Einführung in die Kernphysik

Transkript

1 Eiführug i die Kerphysik 2 Die Kerphysik ist kei i sich abgeschlossees Kapitel der modere Physik. Es gibt keie eifache, grudlegede Theorie, aus der sich detaillierte Eigeschafte der Kere auf mehr oder weiger eifache Weise bereche lasse. Es wird sich herausstelle, dass dies kei Problem eies magelde, fudametale Verstädisses ist, soder dass die Kere eifach recht komplexe Gebilde sid. Zum eie wird mit der wachsede Zahl der Objekte die Dyamik recht kompliziert. Zum adere liegt es dara, dass die Lägeskale der Kerphysik ud der zugrudeliegede Hadroephysik icht weit geug auseiader sid ud dass daher detaillierte Eigeschafte der Hadroephysik i der Kerphysik eie Rolle spiele. Liege die Skale weit geug auseiader, köe ur sehr weige Eigeschafte der fudametalere Theorie i der Theorie mit der größere Skala relevat sei. Ei Beispiel hierfür ist die Atomphysik, i der aus der zugrudeliegede Quateelektrodyamik im Wesetliche ur das Coulomb-Gesetz ud eifache magetostatische Korrekture, die de Spi der Elektroe berücksichtige, übrig bleibe. Wege der Komplexität muss ma sich letztlich darauf beschräke, eie phäomeologische Beschreibug mit mehr oder weiger hadhabbare Modelle ud Vorstelluge zu fide, die de Strukture der Kere mehr oder weiger geau etspreche. I eier Eiführug i die Kerphysik werde daher die experimetell beobachtete Phäomee eie etscheidede Rolle spiele. 2.1 Kurze historische Eiführug Nachdem Alchimiste lage vergeblich versucht hatte, das Elemet Gold herzustelle, wurde im 19. Jahrhudert die Eiteilug der chemische Substaze i Elemete ud Verbiduge erreicht. Im Jahre 1803 postulierte der eglische Chemiker udphysiker Dalto,dass die Elemete jeweils aus eier Atomsorte bestehe ud dass Verbiduge verschiedee Atomsorte mit festem Mischugsverhältis ethalte. Der russische Chemiker Medelejew führte 1869dasPeriodesystem ei, das eie Verbidug zwische de Gewichte ud de chemische Eigeschafte F.W. Bopp, Kere, Hadroe ud Elemetarteilche, DOI / _2, Spriger-Verlag Berli Heidelberg

2 8 2 Eiführug i die Kerphysik Abb. 2.1 Das Periodesystem der Elemete (adaptiert ach [4]) der Atome herstellte. Das Periodesystem ist schematisch i Abb. 2.1 dargestellt. Die Beobachtug ist, dass die durch Liie verbudee Elemete ähliche chemische Eigeschafte habe. Der Durchmesser eies Atoms liegt i der Größeordug vo eiem Ågström. Wege des Beugugseffekts ist die Struktur vo auflösbare Objekte durch die Welleläge der zur Beobachtug eigesetzte Strahlug begrezt. Die Auflösug eies Atoms i Uterstrukture kote daher erst geschehe, achdem eie Strahlugsquelle mit der etsprechede Eergie verfügbar wurde. Der erste Schritt i diese Richtug erfolgte 1895 durch eie Etdeckug des a der Würzburger Uiversität tätige Physikers Rötge (Abb. 2.2), für die er de erste Nobelpreis der Physik erhielt [6]. Er kote eie die Materie durchdrigede Strahlug achweise, die fotografische Platte schwärzt ud Fluoreszez verursacht. Sie wird heute Rötgestrahlug (im Eglische X-rays) geat. Die Erzeugug der Strahlug erfolgt meist i eier Rötgeröhre, wie sie i Abb. 2.3 schematisch dargestellt ist fad der frazösische Physiker Becquerel (Abb. 2.4) dieatürliche Radioaktivität. Es war ei Beispiel für eie Zufallsetdeckug. Seie ursprügliche Vorstellug war [7], dass die durchdrigede Rötgestrahlug i Wirklichkeit erst am Glas der Rötgeröhre etstüde ud mit Fluoreszez etwas zu tu habe. Um gute Fluoreszez zu erhalte, belichtete er fluoreszierede Urasalze mit Soestrahlug ud fad, dass sie i der Tat Quelle eier durchdrigede Strahlug

3 2.1 Kurze historische Eiführug 9 Abb. 2.2 Wilhelm Corad Rötge (mit freudlicher Geehmigug vo Spriger Sciece+Busiess Media [3]) ware. Als guter Experimetator war er i seie Utersuchuge ausreiched sorgfältig, um zu bemerke, dass der Effekt uabhägig vo der Belichtug war ud dass die durchdrigede Strahlug ohe äußere Eiwirkuge bei alle Uraverbiduge auftrat wurde wichtige Eigeschafte dieser atürliche Radioaktivität des Uras herausgefude. Utersuchuge vo Rutherford (Abb. 2.5), der damals mit 29 Jahre Professor a der McGill Uiversität i Kaada war, ud adere zeigte, dass die atürliche Strahlug des Uras drei verschiedee Ateile ethält [7], die -Strahlug, ˇ-Strahlug ud -Strahlug geat wurde. Die -Strahlug wird durch ei Blatt Papier gestoppt, ˇ-Strahlug ka Alumiiumfolie vo eiige Millimeter Dicke durchdrige, ud -Strahlug erfordert eie Abschirmug Rötgestrahlug Glühkathode Aode Heizspaug Hochspaug Abb. 2.3 Glühkathoderöhre zur Erzeugug vo Rötgestrahlug

4 10 2 Eiführug i die Kerphysik Abb. 2.4 Heri Becquerel (mit freudlicher Geehmigug vo Spriger Sciece+Busiess Media [5]) Abb. 2.5 Erest Rutherford (Foto: Deutsches Museum) mit Blei vo mehrere Zetimeter Dicke. Die drei Kompoete der Radioaktivität besitze uterschiedliche Laduge. Ei idealisiertes Schema eies Versuchs, der dies achweist, ist i Abb. 2.6 dargestellt. Für de Fall der -Strahlug, der ei besoders starkes Magetfeld erfordert, wurde dieser Versuch erst Jahre später durchgeführt.

5 2.1 Kurze historische Eiführug 11 Abb. 2.6 Die drei Kompoete der atürliche Strahlug des Uras γ-strahle β-strahle α-strahle Maget Bleiabschirmug 7 radioaktive Quelle Der frazösische Physiker Pierre Curie ud seie Frau, die aus Pole stammede Chemikeri Marie Sklodowska Curie (Abb. 2.7) hatte erkat, dass die Radioaktivität eie Eigeschaft gewisser Elemete ist. Marie Curie bega mit eier itesive Utersuchug aller bekate Elemete. Sie etdeckte die Radioaktivität des Thoriums. Da das Uraerz stärker strahlte als das reie Ura, musste adere Abb. 2.7 Marie Sklodowska ud Pierre Curie (Foto: Deutsches Museum)

6 12 2 Eiführug i die Kerphysik Elemete, die zusamme mit ihm auftrate, dafür veratwortlich sei. Die Schwierigkeit, diese ubekate radioaktive Elemete herauszufide, bestad dari, dass diese Elemete ur i sehr gerige Mege vorlage. Mit mehrere Toe Urapechblede kote die Curies 1898 die bis dahi ubekate Elemete Radium ud Poloium achweise ud ei gazes Gramm Radium isoliere. Nach diese Arbeite wurde immer mehr radioaktive Substaze gefude ud viele bisher ubekate Elemete etdeckt, uter ihe das Aktiium, das Radiothorium, das Mesothorium ud das gasförmige Rado. Diese itesive Utersuchuge brachte 1903 Rutherford ud Soddy zur Schlussfolgerug, dass eie spotae Umwadlug gewisser Elemete i adere für die radioaktive Strahlug veratwortlich ist [8]. Die meiste Elemete habe eie Atommasse, die ziemlich geau eiem Vielfache derjeige des Wasserstoffs etspricht. Zu dieser Regel gibt es allerdigs Ausahme, die vor allem bei schwerere Kere, aber auch bei eiige leichtere Elemete auftrete. Um sie zu verstehe, postulierte Soddy 1910, dass Elemete machmal aus eier Mischug vo uterschiedliche Isotope bestehe, die idetische chemische Eigeschafte habe ud sich ur i ihrer Atommasse uterscheide, ud dass die Isotope selbst recht geau eiem feste Vielfache der Wassserstoffmasse etspreche kote J. J. Thomso durch ihre uterschiedliche Bahe im Magetfeld die Existez vo zwei verschiedee Neoisotope achweise. Gehe wir für eie Augeblick mit userer Betrachtug wieder um eiige Jahre zurück. Die Physiker Crookes ud Perri hatte gezeigt [7], dass die Kathodestrahlug i der Glühkathoderöhre aus egative Teilche besteht. Die Strahlug, die offesichtlich vo der Glühkathode ausgesadt wird, trasportiert zur Aode egative Ladug, die ma als Strom messe ka. Wie es für egative Teilche eier gegebee Masse zu erwarte ist, wird die Kathodestrahlug im Magetfeld vo der Loretz-Kraft i eier bestimmte Weise abgelekt. Ist das Vakuum i der Glühkathoderöhre icht perfekt, ka die Bah der Kathodestrahlug durch Fluoreszez i ageregte Gasatome direkt beobachtet werde. Die korpuskulare Existez des aus de Atome emittierte ud offesichtlich dari existierede Elektros war damit geklärt. Aus Streuexperimete hat ma geschlosse, dass die Elektroe relativ gleichmäßig über das gesamte Atom verschmiert sid. Dabei blieb es lage uklar, wo sich die kompesierede positive Ladug befidet; J. J. Thomso postulierte (Thomsosches Atommodell), dass diese gleichmäßig über das Atom verteilt sei. Klarheit über die Verteilug brachte Experimete vo Rutherford ud seie Mitarbeiter [9]. Das Schema dieser Versuche ist i Abb. 2.8 dargestellt. Die Strahlug mit der höchste verfügbare Eergie (etwa 4 6 MeV), die Iformatio über die kleiste Abstäde ermögliche kote, war damals die -Strahlug, die wir i Abb. 2.6 kee gelert hatte. I de Experimete wurde die -Strahlug eies radioaktive Elemets a verschiedee Substaze gestreut. Die gestreute -Teilche kote i mühsamer Experimetierarbeit mit dem a Dukelheit gewöhte Auge als Lichtblitze auf geeiget aufgestellte fluoreszierede Schirme beobachtet werde.

7 2.1 Kurze historische Eiführug 13 stark abgelekter Strahl radioaktives Elemet fluoreszierede Schirme α-strahl streuede Substaz (Target) icht oder leicht abgelekter Strahl Abb. 2.8 Der Rutherfordsche Streuversuch Das Ergebis der Experimete war, dass der größte Teil der eifallede Teilche i etwa seie Richtug beibehielt. I eiige weige Streuereigisse bei eier 0;5 m dicke Goldfolie war es ei Streuereigis vo wurde die eifallede Teilche i eiem Wikel vo 90 ı ud mehr gestreut. Da ma vo eier kurzreichweitige Wechselwirkug wege der Uschärferelatio große Impulsüberträge ud damit große Streuwikel erwartete, musste dabei meist eie lagreichweitige Wechselwirkug eie domiate Rolle gespielt habe. I Frage kommt dafür die Coulomb-Wechselwirkug. Um ausreiched große Felder zu habe, muss die positive Ladug dabei i eiem Ker sitze, desse Radius wesetlich kleier als der Atomradius ist. Tatsächlich ka ma aus eiem solche Experimet eie wesetlich weitergehede Aussage über die Ladug ud die Größe des Atomkers erhalte. Dazu müsse wir zuächst die Rutherford-Formel eiführe, die das Streuverhalte eies schelle puktförmige Strahlteilches der Ladug ze ud der Masse M a eiem schwere, puktförmig geladee Atom der Ladug Z e, das i eiem ruhede Target sitzt, beschreibt: d d D zz e 2 2 =4 2M v 2 1 si 4 #=2 : (2.1) Bei festem eifalledem Teilchefluss ist der agegebee Wirkugsquerschitt d=d, wie wir später geauer festlege werde, proportioal zur Wahrscheilichkeit, dass ei Teilche i die agegebee Richtug gestreut wird. Die Richtug wird dabei durch das Raumwikelelemet d D si #d#d' beschriebe. Die obige Relatio ergibt sich aus der Tatsache, dass das elektrostatische Coulomb- Potezial die Bah des Projektilteilches verädert (Abb. 2.9). Projektilteilche,

8 14 2 Eiführug i die Kerphysik Abb. 2.9 Streuwege eies klassische Teilches im Coulomb-Feld Streuzetrum eifallede Teilche die fast frotal auf das Targetteilche eifliege, sid für größere Wikel veratwortlich, währed die kleie Wikel auf solche Teilche zurückzuführe sid, die weit weg vom Target eifalle ud ur de äußere Rad des Targetfelds spüre. Die obige Relatio folgt aus der klassische Elektrodyamik. Dass sie i dem eue mikroskopische Gebiet awedbar war, ud dass damit die ute gezogee Folgeruge richtig ware, verdakt sie dem etwas glückliche Umstad, dass i der Quatemechaik dieselbe Formel gilt. Mit eiem lokalisierte Ker ud mit eier über de gesamte Atombereich verteilte Elektroewolke hat ma u die folgede Situatio: Die meiste gestreute Projektilteilche drige ur mehr oder weiger tief i die Elektroehülle ei ud spüre ur eie elektromagetische Ablekug der mehr oder weiger stark abgeschirmte Ladug des Kers. Diese Ablekug etspricht da je ach Projektileergie ud je ach Streuwikel mehr oder weiger gut der Rutherford-Formel. Nur bei wirklich zetrale Stöße ud ur da, we die Eergie des eifallede Teilches groß geug ist, um die Coulomb-Abstoßug zu überwide ud bis zum Ker durchzudrige, wird eie eue Situatio auftrete. Es wird zu eier direkte Wechselwirkug zwische Ker ud Projektil komme, i der kleie Wikel icht mehr bevorzugt sid. Bei -Teilche aus radioaktive Zerfälle kote eie solche aormale Streuug a leichte Kere mit iedriger Kerladugszahl beobachtet werde. Die Rutherfordsche Experimete zeigte, dass Kerdurchmesser vier Dekade uter typische Radie mittlerer Elektroeschale liege. Sie liege im Bereich eiiger Fermi. I eiem geeigete Eergie- ud Wikelbereich, i dem das Projektil de Ker beiahe erreicht, ka der Eifluss der Ladug der Elektroewolke auf die Projektilbah damit icht ur mehr oder weiger, soder i sehr guter Approximatio verachlässigt werde. Damit ist eie recht geaue Bestimmug der Kerladug möglich. Ma fad die folgede Situatio: Beutzt ma die Ladug des Wasserstoffs als Eiheit, so ist die Kerladug eie gaze Zahl, die i etwa dem halbe Atomgewicht des Kers (i Eiheite der Wasserstoffkermasse) etspricht.

9 2.2 Die wichtigste Fakte der Kerstruktur 15 Das Rutherfordsche Atommodell hat eie kozeptuelle Schwierigkeit bezüglich seier atomphysikalische Kompoete. Es sagt ichts darüber aus, warum die Elektroe auf ihre Bahe weit weg vom Ker bleibe ud icht uter Abstrahlug vo Photoe i de Ker falle. Dieses Problem wurde zuächst vom Kopehageer Physiker Niels Bohr mit eiem Postulat umgage, das die mögliche Teilchebahe eischräkt ud zu viele phäomeologische Vorhersage führte. Gelöst wurde das Problem mithilfe der Quatemechaik, die vo Schrödiger ud Heiseberg eigeführt wurde. Für die Abstrahlug ist die Ladugsbewegug bzw. Stromverteilug etscheided. Die Bewegug eies kreisede Elektros wird durch die quatemechaische Verschmierug der damit statische Ladugsverteilug umgage. Die i de zwaziger Jahre i der Atomphysik etwickelte Quatemechaik gilt, wie sich ach ud ach herausstellte, auch auf der mal kleiere Skala der Kerphysik. Da die Kerphysik i dieser Zeit stark vo dieser eue, icht kerphysikalische Etwicklug beeiflusst wurde, erscheit es sivoll, a diesem Pukt de historische Ablauf zu verlasse ud eiem etwas systematischere Aufbau zu folge. 2.2 Die wichtigste Fakte der Kerstruktur Zusammesetzug der Kere Die Atomkere bestehe aus Protoe ud Neutroe. Diese beide Bestadteile der Kere (eglisch ud lateiisch ucleus, Plural uclei) werde als Nukleoe (eglisch ucleos) bezeichet. Für jede Kersorte gibt es eie feste Azahl dieser Teilche. Die Zahl der Protoe heißt Ordugszahl Z (eglisch atomic umber), sie gibt die Ladug des Kers a. Die Kerladug legt die Azahl der Elektroe der Atomhülle fest ud ist damit für die chemische Eigeschafte der Atome veratwortlich; sie bestimmt, um welches Elemet des Periodesystems es sich hadelt. Die Ordugzahl eies Kers gibt seie Ladug i Eiheite der Elektroeladug a e D Q Elektro D 1; Coulomb D.4 1;44 MeV fm/ 1=2 : (2.2) (Für die Defiitio der Ladug i de Maxwell-Gleichuge durch adere Eiheite gibt es verschiedee Möglichkeite. Wir folge Bjorke ud Drell [10] ud beutze Heaviside-Loretz-Eiheite.) Die Mege der Neutroe, d. h. die Neutroezahl N, ka aus der Masse der Kere bestimmt werde. Die Masse der Kere hägt im Wesetliche vo der Azahl der Nukleoe im Ker ab, d. h. vo der Massezahl (mass umber) A D N C Z. Auf Korrekture, die mit der uterschiedliche Bidugseergie zu tu habe, werde wir später zu spreche komme. Zur Kezeichug vo Kere beutzt ma die Schreibweise A Z E N oder verkürzt A E ;

10 16 2 Eiführug i die Kerphysik wobei E die Atomsorte bezeichet. Zwei Beispiele betrachte wir: 2 4 He 2 D 4 He oder U 143 D 235 U : Für eiige kleiere Kere, die oft als Strahlteilche beutzt werde, werde eigee Bezeichuge verwedet. So ist p das Proto (Wasserstoffker 1 1 H 0), d das Deutero (Deuteriumker 2 1 H 1 oder 2 1 D 1), t das Trito (Tritiumker 3 1 H 2 oder 3 1 T 2) ud das Alphateilche (Heliumker 2 2 He 2). Es ist oft ützlich, ähliche Kere zu vergleiche. Um die Ählichkeite zu klassifiziere, beutzt ma die folgede Bezeichuge: Kere mit gleicher Ordugszahl Z heiße Isotope. Kere mit gleicher Neutroezahl N heiße Isotoe. Kere mit gleicher Massezahl A heiße Isobare. Kere mit vertauschte Z ud N heiße Spiegelkere. Ageregte, laglebige Kere mit gleiche Z ud N heiße Isomere. Isgesamt gibt es etwa 3000 bekate Kere. Die Ordugszahl variiert vo 1 bis 116. Bei Elemete mit große Ordugszahle gibt es bis zu etwa 30 verschiedee Isotope. Isomere Kere köe durch Absorptio oder Emissio vo -Strahlug ieiader übergehe. Übergäge zwische isobare Kere werde durch die ˇ-Strahlug ermöglicht. Uter Abstrahlug eies Elektros (ˇ-Teilches) ud eies Atieutrios geht im Ker ei Neutro i ei Proto über, ohe dabei die Nukleoezahl zu äder. Ei aaloger Prozess ka Protoe i Neutroe überführe. Ei Spezialfall vo zwei isobare Kere sid Spiegelkere. Spiegelkere habe ähliche Eigeschafte, da sich die eigetliche Kerwechselwirkug uter Vertauschug der Azahl vo Protoe ud Neutroe (Spiegelug i eiem Raum, i dem die Protoezahl ach obe ud die Neutroezahl ach ute aufgetrage ist) icht ädert. Spiegelkere uterscheide sich durch die Coulomb- Wechselwirkug, die zwische de Protoe ud icht zwische de Neutroe auftritt. Da die Coulomb-Wechselwirkug bekat ist, eige sich Spiegelkere zur Überprüfug vo Vorstelluge über die Geometrie vo Kere. Spiegelkere gibt es ur bei leichtere Kere, da, wie wir i Kürze sehe werde, die Coulomb- Wechselwirkug das Auftrete schwerer Kere ohe Neutroeüberschuss verhidert. Die Aordug der Kere ach ihrer Ordugszahl Z ud ihrer Neutroezahl N heißt Nuklidtabelle. Ei Auszug eier solche Tabelle ist i Abb gezeigt, aufgeführt ist die Bezeichug des jeweilige Kers. Für die stabile Isotope folgt die relative Häufigkeit des jeweilige Nuklids im Elemet i seier atürliche Zusammesetzug ud für icht stabile Isotope die Lebesdauer. Um eie bessere Überblick zu bekomme, reduziere wir i Abb die Nuklidtabelle, so dass jedem stabile oder laglebige Isotop ur och ei Pukt etspricht. Es stellt sich heraus, dass die so gewoee Pukte jeweils i eiem ege Bereich der Tabelle icht weit vo der (Z D N )-Achse liege. Abgesehe vom Wasserstoff 1 1H habe Atome i grober Näherug damit etwa gleich viele Neutroe wie Protoe. Auf de zweite Blick bemerkt ma eie systematische Abweichug. Bei höhere Atomgewichte immt der Ateil der Neutroe deut-

11 2.2 Die wichtigste Fakte der Kerstruktur 17 Ordugszahl Z 7 12 N 13 N 14 N 15 N 11.0ms 9.96 ms 99.64% 0.36% 6 9 C 10 C 11 C 12 C 13 C 14 C 126 ms 19.3s 20.3m 98.89% 1.11% 5736a 5 8 B 10 B 11 B 12 B 13 B 762 ms 20% 80% 20.3ms 17.3ms 4 7 Be 9 Be 10 Be 11 Be 12 Be 53.4d 100% a 13.8s 11.4ms 3 6 Li 7 Li 8 Li 9 Li 11 Li 7.5% 92.5% 844 ms 176 ms 9.7ms 2 3 He 4 He 6 He 8 He 10 4 % 100% 802 ms 122 ms 1 H 2 H 3 H 100% 10 2 % 12.3a Neutroezahl N Abb Auszug aus eier Nuklidtabelle (agegebe sid die Lebesdauer küstlicher Isotope i Sekude, Miute, Tage bzw. Jahre ud die prozetuale Häufigkeit der i der Natur vorkommede laglebige Isotope) Abb Die Positio der bekate Isotope. Der Farbcode begit tief schwarz ( > a/ ud edet rot (bzw. hellgrau) (> s). Die umrahmte Z ud N Werte werde später erklärt. (Bild mit freudlicher Geehmigug aus der Web-Seite des Natioal Nuclear Data Ceters [11])

12 18 2 Eiführug i die Kerphysik lich zu. Eie empirische Relatio, die diese Korrektur für die Lage der stabile oder stabilste Kersorte berücksichtigt, ist Z D A : (2.3) 1;98 C 0;0155 A2= Geometrie der Kere Die räumliche Gestalt des Kers, d. h. die Dichteverteilug der Nukleoe im Ker, ka i erster Näherug als kugelförmig ageomme werde. Korrekture dazu schwere Kere sid meist leicht prolat (zigarre-förmig) werde später diskutiert. Wie wir vom Rutherfordsche Experimet wisse, ka ma aus geeigete Streuexperimete Iformatioe über radiale Dichteverteiluge i Kere erhalte. Besoders geeiget sid dafür tiefielastische Streuuge vo hocheergetische Elektroe a Kere, wie wir sie im vierte Kapitel des Buches (Absch ) kee lere werde. Der Grud, warum Elektroe astelle der Rutherfordsche -Teilche verwedet werde, ist, dass es für Elektroe im Gegesatz zu -Teilche auch im Iere des Kers ur zu eier berechebare elektromagetische Wechselwirkug mit de Laduge kommt, so dass ma auch dort die Ladugsverteilug bestimme ka. Wie wir später sehe werde, etspricht die Ladugsverteilug im Ker eier Art Fourier-Trasformierte der beobachtete Impulsübertragugsverteilug. Wie kommt auch Richtugma weigstes äherugsweise vo der Ladugszur Nukleoeverteilug? Im Iere eies Kers domiiere die Kerkräfte zwische de Nukleoe über Coulomb-Kräfte. Protoe ud Neutroe sollte daher, abgesehe vo kleiere Korrekture, eie ähliche Verteilug habe. I grober Näherug gilt daher %.Nukleoe/ D A %.Laduge/ : (2.4) Z Die aus dieser eifache Beziehug gewoee Nukleoeverteilug [12] isti Abb für eiige schwerere Kere dargestellt. Etwas vereifacht ergibt sich aus der Abbildug für ausreiched große Kere die folgede Situatio: Kere besitze im Iere eie kostate Nukleoedichte, die am Rad des Gebiets jeweils i ählicher Weise über deselbe Abstad abfällt. Das Kervolume ist daher proportioal zur Massezahl, ud für de Kerradius muss damit R D R 0 A 1=3 (2.5) gelte, wobei die Kostate R 0 D 1;1 fm (2.6)

13 2.2 Die wichtigste Fakte der Kerstruktur 19 Abb Die Dichte der Nukleoe im Ker (adaptiert ach [12]) empirisch bestimmt wurde [13]. Die Dichte ist, abgesehe vom Radgebiet % 0 D A 4 3 R3 D 0;16 fm 3 : (2.7) A de Räder fällt die Dichte jeweils ierhalb vo etwa zwei Fermi vo etwa 90 % auf 10 % Kermasse Mit der Massezahl habe wir die Kermasse grob i Eiheite vo Nukleoemasse ausgedrückt. Tatsächlich häge die Nukleoemasse etwas vom Ker ab, i dem sich die Nukleoe befide. I Bidugszustäde ist die effektive Masse vo Teilche etwas reduziert gegeüber der vo freie Teilche. Auf userer Reise i de Mikrokosmos habe wir eie Lägeskala erreicht, die eier Bidugseergie etspricht, die zwar och klei, aber icht mehr völlig gegeüber de Masse der Kostituete zu verachlässige ist. Um diese kleie Effekt zu sehe, ist es erforderlich, Kermasse sehr geau zu bestimme. Wie Sie vielleicht aus eier Chemievorlesug wisse, gibt es Möglichkeite, Stoffe abzuwiege ud die Masse durch die idirekt festgelegte Zahl der beteiligte Atome zu teile. Mit dieser Methode wurde die Masse vo chemische Elemete bestimmt, wie sie im Periodesystem erscheie. Das Problem dabei ist, dass chemische Elemete i der Natur meist i eiem Gemisch verschiedeer Isotope vorkomme ud dass die so bestimmte Masse eies chemische Elemets da im Wesetliche durch diese Zusammesetzug bestimmt wird. Für die Bestimmug der Kermasse eizeler Isotope gibt es zwei Methode. Zum eie köe die Masse eizeler geladeer Kere im Massespektroskop, wie es i der Abb dargestellt ist, direkt gemesse werde. Im Massespektroskop durchlaufe Teilche ei geschickt ageordetes elektrisches ud magetisches Feld. Wie i der Optik werde dadurch Teilche, die durch eie Spalt i die Apparatur eitrete, auf eier fotografische Platte fokussiert. Die Tatsache, dass uterschiedlich schelle Teilche im elektrische Feld i aderer Weise abgelekt werde als im Magetfeld, wird dazu beutzt, um de Auftreffpukt ur vo der Masse ud icht vo der Geschwidigkeit der Teilche abhägig zu mache.

14 20 2 Eiführug i die Kerphysik Abb Schema eies Massespektroskops Die zweite Methode besteht dari, sich die Eergiebilaz geeigeter Reaktioe geau geug azuschaue, um die Masse idirekt erschließe zu köe. Betrachte wir dies etwas detaillierter. Um die Eergiebilaz darzustelle, schreibt ma für die Reaktio eies Teilches a mit eiem Ker A, die eie Ker B ud ei Teilche b produziert A C a! B C b C Q; (2.8) wobei Q die freiwerdede Eergie, d. h. de Exzess a kietischer Eergie im Edzustad, agibt. Der Wert vo Q etspricht gerade der Massedifferez zwische der like ud der rechte Seite. Wie bei chemische Prozesse spricht ma ud bei Q > 0 vo eier exotherme Reaktio ; bei Q < 0 vo eier edotherme Reaktio : Die kietische Eergie, die für das Ablaufe eier edotherme Reaktio midestes erforderlich ist, heißt Schwelleeergie (eglisch threshold eergy). Sie ist etwas höher als Q, da der Streuvorgag typischerweise icht im Schwerpuktsystem stattfidet. Wege der Impulserhaltug ka da im Edzustad die kietische Eergie icht völlig verschwide. Betrachte wir dazu als Beispiel eie Reaktio, i der ei Teilche a mit dem Impuls p auf de ruhede Ker A eitrifft ud gerade i de Ker B ud das Teilche b übergeht. Die miimale Eergie wird erreicht, we das Teilche b ud der Ker B i ihrem Schwerpuktsystem ruhe. Die kietische Eergie des Afags- ud Edzustads ist damit ud Für die Reaktio verbleibt damit E übrig ki: E ei ki. D 1 2m a p 2 (2.9) E aus ki. D 1 2.m B C m b / p2 : (2.10) D m a m B C m b p 2 : (2.11)

15 2.2 Die wichtigste Fakte der Kerstruktur 21 Die Methode der Eergiebilaz ist uumgäglich für die Massebestimmug vo eutrale Teilche oder vo Kere, die für eie massespektrografische Messug zu kurz lebe. Betrachte wir dazu als Beispiel de Prozess 2 D C! C 1 H : (2.12) Die Miimaleergie des -Quats E mi =c 2 D m C m H m D C miimale kietische Edeergie=c 2 ; (2.13) die für de Prozess beötigt wird, ergibt die Bidugseergie des Deuteros. Aus ihr lässt sich mit massespektroskopisch bestimmte Masse m H ud m D da mittels Eergiebilaz die Masse m des eutrale Neutros bestimme. Die Methode der Eergiebilaz erlaubt oft eie hohe Präzisio i der relative Massebestimmug. Um die erreichbare relative Geauigkeit auszuutze, defiiert ma eie Atomare Masse-Eiheit (eglisch atomic mass uit) 1 AME D 1 u D 1 12 Masse des 12 C-Atoms D 1; g (2.14) ud versucht, alle Kere durch geeigete Übergäge i Relatio zum 12 C zu setze. Es gilt 1 AME D 0;9315 GeV=c 2 : (2.15) Im Vergleich dazu sid die Masse vo freie Nukleoe m Proto D 0;9383 GeV=c 2 ; m Neutro D 0;9396 GeV=c 2 : (2.16) Die kleie Uterschiede i der Masse habe weitreichede Kosequeze. Wie wir i der Physik der schwache Vektorbosoe geauer erläuter werde, ka das Neutro uter Aussedug eies Elektros (uter Aussedug vo ˇ-Strahlug) ud eies sogeate Atieutrios i ei Proto übergehe! p C e C e : (2.17) Dass diese Reaktio i dieser Richtug verläuft ud dass die Protoe damit stabil ud die Neutroe ustabil sid, liegt a der etwas schwerere Neutroemasse. Da das Atieutrio i guter Näherug als masselos ageomme werde darf, beötigt ma m >m p C m e ; (2.18) was wege der gerige Elektroemasse vo m e D 0;5 MeV=c 2 (2.19) der Fall ist; für die Reaktio stehe 0,7 MeV zur Verfügug.

16 22 2 Eiführug i die Kerphysik Abb Die mittlere Bidugseergie B=A pro Nukleo für die jeweils stabilste Kere (adaptiert ach [12]). Die durchgezogee Liie ist das Ergebis der semi-empirische Masseformel, die i Absch besproche wird. Da die Bidugseergie eies Nukleos im Ker i der Größeordug vo 8 MeV liegt, ist der Übergag für Neutroe im Ker oft icht möglich. Der Übergag ka ur da stattfide, we ei Ker mit iedrigerer oder vergleichbarer Bidugseergie erreicht wird. Die relative Masse der isobare Kere spiele daher eie wichtige Rolle für das Verstädis der Stabilität verschiedeer Kere. Ma defiiert die Bidugseergie des Kers B=c 2 D ım D M C Z m Proto C N m Neutro (2.20) als die Eergie, die beötigt wird, um de Ker der Kermasse M.Z;A/ i eizele Stücke zu zerlege. I kerphysikalische Betrachtuge ka die Bidugseergie vo Atomelektroe oft verachlässigt werde, die Bidugseergie eies Kers etspricht da der gesamte Bidugseergie des Atoms. Die Masse des Atoms ergibt sich i dieser Approximatio aus de Masse des Kers ud der Elektroe. Die mittlere Bidugseergie B=A pro Nukleo ist i Abb für die jeweils stabilste Kere dargestellt. Die Kere mittlerer Ordugszahl sid besoders stabil. I Absch werde wir i eiem eifache Modell eie Parametrisatio dieser Bidugseergie fide Zwei-Nukleoe-Potezial Versuche wir zuächst, etwas mehr über die Kerkräfte herauszufide. Aus der Existez vo Kere mit hohe Laduge folgt, dass es eie Kraft zwische de Nukleoe im Ker gebe muss, die bei kurzer Reichweite im Vergleich zur Coulomb-Abstoßug eie domiate Rolle spielt. Um mehr über diese Kraft zu erfahre, ka ma zuächst die Komplikatioe des Vielteilchesystems vermeide ud Zwei-Nukleoe-Bidugszustäde betrachte. De etscheidede Fortschritt i der Atomphysik brachte die Aalyse des Wasserstoffatoms. Ka das Zwei-Nukleoe-System eie ähliche Rolle spiele?

17 2.2 Die wichtigste Fakte der Kerstruktur 23 Das ist leider ur eigeschräkt der Fall. Zum eie ist, wie scho gesagt, die Wechselwirkug zwische zwei Nukleoe vergleichsweise komplex; zum adere steht weitaus weiger experimetelle Iformatio über Bidugszustäde zur Verfügug. Statt eier umfagreiche Spektroskopie mit Übergäge zwische eier Vielzahl vo Zustäde kote für Zwei-Nukleoe-Systeme ur ei eiziger stabiler Bidugszustad beobachtet werde. Dieser Bidugszustad heißt Deutero. Er besteht zwische eiem Proto ud eiem Neutro. Die Nukleoe im Deutero habe keie Bahdrehimpuls; der Spi der beide Nukleoe ist parallel, d. h. er addiert sich zu dem Gesamtspi 1. Zu diesem etwas vereifachte Bild vo de Drehimpulsbeiträge gibt es Korrekture im Prozetbereich, da der Bahdrehimpuls ud der Spi ur äherugsweise separat betrachtet werde köe. Es gibt zwei Möglichkeite, die Bidugseergie des Deuteros experimetell zu bestimme. Ma ka etweder, wie obe beschriebe, die für eie Aufspaltug miimal beötigte -Strahleeergie bestimme, oder ma ka im umgekehrte Prozess lagsame Neutroe aus eiem Kerreaktor vo eiige ev thermischer Eergie vo Wasserstoffatome eifage lasse. Bei diesem Prozess wird die freiwerdede Eergie als -Strahlug freigesetzt, dere Welleläge durch die Wikelverteilug bei eier Streuug a eiem Kristall (Bragg-Streuug) bestimmt werde ka [14]. Die Bidugseergie des Deuteros ist 2,2 MeV [15]. Das Deutero ist gerade och stabil. Es ist der eizige Bidugszustad des Zwei-Nukleoe-Systems, da auch scho kleiere Äderuge des Potezials die Stabilität zerstöre. Es gibt daher keie stabile Bidugszustäde mit eiem icht verschwidede Bahdrehimpuls. Das effektive Potezial würde durch die Zetrifugalkraft etwas reduziert. Warum gibt es kei Deutero mit atiparallele Nukleoespis? Es muss ei kleier, irgedwie spiabhägiger Beitrag zur Wechselwirkug existiere, der de Zustad mit parallele Spis bevorzugt. Warum gibt es keie etsprechede Bidugszustad zwische 2 Neutroe (oder 2 Protoe)? Die Wechselwirkug zwische idetische Nukleoe muss etwas schwächer sei als die zwische verschiedee Nukleoe. Ob ei Bidugszustad existiert oder icht, hägt im dreidimesioale kugelsymmetrische Fall vo der Stärke ud der Reichweite des Potezials ab. Betrachte wir dies etwas geauer: Die Schrödiger-Gleichug im Schwerpuktsystem i Relativkoordiate (mit rd.d=dx; d=dy; d=dz/ D d=dr) ka für 2 2m r2 C V D E (2.21) V D V.r/ durch die Substitutio ud Separatio des bekate wikelabhägige Teils r D r l Y lm.#; / (2.22)

18 24 2 Eiführug i die Kerphysik E, V ( r ) bzw. E + r ( r) l V ( r) E 0 geau eie stetige Lösug exp(i kr) keie stetige Lösug E(Versuch) exp( r ) Abb Der erste gebudee Zustad i eiem Potezial r i die eidimesioale Radialgleichug 2 2m d 2 dr r 2 l C E V l.l C 1/ 2 r 2mr 2 l D 0 (2.23) umgeformt werde. Der Faktor r brigt de Laplace-Operator i Kugelkoordiate auf die agegebee Form. Da die volle Wellefuktio überall stetig sei muss, ist es erforderlich, dass die so defiierte Fuktio r l im Ursprug verschwidet. Um Komplikatioe zu vermeide, begüge wir us dabei für usere Diskussio mit eiem stückweise kostate Potezial (Abb. 2.15). Gleichug 2.23 wird da ie ud auße jeweils durch eie eifache Expoetialasatz r l / exp.kostate r/ (2.24) gelöst, ud zwar ie mit eier imagiäre Kostate ud auße mit eier egative reelle. Für die Wellefuktio heißt das, dass sie ie oszilliert ud auße expoetiell abfällt r l / si.k r/ r l / exp. r/ : Die Kostate k ud sid reell. Sie sid proportioal zur Wurzel aus dem jeweilige Absolutwert der rude Klammer i (2.23). Um die Normalisatio igoriere zu köe, iteressiert die Größe.r / 0 l =.r / l. Im Äußere etspricht sie der egative Kostate. Der gerigste Absolutwert des Quotiete wird erreicht bei gerade och gebudee Zustäde, d. h. für E V.1/! 0. Ie espricht

19 2.2 Die wichtigste Fakte der Kerstruktur 25.r / 0 =.r ) dem Tages, der, i eier viertel bis halbe Periode begied mit C1, de egative äußere Wert erreiche muss. Da die Periode ivers proportioal zum Ihalt der obige rude Klammer ist, ist dies für die höchste verfügbare kietische Eergie, d. h. für E V.1/! 0, am leichteste möglich. Aus dem Verhalte für E V.1/ D 0 folgt daher, ob ud wie viele Lösuge existiere köe. Nur bei ausreicheder Breite ud Tiefe eies Potezials wird die beötigte Ableitug erreicht, aderfalls gibt es keie Lösug. Wodurch komme die Kerkräfte zustade? Eie fudametale Theorie muss relativistisch kovariat sei. I der relativistische Quatemechaik gibt es keie Poteziale, soder ur Wechselwirkuge mit Orts- ud Zeitabhägigkeit. Alle beobachtete Wechselwirkuge sid lokal, d. h. auf eie Raum-Zeit-Pukt beschräkt. Die lagreichweitige Effekte, die im ichtrelativistische Grezfall für die offesichtlich lagreichweitige Poteziale veratwortlich sid, komme durch de Austausch virtueller Teilche zustade, die a eiem Raum-Zeit-Pukt vo eiem Teilche abgegebe ud da a eiem adere Raum-Zeit-Pukt vo eiem adere Teilche eigefage werde. Ei Beispiel für eie solche Teilcheaustausch ist die elektromagetische Wechselwirkug, die durch de Austausch vo virtuelle Photoe zustade kommt. Welches Teilche ka für das Kerpotezial veratwortlich sei? Währed der Etwicklug der Kerphysik war kei Teilche mit ausreiched kräftiger Kopplug a Nukleoe bekat. Da er die grudsätzliche Bedeutug vo Austauschteilche erkate, wurde die Existez eies solche Teilches 1935 vo dem japaische Physiker Hideki Yukawa [16] gefordert. Wie wir i Absch sehe werde, kote ei solches Teilche da viele Jahre später achgewiese werde. Es wird -Meso oder Pio geat. Aus der Reichweite der Wechselwirkug kote die Masse dieses Teilches abgeschätzt werde. Wie virtuelle Photoe (d. h. elektromagetische Felder) geladee Teilche umgebe, so sid Hadroe vo eier hadroische Wolke umgebe. Die Reichweite der Wechselwirkug wird durch die Ausdehug eier solche Austauschteilchewolke bestimmt. (Austauschteilche köe im Überlappugsgebiet sowohl vom eie als auch vom adere Streuteilche emittiert ud absorbiert werde. Je ach relativer Ladug bzw. verallgemeierter Ladug (Kopplug des Piofeldes a das Nukleo) trete beide Beiträge mit gleiche oder ugleiche Vorzeiche auf. Es kommt dabei zu eier Verstärkug bzw. zu eier Reduktio des Wolkefeldes ud desse Eergie (/ jbeitrag 1 C Beitrag 2 j 2 ), die zu eier Repulsio bzw. eier Attraktio führt.) Diese Ausdehug ka i der folgede Weise abgeschätzt werde: Die Ableituge der Schrödiger-Gleichug E D i d=dt ud P D i d=dr werde als Operatore bezeichet. Sie ehme für Eigefuktioe die Eergie- ud Impuls- Eigewerte a. Begied mit der Gleichug für die Loretz-Ivariaz der Masse i der relativistische Mechaik, erhält ma die folgede Operatorerelatio E 2 P 2 c 2 D m 2 c 4 ; (2.25) die Klei-Gordo-Gleichug geat wird.

20 26 2 Eiführug i die Kerphysik I userem Fall is m die Masse der Austauschteilche. Sieht ma vo Drehimpulseffekte (keie Wikelabhägigkeit) ab, hat der relevate statische Teil (keie Zeitabhägigkeit) der Klei-Gordo-Gleichug die Lösug 2 r d 2 dr 2 r D m2 c 2 (2.26)! 1 r e c= mr ; (2.27) wie ma durch Eisetze leicht achprüfe ka. Die Reichweite des Feldes etspricht damit i atürliche Eiheite dem Iverse der Masse. Nimmt ma für die Reichweite der Kerkräfte eie typische Kerabstad beötigt ma damit ei Teilche etwa vo der Masse r 0 D m ; (2.28) m D 200 MeV=c 2 ; (2.29) das ausreiched stark mit Protoe ud Neutroe wechselwirke muss. Um eie Bidugseergie zu erhalte, die zwische Proto ud Neutro etwas stärker ist als zwische Neutro ud Neutro zwische dem Proto ud dem Neutro existiert das Deutero als Bidugszustad, zwische zwei Neutroe existiert kei Bidugszustad muss es i de Ladugszustäde Q D 1; 0 ud C1 vorkomme. Für das Potezial zwische Proto ud Neutro steht da ei zusätzliches Austauschteilche zur Verfügug, wie es i Abb dargestellt ist. Die Abbildug zeigt zwei mögliche Austauschprozesse für diese Wechselwirkug ud ur eie mögliche Prozess für die Wechselwirkug zwische Neutro ud Neutro. Es reicht aus, de Austausch jeweils ur i eier Richtug zu betrachte; er etspricht da dem Austausch des Atiteilches i der adere Richtug. Das Atiteilche des C ist das,das 0 ist sei eigees Atiteilche. Für ei quatitatives Verstädis ist es atürlich erforderlich, die Gewichte der eizele Beiträge zu kee. Betrachte wir de Grudzustad eies Zwei-Nukleoe-Systems etwas geauer. I guter Näherug ka jede der beide Wellefuktioe des Systems sowohl mit eiem Proto als auch mit eiem Neutro besetzt sei, ud es ist a priori icht festgelegt, wie die beide Nukleoe auf die Zustäde verteilt sid. Eigezustäde sid die symmetrische ud atisymmetrische Zuorduge uter Vertauschug. Für zwei Nukleoe gibt es mit de Zustäde 1 ud 2 die folgede Möglichkeite: symm. D p 1 p 2 ; symm. D 1 2 ; symm. D 1= p 2 p 1 2 C 1 p (2.30) 2 ; atisy. D 1= p 2 p p 2 :

21 2.2 Die wichtigste Fakte der Kerstruktur 27 Beitrag zu V 0 Austausch Beitrag zu V p 0 Austausch p ud p Austausch p Abb Schematische Darstellug der Austauschwechselwirkug Der geladee Pioeaustausch ka i de letzte beide Zustäde auftrete. Da er aus dem Proto ei Neutro ud aus dem Neutro ei Proto macht, hat er für de symmetrische ud für de atisymmetrische Fall jeweils ei aderes Vorzeiche. Da beim geladee Pioaustausch (i Relatio zum eutrale Pioaustausch) i der Wechselwirkug ei egatives Vorzeiche auftritt, kommt es für de symmetrische Fall zu eier Reduktio ud für de atisymmetrische Fall zu eier Verstärkug der Wechselwirkug vom eutrale Pioaustausch. Es verbleibt ei isolierter, tiefergelegeer Zustad, der ur für de Proto-Neutro-Zustad auftritt. Obwohl Pioe selbst keie Spi trage, gibt es eie spiabhägige Teil der Austauschwechselwirkug. Das liegt dara, dass Spi ud Bahdrehimpuls ieiader übergehe köe ud dass ei Spiaustausch auch durch de etsprechede Bahdrehimpulsübertrag vermittelt werde ka. Beim Pioaustausch spielt ei solcher Term eie wichtige Rolle. Er bevorzugt de bezüglich der Proto-Neutro-Besetzug symmetrische Bidugszustad ud hebt de obe begrüdete Uterschied zum Teil auf. Er erfordert eie feldtheoretische Beschreibug [10], auf die wir hier icht eigehe köe. Etscheided für diese Effekt ist die Spistruktur, die wir us jetzt etwas geauer aschaue. Nukleoe sid Fermioe, d. h. sie müsse daher isgesamt i atisymmetrische Zustäde auftrete. Da für die Grudzustäde des Zwei- Nukleoe-Zustads kei Drehimpuls auftritt, ist der Ortsraumateil der Gesamtwellefuktio symmetrisch (uter r 1 $ r 2 ). Die Symmetrie bezüglich eier Vertauschug der Proto-Neutro-Besetzug muss daher durch eie Atisymmetrie im

22 28 2 Eiführug i die Kerphysik Spiraum ausgegliche werde ud umgekehrt. Die obige Zustäde habe daher defiierte Symmetrie bezüglich ihres Spis, d. h. die symmetrische Zustäde im Proto-Neutro-Raum müsse uter Vertauschug der Nukleoespis atisymmetrisch sei ud die atisymmetrische symmetrisch. Zwei Fermioe mit Spi S D 1 habe für geeiget gewählte z-richtug die Kompoete S z D 1, d.h.ihre halbzahlige Spis liege parallel, ud ihre Spiwellefuktio ist symmetrisch. Die symmetrische Zustäde im Spiraum sid symm. D " 1 " 2 ; symm. D # 1 # 2 ; symm. D 1= p " 2 1 # 2 C # 1 " 2 : (2.31) Der.S D 0/-Zustad, der orthogoal zum.s D 1:S z D 0/-Zustad ist, ist atisymmetrisch: atisy. D 1= p " 2 1 # 2 # 1 " 2 : (2.32) Auffällig ist, dass die Struktur im Spiraum völlig aalog zur Struktur uter Permutatio im Proto-Neutro-Raum ist. Das wird us öfter begege. Es gibt eie ege Zusammehag zwische Lie-Gruppe, wie sie bei der Behadlug des Spis oder des Drehimpulses i der Quatemechaik agewadt werde, ud der Symmetriegruppe, die das Verhalte uter Permutatioe beschreibt [17]. Das ka dazu beutzt werde, das obige Symmetrieargumet im Proto-Neutro-Raum als eie geeigete Spiabhägigkeit i eiem fiktive Spiraum zu formuliere. Dieser eue Spi wurde vo Heiseberg [18] eigeführt ud Isospi geat. Die Nukleoe habe de Isospi I D 1=2 mit der z-kompoete I z D C1=2 für das Proto bzw. I z D 1=2 für das Neutro. Das Pio mit seie drei Ladugszustäde, 0 ud C hat de Isospi I D 1 mit der z-kompoete I z D 1, 0 ud C1. Eie quatitative Utersuchug zeigt, dass die vo Yukawa geforderte Teilche selbst keie Spi trage köe. Ma stellt allerdigs fest, dass dazu eie Korrektur ötig ist, die durch eie kleie Beitrag aderer Teilche zustade kommt, die de Spi 1 trage. Wir werde diese Teilche i der Hadroephysik kee lere. 2.3 Modelle der Kerstruktur Zu Begi dieses Abschittes werde wir zuächst ei eifaches, semi-empirisches Bild über das Zustadekomme der Bidugseergie vo Kere kee lere. I diesem Bild werde Vorstelluge über die Verbidug zur zugrudeliegede Theorie zuächst etwas zurückgestellt, ud die Kere werde beiahe wie Wassertropfe behadelt.

23 2.3 Modelle der Kerstruktur 29 Abb Die Wechselwirkuge ur umittelbar beachbarter Nukleoe p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Semi-empirische Beschreibug der Bidugseergie vo Kere Im Tröpfchemodell wird die Bidugseergie vo Kere B=c 2 D B.Z;A/=c 2 D M.Z;A/ C Z m Proto C N m Neutro ; die wir i (2.20) defiiert hatte, i ihrer Abhägigkeit vo der Ordugszahl ud der Massezahl beschriebe. Das Modell immt a [19], dass die Bidugseergie füf verschiedee additive Beiträge B D B 0 C B 1 C B 2 C B 3 C B 4 (2.33) ethält, die jeweils eie physikalisch plausible Erklärug habe. Wir habe gesehe, dass die Kerwechselwirkuge kurzreichweitig sid ud dass ihre Stärke etwa expoetiell abimmt. Es ist daher sivoll azuehme, dass der wichtigste Ateil der Wechselwirkug ur die umittelbar beachbarte Nukleoe betrifft (Abb. 2.17). Dies erklärt da, warum i erster Näherug der Abstad der Nukleoe ud damit die Nukleoedichte kostat ist, wie wir es i Abb beobachtet hatte. Pro Nukleo oder pro Volume erwartet ma daher eie kostate Beitrag zur Bidugseergie B 0 D a V A: (2.34) Dieser Beitrag wird Volume-Eergie des Kers geat. I der betrachtete Geauigkeit ist damit die Massezahl dem Kervolume proportioal zu der dritte Potez des Kerradius. A der Oberfläche des Kers ist dieses Bild offesichtlich icht korrekt, da i eier Richtug die Nachbar fehle. Mit der Oberflächeeergie B 1 D a S A 2=3 (2.35)

24 30 2 Eiführug i die Kerphysik berücksichtigt ma dieses Defizit durch eie Beitrag, der die Bidugseergie reduziert. Die Oberfläche wächst mit dem Quadrat des Kerradius, d. h. mit A 2=3.Der Wert der Kostate a S wird icht berechet (aus a V mit geometrische Überleguge), soder eifach a die Date agepasst. Dies erlaubt es verschiedee Effekte, die auch zu eier Oberflächeabhägigkeit führe, zu berücksichtige. Zum Beispiel hatte wir i Abb gesehe, dass das Bild mit der kostate Dichte icht gaz korrekt ist. Bei eier gerigere Dichte a der Oberfläche erwartet ma eie adere potezielle Eergie pro Nukleo ud damit eie oberflächeabhägige Korrektur. Um zuächst bei der klassische Physik zu bleibe, betrachte wir u die Coulomb-Eergie B 2. A vierter Stelle kommt da der Term, der dafür veratwortlich ist, dass Kere etwa gleich viele Protoe ud Neutroe ethalte. Die Coulomb- Wechselwirkug ist die Ursache der Abweichug vo dieser Regel; sie bewirkt, dass für schwere Kere N etwas scheller wächst als Z, wie wir i Absch gesehe hatte. Aus der Elektrodyamik wisse wir, dass für eie kugelsymmetrische Ladugsverteilug die potezielle Eergie im Abstad r U.r/ D 1 4r Q ie.r/ vo der eigeschlossee Ladug r 3 Z r 3 Q ie.r/ D ez D e R A R 0 abhägt, die für de Ker i erster Näherug als kostat ageomme werde ka. Die elektrostatische Eergie ist damit B 2 D D Z 1 0 U.r/ dq ie.r/ dr A 1=3 Z R 0 0 D 3 5 e 2 Z 2 4R 0 A : 1=3 dr 1 4r e Z! r 3 e Z A R 0 A Mit der (vorläufige) Defiitio eier Kostate e 2 a C D 3 5 4R 0 3r 2 R 3 0 dr schreibe wir Z 2 B 2 D a C : (2.36) A1=3

25 2.3 Modelle der Kerstruktur 31 Ihr Wert ist egativ. Die Coulomb-Abstoßug reduziert die Bidugseergie. Für de ächste Beitrag B 3 betrachte wir Kere mit vorgegebeer Nukleoezahl ud frage, wie die Bidugseergie vo der Proto-Neutro-Asymmetrie abhägt? Wir begie mit eiem eifache Bild, bei dem i dem betrachtete Bereich die Eergie eizeler Zustäde uabhägig vom Rest sid ud die Bidugseergie damit die Summe der Bidugseergie der eizele Nukleoe ist. Für Kerkräfte die Coulomb-Wechselwirkug wurde getret berücksichtigt spiele Protoe ud Neutroe eie aaloge Rolle, ud ma erwartet idetische Eergieiveaus, die jeweils mit eiem Proto ud eiem Neutro besetzt werde köe. Es ist daher eergetisch vorteilhaft, mit de Protoe ud Neutroe gleichmäßig die uterste verfügbare Zustäde aufzufülle. Die höchste Bidugseergie wird dabei um N D Z erreicht. I der Quatemechaik gibt es keie feste Zuordug vom i-te Nukleo zum k-te Zustad, soder eie Mischug vo Zuorduge, die jeweils mit festgelegte Gewichte beitrage. Typischerweise gibt es viele solcher Beiträge mit jeweils festliegeder Symmetriestruktur. Wir hatte diese Proto-Neutro-Symmetrie beim Deutero kee gelert; sie wird Isospi-Symmetrie geat. Im obige Modell lasse erlaubte Permutatioe vo Protoe ud Neutroe die Bidugseergie uverädert, d. h. die verschiedee Isospi-Beiträge sid etartet. Wechselwirkuge,bei dee zwei Nukleoe effektiv ausgetauscht werde köe, führe zu eier Korrektur des eifache Bildes, da sie für die verschiedee Symmetriezustäde mit uterschiedliche Vorzeiche beitrage ud die Isospi-Etartug breche. Beim Zwei-Nukleoe-System ist der Zustad, der bezüglich der Proto-Neutro-Vertauschug atisymmetrisch ist, eergetisch güstiger als der adere. Versuche wir u diese Beobachtug zu extrapoliere, ohe us detaillierte Vorstelluge über die Dyamik der Kerkräfte zu mache. Die Zuahme der Bidugseergie durch Symmetrieeffekte wird, we ma alle detaillierte Strukture igoriert, etwa vo der Zahl der mögliche Kombiatioe abhäge, aus dee eie besoders güstige Kombiatiosmischug ausgesucht werde ka. Für Z Protoe i eiem Ker mit A Nukleoe gibt es dabei! A Z verschiedee Zustäde bezüglich der Proto-Neutro-Symmetrie. Die größte Zahl der Kombiatioe ergibt sich für Z D A=2. Versuche wir dies etwas präziser zu betrachte. Aalog zum Spi gibt es für de Isospi bei vorgegebee I z D N Z geau ji z ji I max verschiedee Isospimöglichkeite Die maximale Zustadszahl ud damit die maximale Bidugseergie wird für Zustäde mit kleie ji z j errreicht. Für eie stetige, icht diskrete Parametrisierug der Bidugseergie um dieses Miimum erwartet ma bei kleie Auslekuge typischerweise ei quadratisches Verhalte proportioal zu.n Z/ 2. Die so parametrisierte Asymmetrieeergie

26 32 2 Eiführug i die Kerphysik sollte i etwa eie extesive Größe sei, d. h. dass z. B. ei Ugleichgewicht im te Teil eies Kers soviel Bidugseergie koste sollte wie dasselbe Ugleichgewicht i eiem etspreched kleiere Ker: c.a/.n Z/ 2 D c.a/.n Z/ 2 Die A-Abhägigkeit der Proportioalitätskostate ist daher: c.a/ / 1=A. Mit eier geeigete Kostate a A ka ma de Asymmetrieeergie-Beitrag u i der folgede Weise schreibe: B 3 D a A.N Z/ 2 =A D a A.A 2Z/ 2 =A : (2.37) Da eie Asymmetrie die Bidugseergie reduziert, ist der Term egativ. Der Asymmetriebeitrag begrezt die Wirkug des Coulomb-Terms i (2.36). Zusamme bestimme sie de Abstad zur.n D Z/-Achse der jeweils stabilste Kere. Die maximale Bidugseergie wird für A Z D 2 C 0;0153A 2=3 erreicht. Diese Relatio etspricht dem i (2.3) parametrisierte Neutroeüberschuss i stabile oder beiahe stabile Kere. Aus der Systematik der Bidugseergie ket ma eie weitere Beitrag, die Paarugseergie B 4. Kere mit geradem Z oder N sid i der folgede Weise bevorzugt: 8 Ca P A 1=2 für gg-kere mit geradem Z ud geradem N ˆ< 0 für gu-kere mit geradem Z ud ugeradem N B 4 D (2.38) 0 für ug-kere mit ugeradem Z ud geradem N ˆ: a P A 1=2 für uu-kere mit ugeradem Z ud ugeradem N: Wege dieser Paarugseergie sid Kere mit geradem Z ud geradem N besoders stabil, Kere mit ugeradem Z ud ugeradem N, abgesehe vo weige Ausahme, aber istabil. I de obige Symmetrieüberleguge hatte wir de Spi der Nukleoe icht berücksichtigt. Im Prizip erwartet ma eie solche Beitrag ach eiem ähliche Argumet, wie wir es für de Asymmetrie-Term des Isospis ageführt habe. Vor allem für große Massezahle A ist der beobachtete Term allerdigs viel zu groß. Er deutet darauf hi, dass es im Ker zwische Paare vo Neutroe bzw. vo Protoe jeweils eie besoders starke Wechselwirkug gibt [20]. Fasst ma die Terme zusamme, erhält ma die Bethe-Weizsäcker-Formel m.z; A/c 2 DCZm p c 2 C Nm c 2 a V A C a S A 2=3 C a C Z 2 =A 1=3 C a A.A 2Z/ 2 =A a P A 1=2 für gg-kere mit geradem Z ud geradem N C a P A 1=2 für uu-kere mit ugeradem Z ud ugeradem N (2.39)

27 2.3 Modelle der Kerstruktur 33 Abb Die Beiträge der eizele Terme zur Bidugseergie (adaptiert ach [12]) für die Bidugseergie vo Kere. Empirisch bestimmt, habe die Kostate die folgede Werte [21]: a V D 15;835 MeV ; a S D 18;33 MeV ; a C D 0;714 MeV ; (2.40) a A D 23;2 MeV ; a P D 11;2 MeV : Die Beiträge der eizele Terme zur Masse (ohe B 4 )sidiabb.2.18 skizziert. Trotz ihrer eifache Struktur gilt die Masseformel erstaulich geau. Der Fehler i der Bidugseergie liegt typischerweise bei eiige Prozet. Für die Gesamtmasse etspricht dies eier Geauigkeit vo Ausgeomme werde müsse dabei die leichte Kere uterhalb eier Massezahl vo 40. Deutlich größere Fehler gibt es für die ugewöhlich stabile sogeate magische Kere. Bei der Apassug der Parameter i (2.40) wurde das (soweit icht verstadee) Gebiet um die magische Kere ausgeomme. Die Massezahl-Abhägigkeit der Kere hatte wir i Abb kee gelert. Der etwa kostate B=A-Wert wird bei iedere Massezahlwerte durch de Oberfläche-Term./ A 2=3 / ud bei hohe Massezahle durch de Coulomb- Ateil (praktisch / A 2 / reduziert. Dies ermöglicht eie Reihe vo Übergäge. Zwei leichte Kere köe i eiem Fusiosprozess i eie schwerere übergehe, ei schwerer Ker ka sich i zwei leichtere Kere (Spaltug) oder i Ker ud -Teilche ( -Zerfall) spalte. Betrachte wir u die Kermasse ierhalb eier Isobarereihe. Im Zusammespiel vo Asymmetrie-Term ud Coulomb-Term erwartet ma i etwa eie Parabel, dere Miimum bei kleie positive.n Z/-Werte liegt. Sie ist i Abb dargestellt. Für ugerade A ist jeweils etweder ur ei Z- oder ei N - Wert ugerade ud der adere icht. Ma erhält damit keie uterschiedliche Beitrag vo der Paarugseergie. Für gerade A ist die Situatio komplizierter. Je achdem, ob Z ud N gerade oder ugerade sid, bekommt ma eie positive oder egative Beitrag, d. h. ma hat zwei um eie kostate Betrag verschobee Parabel.

28 34 2 Eiführug i die Kerphysik Abb Schematische Darstellug der Bidugseergie isobarer Kere für gerade ud für ugerade Massezahle Masse N+Z ugerade Masse N+Z gerade N Z N Z Die Isobarereihe ist wichtig für de ˇ-Zerfall. Ei Ker mit eiem Überschuss a Neutroe ka seie Kerladugszahl durch eie ˇ-Zerfall erhöhe. Der ablaufede Prozess ist dabei! p C e CN e ; (2.41) wobei das abgestrahlte Elektro als ˇ-Strahlug i Erscheiug tritt. Dieser Prozess ka bei etsprechedem Überschuss atürlich mehrmals stattfide. Die treibede Eergie ist dabei icht die kleie Massedifferez zwische Proto ud Neutro, soder die freiwerdede Bidugseergie. Für Kere mit eiem Überschuss a Protoe gibt es de umgekehrte Prozess p! C e C C e ; (2.42) der uter Aussedug vo positiver ˇ-Strahlug, d. h. der Atiteilche der obe emittierte Teilche, abläuft. Das Atiteilche e C des Elektros e heißt Positro. Um die beide Prozesse zu uterscheide, spricht ma vo ˇC- oder ˇ -Zerfälle. Da die Masse eies Elektros oder Positros (1=2 MeV) typischerweise klei ist gegeüber de MeV-Werte der Bidugseergie, ka der Prozess für Kere mit ugerader Massezahl bis zu dem Isobar ablaufe, für das die Bidugseergie ihre maximale Wert erreicht. Ma beobachtet daher jeweils ur ei eizeles Isotop, das bezüglich des ˇ-Zerfalls i jeder Richtug stabil ist. Für Kere mit gerader Massezahl ka die Asymmetrieeergiedifferez für de Übergag vo der iedere Parabel (Abb. 2.19) zur höhere icht ausreiche. Trotz der Existez des ˇ-Zerfalls gibt es daher oft mehrere sehr stabile Isotope. Bei eiem doppelte ˇ- Zerfall ka ei eergetisch höhergelegeer Zwischezustad atürlich im Prizip durchtuelt werde, aber solche Prozesse werde um Zeherpoteze mehr Zeit i Aspruch ehme.