Spektralanalyse. Fortgeschrittenen Praktikum I Teil A. Nils Thielke und Robert Brauer. 26. November 2012

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1 Fortgeschrittenen Praktikum I Teil A Spektralanalyse Nils Thielke und Robert Brauer 26. November 2012 Wir erklären, dass wir dieses Protokoll eigenhändig anhand des angehängten Messprotokolls und der angegebenen Literatur erstellt haben. Nils Thielke Robert Brauer

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3 Inhaltsverzeichnis III Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Theorie Fourieranalyse Abtasttheorem Fensterfunktionen Analog-Digital-Wandler (AD-Wandler) Histogramm Zufallszahlen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) Korrelationsfunktion Aufbau 6 4 Durchführung Datenerzeugung: Power-Spektrum Pseudozufallszahlengenerator Gauss sches Rauschen Korrelationsfunktion

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5 1 1 Einleitung Im dem vorliegenden Protokoll zur Spektralanalyse werden verschiedene Untersuchungsmethoden eines Messsignals dargestellt. Dazu wird im ersten Abschnitt auf die Theorie der Untersuchungsmethoden eingegangen. Der Teil Aufbau enthält eine Beschreibung der Software, welche für die Erzeugung und Analyse des Messsignals benötigt wird. In der Durchführung werden die verschiedenen Analysemethoden angewendet und die Ergebnisse ausgewertet. 2 Theorie 2.1 Fourieranalyse Mittels der Fourieranalyse kann das Spektrum eines disktreten Signals berechnet werden. Das Spektrum zeigt die Amplitude des Signals in Abhängigkeit der Frequenz an. Das diskrete Signal ist dabei eine Zeitreihe. Das heißt zu festen Zeitpunkten kt a mit k = 0...N 1 existiert je ein Messwert x(kt a ). Wobei T a den Abstand zwischen zwei Messwerten darstellt (Abtastperiode). Das Spektrum eines diskreten Signals, welches mit der Abtastfrequenz f a aufgenommen wird, lässt sich folgendermaßen berechnet: S(nf A /N) = 1 N N 1 k=0 nfa i2π x(kt a )e N kta n = 0, 1,..., N 1. (2.1-G1) Das Spektrum der Leistung ergibt sich, nach dem Parseval-Theorem, aus dem Betragsquadrat des Amplitudenspektrums S(nf A /N) Abtasttheorem Das Abtasttheorem gibt vor, wie groß die Frequenz eines Signals sein darf, damit es eindeutig abgetastet werden kann. Dies ist die sogenannte Nyquistfrequenz f Nyquist = 1 2 f Abtast. Bei Überschreitung dieser Frequenz kann aus den Messpunkten nicht mehr eindeutig das Ursprüngliche Signal rekonstruiert werden. Der Fehler, der dann auftritt, wird Aliasing genannt. 2.3 Fensterfunktionen Fensterfunktionen sind Funktionen mit denen ein Signal gewichtet wird um bei der Spektralanalyse Fehler zu vermeiden. Als Beispiel dient die Sinusfunktion (Abb. 2.3-A1). Wenn bei der Messung nicht nur ganze Perioden des Sinus gemessen werden, sondern wie im

6 2 2 Theorie Beispiel etwas mehr, dann wird dies bei der Fouriertransformation zu einem falschen Spektrum führen. Es entstehen dann Oberwellen im Spektrum, die auf Frequenzen hindeuten, die im Signal nicht vorhanden sind. Um dies zu vermeiden gibt es Fensterfunktionen. Eine Rechteckfunktion die ganzzahlige Perioden mit 1 und den Überschuß mit 0 gewichtet, hilft dabei Oberwellen im Spektrum zu minimieren. Außerdem gibt es noch Fensterfunktionen, wie die hanning-, hamming- oder flattop-funktion, welche unterschiedliche Wirkung auf das Spektrum haben. Abbildung 2.3-A1 Es ist eine Sinusfunktion über etwas mehr als eine Periode dargestellt. 2.4 Analog-Digital-Wandler (AD-Wandler) Ein AD-Wandler wandelt ein Analoges Signal in ein Digitales um. Die Genauigkeit variiert dabei je nach Anzahl der Bits. Das U LSB gibt dabei den kleinsten zu messenden Spannungsunterschied an. Dabei hängt der Wert vom maximalwert der Spannung ab. Bei einem 8-Bit-Wandler zum Beispiel ist das U LSB = 1 U 2 8 max = 1 U 256 max. Durch die endliche Auflösung kann es daher zum sogenannten Quantisierungsrauschen kommen. Das heißt das zwei unterschiedliche Spannungswerte vom Wandler als eine Spannung erkannt werden. In der Signalverarbeitung sorgt dies dafür, dass bei kleinen Signalen, Kurven nicht mehr als Kurven dargestellt werden. Bei der Spektralanalyse können dann Fehler auftreten.

7 2.5 Histogramm Histogramm Ein Histogramm wird erzeugt, indem die Häufigkeit in Abhängigkeit einer Messgröße dargestellt wird. Dabei werden Bereiche der Messgröße zu sogenannten bins zusammengefasst. Wichtig ist, dass die Zuordnung eindeutig ist. Jeder Messwert darf nur zu einem bin gehören. Als Beispiel ist die Summe von zwei 6-Seitigen Würfeln in Abbildung 2.5-A2 dargestellt. Um aus einem Histogramm eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) zu erzeugen, muss das Histogramm vorher auf eins normiert werden. Dazu wird jeder Häufigkeitswert durch die Gesamthäufigkeit des Histogramms geteilt. Verbindet man dann von jedem bin einen festen Punkt, so wird die PDF erzeugt. Abbildung 2.5-A2 Zu sehen ist ein normiertes Histogramm der Addition zweier 6- seitiger Würfel. 2.6 Zufallszahlen Um Zufallszahlen zu erzeugen benötigt man eine Abbildung die in der Lage ist auf [0 : 1] abzubilden. Dazu benötigt diese Abbildung jedoch mehrere Eigenschaften. Das sind die Unvorhersehbarkeit, die Gleichverteilung und die Unabhängigkeit. Die Unvorhersehbarkeit bedeutet, dass der nächste Wert nicht anhand von Parametern bestimmt werden kann. Mit Gleichverteilung ist gemeint, dass jeder Wert gleich häufig vorkommt. Dies muss jedoch nur für N gelten. Die Unabhängigkeit ist dann erfüllt, wenn der nächste Wert nicht von den vorherigen Abhängig ist. Mit Zufallszahlen lässt sich auch gleichverteiltes Rauschen erzeugen. Dazu werden die Spannungswerte durch die Zufallswerte erzeugt. Wenn statt

8 4 2 Theorie gleichverteiltem Rauschen eine beliebige Verteilung erzeugt werden soll, kann dies durch bestimmte Methoden geschehen. Nimm man z.b. zwei Zufallszahlen von 1-6 und addiert sie, so ist die 7 die häufigste Zahl, während die 12 oder die 2 äußerst selten vorkommen. Eine derartige Verteilung ist im Abschnitt 2.5 in Abbildung 2.5-A2 dargestellt. 2.7 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gibt, bei Integration über ein Interval, die Wahrscheinlichkeit einer Größe an, in diesem Interval zu liegen. Wichtig ist, dass durch Integration von bis eins rauskommt. Somit muss die PDF auf eins normiert sein. Die bekannteste Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Gauss sche Normalverteilung. Diese Verteilung bestimmt auch die Spannungsverteilung in Gauss schem Rauschen, welches in späteren Teilen betrachtet wird. Es gibt vier wichtige Parameter einer Normalverteilung (Die zentrierten Momente 1-4). Sie errechnen sich aus der Momenterzeugenden Funktion. Es ist der Mittelwert µ, die Varianz σ 2, die Schiefe (Skewness) ν und die Wölbung (Kurtosis) w. Berechnet werden sie im einzelnen wie folgt: µ = 1 N σ 2 = 1 N ν = 1 N N x i, (2.7-G2) i=1 N (x i µ) 2, (2.7-G3) i=1 N ( ) 3 xi µ, (2.7-G4) σ i=1 N ( ) 4 xi µ. (2.7-G5) w = 1 N i=1 σ Bei der typischen Normalverteilung ist µ = 0, σ = 1, ν = 0 und w = 3σ 4 = 3. Um die Auswirkung der verschiedenen Momente zu demonstrieren, wird in Abbildung 2.7-A3, für verschiedene Werte der Momente, die Normalverteilung dargestellt. 2.8 Korrelationsfunktion Mit der Korrelationsfunktion kann die Periodizität eines Signals untersucht werden. Dabei können entweder zwei unterschiedliche Signale (Kreuzkorrelation), oder ein Signal mit sich selbst (Autokorrelation) verglichen werden. Im Folgenden wird nur die Autokorrelation betrachtet. Sie berechnet sich nach: 1 C(τ) := lim T T T 0 x(t)x(t + τ)dt. (2.8-G6) Es wird also der Mittelwert über alle x(t)x(t + τ) berechnet. Dabei gibt τ den Zeitversatz des zweiten Wertes an. Bei τ = 0 wird daher das Betragsquadrat der Funktion gebildet.

9 2.8 Korrelationsfunktion 5 Abbildung 2.7-A3 Dargestellt ist eine Normalverteilung mit verschiedenen Werten der einzelnen Momente. Bei diesem τ hat die Autokorrelationsfunktion somit ein Maximum. In Abhängigkeit von τ kann eine Kurve für die Autokorrelationsfunktion berechnet werden. Enthält diese Kurve für τ 0 weitere Maximas, so deutet dies auf eine periodische Abfolge hin. Da mit der Autokorrelationsfunktion meist die Periodizität von diskreten Messwerten untersucht wird, kann Gleichung 2.8-G6 in eine Summendarstellung überführt werden. C(τ) := 1 N 1 x(kt a )x(kt a + τ)t a NT a k=0 (2.8-G7)

10 6 4 Durchführung 3 Aufbau Um die verschiedenen Methoden der Spektralanalyse durchzuführen, wird ein LabView- Programm benutzt. Dieses besitzt die Fähigkeit Sinussignale mit beliebiger Frequenz zu erzeugen. Es können bis zu zwei Sinussignale gleichzeitig überlagert werden. Zusätzlich zu den Sinussignalen kann noch Gauss sches Rauschen erzeugt werden. Bei den Sinussignalen kann die Amplitude (AC und DC), die Frequenz und die Phasenlage eingestellt werden. Beim Gauss schen Rauschen wird nur eine mittlere Amplitude gewählt. Bei den Sinussignalen ist, sofern nicht anders beschrieben, die Amplitude A = 0.5 V. Das LabView- Programm besitzt noch weitere Einstellungen. So kann die Abtastfrequenz und die Anzahl der Messpunkte gewählt werden. Zu Beginn des Versuches wird die Abtastfrequenz einmal eingestellt und bis zum Ende nicht verändert (f Abtast = 1411 Hz). Damit ergibt sich für die Nyquistfrequenz f n ein Wert von Hz. Wenn die Anzahl der Messpunkte (lots) nicht explizit vorgegeben ist, wird lots = 1024 verwendet. Im Teil für die Spektralanalyse kann eine Fensterfunktion und ihre Länge gewählt werden. Wenn nicht anders beschrieben ist keine Fensterfunktion gewählt und die Länge auf 1024 gesetzt. In der Art der Darstellung kann zwischen normaler und logarithmischer Y-Achsen Einteilung gewählt werden. Es existiert ebenfalls die Möglichkeit Mittelungen durchzuführen. Dabei wird so oft gemittelt wie die Fensterlänge in die Gesamtlänge der Zeitreihe passt. Neben der Anzeige des Spektrums kann in 2 weiteren Teilen auf das Aliasing und auf die Korrelationsfunktion eingegangen werden. Im Bereich Aliasing wird der Effekt der Unterabtastung genau dargestellt. Im Teil der Korrelationsfunktion kann dagegen auf die Periodizität eines Signals eingegangen werden. 4 Durchführung 4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum Im folgenden werden verschiedene Methoden der Spektrenuntersuchung sowie Auswertungsmethoden genauer behandelt. Insbesondere werden Vor- und Nachteile betrachtet und Effekte, die fehlerhafte Ergebnisse erzeugen nachgewiesen. Zuerst werden die Auswirkungen der Änderung der Fensterbreite bei der Auswertung eines Spektrums untersucht. Dazu wird eine Sinusfunktion mit einer Frequenz f s = 100Hz und einer Amplitude von A = 0.5V simuliert. Das Fenster für die Betrachtung ist das flattop- Fenster. Dieses gewichtet bei der Auswertung der Daten und der folgenden Bestimmung des Spektrums den Mittelteil der Messung höher als die Ränder. Ein weiterer Vorteil ist, dass unter Verwendung dieses Fensters die bestimmte Leistung der simulierten Leistung P = A 2 entspricht. In Abb. 4.1-A1 sind drei Spektren dargestellt die sich durch unterschiedliche Fensterbreiten des flattop-fensters unterscheiden. In Abb. 4.1-A1 zeigt sich sehr deutlich, dass zwar in allen die Leistung des Signals richtig wiedergegeben wird (P = W). Jedoch ist das Spektrum breiter je kleiner die Fensterbreite gewählt wird.

11 4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum Leistung / W Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A1 Darstellung der Spektren bei einer gewählten Fensterbreite (flattop) von 1024, 512 und Hz 200 Hz 400 Hz 0.1 Leistung / W Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A2 Darstellung der Spektren bei gewählten Frequenzen von 100 Hz, 200 Hz und 400 Hz. Als Fensterfunktion ist flattop eingestellt.

12 8 4 Durchführung In Abb. 4.1-A2 sind drei Spektren aufgetragen, die sich durch die unterschiedliche Frequenz des Sinussignals unterscheiden. Es ist ersichtlich, dass der zu erwartende Wert von P = W bei allen Frequenzen zu sehen ist. Somit ist die dargestellte Leistung unabhängig von der gewählten Frequenz. Im Folgenden wird untersucht, welche Auswirkungen ein DC-Anteil im Spektrum hat. Dazu wird das Spektrum eines Signals mit und ohne DC-Anteil verglichen. Der DC-Anteil beträgt 0.2 V. Zudem wird ebenfalls der Einfluss des gewählten Fenster betrachtet. Es zeigt sich in Abb. 4.1-A3 sehr deutlich, dass die Leistung der Sinuschwingung verfälscht wird, jedoch die Leistung des DC-Anteils richtig wiedergegeben wird (P DC = 0.04 W), sofern kein Fenster verwendet wird. In Abb. 4.1-A4 ist ein anderes Verhalten sichtbar. Hier wird bei der Auswertung das flattop-fenster verwendet. Die Leistung der Sinusschwingung wird hierbei richtig wiedergegeben. Die Leistung des DC-Anteils wird jedoch verfälscht V 0.2 V Leistung / W Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A3 Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung mit f = 100 Hz mit und ohne DC-Anteil (ohne Fenster)

13 4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum V 0.2 V Leistung / W Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A4 Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung mit f = 100 Hz mit und ohne DC-Anteil (mit Fenster) Der nächste Teil widmet sich den Effekten der Unter- und der Überabtastung. Zur Verdeutlichung der Überabtastung sind zwei Sinussignale mit unterschiedlicher Frequenz aber gleicher Amplitude überlagert. Im ersten Fall werden die Frequenzen f 1 = 100 Hz und f 2 = Hz überlagert (Schwarz). Im zweiten Fall sind es f 1 = 100 Hz und f 2 = 105 Hz, die überlagert werden (Rot). In Abb. 4.1-A5 zeigt sich deutlich, dass auf Grund der Überabtastung bei der ersten Überlagerung die Frequenzen nicht voneinander getrennt aufgelöst werden. Bei der zweiten Überlagerung zeigen sich deutlich zwei Peaks für die jeweiligen Signale. Bei einer Unterabtastung ist die Frequenz des Signals größer als die Nyquistfrequenz. Dies hat zur Folge, dass die Spektralanalyse eine kleinere Frequenz als die des Ursprungssignal liefert. In diesem Fall beträgt sie f = 411 Hz. In Abb. 4.1-A6 ist das ermittelte Spektrum einer 1000 Hz Sinusschwingung dargestellt. Es zeigt sich deutlich, dass der Peak sich bei einer Frequenz nahe 400 Hz befindet und nicht bei der simulierten Frequenz von 1000 Hz. Der Grund dafür ist, dass sich aus den ermittelten Messwerten theoretisch zwei Frequenzen bestimmen lassen. Die Ursache dafür ist in Abb. 4.1-A7 deutlich zu erkennen. In schwarz sind die gemessenen Werte der simulierten Frequenz dargestellt und in rot ist jeweils eine Sinusschwingung dazu geplottet. Es zeigt sich, dass in beiden Fällen die Kurve sehr gut mit den Messpunkten übereinstimmt.

14 10 4 Durchführung Hz 105 Hz Leistung / W Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A5 Darstellung der Spektren zweier überlagerter Sinusschwingungen mit jeweil zwei unterschiedlichen Frequenzen Hz Leistung / W Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A6 Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung mit einer Frequenz von 1000 Hz

15 4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum 11 Leistung / W Hz Sinus Messpunkte Zeit / s x 10 3 Leistung / W Hz Sinus Messpunkte Zeit / s x 10 3 Abbildung 4.1-A7 schwarz: Messpunkte; links: Sinuskurve mit 1000 Hz, rechts: Sinuskurve mit 411 Hz Im Folgenden wird der Effekt betrachtet, der durch ein Signal hervorgerufen wird, welches nicht periodisch im betrachteten Fenster ist. Die Phase der beiden simulierten Signale beträgt Null. In Abb. 4.1-A8 sind links zwei Spektren eines 100 Hz Sinussignals und rechts eines Hz Sinussignals dargestellt. In den oberen beiden Grafiken wird kein spezielles Fenster verwendet; bei den unteren beiden wird ein Hanning- Fenster benutzt. Als Fensterbreite ist 1024 gewählt. Bei der 100 Hz Schwingung, welche nicht periodisch im gewählten Bereich ist, wird durch das Anwenden eines Hanning-Fenster eine Verbesserung erreicht. Hingegen führt das Anwenden des Hanning-Fenster bei der Hz Schwingung, die im gewählten Bereich periodisch ist, zu einem rauschen im Spektrum. Im folgenden werden die Vorteile verschiedener Fensterfunktionen betrachtet. In Abb. 4.1-A9 ist das Spektrum eines Sinus einmal ohne Fenster und einmal mit Hanning- Fenster dargestellt. Es zeigt sich sehr deutlich, dass das Fenster zwar die Amplitude des Peaks absenkt, diese aber deutlicher herausarbeitet. Um zu untersuchen, welche Fensterfunktion sich am besten eignet um einen schwachen Peak, welcher in der Nähe des starken Peaks der Hauptfrequenz liegt, herauszuarbeiten. In Abb. 4.1-A10 ist deutlich erkennbar, dass bei einer Darstellung ohne Fenster nur ein Peak zu erkennen ist; bei der Verwendung des Hamming-Fensters aber zwei zum Vorschein treten. Die Amplitude einer Frequenz lässt sich am besten darstellen, wenn man wie in Abb. 4.1-A11 dargestellt ein Flat Top Fenster verwendet. Dieses gibt zwar einen breiten Frequenzpeak wieder als wenn man kein Fenster verwenden würde. Es liefert dafür jedoch die richtige Frequenz. Wird der Eingangsspannungsbereich des AD-Wandlers überschritten macht sich dieses durch das zusätzliche Erscheinen von Oberwellen die um ein ganzzahliges Vielfaches der Eigenfrequenz größer sind bemerkbar. Dieses zeigt sich in Abb. 4.1-A12 sehr deutlich.

16 12 4 Durchführung log{leistung / W} Hz log{leistung / W} Hz Frequenz / Hz Frequenz / Hz log{leistung / W} Hz log{leistung / W} Hz Frequenz / Hz Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A8 links: 100 Hz Sinus; rechts: Hz Sinus; oben: ohne Fenster; unten: mit Hanning-Fenster 0 han none log{leistung / W} Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A9 Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung ohne (rot) und mit Hanning-Fenster (schwarz)

17 4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum ham none log{leistung / W} Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A10 Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung ohne (rot) und mit Hamming-Fenster (schwarz) 0.15 flat top none Leistung / W Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A11 Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung ohne (rot) und mit Flat Top-Fenster (schwarz)

18 14 4 Durchführung V 0.5 V Amplitude / V Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A12 Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung mit einer Amplitude von 3 V In Abb. 4.1-A13 ist eine Sinusschwingung mit einer Amplitude von V dargestellt. Bei der roten Kurve wurde eine 16 bit Wandler und bei der schwarzen Kurve ein 8 bit Wandler verwendet. Der Wandler kann das Signal nur begrenz genau umwandeln. Dadurch kommt das Quantisierungsrauschen zu Stande. Dieses ist daher auch bei Wnadler mit einer höheren bit-rate geringer.

19 4.2 Pseudozufallszahlengenerator bit 16 bit Leistung / W Frequenz / Hz Abbildung 4.1-A13 Darstellung einer Sinusschwingung mit einer Amplitude von V, rot: 16 bit Wandler, schwarz: 8 bit Wandler 4.2 Pseudozufallszahlengenerator Um Zufallszahlen zu erzeugen wird häufig ein Pseudozufallszahlengenerator benutzt. In diesem Fall mittels linearer Kongruenz. Die Formel, die den Generator beschreibt, lautet: I j+1 = a I j (mod m), j ℵ. (4.2-G1) (mod m) steht für modulo m, und hat als Ergebnis den Rest von a I j. Beim ersten Ausführen m der Gleichung muss ein Startwert I 0 gewählt werden. Dies wird durch den sogenannten Seed bestimmt. Um zu zeigen welche Effekte a und m auf das Ergebnis haben, ist in Abbildung 4.2-A14 bis 4.2-A15 die Lösungsmenge zu verschiedenen Werten von a und m dargestellt. Um weitere Informationen zu erhalten ist in Abbildung 4.2-A16 und 4.2-A17 die korrelierte Erzeugung von Zufallszahlen dargestellt. Diese geschieht dach folgender Gleichung: I j+1 = a j I 0 (mod m), j ℵ. (4.2-G2) Beim betrachten der Abbildung 4.2-A14 fällt auf, dass bei a = 1 die Ergebnisse nicht über den Startwert hinauskommen. a bestimmt somit indirekt die Größe der Abstände zwischen 2 Werten. Wenn m genau eine Potenz von a ist, existiert nur eine kleine Lösungsmenge. Ist m jedoch nur schlecht durch 2 bzw durch Potenzen von 2 teilbar, so existiert eine wesentlich größere Lösungsmenge. Vor allem die korrelierten Lösungsmengen zeigen deutlich dass m eine Obergrenze darstellt.

20 16 4 Durchführung Abbildung 4.2-A14 Dargestellt ist die Lösungsmenge eines Pseudozufallsgenerator mit linearer Kongruenz. Dabei ist das Ergebnis I(j + 1) in Abhängigkeit des Vorherigen aufgetragen. Im linken Bild ist a = 1, m = 7 und der Seed = 1. Im rechten Bild ist a = 2, m = 7 und der Seed = 1. Abbildung 4.2-A15 Dargestellt ist die Lösungsmenge eines Pseudozufallsgenerator mit linearer Kongruenz. Dabei ist das Ergebnis I(j + 1) in Abhängigkeit des Vorherigen aufgetragen. Im linken Bild ist a = 2, m = 4725 und der Seed = 1. Im rechten Bild ist a = 2, m = 4096 und der Seed = 1. Abbildung 4.2-A16 Dargestellt ist die Lösungsmenge eines Pseudozufallsgenerator mit linearer Kongruenz. Dabei ist das Ergebnis R(i) in Abhängigkeit der Schrittanzahl i aufgetragen. Im linken Bild ist a = 1, m = 7 und der Seed = 1. Im rechten Bild ist a = 2, m = 7 und der Seed = 1.

21 4.3 Gauss sches Rauschen 17 Abbildung 4.2-A17 Dargestellt ist die Lösungsmenge eines Pseudozufallsgenerator mit linearer Kongruenz. Dabei ist das Ergebnis R(i) in Abhängigkeit der Schrittanzahl i aufgetragen. Im linken Bild ist a = 2, m = 4725 und der Seed = 1. Im rechten Bild ist a = 2, m = 4096 und der Seed = Gauss sches Rauschen Durch den Einsatz eines Analog-Digital-Wandlers entsteht je nach Bit-Anzahl das sogenannte Quantisierungsrauschen (siehe Abschnitt 2.4). Im folgenden soll auf die Wirkung dieses Quantisierungsrauschens eingegangen werden. Dazu wird ein gauss sches Rauschen mit 2 verschiedenen Amplituden erzeugt. Eines mit U R = 0.2 V (Abb. 4.3-A18) und eines mit U R = 0.01 V (Abb. 4.3-A19). Dieses Rauschen ist als Histogramm dargestellt, in dem jedem Spannungswert die Häufigkeit im Rauschen zugeordnet wird. Abbildung 4.3-A18 Dargestellt ist das Histogramm vom Gauss schen Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V. Die Anzahl der bins beträgt 30.

22 18 4 Durchführung In der ersten Abbildung ist gut zu sehen, dass zu fasst jedem Spannungswert eine Häufigkeit existiert. In der 2. Abbildung ist das nicht so. Durch das Quantisierungsrauschen werden mehrere Spannungswerte zu einem Zusammengefasst. Somit existiert nur von wenigen Spannungen eine Häufigkeit. Dies liegt an der zu großen Auflösung des Histogramms gegenüber dem AD-Wandler. Diese Auflösung wird über die bins eingestellt. Die bins geben dabei die Amplitudenbreite der Stufen an. Um diesen Fehler zu verhindern muss also folgendes gelten: Die Amplitudenbreite eines bins darf nicht kleiner sein als das U LSB des Analog-Digital-Wandlers. Um diesen Satz zu bestätigen, zeigt Abbildung 4.3-A20 Das Histogramm mit nur 8 bins. Es ist deutlich zu erkennen, dass kaum ein Spannungswert mehr eine Häufigkeit von Null aufweist. Als nächstes soll untersucht werden, welche Abbildung 4.3-A19 Dargestellt ist das Histogramm vom Gauss schen Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.01 V. Die Anzahl der bins beträgt 30. Auswirkung eine Verlängerung der Zeitreihe auf das Gauss sche Rauschen und somit auf die PDF hat. Dazu wird eine PDF vom Rauschen mit 1024 Messwerten (length of time series kurz lots) und mit lots = erzeugt (Abb. 4.3-A21 und 4.3-A22). Durch die Verlängerung der Zeitreihe hat sich der Mittelwert und die Wölbung ungefähr halbiert und die Schiefe um den Faktor 50 verkleinert. Im Idealfall sind Mittelwert und Schiefe Null und Die Wölbung 3σ Somit gleichen die Parameter nach der Verlängerung eher dem idealen gauss schen Rauschen.

23 4.3 Gauss sches Rauschen 19 Abbildung 4.3-A20 Dargestellt ist das Histogramm vom Gauss schen Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.01 V. Die Anzahl der bins beträgt 8. Wahrscheinlichkeitsdichte U R V Abbildung 4.3-A21 Es ist die PDF von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V dargestellt. Die Anzahl der Messpunkte lots = Die Parameter sind µ = V, σ = V, ν = und w =

24 20 4 Durchführung Abbildung 4.3-A22 Es ist die PDF von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V Dargestellt. Die Anzahl der Messpunkte lots = Die Parameter sind µ = V, σ = V, ν = und w = Nach der Amplitudenverteilung des Gauss schen Rauschen soll nun das Spektrum des Rauschen betrachtet werden. Dazu wird wie vorher auch die Fouriertransformation angewendet. In Abbildung 4.3-A23 ist das Spektrum des Rauschens zu sehen. Die reingesteckte Leistung P σ wird als Integration über das gesamte Spektrum berechnet. Bei diesem Spektrum beträgt die P σ = W. Nun ist die Frage wie ein kleines Signal trotz Rauschen erkannt werden kann. Dazu muss das Signal/Rausch-Verhältnis verbessert werden. Dies kann auf 2 verschiedenen Arten geschehen. Die erste Methode ist eine Erhöhung der Messpunkte. Dadurch wird die Leistung auf mehrere Punkte verteilt und die Rauschleistung sinkt. In der Realität wird dies jedoch nicht beobachtet. Das liegt daran, dass zur Erhöhung der Messpunkte entweder die Messzeit oder die Abtasfrequenz erhöht werden muss. Erhöht man die Messzeit, so erhöht sich auch die Zeit mit der die Rauschleistung gemessen wird. Erhöht man die Abtastfrequenz, erhöht man auch die Nyquist-Frequenz. Das führt dazu, dass mehr Frequenzen berücksichtigt werden müssen. Da sich das Rauschen auf alle Frequenzen verteilt, erhöht sich damit auch wieder die Rauschleistung. Da wir ein Programm benutzen was diese Effekte nicht korrekt abbilden kann, ist in Abbildung 4.3-A24 im Gegensatz zu Abbildung 4.3-A25 einer Verringerung der mittleren Rauschleistung zu erkennen. Die Anzahl der Messpunkte beträgt Um den Effekt darzustellen muss die Fenstergröße bei der Berechnung des Spektrum variiert werden.

25 4.3 Gauss sches Rauschen 21 Abbildung 4.3-A23 Dargestellt ist das Spektrum von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V. Abbildung 4.3-A24 Dargestellt ist das Spektrum von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V. Die Fenstergröße beträgt 1024 Messpunkte.

26 22 4 Durchführung Abbildung 4.3-A25 Dargestellt ist das Spektrum von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V. Die Fenstergröße beträgt Messpunkte. Die zweite Methode ist die Mittelung. Dazu wird die Anzahl der Messpunkte erhöht, jedoch die Fenstergröße gleich belassen. Über jedes Vielfache, welches die Fenstergröße in die Zeitreihe passt, wird eine Mittelung durchgeführt. Diese Methode mittelt daher über ganze Spektren. Über Nachbarpunkte zu mitteln wäre nicht sinnvoll, da dadurch auch über verschiedene Werte des Ursprungssignals gemittelt wird. Dies hat zur Folge, dass nicht nur das Rauschen verringert wird, sondern auch das Signal. Wenn über ganze Spektren gemittelt wird, tritt dies nicht auf, da immer der gleiche Punkt im Ursprungssignal verwendet wird. Die Wirkung des Mittelns wird in 5 Abbildungen dargestellt (Abb. 4.3-A26 bis 4.3-A30). Dabei ist ein kleines Sinussignal mit U = 0.01 V und f = 100 Hz dem Rauschen mit U R = 0.2 V überlagert. Um nicht den Effekt der ersten Methode darzustellen wird als Fenstergröße immer 1024 verwendet. Betrachtet man die Rauschleistung zu verschiedenen Mittelungen, so ist zu erkennen, dass die Rauschleistung durch die Mittelung nur teilweise verringert wird. Theoretisch müsste sich die Rauschleistung nach dem Gesetz der großen Zahlen verhalten. Es besagt, dass sich bei zufällig verteilten Zahlen, der Mittelwert dem theoretischen Mittelwert immer weiter annähert, je größer die Anzahl der Zahlen ist. In unseren Messwerten verringert sich die Rauschleistung nur teilweise, sodass sich keine eindeutige Gesetzmäßigkeit ablesen lässt. Dies erklärt sich vermutlich dadurch, dass die Anzahl der Mittelungen nicht deutlich größer als eins ist. Anzahl der Mittelungen P σ W

27 4.3 Gauss sches Rauschen 23 Abbildung 4.3-A26 Dargestellt ist das Spektrum von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 1. die Rauschleistung beträgt P σ,1 = W. Abbildung 4.3-A27 Dargestellt ist das Spektrum von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 2. die Rauschleistung beträgt P σ,2 = W.

28 24 4 Durchführung Abbildung 4.3-A28 Dargestellt ist das Spektrum von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 4. die Rauschleistung beträgt P σ,3 = W. Abbildung 4.3-A29 Dargestellt ist das Spektrum von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 8. die Rauschleistung beträgt P σ,4 = W.

29 4.3 Gauss sches Rauschen 25 Abbildung 4.3-A30 Dargestellt ist das Spektrum von Gauss schem Rauschen mit einer Amplitude von U R = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 16. die Rauschleistung beträgt P σ,5 = W. Als letztes soll noch getestet werden, ob das Mitteln eine Auswirkung auf die Bitauflösung des AD-Wanlders hat. Dazu wird ein sehr kleines Sinussignal mit mit U = V und f = 100 Hz betrachtet. die Anzahl der Messpunkte wird auf eingestellt und die Größe des Fensters auf 1024 gestellt. Das Spektrum des Sinussignals mit und ohne Mittelung ist in Abbildung 4.3-A31 dargestellt. Durch das Quantisierungsrauschen des AD-Wandlers sind Oberwellen entstanden. Diese werden jedoch durch die Mittelung kaum geringer. Daher kann nicht davon ausgegangen werden, dass Mitteln die Bitauflösung des AD-Wandlers verbessert.

30 26 4 Durchführung Abbildung 4.3-A31 Dargestellt ist das Spektrum eines Sinussignals mit einer Amplitude von U = V und einer Frequenz von f = 100 Hz. Die Anzahl der Mittelungen beträgt 1 oder Korrelationsfunktion Wie in der Theorie zur Korrelationsfunktion beschrieben, soll nun das Sinussignal und das Rauschsignal auf Periodizität untersucht werden. Dazu wird die Autokorrelationsfunktion des Labview-Programms verwendet. Für das Sinussignal wird als Amplitude U = 0.5 V und für die Frequenz f = 100 Hz gewählt. Das zu untersuchende Rauschsignal besitzt eine mittlere Amplitude von U R = 0.2 V. Bei beiden Korrelationsfunktionen ist deutlich das Maximum bei τ = 0 zu erkennen. Doch nur das Sinussignal besitzt eine starke Periodizität, nach kleinem τ die Funktion wieder die selbe ist. Dagegen ist das Rauschen nahezu unperiodisch. Es ist kein Punkt zu erkennen, bei dem C(τ) wieder signifikant groß ist. Wenn man den gesamten Bereich betrachtet (Abb. 4.4-A33), dann fallen Randeffekte auf. Diese werden, wie auch schon vorher, von dem Ranhängen des Signals am Ende, und der nachfolgenden Integration verursacht. Wenn statt dem Ranhängen der Funktion durchgehend Nullen angehängt werden, kann dieser Effekt verhindert werden. Dies ist dann in Abbildung 4.4-A34 zu sehen.

31 4.4 Korrelationsfunktion 27 Abbildung 4.4-A32 Dargestellt ist die Autokorrelationsfunktion eines Sinus- und eines Rauschsignals in Abhängigkeit von τ. Der Bereich von τ ist auf [ 0.05 s : 0.05 s] limitiert. Abbildung 4.4-A33 Dargestellt ist die Autokorrelationsfunktion eines Sinus- und eines Rauschsignals in Abhängigkeit von τ. Es sind störende Randeffekte zu erkennen.

32 28 4 Durchführung Abbildung 4.4-A34 Dargestellt ist die Autokorrelationsfunktion eines Sinus- und eines Rauschsignals in Abhängigkeit von τ. Durch Anhängen von Nullen statt des Signals, sind die Randeffekte minimiert.

33 Literatur 29 Literatur [Hunter 2007] Hunter, John D.: Matplotlib: A 2D graphics environment. In: Computing In Science & Engineering 9 (2007), May-Jun, Nr. 3, S [Jones u. a. 2001] Jones, Eric ; Oliphant, Travis ; Peterson, Pearu u. a.: SciPy: Open source scientific tools for Python. Version: 2001 [MATLAB 2010] MATLAB: version (R2010a). Natick, Massachusetts : The MathWorks Inc., 2010

34 Fortgeschrittenen Praktikum I Teil A Korrektur zur Spektralanalyse Nils Thielke und Robert Brauer 14. Dezember 2012

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36 1 2.4 Analog-Digital-Wandler (AD-Wandler) Der kleinste zu messende Spannungsunterschied U LSB hängt von dem Spannungsbereich U ab. Der Spannungsbereich ist dabei die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Spannungwert, der vom Wandler erfasst werden kann. Beim 8-Bit-Wandler ist U LSB = 1 U = 1 U. Als Vergleich hat ein 12-Bit-Wandler ein U LSB = 1 U. Der Bit-Wandler besitzt daher, mit vier weiteren Bits, eine wesentlich höhere Auflösung als der 8-Bit-Wandler. 4.1 Datenerzeugung: Power Spektrum Zu Seite 6 Durch die Verwendung eines Fensters mit endlicher Breite n fenster, ergibt sich je nach Breite eine andere Frequenzauflösung f. Die geschieht durch die Aufteilung der Abtastfrequenz auf die Punkte im Fenster. Daher wird die Frequenzauflösung genauer, je größer die Breite des Fensters wird. Berechnet wird dies wie folgt: f = f abtast n fenster. (0.0-G1) Dabei ist f abtast die Abtastfrequenz. Für diesen Versuchstag wird ausschließlich f abtast = 1411 Hz verwendet. In Abbildung 4.1-A1 sind dazu drei Spektren des 100 Hz Sinussignals aufgetragen. Die Frequenzauflösung variiert dabei je nach Fensterbreite. Nach Gleichung 0.0-G1 beträgt die Frequenzauflösung: f n=128 = f n=512 = f n=1024 = 1411 Hz 128 = Hz 1411 Hz 512 = 2.76 Hz 1411 Hz 1024 = 1.38 Hz Diese unterschiedlichen Frequenzauflösungen bestimmen die Breiten der Spektren in Abbildung 4.1-A1. Statt Leistung in W, hätte es Amplitudenquadrat in V 2 im Text wie auch in den Abbildungen heißen müssen. Zu Seite 7 Ein Sinussignal kann, in Abhängigkeit von Nyquist- und Signalfrequenz, im Spektrum verfälsch wiedergegeben werden. Wenn die Nyquistfrequenz nicht genau einem ganzzahligen

37 2 Vielfachen des Sinussignals entspricht, entsteht beim hintereinanderlegen der Fenster ein Signal, welches nicht mehr periodisch ist. Dies kann mit verschiedenen Fenstertypen verhindert werden. Als Beispiel dient das flattop-fenster. In Abbildung 4.1-A2 ist dazu das Spektrum von drei Sinussignalen dargestellt. Sie haben eine Frequenz von 100 Hz, 200 Hz und 400 Hz. Das Spektrum wird jeweils mit dem flattop-fenster aufgenommen. Ohne Fenster würde man erwarten, dass die Höhe der Peaks nicht ihrem Spannungsquadrat (U 2 = V 2 ) entsprechen, denn die Nyquistfrequenz beträgt f Nyquist = Hz und keines der Signale passt ganzzahlig hinein. Mit dem flattop-fenster werden die Sinussignale jedoch korrekt wiedergegeben. Das liegt an der Gewichtung des flattop-fensters. Die Übergänge der Fenster werden dabei geringer gewichtet als die Mitte des Fensters. So werden auch die Fehler verringert, die durch das Aneinanderreihen der Fenster entsteht. Zu Seite 8 Ohne Fenster wird der DC-Anteil im Spektrum unverfälscht dargestellt. Das heißt, dass U 2 DC = (0.2 V)2 = 0.4 V 2 ist. Dies kann mit der Frequenz des DC-Signals erklährt werden (f DC = 0). Bei der Frequenz 0 kommen keine Fehler durch die Aneinanderreihung der Fenster vor, da dadurch keine Sprünge erzeugt werden. Das Spannungsquadrat des Sinussignals wird dagegen ohne Fenster, wie oben besprochen, falsch wiedergegeben. Wendet man das flattop-fenster an, dann ist das Sinussignal korrekt. Der DC-Anteil jedoch wird durch die unterschiedliche Gewichtung im Fenster nicht mehr richtig wiedergegeben. Zu Seite 9 Überabtastung ist erstmal nicht schlecht. Problematisch ist es erst, wenn nur die Abtastfrequenz und nicht auch die Anzahl der Messpunkte erhöht wird. Wenn dies geschieht, sinkt die Frequenzauflösung. Dies wird nach der Gleichung 0.0-G1 für unterschiedliche Fenstergrößen berechnet. Nur ist jetzt nicht die Änderung der Fenstergröße, sondern die Änderung der Abtastfrequenz wichtig. f = f abtast n fenster. (0.0-G2) Erhöht man nun die Abtastfrequenz, zum Beispiel auf das Doppelte, dann halbiert sich die Frequenzauflösung. In unserem Fall wäre bei f abtast = 2822 Hz und n fenster = 1024 die Frequenzauflösung f = 2.76 Hz. Signale, die sich um 1 Hz bis 2 Hz unterscheiden, können mit dieser Abtastfrequenz nicht mehr voneinander getrennt Aufgelöst werden. Bei einer Unterabtastung ist die Frequenz des Signals größer als die Nyquistfrequenz. Dies hat zur Folge, dass die Spektralanalyse eine kleinere Frequenz als die des Ursprungssignal liefert. Die Frequenz wird wie folgt berechnet: f = f Nyquist (f Signal f Nyquist ) = 2f Nyquist f Signal (0.0-G3) Diese Formel gilt jedoch nur für f [f Nyquist, 2f Nyquist ]. Um größere Frequenzen zu berechnen muss dann um den Nullpunkt gespiegelt werden (dann wieder um die Nyquistfrequenz,

38 3 u.s.w.). Für ein Sinussignal mit der Frequenz f Signal = 1000 Hz und der Nyquistfrequenz f Nyquist = Hz ergibt sich für die dargestellte Frequenz f = 411 Hz. Zu Seite 10 Bemerkung zu Abbildung 4.1-A6. Die Bildunterschrift müsste folgendermaßen sein: Darstellung des Spektrums einer unterabgetasteten Sinusschwingung. Die Frequenz der eingestellten Sinusschwingung beträgt f Signal = 1000 Hz. Durch die Unterabtastung wird das Signal mit einer Frequenz von f = 411 Hz angezeigt. Zu Seite 11 Es wird der Effekt betrachtet, der auftritt, wenn ein Signal durch die Aneinanderreihung der Fenster Sprünge besitzt. Dies geschieht immer dann, wenn die Frequenz des Signals nicht ein ganzzahliges vielfaches der Nyquistfrequenz ist. Durch die Aneinanderreihung der Fenster entsteht dann ein Signal welches Sprünge besitzt. In der Spektralanalyse äußert sich dieses durch fehlerhafte Frequenzen. Problematisch ist dies auch bei Signalen, die aus einer Überlagerung verschiedener Frequenzen bestehen. Durch die Nutzung eines speziellen Fensters kann dieser Effekt verringert werden. Ein Fenster verbessert dann das Spektrum, wenn die Amplitude der Frequenzen, die nicht im Signal vorkommen, verringert werden. Im folgenden wird das flattop-fenster verwendet. In Abbildung 4.1-A8 auf der linken Seite, zeigt sich deutlich eine Verbesserung bei niedrigen Frequenzen. Dort sinkt das Amplitudenquadrat von log(u 2 /V 2 ) = 50 zu log(u 2 /V 2 ) = 80. Auf der rechten Seite ist ein Sinussignal gezeigt, welches genau zwei mal in das Fenster passt (f = Hz = 1 2 f Nyquist). Dadurch kommt bei diesem Signal der Effekt nicht vor. Als Spannung für das Sinussignal haben wir U = 0.5 V eingestellt. Das Amplitudenquadrat ergibt daher U 2 = V 2. Abbildung 4.1-A11 liefert ohne Fenster U 2 = V 2 und mit flattop-fenster U 2 = V 2. Daher sorgt das flattop-fenster für eine bessere Darstellung des Amplitudenquadrats. Der Grund dafür ist oben beschrieben. Wird der Eingangsspannugsbereich des AD-Wandlers überschritten, macht sich dieses durch das zusätzliche Erscheinen von Oberwellen bemerkbar. Diese Oberwellen sind um ein ganzzahliges Vielfaches größer als das Eingangssignal. Dieser Effekt entsteht, da das Signal zum Teil in die Sättigung geht, und somit nicht mehr korrekt aufgenommen werden kann. Durch die Verformung des Signals entstehen dann die Oberwellen bei der Spektralanalyse. Die maximale Eingangsspannung des AD-Wandlers beträgt U = ±1 V. In Abbildung 4.1-A12 sind dazu zwei Signale zu sehen. Das erste Signal besitzt eine größere Spannung (Schwarz, U = 3 V), wärend das zweite Signal eine kleinere Spannung als die maximale Eingangsspannung besitzt (rot, U = 0.5 V). Daher entstehen Oberwellen beim Schwarzen Signal, die in der Abbildung gut zu erkennen sind.

39 4 Zu Seite 14 Das Auflösungsvermögen eines AD-Wandlers wird folgendermaßen bestimmt: U LSB = 1 2 n U. (0.0-G4) Dabei ist n die Anzahl der Bits eines AD-Wandlers. Da wir von 1 V bis 1 V messen, ist U = 2 V. Für einen 8-Bit-Wandler bedeutet das U LSB = V. Das heißt, dass das zu messende Signal wesentlich größer als V sein muss, um richtig abgetastet zu werden. Wenn das Signal nicht wesentlich größer ist, wird das Signal durch wenige Stufen dargestellt. Durch diese Stufen entstehen im Spektrum Oberwellen, die bei wenigen Stufen große Amplituden annehmen können. In Abbildung 4.1-A13 ist dazu das Spektrum eines Sinussignals mit einer Amplitude von U = V dargestellt. Da dieses Signal nichtmal so groß wie U LSB ist, kann es unmöglich mit einem 8-Bit-Wandler richtig abgetastet werden. Verwendet man nun einen 16-Bit-Wandler, so verringert sich U LSB auf V. Nun kann auch das Signal mit U = V ausreichend genau abgetastet werden. Daher zeigt sich in Abbildung 4.1-A13 auch eine deutliche Absenkung der Amplituden bei allen Frequenzen außer bei der Signalfrequenz (f = 100 Hz). Die Amplituden fallen dabei von log(u 2 /V 2 ) = 90 auf log(u 2 /V 2 ) = 110 und weniger. 4.3 Gauss sches Rauschen Zu Seite 17 Gauss sches Rauschen ist kein Quantisierungsrauschen. Rausch Amplitude gibt es nicht. Stattdessen ist die Standartabweichung des Rauschens gemeint. Es wird gauss sches Rauschen mit 2 verschiedenen Standartabweichungen eingestellt. Eines mit σ = 0.2 V und eines mit σ = 0.01 V (Abb. 4.3-A19 und 4.3-A18). Zu Seite 18 Somit existiert nur von wenigen Spannungen eine Häufigkeit 0 Zu Seite 20 Die Rauschbreite ist der Bereich in dem das Amplitudenquadrat des Rauschens liegt. Das Verhältnis dieser Rauschbreite bei unterschiedlicher Anzahl der Mittelungen, verhält sich

40 5 genau so, wie die Wurzeln der Anzahl der Mittelungen. Also muss folgendes gelten: U 2 1 U 2 2 = n2,mittelung n1,mittelung (0.0-G5) Für Abbildung 4.3-A24 und 4.3-A25 ergibt das: U V 2 U V 2 n 1,Mittelung = 1 n 2,Mittelung = 512 Die Verhältnisse ergeben dann für das Amplitudenquadrat und für die Wurzel der Mittelungen Bedenkt man die Ungenauigkeit beim Ablesen der Rauschbreite, so ist die Gleichung 0.0-G5 erfüllt. Nun wird dies für die Mittellungen 1 bis 16 getestet, welche in den Abbildungen 4.3-A26 bis 4.3-A30 dargestellt sind. U V 2 n 1,Mittelung = 1 U V 2 n 2,Mittelung = 2 U V 2 n 3,Mittelung = 4 U V 2 n 4,Mittelung = 8 U V 2 n 5,Mittelung = 16 Auch hier stimmen die Verhältnisse nahezu überein: U 2 1 U 2 2 = 1.43 n2,mittelung n1,mittelung = 1.41 U 2 2 U 2 3 = 1.4 n3,mittelung n2,mittelung = 1.41 U 2 3 U 2 4 = 1.43 n4,mittelung n3,mittelung = 1.41 U 2 4 U 2 5 = 1.4 n5,mittelung n4,mittelung = 1.41

41 6 4.4 Korrelationsfunktion Zu Seite 26 In Abbildung 4.4-A32 geht das Sinussignal nach τ = 0.01 s wieder in die Ursprüngliche Form über. Das zeigt dass das Sinussignal die Periode τ = 0.01 s oder die Frequenz = 100 Hz besitzen muss. 1 τ