist jedoh, dass die entsprehenden Daten vorliegen. Dabei ist zu beahten, dass gerade für die Beahtung langfristiger Wirkungen Verkehrsnahfrage- und Nutzenberehnungen für mehrere Jahre durhzuführen sind, wobei es notwendig ist, die Siedlungsstrukturänderungen im Untersuhungsgebiet infolge der Maßnahme über den gesamten Bewertungszeitraum von den Wirkungen anderer Maßnahmen zu untersheiden. 5.8 Einordnung in die ökonomishe Gesamtbewertung Die folgenden Darstellungen sollen der Einordung des integrierten Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodells in eine gesamtheitlihe Projektbewertung dienen und zusätzlihe Hinweise für eine konsistente Gesamtbewertung geben. Das in dieser Arbeit entwikelte Modell umfasst, neben der Verkehrsnahfragemodellierung, die Ermittlung der Änderung des monetären internen Nutzens. Die ökonomishe Gesamtbewertung einer Verkehrsmaßnahme bedarf jedoh, wie bereits zu Beginn des Kapitels 4 aufgezeigt wurde, stets der Berüksihtigung aller monetarisierbaren Projektwirkungen. Die notwendigen

188 Modellentwiklung 175 verkehrsplanerishen und ökonomishen Komponenten einer Gesamtbewertung einshließlih des hier entwikelten Modells sind in Abbildung 5-9 dargestellt. Verkehrsnahfrage Integriertes Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodell für den privaten Personenverkehr Berehnung der Verkehrsnahfrage des Ohne- und Mitfalls je Zeitabshnitt Verkehrsangebotsmodell Verkehrsnahfragemodell für den Wirtshaftsverkehr Berehnung der Verkehrsnahfrage des Ohne- und Mitfalls je Zeitabshnitt Ermittlung der monetären Projektwirkungen für die Verkehrsteilnehmer je Zeitabshnitt Ermittlung der originären Projektwirkungen für den Wirtshaftsverkehr je Zeitabshnitt Berehnung weiterer originärer Projektwirkungen je Zeitabshnitt Nutzen- und Kostenberehnung z. B. Verkehrssiherheit, Lärmbelastung, Shadstoffbelastung, Klimawirkung, regionalwirtshaftlihe Effekte u. a., auh niht wahrgenommene Kosteneinsparungen beim MIV Monetarisierung mit geeigneten Wertansätzen Ermittlung des/der Nutzen-Kosten-Verhältnisses/Differenz durh die Gegenüberstellung der ermittelten monetären Projektwirkungen (Nutzen) und der Kosten Investitions- und Unterhaltungskosten Datenübergabe Projektwirkungen Datenübergabe Verkehrsnahfrage Abbildung 5-9: Verkehrsplanerishe und ökonomishe Komponenten in einer ökonomishen Gesamtbewertung In den bisher angewandten (standardisierten) Bewertungsverfahren erfolgt die Berehnung der Verkehrsnahfrage und der Änderung des monetären internen Nutzens unabhängig voneinander, wodurh keine theoriekonsistente harmonisierte Bewertung gewährleistet ist. Aus der Abbildung wird deutlih, dass das entwikelte Modell diese klare Trennung der verkehrsplanerishen Verkehrsnahfrageberehnung und der Nutzenberehnung für den Personenverkehr überwindet. Neben der Verkehrsnahfrage des privaten Personenverkehrs stellt aber auh die Verkehrsnahfrage des Wirtshaftsverkehrs eine wihtige Grundlage der ökonomishen Gesamtbewertung dar. Für den Wirtshaftsverkehr hat die Trennung zwishen Verkehrsnahfrageberehnung und Nutzenberehnung nah wie vor Bestand. Die Entwiklung eines entsprehenden integrierten Modells analog dem privaten Personenverkehr sollte eine zukünftige Forshungsaufgabe sein, um auh in diesem Bereih eine Weiterentwiklung der ökonomishen Gesamtbewertung zu erzielen. Alle zu beahtenden Projektwirkungen sind abhängig von der Änderung der Verkehrsnahfrage. Deren hohwertiger Modellierung kommt somit eine überaus hohe Bedeutung zu. Dabei ist grundsätzlih zu beahten, dass bei der Verkehrsnahfragemodellierung ein

189 Modellentwiklung 176 stohastishes Nutzergleihgewiht (sowohl für den privaten Personen- als auh den Wirtshaftsverkehr) zwishen Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage erzielt wird. Hierfür sind innere und äußere Rükkopplungen, wie sie in Kapitel 3.3 diskutierten wurden, notwendig. Die Verkehrsnahfrageberehnung und die ökonomishe Gesamtbewertung sollten multimodal sein und alle relevanten Verkehrsmittel umfassen. Dafür ist aber auh die qualitativ hohwertige Modellierung des nihtmotorisierten Individualverkehrs notwendig. Ein weiterer wihtiger Aspekt ist die Beahtung vershiedener Zeitabshnitte, deren Verkehrsnahfrage sih signifikant untersheidet. In den derzeitigen Bewertungsverfahren in Deutshland erfolgt die Bestimmung der Verkehrsnahfrage je Zeitabshnitt auf Basis des modellierten Gesamttagesverkehrs mittels Hohrehnungsfaktoren. Zukünftig sollten und müssen zur Bestimmung der Pseudo-Potentiale die einzelnen Zeitabshnitte modelliert werden. Zwar steigt dadurh der Berehnungsaufwand, jedoh genügt es, einen (repräsentativen) Zeitabshnitt zu kalibrieren, da davon auszugehen ist, dass die Bewertungsparameter über die Zeitabshnitte konstant sind. Neben den monetären Projektwirkungen der Verkehrsteilnehmer, sind alle weiteren monetarisierbaren Wirkungen zu erfassen. Dazu zählen auh die niht wahrgenommenen Kosteneinsparungen der Verkehrsteilnehmer (vgl. Kapitel ). Die berehneten weiteren originären Projektwirkungen werden anshließend sofern niht bereits monetär vorliegend mittels geeigneter Wertansätze monetarisiert. Die Wertansätze sollten für eine harmonishe Gesamtbewertung idealerweise auf einer einheitlihen methodishen Grundlage beruhen. Die Monetarisierung der Änderung des internen Nutzens erfolgt auf Basis der in der Verkehrsnahfrageberehnung modellierten Bewertungspräferenzen der Verkehrsteilnehmer und entspriht methodish dem Zahlungsbereitshaftsansatz. Ob dieser Ansatz für alle Projektwirkungen herangezogen werden kann und sollte, stellt eine eigenständige Thematik dar und ist hier niht abshließend beantwortbar. Allerdings sollte im Hinblik auf eine methodishe Stringenz bei der konkreten Ausgestaltung angewandter ökonomisher Gesamtbewertungsverfahren diese Fragestellung beahtet werden. Zur abshließenden Bestimmung des Nutzen-Kosten-Verhältnisses bzw. der Nutzen- Kosten-Differenz ist keine weitere Gewihtung der vershiedenen monetären Projektwirkungen notwendig, da alle die gleihe monetäre Skala aufweisen. Die Projektwirkungen können somit den Kosten gegenübergestellt werden. Auf die konkrete Ausgestaltung des Verfahrens, wie die Beahtung von Transfers, die Bestimmung der Diskontierungsrate, die Durhführung von Sensitivitätsanalysen et. soll an dieser Stelle verzihtet werden, da das Aufgabe interdisziplinärer Gremien und Arbeitskreise ist. Gleihes gilt für verkehrsträgerspezifishe Projektwirkungen, die je nah zu bewertender Maßnahme (Straßen-, Shienen-, Radverkehrsanlage et.) zu beahten sind.

190 Beispielanwendung Beispielanwendung 6.1 Vorbemerkungen Das im vorangegangenen Kapitel entwikelte integrierte Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodell soll an einem praktishen Beispiel angewandt werden. Den Bewertungsgegenstand stellt dabei der (hypothetishe) Neubau einer Straße zur Shließung der Osttangente der Stadt Zwikau dar. Zwikau ist die viertgrößte Stadt in Sahsen und hat eine Einwohnerzahl von Einwohnern auf einer Flähe von 102,54 km² (Stand ) (vgl. SLFS [134]). Die Stadt besitzt als Oberzentrum eine bedeutende Funktion für die Region und ist Teil der mitteldeutshen Metropolregion Sahsendreiek. 1. Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodellierung mit den Programmsystemen VISUM und VISEVA 2. Bestimmung der Pseudo-Potentiale mit den Programmsystemen VISEVA und MS Exel 3. Bewertungsberehnungen mit dem Programmsystem MS Exel Abbildung 6-1: Berehnungsstufen Die notwendigen Berehnungen erfolgen in drei Stufen (vgl. Abbildung 6-1). Zunähst wird in der ersten Stufe die Verkehrsnahfrageberehnung für den Ohne- und Mitfall durhgeführt. Hierfür werden die Programmsysteme VISUM [121] und VISEVA [119] der PTV AG genutzt. In VISUM erfolgt die Angebotsmodellierung und Routenwahl und in VISEVA die Verkehrserzeugung, Ziel- und Verkehrsmittelwahl. Das in VISEVA verwendete Verkehrsnahfragemodell ist das EVA-Modell (siehe Kapitel 3.2). Es wurde im vorangegangenen Kapitel gezeigt, dass daraus durh Umformungen das EVA-Logit-Modell aufgestellt werden kann. Deshalb können die Ergebnisse von VISEVA für die weiteren Nutzenberehnungen herangezogen werden. Allerdings sind niht alle benötigten und in VISEVA enthaltenen Daten in der notwendigen Form derzeit auslesbar, weshalb als

191 Beispielanwendung 178 zweite Berehnungsstufe Umrehnungen in VISEVA und MS Exel notwendig sind (siehe Kapitel 6.3). Im Anshluss an die Verkehrsnahfrageberehnung und die Bestimmung aller notwendigen Daten werden darauf aufbauend in Stufe 3 (Kapitel 6.4) die Berehnungen des Bewertungsmoduls in MS Exel durhgeführt. Entsprehend dem integrierten Modellansatz erfolgen dabei zunähst die Berehnung der Änderung des internen Nutzens, daran anshließend die Ermittlung des Grenznutzens des Einkommens und shließlih die Bestimmung der Änderung der Konsumentenrente. Die Nutzenberehnung erfolgt zum einen auf Basis der korrigierten Logsum-Differenz (exaktes Ergebnis), zum anderen mittels der Halbierungsregel (Näherungslösung). Mit Hilfe der Näherungslösung erfolgt die Zerlegung des (genäherten) Gesamtergebnisses. Aus Vergleihszweken wird abshließend zusätzlih die Berehnung der Ressourenersparnis mittels des Ersparnisansatzes durhgeführt. Der große Arbeitsaufwand, der sih aus den Berehnungen der Stufen zwei und drei ergibt, begründet die Wahl der niht zu großen Stadt Zwikau, für die darüber hinaus ein kalibriertes Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodell existiert. Es soll an dieser Stelle betont werden, dass die folgenden Berehnungen im Wesentlihen der Verdeutlihung des integrierten Verkehrsnahfrage- und Bewertungsmodells dienen und niht der untersuhten Maßnahme. Dafür wäre eine vollständige NKA notwendig, die sämtlihe Projektwirkungen und einen Bewertungszeitraum von mehreren Jahren umfasst. Die in Kapitel 6.3 durhzuführenden Umrehnungen sind kein integraler Bestandteil des entwikelten Modells, sondern stellen eine zusätzlihe Notwendigkeit dar, da die benötigten Pseudo-Potentiale aus der existierenden VISEVA-Version niht direkt ausgelesen werden können. Durh eine entsprehende, noh zu programmierende Shnittstelle für eine Datenausgabe der Pseudo-Potentiale wären diese Umrehnungen zukünftig niht notwendig. 6.2 Verkehrsmodellierung Das Verkehrsangebotsmodell 76 der Stadt Zwikau in VISUM besteht im Wesentlihen aus 56 Verkehrsbezirken, 1134 Streken mit a. 568 km Länge, 450 Knoten, 207 Haltepunkten des ÖPV und 78 ÖPV-Linien. Das Verkehrsnahfragemodell in VISEVA umfasst die vier Verkehrsmittel Fuß, Rad, ÖPV und MIV. Weiterhin erfolgt die Berehnung für 13 Quelle- Ziel-Gruppen (vgl. Tabelle 6-2). Als Bewertungsfunktion wird die EVA2-Funktion verwendet. Bewertungsrelevante Aufwandsgrößen sind für alle Verkehrsmittel die Reisezeit(komponenten) sowie für den ÖPV und den MIV zusätzlih die Reisekosten (vgl. Tabelle 6-1). Die Fahrpreise des ÖPV ergeben sih aus einem einfahen 76 Das Verkehrsangebots- und Verkehrsnahfragemodell wurde von POPP [118] übernommen und in wenigen Punkten angepasst.

192 Beispielanwendung 179 entfernungsabhängigen Tarifmodell. Für den MIV werden die Treibstoffkosten herangezogen, wobei ein durhshnittliher Verbrauh von 8 Litern je 100 Kilometer und ein Preis von 1,50 Euro je Liter angenommen wird. Fuß Rad ÖPV MIV Zugangszeit Zeitaufwand Reisezeit (t 0 ) Reisezeit (t 0 ) Beförderungszeit (einshl. Warte- und Umsteigegehzeiten) Reisezeit (TM) Abgangszeit Kosten - - Fahrpreis (1,30 Euro, 2,00 Euro, 3,50 Euro) reiseweitenabhängige Reisekosten (0,12 Euro/km) Tabelle 6-1: Bewertungsrelevante Aufwände im Beispiel Entsprehend dem verwendeten EVA-Modell wird die Ziel- und Verkehrsmittelwahl simultan durhgeführt. Berehnungszeitraum ist ein gesamter Werktag (keine Beahtung von Zeitsheiben). Die im Ohne- und Mitfall ermittelten Fahrtenmatrizen werden in VISUM für den Fuß- und Radverkehr mittels eines sukzessiven Bestwegverfahrens mit 100 % in der ersten Shiht, für den ÖPV fahrplanfein und für den MIV mittels der stohastishen Umlegung durhgeführt. Als Aufteilungsregel der stohastishen Routenwahl kommt dabei das in VISUM integrierte Aufteilungsmodell LOHSE (modifizierte KIRCHHOFFshe Aufteilungsregel) zur Anwendung. Die Ergebnisse im Ohneund Mitfall stellen jeweils (nah der Durhführung notwendiger Rükkopplungen) ein stohastishes Nutzergleihgewiht zwishen Verkehrsangebot und Verkehrsnahfrage dar. QZG-Nr. QZG-Bezeihnung Randsummenbedingungen Quelle Ziel 1 Wohnen-Arbeiten unelastish unelastish 2 Wohnen-Kindereinrihtung unelastish unelastish 3 Wohnen-Bildung unelastish unelastish 4 Wohnen-Einkaufen unelastish elastish 5 Wohnen-Sonstiges unelastish elastish 6 Arbeiten-Wohnen unelastish unelastish 7 Kindereinrihtung-Wohnen unelastish unelastish 8 Bildung-Wohnen unelastish unelastish 9 Einkaufen-Wohnen elastish unelastish 10 Sonstiges-Wohnen elastish unelastish 11 Arbeiten-Sonstiges unelastish elastish 12 Sonstiges-Arbeiten elastish unelastish 13 Sonstiges-Sonstiges elastish elastish Tabelle 6-2: Quelle-Ziel-Gruppen im Beispiel

193 Beispielanwendung 180 Abbildung 6-2: Verkehrsangebotsmodell der Stadt Zwikau (geplante Maßnahme ist fett dargestellt) In Abbildung 6-2 ist das Verkehrsangebotsmodell einshließlih der zu bewertenden Maßnahme dargestellt. Die Maßnahme dient als Lükenshluss der östlihen Umfahrung der Stadt Zwikau, wobei es sih um eine außerörtlihe Kreisstraße handelt. Das Modellierungsergebnis des MIV im Ohnefall ist in Abbildung 6-3 veranshauliht. Es ist erkennbar, dass die höhsten Verkehrsstärken (mit abshnittsweise bis zu Pkw/24h) auf der Nord-Süd-Relation erzielt werden.

194 Beispielanwendung 181 Abbildung 6-3: Umlegungsergebnis des MIV im Ohnefall (Angaben unter 200 Fahrzeugen sind ausgeblendet) Der Mitfall untersheidet sih angebotsseitig zum Ohnefall ausshließlih durh die zu bewertende Maßnahme, wodurh eine Verbesserung des Verkehrsangebots für den MIV erzielt wird. Da keine Veränderung des ÖPV-Liniennetzes erfolgt, bleibt das Verkehrsangebot des ÖPV unberührt. Durh die Maßnahme ist das relevante Verkehrsangebot der Verkehrsmittel Fuß und Rad ebenfalls faktish niht betroffen. Neben der Aufwandsreduzierung wird unterstellt, dass sih die spezifishen Verkehrsaufkommen der Quelle-Ziel-Gruppen Wohnen-Sonstiges (QZG 5) und Sonstiges-Wohnen (QZG 10) infolge der Maßnahme um jeweils 0,002 Ortsveränderungen pro Bezugsperson und Tag erhöhen. Durh das Verkehrsprojekt wird somit Neuverkehr induziert. Diese (in ihrer Höhe willkürlihe) Annahme dient ausshließlih der späteren Darstellung der vershiedenen Berehnungsansätze des Bewertungsmoduls und ist keineswegs als realistishe (und empirish gestützte) Konsequenz des Projektes aufzufassen. Das Umlegungsergebnis des MIV im Mitfall ist in Abbildung 6-4 dargestellt.

195 Beispielanwendung 182 Abbildung 6-4: Umlegungsergebnis des MIV im Mitfall (Angaben unter 200 Fahrzeugen sind ausgeblendet) Die Gegenüberstellung der Umlegungsergebnisse des MIV in Form eines Differenznetzes ist in Abbildung 6-5 abgebildet. Darin ist erkennbar, dass die größte Zunahme erwartungsgemäß auf der neuen Straße realisiert wird. Außerdem werden die sih nördlih und südlih anshließenden Streken höher belastet. Trotz der erkennbaren einzelnen Abnahmen der Verkehrsstärken im Mitfall-Netz resultieren insgesamt höhere MIV-Verkehrsstärken, die durh den induzierten Neuverkehr und Modal-Split-Änderungen zugunsten des MIV zu erklären sind (siehe Anhang E). Neben diesen direkt nahvollziehbaren Differenzen zwishen Mit- und Ohnefall treten an einzelnen Strekenabshnitten auh (kleinere) unplausible Änderungen auf. Im Rahmen einer praktishen Verkehrsnahfragemodellierung und Bewertung als Grundlage für politishe Entsheidungen wären entsprehende Modellverfeinerungen und Nahkalibrierungen notwendig, womit allerdings ein sehr großer Zeitaufwand verbunden ist. Für die Darstellung der Anwendbarkeit und Funktionsfähigkeit des entwikelten Modells ist dies jedoh niht erforderlih, weshalb für diese Arbeit darauf verzihtet wurde.

196 Beispielanwendung 183 Abbildung 6-5: MIV-Differenznetz (Angaben unter 50 Fahrzeugen sind ausgeblendet; rot Zunahme, grün Abnahme) 6.3 Bestimmung der Pseudo-Potentiale Die exakte Nutzenberehnung auf Basis der korrigierten Logsum-Differenz benötigt, neben den der Verkehrsnahfrage zugrunde liegenden Präferenzen der Verkehrsteilnehmer, die Pseudo-Potentiale. Diese können grundsätzlih aus den Lösungsfaktoren des EVA- Grundmodells gewonnen werden, die in VISEVA enthalten sind. Allerdings ist derzeit keine externe Shnittstelle für diesen Datenexport programmiert. Es besteht jedoh die Möglihkeit, sogenannte Lagefaktoren 77 auszulesen, die für die Bestimmung der gesuhten Größen herangezogen werden können. Die Lagefaktoren stellen normierte Größen zur Beurteilung der Lage von Verkehrsbezirken dar. Sie werden in VISEVA allerdings momentan nur für den Fall unelastisher Randsummenbedingungen in der notwendigen Form bestimmt. Für diesen Fall gilt (vgl. LOHSE ET AL. [92] S. 49): 77 Siehe hierzu Kapitel und LOHSE ET AL. [92].