Quantentheorie der Vielteilchensysteme

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1 Quantentheorie der Vielteilchensysteme Skript zur Vorlesung Wintersemester 2010 Universität Hamburg Prof. Dr. Michael Potthoff

2 Quantentheorie der Vielteilchensysteme Übersicht Quantenmechanik, Quantenstatistik, Zweite Quantisierung, Hubbard-Modell Exakte Diagonalisierung, Lanczos-Methode Modelle korrelierter Elektronen und Spins Ritzsches Prinzip, Gutzwiller-Wellenfunktion und Mott-Übergang, variational MC Variation von Matrix-Produktzuständen Statische Mean-Field-Theorie Spinmodelle und spontane Symmetriebrechung Mean-Field-Theorie des itineranten Magnetismus Anregungen von Vielteilchensystemen, Green-Funktionen Diagrammatische Störungstheorie und erhaltende Approximationen Quanten-Monte-Carlo-Methode Funktionaltheoretische Methoden Dynamische Mean-Field-Theorie und Mott-Übergang Systeme fern vom Gleichgewicht, Keldysh-Green-Funktionen

3 Literaturauswahl umfassend, einführend: A. L. Fetter, J. D. Walecka: Quantum Theory of Many-Particle Systems (McGraw-Hill) G. D. Mahan: Many-Particle Physics (Plenum) W. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Band 7 (Vieweg) E.K.U. Gross, E. Runge: Veilteilchentheorie (Teubner) A. Altland, B. Simons: Condensed Matter Field Theory (Cambridge) spezielle Themen: P. Nozières, D. Pines: The Theory of Quantum Liquids (Addison-Wesley) E. H. Lieb, D. C. Mattis: Mathematical Physics in One Dimension (Academic) F. Gebhard: The Mott Metal-Insulator Transition (Springer) A. C. Hewson: The Kondo Problem to Heavy Fermions (Cambridge University Press) H. E. Stanley: Phase Transitions and Critical Phenomena (Academic)

4 W. Nolting: Quantentheorie des Magnetismus I, II (Teubner) G. Czycholl: Theoretische Festkörperphysik (Vieweg) spezielle Methoden: A. A. Abrikosow and L. P. Gorkov and I. E. Dzyaloshinski: Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Prentice-Hall) R. M. Dreizler and E. K. U. Gross: Density Functional Theory (Springer) J. W. Negele, H. Orland: Quantum Many-Particle Systems (Addison-Wesley) H. Eschrig: The Fundamentals of Density Functional Theory (Teubner) 4

5 Motivation: reale Systeme sind meist als quantenmechanische Viel-Teilchen-Systeme aufzufassen (z.b. Atomkerne, Atome, Moleküle, Nanostrukturen, Mesoskopische Systeme, Festkörper) meist Systeme mit (starker) Wechselwirkung Beschreibung von Vielteilchensystemen daher i.allg. nicht reduzierbar auf Ein-Teilchen- Konzepte Bild unabhängiger Teilchen nicht haltbar Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen erzwingt (Anti-)Symmetrisierung der Viel-Teilchen-Wellenfunktion Ψ(r 1, σ 1, r 2, σ 2,...) Formalismus der zweiten Quantisierung (Erzeuger, Vernichter) Viel-Teilchen-Wellenfunktion von Teilchen uninteressant neue Basisgrößen, z.b. Erwartungswerte, Korrelationsfunktionen, Green-Funktionen, zu diskutieren Ein-Teilchen-Problem (H Ψ = E Ψ ) im wesentlichen lösbar (ggfs. numerisch), Viel-Teilchen-Problem i.allg. nicht exakt lösbar neue Methodik erforderlich (Mean-Field-Ansätze, Feynman-Diagramme, QMC, Pfadintegral, Funktionaltheoretische Methoden, etc.) 5

6 qualitativ neue Phänomene: Fermiflüssigkeiten, Luttinger-Flüssigkeiten, Schwerfermionenverhalten, Kondo-Effekt, Bose-Einstein-Kondensation, Supraleitung, kollektiver Magnetismus, Mott-Isolatoren, (Quanten-)Phasenübergänge, etc. 6

7 Motivation und Grundlagen 1.1 Korrelationen Standardmodell der elektronischen Struktur eines Festkörpers N Elektronen kinetische Energie externes Potential (Ionenrümpfe) Coulomb-Wechselwirkung Hamiltonian: H = H 0 + H 1 mit H 0 = N p 2 j j=1 2m + V (r j) = N j=1 H (j) 0 H 1 = 1 j k 2 j,k e 2 r j r k Hamiltonian: bekannt Hochenergiephysik 7

8 Lösung: unbekannt unabhängige, nicht korrelierte Elektronen: Einelektronennergie für Festkörper mit gitterperiodischem Potenzial: ε m (k) (Blochsches Theorem) Wellenvektor k, Bandindex m Einbandmodell: ε(k) tight-binding-approximation 8 6 E Γ X k M Γ 8

9 korrelierte Elektronen, korrelierte Bandstruktur : 8 6 E Γ X k M Γ Korrelationseffekte (sichtbar in der Bandstruktur ): Effekte, die durch kein H 0 (kein V (r)) beschrieben werden können band narrowing Satelliten endliche Lebensdauer, Resonanzen dichteabhängiger Transfer von spektralem Gewicht Auftreten neuer Energieskalen... 9

10 Thermodynamik unkorrelierter Teilchen (großkanonische) Zustandssumme: Z = Sp e β(h µn) β = 1/T unabhängige (unterscheidbare) Teilchen: H 0 = N Z = Z N Teilchen j=1 H (j) 0 keine Singularitäten keine Phasenübergänge keine kollektiven Phänomene unabhängige Fermionen : unabhängige Bosonen : BEC Phasendiagramme von Fermi-Systemen: Wechselwirkungs-/Korrelationseffekt 10

11 T* T c 11

12 Thermodynamik: Korrelationseffekte kollektiver Magnetismus spontane Ordnung von Ladungs- und von orbitalen Freiheitsgraden Supraleitfähigkeit, Suprafluidität Mott-Metall-Isolator-Übergänge Kondo-Abschirmung lokaler Momente Nicht-Fermi-Flüssigkeitsverhalten Luttinger-Flüssigkeiten 12

13 Beschränkung auf wesentliche Bestandteile zur prinzipiellen Untersuchung von Korrelationseffekten und zur Methodenentwicklung: Ausgangspunkt: H = H 0 + H 1 H 0 = N p 2 j j=1 2m + V (r j) = N j=1 H (j) 0 H 1 = 1 j k 2 j,k e 2 r j r k atom solid (L atoms) Hubbard model energy N=L valence band E F i j t ij U y H Atom H = L i=1h (i) Atom x Dimension: 4 4 L H = H 0 + H 1 13

14 Hubbard-Modell Standardmodell der Quanten-Vielteilchentheorie U t H = t ij c iσc jσ + U ijσ 2 iσ n iσ n i σ i, j: Gitterplätze, i = 1,..., L Spinprojektion σ =, Hopping t ij tight-binding-band Hubbard-U (abgeschirmte) lokale Coulomb-Wechselwirkung Besetzungszahloperator n iσ = c iσc iσ c iσ, c iσ: Vernichter, Erzeuger 14

15 Hubbard-Modell Standardmodell der Quanten-Vielteilchentheorie U t H = t ij c iσc jσ + U ijσ 2 iσ n iσ n i σ kinetische Energie vs. Coulomb-Wechselwirkung Fermi-Statistik Hilbert-Raum-Dimension: 4 L beinhaltet (potenziell/real) sämliche Korrelationseffekte 15

16 1.2 Prinzipien der Quantenmechanik Zustand Ψ H mit Ψ Ψ = 1 bzw. Ψ Ψ (Projektor) Zustandsraum: { Ψ } = H Hilbert-Raum Observable: hermitesche Operatoren auf H: A = A mögliche Messwerte: Eigenwerte a r von A A a r, γ = a r a r, γ (γ = 1,..., g r, g r : Entartung von a r ) a r, γ Eigenzustand von A zum Eigenwert a r Quantenmechanik: keine sichere Vorhersage einzelner Messungen prinzipielle Unvorhersagbarkeit, auch bei vollständiger Präparation eines reinen 16

17 Zustands Ψ objektive WK Quantenstatistik: gemischte Zustände mit weiteren ( subjektiven ) WK Messung von A am System im Zustand Ψ liefert a r mit WK P(a r ) = a r Ψ 2 = Ψ a r a r Ψ = Π(a r ) Ψ Π(a r ): Projektor auf den Unterraum zum Eigenwert a r bei Entartung von a r : P(a r ) = γ a r, γ Ψ 2 = Ψ g r γ=1 Systemzustand nach der Messung (mit Resultat a r ): Π(a r ) Ψ Kollaps, akausale Entwicklung Präparation eines reinen Zustands Ψ. a r, γ a r, γ Ψ = Π(a r ) Ψ Messung eines vollständigen Satzes kommutierender Observabler a r, b s,... = Π(a r )Π(b s ) Ψ Erwartungswert von A bei Messung im Zustand Ψ: A Ψ = r P(a r)a r = r,γ a r, γ Ψ 2 a r 17

18 = Ψ a r, γ a r a r, γ Ψ = Ψ A Ψ r,γ zeitliche Entwicklung des Zustands: Ψ = Ψ(t) Anfangsbedingung: Ψ(t 0 ) = Ψ 0 Dynamik: Hamilton-Operator H = H(q, p) klassische Hamilton-Fkt. aber [q, p] = i Bewegungsgleichung i d Ψ(t) = H Ψ(t) dt Schrödinger-Gleichung formale Lösung: Ψ(t) = exp i H(t t 0) Ψ(t 0 ) = U(t t 0 ) Ψ(t 0 ) mit Zeitentwicklungsoperator U (H nicht explizit zeitabhängig) Zeitabhängigkeit eines Erwartungswerts: A t = Ψ(t) A Ψ(t) Schrödinger-Bild = Ψ(0) e i Ht Ae i Ht Ψ(0) 18

19 = Ψ(0) A(t) Ψ(0) Heisenberg-Bild mit: A(t) e i Ht Ae i Ht Schrödinger-Bild: A = A(q, p) Operatoren zeitunabhängig Ψ(t) Zustände zeitabhängig Schrödinger-Gleichung Heisenberg-Bild Operatoren zeitabhängig Heisenberg-Gleichung Zustände Ψ zeitunabhängig Heisenberg-Gleichung (A nicht explizit zeitabhängig): i d dt A(t) = i d dt ( e i Ht Ae i Ht) = [A, H](t) Erhaltungsgrößen: [A, H] = 0 Energieerhaltung: [H, H] = 0 A = const. H = const. 19

20 1.3 Quantenmechanisches N-Teilchen-System Ein-Teilchen-Hilbert-Raum: H 1 ONB von H 1 : { φ α } φ α φ β = δ αβ (Orthonormierung) φ α φ α = 1 (Vollständigkeit) α α: diskreter Index! (konzeptionell: Teilchen in einer (makroskopischen) Box vermeidet formale Schwierigkeiten bei überabzählbaren Basis) Ein-Teilchen-Hilbert-Raum des i-ten Teilchens: H (i) 1 ONB von H (i) 1 : { φ (i) α } N-Teilchen-Hilbert-Raum: H N = H (1) 1 H (2) 1 H (N) 1 (Tensorprodukt) ONB von H N : 20

21 { φ (1) α 1 φ (2) α 2 φ (N) α N } Index oben: Teilchen Produktzustände Index unten: vollständiger Satz von Quantenzahlen es folgt: dim H N = N i=1 dim H (i) 1 = (dim H 1 ) N falls H 1 endlichdimensional bzw. dim H (i) 1 = dim H 1 beachte: Definition von H N nur für unterscheidbare Teilchen (s.u.) Orthogonalität: φ (1) α 1 φ (2) α 2 φ (N) α N φ (1) β 1 φ (2) β 2 φ (N) β N = φ (1) α 1 φ (1) β 1 φ (N) α N φ (N) β N = δ α1 β 1 δ αn β N Vollständigkeit: α 1,...,α N φ (1) α 1 φ (N) α N φ (1) α 1 φ (N) α N = 1 Bestimmung eines Energie-Eigenzustands: Darstellung des Hamilton-Operators H in ONB 21

22 H = α 1,...,α N,β 1,...,β N φ (1) α 1 φ (N) α N φ (1) α 1 φ (N) α N H φ (1) β 1 φ (N) β N φ (1) β 1 φ (N) β N mit r = (α 1,..., α N ), s = (β 1,..., β N ) ist: H = rs H rs r s Eigenwerte/-zustände von H Eigenwerte/-zustände der Matrix H rs H rs = r H s Matrixdimension: N i=1 dim H (i) 1 = (dim H 1 ) N (bei gleichen Dimensionen) für Diagonalisierung von Matrizen Matrixdimension 3, also: Aufwand (dim H 1 ) 3N Aufwand e N Bestimmung der Grundzustandsenergie mit Hilfe des Ritzschen Prinzips: E 0 = min Ψ H Ψ Ψ Ψ mit 22

23 Ψ = c α1,...,α α 1,...,α N φ (1) α 1 φ (N) N α N c α1,...,α N Variationsparameter, Anzahl e N Minimierung der Funktion E 0 ({c α1,...,α N }): Aufwand e N gegeben N-Teilchen-Zustand Ψ = c α1,...,α α 1,...,α N φ (1) α 1 φ (N) N Berechnung des Erwartungswerte einer Observablen A: Ψ A Ψ = α N c α 1,...,α N c β1,...,β N φ (1) α 1 φ (N) α N A φ (1) β 1 φ (N) α 1,...,α N,β 1,...,β N 2N-fache Summe mit jeweils dim H 1 Termen e N Summanden Aufwand e N Operieren mit N-Teilchen-Zuständen: Aufwand e N β N 23

24 1.4 Gemischter Zustand, Dichteoperator reiner Zustand enthält zu viel Information (N ) Mikrozustand: Ψ reiner Zustand bei unvollständiger Information: Ψ k mit WK p( Ψ k ) = p k gemischter Zustand gemischter Zustand = Satz von reinen Zuständen mit zugehörigen WK Zustand Ψ k ist eine Zufallsgröße zusätzliche statistische Beschreibung definiere Dichteoperator ρ = p k Ψ k Ψ k k Operator im Hilbert-Raum (aber nicht als Observable aufzufassen) Eigenschaften: Normierung : ({ Ψ k } ONB) 24

25 Sp ρ = Ψ k ρ Ψ k = k k p k = 1 Sp ρ = 1 Positive Definitheit : sei Φ beliebig: Φ ρ Φ = Φ p k Ψ k Ψ k Φ = k k p k Φ Ψ k 2 0 ρ 0 Hermitizität : ρ = k p k Ψ k Ψ k = k p k Ψ k Ψ k = ρ ρ = ρ umgekehrt: ρ = ρ, ρ 0, Sp ρ = 1 Eigenwerte reell, nicht negativ, Summe: 1 Eigenwerte als WK interpretierbar Operator mit diesen Eigenschaten charakterisiert (eindeutig!) einen gemischten Zustand { Ψ k, p k } reiner Zustand als Spezialfall: 25

26 p k = δ kk0 ρ = k p k Ψ k Ψ k = Ψ k0 Ψ k0 weiter gilt: Sp (ρ 2 ) = Ψ k ρ Ψ l Ψ l ρ Ψ k = k,l k p 2 k Ψ k Ψ k = k p 2 k 1 Sp (ρ 2 ) = 1 ρ = Ψ Ψ für ein Ψ ρ reiner Zustand Motivation der Definition von ρ = p k Ψ k Ψ k k alle messbare Größen: direkt durch ρ darstellbar! System mit WK p k im Zustand Ψ k. Messung von A. WK a r zu messen: P(a r ) = k P(a r System im Zustand Ψ k ) p k es ist: also: P(a r ) = k P(a r ) = k Π(a r ) Ψk p k mit Π(a r ) = g r = n n Π(a r) k n Ψ k n n Π(a r ) Ψ k p k γ=1 a r, γ a r, γ Ψ k p k Ψ k n = Sp (Π(a r )ρ) = Sp (ρπ(a r )) 26

27 P(a r ) ist also nur über den Dichteoperator von Ψ k und p k abhängig Erwartungswert einer Observablen A: A = r a rp(a r ) = r a r Sp (ρπ(a r )) = Sp nur über Dichteoperator von Ψ k und p k abhängig somit: und A ρ = Sp (ρa) P(a r ) = Π(a r ρ ( ρ ) a rπ(a r ) r = Sp (ρa) speziell für einen reinen Zustand ρ = Ψ Ψ : und: A Ψ = Sp ( Ψ Ψ A) = n Ψ Ψ A n = Ψ A n n Ψ = Ψ A Ψ n n P(a r ) = Π(a r ) Ψ =... = Ψ γ a r, γ a r, γ Ψ = γ a r, γ Ψ 2 großkanonische Gesamtheit thermodynamisches Gleichgewicht 27

28 Wahrscheinlichkeiten für gemischten Zustand der GK Gesamtheit: p k = const.e (E k µn k )/k B T normierte Wahrscheinlichkeiten: p k = 1 Z e β(e k µn k ) mit: T: Temperatur µ: chemisches Potenzial inverse Temperatur, Einheiten: β = 1 T, k B = 1 Zustandssumme : Z(T, µ) = e β(e k µn k ) = e βω k großkanonisches Potenzial Ω(T, µ) = T lnz(t, µ) Formulierung mit Dichteoperator: ρ = 1 Z e β(h µ N) Z = Sp e β(h µ N) 28

29 Berechnung des Erwartungswerts einer Observablen A es sei (o.b.d.a.) H = H 0 + λa dann folgt: A = Sp (ρa) = 1 Z Sp Ae β(h 0+λA µn) = λ ( T) ln Sp e β(h 0+λA µn) also A = Ω Übung λ Berechnung von Ω(T, µ, λ) bzw. von Z(T, µ, λ): Z = Sp e β(h µn) = Aufwand e N α 1,...,α N φ (1) α 1 φ (N) α N e β(h µn) φ (1) α 1 φ (N) α N Fazit Quantenstatistik: keine Verbesserung bzgl. des Komplexitätsproblems aber: angemessene Beschreibung eines Viel-Teilchen-Systems 29

30 30

31 Zweite Quantisierung identische Teilchen: (Anti-)symmetrisierung der Zustände notwendig Umformulierung der üblichen QM mit Erzeugern und Vernichtern Quantisierung der Schrödinger-Gleichung als klassische Feldgleichung (s.u.) 2.1 Systeme identischer Teilchen identische Teilchen : Teilchen mit vollständig übereinstimmenden inneren Teilcheneigenschaften (Masse, Ladung, Spin,...) Identische Teilchen sind ununterscheidbar klassisch: unterscheidbar, da (prinzipiell) Trajektorie jedes einzelnen Teilchens verfolgt werden kann 31

32 p KM t=0 t>0 q quantenmechanisch: Konzept der Trajektorie sinnlos Vertauschung von Teilchen darf zu keinen messbaren Konsequenzen führen N-Teilchen-Hilbert-Raum: H N = H (1) 1 H (2) 1 H (N) 1 ONB { φ (1) α 1 φ (2) α 2 φ (N) α N } Ein-Teilchen-Hilbert-Raum: H (i) 1 ONB { φ (i) α 1 } identische Teilchen: H (i) 1 isomorph zu H (j) 1 definiere Vertauschungsoperator P ij : (auf Basis) P ij φ (1) α 1 φ (i) α i φ (j) α j φ (N) α N = φ (1) α 1 φ (j) α i φ (i) α j φ (N) α N 32

33 oder (Wirkung auf Ein-Teilchen-Zustände): P ij φ (1) α 1 φ (i) α i φ (j) α j φ (N) α N = φ (1) α 1 φ (i) α j φ (j) α i φ (N) α N (es wird vereinbart, dass Zustände in einem Tensorprodukt kommutieren) es gilt: P ij = P ij und P 2 ij = 1 Teilchenvertauschung darf Messwerte nicht ändern! Ψ A Ψ = P ij Ψ A P ij Ψ (Beweis: Auswerten auf Produktbasis) für beliebige physikalische Observable A und beliebigen physikalischen Zustand Ψ H N : Ψ A Ψ = Ψ P ijap ij Ψ A = P ijap ij [P ij, A] = 0 also auch: Ψ Ψ P ij = P ij Ψ Ψ Ψ Ψ P ij Ψ = P ij Ψ Ψ Ψ P ij Ψ = ε Ψ aber ε = ±1, denn P ij = P ij und P 2 ij = 1 33

34 somit: P ij Ψ = ± Ψ Beispiel: (für α i α j ) P ij ( φ (i) α i φ (j) α j ) Produktzustände nicht physikalisch Beispiel: r (i) = ( φ (j) α i φ (i) α j ) Ortsoperator des i-ten Teilchens P ijr (i) P ij = r (j) r (i) r (i) nicht physikalisch Beispiel: H = N i=1 p (i)2 2m P ijhp ij = H H physikalisch i j α r (i) r (j) ± ( φ (i) α i φ (j) α j ) (Beweis: Auswerten auf Produktbasis) 34

35 Fermionen Bosonen P ij Ψ = Ψ P ij Ψ = + Ψ antisymmetrische symmetrische Zustände (Observable stets symmetrisch) Hilbert-Raum H ( ) N Hilbert-Raum H (+) N ε = 1 ε = +1 Vorzeichenkonvention! halbzahliger Spin ganzzahliger Spin (Spin-Statistik-Theorem) 2.2 Hilbert-Raum der physikalischen Zustände physikalisch erlaubte Zustände aus: H (ε) N H N Ψ H (ε) N ist (anti-)symmetrisch Beispiel: φ (1) α φ (2) α H (+) 2 1 ( φ (1) 2 α φ (2) β ± φ (2) α φ (1) β ) H (±) 2 (normiert für α β) N = 2: (anti-)symmetrisierte Produktzustände H (ε) Verallgemeinerung auf N > 2: 35

36 definiere Permutationsoperator P (auf Basis) P φ (1) α 1 φ (N) α N = φ (i 1) α 1 φ (i N) α N wobei (i 1,..., i N ) Permutation P der Zahlen 1,..., N definiere Vorzeichen der Permuation : ( 1) P = ( 1) p mit p = Anzahl der Transpositionen, aus denen sich die Permutation aufbaut P ist unitär, P 1 = P (schreibe P als Produkt von Vertauschungsoperatoren) definiere damit (Anti-)Symmetrisierungsoperator S (ε) N S (ε) N = 1 ε P P N! P Eigenschaften: (S (ε) N ) 2 = S (ε) N (S (ε) N ) = S (ε) N also: S (ε) N S (+) N S ( ) N (Idempotenz) (Hermitizität) Projektoren = S ( ) N S (+) N = 0 36

37 also: orthogonale Projektoren Übung weiter gilt: Ψ H N S (ε) N Ψ H (ε) N Beweis: sei Ψ H N beliebig, es gilt: P ij S (ε) 1 N Ψ = P ij ε P P Ψ = 1 N! P N! mit P = P ij P wegen ε P = εε P ist also: P ε P P Ψ P ij S (ε) N Ψ = ε 1 ε P P Ψ = ε 1 ε P P Ψ = εs (ε) N! P N! P N Ψ also ist S (ε) N Ψ (anti-)symmetrisch und somit S (ε) N Ψ H (ε) N es gilt auch: Ψ H N S (ε) N Ψ = Ψ 37

38 Beweis: sei Ψ H (ε) N, dann ist P ij Ψ = ε Ψ und P Ψ = ε P Ψ, und somit S (ε) N Ψ = Ψ und damit insgesamt: H (ε) N = S (ε) N H N sei S (0) N = 1 S (+) N S ( ) N S (0) N ist ein zu S (ε) N orthogonaler Projektor Übung Zerlegung des N-Teilchen-Hilbert-Raums in physikalische und unphysikalische Unterräume: mit: H N = H (+) N H (+) N = S (+) N H N H ( ) N = S ( ) N H N H (0) N = S (0) N H N H ( ) N H (0) N (orthogonale Summe) 38

39 2.3 (Anti-)symmetrisierte Produktzustände Produktzustände (bilden Basis von H N ) φ (1) α 1 φ (N) α N definiere (anti-)symmetrisierte Produktzustände : es ist φ α1 φ αn (ε) = S (ε) N φ (1) α 1 φ (N) α N φ α1 φ αn (ε) H (ε) N beachte: { φ α1 φ αn (ε) } bilden keine Basis, sind i. allg. linear abhängig! beachte: dimh (ε) N < dimh N φ αi φ αj (ε) = ε φ αj φ αi (ε) Beispiel: H ( ) N φ α1 φ αn ( ) = 1 N! P ( 1) P P φ (1) α 1 φ (N) 39 α N

40 = 1 N! det φ (1) α 1 φ (N) α 1 φ (1) α N φ (N) α N (mit Entwicklungssatz nach Leibniz) Slater-Determinante falls α i = α j für i j, folgt φ α1 φ αn ( ) = 0 Pauli-Prinzip damit ist auch: φ α1 φ αn (ε) 2 1 Zustände nicht normiert i.allg. sei Ψ N (ε) H (ε) N dann gilt: Ψ N (ε) = = = φ (1) α α 1,...,α 1 φ (N) α N φ (1) α 1 φ (N) α N Ψ N (ε) N φ (1) α α 1,...,α 1 φ (N) α N φ (1) α 1 φ (N) α N S (ε) N Ψ N (ε) N φ (1) α α 1,...,α 1 φ (N) α N (ε) φ α1 φ αn Ψ N (ε) N 40

41 nach Anwenden von S (ε) N auf beiden Seiten folgt: Ψ N (ε) = φ α1 φ αn (ε) (ε) φ α1 φ αn Ψ N (ε) α 1,...,α N Zerlegung der Eins : α 1,...,α N φ α1 φ αn (ε) (ε) φ α1 φ αn = 1 H (ε) N beachte: Summe enthält mehr Terme als Dimensionen in H (ε) N, Zustände nicht normiert 2.4 Besetzungszahldarstellung Vereinbarung einer Anordnung der Basiszustände: α = 1,..., d d = dim H 1 Standardordnung: φ 1, φ 2,, φ d Besetzungszahldarstellung eines (anti-)symmetrisierten Produktzustands: n 1, n 2,..., n d = K ε φ 1 φ 1 φ 1 φ 2 φ 2 φ d φ d (ε) mit Normierungskonstante K ε ( n 1, n 2,..., n d n 1, n 2,..., n d = 1) und: n i = Anzahl der Teilchen im Zustand φ i Besetzungszahl für φ α1,..., φ αn (ε) : n i = Anzahl Indizes mit α j = i 41

42 Produktzustand: φ 8 φ 4 φ 1 φ 5 φ 4 φ 8 φ 8 Teilchen N (anti-)symmetrisierter Produktzustand in Besetzungszahldarstellung: Ein Teilchen φ 1 φ 2... φ d Zustände φ 3 (Teilchen ohne Identität) es gilt: (Beweis s.u.) { n 1, n 2,..., n d } ist ONB von H (ε) N (NB: α n α = N) Orthonormalität : n 1, n 2,, n α, n 1, n 2,, n α, = δ n1 n 1 δ n 2 n 2 Vollständigkeit : α n α =N n 1, n 2,, n α, n 1, n 2,, n α, = 1 (ε) n 1 n 2 n α H N 42

43 Beispiel: N = 2 Teilchen Produktzustand: φ (1) α φ (2) β H N=2 (Anti-)symmetrisierter Produktzustand: S (±) 2 φ (1) α φ (2) β = 1 ( φ (1) α φ (2) β ± φ (2) α φ (1) ) β 2! = K± 1 0 n α = 1 n β = 1 0 H (±) 2 Normierung: (K ± reell) K 2 ± = S (±) N φ (1) α φ (2) β 2 = 1 4 = ±S (±) 2 φ (2) α φ (1) β ( φ (1) α φ (2) β ± φ (2) α φ (1) ) ( β φ (1) α φ (2) β ± φ (2) α φ (1) ) β = 1 ( φ (1) α φ (2) β φ (1) α φ (2) β + φ (2) α φ (1) β φ (2) α φ (1) β 4 ± φ (1) α φ (2) β φ (2) α φ (1) β ± φ (2) α φ (1) β φ (1) α φ (2) ) β = 1 4 (1 + 1 ± δ αβ ± δ αβ ) = 1 2 (1 ± δ αβ) K ± = 2 1 ± δ αβ 43

44 allgemein: (s.u.) K ε = N! α n α! K = N! Fermionen: n α = 0, 1 (aufgrund des Pauli-Prinzips) Ein Teilchen φ 1 φ 2... φ d Zustände φ 3 M = dim H ( ) N = d N Bosonen: n α = 0, 1, 2,... Ein Teilchen φ 1 φ 2... φ d Zustände φ 3 M = dim H (+) N = d + N 1 N 44

45 Beispiel: N=2 Teilchen, d=3 Orbitale (also dimh 1 = d = 3) K ε φ 1 φ 1 (ε) = 200 = 0 für Fermionen K ε φ 1 φ 2 (ε) = 110 K ε φ 1 φ 3 (ε) = 101 ε K ε φ 2 φ 1 (ε) = 110 K ε φ 2 φ 2 (ε) = 020 = 0 für Fermionen K ε φ 2 φ 3 (ε) = 011 ε K ε φ 3 φ 1 (ε) = 101 ε K ε φ 3 φ 2 (ε) = 011 K ε φ 3 φ 3 (ε) = 002 = 0 für Fermionen dimh N = 9 = 3 2 dimh (+) N = 6 = dimh ( ) N = 3 = dimh (0) N = 0 (nicht typisch!) 45

46 Beweis Normierung : es seien α 1,..., α N standardgeordnet n 1,..., n d n 1,..., n d = Kε 2 (ε) φ α1 φ αn φ α1 φ αn (ε) = Kε 2 1 ε P φ (1) α N! 1 φ (N) α N P φ (1) α 1 φ (N) α N P = 1 für P = 1 (für Fermionen einzige Möglichkeit, ε P = +1) = 1 für P mit Teilchenpermutationen innerhalb von n α gleichen Zuständen = 0 sonst Anzahl der P, die 1 liefern: Π α (n α!) also: n 1,..., n α,..., n d n 1,..., n α,..., n d = K 2 ε K ε = 1 1 N! Π α(n α!) 1 N! Π α(n α!) 46

47 Vollständigkeit : n 1 α n α =N n 2 n α n 1, n 2,, n α, n 1, n 2,, n α, = α 1,...,α N K 2 ε φ α1 φ αn (ε) (ε) φ α1 φ αn (K ε = K ε (n 1, n 2,...)) = Kε 2 φ α1 φ αn (ε) (ε) φ α1 φ αn α 1,...,α N k ε = 1 (ε) H (Vollständigkeitsrelation von oben) N α1,...,α N : alle Indizes unabhängig α1,...,α N : nur standardgeordnete Indextupel Mehrfachzählung in α 1,...,α N : k ε = Anzahl der Möglichkeiten, die N Teilchen so zu verteilen, dass n 1 sich in φ 1 befinden, n 2 sich in φ 2 befinden, etc. N! das sind gerade Π α (n α!) = K2 ε Möglichkeiten 47

48 Orthogonalität : n 1,, n d n 1,, n d = K 2 ε (ε) φ α1 φ αn φ α 1 φ α N (ε) = K 2 ε 1 ε P P (δ N! α1 P α 1 δ α N α N ) = δ n1 n 1 δ n d n d K2 ε 1 N! Π α(n α!) = δ n1 n 1 δ n d n d definiere Fock-Raum H (ε) = N=0,1,... H (ε) N (direkte, orthogonale Summe) Hilbert-Raum aller N = 0, N = 1,... - Zustände dimh (ε) =dimh (ε) 0 +dimh (ε) 1 + = speziell: dimh (ε) 0 = 1 (Vakuumzustand), dimh (ε) 1 = d (s.o.) { n 1,, n d } (ohne NB) ist eine ONB des Fock-Raums! 48

49 2.5 Erzeuger und Vernichter ONB von H (ε) : { n 1 n 2 n α n d (ε) } Definition von c α und c α auf ONB Erzeuger c α mit: beachte c α n 1, n 2,, n α, = ε N α n α + 1 N + 1;n 1, n 2,, n α + 1, = n α + 1 N + 1;n 1, n 2,, n α + 1, (+) (Bosonen) = ( 1) N α N + 1;n 1, n 2,, 1, ( ) (Fermionen) N α = α 1 n β β=1 c α : H (ε) N H (ε) N+1 es folgt (mit vollständiger Induktion) Die Bedeutung von N α zeigt sich z.b. bei der Herleitung der fundamentalen Antikommutatorrelationen. 49 Übung

50 n 1,..., n d = (c 1) n 1 n1! (c d) n d nd! 0 Die Reihenfolge im Produkt ist strikt zu beachten! c 1 ist der Erzeuger für der erste Basisorbital φ 1 gemäß der Standardordnung. 0 H 0 ist der Vakuumzustand, 0 0 = 1, dim H 0 = 1, 0 0 = 0 Vernichter es gilt: also: c α = (c α) N; n α c α N ; n α = ε N α n α + 1 N + 1; n α + 1 N ; n α = ε N α n α + 1 δ N+1,N ( δ nα +1,n α ) = ε N α n α δ N,N 1( δ nα,n α 1 ) = ε N α n α N; n α N 1; n α 1 N; n α c α N; n α = ε N α n α N 1; n α 1 50

51 = n α N 1; n α 1 (+) (Bosonen) = ( 1) N α N 1; n α 1 ( ) (Fermionen) beachte: und: c α : H (ε) N H (ε) N 1 c α, c α sind keine Observablen! Vertauschungsrelationen: für Bosonen und α β ist: c αc β n α n β (+) = n β + 1 c α n α n β + 1 (+) = n β + 1 n α + 1 n α + 1 n β + 1 (+) = c βc α n α n β (+) [c α, c β] = 0 für α β und (trivial) für α = β analog: [c α, c β ] = 0 für α, β beliebig analog: [c α, c β] = 0 für α β 51

52 für α = β ist: c α c α n α (+) = n α + 1 c α n α + 1 (+) = n α + 1 n α + 1 n α (+) und c αc α n α (+) = n α c α n α 1 (+) = n α nα n α (+) c α c α c αc α = n α + 1 n α = 1 [c α, c β] = δ αβ analog: Fermionen für Bosonen und Fermionen gilt also: Übung [c α, c β ] ε = 0 [c α, c β] ε = 0 [c α, c β] ε = δ αβ ([A, B] + = AB + BA Antikommutator) Wirkung von c α auf (anti-)symmetrisierte Produktzustände 52

53 es seien α 1,..., α N standardgeordnet, dann ist c α φ α1 φ αn (ε) = c 1 α n 1 n 2 n α (ε) K ε = n 1!n 2! n α! ε N α n α + 1 n 1 n 2 n α + 1 (ε) N! = n 1!n 2! n α! ε N (N + 1)! α n α + 1 N! n 1!n 2! (n α + 1)! φ α φ α (ε) (n α + 1-mal) = N + 1 ε N α φ α φ α (ε) = N + 1 φ α φ α1 φ αn (ε) also: c α φ α1 φ αn (ε) = N + 1 φ α φ α1 φ αn (ε) 53

54 damit gilt auch (durch Iterieren der Formel): vergleiche: φ α1 φ αn (ε) = 1 N! c α 1 c α N 0 n 1,..., n d = (c 1) n 1 n1! (c d) n d nd! 0 Mit dem Einfügen von φ α an die erste Position geht evtl. die Standardordnung verloren. Bezüglich der φ α1 φ αn ist die Standardordnung noch gegeben. Das Resultat gilt aber auch allgemein, denn bei Permutation der Orbitale tritt links und rechts in der Gleichung dasselbe Vorzeichen auf. 2.6 Darstellung von Observablen eine allgemeine physikalische Observable besteht aus Ein- und Zwei-Teilchen-Anteilen: A = N i=1 A (i) i j i,j=1,..,n A (i,j) 2 54

55 i: Teilchenindex beachte: [A, P] = 0 Beispiel: Hamilton-Operator H = N i=1 allgemein ist: A = 1 A 1 = α 1,...,α N p 2 i 2m i j i,j=1,..,n (1 = 1 (ε) H ) N e 2 1 4πε 0 r i r j β 1,...,β N φ α1 φ αn (ε)(ε) φ α1 φ αn A φ β1 φ βn (ε)(ε) φ β1 φ βn Matrixelement des Ein-Teilchen-Anteils: (ε) φ α1 φ αn N i=1 = φ (1) α 1 φ (N) α N N = N i=1 = N i=1 A (i) 1 φ β1 φ βn (ε) i=1 A (i) 1 φ β1 φ βn (ε) denn: φ α1 A (i) 1 φ αi φ αn φ β1 φ βn (ε) φ α1 A (i) 1 φ αi φ αn 1 N! P ε P P φ β1 φ βn i A (i) 1, S (ε) N = 0 55

56 = 1 ε P ( βp β φ (1) α N! 1 A (1) 1 φ (1) β 1 φ (2) α 2 φ (2) β 2 φ (N) α N φ (N) β N P β + + φ (1) α 1 φ (1) β 1 φ (N 1) α N 1 φ (N 1) β N 1 φ (N) α N A (N) 1 φ (N) β N = 1 ε P ( β P β φ α1 A 1 φ β1 δ α2 β N! 2 δ αn β N P β einsetzen δ α1 β 1 δ αn 1 β N 1 φ αn A 1 φ βn jeder der N Terme liefert gleichen Beitrag! ) P β wirkt hier (äquivalenterweise) auf β- statt auf Teilchenindizes. z.b. letzter Term: Umbenennung der Summationsvariablen: α 1 α 2 und β 1 β 2 56 )

57 α N α 1 und β N β 1 2N Vertauschungen, so dass ursprüngliche Ordnung von φ α1 φ αn (ε) und (ε) φ β1 φ βn wiederhergestellt wird Faktor ε 2N = 1 jeder der N! Terme der P-Summe liefert gleichen Beitrag! für jedes P: Umbenennung der β i ursprüngliche Ordnung im Matrixelement p Vertauschungen der φ βi ursprüngliche Ordnung in (ε) φ β1 φ βn damit Faktor ε p, sowieso expliziter Faktor ε p also: ε 2p = 1 also folgt: N i=1 A (i) 1 = N α 1,...,α N = N α 1 β 1 β 1,...,β N φ α1 φ αn (ε) φ α1 A 1 φ β1 δ α2 β 2 δ αn β N (ε) φ β1 φ βn α 2,...,α N φ α1 φ αn (ε) φ α1 A 1 φ β1 (ε) φ β1 φ α2 φ αn mit c α φ α1 φ αn (ε) = N + 1 φ α φ α1 φ αn (ε) (s.o.) folgt weiter: N i=1 A (i) 1 57

58 also: = N = α 1 β 1 1 α 2,...,α N α 1 β 1 c α 1 1 H (ε) N 1 N i=1 c N α 1 φ α2 φ αn (ε) φ α1 A 1 φ β1 (ε) 1 φ α2 φ αn c β1 N φ α1 A 1 φ β1 c β1 = A (i) 1 = αβ φ α A 1 φ β c αc β α 1 β 1 c α 1 φ α1 A 1 φ β1 c β1 Interpretation: Teilchen hüpft mit Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude φ α A 1 φ β vom Orbital φ β nach φ α analog: 1 2 i j i,j=1,...,n A (i,j) 2 = 1 2 αβγδ φ α φ β A 2 φ γ φ δ c αc βc δ c γ Übung Beachte unterschiedliche Reihenfolge der Indizes! mit φ α φ β A 2 φ γ φ δ = φ (1) α φ (2) β A (1,2) 2 φ (1) γ φ (2) δ Interpretation: Das Wechselwirkungsmatrixelement φ α φ β A 2 φ γ φ δ bewirkt eine Streuung zweier Teilchen aus den Orbitalen φ γ, φ δ in die Orbitale φ α φ β 58

59 Beispiel: Nichtwechselwirkende Teilchen in äußerem Potenzial H = i ( p 2 ) i 2m + V (r i) H 1 = p2 2m + V (r) = i H (i) 1 ONB von H 1 : { ε n } mit H 1 ε n = ε n ε n Erzeuger, Vernichter: c n, c n H = ε m H 1 ε n c mc n = ε nc nc n mn n Beispiel: System mit Coulomb-Wechselwirkung H = t αβ c αc β + 1 αβ 2 mit t αβ = φ α H 1 φ β und αβγδ U αβγδ c αc βc δ c γ Hopping U αβγδ = φ α φ β H 2 φ γ φ δ Coulomb-WW-Parameter 59

60 Beispiel: Nur ein Orbital: dimh 1 = 1, ONB: { 1 } beliebiger Operator: A = ωc c + vc c cc (ω, v reell) für Fermionen: A = ωc c Bosonen, harmonischer Oszillator: H = ω ˆn Spezielle Observablen Besetzungszahloperator n α = c αc α es ist n α = (c αc α ) = n α hermitesch, Observable und n α n 1,..., n d (ε) = c αc α n 1,..., n d (ε) 60

61 = ε N α n α c α n 1,..., n α 1,..., n d (ε) = ε 2N α n 2 α n 1,..., n α,..., n d (ε) also: n α n 1... n α... n d (ε) = n α n 1... n α... n d (ε) Basiszustände sind Eigenzustände von n α Teilchenzahloperator N = α n α es ist: N n 1 n d (ε) = n α n 1 n d (ε) = N n 1 n d (ε) α es gilt: (für Fermionen und Bosonen!) Übung [c α, n β ] = δ αβ c α c α sind Leiteroperatoren! (vergleiche: [J ±, J z ] = J ± für Drehimpuls, J ± = J x ± ij y ) Hilbert-Raum eines Spin-1/2-Teilchens (ε = 1, Fermion): 61

62 H 1 = H (Bahn) 1 H (Spin) 1 ONB von H 1 : { ϕ α } = { ψ i χ σ } mit α = (i, σ) i indiziert räumliche Orbitale σ =, indiziert Spin-Orbitale χ = 1 0, χ = 0 1 Erzeuger, Vernichter, Besetzungszahloperator, Teilchenzahloperator: c iσ, c iσ, ˆn iσ, ˆN = i σ ˆn iσ Hubbard-Modell: H = t ij c iσc jσ + U ijσ 2 iσ ˆn iσˆn i σ Hopping ist diagonal bzgl. des Spinindex und unabhängig vom Spinindex: definiere Doppelbesetzung d i = ˆn i ˆn i = ˆn i ˆn i 62

63 es ist: d i = d i = d 2 i Erwartungswert in einem beliebigen Zustand: 0 d i 1 Übung beachte: d i = ˆn i ˆn i ˆn i ˆn i i.allg. definiere ( e : empty) e i = (1 ˆn i )(1 ˆn i ) es ist 1 = e i + ˆn i + ˆn i d i für Spin-1/2-Fermionen definiere: S i = (S ix, S iy, S iz ) mit S iz = 2 (n i n i ) S ix = 1 2 (S i+ + S i ) 63

64 es gilt: S iy = 1 2i (S i+ S i ) S i+ = c i c i S i = c i c i = S i+ S i = S i kompakt: S i± = S ix ± is iy S iµ = 2 c iσσ (µ) σσ σσ c iσ mit den Pauli-Matrizen: σ (x) 0 1 = 1 0 Drehimpulsalgebra: σ (y) = µ = x, y, z 0 i i 0 [S ix, S iy ] = i S iz (und zyklisch) [S ix, S jy ] = i δ ij S iz (und zyklisch) σ (z) = Übung S i : Spin des Orbitals i falls i die Plätze eines Gitters indiziert (ein Orbital ψ i pro Platz): lokaler Spin m i = S i / bzw. µ i = gµ B S i / : lokales magnetisches (Spin-)Moment 64

65 Eigenwerte von S iz = (n i n i )/2: 0, ± /2 Eigenwerte von Siz: 2 0, 2 /4 Eigenwerte von S 2 i = 3Siz: 2 0, 3 2 /4, also S = 0 und S = 1/2 Übung S i ist kein Spin-1/2! beachte: S (j) : Spin des j-ten Elektrons, j = 1,..., N (keine Observable), (S (j) ) 2 = 3 2 /4 S i : Spin am i-ten Gitterplatz, i = 1,..., L (Observable), S 2 i const. definiere Gesamtspin S = N S (j) j=1 2. Quantisierung: S = (1) iσ S (1) i σ (1) c iσc i ii σσ σ = iσσ iσ 2 σ iσ c iσc iσ = i 2 σσ c iσ σ σσ c iσ also: S i j=1 i=1 S = N S (j) = L 65

66 2.8 Unitäre Transformationen abkürzende Schreibweise: α φ α { α } ONB von H 1 unitäre Transformation der Ein-Teilchen-Basis: also: α = U αα α mit U unitär α { α } ONB von H 1 wie transformieren sich Erzeuger und Vernichter? betrachte: c α 0 = α = α U αα α = α U αα c α 0 also: α = α U αα α c α = α U αα c α c α = α U αα c α Ableitung der letzten Gleichung durch Adjungieren, (...) : konjugiert komplex. Alternative: Die Gleichung c α φ α1 φ αn (ε) = N + 1 φ α φ α1 φ αn (ε) zeigt, dass sich c α genauso transformiert wie φ α 66

67 es gilt: α α c α = α α U 1 α α α (U 1 β β α ) c β = α β ( U 1 ) α α α U αβ α c β = α c α α also: α c α = α c α α α und damit: A = c α α A 1 β c β + 1 αβ 2 α c α α = α c α α αβγδ c αc β αβ A 2 δγ c γ c δ = c α β α α A 1 β c β + 1 c 2 α β γ δ α c β α β A 2 δ γ c γ c δ forminvariant! fundamentale Vertauschungsrelationen: [c α, c β ] ε = δ α β etc. Transformation der Matrixelemente: α A 1 β = αβ U 1 α α α A 1 β U ββ 67

68 2.9 Nichtorthogonale Ein-Teilchen-Basis betrachte: H 0 = H 0i i=1 H 0i : Hamiltonian des Atoms am Platz i es ist, nach Diagonalisierung des atomaren Problems: H 0i = k i ε ki k i k i mit k i l i = δ ki l i k i k i = 1 k d.h. { k i } ist eine ONB des Hilbert-Raum am Platz i Problem: k i k j δ ij für i j nichtorthogonale (LCAO) Ein-Teilchen-Basis: { α }, α β δ αβ, Lin{ α } = H 1 definiere α β = S αβ Überlappmatrix 68

69 es ist: denn: S = S, S 0 (Matrizen: fett) S αβ = α β = β α = S βα und für einen beliebigen Vektor x gilt: x Sx = x αs αβ x β = x α α β x β = αβ αβ damit ist S ±1/2 wohldefiniert Löwdin-Transformation : α = β S 1/2 βα β α x α α 2 es ist: α β = γ S 1/2 γα = γδ Sαγ 1/2 S γδ S 1/2 δβ γ δ = δ αβ S 1/2 δβ δ = γδ damit ist bewiesen, dass { α } eine ONB ist S 1/2 γα 1/2 S δβ γ δ = S 1/2 γδ αγ S 1/2 δβ S γδ wegen 69

70 1 = α α = β S 1/2 βα Sαγ 1/2 γ α αβγ lautet die Vollständigkeitsrelation: 1 = αβ α S 1 αβ β definiere den Vernichter bzgl. der nichtorthogonalen Basis: c α = β S 1/2 αβ c β damit ist: c α = β S 1/2 αβ c β d.h. c α = β S 1/2 βα c β es gilt: [c α, c β] ε = [ γ S 1/2 αγ c γ, δ S 1/2 δβ c δ] ε = Sαγ 1/2 S 1/2 δβ δ γδ γδ also [c α, c β] ε = S 1 αβ Beispiel: Anwendung des Erzeugers auf das Vakuum: 70

71 c α 0 = β aber es folgt: S 1/2 βα c β 0 = β S 1/2 βα β = S 1/2 βγ βα S 1/2 γβ γ = γ S 1 γα γ α! β c α 0 = β γ S 1 γα γ = γ S 1 γαs βγ = δ αβ weiter folgt: α α c α = αβγ β S 1/2 βα S 1/2 αγ c γ = α α c α damit haben Operatoren in zweiter Quantisierung dieselbe Struktur wie im Falle einer orthonormalen Ein-Teilchen-Basis! z.b.: Ein-Teilchen-Operator: A = α,α c α α A 1 α c α = α,α c α α A 1 α c α Beispiel: Ein-Teilchen-Eigenwertproblem: H 1 Ψ = ε Ψ in nichtorthogonaler Basis: Ψ = 1 Ψ = αβ α S 1 αβ β Ψ 71

72 damit: αβ H α Sαβ 1 β Ψ = ε α Sαβ 1 β Ψ αβ Multiplikation mit γ liefert: αβ H γα SαβΨ 1 β = ε S γα SαβΨ 1 β = εψ γ αβ mit H αβ = α H β und Ψ α = α Ψ nichtorthogonales Eigenwertproblem in Matrixschreibweise: HS 1 Ψ = εψ Problem: HS 1 ist nicht hermitesch! aber nach Multiplikation mit S 1/2 ist: bzw. S 1/2 HS 1/2 S 1/2 Ψ = εs 1/2 Ψ H Ψ = ε Ψ mit hermiteschem H für die Löwdin-Transformierten H = S 1/2 HS 1/2, Ψ = S 1/2 Ψ Rezept: berechne die Hamilton- und die Überlappmatrix: 72

73 H αβ = α H β, S αβ = α β diagonalisiere S: S = UsU berechne: S 1/2 = Us 1/2 U führe Löwdin-Transformation durch: H = S 1/2 HS 1/2 löse das (orthogonale) Eigenwertproblem: H Ψ = ε Ψ berechne Ψ durch Löwdin-Rücktransformation: Ψ = S 1/2 Ψ 2.10 Unterscheidbare Teilchen betrachte System aus N unterscheidbaren Teilchen Hamilton-Operator: H N = N i=1 H (i) 1 73

74 Hilbert-Raum: ONB: H N = H (1) 1 H (N) 1 { φ (1) α 1 φ (N) α N } Beispiele: 1) paarweise verschiedene Teilchen H-Atom: 1 Elektron, 1 Proton 4 verschiedene Atome: H, He, Li, Be φ 8 φ 4 φ 1 φ 5 φ 4 φ 8 φ 8 Teilchen N M = d N keine relevanten Beispiel-Systeme 2) identische Teilchen, aber räumlich getrennt qubits, Zweiniveausysteme, lokale Spins mit S = 1/2 System harmonischer Oszillatoren (atomare Schwingungen) 74

75 φ 1 φ 2 φ 3... φ d φ 1 φ 2 φ 3... φ d φ 1 φ 2 φ 3... φ d Ein Teilchen Zustände M = d N physikalisch wichtige Beispiele Begründung der Unterscheidbarkeit: prinzipiell sind auch identische Teilchen, die räumlich getrennt sind (kein Überlapp von Wellenfunktionen), ununterscheidbar und somit als Bose-/Fermi-System zu behandeln, aber die Behandlung als unterscheidbare Teilchen liefert dieselben Ergebnisse: betrachte Messung einer lokalen Observablen A, d.h. A = N A (i) i=1 Erwartungswert in normiertem (anti-)symmetrisiertem Produktzustand: A = Kε φ 2 (1) α 1 φ (N) α N S (ε) N N i=1 A (i) S (ε) N φ (1) α 1 φ (N) α N die Teilchen befinden sich in paarweise verschiedenen Ein-Teilchen-Zuständen dim H 1 = Nd Besetzungszahlen n α = 0, 1 und K 2 ε = N! bei Beschreibung mit ununterscheidbaren Teilchen! 75

76 A = N! N = N i=1 P φ (1) i=1 α 1 φ (N) α N A (i) S (ε) N φ (1) α 1 φ (N) ε p φ (1) α 1 φ (N) α N A (i) φ (1) α P(1) φ (N) α P(N) α N wegen n α = 0, 1 liefert nur P = 1 einen nichtverschwindenden Beitrag: also: A = N φ (1) i=1 α 1 φ (N) α N A (i) φ (1) α 1 φ (N) A = φ (1) α 1 φ (N) α N A φ (1) α 1 φ (N) α N α N Erwartungswert im Produktzustand (wie für unterscheidbare Teilchen) Argument erweiterbar: für Ψ A Φ = K 2 ε Ψ S (ǫ) N AS (ǫ) N Φ Ψ = Φ = c α1,...,α α 1,...,α N φ (1) α 1 φ (N) N α N d α1,...,α α 1,...,α N φ (1) α 1 φ (N) N α N falls α 1 aus den ersten d, α 2 aus den zweiten d Zuständen, etc. 76

77 2.11 Feldoperatoren ONB { α }, unendlichdimensional und kontinuierlich ONB { r }, kontinuierlich, Ortseigenzustände r r = δ(r r ) d 3 r r r = 1 Transformation: mit: α = d 3 r r r α = d 3 r U rα r Spinfreiheitsgrade werden der Einfachheit halber in diesem Abschnitt nicht berücksichtigt. Wegen der Überabzählbarkeit der Basis sind die Betrachtungen hier nur mit eventuellen Zugeständnissen an die mathematische Exaktheit durchführbar. Vorsicht ist auf jeden Fall geboten bei naiver Übertragung von Resultaten, die nur für den diskreten Fall Sinn machen (z.b. Besetzungszahldarstellung). 77

78 U rα = r α = φ α (r) (, kontinuierlich) definiere Feldoperatoren : Vernichter, Erzeuger in neuer Darstellung, d.h. ψ(r) c r ψ (r) c r (in jedem Raumpunkt sind Operatoren ψ und ψ definiert) es ist: [ ψ(r), ψ (r ) ] = α ε = α α r c α, α r c α α α α r α r δ αα = α r α α r = r r [ ψ(r), ψ (r ) ] ε = δ(r r ) Quantenfeldtheorie Beispiel: Hamilton-Operator für System mit Coulomb-WW in äußerem Potenzial ( = 1): H = d 3 r ψ (r) Beispiel: ε 1 2m + V (r) ψ(r) + 1 d 3 r d 3 r e 2 ψ (r)ψ (r )ψ(r )ψ(r) 2 4πε 0 r r definiere Teilchendichteoperator : 78

79 ˆn(r) = i δ(r ˆr i ) Darstellung in zweiter Quantisierung: also: ˆn(r) = d 3 r d 3 r ψ (r ) r δ(r ˆr) r ψ(r ) Man beachte den Unterschied zwischen dem Ortsvektor und dem Ortsoperator des i-ten Teilchens! = d 3 r d 3 r ψ (r ) r δ(r r ) r ψ(r ) = d 3 r ψ (r ) r r ψ(r) ˆn(r) = ψ (r)ψ(r) 2.12 Quantisierung der Schrödinger-Gleichung Einheiten: = 1 System wechselwirkender Teilchen (z.b. Coulomb-Wechselwirkung) üblicher Übergang von KM zur QM: Newton-Mechanik von Massenpunkten Lagrange-Formalismus Hamilton-Formalismus, H = H(q i, p j ) Quantisierung: [q i, p j ] = iδ ij 79

80 Alternative: klassische Feld-Theorie Lagrange-Formalismus Hamilton-Formalismus Quantisierung betrachte ein klassisches Feld: Ψ(r, t) die Bewegungsgleichung sei durch die Schrödinger-Gleichung gegeben: i t Ψ(r, t) = 1 2m + V (r) Ψ(r, t) (dynamische Grundgleichung einer klassischen Feldtheorie) Interpretation von Ψ(r, t): Ψ(r, t) 2 = ρ(r, t) ist die Teilchendichte beachte: Schrödinger-Gleichung Kontinuitätsgleichung Erhaltung der Teilchenzahl geladene Materie (klassisch, nichtrelativistisch) elektrostatisches Potenzial V C (r) = e2 d 3 r ρ(r ) 4πε 0 r r (nicht-lineare) Grundgleichung der klassischen wechselwirkenden Feldtheorie: 80

81 i t Ψ(r, t) = 1 2m + V (r) Ψ(r, t) + e2 4πε 0 Lagrange-Funktion L = L[Ψ(r), t Ψ(r)] Lagrange-Gleichung: d δl dtδ t Ψ(r) δl δψ(r) = 0 äquivalent zur Bewegungsgleichung, falls L = d 3 rψ (r)i t Ψ(r) d 3 rψ (r) d 3 r Ψ(r, t) 2 Ψ(r, t) r r 1 2m + V (r) Ψ(r) 1 d 3 rd 3 r Ψ (r)ψ (r ) e πε 0 r r Ψ(r )Ψ(r) beachte: Ψ, Ψ werden (statt Real-, Imaginärteil) als unabhängige Variablen betrachtet Beweis: es ist: d dt und δl δ t Ψ(r) = i t Ψ (r) 81

82 δl δψ(r) = Ψ (r) 1 2m + V (r) 1 d 3 r Ψ (r)ψ (r ) e πε 0 r r Ψ(r ) 1 d 3 r Ψ (r )Ψ (r) e πε 0 r r Ψ(r ) die Bewegungsgleichung folgt durch Adjungieren, q.e.d. kanonisch konjugierter Impuls: Π(r) = δl δ t Ψ(r) = iψ (r) Legendre-Transformation Hamilton-Funktion H = H[Ψ(r), Π(r)] also: H = d 3 rπ(r) t Ψ(r) L = d 3 r iψ (r) t Ψ(r) L H = d 3 rψ (r) 1 2m + V (r) Ψ(r) + 1 d 3 rd 3 r e 2 Ψ (r)ψ (r )Ψ(r )Ψ(r) 2 4πε 0 r r Quantisierung: Ψ(r), Π(r) ψ(r), π(r) wobei ψ(r), π(r) Operatoren sind, die durch die kanonischen Vertauschungsrelationen festgelegt sind: [ψ(r), π(r )] = iδ(r r ) also (mit π = iψ ): 82

83 oder: [ψ(r), iψ (r )] = iδ(r r ) [ψ(r), ψ (r )] = δ(r r ) das sind die oben eingeführten Feldoperatoren! H ist der Hamilton-Operator in zweiter Quantisierung H = d 3 r ψ (r) 1 2m + V (r) ψ(r) + 1 d 3 r d 3 r e 2 ψ (r)ψ (r )ψ(r )ψ(r) 2 4πε 0 r r Plausibilisierung des Begriffs Zweite Quantisierung Fermionen: es sind (ad hoc!) Antikommutatorrelationen anzusetzen veränderte Korrespondenzregel Spin und andere nicht-klassische Observablen können nicht aus einem klassischen Ansatz abgeleitet werden klassische Feldtheorie (für Materie!) zeigt schon (fälschlicherweise) die typischen Wellenphänomene (Beugung, Tunneln) Austausch-Wechselwirkung (und Korrelationen) bleibt ein quantenmechanisches Konzept (V C ist nur der Hartree-Anteil der Wechselwirkung). 83

84 vergleiche mit der Hartree-Fock-Approximation: 1 d 3 r d 3 r ψ (r)ψ (r ) e πε 0 r r ψ(r )ψ(r) d 3 r ψ (r) d 3 r e 2 ψ (r )ψ(r ) 4πε 0 r r = d 3 r d 3 r ψ (r)u(r, r )ψ(r ) ψ(r) d 3 r ψ (r) d 3 r e 2 ψ (r )ψ(r) 4πε 0 r r ψ(r ) mit: U(r, r ) = δ(r r ) d 3 r e 2 ψ (r )ψ(r ) 4πε 0 r r e2 ψ (r )ψ(r) 4πε 0 r r 84

85 Exakte Diagonalisierung 3.1 Volle Diagonalisierung U t einfaches Lösen des Hubbard-Modells? Aufstellen der Hamilton-Matrix: m n 1, n 2,..., n 2L m = 1,..., M M = dim H 85 H = t ij c iσc jσ + U ijσ 2 iσ n iσ n i σ

86 H mm = m H m numerische Diagonalisierung: H = UDU kleinster Eigenwert (Grundzustandsenergie), zugehöriger Eigenvektor (Grundzustand): c 0m E 0 = c 0m m m Berechnung von Erwartungswerten A: E 0 A E 0 = c 0mc 0m m A m mm Problem : M M Hamilton-Matrix mit M = 2 2L = 4 L = dim H L = 6 sites M = 4096 L = 10 sites M = Ausnutzen von Symmetrien : 86

87 z.b. Erhaltung der spinabhängigen Gesamtteilchenzahl: [N σ, H] = 0 mit N σ = L n iσ i=1 Dimension der invarianten Unterräume: M N,N = L N L N L = 6 Plätze, N = N = 3 Elektronen ( Halbfüllung ) M N,N = 400 L = 12 Plätze, N = N = 6 Elektronen ( Halbfüllung ) M N,N = ?? Speichern der Hamilton-Matrix: Bytes GBytes = 3TBytes aber: Hamilton-Matrix dünn besetzt verbleibendes Problem: Diagonalisierung? 87

88 3.2 Potenzmethode Startzustand: u 0 es gilt: lim k H k u 0 H k u 0 E 0 falls u 0 eine nichtverschwindende Komponente des Grundzustands E 0 enthält (wähle Startzustand zufällig und k = O(100)) Beweis: es gilt: wobei u 0 = dim H n=0 H E n = E n E n E n E n u 0 (Entartung E n = E m für n m ist möglich) es sei o.b.d.a. E n < 0 für alle n (sonst: H H const.) 88

89 betrachte: H k dim H damit ist: lim k n=0 E n E n u 0 = dim H H k u 0 H k u 0 = lim k n=0 E k n E n E n u 0 n E k n E n E n u 0 n E 2k n E n u 0 2 n (E n /E 0 ) k E n E n u 0 = lim k n (E n /E 0 ) 2k E n u 0 = E 0 E 0 u 0 2 E0 u 0 = 2 eiϕ E 0 entarteter Grundzustand: das Verfahren konvergiert gegen einen Grundzustand die Konvergenz wird im wesentlichen durch das Gap = E 1 E 0 > 0 bestimmt: E k 1 E 0 Diskussion: = E 0 + E 0 k = 1 + E 0 k 0 ( < E 0, E 0 < 0!) nur 2 Vektoren müssen im Speicher gehalten werden, H k u 0 und H k+1 u 0 Grundzustand des Hubbard-Modells für L = 12 problemlos zugänglich (Standard- PC) dabei Ausnutzen der spinabhängigen Gesamtteilchenzahlerhaltung weiteren Symmetrien: 89

90 S 2, Translationssymmetrien (bei periodischen Randbedingungen),... damit L = 18, N = 18 möglich im Vergleich zur Lanczos-Methode schlechtes Konvergenzverhalten 3.3 Imaginäre Zeitentwicklung andere Möglichkeit: e βh ist der Zeitentwicklungsoperator für imaginäre Zeit τ = β (β wird hier nicht als inverse Temperatur interpretiert) definiere: Ψ(β) = exp( βh) Ψ(0) mit einem beliebigen Anfangszustand Ψ(0) (endlicher Überlapp mit dem Grundzustand) es sei Ψ(0) = c n Ψ n n mit Ψ n Eigenzustände von H; n = 0 bezieht sich auf den Grundzustand dann gilt: 90

91 lim β 1 Ψ(β) Ψ(β) 1/2 Ψ(β) = lim β 1 Ψ(0) e 2βH Ψ(0) 1/2e βh Ψ(0) = lim β 1 ( n e 2βE n c n 2 ) 1/2 = lim β 1 ( n e 2β(E n E 0) c n 2) 1/2 n e βe n c n Ψ n n e β(e n E 0 ) c n Ψ n falls der Grundzustand nicht entartet ist, ist E n E 0 > 0 für alle n 0, und 1 = ( c 0 2 ) 1/2c 0 Ψ 0 = e iϕ Ψ 0 mit einer Phase ϕ imaginäre Zeitpropagation bis β 1/(E 1 E 0 ) notwendig Verfahren so in der Praxis nicht verwendbar: Berechnung von exp( βh) Ψ(0)??? 91

92 3.4 Lanczos-Verfahren Cornelius Lanczos 92

93

94 Startvektor u 0 (zufällig) Entwicklung in einer ONB { m } von H (Dimension M): u 0 = u 0m m m Darstellung von u 0 durch Spaltenvektor u 0 C M Darstellung von H durch Matrix H C M C M n-ter Krylov-Raum von u 0 (mit Dimension n M): K n = span {u 0, Hu 0,..., H n 1 u 0 } Konstruktion einer orthogonalen (nicht normierten) Basis von K n : {u 0, u 1,..., u n 1 } Start: u 1 = 0, b 0 = 0 definiere iterativ: und a i = u ihu i u iu i für i = 0,..., n 1 b 2 i = u iu i u i 1u i 1 für i = 1,..., n 1 94

95 u i+1 = Hu i a i u i b 2 iu i 1 für i = 0,..., n 1 nur Matrix-Vektor-Multiplikationen werden benötigt! nur 3 Vektoren müssen im Speicher gehalten werden offensichtlich: u i K n für i = 0,..., n 1 Beweis der Orthogonalität durch Induktion: es seien {u 0, u 1,..., u i } orthogonal dann ist u iu i+1 = u ( i Hui a i u i b 2 ) iu i 1 = ai u iu i a i u iu i 0 = 0 und für j = 0,..., i 1 u ju i+1 = u ( j Hui a i u i b 2 ) iu i 1 = u j Hu i b 2 iu ju i 1 = [ u ihu j b 2 iu i 1u ] [ ( j = u i aj u j + u j+1 + b 2 ) ju j 1 b 2 i u i 1u ] j = [ u iu j+1 b 2 iu i 1u ] j = 0 für j = i 1 (siehe Definition von b i ) und für j < i 1 (per Induktionsannahme) q.e.d. 95

96 Normierung: v i = es gilt: u i u iu i v ihv i = u ihu i u = a i für i = 0,..., n 1 iu i und für i = 1,..., n 1 ist somit: v ihv i 1 = v i 1Hv i = 1 1 u u iu i u i 1Hu i i 1u i 1 und = 1 1 b u iu i u 2 iu i 1u i 1 = i 1u i 1 0 = v ihv j für i j und i j ± 1 u i 1u i 1 u iu i b 2 i = b i orthonormale Basis des n-ten Krylov-Raums von u 0 : definiere: {v 0, v 1,..., v n 1 } ONB des Krylov-Raums 96

97 T ij = v ihv j dann ist: T = a 0 b 1 b 1 a 1 b 2 b 2 a 2 b n 1 b n 1 a n 1 im Krylov-Raum wird der Hamiltonian durch eine tridiagonale Matrix dargestellt sei v i die i-te Spalte von V : V = (v 0,..., v n 1 ) dann ist: T = V HV (M n-matrix) aus der Orthonormaliztät der Krylov-Raum-Basis folgt: V V = 1 V V = P n 1 (Unvollständigkeit wegen n M) P n ist der Projektor auf den Krylov-Raum K n : P n = P n P 2 n = P n P n V = V 97

98 Wirkung des Hamiltonians auf K n? es ist PHP = V V HV V d.h. PHP = V TV aus der Annahme b n = 0 folgt, dass K n ein invarianter Unterraum ist: HK n K n H = C n also [H, P ] = 0 und: HP = V TV (falls b n = 0) Diagonalisierung von T löst das Problem exakt, falls b n = 0 im Normalfall ist b n 0, so dass das Verfahren approximativ ist 98

99 Diagonalisierung: T = QΛQ mit Q unitär, Λ reell und diagonal damit ist: TQ = QΛ i.e. die Spalten der n n-matrix Q = (q 0,..., q n 1 ) sind orthonormale Eigenvektoren von T Tq i = λ i q i und bilden eine Basis des Krylov-Raums: {q 0,..., q n 1 } Lanczos-Basis zusammen gilt: HV = HV V V = HPV = V TV V = V T = V QΛQ und somit HV Q = V QΛ d.h. die Spalten von V Q = Ψ = (Ψ 0,...,Ψ n 1 ) 99

100 sind orthonormale Eigenvektoren von H zu den Eigenwerten Λ HΨ = ΨΛ beachte: u i K n Lanczos-Verfahren als Verbesserung der Potenzmethode exzellente Approximation des Grundzustands für n = O(100) Lanczos-Methode limitiert durch die Notwendigkeit u i zu speichern N = L = 10 Plätze (Hubbard-Modell) leicht zugänglich N = L = 20 mit Hilfe von Symmetrien und Supercomputern... aber nicht viel mehr! Berechnung der Zeitentwicklung von Zuständen möglich, s.u. Berechnung von Green-Funktionen möglich, s.u. 100

101 L = 10 Hubbard-Kette, periodische Randbedingungen, N = 8, U = 4t 20 energy eigenvalues Krylov space dimension n 101

102 Convergence of the Lanczos recursion for the ground-state energy of the Hubbard model on a ring of L = 12 and L = 14 sites taken from: Computational Many-Particle Physics, H. Fehske, R. Schneider and A. Weie 102

103 3.5 Krylov-Zeitentwicklung (exakte) Wirkung des Hamiltonians auf K n : PHP = V V HV V = V TV damit ist auch (PHP ) k = (V V HV V ) k = (V TV ) k = V T k V und deshalb e iphpt = ( it) k (PHP ) k = ( it) k V T k V k k! k k! und e iphpt = V e itt V P, V, T hängen vom Startvektor u 0 ab wähle u 0 = Ψ(t) dann ist Ψ(t + t) = e ih t Ψ(t) V e itt V Ψ(t) falls die Ersetzung H PHP eine gute Approximation ist dies ist für t 0 oder n der Fall: 103

104 Beweis: für hinreichend kleines t gilt bei vorgegebener Genauigkeit e ih t Ψ(t) n 1 k=0 ( i t) k H k Ψ(t) k! sämtliche Zustände H k Ψ(t) liegen (per Definition) im Krylov-Raum K n, der vom Startzustand Ψ(t) aus konstruiert wird also gilt: H k Ψ(t) = PH k Ψ(t) = PHH H Ψ(t) = PHPH H Ψ(t) = PHPHP HP Ψ(t) = PHPPHP PHP Ψ(t) = (PHP ) k Ψ(t) und somit e ih t Ψ(t) n 1 k=0 ( i t) k k! H k Ψ(t) = n 1 k=0 ( i t) k (PHP ) k Ψ(t) e iphp t Ψ(t) k! in der Praxis wird n = O(100) gewählt und durch Vergleich von Rechnungen mit verschiedenen t die Gültigkeit der Approximation getestet falls H = H(t), muss t klein gegen die typische Zeitskala in H(t) sein! 104

105 Diagonalisierung von T : T = QΛQ mit Q unitär, Λ reell und diagonal Zeitschritt t: Ψ(t + t) V Qe iλt Q V Ψ(t) Iteration mit Ψ(t + t) als neuem Startvektor 3.6 Green-Funktion Ψ sei der Grundzustand von H, bzw. das Lanczos-Ergebnis für den Grundzustand weiter sei ω C und c = c α, c = c α definiere die Green-Funktion : 1 G(ω) = Ψ c ω H c Ψ (Motivation: siehe weiter unten...) Entwicklung der Green-Funktion für ω : 105

106 mit G(ω) = k=0 Φ = c Ψ 1 ω k+1 Φ Hk Φ Lanczos-Berechnung der Green-Funktion: wähle Φ als Startvektor zum Aufbau des Krylov-Raums: K = Lin{ Φ, H Φ,..., H n 1 Φ } konstruiere orthonormale (approximative) Eigenvektoren von H: mit d.h. Ψ 0,..., Ψ n 1 H Ψ i = E i Ψ i auf K PHP Ψ i = E i Ψ i wobei P der Projektor auf K ist die approximative (Lanczos) Green-Funktion ist: 106

107 G L (ω) = 1 Φ Ψ i Ψ i Φ i ω E i d.h. G L (ω) = 1 Φ i ω PHP Ψ 1 i Ψ i Φ = Φ ω PHP Φ Vergleich: 1 G L (ω) = Φ ω PHP Φ G(ω) = Φ 1 ω H Φ Hochfrequenzentwicklungen: G L (ω) = 1 Φ k=0 ω k+1 Φ (PHP)k Koeffizientenvergleich: Φ (PHP) k Φ = Φ H k Φ gültig für k n 1, denn: G(ω) = k=0 1 ω k+1 Φ Hk Φ Φ H k Φ = Φ H H Φ = Φ H HP Φ = Φ H PHP Φ = Φ PHPH HPHP Φ = Φ (PHP) (PHP) Φ = Φ (PHP) k Φ Fazit: Hochfrequenzverhalten der Lanczos Green-Funktion exakt bis Ordnung n 1 107

108 108

109 Wechselwirkende Viel-Elektronen-Systeme 4.1 Gittermodelle Gitterplätze: i = 1,..., L Ortsvektoren zu Gitterplätzen: R i = D k=1 i k a k mit i k Z Basisvektoren a 1,..., a D spannen Einheitszelle (EZ) auf Volumen der Einheitszelle: V EZ = det(a 1,..., a D ) Systemvolumen V = LV EZ reziprokes Gitter: G i = D k=1 i k b k mit i k Z 109

110 Basis b 1,..., b D spannen reziproke Einheitszelle (rez) auf a i b j = 2π δ ij spezielle rez: 1. Brillouin-Zone (1BZ) es ist V 1BZ = det(b 1,..., b D ) V EZ V 1BZ = (2π) D periodische Randbedingungen auf dem Volumen V V 1BZ k = (2π)D /V EZ (2π) D /V = V V EZ = L Anzahl der k-punkte in der 1BZ: L (diskrete) Fourier-Transformation zwischen realem und reziprokem Raum: U ik = 1 L e ikr i k 1BZ U ist quadratisch! U ist unitär: k U ik U kj = k U ik U jk = k 1 e ikr 1 i e ikr j = δ ij L L 110

111 U kiu ik = UikU ik = 1 e ikr 1 i e ik R i = δ kk i i i L L mit der Darstellung des Kronecker-Deltas: δ ij = 1 L e ik(r i R j ) k δ kk = 1 L e i(k k )R i i Diese Relationen gelten mit der Vereinbarung, alle Wellenvektoren stets auf die 1BZ zu beschränken. Übung Gittermodell: Ein-Teilchen-ONB { α } mit α = (i, m, σ), wobei es ist i: Gitterplatz m: orbitaler Freiheitsgrad am Platz i σ: Spinfreiheitsgrad (σ =, für Spin-1/2-Teilchen) imσ = im σ H 1 = H (B) 1 H (S) Orbital im zentriert am Platz i Hopping-Matrixelemente: 111

112 t imσ,i m σ = imσ p 2 2m + V (r) i m σ V spindiagonal und spinunabhängig: t ii mm σσ = δ σσ t ii mm V gitterperiodisch: also: t imσ,i m σ = t mm (R i R i) H 0 = t ii ii mm mm c imσc i m σ σ Fourier-Transformation der Ein-Teilchen-Basis: imσ kmσ (m und σ fest) damit (hier der Einfachheit halber nur ein Orbital pro Platz, m weglassen): H 0 = k,k σ ε(k, k )c kσc kσ H 0 forminvariant unter unitären Transformationen der Ein-Teilchen-Basis Ein-Teilchen-Matrixelement: ε(k, k ) = ij Uki 1 t ij U jk = 1 e ikr i t ij e ik R j L ij 112

113 = 1 e ik(r i R j ) t(r i R j )e i(k k)r j L ij i i+j = 1 e ikr i t(r i )e i(k k)r j = L ij i e ikr i t(r i )δ kk = 1 L ij = δ kk ε(k) also: e ikr i t(r i )δ kk i i j = 1 e ik(r i R j ) t ij δ L kk ij ε(k) = 1 L ij e ik(r i R j ) t ij t ij = 1 L (diskrete) Fourier-Transformation diagonalisiert H 0 : k e ik(r i R j ) ε(k) H 0 = t ij c iσc jσ = ε(k)c kσc kσ ijσ kσ unter Ausnutzung der Translationsinvarianz ist: ε(k) = 1 e ik(r i R j ) t ij = e ikr i t i0 L ij i Tight-Binding-Näherung: nur nächst-nachbar-hüpfen t i0 = t (kubisches Gitter, D = 3): 113

114 ε(k) = t n.n. e ikr i = 2t(cos k x a + cos k y a + cos k z a) Wahl des Energienullpunkts: t ii = 0 mehrere Orbitale: H 0 = ii mm σ t ii mm c imσc i m σ = kmm σ ε mm (k)c kmσc km σ eine weitere unitäre Transformation (k-abhängig) zur Diagonalisierung der Matrix ε mm (k) wird notwendig H 0 = krσ ε r (k)c krσc krσ r: Bandindex Diskussion: Für ein gitterperiodisches Potenzial, V (r + R i ) = V (r), vertauscht H 0 mit den diskreten Translationsoperatoren T i = exp(ir i p) (p ist der Impulsoperator) Eigenzustände können daher durch die Eigenwerte der T i, also durch exp(ikr i ), bzw. durch k charakterisiert werden Eigenzustände mit k und k +G i liegen im gleichen gemeinsamen Eigenraum von H und von allen T i 114

115 Also Beschränkung auf k 1BZ möglich. Eigenzustände sind also charakterisierbar durch k 1BZ und Bandindex r (Bloch-Theorem). Wechselwirkungsterm: H 1 = 1 2 mit α = (iσ): H (1,2) int also: αβγδ U αβγδ c αc βc δ c γ U αβγδ = U iσ,jσ,kσ,lσ = φ(1) iσ φ (2) jσ H (1,2) int φ (1) kσ φ (2) lσ spin-unabhängig (z.b. Coulomb-WW) U αβγδ = φ (1) iσ φ (2) jσ H (1,2) int φ (1) kσφ (2) lσ δ σσ δ σ σ = U ijklδ σσ δ σ σ H 1 = 1 2 ijkl σσ σ σ U ijkl δ σσ δ σ σ c iσc jσ c lσ c kσ H 1 = 1 2 ijkl σσ U ijkl c iσc jσ c lσ c kσ Translationsinvarianz Matrix-Elemente der Wechselwirkung im k-raum: U kk k k = δ k+k,k +k U kk k k mit U k,p (q) = U k+qp qkp (q: Impulsübertrag) ist: Übung 115

116 H 1 = 1 2 kpq σσ U k,p (q)c k+qσc p qσ c pσ c kσ für U ijkl = δ ij δ ik δ il U (lokale Wechselwirkung) folgt: U kk k k = δ k+k,k +k U L H 1 = U 2L kpq σσ c k+qσc p qσ c pσ c kσ U k,p (q) = U L Übung 4.2 Hubbard-Modell spinunahbängiges, gitterperiodisches Potenzial nur ein Orbital m pro Platz (m weglassen) tight-binding-näherung H 0 = t ijc iσc jσ = t n.n. ij σ ij lokale Wechselwirkung U ijkl = δ ij δ ik δ il U Motivation: metallische Abschirmung σ c iσc jσ H 1 = 1 2 ijkl σσ Uδ ij δ ik δ il c iσc jσ c lσ c kσ = U 2 i σσ c iσc iσ c iσ c iσ = U 2 n iσn i σ i σ 116

117 H 1 = U i n i n i Hubbard-Modell H = t n.n. ijσ c iσc jσ + U 2 iσ n iσ n i σ 1963: J. Hubbard, J. Kanamori, M.C. Gutzwiller qualitative Beschreibung von: Magnetismus, Mott-Isolatoren, unkonventionelle Supraleitung, etc. Motivation der Approximationen: stark lokalisierte 3d- oder 4f-Orbitale Abschirmung möglichst starke Vereinfachung Beibehaltung des nichttrivialen Wechselspiels zwischen H 0 und H 1 für H 0 0 und H 1 0 nicht allgemein lösbar einfachstes nicht-triviales Gitter-Modell das Demonstrationsmodell der Vielteilchen-Theorie 117

118 4.3 Grenzfälle und Phasendiagramm Parameter: Wechselwirkungsstäke U/t ( Hubbard-U ) Teilchenzahl N = 1,..., 2L bzw. µ (konjugierte Variablen) TD Limes: N, L, N/L = n =const. n: Füllung, n, n = 0 2 n = 1: Halbfüllung Temperatur T Gitter-Dimension D und Gitterstruktur U-n-T-Phasendiagramm? Anregungen (Spektroskopien)? Dynamik? Liste der Grenzfälle des Hubbard-Modells, Spekulationen zum Phasendiagramm: 1) Band-Limes U = 0 H = t n.n. ijσ c iσc jσ Fermi-Gas (tight-binding-bild) 118

119 2) Atomarer Limes t ij = δ ij ε 0 H = ε 0 iσ n iσ + U 2 iσ H = i H i, exakt lösbar n iσ n i σ Übung 3) Leeres Band n = 0 E 0 = 0, 0,... 4) Volles Band n = 2 E 0 = 1, 1,... E 0 = E 0 H E 0 = ε 0 + U 1 = L(2ε 0 + U) iσ 2 iσ 5) N klein dimh ( ) N = 2L N kleiner Hilbert-Raum für N = 0, 1, 2,... und N = 2L, 2L 1, 2L 2,

120 6) D = 1 (siehe unten: Luttinger-Flüssigkeit) nicht-trivialer Grenzfall, viele Größen exakt berechenbar 7) D = (siehe unten: dynamische Mean-Field-Theorie) nicht-trivialer Grenzfall Abbildung auf einfacheres Modell möglich (Störstellen-Anderson-Modell) sehr gut numerisch zu behandeln 8) niedrige Gitterdimension D = 1: keine LRO D = 2: keine LRO für T > 0 9) n = 1, U Abbildung auf das einfachere Heisenberg-Modell möglich (s.u.) antiferromagnetische Ordnung (nicht-frustriertes Gitter!) n 1: t-j-modell 120

121 10) n = 1, U 0 Störungstheorie in U antiferromagnetische Instabilität 11) n = 1, T > T N crossover Metall Isolator (s.u.) Phasenübergang in metastabiler PM Phase bei T = 0 und U = U c (Mott-Übergang) 12) U klein: schwach korreliertes System Störungstheorie in U (s.u.) Fermi-Flüssigkeit 13) U groß, n 1 Konkurrenz verschiedener langreichweitiger Ordnungen (LRO), normaler und seltsamer metallischer Phasen: - magnetische Phasen (dimensionsabhängig!!): AF, F - inhomogene Phasen: Streifen, CDW 121

122 - (Hochtemperatur-)Supraleitung? (D = 2) - Spinglas - Pseudogap 4.4 Symmetrien Symmetrie, Symmetrietransformation Transformation T von Observablen und Zuständen, so dass Messresultate unverändert bleiben: T : A A T : Ψ Ψ Wigner: T ist eine (anti-)unitäre Transformation! U unitär: A = UAU und Ψ = U Ψ es ist: A = A[c α, c α] Antiunitäre Transformationen treten in Verbindung mit der Zeitumkehr auf und werden hier nicht weiter betrachtet. 122

123 also: und: und: also A = UA[c α, c α]u = A[Uc α U, Uc αu ] = A[c α, c α ] A = UA U = (UAU ) = A Ψ Ψ Ψ Ψ = U Ψ Ψ U Angabe von c α c α ist hinreichend zur Def. von T... aber nicht notwendig, d.h. die Unitarität der Transformation muss dann noch nachgewiesen werden. Beispiel: Teilchen-Loch-Transformation c α c α = c α es folgt: c α c α Symmetrietransformation? U unitär mit c α = Uc α U, c α = Uc αu, α? 123

124 es gilt: ˆN = ( α c αc α ) = α c αc α = α (1 c αc α ) = d ˆN mit d: Anzahl der Orbitale (Hubbard-Modell: d = 2L) also: 0 = 0, 0,... ( ) 0 = 1, 1,... 1 also: n 1, n 2,... = (c 1 ) n 1 (c 2 ) n2 0 = c n 1 T permutiert die Basiszustände in H ( ) T ist eine unitäre Transformation! Wenn 0 der (nichtentartete) Eigenzustand von N zum Eigenwert 0 ist, dann ist 0 der (nichtentartete) Eigenzustand von N (Transformation ändert den Entartungsgrad nicht) zum gleichen Eigenwert (Transformation ändert Eigenwerte nicht, da physikalische Messgrößen invariant sind). 1 c n = ± 1 n 1, 1 n 2,

125 Beispiel: U(1)-Eichtransformation c α e iφ c α mit reeller Zahl φ es ist c α c α = e iφ c α T = T φ (kontinuierliche, abelsche) Transformationsgruppe U(1) Symmetrietransformation, denn: iφ ˆN U = U φ = e U unitär: klar Uc α U = e iφ c α letzteres folgt aus dem Baker-Hausdorff-Theorem: e λa Be λa = e λl A B mit L A (X) = [X, A] denn es ist: [c α, ˆN] = β [c α, ˆn β ] = c α also: L ˆNc α = c α und somit Uc α U = e iφ ˆNc α e iφ ˆN = e iφl ˆNc α = 1 k k! ( iφ)k L kˆnc α = 1 k k! ( iφ)k c α = e iφ c α 125

126 Beispiel: lokale U(1)-Eichtransformation c α e iφ α c α mit reeller Zahl φ α analog mit U = e i α φ αˆn α Diskussion: Symmetrietransformation (H ( ) H ( ) ) zu unterscheiden von unitärer Transformation der Ein-Teilchen-Basis (H 1 H 1 )! H 1 H 1 : Wechsel der Darstellung (Ort Impuls Energie ) Übergang zwischen zwei 1-T-ONB s: { α } { α } bzw. c α c α H in zweiter Quantisierung dargestellt durch c α, c α Forminvarianz bei Darstellungswechsel H ( ) H ( ) : feste Darstellung, feste 1-T-ONB { α } t αβ, U αβγδ fest, aber c α c α = Uc α U unitäre Transformation im gesamten H ( ) bei fester Darstellung allgemeiner! (s. Teilchen-Loch-Transformation: c α ist ein Erzeuger!) es gilt immer: [c α, c β ] + = [Uc α U, Uc β U ] + = δ αβ 126

127 Beispiel: Spinrotation c α Uc α U mit U = U(ϕ) = e iϕs S: Gesamtspin U ist unitär, SU(2)-Transformationsgruppe (nicht-abelsch) mit dem Baker-Hausdorff-Theorem folgt für α = (iσ): und mit ist Uc iσ U = e il ϕs c iσ L ϕs analog: c i c i c i c i = [ = e iϕs c i c i c i c i (c i, c i ) = (c i, c i )e +iϕσ/2, ϕs] = ϕ 1 2 σ e iϕs = e iϕσ/2 c i c i c i c i Übung 127

128 Invarianz von H unter Symmetrietransformationen? H ist invariant unter T (beschrieben durch U), falls H H = UHU = H bzw. [U, H] = 0 Invarianz Generatoren sind Erhaltungsgrößen (für kontinuierliche Gruppen!) U(1): c α e iφ c α, c α e iφ c α (falls H c c + c c cc) H UHU = H 0 = [U, H] = [e iφ ˆN, H] [ ˆN, H] = 0 ˆN Erhaltungsgröße φ SU(2): c α Uc α U mit U = e iφs für das Hubbard-Modell gilt: [S, H] = 0 (direkte Rechnung oder manifest SU(2)-invariante Umformulierung) S Erhaltungsgröße! Übung Teilchen-Loch-Transformation: c iσ c iσ (diskrete Transformation!) H H = t ij c iσ c jσ + U ijσ 2 iσ c iσ c iσc i σ c i σ = 2Lε 0 t ij c jσc iσ + U ijσ 2 iσ (1 n iσ )(1 n i σ ) 128

129 = t ij c iσc jσ + U ijσ 2 H iσ nicht invariant! n iσ n i σ + U(L ˆN) + 2Lε 0 Spezialfall: bipartites Gitter, n.n.-hopping, ε 0 = 0, Halbfüllung: N = L Symmetrietransformation T mit c iσ c iσ, falls i A, c iσ c iσ, falls i B Ein Gitter heisst bipartit, falls es zwei Untergitter A, B gibt, in die es zerlegt werden kann, so dass jeder nächste Nachbar von A in B liegt und umgekehrt. Beispiel: sc, Gegenbeispiele: fcc, Dreiecksgitter. es gilt: n iσ n iσ und für n.n. i, j ist: c iσc jσ c iσc jσ H invariant unter kombinierter Transformation. T und T-L-Transformation! H invariant unter Gittertranslationen, -rotationen, -spiegelungen, falls dies Symmetrien des Gitters selbst sind. z.b.: c iσ c i+i0 σ, Translation um R i0 H invariant, falls t ij = t i+i0,j+i 0 129

130 4.5 Anderson-Modelle oft mehr als ein Orbital pro Platz für qualitativ korrekte Beschreibung wichtig Beispiel: Ce Elektronenkonfiguration von Ce: [Xe]4f 1 5d 1 6s 2 2 Gruppen von Orbitalen: 4f: stark lokalisiert, großes U: Erzeuger f iσ 5d, 6s: breites Band, U 0: Erzeuger c iσ Modell (ohne Entartungen): H = iσ ε f f iσf iσ + U 2 iσ n (f) iσ n (f) i σ + t ij c iσc jσ + H sf ijσ H sf ist eine Kopplung zwischen den f- und s-subsystemen Möglichkeiten: (U(1)-, SU(2)-invariant, lokal) H sf Hybridisierung periodisches Anderson-Modell H sf Interband-Austausch Kondo-Gitter-Modell denkbar ist auch eine Dichte-Dichte-Interband-WW 130

131 periodisches Anderson-Modell (PAM): H = iσ ε f f iσf iσ + U 2 oft: V ij = V δ ij als Modellannahme Beschreibung von seltenen Erden und Aktiniden Valenzfluktuationen: ε f ε F iσ Hybridisierung sehr effektiv Kondo-Limes: ε f ε F ε f + U stabiles lokales f-moment n (f) iσ n (f) i σ + t ij c iσc jσ + V ij (c iσf jσ + H.c.) ijσ ijσ Kondo-Gitter-Modell (KLM): H = iσ ε f f iσf iσ + U 2 mit J < 0: (antiferromagnetisches) KLM iσ n (f) iσ n (f) i σ + t ij c iσc jσ ijσ i JS (f) i S (s) i 131

132 mit J > 0: ferromagnetisches KLM Beispiel: LaMnO 3 Letzteres kann als ein effektives Niederenergiemodell zum periodischen Anderson-Modell aufgefasst werden, wie weiter unten gezeigt wird. atomare Elektronenkonfigurationen: La 5d 1 6s 2, Mn 3d 5 4s 2, O 2p 4 im Festkörper: La 3+ Mn 3+ O 2 3 Mn 3d 4 -Konfiguration Band Core J>0 S=3/2 e g g=2 t 2g Störstellenmodelle keine Translationsinvarianz Störstellen Anderson-Modell (SIAM): g=3 H = σ ε ff σf σ + U 2 σ n(f) σ n σ (f) + ijσ t ij c iσc jσ + iσ V i (c iσf σ + H.c.) 132

133 korrelierte (U > 0) Störstelle (f σ) an einem (Zwischen-)Gitterplatz gekoppelt (V i ) an ein Band (t ij ) von Leitungselektronen (c iσ) 4.6 Mehrband-Modelle mehrere Orbitale pro Platz: ONB { imσ } Ein-Teilchen-Anteil des Hamilton-Operators H = H 0 + H 1 : H 0 = ii mm σ t ii mm c imσc i m σ spinunabhängiges äußeres Potenzial Wechselwirkungsterm H 1 : H 1 = 1 2 αβγδ mit α = (imσ): U αβγδ c αc βc δ c γ U αβγδ = U imσ,i m σ,i m σ,i m σ = φ(1) imσφ (2) i m σ H (1,2) int φ (1) i m σ φ (2) i m σ H (1,2) int spin-unabhängig (Coulomb-WW) σ = σ, σ = σ stark abgeschirmte, lokale Wechselwirkung i = i = i = i 133

134 U αβγδ = U iiii,mm m m δ ii δ ii δ ii δ σσ δ σ σ Translationsinvarianz U iiii,mm m m = U mm m m also: H 1 = 1 2 i mm m m σσ U mm m m c imσc im σ c im σ c im σ Für Modellbildungen werden meist nur direkte und Austauschterme berücksichtigt. Terme mit nur zwei orbitalen Indizes: also: m = m m = m direkt m = m m = m Austausch m = m m = m (wird nicht weiter betrachtet) U mm m m δ mm δ m m U mm + δ mm δ m m J mm (1 δ mm ) mit direkten WW-Parametern: Der Fall m = m = m = m darf natürlich nicht doppelt gezählt werden. 134

135 also U mm = U mm mm = e2 4πε 0 U mm U mm mm = e2 4πε 0 und Austausch-Parametern: damit: wobei: J mm U mm m m = e2 4πε 0 H 1 = H (dir) 1 + H (ex) 1 H (dir) 1 = 1 2 = 1 2 = 1 2 iσ iσ iσσ d 3 r 1 d 3 r 2 φ imσ(r 1 )φ im σ (r 1 2) r 1 r 2 φ imσ(r 1 )φ im σ (r 2) d 3 r 1 d 3 r 2 φ imσ (r 1 ) 2 φ im σ (r 2) 2 r 1 r 2 d 3 r 1 d 3 r 2 φ imσ(r 1 )φ im σ (r 1 2) r 1 r 2 φ im σ(r 1 )φ imσ (r 2 ) mm U mm c imσc im σ c im σ c imσ mm U mm c imσc im σ c im σc imσ m m mm U mm n imσ n im σ iσ m m iσ mm U mm c imσc im σ c im σc imσ mm U mm n imσ n im σ iσ m U mm n imσ n im σ 135

136 und H (dir) 1 = 1 2 U mm n imσ n im σ + 1 m m U mm (n imσ n im iσ m 2 iσ mm σ + n imσ n im σ) H (ex) 1 = 1 2 = 1 2 iσ = 1 2 jetzt gilt: und: m m iσ iσσ mm (1 δ mm )J mm c imσc im σ c imσ c im σ mm J mm c imσc im σ c imσc im σ m m mm J mm n imσ n im σ 1 2 iσ iσ m m mm m m mm J mm c imσc im σ c im σc im σ J mm c imσc im σ c im σ c im σ σ c imσc im σ c im σ c im σ = S im+ S im + S im S im + = 2(S imx S im x + S imy S im y) = 2(S im S im S imz S im z) S imz S im z = 1 2 (n im n im ) 1 2 (n im n im ) S imz S im z = 1 4 (n im n im + n im n im n im n im n im n im ) also: S imz S im z = 1 4 σ (n imσn im σ n imσ n im σ) 136

137 bzw: H (ex) 1 = 1 m m J mm n imσ n im 2 iσ mm σ i iσ m m mm H (ex) 1 = i insgesamt ist also: H 1 = i iσ iσ m m mm m m J mm (n imσ n im σ n imσ n im σ) m m mm J mm S im S im 1 4 m U mm n imσ n im σ U mm 1 2 J mm iσ m m mm J mm S im S im m m mm (n imσ n im σ + n imσ n im σ) mm J mm S im S im oder mit U mm = U mm J mm /2 und n im = σ n imσ: J mm (n imσ n im σ + n imσ n im σ) H 1 = 1 2 iσ m U mm n imσ n im σ i m m mm U mm n imn im i m m mm J mm S im S im schick! 137

138 138

139 Variation von Vielteilchenzuständen 5.1 Variationsprinzip Jedes System versucht, seine Gesamtenergie zu minimieren - warum? 1) Thermodynamik: Gesamtenergie ist ein thermodynamisches Potenzial E = E(S, V, N) =min. für S, V, N fest (Gas) 2) Quantenmechanik: Ritzsches Prinzip E = E[ Ψ ] =min. Das Energiefunktional muss spezifiziert werden! (triviales) Beispiel: E = E(x) = 1 2 ax2 + bx (a > 0) E(x) ist minimal für: 139

140 0 = de(x 0) = ax 0 + b dx das physikalische x ist: x 0 = b a die physikalische Energie ist: E 0 = E(x 0 ) = 1 2 ax2 0 + bx 0 = 1 b 2 2 a = 1 2 bx 0 betrachte jetzt: E = Ẽ(x) = 1 2 bx es ist: E 0 = Ẽ(x 0) aber Ẽ(x) ist nicht minimal bei x 0 Ritzsches Funktional: E = E[ Ψ ] = Ψ H Ψ Ψ Ψ Definitionsbereich: gesamter Hilbert-Raum: D = { Ψ Ψ H} = H 140

141 E[ Ψ ] ist minimal für den Grundzustand Ψ 0 : Ψ H Ψ = Ψ H m m Ψ = E m m Ψ 2 E 0 m m m m Ψ 2 = E 0 Ψ Ψ Konstruktion von Approximationen durch Einschränkung des Definitionsbereichs: E[ Ψ ] = min. auf Unterraum D D = H Spezifizierung des Definitionsbereichs z.b. durch Parametrisierung der Zustände durch Variationsparameter : D = { Ψ(λ 1,..., λ n ) λ i R} D das Ritzsche Funktional wird eine Funktion: λ = (λ 1,..., λ n ) E(λ) E[ Ψ(λ) ] minimal, falls: E(λ) λ i = 0 for λ = λ 0 n (nicht-lineare) Gleichungen für n Unbekannte λ 0 approximative(r) Grundzustand und Grundzustandsenergie: Ψ 0 = Ψ(λ 0 ) E 0 = E(λ 0 ) 141

142 obere Schranke : E 0 E 0,exact Beispiel: wähle ONB { m } eines Unterraums K H: Variationswellenfunktion: Ψ = Ψ(c) = m c m m damit: Ψ H Ψ Ψ Ψ = mm c mc m m H m m c mc m Minimierung einer quadratischen Form: 0 = Ψ H Ψ c = k Ψ Ψ c k = m c m k H m m c mc m mm c mc m m H m m c mc m c k mm c mc m m H m ( m c mc m ) 2 mit der Matrix-Darstellung H mm = m H m ist also: mm H km c m = c mh mm c m m c m c k mc m 142

143 bzw. Hc = Ec das Ritzsche Funktional wird also minimiert für den Eigenvektor der Hamilton-Matrix mit kleinstem Eigenwert sei K der Krylov-Raum zum Startzustand u 0 und E 0,Lanczos die mit dem Lanzcos-Verfahren berechnete Grundzustandsenergie, dann gilt: E 0,Lanczos E 0,exact 5.2 Hartree-Fock-Approximation Hubbard-Modell: H = t ij c iσc jσ + U ijσ 2 iσ n iσ n i σ Einschränkung des Definitionsbereichs: D = { Slater-Determinante } gerechtfertigt eventuell für schwach wechselwirkende Systeme, d.h. U 0 Slater-Determinante: unabhängige Elektronen 143

144 Ψ = n 1, n 2,..., n α,... = ( c ) n ( 1 1 c ) n2 2 ( c α) nα 0 n α = 0, 1 Elektronen im (Ein-Teilchen-) Zustand α variationelle Freiheit: Ein-Teilchen-Zustände α α = α U αα α Variationsparameter: U αα elegante Auswertung: siehe unten 5.3 Gutzwiller-Wellenfunktion Hubbard-Modell: H = t ij c iσc jσ + U ijσ 2 iσ n iσ n i σ nichtwechselwirkender Fall: H 0 = t ij c iσc jσ ijσ Diagonalisierung: H 0 = ε(k)c kσc kσ (t = UεU ) kσ 144

145 Grundzustand: FS = ε(k) ε F k c k 0 mit k (k, σ) t U t Was passiert für großes U? Unterdrückung von Doppelbesetzungen Gutzwiller-Wellenfunktion: Ψ = [1 (1 g)n i n i ] FS = g i n i n i FS i sites Variationsparameter: g g = 1: Ψ = FS U = 0 g = 0: Ψ = Doppelbesetzungen herausprojiziert U = beachte: [1 (1 g)n i n i ] 2 = 1 (1 g)n i n i für g = 0 todo-liste: berechne Ψ Ψ berechne Ψ H Ψ minimiere E[ Ψ(g) ] bzgl. g 145

146 es ist: Ψ Ψ = ε(k) ε F k 0 c k [1 (1 g)n i n i ] j kann nicht analytisch durchgeführt werden! beachte dazu: FS ist kein Eigenzustand von g D Auswertung von g D bzw. D, D = i n i n i = D, δ D D, δ D,δ i [1 (1 g)n j n j ] ε(p) ε F p c p 0 in ONB { n 1, n 2,..., n 2L }, n I = n iσ : Besetzungszahl des Ein-Teilchen-Zustands iσ mit n n 1, n 2,..., n 2L ist: Ψ Ψ = FS g Dg D FS = FS g 2 D FS = FS g2 D n n FS n = n g2d(n) FS n n FS = n g2d(n) FS n 2 wobei FS n = 0 c p1 c pn n 1,..., n 2L = I 1,...,I N U I1 p 1 U IN p N 0 c I1 c IN n 1,..., n 2L problemlos berechenbar, aber n nicht durchführbar! Summe über exponentiell viele Viel-Teilchen-Konfigurationen! 146

147 Ausweg: numerisches Ausführen der hochdimensionalen Summe mittels Monte-Carlo-Verfahren Ausgangspunkt für MC: Observable O = hochdimensionale Summe über k ( P(k) O(k) ) mit k: Konfiguration P(k): Wahrscheinlichkeit für k O(k): Wert von O in Konfiguration k hier O = Grundzustandsenergie: E(g) = Ψ(g) H Ψ(g) Ψ(g) Ψ(g) mit ONB { n = n 1, n 2,... } folgt: E = Ψ H Ψ Ψ Ψ = n Ψ n n H Ψ Ψ Ψ = n Ψ n n Ψ Ψ Ψ n H Ψ n Ψ also: 147

148 E = n P(n) n H Ψ n Ψ wobei P(n) = Ψ n n Ψ Ψ Ψ als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden kann: P(n) 0 n P(n) = Monte-Carlo-Verfahren Situation: A sei eine Observable gesucht: M k=1 p k A(k) M k=1 p k =? k: Index, der einen diskreten Satz von Konfigurationen C k indiziert, k = 1,..., M A(k): Wert von A in k-ter Konfiguration, bekannt, für gegebenes k berechenbar 148

149 p k : reelle Zahlen mit p k 0, bekannt, für gegebenes k berechenbar Problem: M sehr groß, k nicht komplett durchführbar Interpretation der p k als nicht normierte Wahrscheinlichkeiten: mit: M k=1 p (norm.) k beachte: p (norm.) k p (norm.) k A(k) = A =? = p k / M k=1 p(k) = p k / M k=1 p(k) ist nicht berechenbar Beispiel: p (norm.) k = 1 Z e βh(k) (kanonisch) mit Zustandssumme Z = M k=1 e βh(k) = M p k k=1 und Hamilton-Funktion: H = H(k) z.b.: Ising-Modell H = ij J ij S i S j 149

150 Konfiguration: C k = (S 1, S 2,..., S L ) k = 1,..., M mit M = 2 L gesucht: H = M k=1 p k H(k) M k=1 p k = S1,S 2,...,S L e β ij J ij S i S j ( ij J ij S i S j ) S1,S 2,...,S L e β ij J ij S i S j Importance sampling sei k 1,..., k N ein Satz von Konfigurationen, die gemäß p (norm.) k lim N n(k) M k=1 n(k) = p(norm.) k verteilt sind, d.h. wobei n(k) = Anzahl der k in {k 1,..., k N }, Häufigkeit von k in {k 1,..., k N }, also M k=1 n(k) = N gesucht ist: ( Scharmittel ) es gilt: A = M k=1 A = lim N p (norm.) k A(k) M k=1 n(k) M M A(k) = lim k=1 n(k)a(k) k=1 n(k) N M k=1 n(k) = lim N 1 N N i=1 A(k i ) 150

151 interpretiere k 1 k 2... k N als zeitliche Abfolge von N Schritten N A N 1 A(k i ) N i=1 als Zeitmittel über N Schritte Approximation: N A A N 1 A(k i ) (k verteilt gemäß p k ) N i=1 Qualität der Approximation? beachte: k i ist eine Zufallsgröße (WK: p ki ) eine Funktion F(k 1,..., k N ) einer Stichprobe k 1, k 2,..., k N ist wiederum Zufallsgröße also: A N = 1 N N i=1 A(k i ) = A N (k 1,..., k N ) ist Zufallsgröße mit Erwartungswert von A N : A N = p (norm.) k A N (k 1,..., k N ) = p (norm.) 1 N k i ) = k k N i=1a(k 1 N also A N = A Varianz von A N : σ 2 A N = A 2 N A N N i=1 k p (norm.) k A(k i )

152 es ist: A 2 N = = 1 N 2 1 N 2 N i,j=1 A(k i )A(k j ) = 1 N 2 A(k i ) 2 N i,j=1 i )A(k j ) + i j A(k i = 1 N(N 1) A A + N 2 i falls die k i voneinander unabhängig sind! also: und A(k i )A(k j ) A 2 = N 1 N A N A2 σ 2 A N = A 2 N A N 2 = N 1 N A N A2 A 2 σ 2 A N = 1 N σ2 A σ 2 A ist fest, für N kann der Fehler in der Berechnung von A A N beliebig klein gemacht werden! Bemerkung: nach dem ZGWS ist für N : 152

153 ρ(a N ) = N (A A )2 2πσA 2 exp 2σA/N 2 σ AN ist: der statistischer Fehler der Berechnung von A die Breite der Verteilung von A N die Standardabweichung vom Mittelwert von A N simple sampling vs. importance sampling A = M k=1 simple sampling p (norm.) k A(k) =? wähle Konfigurationen k 1, k 2,... mit WK 1/M und approximiere A (pa) N 1 N Fehler(quadrat): N i=1 p (norm.) k i A(k i ) σ 2 (pa) N = 1 N σ2 pa ist z.b. (bestenfalls) σ A = 0, dann folgt σ 2 pa = A 2 σ 2 p 153

154 Integrationsfehler bestimmt durch σ p! Hauptproblem: Werden Konfigurationen lediglich mit gleicher WK betrachtet, so liefern fast alle k i kaum einen nennenswerten Beitrag, falls die Wahrscheinlichkeitsverteilung p k stark gepeakt ist (und das ist typisch)! A = M k=1 p (norm.) k A(k) =? importance sampling wähle Konfigurationen k 1, k 2,... mit WK p (norm.) k A A N 1 N Fehler(quadrat): σ 2 A N = 1 N σ2 A N i=1 A(k i ) Integrationsfehler nur durch σ A bestimmt (optimal) und approximiere Die k i sind gemäß p k verteilt, so dass viele k i mit nicht nahezu nichtverschwindendem p k vorkommen und endliche Beiträge liefern! 154

155 Problem: Wie generiert man eine Stichprobe k 1,..., k N einer vorgegebenen nichtnormierten Verteilung p k? 5.5 Markov-Prozesse stochastischer Prozess: Startpunkt: (normierte) Wahrscheinlichkeiten p (0) k Iteration ( Zeitschritte ) gemäß für Konfigurationen k = 1,..., M p (0) k p (1) k p (2) k d.h. p (0) p (1) p (2) p (i) k = l p (i 1) l T lk mit Übergangswahrscheinlichkeit (bedingte WK) also: T lk = P(System z.zt. i im Zustand k System z.zt. i 1 im Zustand l) p (n) = p (n 1) T = p (n 2) T 2 = = p (0) T n wobei p (i) = (p (i) 1, p (i) 2,..., p (i) M) 155

156 Markov-Prozess: jeder Schritt hängt nur vom vorherigen ab (kein Gedächtnis ) offensichtlich gilt: T kl 0 M l=1 T kl = 1 eine Matrix T mit diesen Eigenschaften heißt stochastische Matrix für eine stochastische Matrix gilt: p (i) k 0, k p (i) k = 1 falls p (i 1) k 0, k p (i) k = 1 T n ist stochastisch denn l(t 2 ) kl = l m T km T ml = 1 etc. T besitzt den Eigenwert 1 denn l T kl v l = 1 v k falls v k = 1 für alle k Theorem von Perron und Frobenius : sei T eine reelle M M-Matrix mit T kl > 0, dann gilt: es gibt einen nichtentarteten reellen Eigenwert λ > 0 mit λ > λ für alle Eigenwerte λ λ falls zusätzlich l T kl = 1, gilt λ = 1 156

157 für große Zeiten T n lim T n Diagonalisierung: T = S 1 DS mit D = diag (1, λ 2,..., λ M ) damit ist: T = S 1 D S wegen λ k = 0 für k = 2,..., M ist jetzt: also: D = diag (1, 0,..., 0) Tkl = mn S 1 kmdmns nl = Sk1 1 S 1l T = S 1 DS Spalten von S 1 sind Eigenvektoren von T 1. Spalte von S 1 : Eigenvektor zum Eigenwert 1, Eigenwert 1 nicht entartet, also also: S 1 k1 = const. T kl = t l (mit M l=1 t l = 1) T besteht aus identischen Zeilen t dies ist ein allgemeines Resultat für stochastische Matrizen T mit T kl > 0 157

158 es gilt offensichtlich auch, falls i 0 mit T i 0 kl > 0 d.h. jede Konfiguration kann nach gewisser Zeit mit endlicher WK von jeder anderen erreicht werden eine solche stochastische Matrix heißt ergodisch Beispiel: 0 1 T = nicht ergodisch 1 0 Beispiel: T = denn: T 2 ij > 0 i, j T = ergodisch ergodisch damit konvergiert die Folge der gemischten Zustände 158

159 p (0) p (1) = p (0) T p (0) T wegen k p (0) k = 1 ist: p (0) T = p (0) t t.. t = t unabhängig vom Anfangs- wird stets der gleiche Endzustand t erreicht es gilt: also: t = p (0) T = p (0) T T t = tt t ist stationärer Punkt des Markov-Prozesses betrachte Markov-Kette k 0 k 1 k 2... mit T als Übergangsmatrix und k 0 als Startkonfiguration es ist: 159

160 p (0) k = 1 falls k = k 0 und p (0) k = 0 falls k k 0 nach einem Schritt ist daher: p (1) k = k p (0) k T k k = T k0 k nach zweitem Schritt ist: p (2) k = k k p (0) k T k k T k k = T 2 k 0 k nach N Schritten ist: p (N) k = T N k 0 k nach einer Thermalisierungsphase (strikt für N ) ist: p ( ) k = T k 0 k = t k d.h. asymptotisch wird die Konfiguration k mit WK (relativen Häufigkeit) t k in der Markov-Kette gefunden Markov-Ketten-Monte-Carlo-Verfahren wähle k 0 beliebig konstruiere eine stochastische und ergodische Matrix T, so dass T kl = p (norm.) l, wobei p (norm.) k die (bis auf die Norm) vorgegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung ist 160

161 konstruiere die Markov-Kette berechne k 0 k 1 k 2... N A A N 1 A(k i ) N i=1 N muss so groß sein, dass Thermalisierung erreicht ist! Beispiel: T sei die zur Verteilung gehörige p (norm.) k = 1 Z e βh(k) Z = k Übergangsmatrix, d.h. p (norm.) T = p (norm.) dann gilt: ( Scharmittel = Zeitmittel ) wobei A = M k=1 k 1 k 2... p (norm.) k A(k) = lim N e βh(k) 1 N N i=1 A(k i ) eine mittels T konstruierte, ergodische Markov-Kette ist 161

162 5.6 Metropolis-Algorithmus wie bestimmt man T für (bis auf die Norm) gegebenes p (norm.) k? gesucht: T mit T stochastisch (T ij 0 und M j=1 T ij = 1) T ergodisch ( n 0 : T n 0 ij > 0) p (norm.) T = p (norm.) mit p (norm.) gegeben und k p (norm.) k = 1 Behauptung: p (norm.) i T ij = p (norm.) j T ji detailled balance ist eine hinreichende Bedingung! beachte: die detailled-balance-bedingung ist äquivalent zu: p i T ij = p j T ji mit p i = const. p (norm.) i detailled balance die Norm muss nicht berechnet werden, um ein T zu bestimmen! Beweis: (pt ) j = i p i T ij = i p j T ji = p j T ji = p j i 162

163 also ist p der nichtentartete Eigenvektor von T zum Eigenwert 1 d.h. p ist (nach Normierung) die WK-Verteilung, die durch eine Markov-Kette mittels T generiert wird eine Möglichkeit zur Festlegung von T : T ij = M ij A ij + 1 k M ik A ik δ ij Metropolis-Algorithmus d.h. T i j = M ij A ij T ii = 1 M ik A ik = 1 ik k i k it mit M ij symmetrische Vorschlags-WK : (Vorschlag für einen move ) M ij 0 j M ij = 1 M ij = M ji und A ij Akzeptanz-WK : (nicht normiert) A ij = min(1, p j /p i ) Beweis: T stochastisch? 163

164 T ij 0 j T ij = 1 detailled balance? p j < p i i j, A ij = p j /p i, A ji = 1 T ij = M ija ij = A ij = p j/p i T ji M ji A ji A ji 1 = p j p i p j > p i i j, A ij = 1, A ji = p i /p j T ij = M ija ij = A ij = 1 = p j T ji M ji A ji A ji p i /p j p i p j = p i A ij = A ji = 1, T ij = M ij + (1 k M ik )δ ij = T ji T ergodisch? abhängig von M ( ) Beispiel: Ising-Modell H = J n.n. s x s x B s x xx x mit x = 1,..., L, L: Anzahl Gitterplätze Konfiguration, Mikrozustand k = (s 1,..., s L ), Anzahl Mikrozustände: M = 2 L 164

165 einzelner Spin-Flip: M (i) (s 1,...,s L ),(s 1,...,s L ) = δ s 1 s 1 δ s i 1 s i 1 δ s i s i δ s i+1 s i+1 δ s L s L M (i) ist stochastisch und symmetrisch und ergodisch Durchlauf durch gesamtes Gitter, sweep M = L M (i) i=1 Produkt stochastischer Matrizen M stochastisch M (i) symmetrisch und paarweise kommutativ M symmetrisch nach 1 sweep kann jede Konfiguration von jeder erreicht werden Prozess ergodisch Approximation: A A N 1 N N i=1 A(k i ) (k verteilt gemäß p k ) mit Fehler(quadrat): σ 2 A N = 1 N σ2 A nur korrekt bei unabhängigen Messungen! lokale Updates (z.b. einzelner Spin-Flip) ändern die Konfiguration nur wenig aufeinanderfolgende Konfigurationen in der Markov-Kette sind daher stark korreliert der Fehler wird unterschätzt, da zuviele Messungen an nahezu gleichen Konfigura- 165

166 tionen durchgeführt werden Ausweg binning: bei N gegebenen Daten definiere A j 1 n b jn b i=(j 1)n b +1 A(k i ) für große n b sind die A j unabhängig, also σ 2 A = n b N σ2 A mit N/n b : Anzahl der bins 5.7 Variational Monte-Carlo Hubbard-Modell U = 0 Grundzustand: U > 0: FS = ε(k) ε F t U k c k 0 mit k (k, σ) t sites 166

167 Gutzwiller-Wellenfunktion: Ψ = [1 (1 g)n i n i ] FS = g i n i n i FS i Variationsparameter: g g = 1: Ψ = FS U = 0 g = 0: Ψ = Doppelbesetzungen herausprojiziert Grundzustandsenergie U = E = E(g) = Ψ(g) H Ψ(g) = n H Ψ P(n) mit P(n) = Ψ n n Ψ Ψ(g) Ψ(g) n n Ψ Ψ Ψ VMC: Monte-Carlo-Walk im Konfigurationsraum { n } = { n 1, n 2,..., n 2L }: n (1) n (2) Messung: E = E(g) = 1 M Minimierung bzgl. g M i=1 n (i) H Ψ n (i) Ψ 167

168 Beispiel: 1D Hubbard-Modell 30 Plätze Halbfüllung E(g) für U = 0 bis U = 18 Yokoyama, Shiba (1986) 168

169 1D Hubbard-Modell L = 30 n = 1 E opt. (U) VMC: exakte Auswertung des Ritzschen Prinzips mit approximativer GW-Wellenfunktion HF: Hartree-Fock (paramagnetisch, antiferromagnetisch) GA: Gutzwiller-Approximation - zusätzliche Approximation zur einfachen Auswertung der GZE im Ritzschen Prinzip für die Gutzwiller-Wellenfunktion exakt: Bethe-Ansatz 169 Yokoyama, Shiba (1986)

170 5.8 Variation von Matrix-Produktzuständen Auswertung des Ritzschen Variationsprinzips mit hinreichend allgemeinem Testzustand möglich? Numerische exakte Lösung? betrachte eindimensionales Hubbard-Modell H = t L 1 Hilbert-Raum: i=1 H = H 1... H L σ c iσc i+1σ + H.c. + U 2 lokaler Hilbert-Raum am Platz i: iσ n iσ n i σ H q = span{ n q } n q = 1,... d q d q = dim H q lokale Basis: 0,,, (d q = 4) Darstellung eines allgemeinen Zustands: Ψ = n 1,...,n L a n 1,...,n L n 1... n L hochdimensionale Summe: d L Terme (mit d q = d) nicht praktikabel, exponentiell wachsende Zahl von Variationsparametern a n 1,...,n L 170

171 einfacher Ansatz: Produktzustand Ψ = n 1,...,n L a n 1... a n L n 1... n L nur d = d q Variationsparameter a n es ist: Ψ = a n 1 n 1... a n L n L n 1 n L z.b. Ψ c ic j Ψ = 0 oder auch Ψ n iσ n jσ Ψ Ψ n iσ Ψ Ψ n jσ Ψ für i j keine räumlichen Korrelationen! Matrix-Produktzustand: Ψ = n 1,...,n L A n 1... A n L n 1... n L A-Matrizen: A n 1 M(1, m 1 ) A n 2 M(m 1, m 2 ) A n q M(m q 1, m q ) q = 2,..., L 1 A n L M(m L 1, 1) A-Matrix: 171

172 i q 1 n q A n q i q 1 i q lokale Basiszustände i q Matrix-Indizes Beispiel: MPS für 6 Plätze i 0 i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 = i 0 A n 1 A n 2 A n 3 A n 4 A n 5 A n 6 komponentenweise: Ψ = A n 1 1,i1A n 2 n 1,...,n L i 1,...,i L 1 i1,i2 A n q i q 1,i q A n L i L 1,1 n 1 n L Ziel: variationelle Optimierung aller Elemente A n q i q 1,i q ca. L d m 2 Parameter (für d q = d und m q = m) beachte: offene Randbedingungen prinzipiell (für große m) hinreichend viele Parameter, also allgemeiner Ansatz in der Praxis: numerisch exakte Resultate für m 1000 area law : m exp(system surface), VMPS funktioniert für D = 1, kurzreichweitige Kopplungen, gegapte Systeme 172

173 lokal orthogonaler MPS (A n q = L n q oder A n q = R n q ) grafisch: n q L n q L n q = 1, n q R n q R n q = 1 = = q-ter Schritt der Linksorthogonalisierung: Ψ = n 1,...,n L L n 1... L n q 1 A n q... A n L n 1... n L Aufblocken der Matrix A n q : A n q i q 1,i q = Ã(i q 1 n q ),i q Singulärwertzerlegung (SVD): Übung A = UDV Diagonalmatrix D, UU = U U = 1, V V = V V = 1 Herunterblocken von U: L n q i q 1,i q = U (iq 1 n q ),i q A n q+1 DV A n q+1 neue Darstellung des MPS (Ausgangspunkt für q + 1-ten Schritt): Ψ = n 1,...,n L L n 1... L n q 1 L n q A n q+1... A n L n 1... n L 173

174 Rechtsorthogonalisierung : analog Standarddarstellung eines MPS: Ψ = n 1,...,n L L n 1... L n q 1 C n q R n q+1... R n L n 1... n L C: center matrix Variationsprinzip: E = E[ Ψ ] = Ψ H Ψ Ψ Ψ Berechnung von Zähler und Nenner? Beispiel: MPS mit 6 Plätzen: Ψ = L n 1 L n 2 L n 3 C n 4 R n 5 R n 6 n 1... n 6 n 1,...,n 6 Berechnung des Normquadrats: iteratives Ausnutzen der Links-/Rechtsorthogonalität: 174

175 = = also: = = Ψ Ψ = n 4 Tr(C n 4 C n 4 ) Rechenaufwand zur Links-/Rechtsorthogonalisierung L also: Rechenaufwand zur Berechnung des Normquadrats L vergleiche: Ψ = Normquadrat: Ψ Ψ = n 1,...,n L a n 1,...,n L n 1... n L n 1,...,n L a n 1,...,n L n 1... n L n 1,...,n L a n 1,...,n L n 1... n L Ψ Ψ = a n 1,...,n L 2 (kann nicht berechnet werden!) n 1,...,n L gleiche Technik zur Auswertung von Ψ H Ψ 175

176 dazu Darstellung sämtlicher Operatoren als Matrix-Produktoperatoren: MPO X = n 1,...,n L n 1,...n L X n 1 n 1... X n L n L n 1 n 1... n L n L Beispiel: Ising-Modell H = J i S z i S z i+1 grafisch: X n qn q = δ n q n q n q Jn q 1 exakte Darstellung! (lokale Basis: n {, }) Übung n q α q 1 α q MPO-Matrix: X n qn q n q MPO: für rekursive Berechnung von Ψ X Ψ definiere E- und F -Matrizen: 176

177 i q j q 1 E q α q α q 1 = E q 1 F q = F q+1 i q j q 1 Erwartungswert Ψ X Ψ = E und F an zwei benachbarten Plätzen bestimmen globalen Erwartungswert Ψ X Ψ = Tr ( E q α α q F q+1 ) α q q algebraische Definition von E und F : damit: E p α p = n p n p α p 1 X n p n p α p 1 α p A n p E p 1 α p 1 A n p F p α p 1 = X n p n p n p n α p p α p 1 α p A n p F p+1 α p A n p 177

178 Ψ X Ψ = Sp n q n q Einsetzen eines Test-MPS Ψ = X n q n q α q 1 α q A n q Eα q 1 α q,α q 1 A n q F q+1 α q q 1 n 1,...,n L L n 1... L n q 1 C n q R n q+1... R n L n 1... n L in das Ritzsche Funktional: E[ Ψ ] = Ψ H Ψ Ψ Ψ es ist: und Ψ Ψ = n q Tr(C n q C n q ) Ψ H Ψ = Sp n q n q Minimierung nur bezüglich C n q mit KC = E C Eigenwertproblem K i j n q,ijn q = H n q n q α q 1 α q C n q Eα q 1 α q,α q 1 C n q F q+1 α q q 1 äquivalent mit: α q,α q 1 E q 1 α q 1 ;i i Hn qn q α q 1 α q F q+1 α q ;j j Lösung des Eigenwertproblems: Lanczos (C als Vektor aufblocken) effektiver Hamiltonian 178

179 damit lokale Optimierung einer C- bzw. A-Matrix im MPS Sweep-Algorithmus: lokale Optimierung: Optimierung von A n 1 Optimierung von A n 2 etc. halber Sweep one sweep voller Sweep E[ Ψ ] sinkt in jedem Schritt! 179

180 Beispiel: D = 1 Hubbard-Kette, L = 30, U = 0, t = ground state energy -E 0 /E 0,exact step (sweeps) ground state energy -E 0 /E 0,exact dim=1 dim=10 dim= step (sweeps) MPS: n q i q 1 A n q i q 1 i q i q n q = 1,..., d, d: lokale Hilbert-Raum-Dimension 180

181 i q = 1,..., m, m: A-Matrixdimension größtest Array: MPS (sowie E- und F-Matrizen) Speicherbedarf: L d m 2 stärkster Rechenzeitverbrauch: KC innerhalb des Lanczos-Algorithmus CPU-Zeit: L dm 2 dm 2 KC: sparse (mit K = EHF ) CPU-Zeit: L d 2 m 3 181

182 Beispiel: Vergleich mit exaktem Bethe-Ansatz-Resultat (L = ) 0.00 ground-state energy E 0 / L exact U L = 30, t = 0.1 MPS: Ψ = definiere: j p 1 = n 1,...,n L L n 1... L n q 1 C n q R n q+1... R n L n 1... n L n p j p R n p j p 1 j p n p j p i p = i p 1 n p L n p i p 1 i p i p 1 n p Äquivalenz zur Dichtematrixrenormierung (DMRG) 182 p > q, n p = 1,..., d p, j p = 1,..., m p p < q, n p = 1,..., d p, i p = 1,..., m p

183 blocking Platz hinzufügen i p 1 i p 1 n p decimation Hilbert-Raum trunkieren i p 1 n p i p Fazit: Anwendung des Ritzschen Prinzips auf Vielteilchenzustände: volle Komplexität des Vielteilchenproblems einfach nur für einfache (unkorrelierte) Testzustände kann in einer Dimension numerisch exakt durchgeführt werden: VMPS (DMRG), NRG 183

184 184

185 Statische Mean-Field-Theorie Standardmethode, erste Approximation, oft einzig durchführbare Approximation Grundlage: verallgemeinertes (T > 0) Ritz-Prinzip konzeptionell klar, thermodynamisch konsistent: vorbildliche Theorie wichtige Konzepte: statischer Response, Wick-Theorem, Trotter-Zerlegung gültig im Hochfrequenzlimes 6.1 Ideale Quantengase allgemeines freies System: H = t αβ c αc β αβ t: Matrix H hermitesch t hermitesch U unitär, so dass 185

186 sei U tu = ε c m = α U αmc α dann ist: H = c α(uεu ) αβ c β = αβ m H ist diagonal ε Diagonalmatrix mit Elementen ε m (unitäre Transformation der Ein-Teilchen-Basis) ( U αmc ) α ε m U mβc β α β = m ε mc mc m Eigenzustände im Ein-Teilchen-Raum: m = c m 0 = α U αm α oder: wechselwirkungsfreie Teilchen in äußerem Potenzial: H in erster Quantisierung: H = i 2m + V (r i) Lösen der Schrödinger-Gleichung: p 2 p 2 i 2m + V (r) ε n = ε n ε n Ein-Teilchen-Basis { n } 186

187 H in zweiter Quantisierung bereits diagonal: H = m ε mc mc m Ideales Quanten-Gas: H = m ε mc mc m exakt lösbares Modell (für Fermionen oder Bosonen) Demonstrationsmodell der statistischen Physik insbesondere Bosonen: Phasenübergang in freiem System Fermionen: approximative Beschreibung von Leitungselektronen Bezugspunkt für wechselwirkende (nicht-ideale) Systeme großkanonischer Hamilton-Operator: H = H µ ˆN Zustandssumme: Z = Sp e βh = = n 1 n 2 n 1n 2 e β n 1 n d n 1 n 2 e β(h µ ˆN) n 1 n 2 m(ε m µ)ˆn m n 1 n 2 187

188 = 2 n 1n 2 e β m(ε m µ)n m n 1 n 2 n 1 n = n 1 n 2 m e β(ε m µ)n m = m n m e β(ε m µ)n m Fermionen: 1 = m n m =0 (e (ε m µ)/t ) n m = m (1 + e (ε m µ)/t ) großkanonisches Potenzial: Ω = T lnz = T m ln(1 + e β(ε m µ) ) es folgt die komplette Thermodynamik des Fermi-Gases mittlere Besetzungszahl: n m = ˆn m = c mc m = Ω ε m = T e β(ε m µ) ( β)e β(ε m µ) = ( A = Ω/ λ, H = H 0 + λa) 1 e β(ε m µ) + 1 = f(ε m µ) 188

189 Fermi-Verteilungsfunktion f(e) = 1 e βe + 1 im Sommerfeld-Modell (freie Elektronen in Volumen V ) ist: ε m ε(k) = k2 2m ONB: { k, σ } ebene Wellen n m n(k) k diskret, aber 3 k = (2π) 3 /V 0 für V n(k) T=0 k F T>0 k Definitionen für T = 0: f(ε(k) µ) = Θ(µ ε(k)) ε F µ(t = 0): Fermi-Energie k mit ε(k) = ε F : Fermi-Wellenvektor 189

190 {k ε(k) = ε F }: Fermi-Fläche (Sommerfeld-M.: Kugeloberfläche) machen diese Konzepte Sinn für wechselwirkende Systeme? Teilchenzahl: N = ˆN = n(k) = 2 kσ k für T = 0 gilt: N = 2 V (2π) 3 n(k) d 3 kθ(ε F ε(k)) = 2 V (2π) 3V FS Teilchenzahl = von der Fermi-Fläche eingeschlossenes Volumen im k-raum! wechselwirkende Systeme: Luttinger-Theorem Innere Energie: Ω U = Ĥ = Ĥ = λ = n(k)ε(k) (mit H λh, λ = 1) kσ Temperaturabhängigkeit? definiere Ein-Teilchen-Zustandsdichte ρ 0 (ω) = Anzahl Zustände m mit ω < ε m < ω + pro 190

191 = 1 damit ist: ( m Θ(ω + ε m) m Θ(ω ε m) N = dωf(ω µ)ρ 0 (ω) ) = m δ(ω ε m) für 0 U = dωf(ω µ)ωρ 0 (ω) Sommerfeld-Entwicklung: (F(ω): T-unabhängig, regulär in Fermi-Schicht) dωf(ω µ)f(ω) = µ dωf(ω) + mit α n = n 1 ζ(2n) und ζ(n) = p=1 n=1 α n T 2n F (2n 1) (µ) 1 (Riemannsche ζ-fkt.) pn dωf(ω µ)f(ω) = µ π2 dωf(ω) + 6 T 2 F (µ) + O(T/µ) 4 damit gilt für tiefe T (N = N(µ) µ = µ(n), N fest): µ = ε F π2 6 T 2ρ 0(ε F ) ρ 0 (ε F ) + Übung U = E 0 + π2 6 T 2 ρ 0 (ε F ) + C V = U = π2 T 3 Tρ 0(ε F ) + = γt + N,V vergleiche klassisches ideales Gas: U = 3N 1 2 T, C V = 3N/2 191

192 extrem starke Unterdrückung von C V! Abschätzung für T 0 C V U T U T Pauli-Prinzip: nur Elektronen in der Fermi-Schicht werden thermisch angeregt: C V 1 (Anzahl der Elektronen in der Fermi-Schicht T) T Breite der Fermi-Schicht: T, Höhe der Zustandsdichte ρ(ε F ) C V Anzahl der Elektronen in der Fermi-Schicht ρ 0 (ε F )T allgemeine Argumente! gültig für wechselwirkende Elektronensysteme? analog: Kompressibilität, Spin-Suszeptibilität, Schall-Geschwindigkeit, etc. Bosonen s.o.: Z = Sp e β(h µ ˆN) = m n m =0 (e β(ε m µ) ) n m = m 1/(1 e β(ε m µ) ) Konvergenz: e β(εm µ) < 1 m e β(ε0 µ) < 1 (ε 0 ε m ) µ < ε 0 (ansonsten unphysikalische Resultate) 192

193 großkanonisches Potenzial: Ω = T lnz = T m ln(1 e β(ε m µ) ) komplette Thermodynamik des Bose-Gases mittlere Besetzungszahl: n m = n m = c mc m = Ω ε m = b(ε m µ) Bose-Verteilungsfunktion b(e) = 1 e βe 1 0 b(ε m µ) < mit µ < ε 0 ε m T = 0: b(ε m µ) = 0 für m 1 für N = const muss n 0 = N sein, also µ = ε alle Teilchen im (Ein-Teilchen-)GZ m = 0 T : n m = b(ε m µ) = O(1) 193

194 T = T C : Phasenübergang: Bose-Einstein-Kondensation (BEC) T < T C : m = 0 makroskopisch besetzt, n 0 = O(N) Exp: Rb, T C µk, 1995 Phasenübergang in nicht-wechselwirkendem System Bestimmung von T C : N = ˆN = n m = b(ε m µ) = 1 m m m e β(ε m µ) 1 = ρ 0 (ω) dω e β(ω µ) 1 mit der Zustandsdichte ρ 0 (ω) = δ(ω ε m) m freie (V (r) = 0) spinlose Bosonen: m k, ε(k) = k 2 /2m ρ 0 (ω) = k δ = V (2π) 3 3 k k ω k2 2m 2mδ ( (k + 2mω)(k 2mω) ) = V (2π) 34π dk k 2 2m 1 2 2mω δ ( k 2mω ) = V 1 (2π) 34π2mω2m 2 2mω = V ω 1/2 4π 2(2m)3/2 damit: N = V ω 1/2 dω = N(µ, T) 4π 2(2m)3/2 0 e β(ω µ) 1 194

195 µ = µ(n, T) bzw. (N fest) µ = µ(t) µ/t klassisch Fermi T T c Bose kritische Temperatur: µ(t C ) = 0 = ε(k = 0) (denn, falls µ > 0, ist n(k = 0) = O(1) für T > 0) beachte: für T < T C ist die Rechnung nicht korrekt, denn für ω 0 und µ = 0 gilt: ρ 0 (ω) ω 0 n 0 liefert keinen Beitrag zum Integral aber n 0 N! 195

196 es gilt: N V = 1 dω ω1/2 4π 2(2m)3/2 0 e β Cω 1 = 1 4π 2(2mT C) 3/2 ζ(3/2)γ(3/2) (mit Einführung von und k B ) T C mk B (N/V ) 2/3 Interpretation: λ(t C ) 3 = 2πmkB T C 3 = 3 (2π (N/V ) 2/3 ) 3/2 V N bei T C : thermische debroglie-wellenlängle Volumen pro Teilchen weitere einfache Rechnungen liefern: für T < T C : n 0 = N 1 T 3/2 = O(N) T C Zwei-Phasen-Gemisch (im k-raum!) für T > T C ist n 0 = O(1) Sprung der Steigung von C V bei T C! (dritte Ableitung von Ω unstetig: C V = T ( S T für 4 He: T C = 3.14K 196 ) V )

197 Exp: λ-übergang bei T C = 2.2K (zwischen He I und He II) Problem: 4 He ist stark w.w. BG! (Bose-Flüssigkeit) Phasenübergänge in wechselwirkenden Fermi-Systemen? in D = 2 und D = 1 ist ρ(ω) const., 1/ ω für ω 0 Keine BEC in einer oder zwei Dimensionen 6.2 Ideales Gas aus masselosen Quasiteilchen betrachte ideales Quantengas aus N unterscheidbaren Teilchen (identisch, aber räumlich getrennt) Beispiel: Atome (mit Spin S) auf einem Gitter quantisierte Gitterschwingungen = Phononen sind Bosonen! (unahbängig von S), warum? ein Phononengas zeigt keine BEC! warum? Hamilton-Operator, Hilbert-Raum, ONB: H N = N betrachte i=1 H (i) 1 H N = H (1) 1 H (2) 1 H (N) 1 { φ (1) α 1 φ (N) α N } 197

198 qubits, Zweiniveausysteme, lokale Spins mit S = 1/2 System harmonischer Oszillatoren (atomare Schwingungen) N = 1 qubit: Hamilton-Operator eines qubits (dim H 1 = 2): H 1 = ε 1 φ 1 φ 1 + ε 2 φ 2 φ 2 ( φ 1, φ 2 normiert, φ 1 φ 2 = 0) o.b.d.a. (Wahl des Energienullpunkts, Umnumerierung): ε 1 = 0 ε 2 = ε damit: φ α = n mit α = 1 n = 0 und α = 2 n = 1 also: H 1 = ε n=0,1 n n n beachte spezielle Form der Ein-Teilchen-Energien N = 1 harmonischer Oszillator: Hamilton-Operator eines Oszillators (dim H 1 = ): 198

199 H 1 = p2 2m mω2 q 2 wähle Energienullpunkt als GZE, dann gilt für die Eigenenergien: ε n = ε n mit ε = ω und n = 0, 1, 2,..., d = Eigenzustände nicht entartet, also: H 1 = ε n=0 n n n beachte spezielle Form der Ein-Teilchen-Energien System von N qubits/oszillatoren (N unterscheidbare Teilchen) Produktzustände: n (1) n (2) n (N) mit n i = 0, 1 bzw. n i = 0, 1, 2,... bilden ONB aus Eigenzuständen von H N = N i=1 H (i) 1 : mit H N n (1) n (2) n (N) = E n (1) n (2) n (N) 199

200 E = N n i ε i beachte: i=1 n i ε i ist Ein-Teilchen-Energie des i-ten Teilchens ε i = ε (i = 1,..., N) ist die charakteristische Energieskala des Ein-Teilchen-Hamiltonian H (i) 1 Abbildung: n (1) n (2) n (N) n 1, n 2,..., n N (±) vergleiche mit Gas von M identischen Fermionen/Bosonen wobei H M = M m=1 N = dim H 1 H (m) 1 und der i-te Ein-Teilchen-Basiszustand i ein Zustand mit Ein-Teilchen-Energie ε i ist, also { i } i=1,...,n ONB von H 1 200

201 H 1 = N ε i i i i=1 i = c i 0 Eigenzustand von H M : n 1,..., n N (±) mit n i = 0, 1 bzw. n i = 0, 1, 2,... Eigenenergie von H M : es ist: E = N i=1 M = N n i ε i n i i=1 N unterscheidbare qubits/harm. Oszillatoren mit Ein-Teilchen-Energien n i ε i (n i = 0, 1/n i = 0, 1, 2,...) für qubit/oszillator i M = N i=1 äquivalent zu n i freie identische Fermionen/Bosonen mit Ein-Teilchen-Energien ε i für i = 1,..., d und d = N 201

202 Fermi-/Bose-Gas mit nicht kontrollierbarer Teilchenzahl M Quasiteilchen großkanonische Beschreibung: Ω = Ω(T) Lagrange-Parameter µ wird nicht benötigt, Quasiteilchenzahl M nicht kontrolliert kein Lagrangeparameter äquivalent mit µ = 0 Phononen-, Photonengas: bosonische Quasiteilchen: N 0 für T = 0 für T = 0: System im Grundzustand, keine Anregungen, keine Quasiteilchen keine BEC 6.3 Response-Größen und Korrelationsfunktionen betrachte quantenmechanisches Viel-Teilchen-System mit Hamiltonian: H = t αβ c αc β + 1 U αβγδ c αβ 2 αc βc δ c γ αβγδ großkanonischer Hamiltonian H = H µ ˆN großkanonische Zustandssumme und großkanonisches Potenzial: Z = Sp e β(h µn) (β = 1/T) Ω = T lnz = Ω(T, V, µ, {t αβ }, {U αβγδ }) 202

203 statische Mean-Field-Theorie folgt aus verallgemeinertem Variationsprinzip notwendig dafür: zweite Ableitungen von Ω das sind Responsegrößen: (statische) Antwort des Viel-Teilchen-Systems auf (statische, schwache) Störung Wie ändert sich der Erwartungswert einer Observablen A bei kleiner Änderung des Hamiltonians? Erwartungswert einer Observable A = 1 Z Sp Ae βh kann stets als Ableitung von Ω geschrieben werden betrachte dazu die Zerlegung: H = H 0 + λa (H = H(λ = 1) mit H(λ) = H A + λa, physikalisches System für λ = 1) es gilt: Ω λ = A Beweis: Ω λ = T λ lnz = T 1 Z Sp λ e β(h 0+λA µ ˆN) 203

204 und: Sp λ e β(h 0+λA µ ˆN) = Sp k=0 = Sp 1 k k=0 k! ( β)k H k r AH r 1 r=1 = Sp 1 k=0 k! ( β)k kh k 1 A = Sp 1 (k 1)! ( β)k 1 H k 1 ( βa) k=0 = β Sp Ae βh 1 k! ( β)k λ (H 0 + λa µ ˆN) k also: Ω λ = T 1 ( β Sp Ae βh ) = 1 Z Z Sp Ae βh = A Änderung von A bei kleiner Änderung von λ? 2 Ω λ 2 =? Problem: In Ausdrücken der Form H HAH HAH H hilft die zyklische Invarianz der Spur nicht weiter (falls [A, H], [A, ˆN] 0). es ist: 204

205 2 Ω λ = 1 ( 2 λ Z Sp Ae β(h ) 0+λA µ ˆN) = 1 Z Z 2 λ SpAe βh + 1 Z SpA λ e β(h 0+λA µ ˆN) und mit Z λ folgt = β Sp Ae βh 2 Ω λ = 2 β A Z Sp A λ e β(h 0+λA µ ˆN) hier hilft die Trotter-Zerlegung: exp 1 m (A + B) = exp 1 m A exp 1 m B + O 1 m 2 Übung damit folgt: (X = e m β λa e m β (H 0 µ ˆN) ) SpA λ e βh = SpA ( λ lim e m β λa e m β (H 0 µ ˆN) ) m m = m lim SpA m X m r X r=1 λ Xr 1 und mit X λ = λ ist: ( e m β λa e m β (H 0 µ ˆN) ) = ( e m β λa) e m β (H 0 µ ˆN) = β λ m AX 205

206 SpA λ e βh = lim SpA m X m r β m r=1 m A XX r 1 = Sp lim m m r=1 β m AXm r AX r Kontinuumslimes: definiere τ = r β [0, β] m dτ m = β m und X r = e r β m H = e Hτ X m = e βh X m r = e βh e Hτ Sp A λ e βh = Sp β 0 dτae βh e Hτ Ae Hτ = β 0 dτ Sp e βh e Hτ Ae Hτ A = Z β 0 dτ A(τ)A(0) mit der Definition der modifizierten Heisenberg-Darstellung A(τ) = e Hτ Ae Hτ fehlendes i, keine unitäre Transformation, H statt H imaginäre Zeit t = iτ exp(iht) = exp(hτ) d.h. τ ist der negative Imaginärteil der ins Komplexe fortgesetzten Zeit t 206

207 damit folgt: 2 Ω λ = 2 β A 2 β 0 allgemeiner: dτ A(τ)A(0) = A λ sei H = H 0 + λ A A + λ B B Ω = Ω(λ A, λ B ) dann ist: Ω = A λ A und: Ω λ B = B 2 Ω = A = β B A β B dτ B(τ)A(0) = = λ B λ A λ 0 B λ A 2 Ω λ A λ B ( A / λ B )dλ B : ist die Änderung von A bei kleiner Störung λ B λ B + dλ B KM: Response-Größen sind Korrelationsfunktionen QM: zeitabhängige Korrelationsfunktionen das Resultat kann auch in folgender Form geschrieben werden: A = β dτ (B B )(τ)(a A )(0) λ 0 B auch: Dissipations-Fluktuations-Theorem 207

208 6.4 Verallgemeinertes Ritzsches Prinzip speziell für [A, H] = 0 folgt A(τ) = A(0) = A und 2 Ω λ 2 = β A 2 β A 2 = β (A A ) 2 0 das Resultat gilt aber auch allgemein (auch für [A, H] 0): 2 Ω λ 0 Ω als Funktion von λ konkav! 2 Beweis: schreibe A = A A, dann ist (mit A = A ): 2 Ω λ = β dτ (A A )(τ)(a A )(0) 2 0 = β 0 dτ 1 Z Sp ( e βh A(τ) A(0) ) = β 0 dτ 1 Z Sp ( e βh e Hτ Ae Hτ A ) = β 0 dτ 1 Z Sp ( e βh e Hτ/2 Ae Hτ/2 e Hτ/2 Ae Hτ/2) = β 0 dτ 1 Z Sp ( e βh A(τ/2) A(τ/2) ) 208

209 = β 0 dτ 1 Z mn e βe m m A(τ/2) n n A(τ/2) m = β dτ 1 0 Z mn e βe m m A(τ/2) n 2 0 wobei H m = E m m Hamilton-Operator: H t,u = t αβ c αc β + 1 αβ 2 großkanonische Dichtmatrix: ρ t,u = αβγδ exp( β(h t,u µ ˆN)) Sp exp( β(h t,u µ ˆN)) großkanonisches Potenzial U αβδγ c αc βc γ c δ Ω t,u = T lnz t,u = T ln Sp exp( β(h t,u µ ˆN)) definiere das Dichtematrix-Funktional ( Ω t,u [ρ] = Sp ρ(h t,u µ ˆN + T lnρ) ) ρ ist hier als eine (Operator-)Variable aufzufassen für jedes ρ liefert Ω t,u [ρ] einen Wert, der parametrisch von t und U abhängt 209

210 µ und T sind beliebig aber fest Extremalprinzip: Ω t,u [ρ] = min. für ρ = ρ t,u und Ω t,u [ρ t,u ] = Ω t,u Beweis: zunächst gilt: Ω t,u [ρ t,u ] = Sp = Sp ( ρ t,u (H t,u µ ˆN ) + T lnρ t,u ) ( ρ t,u [H t,u µ ˆN + T( β)(h t,u µ ˆN) ) T lnz t,u ] = Sp ρ t,u ( T) lnz t,u = Ω t,u es bleibt zu zeigen, dass Ω t,u [ρ] Ω t,u für beliebiges ρ ρ soll eine physikalisch sinnvolle Dichtematrix darstellen: ρ normiert ( Sp ρ = 1), positiv definit, hermitesch allgemeinster Ansatz: ρ ist die großkanonische Dichtematrix eines beliebigen Hamiltonians H also: 210

211 ρ = ρ t,u = damit folgt: exp( β(h t,u µ ˆN)) Sp exp( β(h t,u µ ˆN)) = exp( β(ht,u µ ˆN)) Z t,u ( Ω t,u [ρ t,u ] = Sp ρ t,u (H t,u µ ˆN ) + T lnρ t,u ) = Sp (ρ t,u (H t,u µ ˆN + T( β)(h t,u µ ˆN) ) T lnz t,u ) ) = Sp (ρ t,u (H t,u H t,u ) + Ω t,u = H t,u H t,u t,u + Ω t,u (*) betrachte die folgende Zerlegung: H(λ) = H t,u + λ(h t,u H t,u ) es ist H(0) = H t,u und H(1) = H t,u und für Ω(λ) = T ln Sp exp( β(h(λ) µ ˆN)) ist Ω(0) = Ω t,u und Ω(1) = Ω t,u damit gilt jetzt (siehe (*)): Ω(λ) Ω t,u [ρ t,u ] = Ω(0) + λ λ=0 andererseits gilt, dass Ω(λ) konkav ist, 211

212 und da eine konkave Funktion überall kleiner ist als ihre lineare Approximation in einem festen Punkt, hat man Ω(0) + Ω(λ) λ setze λ = 1, dann folgt: q.e.d. Ω t,u [ρ t,u λ=0 λ Ω(λ) ] = Ω(0) + Ω(λ) λ λ=0 Ω(1) = Ω t,u Das Extremalprinzip stellt eine Verallgemeinerung des Ritzschen Variationsprinzips auf endliche Temperaturen dar. 6.5 Wick-Theorem notwendig zur Auswertung des Ritz-Prinzips Ausgangspunkt für Formulierung der statischen Mean-Field-Theorie zentrales Theorem für diagrammatische Störungstheorie Idee: Rückführung von höheren auf Ein-Teilchen-Korrelationsfunktionen für freies System 212

213 Zusammenstellung von Ergebnissen für freie Systeme Ein-Teilchen-Hamiltonian ( freier Hamiltonian): H 0 = t αβ c αc β αβ Diagonalisierung der Hopping-Matrix: t = UεU dies ergibt: H 0 = k ε(k)c kc k freies Fermi-Gas diagonale Korrelationsfunktion: c kc k (0) 1 = e β(ε(k) µ) + 1 Rücktransformation: c αc β (0) = k U β,k 1 e β(ε(k) µ) + 1 U k,α = 1 e β(t µ) + 1 βα Fermi-Funktion c α c β (0) = 1 1 U α,k k 1 + e β(ε(k) µ)u k,β = 1 + e β(t µ) αβ (modifizierte) Heisenbergsche freie (imaginäre) Zeitabhängigkeit: 213

214 c α (τ) = e H 0τ c α e H 0τ mit der Baker-Hausdorff-Formel folgt: H 0 = H 0 µn = αβ(t αβ µδ αβ )c αc β wobei c α (τ) = e τl H 0 c α L H0 c α [c α, H 0 ] = β (t αβ µδ αβ )c β somit: also: c α (τ) = k c α (τ) = β 1 k! ( τ)k L k H 0 c α = k ( e (t µ1)τ ) αβ c β 1 k! ( τ)k (t µ1) k αβc β β c α(τ) = e H 0τ c αe H 0τ = β ( e +(t µ1)τ ) αβ c β einfache, exponentielle Zeitabhängigkeit freie zeitabhängige Ein-Teilchen-Korrelationsfunktion: c α (τ)c β(0) (0) = γ ( e (t µ1)τ ) αγ c γc β (0) 214

215 mit c γ c β (0) = k U γ,k 1 1+e β(ε(k) µ) U k,β ist: und: c α (τ)c β(0) (0) = γ,k c α (τ)c β(0) (0) = ( e (t µ1)τ ) e (t µ1)τ 1 + e β(t µ1) αγ U γ,k αβ e β(ε(k) µ)u k,β analoge Ausdrücke für c α (0)c β(τ) (0), c α(τ)c β (0) (0),... mehr? definiere Zeitordnung für imaginär zeitabhängige Erzeuger/Vernicher d = c /c: Merkregel: T (d 1 (τ 1 )d 2 (τ 2 )) = Θ(τ 1 τ 2 )d 1 (τ 1 )d 2 (τ 2 ) Θ(τ 2 τ 1 )d 2 (τ 2 )d 1 (τ 1 ) frühere Operatoren operieren früher bei Gleichzeitigkeit: Erzeuger ist (per definitionem) später : τ Erzeuger = τ Vernichter definiere Kontraktion : d α (τ α )d β (τ β ) = T (d α (τ α )d β (τ β )) (0) 215

216 = Θ(τ α τ β ) d α (τ α )d β (τ β ) (0) Θ(τ β τ α ) d β (τ β )d α (τ α ) (0) beachte: freier Erwartungswert und freie Zeitabhängigkeit Wicks Theorem: T (d α1 (τ 1 ) d αs (τ s ) (0) = {Summe über alle vollständig kontrahierten Terme} beachte: freie Erwartungswerte und freie Zeitabhängigkeiten eine freie N-Teilchen-Korrelationsfunktion wird auf freie Ein-Teilchen-Korrelationsfunktionen zurückgeführt Korrelationsfunktionen separieren, zerfallen: das System ist unkorreliert ( frei ) wesentlich für Aufbau der diagrammatischen Störungstheorie Anwendung zunächst zur Konstruktion der statischen Mean-Field-Theorie Beweis: für Fermionen ε = 1 und Bosonen ε = +1 definiere für c α mit α = 1,..., d: d i = c i Hamilton-Operator: d d+i = c i 216

217 H 0 = h ij d i d j ij (freies System) mit i, j = 1,..., 2d H 0 kann (abhängig von h) neben den üblichen Termen der Form c c auch nichtteilchenzahlerhaltende Terme der Form cc und c c enthalten wichtig: H ist quadratisch in den d i (und hermitesch) Ein-Teilchen-Korrelationsfunktion: d i d j (0) N-Teilchen-Korrelationsfunktion: d i1 d i2 d is (0) mit s = 2N (0) : freier Erwartungswert, großkanonischer Erwartungswert mit H 0 mit H 0 = H 0 µn gilt: Ld i = [d i, H 0 ] = j D ij d j mit einer Matrix D für freie Systeme kommen nur Terme linear in d i vor damit folgt: e βh 0 d i e βh 0 = e βl d i = ( β) n L n d i n=0 n! = ( β) n (D n ) ij d j = ( e βd ) n=0 n! d j j ij j 217

218 also: d i e βh 0 = j ( e βd ) ij e βh 0 d j weiter gilt: d i d j (0) = [d i, d j ] ε + ε d j d i (0) = [d i, d j ] ε + ε 1 Z Sp ( e βh 0 d j d i ) = [d i, d j ] ε + ε 1 Z Sp ( d i e βh 0 d j ) = [di, d j ] ε + ε 1 Z ( e βd ) k ik Sp ( e βh 0 d k d j ) = [d i, d j ] ε + ε k damit folgt: ( e βd ) ik d kd j (0) [d i, d j ] ε = k M ik d k d j (0) mit M ij = δ ij ε ( e βd) ij der (Anti-)Kommutator ist eine c-zahl die 1-Teilchen-Korrelationsfunktion wird durch eine c-zahl (also durch eine 0-Teilchen-Korrelationsfunktion) ausgedrückt gleiches Schema zur Rückführung einer N-Teilchen-Korrelationsfunktion auf eine N 1-Teilchen-Korrelationsfunktion 218

219 N-Teilchen-Korrelationsfunktion (s = 2N ist gerade): d i1 d is (0) = [d i1, d i2 ] ε d i3 d is (0) + ε d i2 d i1 d is (0) = [d i1, d i2 ] ε d i3 d is (0) +ε 1 d i2 [d i1, d i3 ] ε d i4 d is (0) +ε s 2 d i2 d is 1 [d i1, d is ] ε (0) +ε s 1 d i2 d is d i1 (0) letzter Summand: ε s 1 d i2 d is d i1 (0) = ε 1 Z Sp ( d i1 e βh 0 d i2 d is ) = Zusammenfassen mit Term auf der linken Seite: j 1 M i1 j 1 d j1 d i2 d is (0) = [d i1, d i2 ] ε d i3 d is (0) +ε 1 d i2 [d i1, d i3 ] ε d i4 d is (0) +ε s 2 d i2 d is 1 [d i1, d is ] ε (0) j 1 ( e βd ) i 1 j 1 d j1 d i2 d is (0) 219

220 (Anti-)Kommutatoren als Erwartungswerte schreiben: j 1 M i1 j 1 d j1 d i2 d is (0) = M i1 k d k d i2 (0) d i3 d is (0) k + + +ε s 2 d i2 d is 1 M i1 k d k, d is (0) (0) k Multiplikation mit M 1 li 1, Summation über i 1, Umbenennen l i 1 : d i1 d i2 d is (0) = d i1 d i2 (0) d i3 d is (0) + + +ε s 2 d i2 d is 1 d i1 d is (0) (0) zum Eleminieren der Vorzeichen: Definition von Ordnungsoperator und Kontraktion Ordnungsoperator: T (d i d j ) = εd j d i T (d i d j ) = d i d j falls d i Vernichter, d j Erzeuger sonst 220

221 T ordnet die Erzeuger links von den Vernichtern an (beachte: ε) es gilt: T (d i d j ) = εt (d j d i ) Erzeuger und Vernichter verhalten sich unter T wie (anti-)kommutierende Zahlen Verallgemeinerung auf Produkte von s Erzeugern oder Vernichtern: T (d i1 d is ) = ε p d k1 d ks wobei d k1 d ks geordnet ist (alle Erzeuger links von allen Vernichtern) p: Anzahl der Vertauschungen für (i 1,..., i s ) (k 1,..., k s ) Verallgemeinerung auf Linearkombinationen aus Produkten: T λ i1,...,i s d i1 d is i 1,...,i s beachte: = i 1,...,i s λ i1,...,i s T (d i1 d is ) in T gelten nicht die üblichen (Anti-)Vertauschungsrelationen Beispiel: es ist c c = ε + εcc, aber: 221

222 c c = T (c c) T ( ε + εcc ) = T ( ε) + εt (cc ) = ε + c c definiere Kontraktion zweier Erzeuger/Vernichter: d i d j = T (d i d j ) (0) die Kontraktion ist eine c-zahl es gilt: d i d j = εd j d i für ein Produkt aus k Erzeugern oder Vernichtern A = d i1 d ik sei d i Ad j = ε k d i d j A = ε k Ad i d j beachte: Im Falle von Teilchenzahlerhaltung sind nur Kontraktionen zwischen Erzeugern und Vernichtern ungleich Null. betrachte Erwartungswert von s bereits geordneten Erzeugern/Vernichtern: mit den T (d i1 d i2 d is ) (0) = d i1 d i2 d is (0) Überlegungen weiter oben ist: d i1 d i2 d is (0) = d i1 d i2 d i3 d is (0) + + ε s 2 d i2 d is 1 d i1 d is (0) denn die kontrahierten Operatoren sind geordnet 222

223 also: T (d i1 d i2 d is ) (0) = d i1 d i2 d i3 d is (0) + d i1 d i2 d i3 d is (0) d i1 d i2 d is (0) nach Herausziehen der Kontraktionen (c-zahlen!) und Iteration ist: T (d i1 d i2 d is ) (0) = {Summe über alle vollständig kontrahierten Terme} Wick Theorem gültig auch falls Operatoren links nicht bereits geordnet sind, denn Ordnung führt links und rechts zu gleichem Vorzeichenfaktor Voraussetzungen sind: s gerade Erwartungswerte sind freie Erwartungswerte H 0 quadratisch in Erzeugern und Vernichtern Anzahl Terme: (s 1)(s 3) 3 1 Anzahl der Terme bei Teilchenzahlerhaltung: (s/2)! 223

224 Beispiel: Fermionen, H 0 = t αβ c αc β, Teilchenzahlerhalung: αβ n α n β (0) = c αc α c βc β (0) = c α(δ αβ c βc α )c β (0) = δ αβ c αc β (0) c αc βc α c β (0) = δ αβ c αc β (0) T (c αc βc α c β ) (0) = δ αβ c αc β (0) ( c αc α c βc β + c αc β c βc α ) = δ αβ c αc β (0) + T (c αc α ) (0) T (c βc β ) (0) T (c αc β ) (0) T (c βc α ) (0) = δ αβ c αc β (0) + c αc α (0) c βc β (0) c αc β (0) c βc α (0) Verallgemeinerung auf den Fall zeitabhängiger Erzeuger und Vernichter mit d i (τ) = exp(h 0 τ)d i exp( H 0 τ) laufen wegen [d i (τ), H 0 ] = exp(h 0 τ)[d i, H 0 ] exp( H 0 τ) = j D ij d j (τ) alle Rechnungen analog Die Art der vereinbarten Ordnung ist für die Gültigkeit des Wickschen Theorems nicht wichtig. Üblich ist bei zeitabhängigen Erzeugern/Vernichtern aber die Zeitordnung im tatsächlichen Wortsinn. 224

225 Zeitordnungsoperator : T (d 1 (τ 1 )d 2 (τ 2 )) = Θ(τ 1 τ 2 )d 1 (τ 1 )d 2 (τ 2 ) + ε Θ(τ 2 τ 1 )d 2 (τ 2 )d 1 (τ 1 ) Merksatz: Frühere Operatoren operieren früher. bei Gleichzeitigkeit: Erzeuger links vom Vernichter (konsistent mit Def. oben) alternativ: τ Erzeuger = τ Vernichter : positives Infinitesimal Wick-Theorem für zeitabhängige/zeitgeordnete N-Teilchen-Korrelationsfunktion (s = 2N): T (d i1 (τ 1 ) d is (τ s ) (0) = {Summe über alle vollständig kontrahierten Terme} mit der Kontraktion: d i (τ i )d j (τ j ) = T (d i (τ i )d j (τ j )) (0) = Θ(τ i τ j ) d i (τ i )d j (τ j ) (0) + εθ(τ j τ i ) d j (τ j )d i (τ i ) (0) man nennt c α (τ)c β(τ ) = T (c α (τ)c β(τ )) (0) G (0) αβ(τ, τ ) freie Ein-Teilchen-Green-Funktion (Matsubara-Funktion, thermische Green-Funktion, imaginär zeitabhängige Green-Funktion) 225

226 6.6 Mean-Field-Theorie Konstruktion von Näherungen: Variationsprizip δω t,u [ρ] = 0 allgemeinster Ansatz ρ = ρ t,u mit t und U beliebig exakte Lösung ρ = ρ t,u (eingeschränkter) Ansatz ρ = ρ λ mit Parameter(n) λ liefert gemäß λ Ω t,u[ρ λ ] = 0 für λ = λ 0 ein optimales ρ λ0 mit Ω t,u [ρ λ0 ] Ω t,u Ansatz für ρ durch Wahl eines Referenzsystems: H = H λ ρ λ = exp( β(h λ µ ˆN))/Z λ Berechnung von Korrelationsfunktionen für H λ 0 (statt H) als Approximation sinnvoll, falls H λ 0 einfach (lösbar) Mean-Field-(Hartree-Fock-)Näherung : H = H t,0 = t αβc αc β t beliebig αβ 226

227 gesucht wird der optimale Ein-Teilchen-Hamiltonian sämtliche Ein-Teilchen-Parameter t sind als freie Variationsparameter aufzufassen sei ρ t = 1 Z e β(h µ ˆN) und = Sp (ρ t ) Bestimmung von t : 0 = Ω t t,u [ρ t ] µν = t µν Sp ( ρ t (H t,u µ ˆN ) + T lnρ t ) = ( H t t,u µ ˆN + Sp [ρ t T( β)(h µ ˆN) lnz ) )] µν = ( H t t,u µ ˆN H µ ˆN ) + Ω t,0 µν = t t αβ c αc β + 1 µν αβ 2 denn Ω t,0/ t µν = c µc ν definiere: K ανµβ = c αc β t µν dann ist: U αβδγ c αc βc γ c δ t αβc αc β + c µ c ν αβδγ αβ = 1 T c αc β c µc ν β 0 dτ c α(τ)c β (τ)c µc ν 227

228 0 = t αβ K ανµβ + 1 αβ 2 U αβδγ αβγδ H bilinear Wick-Theorem anwendbar: also: c t αc βc γ c δ µν αβ c αc βc γ c δ = c αc δ c βc γ + ε c αc γ c βc δ t µν αβγδ = t µν = t µν = αβγδ = αβγδ U αβδγ c αc βc γ c δ αβγδ αβγδ U αβδγ ( c α c δ c βc γ + ε c αc γ c βc δ ) (U αβδγ + εu αβγδ ) c αc δ c βc γ (U αβδγ + εu αβγδ ) ( c αc δ K βνµγ + K ανµδ c βc γ ) (U γαδβ + εu γαβδ ) c γc δ K ανµβ + αβγδ mit (αβγ) (γαβ) (1.Term) und (βγδ) (γδβ) (2.Term) = αβγδ = 2 αβγδ mit U αβδγ = U βαγδ t αβk ανµβ ((U γαδβ + U αγβδ ) + ε(u γαβδ + U αγδβ )) c γc δ K ανµβ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ K ανµβ 228 (U αγβδ + εu αγδβ ) K ανµβ c γc δ

229 also folgt insgesamt: 0 = t αβ K ανµβ t αβk ανµβ + αβ αβ αβγδ 0 = t αβ t αβ + (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ αβ γδ Invertierbarkeit von K vorausgesetzt, bedeutet dies: t αβ = t αβ + (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ γδ der optimale Ein-Teilchen-Hamiltonian ist also: H = αβ ( t αβ + Σ (HF) αβ ) c αc β (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ K ανµβ K ανµβ mit Σ (HF) αβ = γδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ Σ (HF) Hartree-Fock-Selbstenergie beachte: die Bestimmung von Σ (HF) muss selbstkonsistent erfolgen: Σ (HF) H c αc β Σ (HF) Kochrezept: Entkopplung des Wechselwirkungsterms 229

230 1 2 U αβδγ c αc βc γ c δ αβγδ αβ ergibt sich aus der Ersetzung: γδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ c αc β c αc βc γ c δ c αc βc γ c δ + c αc βc γ c δ + c αc βc γ c δ + c αc βc γ c δ (ala Wick-Theorem, aber nicht ganz vollständige Kontraktion) Hartree-Fock-Selbstenergie: hermitesch und frequenzunabhängig effektives Ein-Teilchen-Potenzial ( mean-field ) erster Term: Hartree-Potenzial zweiter Term: Austausch-Potenzial Übergang zur kontinuierlichen Ein-Teilchen-ONB { r } (Ortseigenzustände) U: Coulomb-Wechselwirkung, spinlose Teilchen Σ (HF) (r, r ) = e2 d 3 r d 3 r (1) r (2) r 1 4πε 0 r (1) r (2) r (1) r (2) +ε (1) r (2) 1 r r (1) r (2) r (1) r (2) Ψ(r ) Ψ(r ) Ψ(r): Feldoperator (Vernichter am Ort r) r (i) : Ortsoperatoren der Teilchen i = 1, 2 230

231 also: Σ (HF) (r, r ) = e2 4πε 0 d 3 r d 3 r δ(r r )δ(r r 1 ) r r +εδ(r r )δ(r r 1 ) r Ψ(r ) Ψ(r ) r Σ (HF) (r, r ) = e2 4πε 0 δ(r r ) d 3 r n(r ) r r + ε e2 4πε 0 1 r r Ψ(r ) Ψ(r) erster Term: lokal, Hartree-Potenzial, elektrostatisches Potenzial der Ladungsdichteverteilung n(r ) zweiter Term: Austausch-Term, nicht klassisch interpretierbar Darstellung des Dichteoperators in 1.Quantisierung: n(r ) = N Hartree-Term: i=1 δ(r r (i) ) Σ (H) (r, r ) = δ(r r ) e2 4πε 0 N i=1 1 r r (i) Berechnung des großkanonischen Potenzials in Hartree-Fock-Näherung es ist: 231

232 ( Ω t,u [ρ t ] = Sp ρ t (H t,u µ ˆN ) + T lnρ t ) = Ω t,0 + αβ t αβ c αc β U αβδγ c αc βc γ c δ t αβc αc β αβδγ αβ = Ω t,0 + t αβ c αc β + 1 αβ 2 αβγδ und mit t αβ = t αβ + γδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ folgt: Ω t,u [ρ t ] = Ω t, αβγδ αβγδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ c αc β 2.Term: (αβγ) (βγα) (U αβδγ + εu αβγδ ) c αc δ c βc γ t αβ c αc β αβ (U αβδγ + εu αβγδ ) c αc δ c βc γ Ω t,u [ρ t ] = Ω t,0 1 2 αβγδ (U αβδγ + εu αβγδ ) c αc δ c βc γ = Ω t,0 1 2 αβ Σ (HF) αβ c αc β Wick-Theorem, aber invers Ω t,u [ρ t ] = Ω t,0 1 2 αβγδ U αβδγ c αc βc γ c δ = Ω t,0 1 2 αβ Σ (HF) αβ c αc β erster Term: großkanonisches Potenzial des effektiven Modells unabhängiger Teilchen beinhaltet über die Renormierung der Ein-Teilchen-Energien, t t, schon Wechselwirkungseffekte. 232

233 zweiter Term: Korrektur zur Vermeidung von Doppelzählungen exakte obere Schranke für das großkanonische Potenzial: Ω t,0 1 2 αβγδ U αβδγ c αc βc γ c δ Ω t,u setze U αβδγ λu αβδγ Entwicklung des großkanonischen Potenzials in der Wechselwirkungsstärke λ: Ω t,u = Ω t,0 + λ Ω t,0 λ + O(λ2 ) = Ω t,0 + λ 1 2 αβγδ U αβδγ c αc βc γ c δ + O(λ 2 ) = Ω t,0 + (t αβ t αβ) Ω t,0 + O(λ 2 ) + λ 1 αβ t αβ 2 αβγδ denn t αβ t αβ = γδ (U αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ = O(λ) mit Ω t,0/ t αβ = c αc β (und λ = 1) folgt also: Ω t,u = Ω t,0 + (t αβ t αβ) c αc β + 1 αβ 2 = Ω t,0 αβ Σ (HF) αβ c αc β αβγδ αβγδ U αβδγ c αc βc γ c δ + O(λ 2 ) U αβδγ c αc βc γ c δ + O(λ 2 ) U αβδγ c αc βc γ c δ + O(λ 2 ) 233

234 = Ω t,0 1 2 αβγδ U αβδγ c αc βc γ c δ + O(λ 2 ) = Ω t,u [ρ t ] + O(λ 2 ) Hartree-Fock liefert also das bis auf O(λ 2 ) korrekte großkanonische Potenzial 6.7 Stoner-Modell für itineranten Ferromagnetismus (grobe) Klassifizierung (einiger) magnetischer Materialien: Fe, Co, Ni La 1 x Sr x MnO 3 EuO MnO, V 2 O 3 magn. Momente itinerant itin.+lok. lokalisiert itinerant Transport Metall schl. Metall Isolator (Mott-)Isolator Ordnung ferro ferro ferro antiferro Mechanismus Stoner Doppelaustausch direkt Superaustausch Modell Hubbard FKLM Heisenberg Hubbard (n = 1) alle Materialien paramagnetisch für hohe T ferromagnetisch unterhalb T C Curie-Temperatur oder 234

235 antiferromagnetisch unterhalb T N Neél-Temperatur Beispiele für Magnetismus itineranter Elektronen: Stoner-Theorie des Ferromagnetismus Slater-Modell für Antiferromagnetismus beides: Mean-Field-Theorie für Hubbard-Modell Fe, Co, Ni: metallischer Ferromagnetismus itineranter Elektronen keine lokalisierten Spins starke Coulomb-Wechselwirkung unter den 3d-Elektronen schmales 3d-Band, vereinfachend: nichtentartet Bandfüllung: nichtganzzahlig (Hybridisierung mit 4s-Zuständen) ferromagnetische Metalle Paramagnet: minimale kinetische Energie, ungünstig für Wechselwirkungsenergie Ferromagnet: minimale Wechselwirkungsenergie, ungünstig für kinetische Energie 235

236 Energie (0) ε F Zustandsdichte Ferromagnetismus wird durch hohe Zustandsdichte an der Fermi-Energie begünstigt Minimierung der Wechselwirkungsenergie bei nur geringer Erhöhung der kinetischen Energie Stoner-Kriterium Uρ(ε F ) > 1 Herleitung durch Mean-Field-Approximation des Hubbard-Modells: H = t ij c iσc jσ + U n iσ n i σ ijσ 2 iσ Umschreiben des Wechselwirkungsterms: 236

237 n iσ n i σ = n iσ n i σ + n iσ n i σ n iσ n i σ + F Vernachlässigung Fluktuationsterms F = (n iσ n iσ )(n i σ n i σ ) 0 liefert: H H = ijσ(t ij + δ ij U n i σ )c iσc jσ + const. das Vorgehen ist äquivalent zur Mean-Field-Approximation Übung H MF = ijσ(t ij + δ ij U n i σ )c iσc jσ selbstkonsistente Auswertung der Mean-Field-Theorie des Hubbard-Modells gesucht sind translationsinvariante Lösungen: n i σ = n σ mit homogener paralleler Ordnung der lokalen magnetischen Momente: S i = S j für alle i, j spontane Magnetisierung S i 0, o.b.d.a.: S i e z also S i = (m/2)e z mit (dimensionsloser) Magnetisierung m = n n 237

238 definiere weiter: es ist: also: Elektronendichte: n = n + n σ n i σ n iσ = n n i + n n i = 1 2 (n m)n i (n + m)n i = 1 2 σ (n z σm)n iσ mit z = +1, z = 1 H Stoner = U (t ij + δ ij ijσ 2 (n z σm))c iσc jσ Stoner-Modell Stoner-Theorie des metallischen Ferromagnetisumus: Molekularfeld-Approximation für das Hubbard-Modell Ursache für Ferromagnetismus: Coulomb-Wechselwirkung, Pauli-Prinzip Fragen: Bedingungen für kollektive FM Ordnung? T- n- und U-Abhängigkeiten magnetischer Kenngrößen? kritisches Verhalten am Phasenübergang, kritische Exponenten? 238

239 Fourier-Transformation: mit H Stoner = (ε(k) + U kσ 2 (n z σm))c kσc kσ = kσ ε σ (k) = ε(k) + U 2 (n z σm) k-unabhängige Austauschaufspaltung = U m ε σ (k)c kσc kσ H Stoner : Fermi-Gas mit renormierten, selbstkonsistent zu bestimmenden Ein-Teilchen- Energien also: n kσ = f( ε σ (k) µ) Fourier-Rücktransformation liefert: es folgt: n σ = 1 L m = 1 L = 1 L k k k f( ε σ (k) µ) Bestimmungsgleichung für n, n z 1 σ σ e β( ε σ(k) µ) e β(ε(k) µ+un/2) e βum/ e β(ε(k) µ+un/2) e βum/

240 = 1 1 L k e x e y e x e y + 1 = 1 L = 1 L = 1 L k k k e x e y e x e y e 2x + e x e y + e x e y + 1 e y e y e x + e y + e y + e x sinh(βu m/2) cosh(β(ε(k) µ + Un/2)) + cosh(βum/2) Bestimmungsgleichung für m bei festem n (also µ = µ(n)) definiere freie Zustandsdichte (normiert auf Eins): damit: ρ 0 (z) = 1 L k δ(z ε(k)) m = sinh(βu m/2) dzρ 0 (z) cosh(β(z µ + Un/2)) + cosh(βum/2) Diskussion: m = 0 ist stets Lösung (Paramagnet) m > 0 Lösung m < 0 Lösung 240

241 T, β 0: sinhx = x x und cosh x = x es folgt m = βum/ also: m = 0 für T für T T C, T < T C ist m 0 aber klein erste nicht-triviale Ordnung der Entwicklung der Bestimmungsgleichung für m liefert: 1 = β CU 1 dzρ0 (z) 2 cosh(β C (z µ + Un/2)) + 1 (Bestimmungsgleichung für die Curie-Temperatur) T C = T C (U, n) 0 für n n c oder U U c n c bzw. U c markiert den Quantenphasenübergang bei T = 0 mit folgt: δ(z) = d Θ(z) = lim dz β = lim β d dz β = lim e βz eβz β 1 e βz + 1 = lim β 1 2 β 1 + cosh(βz) βe βz (e βz + 1) 2 1 = U dzρ 0 (z)δ(z + Un/2 µ) = Uρ 0 (µ Un/2) für T = 0 ist: 241

242 µ = ε F = ε (0) F + Un/2 (ε (0) F : Fermi-Energie des freien (U = 0) Systems gleicher Teilchendichte) denn für m = 0 gilt: ε σ (k) = ε(k) + Un/2 somit ist insgesamt: Uρ 0 (ε (0) F ) = 1 (Stoner-Kriterium) Interpretation des Stoner-Kriteriums: ferromagnetische Ausrichtung lokaler Spins reduziert die Wechselwirkungsenergie: U i n i n i denn: Wechselwirkung nur zwischen - und -Elektronen allgemein (nicht nur Hubbard-Modell): Pauli-Prinzip nur effektiv bei Elektronen mit gleicher Spinausrichtung Pauli-Prinzip bei parallelen Spins wirkt wie effektive Abstoßung Elektronen werden auf Distanz gehalten Reduzierung der Wechselwirkungsenergie allerdings: Erhöhung der kinetischen Energie: ijσ t ij c iσc jσ 242

243 denn: um - zu -Elektronen werden zu lassen, müssen diese (wegen des Pauli- Prinzips) unbesetzte Zustände höherer Energie auffüllen also: gut für Ferromagnetismus: großes U (starke Reduzierung der Wechselwirkungsenergie) hohe Zustandsdichte bei ε (0) F Energie (geringe Erhöhung der kinetischen Energie) (0) ε F Zustandsdichte Abschätzung von T C : 1 = β CU 1 dzρ0 (z) 2 cosh(β C (z µ + Un/2)) + 1 Modellzustandsdichte: ρ 0 (z) = 1/W für W/2 z W/2 243

244 1 = β CU 2 1 W W/2 W/2 dz 1 cosh(β C (z µ + Un/2)) + 1 für realistische T ist µ(t) ε F = ε (0) F + Un/2 also: 1 = β CU 2 = β CU 4W = β CU 4W = U 2W 1 W W/2 W/2 dz 1 cosh(β C (z ε (0) F )) + 1 W/2 dz 1 W/2 cosh 2 (β C (z ε (0) F )/2) [ 2 tanh(β C (z ε (0) F )/2) β C Abschätzung für ε (0) F ] z=w/2 z= W/2 ( tanh(β C (W/2 ε (0) F )/2) tanh(β C ( W/2 ε (0) ) F )/2) = 0 (Halbfüllung): 1 = U 2W (tanh(β CW/4) tanh( β C W/4)) = U W tanh(β CW/4) β C W = arctanh W 4 U W für große U U also: beachte: T C U 244

245 Halffüllung: eigentlich antiferromagnetische Ordnung hier: nur grobe Abschätzung Fazit: unrealistisch hohe Werte für T C Molekularfeldapproximation fraglich kritischer Exponent der Magnetisierung? m = sinh(βu m/2) dzρ 0 (z) cosh(β(z µ + Un/2)) + cosh(βum/2) Entwicklung für T T C : m = βum + O(m 3 ) 2 = βum + O(m 3 ) 2 βum 2 definiere: I = beachte (s.o.): dzρ 0 (z) cosh(β(z µ + Un/2)) (1/2)(βUm/2) 2 ρ 0 (z)dz cosh(β(z µ + Un/2)) O(m 3 ) (1/2)(βUm/2) 2 ρ 0 (z)dz (cosh(β C (z µ + Un/2)) + 1) 2 ρ 0 (z)dz (cosh(β(z µ + Un/2)) + 1) 2 TC 245

246 2 β C U = ρ 0 (z)dz cosh(β C (z µ + Un/2)) + 1 dann ist in führender Ordnung in T T C : m = βum + O(m 3 ) 2 2 β C U βum 2 m = βum 2 2 β C U (1/2)(β CUm/2) 2 I also: 1 = βu 2 2 β C U (β CU) 2 Im 2 8 m 2 = const. T C T T C kritischer Exponent β = 1/2 für T T C klassischer (Landau) Wert für den Exponenten! + O(m 3 ) (1/2)(β C Um/2) 2 I 6.8 Itineranter Antiferromagnetismus Slater-Modell für Antiferromagnetismus: bipartites Gitter in D Dimensionen, hier: D = 2, Quadratgitter 246

247 Untergitter: A, B Untergitterindex r mit r = A oder r = B chemisches Gitter: i = 1,..., L, Ortsvektoren R i magnetisches Gitter I = 1,..., L/2, Ortsvektoren R I Basisvektoren der chemischen EZ: (a, 0) T, (0, a) T (Gitterkonstante: a) Basisvektoren der magnetischen EZ: (a, a) T / 2, (a, a) T 2 im Folgenden: a = 1 EZ A B B A mez Ein-Teilchen-ONB: { Irσ } mit i = (I, r) und σ =, Hubbard-Modell in Hartree-Fock-Näherung: H Slater = ijσ(t ij + δ ij U n i σ )c iσc jσ Teilchendichte: n i = n i + n i = n = const. 247

248 dimensionslose Magnetisierung: m i = n i n i = m e iqr i mit Q = (π, π) also: m i = m für i A und m i = m für i B alternierend ( staggered ) m: Ordnungsparameter m = 0 Paramagnet, m > 0: Antiferromagnet es gilt: n i σ = 1 2 (n i + z σ m i ) = 1 2 ( n zσ e iqr i m ) (z = +1, z = 1) also ist: H Slater = ijσ definiere: t ij + δ ij Un 2 δ ijz σ Um 1 = Um t ij = t ij + δ ij 2 Un damit: H Slater = t ij δ ij z σ ijσ 2 eiqr i Slater-Modell 2 eiqr i c iσc jσ c iσc jσ 248

249 Fourier-Transformation mit k BZ (chemische Brillouin-Zone) c kσ = 1 L L i=1e ikr i c iσ = U ik c iσ U ik = 1 e ikr i i L bewirkt Diagonalisierung des ersten Terms: t ij c iσc jσ = ε(k)c kσc kσ ijσ kσ Dispersion für Modell mit Hopping zwischen nächsten (t ij = t < 0) und übernächsten Nachbarn (t ij = t ): ε(k) = 2t D s=1 cos k s 4t zweiter Term: (c iσ = k U kic iσ) s<s cos k s cos k s ( ε(k) = ε(k) + Un/2) δ ij z σ ijσ 2 eiqr i c iσc jσ = kp σ c kσ U kiδ ij z σ ij 2 eiqr i U jp = 1 kp σ c kσ e ikr i z σ L i 2 eiqr i e ipr i c pσ = kp σ c kσ z σ 2 δ k,p Q c pσ c pσ wobei p Q = p + Q + G mit einem (eindeutig definierten) Vektor des reziproken chemischen Gitters G, so dass p + Q + G BZ 249

250 = 2 = 2 = 2 z σ c k Qσc kσ σ k z σ σ k mbz z σ σ k mbz c k Qσc kσ 2 c k Qσc kσ 2 z σ c k Qσc kσ σ k/ mbz z σ c kσc k Qσ σ k mbz p Q G M=( π, π) BZ Q Γ=(0,0) mbz k X=( π,0) k BZ k Q BZ k mbz k Q BZ, / mbz k BZ, / mbz k Q mbz 250

251 es ist: H Slater = ε(k)c kσc kσ kσ 2 Matrix-Schreibweise: H Slater = mbz k σ z σ σ k mbz c k Qσc kσ 2 ( c kσ, c ) ε(k) z σ k Qσ 2 ε(k + Q) z σ 2 beachte: ε(k Q) = ε(k + Q + G) = ε(k + Q) z σ c kσc k Qσ σ k mbz c kσ c k Qσ Fourier-Transformation bzgl. des chemischen Gitter Teil-Diagonalisierung zweiter Term des Hamiltonians mit reduzierter Translationssymmetrie Diagonalisierung des verbleibenden 2 2-Problems: 2 Bänder in der mbz. Eigenenergien η r (k): 0 = (η ε(k))(η ε(k Q) = η 2 ( ε(k) + ε(k Q))η + ε(k) ε(k Q) 2 4 η r (k) = ε(k) + ε(k Q) 2 ± ( ε(k) + ε(k Q)) ε(k) ε(k Q) + 2 4

252 ( ε(k) + ε(k Q) ± ( ε(k) ε(k Q)) ) η r (k) = 1 2 Eigenenergien spinunabhängig, Eigenvektoren spinabhängig es ist: mit: falls: ε(k) z σ 2 S = S σ (k) = z σ 2 ε(k + Q) = S cos φ sin φ sinφ cos φ η + (k) 0 0 η (k) (η (k) η + (k)) cos φ sin φ = z σ 2 η + (k) cos 2 φ + η (k) sin 2 φ = ε(k) η + (k) sin 2 φ + η (k) cos 2 φ = ε(k Q) S also falls (2 sinxcos x = sin 2x und cos 2 x sin 2 x = cos 2x): cos 2φ = ε(k) ε(k Q) η + (k) η (k) z σ sin 2φ = η + (k) η (k) also: 252

253 z σ tan 2φ = ε(k) ε(k Q) = 0: mbz mit 2 Bändern r = ± nur durch Halbierung der BZ für k = Q ist k = k Q und η r (k = Q) = ε(k) ± /2 ist das Gap am Rand der mbz System isolierend für > 0 Slater-Isolator nach der Diagonalisierung: System wechselwirkungsfreier Fermionen: also: H Slater = mbz k rσ η r(k)d krσd krσ Ω = T ln(1 + exp( β(η r (k) µ))) krσ es ist Ω = Ω( ) 253

254 koppelt an: ijσ also: Ω 1 z σ 2 eiqr i c iσc jσ = 1 z σ e iqr i n iσ 2 iσ z σ e iqr i n iσ = 1 2 = 1 2 iσ andererseits: L 2U = Ω = ( T)2 kr = 2 kr = k 1 exp(β(η r (k) µ)) + 1 r 1 2 i e iqr i m i = 1 2 i m = L 2U exp( β(η r (k) µ)) 1 + exp( β(η r (k) µ)) ( β) η r(k) 2 2 ( ε(k) ε(k Q)) ( ε(k) ε(k Q)) (f(η +(k) µ) f(η (k) µ)) triviale Lösung: = 0 sei jetzt 0 Bestimmungsgleichung für bei festem n: 1 = U 2 L mbz k wegen η r (k Q) = η r (k) gilt: 1 ( ε(k) ε(k Q)) (f(η (k) µ) f(η + (k) µ)) 254

255 1 = U 1 L BZ k 1 (ε(k) ε(k Q))2 + 2 (f(η (k) µ) f(η + (k) µ)) Auswertung der Bestimmungsgleichung für Teilchen-Loch-symmetrisches Modell: t = 0 ε(k Q) = ε(k) ( perfect nesting ) n = 1 µ = U/2 (Halbfüllung) perfect nesting -Bedingung Instabilität für schwache Wechselwirkung (U 0) U = 0: für t = 0, n = 1 ist die Fermi-Fläche identisch mit Rand der mbz gegen berliegende Teile verlaufen parallel, verbunden durch den nesting vector Q anomal großer Phasenraum für Streuprozesse k k Q mit verschwindend kleiner Anregungsenergie also durch Q charakterisierte Instabilität durch Q charakterisierte Ordnung damit gilt: und 1 = U 1 L BZ k 1 4ε(k)2 + 2 (f(η (k) µ) f(η + (k) µ)) 255

256 mit und f(η (k) µ) f(η + (k) µ) = x = β y = β 1 2 ε(k) + ε(k Q) 2 1 e x e y e x e y + 1 = µ = β Un 2 µ = 0 ( ε(k) ε(k Q)) = β 1 2 definiere die freie Zustandsdichte: ρ 0 (z) = 1 L damit ist die Bestimmungsgleichung: 1 = U 2 ρ 0 (z) dz z2 + 2 /4 T = 0, β = : 1 = U ρ 0 (z) dz 2 z2 + 2 /4 4ε(k)2 + 2 BZ sinhβ z /4 1 + cosh β z /4 symmetrische Zustandsdichte: ρ 0 ( z) = ρ 0 (z): 1 = U 0 Diskussion: ρ 0 (z) dz z2 + 2 /4 k δ(z ε(k)) sinhy cosh x + cosh y 256

257 0: Integral divergent bei z = 0 = 0 nur durch U = 0 realisierbar antiferromagnetische Phase für alle U > 0 Integral von Infrarot-Divergenz dominiert ρ 0 (z) = 1/W =const. gesetzt werden für kleine, d.h. kleine U, kann also: 1 = U 1 W W/2 0 1 dz z2 + 2 /4 1 = U W ln(z + z /4) 1 = U W für 0, also: oder: e 1/U W/2 0 ( ln(w/2 + W 2 /4 + 2 /4) ln /2 m 1 U e 1/U ) U W ln /2 die Untergittermagnetisierung ist nicht analytisch für U = 0 257

258 Diskussion: weitere Rechnung liefert T N e 1/U, Néel-Temperatur U 0, hier HF exakt AF U : Abbildung auf Heisenberg-Modell mit J < 0 AF plausibel: Hubbard-Modell für n = 1 und U beliebig AF Slater-AF erfordert perfect nesting, also t = 0 t 0 oder nicht bipartites Gitter kritisches U, AF für U > U c > 0 258

259 Green-Funktionen 7.1 Spektroskopien (großkanonischer) Hamiltonian des Systems: H = H µn = H 0 + H 1 Eigenenergien, -zustände: H m = E m m ONB: { m } m : Viel-Teilchen-Zustand, zu viel Information Idee: (schwache) Störung Antwort des Systems Anregungsprozess R Wirkungsquerschnitt, Intensität I Anregungen liefern komprimierte und messbare Information über das System 259

260 Photoemission: R = c α winkel- und spinaufgelöst: α = (k, σ) inverse Photoemission: R = c α komplementäre Spektroskopie Auger-Prozess: R = c α c β Auftrittspotenzialspektroskopie: R = c αc β Transport, Raman, Neutronenstreuung, etc.: R = c αc β dies sind elementare Anregungsprozesse Ein-Teilchen-Anregungen: c α, c α Zwei-Teilchen-Anregungen: c α c β, c αc β, c αc β dazu kommen muss eine Spektroskopie-Theorie 260

261 z.b. für die Photoemission in etwa so: elekronischer p p qa Übergang induziert durch Ankopplung an Strahlungsfeld: Vernachlässigung des A 2 -Terms, Coulomb-Eichung, Dipol-Approximation: H H + V, zweite Quantisierung: V 1 = A 0 p V = β A 0 p γ a βc γ + h.c. = M βγ a βc γ + h.c. βγ βγ mit: a hochenergetische Zustände, c Valenzzustände Endzustand in sudden approximation (keine Wechselwirkung zwischen Photoelektron und Restsystem): f a α m Anfangszustand: mit also: i = n a α n 0 E f = E m + ε α E i = E n + hν f V i = m a α (M βγ a βc γ + h.c.) n = m M αγc γ n γ βγ 261

262 ohne Matrixelemente: f V i = m c γ n d.h. R = c γ als elementarer Baustein der Photoemission Berechnung der Intensität für schwache Störung R: zunächst T = 0: System im GZ 0 Wahrscheinlichkeit für Übergang 0 m m R 0 2 (Störungstheorie 1. Ordnung in R) Anregungsenergie: ω = E m E 0 Intensität spektrale Dichte der Übergänge mit Anregungsenergie zwischen ω und ω + dω: I R (ω) = m m R 0 2 δ(ω (E m E 0 )) (es ist ω 0, E m = E m möglich) fundierte Herleitung: Fermis goldene Regel, also 262

263 zeitabhängige Störungstheorie 1. Ordnung in R gültig für schwache Störung für T 0 ist das System anfänglich mit Wahrscheinlichkeit p n = 1 Z e βe n im Zustand n I R (ω) = 1 Z mn e βe n m R n 2 δ(ω (E m E n )) ω < 0 möglich für die komplementäre Spektroskopie mit Operator R ist: I R (ω) = 1 Z mn e βe n m R n 2 δ(ω (E m E n )) = 1 Z = 1 Z mn e βe n n R m 2 δ(ω (E m E n )) mn e βe m m R n 2 δ(ω (E n E m )) (m n) = e βω 1 Z mn e βe n m R n 2 δ( ω (E m E n )) 263

264 I R (ω) = e βω I R ( ω) bzw. I R (ω) = e βω I R ( ω) Diskussion für R = c α (Photoemission), R = c α (inverse PE) I R (ω) ist für ω > 0 das normale (IPE) Spektrum I R ( ω) ist für ω > 0 exponentiell unterdrückt, aber messbar Multiplikation mit Exponentialfaktor liefert das normale PE Spektrum I R (ω) = e βω I R ( ω) aber: die Messfehler werden ebenfalls exponentiell größer, Methode nur geeignet für ω Spektraldichte Zusammenfassen von Spektroskopie und komplementärer Spektroskopie durch Spektraldichte: S AB (ω) = e βe m ε e βe n m A n n B m δ(ω (E n E m )) mn Z für beliebige Operatoren A, B (hier meist A = R, B = R ) Lehmann-Darstellung 264

265 ε = +1: Kommutator-Spektraldichte ε = 1: Antikommutator-Spektraldichte übliche Wahl: ε = ε k k: die Anzahl der Erzeuger/Vernichter sind, aus denen sich A bzw. B aufbaut es gilt (A = R, B = R ): S RR (ω) = 1 Z mn e βe n n R m m R n δ(ω (E m E n )) ε 1 Z mn e βe m n R m m R n δ(ω (E m E n )) (nach Umbenennung m n) und somit: es folgt: S RR (ω) = I R (ω) ε e βω I R (ω) = (1 ε e βω )I R (ω) I R (ω) = eβω e βω ε S RR (ω) mit I R ( ω) = e βω I R (ω) ist 265

266 und I R ( ω) = 1 e βω ε S RR (ω) S RR (ω) = I R (ω) ε I R ( ω) Spektraldichte _ ε I R( ω ) I R + ( ω) PE 0 IPE ω Diskussion Spektraldichte: zentrale formale Größe (äquivalent zur Green-Funktion) notwendig für diagrammatische Störungstheorie Bezug zum Experiment elementare Anregungen des Systems aus dem Gleichgewicht konzeptionell Nichtgleichgewichtsgröße, für schwache Störung aber gemäß Störungstheorie 1. Ordnung (Fermis goldener Regel) ein thermodynamischer Erwartungswert 266

267 weitere Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Lehmann-Darstellung: S AB (ω) = ε S BA ( ω) für die Antikommutator-Spektraldichte: S AA (ω) reell und nicht-negativ (ε = 1) für die Kommutator-Spektraldichte (sign(ω) = ±1 für ω > 0, ω < 0): sign(ω)s AA (ω) reell und nicht-negativ (ε = 1) Fourier-Transformation: X(ω) = exp(iωt)x(t)dt X(t) = 1 2π mit der Lehmann-Darstellung ist: exp( iωt)x(ω)dω S AB (ω) = e βe m ε e βe n m A n n B m 1 e i(ω (E n E m ))t dt mn Z 2π also S AB (t) = 1 e βe m ε e βe n m A n n B m e ient e ie mt 2π mn Z = 1 e βe m ε e βe n m e iht Ae iht n n B m 2π mn Z 267

268 = 1 1 ( e βe m m A(t) n n B m ε e βe n m A(t) n n B m ) 2π Z mn = 1 ( A(t)B(0) ε B(0)A(t) ) 2π und somit: S AB (t) = 1 2π [A(t), B(0)] ε wobei: A(t) = exp(iht)a exp( iht) (großkanonische Heisenberg-Darstellung) S AB hat in Zeitdarstellung einfache Form: zeitabhängige Korrelationsfunktion zeitabhänigige Korrelationsfunktionen sind Fourier-transformierte Spektren (Anti-)Kommutator-Spektraldichte: Namensgebung offsichtlich die Vereinbarung ε = ε k macht Sinn: der auftretende (Anti-)Kommutator kann so auf die fundamentalen (Anti-)Vertauschungsrelationen zurückgeführt werden Beispiel: Fermi-Gas H = α (ε α µ)c αc α 268

269 Ein-Teilchen-(Antikommutator)Spektraldichte A αβ (ω) = S cα c (ω) = dt e iωt S β cα c (t) = 1 β 2π es ist (Lc α = [c α, H] = (ε α µ)c α ) dt e iωt [c α (t), c β(0)] + c α (t) = e iht c α e iht = e itl c α = e i(ε α µ)t c α und somit also: und [c α (t), c β(0)] + = e i(ε α µ)t [c α, c β] + = e i(ε α µ)t δ αβ A αβ (ω) = 1 2π dt e iωt e i(ε α µ)t δ αβ A αβ (ω) = δ αβ δ(ω (ε α µ)) für α = β = k, H = k ε(k)c kc k : A k (ω) = δ(ω (ε(k) µ)) freies System (keine Wechselwirkung H 1 ) ein δ-peak mit H 1 0 ist allgemein (gemäß Lehmann-Darstellung): A k (ω) = S ck,c k(ω) = r z r(k)δ(ω ω r (k)) 269

270 ω r (k): Anregungsenergie z r (k): spektrales Gewicht im thermodynamischen Limes, V : A k (ω) drz r (k)δ(ω ω r (k)) evtl. glatte Funktion von ω Lebensdauerverbreiterung von Bändern Lehmann-Darstellung für T = 0: S AB (ω) = S AB(ω) > ε S AB(ω) < mit S AB(ω) > = 0 A m m B 0 δ(ω (E m E 0 )) (ω > 0) m S AB(ω) < = 0 B m m A 0 δ(ω (E 0 E m )) (ω < 0) m es gilt: δ-peak in Spektraldichte (B = A ) unendliche Lebensdauer Beweis: in einer Umgebung von ω 0 > 0 sei S RR (ω) = z 0 δ(ω ω 0 ) 270

271 R 0 hat nichtverschwindenden Überlapp nur mit Eigenzuständen der Energie E 0+ω 0 (denn sonst ist das Matrixelement endlich und weitere δ-peaks entstehen; hierzu muss allerdings die (plausible) Annahme gemacht werden, dass keine hochenergetischen Zustände außerhalb der Umgebung von ω 0 reinmischen) R 0 ist ein Eigenzustand zur Energie E 0 + ω 0 die Anregung R zerfällt zeitlich nicht, das System verbleibt (bis auf einen Phasenfaktor exp(i(e 0 + ω 0 )t)) im angeregten Zustand R 0 globale Eigenschaften der Spektraldichte: mit LA = [A, H] ist i(d/dt)a(t) = LA(t), also k-tes Moment der Spektraldichte: dω ω k S AB (ω) = dω = 2π i d dt = 2π i d dt = 2π i d dt k 1 k 2π k 1 i d dt k dω e iωt S AB (ω) S AB (t) t=0 2π [A(t), B(0)] ε e iωt t=0 S AB (ω) t=0 t=0 271

272 = [L k A(t), B(0)] ε t=0 dω ω k S AB (ω) = [L k A, B] ε 0-tes Moment: dω SAB (ω) = [A, B] ε Beispiel: A = c iσ, B = c jσ Ein-Teilchen-Spektraldichte S ciσ c jσ(ω) = A ijσ (ω) dω Aijσ (ω) = [c iσ, c jσ] ε = δ ij Spektraltheorem betrachte Lehmann-Darstellung: S AB (ω) = e βe m ε e βe n m A n n B m δ(ω (E n E m )) mn Z für ε = 1 (Antikommutator-Spektraldichte) gilt: S AB (ω) = (e βω + 1) 1 Z mn e βe n m A n n B m δ(ω (E n E m )) 272

273 e βe n 1 dω e βω + 1 S AB(ω) = m A n n B m = BA mn Z für ε = +1 (Kommutator-Spektraldichte) gilt: S AB (ω) = E m E n = (e βω 1) 1 Z mn e βe m e βe n m A n n B m δ(ω (E n E m )) Z E m E n mn 1 dω e βω + 1 S AB(ω) = Em En mn mit e βe n e βe n m A n n B m δ(ω (E n E m )) e βe n Z m A n n B m = BA D AB D AB = E m=e n mn Z m A n n B m zusammen: BA = dω Spektraltheorem 1 e βω ε S AB(ω) ε 2 D AB für ε = +1 treten die Diagonalelemente D AB als Korrekturterm auf! 273

274 vergleiche freies Fermi-Gas: N = dω f(ω µ)ρ 0 (ω) Bedeutung der Fermi(Bose)-Funktion für wechselwirkende Systeme Zustandsdichte ρ 0 (ω) S AB (ω) Spektraldichte aber für allgemeine A, B 7.3 Linear-Response-Theorie 2 Ω/ λ A λ B : statische Störung statische Antwort imag. zeitabh. Korrelationsfunktion Theorie elementarer Spektroskopien: elementare Anregung R Intensität I Spektraldichte linear-response-theorie: zeitabhängige Störung zeitabhängige Antwort Green-Funktion betrachte H t = H + λ B (t)b mit λ B (t) klein und H zeitunabhängig gegeben: zeitabhängige lineare Kopplung an Observable B 274

275 gegeben: Observable A, nicht explizit zeitabhängig gesucht: Antwort A t bis zu erster Ordnung in λ B (t) ( linear response ): δ A t δλ B (t ) λb (t ) 0 offensichtlich ist A t λb (t ) 0 = A 0 zeitunabhängig beachte: für explizit zeitabhängigen Hamiltonian erfüllt der Gleichgewichts-Dichteoperator nicht die von Neumannsche Differenzialgleichung: d.h.: i d dt ρ(t) = [ H t, ρ(t)] ρ(t) 1 Z e β H t Herleitung der Bewegungsgleichung: i d dt ρ(t) = i d dt p m m m = p m( H t m m m m H t ) = [ H t, ρ(t)] m m 275

276 Bestimmung von ρ(t)? Lösen der von Neumannschen DGL mittels zeitabhängiger Störungstheorie (1. Ordnung) gerechtfertigt bei schwacher Zeitabhängigkeit (langsam oder schnell) (hinreichend allgemeiner) Ansatz für ρ(t): entspricht ρ(t) = e iht ρ 1 (t)e iht Übergang zum Wechselwirkungs- bzw. Dirac-Bild damit ist: i d dt ρ(t) = Hρ(t) ρ(t)h + e iht i d dt ρ 1(t) und: [ H t, ρ(t)] = [H, ρ(t)] + λ B (t)[b, ρ(t)] mit der von Neumannschen DGL für ρ(t) folgt: also: e iht e iht i d dt ρ 1(t) e iht = λ B (t)[b, ρ(t)] = λ B (t)[b, e iht ρ 1 (t)e iht ] i d dt ρ 1(t) = e iht [λ B (t)b, e iht ρ 1 (t)e iht ] e iht 276

277 und somit: i d dt ρ 1(t) = [λ B (t)e iht Be iht, ρ 1 (t)] Bewegungsgleichung für ρ 1 (t) Umwandeln in Integralgleichung Anfangsbedingung: dann ist: also: λ B (t) 0 für t ( Einschalten der Störung ) ρ(t) e βh /Z bzw. ρ 1 (t) e βh /Z für t ρ 1 (t) = 1 Z e βh i t dt [λ B (t )e iht Be iht, ρ 1 (t )] Iterieren und Abbrechen nach 1. Ordnung: ρ 1 (t) = 1 Z e βh i t dt [λ B (t )e iht Be iht, 1 Z e βh ] + O(λ 2 B) nach der Bestimmung von ρ 1 (t) folgt für ρ(t): also: ρ(t) = 1 Z e βh i t dt e iht [λ B (t )e iht Be iht, 1 Z e βh ] e iht + O(λ 2 B) 277

278 ρ(t) = 1 Z e βh i t dt λ B (t )[e ih(t t ) Be ih(t t ), 1 Z e βh ] + O(λ 2 B) jetzt ist der Zustand bekannt, es folgt die Berechnung von A t : also A t = Sp (ρ(t)a) A t = 1 Z Sp ( e βh A ) i t dt λ B (t ) Sp [e ih(t t ) Be ih(t t ), 1 Z e βh ] A unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung O(λ 2 B) erster Term: Gleichgewichtserwartungswert für λ B (t) 0 A t = A 0 i t dt λ B (t ) Sp [e ih(t t ) Be ih(t t ), 1 Z e βh ] A zweiter Term: Ausnutzen der zyklischen Invarianz der Spur Z Sp ( ) = Sp ( e ih(t t ) Be ih(t t ) e βh A ) Sp ( e βh e ih(t t ) Be ih(t t ) A ) = Sp ( e βh Ae ih(t t ) Be ih(t t ) ) Sp ( e βh e ih(t t ) Be ih(t t ) A ) = Sp ( e βh e iht Ae iht e iht Be iht ) Sp ( e βh e iht Be iht e iht Ae iht) = Z A(t)B(t ) Z B(t )A(t) 278

279 = Z [A(t), B(t )] beachte: A(t) = e iht Ae iht freie (Heisenbergsche) Zeitabhängigkeit A = 1 Z Sp e βh A = A 0 freier Erwartungswert damit folgt (bis auf Terme der Ordnung O(λ 2 B)): oder: A t = A 0 i t dt λ B (t ) [A(t)B(t )] δ A t δλ B (t ) λb (t ) 0 = iθ(t t ) [A(t)B(t )] = G (ret) AB (t, t ) Kubo-Formel Nichtgleichgewichtseigenschaften des gestörten Systems H + λ B (t)b werden bis zu linearer Ordnung in λ B (t) durch Gleichgewichtseigenschaften des Systems H bestimmt! der lineare Response ist gegeben durch die: retardierte Kommutator-Green-Funktion G (ret) AB (t, t ) = iθ(t t ) [A(t)B(t )] = A(t); B(t ) (ret) da H nicht explizit zeitabhängig ist, gilt 279

280 G (ret) AB (t, t ) = G (ret) AB (t t ) der Faktor Θ(t t ) ist Ausdruck des Kausalitätsprinzips Homogenität der Green-Funktion Übung Die Reaktion des Systems zur Zeit t kann nicht von einer zur Zeit t > t vorliegenden Störung verursacht werden. Diskussion: Zusammenhang mit Spektraldichte: G (ret) AB (t, t ) = iθ(t t ) [A(t)B(t )] = 2πiΘ(t t )S AB (t t ) G (ret) AB (t, t ) und S AB (t t ) haben gleichen Informationsgehalt (Formel zur Berechnung von S bei gegebenem G: siehe unten) linear-response-theorie systematischer als Theorie der elementaren Anregungen oben linear-response-theorie motiviert G (ret) AB (t, t ) nur für hermitesche A, B, nicht für A = c α, B = c β definiere: A(t) = A t A Fourier-Transformation: 280

281 A(t) = 1 dω e iωt A(ω) 2π λ B (t ) = 1 dω e iωt λ B (ω) 2π G (ret) AB (t t ) = 1 dω e iω(t t ) G (ret) AB (ω) 2π damit gilt: A(t) = dt G (ret) AB (t t )λ B (t ) = dt G (ret) AB (t t ) 1 2π = 1 2π = 1 2π damit ist also: also: dω e iωt λ B (ω) dt e iωt G (ret) AB (t ) dω e iωt G (ret) AB (ω)λ B (ω) A(ω) = G (ret) AB (ω)λ B (ω) dω e iωt λ B (ω) mit der Substitution t t t Im linear-response-bereich bewirkt eine mit ω oszillierende zeitabhängige Störung eine Antwort des Systems, die mit gleicher Frequenz oszilliert! Ein response bei anderen Frequenzen als ω zeigt, dass die Störung zu stark ist, um in 281

282 erster Ordnung behandelt werden zu können (Beispiele: Spektroskopien mit starken Laser-Feldern, Frequenzverdopplung, nichtlineare Optik). 7.4 Frequenzabhängige Green-Funktion Systematische Diskussion der Green-Funktion als zentraler Größe der Viel-Teilchen-Theorie, zunächst die retardierte Green-Funktion. Darstellung von G (ret) AB (ω) mit Hilfe der Spektraldichte: G (ret) AB (ω) = dt e iωt G (ret) AB (t) = dt e iωt ( 2πi)Θ(t)S AB (t) = dt e iωt ( 2πi)Θ(t) 1 dω e iω t S AB (ω ) 2π = dω S AB (ω ) dt e i(ω ω )t ( i)θ(t) das t-integral ist eine Distribution: (nach physikalisch sinnvoller Regularisierung: G (ret) AB (t) lim ηց0 G (ret) AB (t)e ηt ) dt e i(ω ω )t ( i)θ(t) = lim dt e i(ω ω +iη)t ( i)θ(t) ηց0 1 = lim( i) ηց0 i(ω ω + iη) ei(ω ω +iη)t 0 1 = lim ηց0 ω ω + iη 282

283 1 = ω ω + i0 + damit folgt: G (ret) AB (ω) = dω S AB (ω ) ω ω + i0 + Spektraldarstellung der retardierten Green-Funktion Verallgemeinerung: zu beliebigem A, B definiere (Anti-)Kommutator-Green-Funktion G AB (ω) = dω S AB(ω ) ω ω ω R, ω / R! Spektraldarstellung der Green-Funktion dies ist die Green-Funktion schechthin, sie umfasst: retardierte Green-Funktion G (ret) AB (ω) = G AB (ω + i0 + ) (ω reell) avancierte Green-Funktion G (av) AB (ω) = G AB (ω i0 + ) (ω reell) 283

284 thermische Green-Funktion, Matsubara-Funktion mit G (M) AB (ω n ) = G AB (iω n ) ω n = (2n + 1)πT ω n = 2nπT n Z (Fermionen) n Z (Bosonen) Eigenschaften von G AB (ω)? es ist: S AB (ω) = 1 Z mn (e βe m ε e βe n ) m A n n B m δ(ω (E n E m )) durch Einsetzen folgt unmittelbar: G AB (ω) = 1 Z mn (e βe m ε e βe n 1 ) m A n n B m ω (E n E m ) Lehmann-Darstellung der Green-Funktion analytische Eigenschaften von G AB (ω) G AB (ω) ist eine analytische Funktion auf C \ R für L < (vor dem thermodynamischen Limes): 284

285 diskrete Eigenenergien E n, diskrete Anregungsenergien ω nm = E n E m G AB (ω) besitzt Pole erster Ordnung bei ω = ω nm R im thermodynamischen Limes: ggfs. kontinuierliches Anregungsspektrum mit Verzweigungsschnitten der Green-Funktion auf der reellen Achse Pole von G AB (ω): Anregungsenergien des Systems Residuum von G AB (ω) in ω = E n E m : a nm = lim ω En E m (ω E n E m )G AB (ω) a nm = 1 Z (e βe m ε e βe n ) m A n n B m nur bestimmte Pole besitzen ein nichtverschwindendes Residuum (d.h. sind nicht hebbar) Green-Funktion beschreibt die für die jeweilige Spektroskopie, zeitabhängige Störung charakteristischen Anregungen a nm G AB (ω) = nm ω ω nm häufiger Spezialfall: B = A hier ist: a nm = 1 Z (e βe m ε e βe n ) m A n 2 Antikommutator-Green-Funktion (ε = 1): a nm 0 Kommutator-Green-Funktion (ε = +1): 285

286 a nm 0 für ω nm 0 (E n E m ) a nm 0 für ω nm 0 (E m E n ) Im ω Pole von G Re ω Anwendungen der Funktionentheorie Schreibweise: G AB (ω) = A; B ω Bilinearität der Green-Funktion bezüglich der Operatoren A und B: c 1 A 1 + c 2 A 2 ; B ω = c 1 A 1 ; B ω + c 2 A 2 ; B ω A; c 1 B 1 + c 2 B 2 ω = c 1 A; B 1 ω + c 2 A; B 2 ω 286

287 A, B Erhaltungsgrößen Green-Funktion trivial Beispiel: [B, H] = 0 dies impliziert: A; B ω = 1 Z mn (e βe m ε e βe n 1 ) m A n b m n m ω (E n E m ) = 1 Z (1 ε) m e βe m m AB m 1 ω = (1 ε) AB = (1 ε) BA ω ω für ε = +1 (Kommutator-Green-Funktion): der linear response verschwindet beachte dazu: H + λ B (t )B und H haben gemeinsamen Satz von Eigenzuständen insbesondere ist also für T = 0 A t = GZ A GZ unabhängig von λ B (t )! weitere Eigenschaften? es gilt: G BA (ω) = 1 Z mn (e βe m ε e βe n 1 ) m B n n A m ω (E n E m ) 287

288 = 1 Z mn (e βe n ε e βe m 1 ) m A n n B m ω (E m E n ) = ε 1 Z (ε mn e βe n e βe m 1 ) m A n n B m ω (E n E m ) = ε 1 Z mn (e βe m ε e βe n 1 ) m A n n B m ω (E n E m ) also: G BA (ω) = ε G AB ( ω) Verhalten von G AB (ω) für ω G AB (ω) = S AB(ω ) dω ω ω = 1 ω dω S AB (ω 1 ) 1 ω /ω = 1 ω dω S AB (ω ) 1 = k=0 ω k+1 k=0 (ω /ω) k dω S AB (ω ) ω k k-tes Moment der Spektraldichte : dω S AB (ω ) ω k = [L k A, B] ε 288

289 mit LA = [A, H] also: G AB (ω) = insbesondere: k=0 [L k A, B] ε ω k+1 G AB (ω) [A, B] ε für ω ω Verhalten von G AB (ω) für ω 0 wobei: es ist: G AB (ω) = G AB(ω) + G (D) AB(ω) G AB(ω) = 1 Z G (D) AB(ω) = 1 Z E m E n mn E m =E n mn lim ω 0 G AB(ω) = G AB(0) andererseits ist für ω 0: (e βe m ε e βe n ) m A n n B m (e βe m ε e βe n ) m A n n B m 1 ω (E n E m ) 1 ω (E n E m ) lim ωg ω 0 AB(ω) = 0 (kein Pol bei ω = 0) 289

290 G (D) AB(ω) = (1 ε) 1 Z insgesamt: E m =E n mn lim ω 0 ωg AB(ω) = (1 ε) D AB e βe n m A n n B m 1 ω = 1 ε ω D AB Antikommutator-Green-Funktion (ε = 1): G AB (ω) hat bei ω = 0 einen Pol 1. Ordnung mit Residuum 2D AB Kommutator-Green-Funktion (ε = +1): G AB (ω) ist analytisch bei ω = 0 beachte: bei Anwendung des Spektraltheorems wird D AB im Falle der Kommutator- Spektraldichte benötigt 7.5 Retardierte und avancierte Green-Funktion Für gegebene Spektraldichte ist die Green-Funktion über die Spektraldarstellung bestimmt. Diese Relation lässt sich (zumindest für reelle Spektraldichte) auch invertieren. Damit besitzen Green-Funktion und Spektraldichte den gleichen Informationsgehalt. Dirac-Identität: 290

291 1 x + i0 = P 1 + x iπδ(x) analog: 1 x i0 = P 1 + x + iπδ(x) beachte: 1 dx x + i0 +f(x) = lim ηց0 1 dxp f(x) = lim x ηց0 dxδ(x)f(x) = f(0) dx 1 x + iη f(x) ( η + η für ω R und S AB (ω) reell gilt: ) dx 1 x f(x) 1 π Im G AB(ω + i0 + ) = 1 π Im dω S AB (ω ) ω + i0 + ω = dω S AB (ω )δ(ω ω ) also: S AB (ω) = 1 π Im G AB(ω + i0 + ) = 1 Im G(ret) AB (ω) (ω reell) π (Darstellung von S mit retardierter Green-Funktion) und: S AB (ω) = 1 π Im G AB(ω i0 + ) = 1 Im G(av) AB (ω) (ω reell) π (Darstellung von S mit avancierter Green-Funktion) 291

292 G (ret) AB (ω) (G (av) AB (ω)) kann in die obere (untere) komplexe Halbebene analytisch fortgesetzt werden (und ist dort mit G AB (ω) identisch) Im ω Im ω Pole von G (av) Re ω Re ω Pole von G (ret) Man kann die analytischen Eigenschaften von retardierter und avancierter Green- Funktion ausnutzen, um eine Relation zwischen ihren Real- und Imaginärteilen herzuleiten. G (ret) AB (ω) analytisch für Im ω 0 also: 0 = C dω G (ret) AB (ω) ω ω i0 + (ω reell) 292

293 Pole von G (ret) AB (ω) unterhalb der reellen Achse weiterer Pol des Integranden bei ω = ω i0 + Im ω C Re ω (ret) Pole von G wegen G (ret) AB (ω) [A, B] ε ω 0 = dω G (ret) AB (ω) ω ω i0 + Ausnutzen der Dirac-Identität 0 = P dω G(ret) AB (ω) ω ω + iπg(ret) AB (ω ) für ω folgt: 293

294 somit: und: AB (ω) = i π P dω G(ret) AB (ω ) ω ω G (ret) Re G (ret) AB (ω) = 1 π P Im G(ret) AB (ω ) dω ω ω Im G (ret) AB (ω) = 1 π P Re G(ret) AB (ω ) dω ω ω (ω reell) avancierte Green-Funktion: analoge Relationen (Kramers-Kronig-Relationen) Fourier-Transformation G(ω) = dt e iωt G(t) G(t) = 1 2π dω e iωt G(ω) ω reelle Variable! Fourier-Transformation nur für G (ret) AB (ω) und G (av) AB (ω) es gilt: 1 2π dω e iωt 1 ω ω ± i0 + = iθ(±t)e iω t e 0+ t 294

295 Beweis (für oberes Vorzeichen): schon oben wurde gezeigt: iθ(t)e 0+t = 1 ω + i0 + also auch: 1 ω + i0 + = iθ(t)e 0+ t direkter Beweis: Integrationswege: t > 0 t < 0 sei t > 0, Im ω < 0 auf dem Integrationsweg 1 2π dω 1 e iωt ω ω + i0 = 1 + 2π = 1 2π 2πi( 1)res ω (e iωt 1 ω ω + i0 +) C dω e iωt 1 ω ω + i

296 = ie iω t e 0+ t sei t < 0, Im ω > 0 auf dem Integrationsweg 1 2π dω 1 e iωt ω ω + i0 = 1 + 2π C dω 1 e iωt ω ω + i0 = 0 + insgesamt: 1 2π dω 1 e iωt ω ω + i0 = + iθ(t)e iω t e 0+ t zweites Vorzeichen: analog damit gilt: G (ret) AB (t) = 1 2π = 1 2π dω e iωt G (ret) AB (ω) dω e iωt dω S AB (ω ) ω + i0 + ω = dω S AB (ω )( i)θ(t)e iω t e 0+ t = ( i)θ(t)2π S AB (t)e 0+ t = iθ(t) [A(t), B(0)] ε e 0+ t unter Ausnutzung der Homogenität der Green-Funktion: 296

297 analog: G (ret) AB (t t ) = iθ(t t ) [A(t), B(t )] ε e 0+ (t t ) G (av) AB (t t ) = iθ(t t) [A(t), B(t )] ε e 0+ (t t ) der konvergenzerzeugende Faktor e 0+ (t t ) kann in vielen Fällen weggelassen werden 7.6 Linear Response, statischer Limes statischer Response auf statische Störung? Kubo-Formel: A t = A 0 + dt λ B (t )G (ret) AB (t t ) es muss gelten: λ B (t ) 0 für t daher sei λ B (t ) = λ B e ηt mit einer positiven Konstante η (im statischen Limes: η 0) dann gilt: 297

298 A t A = dt G (ret) AB (t t )λ B e ηt = λ B e ηt dt G (ret) AB (t t ) e η(t t ) = λ B e ηt d(t t ) G (ret) AB (t t ) e iω(t t ) = λ B e ηt G (ret) AB (iη) im Limes η 0 ist: A t A = G (ret) AB (0)λ B mit ω = iη beachte, dass die frequenzabhängige Green-Funktion gemeint ist! mit η = 0 + hat man den konvergenzerzeugenden Faktor, dessen physikalischer Ursprung ist damit geklärt System z.zt. t = : H Erwartungswert A System z.zt. t = 0: H + dλ B B Erwartungswert A + G (ret) AB (0)dλ B Diese Schreibweise deutet an, dass das Ergebnis natürlich nur in erster Ordnung in λ B gelten kann. also: A λ B = G (ret) AB (ω = 0) (Störung unendlich langsam eingeschaltet) einschalt. 298

299 Vergleich mit Resultat für zeitunabhängige Störung: System: H Erwartungswert A System: H + dλ B B Erwartungswert A + A dλ B λ B linear response: A = β B A β λ dτ B(τ)A(0) 0 B weitere Auswertung mit Eigenzuständen von H: H m = E m m es ist: β 0 dτ B(τ)A(0) = β 0 dτ 1 Z m,n e βe β n = 1 Z falls E m = E n, ist: e βe β n m,n n e βh e Hτ Be Hτ m m A n 0 dτe(e n E m )τ = βe βe n falls E m E n, ist: 0 dτe(e n E m )τ n B m m A n 299

300 e βe β n 0 dτe(e n E m )τ = e βe 1 n E n E m β 0 dτ B(τ)A(0) = β 1 Z E m =E n m,n ( e β(e n E m ) 1 ) = e βe m e βe n e βe n n B m m A n E n E m + 1 Z mit (s.o.) E m E n m,n e βe n e βe m n B m m A n E n E m D AB = 1 Z E m =E n m,n e βe n m A n n B m ist der erste Terme durch βd AB gegeben mit dem rein imaginären Infinitesimal i0 + gilt für den zweiten Term: 1 Z = 1 Z = 1 Z E m E n m,n E m E n m,n m,n e βe n e βe m n B m m A n E n E m e βe m e βe n i0 + (E n E m ) n B m m A n e βe m e βe n i0 + (E n E m ) n B m m A n Die Terme mit E m = E n können ergänzt werden, da der Nenner nie verschwinden 300

301 kann. damit ist: A = β A B βd AB + G (ret) AB (ω = 0) λ B oder: denn: also: und A λ B = A A ; B B ω=i0 + βd A A,B B 1;B ω=i0 + = 1 Z m,n e βe m e βe n i0 + (E n E m ) m 1 n n B m const.; B ω=i0 + = A; const. ω=i0 + = 0 E m =E n D A A,B B = 1 Z m,n e βe n m A A n n B B m D A A,B B = D AB A B im allgemeinen sind also die Antworten verschieden! 301

302 es ist: A λ B = A D AB = A B λ B einschalt. betrachte System ohne Energieentartungen, d.h. E m = E n m = n dann ist E m =E n D AB = 1 Z m,n e βe n m A n n B m = 1 Z und es folgt für T 0: D AB = 0 A 0 0 B 0 = A B n e βe n n A n n B n Dies ist plausibel, denn in diesem Fall entwickelt sich der (nichtentartete) Grundzustand für t kontinuierlich in den (nichtentarteten) Grundzustand für t = 0, ohne dass sich Zustände kreuzen. Bei Systemen mit Entartung, sieht dies anders aus. Beispiel: verschobener harmonischer Oszillator H = ω 0 b b λ(b + b ) 2 es ist A = B = b + b 302

303 (1) direkte Berechnung des statischen responses A / λ (Änderung des Ortserwartungswerts bei Veränderung des äußeren linearen Potenzials) definiere damit: also: c = b + λ/ω 0 [c, c ] = 1 H = ω 0 (c λ/ω 0 )(c λ/ω 0 ) λ(c + c 2λ/ω 0 ) 2 = ω 0 c c λ2 /ω0 2 2λ 2 /ω 0 H = ω 0 c c λ2 ω0 2 ONB von H: { n } mit n = (c ) n 0 / n!, Eigenenergien: E n = ω 0 (n+1/2 λ 2 /ω 2 0) Z = n e βh n n=0 chemisches Potenzial: µ = 0 (Phononen) beachte: bei trivialer Verallgemeinerung auf (unendlich großes) System entkoppelter Oszillatoren macht (groß)kanonische Gesamtheit Sinn es ist: 303

304 Z = und damit: es folgt: n=0 e βe n = (e βω 0 ) n e β(λ2 /ω 0 ω 0 /2) n=0 Ω = T lnz = T ln(1 e βω 0 ) + ω 0 /2 λ 2 /ω 0 A = b + b = Ω λ = 2 λ ω 0 also: A λ = 2 Ω λ = 2 2 ω 0 Beispiel: verschobener harmonischer Oszillator (2) jetzt Auswertung gemäß A λ = β A 2 β dτ A(τ)A(0) 0 wegen [c, H] = ω 0 c ist Lc = ω 0 c und c(τ) = e Hτ ce Hτ = e τl c = e ω 0τ c c (τ) = e ω 0τ c (beachte: c (τ) (c(τ)) ) also: 304

305 A(τ)A(0) = (b + b )(τ)(b + b ) = (c + c 2λ/ω 0 )(τ)(c + c 2λ/ω 0 ) = c(τ)c + c (τ)c + 4λ 2 /ω 2 0 = e ω 0τ cc + e ω 0τ c c 4λ 2 /ω 2 0 denn: c = c(τ) = 0 also: β β 0 dτ e ω 0τ = 1 ω 0 (1 e βω 0 ) β 0 dτ eω 0τ = 1 ω 0 (e βω 0 1) 0 dτ A(τ)A(0) = 1 ω 0 ( (1 e βω 0 ) cc + (e βω 0 1) c c ) + 4λ 2 /ω 2 0 = 1 ω 0 (1 + 1) + 4λ 2 /ω 2 0 = 2 ω 0 + 4λ 2 /ω 2 0 und: β A 2 β dτ A(τ)A(0) = β 2 λ 2 2 4λ 2 /ω = 2 ω 0 ω 0 ω 0 Beispiel: verschobener harmonischer Oszillator H = ω 0 b b λ(b + b ) = ω 0 c c λ2 (c = b + λ/ω 0 ) (3) Berechnung des responses bei unendlich langsamem Einschalten 305 ω 2 0

306 A = b + b = 2 λ ω 0 zeitabhängige Störung: H t = H + λ(t)(b + b ) A λ = 2 ω 0 Berechnung der zeitabhängigen retardierten Green-Funktion es ist: A(t) = c(t) + c (t) 2 λ ω 0 mit c(t) = e iω 0t c A λ =? einschalt. damit folgt: somit: [A(t), A(0)] = [c(t) + c (t) 2 λ ω 0, c + c 2 λ ω 0 ] = [c(t), c ] + [c (t), c] = e iω 0t e iω 0t G (ret) (t) = +iθ(t)(e iω 0t e iω 0t )e 0+ t frequenzabhängige retardierte Green-Funktion: G (ret) (ω) = dt e iωt iθ(t)(e iω 0t e iω 0t )e 0+ t = i 0 dt ( e i(ω+i0+ +ω 0 )t e i(ω+i0+ ω 0 )t ) 306

307 1 = i i(ω + i0 + + ω 0 ) ei(ω+i0+ +ω 0 )t i 1 0 i(ω + i0 + ω 0 ) ei(ω+i0+ ω 0 )t 1 1 = + (Lehmann-Darstellung) ω + i0 + + ω 0 ω + i0 + ω 0 2ω 0 = (ω + i0 + ) 2 ω0 2 damit folgt: 0 also: G (ret) (ω = 0) = 2 ω 0 A λ = G (ret) (0) = A λ einschalt. in der Tat ist: denn: und: D AA = A 2 D AA = 1 Z E m =E n m,n e βe n m A n n A m = 1 Z n e βe n n A n n A n 307

308 also: n A n = n c + c 2 λ ω 0 n = 2 λ ω 0 D AA = n A n n A n = 4 λ2 ω 2 0 = A 2 Beispiel: magnetische Suszeptibilität es sei A = S z die z-komponente des Gesamtspins, B = S z und λ B = b Hamiltonian: H = H 0 + bs z (H 0 sei SU(2)-symmetrisch) magnetische Suszeptibilität: χ zz = S z statischer response b es ist: χ zz = β S z S z βd Sz S z + G (ret) S z S z (ω = 0) dynamische longitudinale magnetische Suszeptibilität bei ω = 0: G (ret) S z S z (ω = 0) = χ (ret) zz (ω = 0) = S z B jetzt gilt: einschalt. 308 langsames Einschalten

309 G (ret) S z S z (ω = 0) = 0 denn [S z, H 0 ] = 0 (siehe oben: [B, H] = 0) also: mit χ zz = β S z S z βd Sz S z D Sz S z = 1 Z E m =E n m,n e βe n m S z n n S z m = 1 Z n e βe n n S z n n S z n folgt: = 1 Z n e βe n n S 2 z n = S 2 z χ zz = β( S z 2 S 2 z ) in Übereinstimmung mit: S z = β S z 2 β b dτ S 0 z(τ)s z (0) für [S z, H 0 ] = Bewegungsgleichung mit der Heisenberg-Gleichung gilt: 309

310 also: i d dt G(ret/av) AB (t) = i d dt [ iθ(±t) [A(t), B(0)] ε ] = ± d dt Θ(±t) [A(t), B(0)] ε iθ(±t) i d dt [A(t), B(0)] ε = δ(t) [A(t), B(0)] ε iθ(±t) [[A, H] (t), B(0)] ε i d dt A(t); B(0) (ret/av) = δ(t) [A, B] ε + [A, H] (t); B(0) (ret/av) Randbedingung: A(t); B(0) (ret/av) = 0 für t < 0/t > 0 Bewegungsgleichung der Green-Funktion [A, H] (t); B(0) (ret/av) : höhere Green-Funktion Die höhere Green-Funktion ist i.allg. (nämlich wenn H nicht nur bilinear ist) aus mehr Erzeugern/Vernichtern aufgebaut als [A(t); B(0)] ε (ret/av) Fourier-Transformation: A(t); B(0) (ret/av) A; B (ret/av) ω δ(t) 1 310

311 i d dt ω Bewegungsgleichung für die frequenzabhängige Green-Funktion: ω A; B (ret/av) ω = [A, B] ε + [A, H] ; B (ret/av) ω rein algebraisch sowohl der Kommutator als auch der Kommutator/Antikommutator treten auf Bewegungsgleichung für höhere Green-Funktion: ω [A, H] ; B (ret/av) ω = [[A, H], B] ε + [[A, H], H] ; B (ret/av) ω Dies ergibt eine Kette von immer komplexeren Bewegungsgleichungen. In Spezialfällen kann die Hierarchie der Bewegungsgleichungen abbrechen; dann liefert das Lösen der Bewegungsgleichungen ein einfaches und elegantes Verfahren zur Bestimmung von Green-Funktionen. Retardierte und avancierte Green-Funktion erfüllen dieselbe Bewegungsgleichung der Unterschied liegt in den spezifischen Randbedingungen: ω ω ± i0 + retardierte/avancierte Green-Funktion die Green-Funktion G AB (ω) ist die analytische Fortsetzung von G (ret/av) AB (ω) in die obere bzw. untere komplexe Halbebene, also: ω C \ R Green-Funktion G AB (ω) 311

312 Beispiel: Ein-Teilchen-Green-Funktion G αβ (ω) = c α ; c β ω ε = ε! Bewegungsgleichung: ω c α ; c β ω = [c α, c β] ε + [c α, H] ; c β ω betrachte bilinearen Hamiltonian ohne Wechselwirkung: H = t αβ c αc β αβ dann ist: [c α, H] = (t α α β β µδ α β )[c α, c α c β ] für ε = 1 (Fermionen) und ε = 1 (Bosonen) ist gleichermaßen: [c α, c α c β ] = δ αα c β also: [c α, H] = (t αβ µδ αβ )c β β und ω c α ; c β ω = δ αβ + (t αβ µδ αβ ) c β ; c β ω β 312

313 Die Kette der Bewegungsgleichungen bricht also ab. Wegen des fehlenden Wechselwirkungsterms tritt keine neue höhere Green-Funktion auf. Matrixschreibweise: ωg(ω) = 1 + (t µ1)g(ω) Lösen der Gleichung durch Matrixinversion: G(ω) = 1 ω + µ t retardierte/avancierte Green-Funktion: G(ω) (ret/av) = (Green-Funktion für ω C \ R) 1 ω ± i0 + + µ t Diese besonders einfache Form für die Green-Funktion ohne Temperaturabhängigkeit und mit trivialer µ-abhängigkeit ist eine Konsequenz der nicht betrachteten Wechselwirkung. unitäre Transformation der Ein-Teilchen-ONB: damit: α = α U αα α c α = α U αα c α 313

314 c α ; c β ω = α U αα c α; β U ββ c β ω = αβ U α α c α; c β ω U ββ also: G (ω) = U G(ω)U Die Ein-Teilchen-Green-Funktion transformiert sich bei unitärer Transformation der ONB genauso wie die Hopping-Matrix t. Konsistenzcheck: G 1 (ω) = ω + µ t = 1 ω + µ U tu 1 = U (ω + µ t)u = U ω + µ t U = U 1 ω + µ t U = U G(ω)U (beachte: 1/(ABC) = (1/C)(1/B)(1/A) für Matrizen A, B, C.) sei U die Transformation, die t diagonalisiert: (bei translationsinvariantem Gitter: Fourier-Transformation i k) ε = U tu diagonal G diagonal mit Elementen 1 G m (ω) = ω + µ ε m 314

315 retardierte Green-Funktion: G (ret) m (ω) = G m (ω + i0 + ) = Ein-Teilchen-Spektraldichte: 1 ω + i0 + + µ ε m A m (ω) = 1 π ImG(ret) m (ω) = δ(ω + µ ε m ) (Die übliche Bezeichnung für die Ein-Teilchen-Spektraldichte: A... (ω)) Bilinearität der Spektraldichte S AB (ω) bzgl. A, B A αβ (ω) = m U αmδ(ω + µ ε m )U mβ 7.8 Selbstenergie und Dyson-Gleichung Ein Wechselwirkungsterm im Hamiltonian führt i.allg. dazu, dass die Kette der Bewegungsgleichungen nicht mehr abbricht, dass also die höhere Green-Funktion sich nicht durch die Ausgangs-Green-Funktion ausdrücken lässt. Für die Ein-Teilchen- Green-Funktion kann dieses Problem auf die sogenannte Selbstenergie verschoben werden, die hier kurz diskutiert werden soll. Die volle Bedeutung der Selbstenergie zeigt sich aber erst in Zusammenhang mit der diagrammatischen Störungstheorie. Hamiltonian H = H 0 + H 1 : 315

316 H = t αβ c αc β + 1 αβ 2 αβγδ U αβγδ c αc βc δ c γ Bewegungsgleichung der Ein-Teilchen-Green-Funktion c α ; c β ω : es ist: ω c α ; c β ω = δ αβ + [c α, H 0 ] ; c β ω + [c α, H 1 ] ; c β ω (H = H 0 + H 1 ) [c α, H] = γ (t αγ µδ αγ )c γ Dieser Term bereitet also keine Schwierigkeiten und führt wieder auf die Ein-Teilchen- Green-Funktion. Definition der Selbstenergie Σ αβ (ω): [c α, H 1 ] ; c β ω γ Σ αγ(ω) c γ ; c β ω retardierte Selbstenergie Σ (ret) αβ (ω) = Σ αβ (ω + i0 + ) avancierte Selbstenergie Σ (av) αβ (ω) = Σ αβ (ω i0 + ) für ω C \ R damit ist: ω c α ; c β ω = δ αβ + γ (t αγ µδ αγ ) c γ ; c β ω + γ Σ αγ(ω) c γ ; c β ω 316

317 Matrix-Schreibweise (Matrix G(ω) mit Elementen G αβ (ω) = c α ; c β ω ): ω G(ω) = 1 + (t µ1) G(ω) + Σ(ω) G(ω) auflösen: G(ω) = 1 ω + µ t Σ(ω) H 1 = 0 G(ω) = G (0) (ω) = 1 ω + µ t Σ(ω) = 0 Die Selbstenergie beschreibt also sämtliche Wechselwirkungseffekte. Die wechselwirkende Green-Funktion erscheint als freie Green-Funktion eines effektiven Hamiltonians H (eff) 0, der aus H 0 durch die Ersetzung t t + Σ(ω) hervorgeht. Diese Sichtweise ist allerdings wegen der ω-abhängigkeit und vor allem wegen der für nicht-reelle ω vorliegenden Nicht-Hermitizität von H (eff) 0 problematisch. mit folgt: also: G (0) (ω) = G(ω) = 1 ω + µ t 1 G (0) (ω) 1 Σ(ω) freie Green-Funktion 317

318 Σ(ω) = G (0) (ω) 1 G(ω) 1 (alternative Definitionsmöglichkeit für die Selbstenergie) Multiplikation mit G (0) (von links) und mit G (von rechts): G (0) (ω)σ(ω)g(ω) = G(ω) G (0) (ω) und damit: iterieren: G(ω) = G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω)g(ω) (Dyson-Gleichung) G(ω) = G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω) ( G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω)g(ω) ) = G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω)g (0) (ω) + Die Entwicklung zeigt, dass sich die volle Green-Funktion aus der freien Green- Funktion durch wiederholte Wechselwirkungsprozesse ergibt. Dies hat in der Diagrammtheorie eine tiefere Bedeutung. Verhalten von Σ(ω) für große ω es ist: G αβ (ω) = k=0 [L k c α, c β] ε ω k+1 318

319 k = 0: k = 1: [c α, c β] ε = δ αβ Lc α = [c α, H 0 ] + [c α, H 1 ] es ist (für ε = ±1): und: [c α, H 0 ] = γ (t αγ µδ αγ )c γ [c α, H 1 ] = 1 2 βγδ (U αβδγ + εu βαδγ )c βc γ c δ [[c α, H 1 ], c β] ε = γδ(u αγβδ + εu γαβδ )c γc δ Übung und somit: definiere: G αβ (ω) = δ αβ ω + 1 ω 2 Σ (HF) αβ = γδ(u αγβδ + εu γαβδ ) c γc δ t αβ µδ αβ + αγβδ + εu γαβδ ) c γδ(u γc δ + O(ω 3 ) Σ (HF) αβ war im Zusammenhang mit statischer Mean-Field-Theorie 319

320 als effektives Potenzial im Referenzsystem eingeführt worden damit ist: G(ω) = 1 ω + 1 ω 2 ( t µ + Σ (HF) ) + O(ω 3 ) und es folgt: also: Σ(ω) = ω + µ t 1 G(ω) 1 = ω + µ t ω 1 + ω 2 ( t µ + Σ (HF)) + O(ω 3 ) ω = ω + µ t 1 + ω 1 ( t µ + Σ (HF)) + O(ω 2 ) = ω + µ t ω ( 1 ω 1 ( t µ + Σ (HF)) + O(ω 2 ) ) Σ(ω) = Σ (HF) + O(ω 1 ) statische Mean-Field-Theorie approximiert also die Selbstenergie durch ihren statischen Hochfrequenzanteil Σ (HF) man kann zeigen: 320

321 Σ(ω) analytisch in C \ R, Pole 1. Ordnung auf R also Definition der retardierten/avancierten Selbstenergie sinnvoll Kramers-Kronig-Relationen für die retardierte Selbstenergie: Für den Beweis hat man lediglich G AB (ω) durch Σ (ret) (ω) Σ (HF) zu ersetzen. ReΣ (ret) (ω) = Σ (HF) 1 π P dω ImΣ(ret) (ω ) ω ω ImΣ (ret) (ω) = 1 π P dω ReΣ(ret) (ω ) Σ (HF) ω ω (analoge Relationen gelten für die avancierte Selbstenergie) (falls Σ (HF) reell) 7.9 Klassifikation von Green-Funktionen Zweizeitige Green-Funktionen: abhängig von einer Frequenz zweizeitig (aber: Homogenität der Zeit) Ein-Teilchen-Green-Funktion: c α ; c β ω elementare Green-Funktion, ε = ±1 (ε = ε) 321

322 Spektraltheorem mittlere Besetzung von Orbitalen, Erwartungswert von Ein- Teilchen-Operatoren (Observablen) Spektraldichte PES, IPE (ε = ±1) Zwei-Teilchen-Green-Funktionen c αc β ; c γc δ ω und c α c β ; c γc δ ω ε = 1 für ε = ±1 Linear-Response-Theorie, Kubo-Formel Spektraltheorem statische Korrelationsfunktionen BA mit Ein-Teilchen- Operatoren (Observablen) A, B Spektraldichte AES, APS, INS, Raman Zwei-Teilchen-Green-Funktionen c α c βc γ ; c δ ω ε = ε = ±1 tritt auf in der Bewegungsgleichung für c α ; c β ω anomale Ein- und Zwei-Teilchen-Green-Funktionen c α ; c β ω und c α c β ; c γ c δ ω Ein-Teilchen-GF: ε = ε = ±1 Zwei-Teilchen-GF: ε = 1 nichtverschwindend nur für H mit [ ˆN, H] 0 oder in Zusammenhang mit spontaner U(1)-Symmetriebrechung (BEC, Supraleitung) 322

323 zeitgeordnete Erwartungswerte von Produkten von Erzeugern/Vernichtern zu unterschiedlichen Zeiten: definiert mehrzeitige Green-Funktionen treten auf (als freie Green-Funktionen) im Wick-Theorem Zeitordnung: essentiell für Wick-Theorem (Diagrammtechnik) (großkanonische) Zeitabhängigkeit der Erzeuger/Vernichter: c ( ) α (t) = e iht c ( ) α e iht (reelle Zeit < t < ) oder: c ( ) α (τ) = e Hτ c ( ) α e Hτ (imaginäre Zeit β < τ < β) Allgemeine Zwei-Teilchen-Green-Funktion G αβγδ (t 1, t 2, t 3, t 4 ) = T c α (t 1 )c β (t 2 )c γ(t 3 )c δ(t 4 ) analoge Verallgemeinerung auf N-Teilchen-Green-Funktionen keine Unterscheidung zwischen Kommutator- und Antikommutator- Green-Funktion 323

324 N Zeiten, H H t N 1 Frequenzen komplizierte analytische Struktur kein Vorzeichen ε in der Definition keine Unterscheidung zwischen Kommutator- und Antikommutator-Green-Funktion aber: T = T ε. kausale Ein-Teilchen-Green-Funktion oder: G (c) αβ(t t ) = c α (t); c β(t ) (c) = i ( Θ(t t ) c α (t)c β(t ) + ε Θ(t t) c β(t )c α (t) ) G (c) αβ(t t ) = c α (t); c β(t ) (c) = i T c α (t)c β(t ) relevent für spezielle T = 0 Diagrammtechnik Erweiterung möglich für Nichtgleichgewichtszustände Matsubara-Funktionen fiktive, imaginäre Zeit τ, c α (τ) = e Hτ c α e Hτ, c α(τ) = e Hτ c αe Hτ Zeitordnungsoperator T bzgl. τ 324

325 für β < τ < β definiere: Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion G (M) αβ (τ) = c α (τ); c β(0) (M) = T c α (τ)c β(0) Zwei-Teilchen-Matsubara-Funktion G (M) αβγδ(τ 1, τ 2, τ 3, τ 4 ) = T c α (τ 1 )c β (τ 2 )c γ(τ 3 )c δ(τ 4 ) analoge Verallgemeinerung auf N-Teilchen-Matsubara-Funktionen keine Unterscheidung zwischen Kommutator- und Antikommutator- Matsubara-Funktion diskrete Fourier-Transformation (Fourier-Reihe) wegen Einschränkung β < τ i < β (und periodischer Fortsetzung) N Zeiten, H H t N 1 (diskrete) Frequenzen sehr komplizierte analytische Struktur für N 2 Matsubara-Funktionen sind Grundlage der allgemeinen Diagrammtheorie Antwort auf statische Störung gegeben durch (τ-integrierte) Matsubara-Funktion (s.o.) 325

326 326

327 Einfache Anwendungen Hier sollen einige Anwendungen des Formalismus der Green-Funktionen vorgestellt werden, um zu zeigen, wie man (lösbare) Probleme effizient lösen kann und einfache Approximationen (für nicht lösbare Probleme) konstruiert werden können. Im Vordergrund stehen dabei die Bewegungsgleichungsmethode und Entkopplungsschemata. Weitere methodische Zugänge zur Berechnung von Green-Funktionen (Diagrammtechnik, Pfadintegral funktionaltheoretische Methoden) werden erst später diskutiert. 8.1 Atomares Hubbard-Modell atomares Hubbard-Modell (Fermionen, ε = 1): H = σ ε 0c σc σ + U 2 σ n σn σ Strenggenommen ist ein Modell H = i H i voneinander unabhängiger atomarer 327

328 Modelle H i mit i = 1,..., L zu betrachten, wobei L, um sinnvollerweise Statistik für T > 0 diskutieren zu können bzw. um den großkanonischen Dichteoperator als (gemischten) Zustand des Systems rechtfertigen zu können. Die Ergebnisse sind aber trivial von H i auf H = i H i zu übertragen. Ein-Teilchen-Green-Funktion: G σ (ω) = c σ ; c σ ω Kommutator: (n σ = c σc σ ) [c σ, H] = (ε 0 µ)c σ + Uc σ n σ Bewegungsgleichung: ωg σ (ω) = 1 + (ε 0 µ)g σ (ω) + UΓ σ (ω) höhere Green-Funktion Γ σ (ω) = c σ n σ ; c σ ω Bewegungsgleichung: ωγ σ (ω) = [c σ n σ, c σ] + + [c σ n σ, H] ; c σ ω = n σ + (ε 0 µ) c σ n σ ; c σ ω + U c σ n 2 σ; c σ ω = n σ + (ε 0 µ + U)Γ σ (ω) Kette der Bewegungsgleichungen bricht ab! 328

329 also: Γ σ (ω) = einsetzen: n σ ω + µ ε 0 U ωg σ (ω) = 1 + (ε 0 µ)g σ (ω) + U mit Partialbruchzerlegung folgt: G σ (ω) = 1 n σ ω + µ ε 0 + n σ ω + µ ε 0 U n σ ω + µ ε 0 U Die Green-Funktion und damit die Spektraldichte sind also abhängig von der Besetzung der Störstelle und von der Temperatur (über den Erwartungswert n σ )! Solche Abhängigkeiten sind durch die Wechselwirkung induziert und in einem freien System nicht möglich, wo die Form der Spektraldichte stets unverändert bleibt. Dies ist typisch für Viel-Teilchen-Systeme. Ein-Elektronen-Spektraldichte: A σ (ω) = 1 π Im G σ(ω + i0 + ) A σ (ω) = (1 n σ ) δ(ω + µ ε 0 ) + n σ δ(ω + µ ε 0 U) Es bleibt noch die Bestimmung des Erwartungswerts. Spektraltheorem (mit Fermi-Funktion f(ω) = 1/(exp(βω) + 1)): c σc σ = dω f(ω)a σ (ω) 329

330 also: n σ = (1 n σ ) f(ε 0 µ) + n σ f(ε 0 µ + U) Dies sind für σ =, zwei lineare Gleichungen für die Unbekannten n σ und n σ. lösen: n σ = n σ = f(ε 0 µ) 1 + f(ε 0 µ) f(ε 0 µ + U) keine magnetische Ordnung in einem endlichen oder sogar atomaren System, daher spinunabhängige Green-Funktion. G σ (ω) = G σ (ω) spinunabhängig Interpretation der Spektraldichte A(ω) = (1 n σ ) δ(ω + µ ε 0 ) + n σ δ(ω + µ ε 0 U) Ein-Elektronen-Spektraldichte: Photoemission (PES), inverse Photoemission (IPE) allgemein ist: I R (ω) = eβω e βω ε S RR (ω) und I R ( ω) = 1 e βω ε S RR (ω) 330

331 hier: (R = c, Fermionen) I IPE (ω) = für T = 0: eβω e βω + 1 A(ω) und I PES( ω) = 1 e βω + 1 A(ω) I IPE (ω) = Θ(ω)A(ω) und I PES (ω) = Θ(ω)A( ω) also: ω > 0: IPE-Spektrum und ω < 0: PES-Spektrum µ < ε 0 n σ = 0 A(ω) = δ(ω + µ ε 0 ) ω = ε 0 µ > 0 nur IPE-Spektrum µ > ε 0 + U n σ = 1 A(ω) = δ(ω + µ ε 0 U) ω = ε 0 µ + U < 0 nur PES-Spektrum ε 0 < µ < ε 0 + U n σ = 1/2 A(ω) = (1/2)δ(ω + µ ε 0 ) + (1/2)δ(ω + µ ε 0 U) IPE- und PES-Spektrum 331

332 Berechnung der Selbstenergie: Σ(ω) = G (0) (ω) 1 G(ω) 1 = ω + µ ε 0 nach kurzer Rechnung: Σ(ω) = U n σ + U 2 n σ (1 n σ ) ω + µ ε 0 U(1 n σ ) 1 n σ + ω + µ ε 0 n σ ω + µ ε 0 U 1 Der erste Term ist die Hartree-Fock-Selbstenergie. Der zweite Term ist von der Ordnung O(1/ω). Der Imaginärteil der retardieren Selbstenergie ist, bis auf den Faktor 1/π, eine Delta-Funktion: δ(ω + µ ε 0 U(1 n σ )). Eine retardierte Selbstenergie, deren Imaginärteil aus einer endlichen Anzahl von Delta-Peaks besteht, ist typisch für endliche Systeme. Fermi-Flüssigkeitsverhalten, d.h. Im Σ(ω + i0 + ) ω 2 kann sich erst im thermodynamischen Limes ergeben. 8.2 Hubbard-I-Näherung und Mott-Isolator Die Einfachheit der Rechnung für das atomare Problem verführt zu einer einfachen Näherung für das entsprechende Gitter-Modell. Idee der Hubbard-I-Näherung : 332

333 freie (U = 0) Ein-Teilchen-Green-Funktion des Hubbard-Modells: G (0) 1 (ω) = ω + µ t volle Green-Funktion: G(ω) gegeben mittels Dyson-Gleichung: G(ω) = G (0) (ω) + G (0) (ω)σ(ω)g(ω) Approximation: Σ atom.,ij (ω) = δ ij Σ atom. (ω) Σ atom (ω) = U n σ + wobei ε 0 = t ii Σ(ω) Σ atom. (ω) U 2 n σ (1 n σ ) ω + µ ε 0 U(1 n σ ) selbstkonistente Bestimmung von n σ : n σ = 1 π f(ω) ImGii (ω + i0 + ) mit G ii (ω) = (G(ω)) ii Es fragt sich natürlich, wie eine solche Näherung zu rechtfertigen ist. Antwort: Die Hubbard-I-Näherung kann als erster Schritt in einem systematischen Verfahren verstanden werden, das letztlich zur exakten Lösung für G(ω) konvergieren muss. Idee der Cluster-Störungstheorie : 333

334 Verallgemeinerung der Hubbard-I-Näherung für endliche Cluster: 1 G(ω) = G (0) (ω) 1 Σ(ω) mit Σ(ω) Σ cluster (ω) Σ cluster (ω) ist die Selbstenergie eines Systems enkoppelter Cluster: Hubbard Modell System entkoppelter Cluster Σ cluster (ω) kann exakt berechnet werden: Σ cluster (ω) = G (0) cluster(ω) 1 G cluster (ω) 1 Es versteht sich, dass G (0) cluster(ω), bzw. G cluster (ω) für ein endliches (und nicht zu großes) System exakt aus der Lehmann-Darstellung berechenbar sind, wenn nötig mit numerischer Bestimmung der Eigenenergien und Eigenzustände des einzelnen 334

335 Clusters. Hubbard-Modell: H = H 0 (t) + H 1 (U) Cluster-System: H = H 0 (t ) + H 1 (U) V = t t Inter-Cluster-Hopping einsetzen: 1 G(ω) = G (0) (ω) 1 G (0) cluster(ω) 1 + G cluster (ω) 1 1 = ω + µ t (ω + µ t ) + G cluster (ω) 1 1 = G cluster (ω) 1 t + t also: 1 G(ω) = CPT-Gleichung G cluster (ω) 1 V Diskussion: korrekt im Limes großer Cluster N c (N c : Anzahl Plätz pro Cluster) Hubbard-I-Näherung Nachteil (für N c 1 und N c ): 335

336 die Translationssymmetrie der Green-Funktion wird durch die Näherung gebrochen selbstkonsistente Erweiterung des Verfahrens? spontane Symmetriebrechung? Diskussion für N c = 1: mit der Hubbard-I-Näherung ist: Σ k (ω) = 1 L ij e ik(r i R j ) Σ ij (ω) = Σ atom. (ω) k-unabhängige Selbstenergie 1 G k (ω) = 1 = (ω) Σk (ω) G (0) k 1 ω + µ ε(k) U n σ U2 n σ (1 n σ ) ω+µ U(1 n σ ) (mit ε 0 = t ii = k ε(k) = 0) durch Wahl des Energie-Nullpunkts) mit Partialbruchzerlegung folgt: mit G k (ω) = α 1(k) ω ω 1 (k) + α 2(k) ω ω 2 (k) ω 1,2 (k) = 1 2 (U + ε(k)) 1 4 (U ε(k))2 + U n σ ε(k) µ 336

337 α 1,2 (k) = ω 1,2(k) U(1 n σ ) ω 2 (k) ω 1 (k) beachte: exaktes Resultat für Grenzfälle: U = 0 (Band-Limes) ε(k) = ε 0 = 0 (atomarer Limes) n σ = 0 n σ = 1 vereinfachte Diskussion für U : ω 1 (k) = (1 n σ )ε(k) µ ω 2 (k) = U + n σ ε(k) µ α 1 (k) = 1 n σ = 1 α 2 (k) also: 1 n σ G k (ω) = ω + µ (1 n σ )ε(k) + n σ ω + µ n σ ε(k) + U lokale Spektraldichte: A ii (ω) = 1 L k A k (ω) = dz ρ 0 (z)a z=ε(k) (ω) 337

338 wobei ρ 0 (z) = 1 δ(z ε(k)) L k denn die k-abhängigkeit von A k (ω) ist nur mittels z = ε(k) gegeben also: A ii (ω) = dz ρ 0 (z) (1 n σ ) δ(ω + µ (1 n σ )z) und somit: also: + dz ρ 0 (z) n σ δ(ω + µ n σ z + U) A ii (ω) = dz ρ 0 (z) A ii (ω) = ρ 0 δ z ω + µ 1 n σ ω + µ + ρ 0 1 n σ + δ ω + µ U n σ z ω + µ U n σ 338

339 U=0 U groß A( ω) A( ω) ~U <n> klein 0 ω 0 ω A( ω) A( ω) ~U <n> groß 0 ω 0 Viel-Teilchen-Effekte: band-narrowing Satellit oberes und unteres Hubbard-Band füllungsabhängige Zustanddichte spectral-weight transfer temperaturabhängige Zustanddichte (via n σ ) korrelationsinduzierter Mott-Isolator bei Halbfüllung ω 339

340 n σ = 1/2 für µ = U/2 A ii (ω) = ρ 0 ω + U/2 1/2 + ρ 0 n σ = 0, n σ = 1: Band-Isolator n σ = 1/2: Mott-Isolator ω U/2 = 0 für ω = 0 1/2 Dies ist eine qualitativ korrekte Vorhersage der Hubbard-I-Näherung, die in besseren Approximationen bestätigt werden kann. Ein Defekt der Näherung ist aber, dass der Mott-isolierende Zustand bei Halbfüllung für alle U, also insbesondere für kleine U 0 bestehen bleibt. Plausibler ist, dass es einen kritischen Wert U c > 0 gibt, an dem der Übergang zum Metall stattfindet. Die Hubbard-I-Näherung liefert (fälschlicherweise) U c = 0. Resultate der Cluster-Störungstheorie: (D. Senechal, D. Perez, M. Pioro-Ladriere, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 522) Hubbard-Modell, D = 1, n.n.-hopping t, U = 4t, N c =

341 n = 1: 341

342 n = 5/6: 342