FASERBÜNDEL VORLESUNG. Konrad Schöbel. Sommersemester Mathematisches Institut Friedrich-Schiller-Universität Jena

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1 FASERBÜNDEL VORLESUNG Konrad Schöbel Mathematisches Institut Friedrich-Schiller-Universität Jena Sommersemester 2010

2 MOTIVATION Faserbündel... sind ein Grundbegriff der modernen Topologie und Geometrie führten zu bahnbrechenden Ergebnissen auf diesen Gebieten erlauben eine elegante Formulierung klassischer physikalischer Theorien Mechanik Elektrodynamik sind notwendig für die Formulierung von Eichtheorien Yang-Mills Seiberg-Witten Standardmodell sind für uns Gelegenheit, interessante Topologie und Geometrie kennenzulernen

3 GLIEDERUNG DER VORLESUNG 1 Bündel 2 Vektorbündel 3 Prinzipalbündel 4 Faserbündel 5 Lokale Beschreibung von Faserbündeln 6 Klassifikation von Faserbündeln 7 Faserbündel auf Mannigfaltigkeiten 8 Charakteristische Klassen 9 Beispiele aus der Physik 10 Elementare K-Theorie

4 LITERATUR Dale Husemoller: Fibre Bundles Graduate Texts in Mathematics 20 Springer-Verlag Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles Princeton Landmarks in Mathematics Princeton University Press John Milnor & James D. Stasheff: Characteristic Classes Princeton University Press Titelbild: Hopf-Faserung aus Schlüsselringen, Quelle:

5 Teil I BÜNDEL

6 GLIEDERUNG TEIL I: BÜNDEL 1 EIN WENIG TOPOLOGIE Objekte: Topologische Räume Morphismen: Stetige Abbildungen Konstruktion neuer topologischer Räume 2 OBJEKTE: BÜNDEL 3 EINFACHE BEISPIELE 4 MORPHISMEN 5 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL 6 KOMPLEXERE BEISPIELE

7 EIN WENIG TOPOLOGIE GLIEDERUNG TEIL I: BÜNDEL 1 EIN WENIG TOPOLOGIE Objekte: Topologische Räume Morphismen: Stetige Abbildungen Konstruktion neuer topologischer Räume 2 OBJEKTE: BÜNDEL 3 EINFACHE BEISPIELE 4 MORPHISMEN 5 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL 6 KOMPLEXERE BEISPIELE

8 EIN WENIG TOPOLOGIE OBJEKTE: TOPOLOGISCHE RÄUME TOPOLOGISCHE RÄUME DEFINITION 1.1 Eine Topologie auf einer Menge X ist ein System O X 2 X von Teilmengen, genannt offene Mengen, mit folgenden Eigenschaften: 1, X O X 2 Endliche Schnitte offener Mengen sind offen: A 1,..., A n O X n A i O X i=1 3 Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen: ( i I : A i O X ) i I A i O X Eine Menge versehen mit einer solchen Topologie heißt topologischer Raum.

9 EIN WENIG TOPOLOGIE OBJEKTE: TOPOLOGISCHE RÄUME METRISCHE RÄUME ALS TOPOLOGISCHE RÄUME SPEZIALFALL 1.2 Jeder metrische Raum (X, ϱ) wird durch A O X : x A: r > 0: B r (x) A zu einem topologischen Raum, wobei B r (x) die offene Kugel um x X mit Radius r > 0 ist: B r (x) := {y X : ϱ(x, y) < r}

10 EIN WENIG TOPOLOGIE OBJEKTE: TOPOLOGISCHE RÄUME R n ALS TOPOLOGISCHER RAUM SPEZIALFALL 1.3 Der R n versehen mit der Standardmetrik ϱ(x, y) = x y ist ein metrischer und somit auch ein topologischer Raum. ANSCHAULICH 1.4 offene Mengen des R n = Mengen ohne Rand

11 EIN WENIG TOPOLOGIE MORPHISMEN: STETIGE ABBILDUNGEN STETIGKEIT DEFINITION 1.5 Eine Abbildung f : X Y zwischen zwei topologischen Räumen heißt stetig, falls die Urbilder offener Mengen offen sind: f : X Y stetig : B O Y : f 1 (B) O X BEMERKUNG 1.6 Falls nicht anders erwähnt, sind bei uns Abbildungen zwischen topologischen Räumen immer stetig. FAKT 1.7 Die Identität ist stetig. Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig.

12 EIN WENIG TOPOLOGIE MORPHISMEN: STETIGE ABBILDUNGEN BEZUG ZUR ε-δ-stetigkeit SPEZIALFALL 1.8 Für eine stetige Funktion f : R m R n führt obige Definition auf die klassische ε-δ-definition f stetig : x R m : ε > 0: δ > 0: y R m : x y < δ f (x) f (y) < ε ANSCHAULICH 1.9 Kleine Änderungen im Original führen zu kleinen Änderungen im Bild.

13 EIN WENIG TOPOLOGIE MORPHISMEN: STETIGE ABBILDUNGEN HOMÖOMORPHIE DEFINITION 1.10 Eine stetige Abbildung f : X Y ist ein Homöomorphismus, falls eine stetige Abbildung f 1 : Y X mit f 1 f = Id X und f f 1 = Id Y existiert. X und Y heißen dann homöomorph. SCHREIBWEISE 1.11 ANSCHAULICH 1.12 X = Y Sind X und Y aus Gummi, so lassen sie sich ohne Zerreißen oder Zusammenkleben ineinander überführen. BEISPIEL 1.13 Kaffeetasse = Donut

14 EIN WENIG TOPOLOGIE KONSTRUKTION NEUER TOPOLOGISCHER RÄUME TEILRAUMTOPOLOGIE FAKT 1.14 Eine Teilmenge Y X eines topologischen Raumes X besitzt eine natürliche Topologie O Y := {A Y : A O X }. Bezüglich dieser ist die Inklusion ι: Y X stetig. DEFINITION 1.15 Diese heißt Teilraumtopologie. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes versehen mit der Teilraumtopologie heißt Teilraum. BEISPIEL 1.16 Die durch die natürliche Topologie von R n auf R m R n definierte Teilraumtopologie ist die natürliche Topologie von R m.

15 EIN WENIG TOPOLOGIE KONSTRUKTION NEUER TOPOLOGISCHER RÄUME QUOTIENT BEZÜGLICH EINER ÄQUIVALENZRELATION X Menge Äquivalenzrelation auf X induziert Klasseneinteilung X = [x] [x] := {y X : y x} x X Quotient: X/ := { } [x]: x X kanonische Projektion: π : X X/ x [x]

16 EIN WENIG TOPOLOGIE KONSTRUKTION NEUER TOPOLOGISCHER RÄUME QUOTIENT BEZÜGLICH EINER ABBILDUNG BEISPIEL 1.17 f : X Y Abbildung Äquivalenzrelation: x 1 x 2 : f (x 1 ) = f (x 2 ) Äquivalenzklassen: [x] = f 1 (y) für y = f (x) Abbildung X/ Y : [x] f (x) wohldefiniert injektiv surjektiv, falls f surjektiv Ist f surjektiv, so können wir X/ und Y identifizieren.

17 EIN WENIG TOPOLOGIE KONSTRUKTION NEUER TOPOLOGISCHER RÄUME QUOTIENTENTOPOLOGIE FAKT 1.18 Der Quotient X/ eines topologischen Raumes X besitzt eine natürliche Topologie } O X/ := {B : π 1 (B) O X. Bezüglich dieser ist die kanonische Projektion π : X X/ stetig. DEFINITION 1.19 Diese heißt Quotiententopologie. Ein Quotient versehen mit der Quotiententopologie heißt Quotientenraum.

18 EIN WENIG TOPOLOGIE KONSTRUKTION NEUER TOPOLOGISCHER RÄUME QUOTIENTENTOPOLOGIE BEISPIEL 1.20 Die von der natürlichen Topologie auf R n vermittels der Projektion R n R m auf R m definierte Quotiententopologie ist die natürliche Topologie auf R m. SPEZIALFALL 1.21 Eine surjektive Abbildung f : X Y von einem topologischen Raum X in eine Menge Y definiert eine Quotiententopologie auf X/ und damit auf Y, bezüglich derer f stetig wird.

19 EIN WENIG TOPOLOGIE KONSTRUKTION NEUER TOPOLOGISCHER RÄUME PRODUKTTOPOLOGIE FAKT 1.22 Das kartesische Produkt X Y zweier topologischer Räume besitzt eine natürliche Topologie: { O X Y := p 1 X (A i) p 1 Y (B i): A i O X, B i O Y }. i I Bezüglich dieser sind die Projektionen p X : X Y X und p Y : X Y Y stetig. DEFINITION 1.23 Diese heißt Produkttopologie. Das Produkt zweier Mengen versehen mit der Produkttopologie heißt Produktraum.

20 EIN WENIG TOPOLOGIE KONSTRUKTION NEUER TOPOLOGISCHER RÄUME PRODUKTTOPOLOGIE BEISPIEL 1.24 Die Produkttopologie der natürlichen Topologien auf R m und R n ist die natürliche Topologie auf R m+n.

21 OBJEKTE: BÜNDEL GLIEDERUNG TEIL I: BÜNDEL 1 EIN WENIG TOPOLOGIE Objekte: Topologische Räume Morphismen: Stetige Abbildungen Konstruktion neuer topologischer Räume 2 OBJEKTE: BÜNDEL 3 EINFACHE BEISPIELE 4 MORPHISMEN 5 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL 6 KOMPLEXERE BEISPIELE

22 OBJEKTE: BÜNDEL WAS IST EIN BÜNDEL? Ein nacktes Bündel ist zunächst nichts weiter als... eine stetige Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen mit ein wenig neuer Begriffsbildung Später werden wir es mit mehr Struktur versehen.

23 OBJEKTE: BÜNDEL BÜNDEL DEFINITION 2.1 Ein Bündel ist eine stetige Abbildung p : E B zwischen zwei topologischen Räumen. Bezeichnungen: E Totalraum B Basis p Projektion p 1 (b) Faser über b B

24 OBJEKTE: BÜNDEL BÜNDEL ANSCHAULICH 2.2 In jedem Punkt der Basis wird eine Faser angeheftet. Bündel = Vereinigung von Fasern zusammengeklebt durch die Topologie des Totalraumes SCHREIBWEISEN 2.3 p : E B ξ = (E, p, B), E(ξ), B(ξ) ξ Bündel über B, p ξ nur E

25 OBJEKTE: BÜNDEL UNTERBÜNDEL DEFINITION 2.4 p : E B ist ein Unterbündel von p : E B, falls E E B B Teilräume sind und p = p E. SCHREIBWEISE 2.5 (E, p, B ) (E, p, B)

26 EINFACHE BEISPIELE GLIEDERUNG TEIL I: BÜNDEL 1 EIN WENIG TOPOLOGIE Objekte: Topologische Räume Morphismen: Stetige Abbildungen Konstruktion neuer topologischer Räume 2 OBJEKTE: BÜNDEL 3 EINFACHE BEISPIELE 4 MORPHISMEN 5 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL 6 KOMPLEXERE BEISPIELE

27 EINFACHE BEISPIELE PRODUKTBÜNDEL B, F beliebige topologische Räume Totalraum: E = B F Basis: B Projektion: p : B F B Projektion auf ersten Faktor Fasern: p 1 (b) = {b} F = F BEISPIELE 3.1 Zylinder (vertikal) B = S 1 Kreis F = [ 1, +1] oder F = R Zylinder (horizontal) B = [ 1, +1] oder B = R F = S 1 Kreis Torus T = S 1 S 1

28 EINFACHE BEISPIELE MÖBIUS-BAND EINGEBETTET IN R 3 (1 + r cos ϕ x(ϕ, r) := 2 ) cos ϕ (1 + r cos ϕ 2 ) sin ϕ cos ϕ x(ϕ, 0) = sin ϕ r sin ϕ 2 0 Basis: { } B = x(ϕ, 0) R 3 : π < ϕ +π = S 1 Totalraum: { } E = x(ϕ, r) R 3 : π < ϕ +π, r R mit R < 1 Projektion: Fasern: p : x(ϕ, r) x(ϕ, 0) p 1 (b) = ] R, +R [

29 EINFACHE BEISPIELE MÖBIUS-BAND ABSTRAKT b(ϕ) := ( ) cos ϕ R 2 sin ϕ Basis: B = { } b(ϕ) R 2 : π < ϕ +π = S 1 Totalraum: { ( ( ϕ )) } E = b(ϕ), rb R 2 R 2 : π < ϕ +π, r R 2 Projektion: Fasern: p : ( ( ϕ )) b(ϕ), rb b(ϕ) 2 p 1 (b) = R

30 EINFACHE BEISPIELE KLEINSCHE FLASCHE b(ϕ) := ( ) cos ϕ sin ϕ cos θ cos ϕ f (ϕ, θ) := cos θ sin ϕ R 3 sin θ Basis: B = Totalraum: { ( E = b(ϕ), f (ϕ )) 2, θ { } b(ϕ) R 2 : π < ϕ +π = S 1 } R 2 R 3 : π < ϕ +π, π θ +π Projektion: Fasern: p : ( ( ϕ )) b(ϕ), f 2, θ b(ϕ) p 1 (b) = S 1

31 EINFACHE BEISPIELE ZYLINDER, MÖBIUS-BAND, TORUS & KLEIN-FLASCHE DURCH VERKLEBEN Äquivalenzrelationen auf [ 1, +1] [ 1, +1] Zylinder: (x, y) (x, y) (x, 1) ( x, 1) Möbius-Band: (x, y) (x, y) (x, 1) ( x, 1) Torus: (x, y) (x, y) (x, 1) (x, 1) ( 1, y) (1, y) Kleinsche Flasche: (x, y) (x, y) (x, 1) (x, 1) ( 1, y) (1, y)

32 EINFACHE BEISPIELE Basis = Sphäre: S n = Tangentialraum in x S n : T x S n := x = TANGENTIALBÜNDEL DER SPHÄRE { } x R n+1 : x = 1 { } v R n+1 : v x = 0 Totalraum: T = {(x, v) S n R n+1 : x S n, v T x S n} Projektion: Fasern: Tangentialbündel: p : T S n (x, v) x p 1 (x) = T x S n = x TS n := (T, p, S n )

33 EINFACHE BEISPIELE NORMALENBÜNDEL DER SPHÄRE Basis = Sphäre S n Normalraum in x S n : N x S n := Rx Totalraum: Projektion: Fasern: N = { } (x, λx) S n R n+1 : x S n, λ R p : N S n (x, λx) x p 1 (x) = Rx Normalenbündel NS n := (N, p, S n )

34 EINFACHE BEISPIELE TANGENTIAL- & NORMALENBÜNDEL AN EINE MANNIGFALTIGKEIT VERALLGEMEINERUNG 3.2 Tangentialbündel TM an eine beliebige Mannigfaltigkeit M (intrinsisch definiert) Normalenbündel NM an eine eingebettete Mannigfaltigkeit M R n

35 EINFACHE BEISPIELE NEBENKLASSENBÜNDEL EINER UNTERGRUPPE G Gruppe, versehen mit einer Topologie H G Untergruppe Totalraum: G Basis: G/H Projektion: Fasern = Nebenklassen: p : G G/H g gh p 1 ( gh }{{} G/H ) = gh = H }{{} G

36 MORPHISMEN GLIEDERUNG TEIL I: BÜNDEL 1 EIN WENIG TOPOLOGIE Objekte: Topologische Räume Morphismen: Stetige Abbildungen Konstruktion neuer topologischer Räume 2 OBJEKTE: BÜNDEL 3 EINFACHE BEISPIELE 4 MORPHISMEN 5 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL 6 KOMPLEXERE BEISPIELE

37 MORPHISMEN BÜNDELMORPHISMEN DEFINITION 4.1 Ein Bündelmorphismus (u, f ): (E 1, p 1, B 1 ) (E 2, p 2, B 2 ) zwischen zwei Bündeln (E 1, p 1, B 1 ) und (E 2, p 2, B 2 ) ist ein Paar von Abbildungen u : E 1 E 2 und f : B 1 B 2 mit p 2 u = f p 1. Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ: E 1 u E 2 p 2 u = f p 1. p 1 p 2 f B 1 B 2 ANSCHAULICH 4.2 Bündelmorphismus = faserweise Abbildung: Bild(Faser) = u ( p 1 (b) ) p 1( f (b) ) = Faser(Bild)

38 MORPHISMEN BÜNDELMORPHISMEN FAKT Ist p 1 surjektiv, so ist f durch u eindeutig bestimmt. 2 Verkettungen von Bündelmorphismen sind Bündelmorphismen: (u 1, f 1 ) (u 2, f 2 ) := (u 1 u 2, f 1 f 2 ). BEISPIELE 4.4 Identität: Id (E,p,B) := (Id E, Id B ): (E, p, B) (E, p, B) Inklusion für ein Unterbündel (E, p, B ) (E, p, B): (ι E, ι B ): (E, p, B ) (E, p, B) Projektion: (p, Id B ): (E, p, B) (B, Id, B)

39 MORPHISMEN BÜNDELISOMORPHISMEN DEFINITION 4.5 Ein Bündelmorphismus φ: ξ η ist ein Bündelisomorphismus, falls ein Bündelmorphismus φ 1 : η ξ existiert mit φ φ 1 = Id η φ 1 φ = Id ξ. BEMERKUNGEN 4.6 (u, f ) 1 = (u 1, f 1 ) Bündelisomorphie ist eine Äquivalenzrelation. SCHREIBWEISE 4.7 (E 1, p 1, B 1 ) = (E 2, p 2, B 2 )

40 MORPHISMEN B-MORPHISMEN DEFINITION 4.8 Ein Bündelmorphismus der Gestalt (u, Id B ): (E 1, p 1, B) (E 2, p 2, B) heißt Bündelmorphismus über B oder B-Morphismus: E 1 u E 2 p 2 u = p 1. p 1 B B p 2 Ein B-Isomorphismus ist ein B-Morphismus, welcher ein Bündelisomorphismus ist.

41 MORPHISMEN TRIVIALE BÜNDEL DEFINITIONEN 4.9 Ein Raum F heißt Faser des Bündels p : E B, falls p 1 (b) = F für alle b B. Ein Bündel p : E B heißt trivial mit Faser F, falls es B-isomorph zum Produktbündel B F B ist. BEISPIEL 4.10 Normalenbündel der Sphäre NS n = S n R: u : NS n S n R (x, λx) (x, λ) BEMERKUNG 4.11 Später: TS n trivial n = 3, 7, 15

42 MORPHISMEN SCHNITTE DEFINITION 4.12 Ein Schnitt eines Bündels p : E B ist eine stetige Abbildung s : B E mit p s = Id B ANSCHAULICH 4.13 Abbildung jedes Punktes der Basis in seine Faser: s(b) p 1 (b) BEISPIEL 4.14 Ein Schnitt s : S n TS n ist ein (stetiges) Vektorfeld auf S n. Ein Schnitt s : S n NS n ist ein (stetiges) Normalenfeld auf S n.

43 MORPHISMEN SCHNITTE IN PRODUKTBÜNDELN FAKT 4.15 Jeder Schnitt eines Produktbündels B F B ist von der Gestalt s(b) = (b, f (b)), wobei f : B F eindeutig bestimmt ist. ANSCHAULICH 4.16 F -wertige Funktionen auf einem Raum B können als Schnitte im Produktbündel B F B betrachtet werden. Schnitte = Verallgemeinerung von Funktionen Funktionen mit variablem Wertebereich

44 MORPHISMEN SCHNITTE ALS BÜNDELMORPHISMEN BEMERKUNG 4.17 Schnitte s : B E können als B-Morphismen (s, Id B ): (B, Id B, B) (E, p, B) betrachtet werden. Deshalb übertragen sich alle Sachverhalte von Bündelmorphismen auf Schnitte.

45 MORPHISMEN NICHTTRIVIALITÄT DES MÖBIUS-BANDES FAKT 4.18 Jeder Schnitt des Möbius-Bandes hat mindestens eine Nullstelle. Folglich ist das Möbius-Band nicht trivial.

46 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL GLIEDERUNG TEIL I: BÜNDEL 1 EIN WENIG TOPOLOGIE Objekte: Topologische Räume Morphismen: Stetige Abbildungen Konstruktion neuer topologischer Räume 2 OBJEKTE: BÜNDEL 3 EINFACHE BEISPIELE 4 MORPHISMEN 5 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL 6 KOMPLEXERE BEISPIELE

47 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL PRODUKT ZWEIER BÜNDEL DEFINITION 5.1 (NAHELIEGEND, ABER EHER UNBEDEUTEND) Das Produktbündel ξ 1 ξ 2 zweier Bündel ξ 1 = (E 1, p 1, B 1 ) und ξ 2 = (E 2, p 2, B 2 ) ist definiert durch: ξ 1 ξ 2 := (E 1 E 2, p 1 p 2, B 1 B 2 )

48 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL FASERPRODUKT ZWEIER BÜNDEL DEFINITION 5.2 (BEDEUTEND) Das Faserprodukt ξ 1 ξ 2 = (E 1 E 2, p, B) zweier Bündel ξ 1 = (E 1, p 1, B) und ξ 2 = (E 2, p 2, B) über der selben Basis B ist definiert durch: { } E 1 E 2 := (e 1, e 2 ) E 1 E 2 : p 1 (e 1 ) = p 2 (e 2 ) p(e 1, e 2 ) := p 1 (e 1 ) = p 2 (e 2 ) ANSCHAULICH 5.3 Fasern: daher der Name Faserprodukt p 1 (b) = p 1 1 (b) p 1 2 (b)

49 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL TANGENTIALBÜNDEL NORMALENBÜNDEL = TRIVIAL BEISPIEL 5.4 Fasern des Tangentialbündels an die Sphäre: T x S n = x = R n Fasern des Normalenbündels an die Sphäre: N x S n = Rx = R Produkt der Fasern: T x S n N x S n = R n+1 (t, n) t + n Isomorphismus kanonisch, d. h. unabhängig von x TS n NS n = S n R n+1 ((x, t), (x, n)) (x, t + n) n = 2: nichttrivial trivial = trivial! trivial trivial = trivial?

50 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL FASERPRODUKT TRIVIALER BÜNDEL FAKT 5.5 Für zwei B-Morphismen u i : ξ i ξ i, i = 1, 2, ist folgender B-Morphismus wohldefiniert: u 1 u 2 : ξ 1 ξ 2 ξ 1 ξ 2 (e 1, e 2 ) (u 1 (e 1 ), u 2 (e 2 )) FAKT Id ξ1 Id ξ2 = Id ξ1 ξ 2 2 (u 1 u 2 ) (v 1 v 2 ) = (u 1 v 1 ) (u 2 v 2 ) 3 ξ 1 = η1 ξ 2 = η2 ξ 1 ξ 2 = η1 η 2 FOLGERUNG 5.7 Das Faserprodukt trivialer Bündel ist trivial.

51 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL SCHNITTE EINES FASERPRODUKTS FAKT 5.8 Die Schnitte des Faserprodukts ξ 1 ξ 2 zweier Bündel ξ = (E 1, p 1, B) und ξ 2 = (E 2, p 2, B) sind von der Gestalt s(b) = ( ) s 1 (b), s 2 (b), wobei s 1 : B E 1 und s 2 : B E 2 Schitte von ξ 1 bzw. ξ 2 sind. s 1 und s 2 sind durch s eindeutig bestimmt.

52 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL EINSCHRÄNKUNG DEFINITIONEN 5.9 Die Einschränkung eines Bündels ξ = (E, p, B) auf eine Teilmenge A B ist das Bündel ξ A := ( ) p 1 (A), p p 1 (A), A Die Einschränkung eines B-Morphismus u : ξ η ist der A-Morphismus u A := u (E(ξ A)): ξ A η A. BEISPIEL 5.10 Die Einschränkung des Möbius-Bandes auf eine echte Teilmenge von S 1 ist trivial.

53 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL EINSCHRÄNKUNG FAKT ξ B = ξ 2 (ξ A) A = ξ A für A A 3 Id ξ A = Id ξ A 4 (u v) A = (u A) (v A) 5 ξ = η ξ A = η A

54 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL INDUZIERTES BÜNDEL WICHTIG ANSCHAULICH 5.12 Konstruktion eines Bündels (E, p, A) aus einem Bündel (E, p, B) via einer Abbildung f : A B Fasern über Original- und Bildpunkt von f gleich DEFINITION 5.13 Das unter einer Abbildung f : A B von dem Bündel ξ = (E, p, B) induzierte Bündel f ξ := (f E, f p, A) ist definiert durch { } f E := (a, e) A E : f (a) = p(e) f p(a, e) := a Das Induzieren eines Bündels wird auch Pullback genannt. (Gute Übersetzungen willkommen.)

55 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL KANONISCHER MORPHISMUS WICHTIG FAKT 5.14 Folgender Morphismus ist ein wohldefinierter Bündelmorphismus: f ξ : f ξ ξ (a, e) e. f p f ξ A f ξ ξ p f B. DEFINITION 5.15 Er heißt kanonischer Morphismus. BEMERKUNG 5.16 f ist eindeutig durch f ξ bestimmt, da nach Definition f p surjektiv ist.

56 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL KANONISCHER MORPHISMUS FAKT 5.17 Die Einschränkung f ξ : p 1 (a) p 1 (f (a)) des kanonischen Morphismus f ξ : f ξ ξ auf eine Faser ist ein Homöomorphismus.

57 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL UNIVERSALITÄT DES KANONISCHEN MORPHISMUS WICHTIG PROPOSITION 5.18 Sei f : A B. Zu jedem Bündelmorphismus (u, f ): η ξ existiert ein eindeutig bestimmter A-Morphismus v : η f ξ, welcher das folgende Diagramm kommutativ ergänzt: f ξ v f ξ η ξ (u,f ) Basen: A A B. f f Diese Eigenschaft bestimmt das kanonische Bündel sowie den kanonischen Morphismus eindeutig.

58 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL DER PULLBACK-FUNKTOR WICHTIG PROPOSITION 5.19 Sei f : A B. Zu jedem B-Morphismus u : η ξ existiert ein eindeutig bestimmter A-Morphismus f u : f η f ξ, welcher das folgende Diagramm kommutativ ergänzt: f η f η η f ξ f u u ξ f ξ Basen: A f B A f B

59 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL EIGENSCHAFTEN DES INDUZIERTEN BÜNDELS FAKT Id ξ = ξ 2 g (f ξ) = (f g) ξ 3 f Id ξ = Id f ξ 4 f (u v) = (f u) (f v) 5 ξ = η f ξ = f η 6 f (ξ η) = f (ξ) f (η) 7 ι A ξ = ξ A für die Inklusion ι A : A B von A B. 8 (ξ η) A = (ξ A) (η A)

60 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL SCHNITTE DES INDUZIERTEN BÜNDELS FAKT 5.21 Sei f : A B. Ein Schnitt s : B E eines Bündels ξ = (E, p, B) induziert einen eindeutig bestimmten Schnitt f s : A f E, welcher folgendes Diagramm kommutativ ergänzt: f s f E A f p f ξ f s E B p f ξ f s = s f f s(a) := (a, s(f (a)))

61 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL LOKALE ISOMORPHIE UND LOKALE TRIVIALITÄT DEFINITION 5.22 Zwei Bündel ξ und η über B sind lokal isomorph, falls zu jedem b B eine offene Menge U mit b U existiert, sodass ξ U und η U U-isomorph sind. Ein Bündel über B heißt lokal trivial mit Faser F, falls es lokal isomorph zum Produktbündel B F ist. BEISPIELE 5.23 Zylinder und Möbius-Band Torus und Kleinsche Flasche Tangentialbündel Normalenbündel

62 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL LOKALE ISOMORPHIE UND LOKALE TRIVIALITÄT FAKT Lokale Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation. 2 Ein zu einem lokal trivialen Bündel lokal isomorphes Bündel ist lokal trivial. FAKT Sind ξ und η lokal isomorph, so auch ξ A und η A f ξ und f η Sind ξ 1 und η 1 sowie ξ 2 und η 2 lokal isomorph, so auch ξ 1 ξ 2 und η 1 η 2 2 Sind ξ, ξ 1 und ξ 2 lokal trivial, so auch ξ A f ξ ξ1 ξ 2

63 KOMPLEXERE BEISPIELE GLIEDERUNG TEIL I: BÜNDEL 1 EIN WENIG TOPOLOGIE Objekte: Topologische Räume Morphismen: Stetige Abbildungen Konstruktion neuer topologischer Räume 2 OBJEKTE: BÜNDEL 3 EINFACHE BEISPIELE 4 MORPHISMEN 5 KONSTRUKTION NEUER BÜNDEL 6 KOMPLEXERE BEISPIELE

64 KOMPLEXERE BEISPIELE k -BEINE DEFINITION 6.1 Eine linear unabhängiges Tupel von k Vektoren in einem Vektorraum nennen wir k-bein. Sind diese orthonormal, so sprechen wir von einem orthonormalen k-bein. BEISPIEL 6.2 Ein (orthonormales) 1-Bein ist ein (Einheits-)Vektor. Für k = dim V ist ein (orthonormales) k-bein das selbe wie eine (orthonormale) Basis in V.

65 KOMPLEXERE BEISPIELE DEFINITION 6.3 STIEFEL-MANNIGFALTIGKEIT ÜBER R n Die Stiefel-Mannigfaltigkeit V k (R n ) ist die Menge aller orthonormalen k-beine im R n : { } 1 i = j V k (R n ) := {(v 1,, v k ) (R n ) k : v i v j = δ ij δ ij = 0 i j BEMERKUNG 6.4 Als Teilmenge von (R n ) k = R nk wird diese Menge mit der Teilraumtopologie zu einem topologischen Raum. Dieser topologische Raum besitzt eine natürliche Mannigfaltigkeitsstruktur, daher Mannigfaltigkeit. SPEZIALFALL 6.5 V 1 (R n ) = S n 1

66 KOMPLEXERE BEISPIELE GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEIT ÜBER R n WICHTIG DEFINITION 6.6 Die Grassmann-Mannigfaltigkeit G k (R n ) ist die Menge aller k-dimensionalen Unterräume des R n. BEMERKUNG 6.7 Diese Menge wird mit der Quotiententopologie bezüglich der Projektion p : V k (R n ) G k (R n ) (v 1,, v k ) span{v 1,, v k } k-bein davon aufgespannter Unterraum zu einem topologischen Raum. Auch dieser besitzt eine natürliche Mannigfaltigkeitsstruktur.

67 KOMPLEXERE BEISPIELE PROJEKTIVER RAUM ALS GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEIT SPEZIALFALL 6.8 RP n := G 1 (R n+1 ) ist die Menge der Ursprungsgeraden im R n+1 und heißt projektiver Raum. BEMERKUNG 6.9 Alternativ läßt sich RP n definieren als ( R n+1 \ {0} ) / bezüglich SCHREIBWEISE 6.10 x y : λ R: y = λx. [x 1 : x 2 :... : x n ] := [(x 1, x 2,..., x n )]

68 KOMPLEXERE BEISPIELE KANONISCHES BÜNDEL WICHTIG DEFINITION 6.11 Das kanonische Bündel γk n ist definiert durch Basis: B(γk n) := G k(r n ) } Totalraum: E(γk {(V n) :=, v) G k (R n ) R n : v V Projektion: p(v, v) := V BEMERKUNG 6.12 Das kanonische Bündel spielt eine zentale Rolle in der Klassifikation von Vektorbündeln.

69 KOMPLEXERE BEISPIELE DUALES KANONISCHES BÜNDEL WICHTIG DEFINITION 6.13 Das duale kanonische Bündel (γ n k ) ist definiert durch Basis: B(γ n k ) := G k(r n ) Totalraum: E(γ n k ) := { (V, w) G k (R n ) R n : w V } Projektion: p(v, w) := V BEMERKUNG 6.14 (γ n k ) hängt von der Wahl eines Skalarprodukts auf R n ab. Verschiedene Skalarprodukte ergeben isomorphe Bündel. FAKT 6.15 γ n k (γn k ) ist trivial.

70 KOMPLEXERE BEISPIELE G k (R ) BEMERKUNG 6.16 natürliche Inklusion R n R n+1 R := R n n=0 natürliche Inklusion G k (R n ) G k (R n+1 ) G k (R 0 ) G k (R 1 ) G k (R 2 )... G k (R n )... DEFINITION 6.17 G k (R ) := G k (R n ) n=k

71 KOMPLEXERE BEISPIELE G k (R ) BEMERKUNG 6.18 Auch G k (R ) besitzt wieder eine natürliche Topologie, die induktive Topologie. Jedoch besitzt G k (R ) keine Struktur einer (endlichen) Mannigfaltigkeit.

72 KOMPLEXERE BEISPIELE DAS KANONISCHE BÜNDEL γ k DEFINITION 6.19 Das kanonische Bündel γk über G k (R ) ist definiert durch } E(γk {(V ) :=, v) G k (R ) R : v V p(v, v) = V BEMERKUNG 6.20 V ist für einen Unterraum V R nicht definiert. Daher existiert zu γk kein duales Bündel.

73 KOMPLEXERE BEISPIELE DIE HOPF-FASERUNG p : S 3 S 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 (x 1, y 1, x 2, y 2 ) x 1 y 2 y 1 x 2 x1 2 + y 1 2 x 2 2 y 2 2 Interpretation: S 3 R 4 \ {0} = C 2 \ {0} π CP 1 = C { } = S 2 π : C 2 \ {0} CP 1 kanonische Projektion CP 1 C { }: [z 1 : z 2 ] z 1 /z 2 C { } S 2 stereographische Projektion Fasern = S 1

74 KOMPLEXERE BEISPIELE DIE HOPF-FASERUNG

75 Teil II VEKTORBÜNDEL

76 GLIEDERUNG TEIL II: VEKTORBÜNDEL 7 OBJEKTE 8 BEISPIELE 9 MORPHISMEN 10 BÜNDELBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL 11 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL

77 WAS IST EIN VEKTORBÜNDEL? Ein Vektorbündel ist ein lokal triviales Bündel, versehen mit einer Vektorraumstruktur in jeder Faser sodass die lokalen Trivialisierungen faserweisese Vektorraumisomorphismen sind Ziel: Ausdehnung von Begriffen für Bündel (aus der letzten Vorlesung) für Vektorräume auf Vektorbündel.

78 OBJEKTE GLIEDERUNG TEIL II: VEKTORBÜNDEL 7 OBJEKTE 8 BEISPIELE 9 MORPHISMEN 10 BÜNDELBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL 11 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL

79 OBJEKTE VEKTORBÜNDEL DEFINITION 7.1 Ein k-dimensionales Vektorbündel über einem Körper K ist ein Bündel (E, p, B) versehen mit der Struktur eines k-dimensionalen K-Vektorraumes in jeder Faser, sodass gilt: Jedes b B besitzt eine offene Menge U mit b U und einem U-Isomorphismus U K k p 1 (U), dessen Einschränkung {b } K k p 1 (b ) für jedes b U ein Vektorraumisomorphismus ist. Für K = R bzw. K = C spricht man von einem reellen bzw. komplexen Vektorbündel. BEMERKUNG 7.2 Insbesondere ist ein Vektorbündel lokal trivial mit Faser K k.

80 BEISPIELE GLIEDERUNG TEIL II: VEKTORBÜNDEL 7 OBJEKTE 8 BEISPIELE 9 MORPHISMEN 10 BÜNDELBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL 11 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL

81 BEISPIELE BEISPIELE BEISPIELE 8.1 Produktbündel B K k B Möbius-Band (mit Faser R) Tangential- und Normalenbündel FAKT 8.2 Das kanonische Bündel γk n ist ein k-dimensionales Vektorbündel.

82 MORPHISMEN GLIEDERUNG TEIL II: VEKTORBÜNDEL 7 OBJEKTE 8 BEISPIELE 9 MORPHISMEN 10 BÜNDELBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL 11 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL

83 MORPHISMEN VEKTORBÜNDELMORPHISMUS DEFINITIONEN 9.1 Ein Vektorbündelmorphismus zwischen zwei Vektorbündeln ξ 1 und ξ 2 ist ein Bündelmorphismus (u, f ): ξ 1 ξ 2, dessen Einschränkung u p 1 1 für jedes b B 1 linear ist. (b): p 1(b) p 1(f (b)) Ein Vektorbündelmorphismus über B ist ein B-Morphismus, welcher ein Vektorbündelmorphismus ist. Ein Vektorbündelisomorphismus (über B) ist ein Vektorbündelmorphismus (über B) u : ξ η, für den ein Vektorbündelmorphismus (über B) u 1 : η ξ existiert mit 1 2 u 1 u = Id ξ u u 1 = Id η

84 MORPHISMEN VEKTORBÜNDELMORPHISMEN BEMERKUNG 9.2 Nach Definition ist p 1 surjektiv, also f durch u eindeutig bestimmt. BEISPIELE 9.3 Die lokalen Trivialisierungen p 1 (U) U K k sind Vektorbündelmorphismen über U. Die Identität ist ein Vektorbündelisomorphismus. FAKT Verkettungen von Vektorbündelmorphismen sind Vektorbündelmorphismen. 2 Vektorbündelisomorphie ist Äquivalenzrelation.

85 MORPHISMEN B-MORPHISMEN ZWISCHEN TRIVIALEN VEKTORBÜNDELN FAKT 9.5 Vektorbündelmorphismen u : (B K m, p, B) (B K n, p, B) über B besitzen die Gestalt u(b, v) = (b, f (b, v)), wobei f : B K m K n linear in der zweiten Komponente ist. ANSCHAULICH 9.6 Bündelmorphismen werden lokal durch Matrizen beschrieben, welche von b B abhängen: ˆf : B L(K m, K n ) b ˆf (b) := f (b, ): K m K n v ˆf (b)v := f (b, v)

86 MORPHISMEN VEKTORBÜNDELISOMORPHISMEN SIND LOKAL BESTIMMT DEFINITION 9.7 Ein Bündelmorphismus besitzt faserweise eine Eigenschaft linearer Abbildungen, wenn seine Einschränkung auf jede Faser diese besitzt. PROPOSITION 9.8 Ein Vektorbündelmorphismus u : ξ 1 ξ 2 über B ist genau dann ein Isomorphismus, wenn er faserweise ein Isomorphismus ist. BEMERKUNG 9.9 Der Zusatz über B ist notwendig.

87 BÜNDELBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL GLIEDERUNG TEIL II: VEKTORBÜNDEL 7 OBJEKTE 8 BEISPIELE 9 MORPHISMEN 10 BÜNDELBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL 11 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL

88 BÜNDELBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL INDUZIERTES VEKTORBÜNDEL FAKT 10.1 Das Pullback-Bündel f ξ eines Vektorbündels ξ besitzt eine eindeutig bestimmte Vektorbündelstruktur, bezüglich derer der kanonische Morphismus f ξ : f ξ ξ ein Vektorbündelmorphismus ist. Der kanonische Morphismus ist faserweise ein Isomorphismus. Der Pullback f u : f ξ f η eines Vektorbündelmorphismus u : ξ η ist ein Vektorbündelmorphismus. PROPOSITION 10.2 Ein Vektorbündelmorphismus (u, f ): η ξ ist faserweise ein Isomorphismus genau dann, wenn η und f ξ isomorph sind.

89 BÜNDELBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL WHITNEY-SUMME FAKT 10.3 Für zwei Bündel ξ 1 und ξ 2 sind die folgenden Projektionen wohldefinierte Bündelmorphismen ξ 1 ξ 2 ξ i i = 1, 2 (e 1, e 2 ) e i Das Faserprodukt ξ 1 ξ 2 zweier Vektorbündel ξ 1 und ξ 2 besitzt eine eindeutig bestimmte Vektorbündelstruktur, bezüglich derer diese Projektionen Vektorbündelmorphismen sind. DEFINITION 10.4 Das Faserprodukt zweier Vektorbündel wird Whitney-Summe genannt.

90 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL GLIEDERUNG TEIL II: VEKTORBÜNDEL 7 OBJEKTE 8 BEISPIELE 9 MORPHISMEN 10 BÜNDELBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL 11 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL

91 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL VEKTORRAUMOPERATIONEN FÜR SCHNITTE BEMERKUNG 11.1 Schnitte in Vektorbündeln sind eine Verallgemeinerung vektorwertiger Funktionen. FAKT 11.2 Für Schnitte s 1, s 2 : B E und Funktionen λ 1, λ 2 : B R sind 0: B E b 0 λ 1 s 1 + λ 2 s 2 : B E b λ 1 (b)s 1 (b) + λ 2 (b)s 2 (b) wieder Schnitte. DEFINITION : B E heißt Nullschnitt in E.

92 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL VEKTORRAUMOPERATIONEN AUF VEKTORBÜNDELN FAKT 11.4 Die Abbildungen K E E (λ, x) λx E E E (x, y) x + y sind stetig.

93 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL KERN- & BILD-BÜNDEL ZIEL 11.5 Ausdehnung der Begriffe Kern und Bild von linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen auf Vektorbündelmorphismen zwischen Vektorbündeln DEFINITION 11.6 Sei u : ξ η ein Vektorbündelmorphismus. Das Kernbündel von u ist das Bündel (E, p, B) mit B := B(ξ) E := {x E(ξ): u(x) = 0} p := p ξ E Das Bildbündel von u ist das Bündel (E, p, B) mit B := B(η) E := {u(x) E(η): x ξ} p := p η E

94 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL KERN- & BILD-BÜNDEL NICHT LOKAL TRIVIAL PROBLEM 11.7 Im allgemeinen sind diese Bündel nicht lokal trivial, da die Dimension der Fasern springen kann. BEISPIEL 11.8 u : [0, 1] R [0, 1] R definiert durch u(t, x) := (t, tx). DEFINITION 11.9 Ein Vektorbündelmorphismus u : ξ η ist von konstantem Rang k, falls u faserweise Rang k besitzt.

95 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL B-MORPHISMEN KONSTANTEN RANGS PROPOSITION Für einen Vektorbündelmorphismus von konstantem Rang sind Bild- und Kern-Bündel Vektorbündel. FOLGERUNG Das Bildbündel eines faserweise injektiven Morphismus ist ein Vektorbündel. Das Kernbündel eines faserweise surjektiven Morphismus ist ein Vektorbündel.

96 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL FASERMETRIK ZIEL Ausdehnung des Begriffs Skalarprodukt von Vektorräumen auf Vektorbündel. DEFINITION Eine Fasermetrik in einem reelen/komplexen Vektorbündel ξ ist eine stetige Funktion : E(ξ ξ) R bzw. C, welche faserweise ein reelles/komplexes Skalarprodukt ist. Ein reelles/komplexes Vektorbündel mit einer Fasermetrik heißt euklidisch/hermitesch.

97 VEKTORRAUMBEGRIFFE FÜR VEKTORBÜNDEL FASERMETRIKEN BEISPIELE Produktbündel B F Tangentialbündel der Sphäre (b, f 1 ) (b, f 2 ) := f 1 f 2 F Kanonisches Bündel (x, v 1 ) (x, v 2 ) := v 1 v 2 R n+1 (V, v 1 ) (V, v 2 ) := v 1 v 2 V

98 Teil III PRINZIPALBÜNDEL

99 GLIEDERUNG TEIL III: PRINZIPALBÜNDEL 12 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN 13 DEFINITION 14 MORPHISMEN 15 INDUZIERTES PRINZIPALBÜNDEL

100 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN GLIEDERUNG TEIL III: PRINZIPALBÜNDEL 12 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN 13 DEFINITION 14 MORPHISMEN 15 INDUZIERTES PRINZIPALBÜNDEL

101 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN TOPOLOGISCHE GRUPPE ANSCHAULICH 12.1 Eine topologische Gruppe verbindet die Grundbegriffe Gruppe aus der Gruppentheorie Stetigkeit aus der Topologie DEFINITION 12.2 Eine topologische Gruppe ist eine Menge G, versehen mit einer Topologie und einer Gruppenstruktur, sodass folgende Abbildungen stetig sind: 1 Gruppenverknüpfung: G G G : (g, h) g h 2 Inversenbildung: G G : g g 1

102 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN TOPOLOGISCHE GRUPPE BEISPIELE 12.3 endliche und abzählbare Gruppen mit der diskreten Topologie (alle Teilmengen offen) GL(R n ), GL(C n ) Topologie = Teilraumtopologie bezüglich der Inklusion GL(R n ) L(R n, R n ) = R n2 Stetigkeit von Gruppenverknüpfung und Inversenbildung folgt aus expliziten Formeln für Matrixmultiplikation und -inversion O(n), SO(n) GL(R n ) U(n), SU(n) GL(C n )...

103 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN GRUPPENWIRKUNG DEFINITION 12.4 Eine linke G-Wirkung einer Gruppe G auf einer Menge X ist eine Abbildung G X X : (g, x) gx mit folgenden Eigenschaften: 1 x X : ex = x 2 x X : g, h G : g(hx) = (gh)x Analog den Begriff einer rechten G-Wirkung X G X : (x, g) xg. BEMERKUNG 12.5 Beide Begriffe sind äquivalent: Eine linke Wirkung definiert eine rechte Wirkung durch xg := g 1 x und umgekehrt. BEISPIELE 12.6 triviale G-Wirkung: gx := x Verknüpfung von links/rechts in G: gh := g h

104 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN EINIGE GRUPPENWIRKUNGEN BEISPIELE 12.7 Standardwirkungen GL(R n ) auf R n GL(C n ) auf C n durch Einschränkung O(n) und SO(n) auf R n U(n) und SU(n) auf C n... O(n) auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit V k (R n ) A(v 1,..., v k ) := (Av 1,..., Av k ) GL(R n ) auf der Grassmann-Mannigfaltigkeit G k (R n ) AV := A(V )

105 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN ORBITS DEFINITION 12.8 Eine Wirkung einer Gruppe G auf einer Menge X definiert eine Äquivalenzrelation auf X: x 1 x 2 g G : x 2 = gx 1. Dies ist eine Teilmenge R X X: R = {(x 1, x 2 ) X X : g G : x 2 = gx 1 }. Die Äquivalenzklassen werden Orbits genannt: [x] = {y X : y x} = {gx X : g G, x X} =: Gx. Der Quotient heißt Orbitraum.

106 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN ORBITS SCHREIBWEISE 12.9 Für linke bzw. rechte Wirkungen schreibt man Gx bzw. xg für den Orbit von x G\X bzw. X/G für der Orbitraum BEISPIELE Orbits von GL(R n ) auf R n : R n \ {0} und {0} Orbits von SO(n) auf R n : Sphären vom Radius r 0

107 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN FREIE WIRKUNGEN DEFINITION Die Wirkung heißt frei, falls x X : g 1, g 2 G : g 1 x = g 2 x g 1 = g 2. BEISPIELE Gruppenverknüpfung in G SO(2)-Wirkung auf R 2 \ {0} Gegenbeispiele: GL(R n )-Wirkung auf R n SO(n)-Wirkung auf R n \ {0} für n 3

108 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN TRANSLATIONSFUNKTION FAKT Eine freie linke bzw. rechte G-Wirkung bestimmt eine Funktion τ : R G, definiert durch τ(x 2, x 1 )x 1 = x 2 bzw. x 1 τ(x 1, x 2 ) = x 2 für x 1 x 2 mit den Eigenschaften 1 τ(x, x) = e 2 τ(x 1, x 2 )τ(x 2, x 3 ) = τ(x 1, x 3 ) 3 τ(x 2, x 1 ) = τ(x 1, x 2 ) 1 DEFINITION Diese heißt Translationsfunktion.

109 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN G-RAUM DEFINITION Ein topologischer Raum X versehen mit einer stetigen linken G-Wirkung G X X heißt linker G-Raum. Analog: rechter G-Raum. FAKT Für jedes g G ist die Abbildung ein Homöomorphismus. g : X X x gx BEMERKUNG Für einen rechten G-Raum ist (X, π, X/G) ein Bündel. Seine Fasern sind die Orbits von G auf X.

110 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN G-MORPHISMEN DEFINITION Ein G-Morphismus zwischen zwei G-Räumen X und Y ist eine stetige Abbildung f : X Y sodass folgendes Diagramm kommutativ ist: X f Y f (xg) = f (x)g. g X f Y g Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt auch äquivariant. BEISPIEL Die Identität ist ein G-Morphismus. FAKT Die Verkettung von G-Morphismen ist ein G-Morphismus.

111 DEFINITION GLIEDERUNG TEIL III: PRINZIPALBÜNDEL 12 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN 13 DEFINITION 14 MORPHISMEN 15 INDUZIERTES PRINZIPALBÜNDEL

112 DEFINITION G-PRINZIPALBÜNDEL DEFINITION 13.1 Ein Bündel (X, p, B) ist ein G-Prinzipalbündel, falls 1 X ein freier rechter G-Raum ist. 2 die Translationsfunktion stetig ist. 3 ein Bündelisomorphismus (Id X, f ): (X, p, B) (X, π, X/G) existiert. G heißt Strukturgruppe des Prinzipalbündels. BEMERKUNG 13.2 f : B X/G ist ein Homöomorphismus.

113 DEFINITION BEISPIELE BEISPIELE 13.3 Produkt-G-Prinzipalbündel (B G, p, B) Wirkung: (b, f )g = (b, fg) Projektion: p : B G ( B : (b, f ) b Translationsfunktion: τ (b, f1 ), (b, f 2 ) ) = f 1 1 f 2 H-Prinzipalbündel (G, π, G/H), wobei G topologische Gruppe H G Untergruppe Wirkung G H G: gh := g h Translationsfunktion: τ(h 1, h 2 ) = h 1 1 h 2 Z 2 -Prinzipalbündel (S n, p, RP n ) Wirkung: S n Z 2 S n : (x, ±1) ±x Projektion: S n RP n : x [x] Translationsfunktion: τ(x, ±x) = ±1 Basis: RP n = S n /Z 2

114 DEFINITION FASER EINES G-PRINZIPALBÜNDELS FAKT 13.4 Ein G-Prinzipalbündel ist ein Bündel mit Faser G.

115 MORPHISMEN GLIEDERUNG TEIL III: PRINZIPALBÜNDEL 12 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN 13 DEFINITION 14 MORPHISMEN 15 INDUZIERTES PRINZIPALBÜNDEL

116 MORPHISMEN G-PRINZIPALBÜNDELMORPHISMUS DEFINITION 14.1 Ein Bündelmorphismus (u, f ): (X 1, p, B 1 ) (X 2, p, B 2 ) (über B) zwischen zwei G-Prinzipalbündeln ist ein G-Prinzipalbündelmorphismus (über B), falls u : X 1 X 2 ein G-Morphismus ist. BEMERKUNG 14.2 p ist surjektiv, f daher durch u eindeutig bestimmt. BEISPIEL 14.3 Die Identität ist ein G-Prinzipalbündelmorphismus. FAKT 14.4 Verkettungen von G-Prinipalbündelmorphismen sind G-Prinzipalbündelmorphismen.

117 MORPHISMEN PRINZIPALBÜNDELMORPHISMEN DEFINITION 14.5 Ein Prinzipalbündelmorphismus u : ξ η ist ein Prinzipalbündelisomorphismus, falls ein Prinzipalbündelmorphismus u 1 : η ξ existiert mit u 1 u = Id ξ u u 1 = Id η. FAKT 14.6 Jeder Prinzipalbündelmorphismus über B ist ein Isomorphismus. BEMERKUNG 14.7 Der Zusatz über B ist notwendig.

118 MORPHISMEN LOKALE ISOMORPHIE UND TRIVIALITÄT DEFINITION 14.8 Zwei Prinzipalbündel ξ und η über B sind lokal isomorph, falls jedes b B eine offene Menge U mit b U besitzt, sodass ξ U = η U. Ein G-Prinzipalbündel über B ist (lokal) trivial, falls es zum Produktprinzipalbündel (B G, p, B) (lokal) isomorph ist.

119 INDUZIERTES PRINZIPALBÜNDEL GLIEDERUNG TEIL III: PRINZIPALBÜNDEL 12 TOPOLOGISCHE GRUPPEN UND DEREN WIRKUNGEN 13 DEFINITION 14 MORPHISMEN 15 INDUZIERTES PRINZIPALBÜNDEL

120 INDUZIERTES PRINZIPALBÜNDEL PULLBACKBÜNDEL PROPOSITION 15.1 Sei ξ ein Prinzipalbündel und f : A B. Dann besitzt f ξ eine eindeutig bestimmte Struktur eines Prinzipalbündels, für die der kanonische Morphismus f ξ : f ξ ξ ein Prinzipalbündelmorphismus ist. PROPOSITION 15.2 Sei f : A B. Zu jedem Prinzipalbündelmorphismus η ξ existiert ein eindeutig bestimmter Prinzipalbündelisomorphismus η f ξ, welcher das folgende Diagramm kommutativ ergänzt: f ξ η ξ Basen: A A B.

121 Teil IV FASERBÜNDEL

122 GLIEDERUNG TEIL IV: FASERBÜNDEL 16 DEFINITION 17 MORPHISMEN 18 INDUZIERTES FASERBÜNDEL 19 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN

123 WAS IST EIN FASERBÜNDEL? Bündel nackt Vektorbündel G-Prinzipalbündel Faserbündel Faser topologischer Raum Vektorraum, d.h. ein GL(K k )-Raum Gruppe G, d.h. ein G-Raum G-Raum

124 DEFINITION GLIEDERUNG TEIL IV: FASERBÜNDEL 16 DEFINITION 17 MORPHISMEN 18 INDUZIERTES FASERBÜNDEL 19 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN

125 DEFINITION FASERBÜNDEL FAKT 16.1 Sei ξ = (X, p, B) ein G-Prinzipalbündel und F ein linker (sic!) G-Raum. Durch (x, f )g := (xg, g 1 f ) wird eine stetige rechte G-Wirkung auf X F definiert. Es existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung p F : (X F)/G B, die folgendes Diagramm kommutativ ergänzt: X F π (X F )/G p X X p B p F ) p F ((x, f )G := p(x) B = X/G

126 DEFINITION FASERBÜNDEL X F π (X F)/G X F := (X F)/G p X X p B p F B = X/G DEFINITION 16.2 Das Bündel ξ[f] := (X F, p F, B) mit X F := (X F)/G heißt Faserbündel mit Faser F und assoziiertem G-Prinzipalbündel ξ = (X, p, B). SCHREIBWEISEN 16.3 (X F)/G X F X G F

127 DEFINITION PRINZIPALBÜNDEL ALS FASERBÜNDEL SPEZIALFALL 16.4 Für triviale Wirkungen ist das Faserbündel trivial. ξ = (X, p, B) (nicht triviales) G-Prinzipalbündel G-Wirkung auf F trivial: gf := f ξ[f] = B F SPEZIALFALL 16.5 G-Prinzipalbündel ξ sind spezielle Faserbündel: F := G G-Wirkung = Linksmultiplikation: gf := g f ξ[g] = ξ

128 DEFINITION FASERBÜNDEL BEISPIELE 16.6 Z 2 -Prinzipalbündel ξ = (S 1, π, S 1 ): Z 2 -Wirkung auf S 1 = {z C: z = 1} gegeben durch z ±z Quotient: S 1 /Z 2 = S 1 [z] z 2 Faserbündel ξ[f] mit ξ als assoziiertem Prinzipalbündel: Zylinder F = R oder F = [ 1, +1] triviale Z2 -Wirkung: x x Torus F = S 1 triviale Z2 -Wirkung: z z Möbius-Band F = R oder F = [ 1, +1] Z2 -Wirkung: x ±x Kleinsche Flasche F = S 1 Z2 -Wirkung: z ±z

129 DEFINITION FASERN EINES FASERBÜNDELS FAKT 16.7 ξ[f] ist ein Bündel mit Faser F. ANSCHAULICH 16.8 Die Fasern des G-Prinzipalbündels ξ, also Kopien von G, werden durch Kopien von F ersetzt, und zwar kompatibel mit den G-Wirkungen auf G und F.

130 MORPHISMEN GLIEDERUNG TEIL IV: FASERBÜNDEL 16 DEFINITION 17 MORPHISMEN 18 INDUZIERTES FASERBÜNDEL 19 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN

131 MORPHISMEN QUOTIENT ÄQUIVARIANTER ABBILDUNGEN BEMERKUNG 17.1 Eine G-äquivariante Abbildung u : X Y induziert eine eindeutig bestimmte Abbildung u/g : X/G Y /G, welche folgendes Diagramm kommutativ ergänzt: X u Y (u/g)(xg) := u(x)g π X π Y X/G Y /G u/g u stetig u/g stetig

132 MORPHISMEN FASERBÜNDELMORPHISMEN FAKT 17.2 Sei F ein linker G-Raum. Eine G-äquivariante Abbildung u : X 1 X 2 induziert eine eindeutig bestimmte Abbildung u F = (u Id F )/G, welche folgendes Diagramm kommutativ ergänzt: X 1 F π 1 u Id F X 2 F π 2 (X 1 F)/G uf (X 2 F)/G ) u F ((x, f )G := (u(x), f )G Für einen Prinzipalbündelmorphismus (u, f ): ξ 1 ξ 2 zwischen zwei G-Prinzipalbündeln ξ 1 = (X 1, p 1, B 1 ) und ξ 2 = (X 2, p 2, B 2 ) ist (u F, f ): ξ 1 [F] ξ 2 [F] ein Bündelmorphismus.

133 MORPHISMEN FASERBÜNDELMORPHISMEN DEFINITION 17.3 Ein Faserbündelmorphismus (über B) zwischen zwei Faserbündeln ξ 1 [F] und ξ 2 [F ] ist ein Bündelmorphismus (über B) der Form (u F, f ): ξ 1 [F] ξ 2 [F], wobei (u, f ): ξ 1 ξ 2 ein Prinzipalbündelmorphismus ist. Ein Faserbündelisomorphismus ist ein Faserbündelmorphismus (u F, f ), dessen zugehöriger Prinzipalbündelmorphismus (u, f ) ein Isomorphismus ist. FAKT (Id ξ ) F = Id ξ[f ] 2 (u v) F = u F v F 3 ξ = η ξ[f] = η[f ]

134 MORPHISMEN LOKALE ISOMORPHIE UND TRIVIALITÄT DEFINITION 17.5 Zwei Faserbündel sind (lokal) isomorph, falls ihre assoziierten Prinzipalbündel (lokal) isomorph sind. Ein Faserbündel ist (lokal) trivial, falls sein assoziiertes Prinzipalbündel (lokal) trivial ist. FAKT 17.6 trivial als Faserbündel trivial als Bündel BEMERKUNG 17.7 gilt nicht

135 INDUZIERTES FASERBÜNDEL GLIEDERUNG TEIL IV: FASERBÜNDEL 16 DEFINITION 17 MORPHISMEN 18 INDUZIERTES FASERBÜNDEL 19 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN

136 INDUZIERTES FASERBÜNDEL INDUZIERTES FASERBÜNDEL FAKT 18.1 Sei f : A B. Es existiert ein eindeutig bestimmter A-Isomorphismus f (ξ[f]) (f ξ)[f], welcher folgendes Diagramm kommutativ ergänzt: f (ξ[f]) (f ξ)[f] f ξ[f] ξ[f] ξ[f] (f ξ ) F FOLGERUNG 18.2 (ξ[f]) A = (ξ A)[F]

137 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN GLIEDERUNG TEIL IV: FASERBÜNDEL 16 DEFINITION 17 MORPHISMEN 18 INDUZIERTES FASERBÜNDEL 19 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN

138 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN SCHNITTE VON FASERBÜNDELN PROPOSITION 19.1 Die Schnitte eines Faserbündels ξ[f] mit assoziiertem G-Prinzipalbündel ξ = (X, p, B) stehen in bijektiver Korrespondenz zu G-Morphismen X F: 1 Zu jedem G-Morphismus φ: X F definiert ( ) ( ) s p(x) = x, φ(x) G einen Schnitt s : B X F von ξ[f]. 2 Zu jedem Schnitt s : B X F von ξ[f] existiert ein eindeutig bestimmter G-Morphismus φ: X F, welcher obige Gleichung erfüllt.

139 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN GESTALT VON PRINZIPALBÜNDELMORPHISMEN BEMERKUNG 19.2 Für zwei G-Prinzipalbündel ξ 1 = (X 1, p 1, B 1 ) und ξ 2 = (X 2, p 2, B 2 ) betrachten wir die rechten G-Räume X 1 bzw. X 2 gleichzeitig auch als linke G-Räume bzgl. der Wirkung gx := xg 1. Dann sind die Totalräume von ξ 1 [X 2 ] und ξ 2 [X 1 ] isomorph, (X 1 ) X2 = (X 1 X 2 )/G = (X 2 X 1 )/G = (X 2 ) X1, und für f : B 1 B 2 ist folgendes Diagramm kommutativ: ξ 1 [X 2 ] (X 1 ) = X2 (X 2 ) X1 ξ 2 [X 2 ] (p 1 ) X2 (p 2 ) X1 f B 1 B 2

140 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN GESTALT VON PRINZIPALBÜNDELMORPHISMEN ξ 1 [X 2 ] (X 1 ) = X2 (X 2 ) X1 ξ 2 [X 2 ] (p 1 ) X2 (p 2 ) X1 f B 1 B 2 PROPOSITION 19.3 G-Prinzipalbündelmorphismen ξ 1 ξ 2 sind von der Gestalt (u, (p 2 ) X1 s), wobei u : X 1 X 2 ein G-Morphismus und s : B 1 (X 1 ) X2 der zugehörige Schnitt in ξ 1 [X 2 ] ist. BEMERKUNG 19.4 Damit reduzieren wir die Existenz von Prinzipalbündelmorphismen ξ 1 ξ 2 auf die von Schnitten in Faserbündeln mit assoziiertem Prinzipalbündel ξ 1.

141 SCHNITTE VON FASERBÜNDELN CHARAKTERISIERUNG TRIVIALER PRINZIPALBÜNDEL PROPOSITION 19.5 Folgende Aussagen für ein G-Prinzipalbündel ξ = (X, p, B) sind äquivalent: 1 ξ hat einen Schnitt 2 ξ ist isomorph zum Pullback f ({ } G) des Produktbündels { } G über einem Punkt { } bezüglich der konstanten Abbildung f : X { }. 3 ξ ist trivial.

142 Teil V EIN AUSFLUG IN DIE KATEGORIENTHEORIE

143 GLIEDERUNG TEIL V: KATEGORIENTHEORIE 20 MOTIVATION 21 DEFINITION 22 KONSTRUKTIONEN 23 FUNKTOREN

144 MOTIVATION GLIEDERUNG TEIL V: KATEGORIENTHEORIE 20 MOTIVATION 21 DEFINITION 22 KONSTRUKTIONEN 23 FUNKTOREN

145 MOTIVATION KLASSISCHE THEORIEN Gruppentheorie Gruppen, Homomorphismen, Isomorphismen, Untergruppe, Faktorgruppe, direktes Produkt,... lineare Algebra Vektorräume, lineare Abbildungen, Isomorphismen, Unterraum, Faktorraum, kartesisches Produkt,... Topologie topologische Räume, stetige Abbildungen, Homöomorphismen, Teilraume, Quotientenraum, Produktraum,... topologische Gruppen G-Räume

146 MOTIVATION BÜNDEL-THEORIEN Bündel Bündelmorphismen (über B) Unterbündel Faserprodukt Einschränkung Pullback & kanonischer Morphismus (lokale) Isomorphie, (lokale) Trivialität Schnitte... das selbe für Vektorbündel Prinzipalbündel Faserbündel

147 MOTIVATION KATEGORIENTHEORIE Offensichtlich ist das immer wieder das selbe: Objekte Morphismen Unterobjekte Quotientenobjekte Produktobjekte aber doch immer wieder anders! Kategorientheorie versucht, dies zu formalisieren ist lediglich eine elegante generische Formulierung verschafft Überblick Grundidee: statt mit Elementen alles mit Pfeilen und kommutativen Diagrammen formulieren

148 DEFINITION GLIEDERUNG TEIL V: KATEGORIENTHEORIE 20 MOTIVATION 21 DEFINITION 22 KONSTRUKTIONEN 23 FUNKTOREN

149 DEFINITION KATEGORIEN DEFINITION 21.1 (INFORMAL) Eine Kategorie C besteht aus einer Familie Obj(C) von Objekten einer Familie Mor(C) von Morphismen Zuordnungen dom, codom: Mor(C) Obj(C) (Start und Ziel) einer Zuordnung Id: Obj(C) Mor(C): a Id a mit dom Id a = a = codom Id a einer Verknüpfung f g Mor(C) von Morphismen f, g Mor(C) mit dom f = codom g mit folgenden Eigenschaften: dom(f g) = dom g f Id dom f = f = Id codom f f codom(f g) = codom f (f g) h = f (g h)

150 DEFINITION KATEGORIEN BEMERKUNG 21.2 ( ) Wir ignorieren mengentheoretische Probleme, die beim Bilden von Mengen von Mengen entstehen, da sich diese lösen lassen. SCHREIBWEISE 21.3 für f Mor(C) mit dom f = a und codom f = b: f : a b a f b f (g h) f a b a d (f g) h g f h g f Id b g f b c b c g g h

151 DEFINITION KLASSISCHE KATEGORIEN Kategorie Objekte Morphismen Set Mengen Abbildungen Vect Vektorräume lineare Abbildungen Grp Gruppen Homomorphismen Top topologische Räume stetige Abbildungen Top(G) G-Räume G-Morphismen

152 DEFINITION BÜNDEL-KATEGORIEN Kategorie Objekte Morphismen Bun Bündel Bündelmorphismen Bun B Bündel über B Bündelmorphismen über B VB Vektorbündel Vektorbündelmorphismen VB k k-vektorbündel Vektorbündelmorphismen Bun(G) G-Prinzipalbündel Prinzipalbündelmorphismen FB Faserbündel Faserbündelmorphismen VB B := VB Bun B VB k B := VBk VB B Bun B (G) := Bun(G) Bun B FB B := FB Bun B...

153 KONSTRUKTIONEN GLIEDERUNG TEIL V: KATEGORIENTHEORIE 20 MOTIVATION 21 DEFINITION 22 KONSTRUKTIONEN 23 FUNKTOREN

154 KONSTRUKTIONEN ISOMORPHISMEN DEFINITION 22.1 Ein Morphismus f : a b ist ein Isomorphismus, falls ein Morphismus f 1 : b a existiert mit f f 1 = Id b f 1 f = Id a

155 KONSTRUKTIONEN PRODUKTE DEFINITION 22.2 Zwei Objekte a 1 und a 2 einer Kategorie besitzen ein Objekt p als Produkt mit den Projektionen π 1 : p a 1 und π 2 : p a 2, falls zu jedem Objekt b mit Morphismen f 1 : b a 1, f 2 : b a 2 ein eindeutig bestimmter Morphismus f : b p existiert, welcher folgendes Diagramm kommutativ ergänzt: b f 1 f 2 f a 1 p a π 2 2 π 1 Man sagt eine Kategorie besitzt Produkte, wenn beliebige zwei Objekte ein Produkt besitzen. FAKT 22.3 Das Produkt zweier Objekte ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

156 KONSTRUKTIONEN PRODUKTE SCHREIBWEISEN 22.4 p = a b f = f 1 f 2 BEISPIELE 22.5 Kategorie Set Vect Grp Top Bun Bun B Produkte Produktmenge kartesisches Produkt direktes Produkt Produktraum Produkbündel Faserprodukt

157 KONSTRUKTIONEN KOPRODUKTE DEFINITION 22.6 Zwei Objekte a 1 und a 2 einer Kategorie besitzen ein Objekt c als Koprodukt mit den Injektionen ι 1 : c a 1 und ι 2 : c a 2, falls zu jedem Objekt b mit Morphismen f 1 : a 1 b, f 2 : a 2 b ein eindeutig bestimmter Morphismus f : c b existiert, welcher folgendes Diagramm kommutativ ergänzt: b f 1 f 2 f c a 1 ι 1 Man sagt eine Kategorie besitzt Koprodukte, wenn beliebige zwei Objekte ein Koprodukt besitzen. FAKT 22.7 Das Koprodukt zweier Objekte ist bis auf Isomorphie eindeutig. ι 2 a 2

158 KONSTRUKTIONEN KOPRODUKTE SCHREIBWEISEN 22.8 p = a b f = f 1 f2 BEISPIELE 22.9 Kategorie Set Vect Grp Top Bun Bun B Produkte disjunkte Vereinigung kartesisches Produkt freies Produkt disjunkte Vereinigung disjunkte Vereinigung faserweise disjunkte Vereinigung

159 KONSTRUKTIONEN TOPOLOGIE AUF DER DISJUNKTEN VEREINIGUNG DEFINITION Die disjunkte Vereinigung zweier Mengen X 1 und X 2 ist definiert als X 1 X2 := ( ) ( ) X 1 {1} X 2 {2} FAKT Die disjunkte Vereinigung zweier topologischer Räume trägt eine natürliche Topologie, definiert durch U offen in X 1 X2 : U X 1 offen in X 1 U X 2 offen in X 2 Bezüglich dieser sind die Injektionen ι 1 : X 1 X 1 X2 und ι 2 : X 2 X 1 X2 stetig.

160 FUNKTOREN GLIEDERUNG TEIL V: KATEGORIENTHEORIE 20 MOTIVATION 21 DEFINITION 22 KONSTRUKTIONEN 23 FUNKTOREN

161 FUNKTOREN KOVARIANTE FUNKTOREN DEFINITION 23.1 Ein kovarianter Funktor F : C 1 C 2 besteht aus einer Objektfunktion F : Obj(C 1 ) Obj(C 2 ) und einer Morhpismenfunktion F : Mor(C 1 ) Mor(C 2 ) mit dom F(f ) = F (dom f ) codom F(f ) = F(codom f ) a f b F F F(a) F (f ) F(b) mit den Eigenschaften F(Id a ) = Id F (a) F(f g) = F(f ) F(g)

162 FUNKTOREN BEMERKUNG 23.2 Funktoren sind Morphismen zwischen Kategorien. Kategorien bilden wieder eine (Meta-)Kategorie! DEFINITION 23.3 KONTRAVARIANTE FUNKTOREN Analog definiert man einen kontravarianten Funktor mit F(f g) = F(g) F(f ) a f b F F (a) F (f ) F F(b) ANSCHAULICH 23.4 Ein kovarianter Funktor erhält die Richtung der Pfeile, ein kontravarianter kehrt sie um.

163 FUNKTOREN FUNKTOREN BEISPIELE 23.5 Dualfunktor : Vect Vect (kontravariant) V F V f f W F W Potenzmengenfunktor P : Set Set kovariant: (Pf )(X) := f (X) kontravariant: (Pf )(X) := f 1 (X) ko: X f Y kontra: X f Y P P(X) P Pf P(Y ) P(X) Pf P(Y ) P P

164 FUNKTOREN VERGISSFUNKTOREN BEISPIEL 23.6 Der Vergissfunktor vergisst zusätzliche Struktur: klassische Vergissfunktoren Vect Set Vect Grp Grp Set Top Set Top(G) Top Bündel-Vergissfunktoren Bun Top Bun B Bun VB Bun Bun(G) Bun Bun(G) Top(G) FB Bun

165 FUNKTOREN BÜNDEL-FUNKTOREN BEISPIELE 23.7 Faserprodukt : Bun B Bun B Bun B VB B VB B VB B Bun B (G) Bun B (G) Bun B (G G) FB B FB B FB B Einschränkung B auf A B: Pullback f via f : A B: Bun B Bun A VB B VB A Bun B (G) Bun A (G) FB B FB A Bun B Bun A VB B VB A Bun B (G) Bun A (G) FB B FB A

166 Teil VI LOKALE BESCHREIBUNG VON FASERBÜNDELN

167 GLIEDERUNG TEIL VI: LOKALE BESCHREIBUNG VON FASERBÜNDELN 24 KARTEN, ÜBERGANGSFUNKTIONEN & ATLANTEN 25 ZUSAMMENKLEBEN VON BÜNDELN 26 VEKTORRAUMOPERATIONEN FÜR VEKTORBÜNDEL

168 KARTEN, ÜBERGANGSFUNKTIONEN & ATLANTEN GLIEDERUNG TEIL VI: LOKALE BESCHREIBUNG VON FASERBÜNDELN 24 KARTEN, ÜBERGANGSFUNKTIONEN & ATLANTEN 25 ZUSAMMENKLEBEN VON BÜNDELN 26 VEKTORRAUMOPERATIONEN FÜR VEKTORBÜNDEL