FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

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1 FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Lehrstuhl für Rechnertechnik und Rechnerorganisation Prof. Dr. Arndt Bode Einführung in die Rechnerarchitektur Wintersemester 2016/2017 Einführung Grundlagen der Boolschen Algebra Darstellung ganzer Zahlen Inhalte: Boolsche Algebra, Operatoren, Zahlensysteme, Datenformate Boolsche Algebra oder: Was alles mit nur zwei Werten geht Fast alle Komponenten eines Computers arbeiten heute digital und im Binärsystem, das heißt sie können nur zwischen 0 und 1 unterscheiden. Diese Einschränkung erlaubt eine sehr einfache technische Umsetzung verschiedenster Rechenvorschriften und Zahlenwerte. Im folgenden soll etwas näher untersucht werden, warum das so ist, und welche Regeln für das Rechnen mit 0 und 1 gelten. Was heißt eigentlich analog, diskret, digital und binär (Nachschlagen im Lexikon)? Technische Darstellung von diskreten Werten Üblich sind die Identifikation der Werte 0 und 1 mit Werten physikalischer Größen wie Spannung oder Strom. Eine bis heute gängige Norm ist z. B.: Wert 0 ˆ= 0 V ˆ= Low-Pegel (Eingang: 0-0,8V, Ausgang: 0-0,5V) Wert 1 ˆ= 5 V ˆ= High-Pegel (Eingang: 2,2V-5V, Ausgang: 2,7V-5V) Da diese Werte natürlich nie genau erreicht werden können, gibt es Bereiche, die auf 0 bzw. 1 abgebildet werden (Werte für die sog. TTL-Pegel in Klammern). Dabei haben Ausgänge ein engeres erlaubtes Fenster als Eingänge, damit eine einfache Verbindung von Ausgängen mit Eingängen möglich wird. 1

2 Zunehmend werden heutzutage allerdings als High-Pegel auch Werte von 3,3V, 2,5V oder niedriger verwendet, um die in elektrischen Schaltungen auftretenden Verluste niedrig zu halten. Welche anderen physikalischen Größen kennen Sie oder können Sie sich zur Repräsentation der Werte 0 und 1 vorstellen? Schaltfunktionen (Beispiele) Um nun mit 0 und 1 wirklich rechnen zu können, braucht man Funktionen, die einen oder mehrere Eingabewerte verarbeiten und einen oder mehrere Ausgabewerte daraus erzeugen. Von diesen Funktionen gibt es natürlich viele. Es existieren allerdings einige wenige Funktionen, mit denen man alle anderen nachbilden kann. Identität: Ein Eingang, ein Ausgang. Diese Funktion macht gar nichts, sie gibt den Eingangswert einfach an den Ausgang weiter. Technisch gesehen ist das am einfachsten mit einem Stück Draht realisierbar, es gibt aber manchmal doch elektrische Gründe, warum man diese Funktion als echten Baustein benötigt. Schreibweise: a = e Negation/Inverter/NICHT/NOT/NEG: Ein Eingang, ein Ausgang. Diese Funktion vertauscht den Eingangswert, eine 0 wird am Ausgang eine 1, eine 1 wird eine 0. Schreibweisen: a = e oder a = /e oder a = NOT e oder a = NEG e oder a = e UND-Funktion/AND: Zwei Eingänge, ein Ausgang. Nur wenn an beiden Eingängen eine 1 anliegt, wird der Ausgang 1, ansonsten wird er 0. Schreibweisen: a = e 1 e 2 oder a = e 1 AND e 2 oder a = e 1 e 2 oder a = e 1 &e 2 oder a = e 1 e 2 ODER-Funktion/OR: Zwei Eingänge, ein Ausgang. Wenn an einem oder an beiden Eingängen eine 1 anliegt, wird der Ausgang 1, ansonsten (wenn beide Eingänge 0 sind) wird er 0. Schreibweisen: a = e 1 +e 2 oder a = e 1 OR e 2 oder a = e 1 e 2 Vorsicht: Das + wird hier benutzt, weil es gewisse Ähnlichkeiten mit der Addition gibt. Ob + jetzt OR oder Addition bedeutet, ist meistens aus dem Zusammenhang zu erkennen. Eine Erweiterung von UND/ODER auf mehr als zwei Eingänge ist problemlos möglich: UND: Alle Eingänge müssen 1 sein, um eine 1 am Ausgang zu erhalten. ODER: Einer oder mehrere der Eingänge müssen 1 sein, um eine 1 am Ausgang zu erhalten. Zur Darstellung in Schaltplänen besitzen die obigen Funktionen auch grafischen Symbole (nach 2

3 DIN): neu alt neu alt e 1 a e a e a e a 1 Identität Negation e1 e2 neu & a e1 e2 alt a e1 e2 neu 1 a e1 e2 alt UND ODER Schaltfunktionen (formal) Eine Schaltfunktion ist die mathematische Modellierung von Funktionen, die als Definitionsbereich einen Vektor von 0- bzw. 1-Werten erhalten und daraus einen skalaren Wert oder einen Vektor der Menge {0, 1} ableiten. Wir können uns solche Schaltfunktionen als Schaltsymbole beispielsweise wie folgt veranschaulichen: n Eingänge n Eingänge m Ausgänge 1-dimensionale (1-stellige) Schaltfunktion m-dimensionale (m-stellige) Schaltfunktion Darstellung von Schaltfunktionen Eine Schaltfunktion lässt sich auf unterschiedliche Weise vollständig beschreiben: Als Wahrheitstabelle: e 0...e n 1 a 0...a m 1.. (Definitionsbereich (Wertebereich bzw. Eingänge) bzw. Ausgänge).. In einer vollständigen Beschreibung muß der gesamte Definitionsbereich angegeben sein. Als algebraischer Ausdruck: a 0 = e 0 e 1 e 2 + e 0 e 1 e

4 Es existieren noch weitere alternative Darstellungen wie z. B. das Karnaugh-Veitch- Diagramm, auf die jedoch im weiteren nicht eingegangen werden soll. Wie sehen NOT, AND und OR in Wahrheitstabellendarstellung aus? Algebraische Darstellung von Schaltfunktionen Durch Verwendung der booleschen Operatoren NEG, UND und ODER lassen sich alle beliebigen Schaltfunktionen auch algebraisch darstellen. Folgende Tabelle verdeutlicht die Zuordnung von algebraischen Objekten zu Schaltungskomponenten: Boolesche Algebra Schaltung Variablen, Ausdrücke Signale Verknüpfungen (NEG, UND,...) Gatter Für die Kombination von verschiedenen UND/ODER/NICHT-Gattern gibt es eine Reihe von Regeln, einige besonders wichtige sind: Involutionsgesetz: (f) = f Idempotenzgesetz: f f = f und f +f = f De Morgansche Gesetze: f g = f +g und f +g = f g Im Bereich Schaltungsentwurf werden noch mehr dieser Regeln erläutert. Zahlsysteme Wir beginnen mit einem historischen Rückblick und vergleichen am Beispiel der Jahreszahl 1999 das römische und das arabische Zahlsystem: Römisches Zahlsystem: MCMXCIX M CM XC IX ( ) + (100 10) + (10 1) Symbol Wert M 1000 D 500 C 100 L 50 X 10 I 1 Arabisches Zahlsystem:

5 Welches Merkmal macht den entscheidenden Unterschied des arabischen zum römischen System der Zahldarstellung aus? Aus dem täglichen Leben vertraut ist das Dezimalsystem sowie Algorithmen für die Grundrechenarten, nämlich die Verfahren zur Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auf dem Papier. Heute verwendete Zahlsysteme basieren auf der Radixschreibweise zu einer Basis B. Eine Zahl wird dargestellt als Ihr Wert berechnet sich als a n a n 1...a 3 a 2 a 1 a 0 (1) a = n a i B i (2) i=0 Für das Dezimalsystem gilt B = 10. Weitere gebräuchliche Systeme sind: B Bezeichnung 2 Binärsystem 8 Oktalsystem 16 Hexadezimalsystem ( Hex ) Korrekterweise sollte das System mit Basis 16 eigentlich Sedezimalsystem heißen, der Ausdruck wird aber seltener benutzt. Warum sind gerade diese Systeme in der Informatik gebräuchlich? Was ist zum Fall B = 1 zu sagen? Für die Symbole a i werden die Ziffern 0...B 1 verwendet, im Hexadezimalsystem werden die Symbolwerte durch die Buchstaben A... F dargestellt. Die Zahlbasis wird als tiefgestellter Index an die Zahl angehängt (falls es nicht offensichtlich ist). Beispiele: binär oktal dezimal hexadezimal C Hinweis: In C wird oktal durch eine vorangestellte 0 (Null) markiert (z.b. 074), hexadezimal hat ein 0x -Präfix (z.b. 0x3c). Für Assembler gibt es verschiedene Notationen, z.b. bei Intel-Assembler ein nachgestelltes h (3ch), bei Motorola ein vorangestelltes $ ($3c). Versuchen Sie obige Beispiele nachzuvollziehen und vervollständigen Sie dann die nachfolgende Tabelle: 5

6 binär oktal dezimal hexadezimal AB 16 Darstellung von Zahlen im Rechner Im Rechner werden Zahlen als das Bit-Muster dargestellt, das ihrer Binärdarstellung entspricht. Beispiel: Dezimal Binärdarstellung Darstellung im Prozessor Welcher Zahlbereich kann dargestellt werden, wenn das Zahlformat wie im obigen Beispiel 8 Bit breit ist? Führen Sie folgende Operationen nach den bekannten Regeln für das Rechnen auf dem Papier aus, zunächst in Dezimaldarstellung, dann in Binärdarstellung. Die aus der Dezimalrechnung bekannten Regeln sind dabei direkt auf das binäre Zahlsystem zu übertragen Welchen logischen Verknüpfungen entsprechen die Elementaroperationen auf den einzelnen Stellen bei der Addition (Summe und Übertrag)? Welcher Funktion entspricht das Rechnen mit einer beschränkten Stellenzahl? Bit und Byte Für bestimmte Zusammenfassungen von Bits gibt es gebräuchliche Bezeichnungen: Anzahl der Bits Bezeichnung Wertebereich 4 Bit 1 Nibble bzw Bit 1 Byte (1 Octett) bzw Bit 1 Word bzw Bit 1 Long Word (Double Word) bzw Bit 1 Quad Word Sei dem Leser überlassen :-) 6

7 Negative Zahlen Bislang haben wir nur positive Zahlen betrachtet. Bei arithmetischen Operationen unterscheidet man zwei Datentypen für ganze Zahlen: vorzeichenlos (unsigned) und vorzeichenbehaftet (signed). Sie unterscheiden sich in der Zahlcodierung sowie im darstellbaren Zahlbereich. Während positive Zahlen direkt durch das ihrer Binärdarstellung entsprechende Bitmuster repräsentiert werden, gibt es für negative Zahlen mehrere Möglichkeiten der Codierung. Die geläufigsten sind nachfolgend beschrieben. Einer-Komplement Beim Einer-Komplement erhält man die Darstellung einer negativen Zahl aus der Darstellung der entsprechenden positiven Zahl, indem man diese bit-weise invertiert. Der darstellbare Zahlbereich ist bei Verwendung eines 8 Bit breiten Datenformats [ 127; +127]. Beispiel: Dezimal Einer-Komplement-Darstellung im Prozessor Wie erkennt man am einfachsten, ob eine Zahl positiv oder negativ ist? Haben alle Zahlen eine eindeutige Darstellung? Zweier-Komplement Das Zweier-Komplement erhält man durch Addition von Eins zum Einer-Komplement. Im obigen Beispiel erhält man also Dezimal Zweier-Komplement-Darstellung im Prozessor Berechnen Sie mit 9 Bit Stellenanzahl (256-38) und vergleichen Sie mit obigem Ergebnis. Welche Beziehung läßt sich daraus erkennen? Vorzeichen, Übertrag und Überlauf Das höchstwertige Bit zeigt in beiden Komplement-Darstellungen das Vorzeichen der Zahl an. Ist es gesetzt, also a n 1 = 1, so ist die Zahl negativ, andernfalls ist sie positiv. Entsteht bei einer arithmetischen Operation ein Übertrag aus der höchstwertigen Stelle a n 1 in die (im Datenformat nicht mehr vorhandenen) Stelle a n, so wird das Carry Flag gesetzt. 7

8 Addition bzw. Subtraktion kann man sich in der Zweierkomplementdarstellung am Zahlenrad veranschaulichen das in Abbildung 1 für ein 4-Bit Datenformat dargestellt ist. Der Zeiger markiert den aktuellen Wert der Zahl. Addition einer (positiven) Zahl c bedeutet den Zeiger um c Positionen nach rechts (gegen den Uhrzeigersinn) zu drehen. Bei der Subtraktion wird in die andere Richtung gedreht. Ein Überlauf liegt vor, wenn dabei die eingezeichnete Barriere überschritten wird (das Überschreiten wird manchmal auch Wrap-Around genannt) Abbildung 1: Illustration der Addition im Zweierkomplement am Zahlrad Zusammenfassung: Übertrag (engl. carry) kann bei der Addition/Subtraktion von einzelnen Bitstellen entstehen und wirkt auf die nächsthöhere Bitstelle. Das Entstehen von Carry-Bits ist normal und daher zunächst harmlos, eine besondere Behandlung in der höchsten Bitstelle ist nur bei vorzeichenlosen Zahlen notwendig. Überlauf (engl. overflow) entsteht bei der Überschreitung des Wertebereichs des Ergebnisses. Da mit dem Ergebnis normalerweise so nicht mehr weitergerechnet werden kann, muss dieser Zustand erkannt werden und passend darauf reagiert werden. Ein Überlauf ist i.a. nicht normal. Unter welchen Voraussetzungen kann es bei Addition und Subtraktion zum Überlauf kommen? Führen Sie folgende Berechnungen unter der Annahme eines 4-Bit Datenformats (vorzeichenbehaftet) durch und geben Sie jeweils an, ob es einen Übertrag aus dem höchstwertigen Bit ins Carry Flag sowie einen Überlauf gegeben hat ( 8) 3 7 ( 8)+7 ( 3)+( 3) ( 2) ( 8) Beispiel: Dezimal Zweier-Komplement-Darstellung Erläuterung ( 8) (Carrybits der einzelnen Stellen) +6 (1)0110 (oberstes Carry-Flag in Klammern dargestellt) Carry-Flag Überlauf 1 d.h. ja 1 d.h. ja Wie kann ein Überlauf anhand der Carrybits festgestellt werden? Gibt es noch eine andere Möglichkeit? 8