Serie: Bestimmung von Ausfallwahrscheinlichkeiten - Teil 4

Transkript

1 Kredtrsko Sere: Bestmmung von Ausfallwahrschenlchketen - Tel 4 Ausfallwahrschenlchketen m Konjunkturzyklus Credt Portfolo Vew En Betrag von Uwe Wehrspohn Wr haben n unserer Sere bsher zwe Ansätze dargestellt, we de Ausfallwahrschenlchketen von Frmen aus Kredtratngs und ener Hstore von beobachteten Ausfällen geschätzt werden können. Im Mttelwertmodell (vgl. RskNEWS , pp. 7-18) wurden de Ausfallwahrschenlchketen der Frmen n ener bestmmten Ratnggruppe als konstant angenommen und aus den zufällg um desen Wert herum schwankenden Ausfallhäufgketen geschätzt. Im Credt Rsk+ Modell (vgl. RskNEWS , pp ) wurden de Ausfallwahrschenlchketen selbst als von Perode zu Perode zufällg angesehen. Insbesondere wurde angenommen, de Ausfallwahrschenlchketen hngen von systematschen Rskofaktoren ab, de m Modell aber anonym bleben und nur ene ntutve Erklärung für de Schwankungen von beobachteten Ausfällen darstellten. Thomas Wlson geht n dem von hm entwckelten und 1997 publzerten Modell Credt Portfolo Vew 1 enen Schrtt darüber hnaus, ndem er versucht enen emprschen Zusammenhang zwschen dem Ausfallverhalten von Frmen und makroökonomschen Konjunkturndkatoren herzustellen. Wr zegen n desem Artkel, we Ausfallwahrschenlchketen n Credt Portfolo Vew geschätzt werden, welche Probleme herbe auftreten und welche Auswrkungen se auf de Glaubwürdgket der Ergebnsse haben. Motvaton Zyklsche Entwcklungen von Ausfallhäufgketen können n velen Volkswrtschaften gut emprsch belegt werden. 1 Von McKnsey & Company st ene Softwaremplementaton von Credt Portfolo Vew erhältlch.

2 Kredtrsko Abbldung 1 Beobachtete und geschätzte Ausfallhäufgketen n der deutschen Wrtschaft (Quelle: Statstsches Bundesamt, egene Berechnungen) 0,9% Beobachtete Ausfallhäufgketen mt enem AR(1)-Modell geschätzte Ausfallhäufgketen Durchschnttlche Ausfallhäufgketen 0,8% 0,7% Ausfallhäufgketen 0,6% 0,5% 0,4% 0,3% 0,2% 0,1% 0,0% Jahr Abbldung 1 zegt jährlche Ausfallraten für de deutsche Wrtschaft von 1976 bs Von 1976 bs 1981 snd de Ausfallraten deutlch nedrger als der Mttelwert des Zetraums bs 1992, von 1981 bs 1988 legen se wet über dem Mttelwert und von 1988 bs 1992 snken se wederum. Durch das Mttelwertmodell werden de Ausfallraten also n Boomphasen überschätzt, während se n der Rezesson genauso deutlch unterschätzt werden. De Überlegung be der Schätzung von Ausfallwahrschenlchketen enen Zusammenhang zwschen Ausfallhäufgketen und makroökonomschen Faktoren herzustellen legt aufgrund deser Beobachtungen also nahe 3. Zwe Verfenerungen snd jedoch notwendg. Da se u.u. völlg verschedene Güter und Denstlestungen anbeten, snd ncht alle Branchen glech stark n de Makroökonome engebunden. Wlson zegt, dass zwschen den enzelnen Industrezwegen große Unterschede n den jährlchen Schwankungen der Ausfallraten auftreten. So wrd etwa das Baugewerbe sehr stark von Konjunkturschwankungen getroffen, während sch der Energe- und Bergbausektor wesentlch glechmäßger entwckeln 4. De Analyse des Ausfallverhaltens von Frmen sollte also hre Branche mt enbezehen. Es st ebenfalls ene bekannte Tatsache, dass de Wrkung von Konjunkturkrsen auf de Bontät ener Frma auch von hrer allgemenen fnanzellen und wrtschaftlchen Stuaton abhängt. Frmen mt ener schwachen Marktposton werden von ener Rezesson m allgemenen härter betroffen als 2 De Daten umfassen de Gesamthet der Mehrwertsteuerzahler der Bundesrepublk Deutschland, d.h. de wrtschaftlch aktven Frmen aller Größenordnungen, Ratngs und Branchen. Für Enzelheten vergleche Bär (2000). 3 En Vorbehalt gegenüber den Datenbespelen von Wlson und Bär zur Motvaton des Modells muss engeräumt werden, da bede Autoren mmer nur gepoolte Daten betrachten und kene Ratngs unterscheden. In der Praxs wrd allerdngs typscherwese zumndest en Tel der konjunkturellen Schwankungen der Ausfallwahrschenlchket ener Frma durch Ratngveränderungen erfasst. Des kann dazu führen, dass de Bontät ener Frma m Konjunkturzyklus deutlch schwankt, während de Ausfallwahrschenlchketen der enzelnen Ratngs wetgehend stabl bleben. In ener solchen Stuaton wäre Credt Portfolo Vew en Tel sener Grundlage entzogen. 4 Vgl. Wlson (1997a), p. 112f.

3 Kredtrsko sehr kompettve Unternehmen. Des geht sogar so wet, dass ene makroökonomsche Abhänggket der Ausfallraten von Investment Grade-Frmen ncht nachwesbar st. Wlson wählt deshalb de Speculatve Grade-Frmen ener Branche als Indkator für de wrtschaftlche Gesundhet deses Industrezwegs und als Angrffspunkt für makroökonomsche Enflüsse. Erst n enem weteren Schrtt letet er de Ausfall- und Mgratonswahrschenlchketen enzelner Ratnggruppen n der Branche ab. Credt Portfolo Vew geht aber noch weter. Das Zel st ncht nur, das gegenwärtge Ausfallverhalten von Frmen zu erklären, sondern auch de Ausfallwahrschenlchketen für jede Perode bs zur Fällgket der am längsten laufenden Kredte m gesamten Bankportfolo zu schätzen, also über enen Zethorzont von 10 bs 30 Jahren n de Zukunft 5. Wlson argumentert, dass enge Kontrakte so llqude seen, dass ene Bank gezwungen se se bs zur Fällgket zu halten, selbst wenn de Kredtqualtät des Schuldners verfalle. Um dem Kredtrsko deser Art Exposure gerecht zu werden, werden deshalb für jede Perode Ausfallwahrschenlchketen des Schuldners geschätzt bs zum Erlöschen des Exposures 6. Herletung der Ausfallwahrschenlchket Um deses Zel zu errechen, geht Credt Portfolo Vew n dre Schrtten vor 7 : 1. Zunächst wrd en Modell für de zukünftge Entwcklung der relevanten makroökonomschen Faktoren gewählt 8. Das Modell wrd mt hstorschen Beobachtungen der Makrofaktoren gefttet. Indem n enzelnen zukünftgen Peroden Abwechungen von der Modellglechung zufällg gezogen werden, wrd de Entwcklung der Makrofaktoren über den gewünschten Zethorzont smulert (s.u.). 2. In enem zweten Schrtt wrd en Mult-Faktor-Modell gewählt, um den Zusammenhang zwschen den jährlchen Ausfallraten der Speculatve Grade-Frmen der enzelnen Branchen und den Makrofaktoren herzustellen. Das Modell wrd weder mt hstorschen Daten gefttet, und zukünftge Ausfallwahrschenlchketen werden als zufällge Abwechungen von der Modellglechung smulert. 3. Schleßlch werden de aus den ersten beden Schrtten resulterenden Smulatonsergebnsse verwendet, um bedngte Ausfall- und Mgratonswahrschenlchketen für jedes Jahr, jede Branche und jedes Ratng bs zum Ende des betrachteten Zethorzontes zu erhalten. Im enzelnen bedeutet des : 5 Wlson (1997a), p Beachte, dass Wlson her mplzt enen neuen Rskobegrff für das Portfolorskomanagement enführt. Normalerwese wrd das Portfolorsko defnert als de Vertelung der Wertschwankungen des Portfolos über enen glechmäßgen Zetraum für alle Geschäfte. De Laufzet des enzelnen Kontraktes spelt her kene Rolle, da angenommen wrd, dass sch de Portfolostruktur kontnuerlch erneuert und deshalb glech blebt. Wlsons Ansatz mt Berückschtgung der ndvduellen Restlaufzeten der Geschäfte wrd eher be der Bewertung von Basket-Kredtdervaten engesetzt. Her wrd das Rsko enes fest abgegrenzten Portfolos von Geschäften verkauft, so dass sch enersets das Portfolo ncht erneuert und anderersets de Verluste zukünftger Peroden n der Bewertung berückschtgt werden müssen. Für de Anwendungen des klassschen Portfolorskomanagements st deser Rskobegrff an sch ungeegnet, da er Rsken benhaltet, de noch gar ncht exsteren und erst n der Zukunft entreten können. Warum soll ene Bank etwa heute Egenkaptal für das Eregns unterlegen, dass en Kredt n fünf Jahren ausfällt? 7 Vgl. Wlson (1997a), p Das Modell kann globale Faktoren umfassen. Der Schwerpunkt legt allerdngs darauf das länder- und branchenspezfsche Ausfallverhalten von Frmen zu erklären.

4 Kredtrsko Für jede Land / Branchen-Kombnaton werden n makroökonomsche Faktoren ausgewählt und jewels durch unvarate autoregressve Prozesse dargestellt (z.b. AR(p)- oder ARIMA(p,d,q)- Prozesse). Alle Parameter werden mt klenste-quadrate-methoden geschätzt. Der Vektor ε macro, t der Schätzfehler der geftteten Faktormodelle wrd als normalvertelt angenommen mt Erwartung 0 und Kovarvanzmatrx Σ macro. Σ macro wrd we de Modellparameter auch aus den hstorschen Daten geschätzt. Um de hstorschen Zetrehen der enzelnen Makrofaktoren n de Zukunft zu verlängern, werden de Schätzfehler ε macro, t durch unabhängge Züge aus der spezfzerten Normalvertelung für de enzelnen Peroden smulert und als Innovatonsterme n de Faktormodelle engesetzt. Um scherzugehen, dass de m zweten Schrtt geschätzten und dann für de zukünftgen Peroden smulerten Ausfallwahrschenlchketen der Frmen auch tatsächlch Werte zwschen 0 und 1 annehmen, werden de beobachteten Ausfallhäufgketen der gepoolten Speculatve Grade-Frmen durch de sog. Logt-Transformaton auf de reelle Achse abgebldet: y t, = L 1 p ( ) = t, p t, ln pt, Herbe st p t, de beobachtete Ausfallhäufgket n Perode t und Branche und y t, de transformerte Ausfallrate. makroökonomschen Faktoren y t, wrd dann gegen de das Aufallverhalten n Branche erklärenden X 1,, X n,,... regredert 9 y t, = β o, + β1, X1,, t + + β n, X n,, t + ε def,, t β snd unbekannte Parameter. We m ersten Schrtt werden de Parameter geschätzt, o n,,,..., β ndem klenste-quadrate-methoden auf de transformerten Ausfallraten angewendet werden 10. De Vektoren der Fehlerterme ε def, t über de enzelnen Branchen werden weder als serell unabhängg normalvertelt mt Erwartungswert 0 und Kovaranzmatrx Σ def angenommen. Zukünftge Werte von y t, können durch unabhängges Zehen deser Fehlerterme aus der angegebenen Normalvertelung 11 smulert werden. De resulterenden Werte für Transformaton y t, werden dann durch de nverse Logt- p t, 1 = L ( y ) t, 1 = 1+ exp( y t, ) n Ausfallwahrschenlchketen zurücktransformert. 9 Beachte, dass n Credt Portfolo Vew we n Credt Rsk+ de Kredtausfälle als bedngt unabhängg angenommen werden, gegeben en makroökonomsches Szenaro. 10 Vgl. Bär (2000), p. 2 und 12. Deses Schätzverfahren wrd auch n McKnsey s Softwaremplementaton von Credt Portfolo Vew verwendet, vgl. McKnsey (1999), p Wlson erlaubt auch Korrelatonen zwschen ε macro, t und ε def, t und smulert alle Fehlerterme glechzetg.

5 Kredtrsko Der letzte Schrtt, de Berechnung bedngter Mgratonsmatrzen für de enzelnen Ratngs n den enzelnen Branchen für alle Peroden st n Wlsons Publkatonen ncht gut dokumentert. Es wrd ledglch angedeutet, dass das Verhältns der smulerten Ausfallwahrschenlchket der Speculatve Grade-Frmen p t, für de zukünftge Perode t zu hrer mttleren Ausfallwahrschenlchket p, also p t,, p als Indkator dafür dent, we wet sch de Mgratonswahrschenlchketen aufgrund des smulerten makroökonomschen Hntergrundes von hrem langfrstgen Mttel entfernt haben könnten. Ergebns deser Überlegungen st ene bedngte Mgratonsmatrx p j, M p. Durch ene Markov-Annahme 12 kann schleßlch ene kumulerte Mgratonsmatrx für t Jahre 13 berechnet werden Dskusson M p t j, = t, M. j= 1 p Das Zel, be der Schätzung von Ausfallwahrschenlchketen de hstorschen Ausfallhäufgketen von Frmen mt beobachtbaren systematschen Rskofaktoren we z.b. makroökonomschen Indkatoren n Bezehung zu setzen, st scher der wesentlche Vortel und Betrag von Credt Portfolo Vew m Verglech mt Credt Rsk+ und dem Mttelwertmodell. Aus ener Rehe von Gründen st es allerdngs fraglch, ob deses Zel wrklch errecht wurde. 1. Modellerung des makroökonomschen Prozesses Credt Portfolo Vew beschrebt de unterlegenden makroökonomschen Faktoren durch autoregressve Prozesse, d.h. durch Zetrehen, deren zukünftge Entwcklung ausschleßlch durch hre egene Vergangenhet 14 erklärt wrd. Da ene langfrstge Vorhersage der Makrofaktoren und des Ausfallverhaltens der Frmen beabschtgt st, st dese Modellerung scherlch vortelhaft m Blck auf de softwaretechnsche Umsetzung des Modells, denn se macht de notwendgen Smulatonen extrem enfach handhabbar, da überhaupt kene zusätzlchen Inputdaten erforderlch snd. Aus zwe Gründen snd autoregressve Prozesse aber problematsch als Modell für de Makrofaktoren. Aus wrtschaftswssenschaftlcher Scht st es mehr als ungewss, ob de Makrofaktoren, de Wlson als Bespele angbt 15, we etwa de Arbetslosenquote, das Wachstum des Bruttosozalproduktes, 12 De Markov-Annahme bedeutet, dass de Mgratonswahrschenlchketen ener Frma n Perode t nur von hrem aktuellen Ratng (und den aktuellen Werten aller weteren Enflussfaktoren) abhängt und ncht von hrem kompletten Mgratonspfad (und den Werten der übrgen Enflussfaktoren) n der Vergangenhet. 13 Wr nehmen her an, de Gegenwart se der Zetpunkt t = Und durch zufällge, unkorrelerte Fehlerterme (weßes Rauschen). 15 Wlson (1997a), p. 113.

6 Kredtrsko de Staatsquote etc., langfrstg wrklch gut allen durch hre egene Vergangenhet beschreben werden können. Mehr noch als Aktenkurse hängen dese Faktoren stark vom Ausgang von Wahlen, von poltschen Entschedungen, vom Wllen Reformen umzusetzen und anderen exogenen Enflüssen ab, de weng n der Vergangenhet verwurzelt und deshalb extrem schwer vorherzusagen snd. Des st ener der Gründe warum Makrofaktoren schon be relatv kurzen Zethorzonten von en bs zwe Jahren auch von führenden Wrtschaftsforschungsnsttuten nur sehr ungenau prognostzert werden können 16. Zwetens st de Persstenz von Schocks und Extremwerten be autoregressven Prozessen relatv groß. Wenn se als Modell für makroökonomsche Faktoren n enem Kredtrskomodell verwendet werden, wrd de Wrkung von Wrtschaftskrsen m Modell für vele Jahre spürbar sen. Abbldung 2 Persstenz makroökomomscher Schocks n Credt Portfolo Vew 10,000 Smulatonsläufe bedngte mttlere Aws. n Perode t unbedngte mttlere Aws. n Perode t 1,6% 1,5% Ausfallwahrschenlchketen 1,4% 1,3% 1,2% 1,1% 1,0% 0,9% 0,8% Anzahl Peroden Abbldung 2 verglecht de bedngte mttlere enjährge Ausfallwahrschenlchket von Speculatve Grade-Frmen t Peroden nach ener Krse mt hrer unbedngten mttleren Ausfallwahrschenlchket. In beden Fällen wrd angenommen, dass de Wrklchket exakt nach den Prnzpen funktonert, de Credt Portfolo Vew voraussetzt und dass alle Parameterwerte berets bekannt snd und ncht geschätzt werden müssen 17. Es wrd deutlch, dass sch be deser Modellerung de Wrtschaft auch 16 Des wrft de zusätzlche Frage auf, ob der Versuch, de Arbetslosenquote des Jahres 2025 vorherzusagen, überhaupt als seröses Unterfangen gewertet werden kann oder ob her ncht de Aussage jedes Modells zu völlger Belebgket verkommt. 17 Der Makrofaktor wrd beschreben durch enen AR(2)-Prozess X t = 1X t 1 + α 2 X t 2 + ε X = 0.2 X t X t 2 α + ε X wobe ε X normalvertelt st mt Erwartung 0 und Standardabwechung 0.9. De Logt-Transformaton der Ausfallwahrschenlchketen st angenommen als yt = + β X + ε = 5 + X 0 1 t 1 y t 1 β + ε y

7 Kredtrsko 30 Jahre nach der Krse noch ncht vollständg erholt hätte und dass de Ausfallwahrschenlchket deutlch über dem langfrstgen Mttel blebe. Es st ene offene Frage, ob deses Verhalten ene gute Beschrebung langfrstger Ausfallraten st. 2. Abhänggket der Ausfallraten von den Makrofaktoren En entschedender Schrtt n dem Regressonsmodell, das de Ausfallwahrschenlchketen der Speculatve Grade-Frmen n den enzelnen Industrezwegen n Bezehung zu den soeben smulerten Makrofaktoren setzt, st de Logt-Transformaton. De Logt-Transformaton hat ene sehr krtsche Egenschaft. Se bldet ncht nur das Enhetsntervall auf de reelle Achse ab, sondern se st auch ncht-lnear, und zwar st se konvex m Intervall [0; 0,5] und konkav n [0,5; 1] (vgl. Abbldung 3). Es st n desem Zusammenhang wchtg zu beachten, dass Wahrschenlchketsvertelungen ncht stabl snd unter ncht-lnearen Transformatonen. Es kann m allgemenen ncht drekt an der funktonalen Form der Transformaton abgelesen werden, we de Momente und de stochastschen Egenschaften der Vertelung durch de Transformaton verzerrt werden. Abbldung 3 Logt-Transformerte Inverse Logt-Transformerte ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Auch n Krsenzeten kann davon ausgegangen werden, dass jährlche Ausfallwahrschenlchketen 50% ncht überschreten. Im relevanten Berech st de Logt-Transformaton also konvex. Um de Wrkung ener konvexen Transformaton auf ene Vertelung zu sehen, nehmen wr ene belebge Zufallsvarable X mt Erwartungswert µ an. Se g(x) ene konvexe Transformaton, de auf dem Varatonsberech von X defnert st. Dann exstert ene Gerade durch den Punkt (µ,g(µ)), de vollständg unterhalb des Graphen von g legt (vgl. Abbldung 4). wobe ε normalvertelt st mt Erwartung 0 und Standardabwechung 0.3. De Krse wrd beschreben durch y de Startwerte X = X = Beachte, dass de Persstenz ener Krse wächst n den Parametern α 1,α 2, und β 1 und fällt n der Standardabwechung der Fehlerterme.

8 Kredtrsko Abbldung 4 y Konvexe Transformatonen und Wahrschenlchketsvertelungen y = g(x) y=g(µ)+c(x-µ) g(µ) (µ,g(µ)) µ x Für alle x glt also g ( x) g( µ ) + c( x µ ). Wenn Y = g(x) enen endlchen Erwartungswert bestzt, folgt aus der Monotone und Lneartät des Lebesgue-Integrals, dass E ( g( x) ) = g( x) df( x) [ g( µ ) + c( x µ ) df( x) ] = g( µ ) df( x) + c = 1 ( x µ ) df( x) = g( µ ) = 0 so dass glt 18 ( g( x) ) g( µ ) E. Beachte, dass Glechhet her nur für determnstsche Zufallsvarablen glt, also wenn P(X=µ) = 1. Des bedeutet für Credt Portfolo Vew, dass de Erwartungswerte der transformerten Ausfallraten ener Perode bedngt auf den Werten der Makrofaktoren strkt größer snd als de transformerten bedngten Ausfallwahrschenlchketen 19. Nur wenn de beobachteten Ausfallraten der Frmen mt Wahrschenlchket 1 mt den mttleren Ausfallwahrschenlchketen überenstmmen, snd bede Erwartungswerte glech. Obwohl bedngte Unabhänggket angenommen wurde 20, folgt aus dem 18 Deses Ergebns st auch bekannt als de Jensen sche Unglechung. 19 Her schlägt zu Buche, dass de beobachteten Ausfallraten ener Perode be bedngter Unabhänggket der Ausfälle ene Zufallsvarable snd, deren Erwartungswert dentsch st mt der mttleren bedngten Ausfallwahrschenlchket der Frmen n der Perode. 20 Wenn de Modellannahme ncht zutrfft, dass de makroökonomschen Faktoren de Abhänggketen zwschen den Frmen vollständg erklären, st de Aussage, dass de Ausfallraten ener Perode en konsstenter Schätzer der Ausfallwahrschenlchketen der Perode snd, m allgemenen nkorrekt. Zumndest bedngte Unkorrelert-

9 Kredtrsko Gesetz der großen Zahl und dem zentralen Grenzwertsatz, dass des nur dann der Fall sen kann, wenn n jeder Branche und n jeder Perode Ausfalldaten über unendlch vele Speculatve Grade- Frmen vorlegen. Wenn nur Daten über ene endlche Anzahl Speculatve Grade-Frmen n enem Industrezweg vorlegen, können Ausfallraten ncht mt Ausfallwahrschenlchketen glechgesetzt werden. De Regresson gegen de Makrofaktoren wrd dann mt transformerten Ausfallraten durchgeführt, von denen man von vorneheren erwartet, dass se größer snd als de entsprechenden transformerten Ausfallwahrschenlchketen. Da ene lneare Transformaton nach Konstrukton unverzerrt st, legt de erwartete geschätzte Regressonsgerade über der wahren Regressonsgerade, selbst wenn das Modell korrekt spezfzert st 21. In der Folge snd deshalb auch de um de Regressonsgerade herum für zukünftge Peroden smulerten transformerten Ausfallwahrschenlchketen zu groß. Beachte schleßlch, dass de nverse Logt-Transformaton streng monoton fällt. Wenn de smulerten Werte zu groß snd, snd deshalb de zurücktransformerten Werte, d.h. n desem Fall de smulerten Ausfallwahrschenlchketen, aufgrund der fallenden Rücktransformaton zu gerng. D.h., wenn nur Daten über ene endlche Anzahl Speculatve Grade-Frmen n jeder Branche vorlegen, snd de Schätzungen und dementsprechend auch de Smulatonsergebnsse zugunsten zu nedrger Ausfallwahrschenlchketen hn verzerrt. Das Ausfallrsko wrd also n Credt Portfolo Vew n sener gegenwärtgen Implementaton systematsch unterschätzt 22. Beachte, dass deser systematsche Schätzfehler an sch unnötg st, da durch ncht-lneare Verfahren we z.b. Maxmum-Lkelhood-Methoden alle Parameter m Logt-Modell unter den gemachten Annahmen erwartungstreu geschätzt werden könnten. De gegenwärtge Implementaton des Modells könnte an deser Stelle korrgert werden. Das nachfolgende Bespel zegt, dass der aus dem bshergen Konzept zu erwartetende Schätzfehler n praktschen Anwendungsstuatonen ene relevante Größenordnung errecht und unbedngt berchtgt werden sollte. 3. Bespel Um desen Effekt zu llustreren, nehmen wr an, der wahre Zusammenhang zwschen der Makroökonome und dem Ausfallverhalten der Frmen se genau so, we es n Credt Portfolo Vew beschreben st. D.h. wr lassen alle Anmerkungen, de zu Begnn der Dskusson geäußert worden, außer Acht und gehen davon aus, dass ken grundsätzlcher Modellerungsfehler vorlegt. Wr betrachten ene Branche, n der das Ausfallverhalten der Frmen nur von enem makroökonomschen Faktor abhängt. Wr nehmen an, deser Faktor X folge dem AR(2)-Prozess X t = 0.4X t X t ε X wobe de ε X unabhängg und standardnormalvertelt seen. Um den systematschen Schätzfehler m nächsten Modellerungsschrtt zu soleren, nehmen wr an, dass alle Parameter des Makroprozesses bekannt seen, so dass an deser Stelle ken zusätzlcher Schätzfehler entrtt. het der Ausfälle oder ene andere Egenschaft, de de Gültgket des Gesetzes der großen Zahl gewährlestet, muss her angenommen werden. 21 D.h., der Fehler trtt auch dann auf, wenn de Welt genauso gestaltet st, we das Modell annmmt. 22 Dass Credt Portfolo Vew betont weng Rsko n Portfolen dagnostzert, wurde an anderer Stelle von Nethen (2001), p. 135, m Zusammenhang mt ener Analyse von Korrelatonskonzepten beobachtet.

10 Kredtrsko Das wahre Regressonsmodell, das de transformerten Ausfallwahrschenlchketen mt dem makroökonomschen Faktor n Bezehung setzt, se Y t = 5 + X t ε Y. Der Prozess der Fehlerterme ε Y se weder unabhängg standardnormalvertelt. Weder nehmen wr an, dass de allgemene Form des Regressonsmodells bekannt se, so dass nur de Parameter β 0 = 5 und β 1 = 1 geschätz werden müssen. Obwohl de langfrstge mttlere Ausfallwahrschenlchket von beden Parametern abhängt, hat β 0 scher den domnanten Enfluss. Wel de nverse Logt-Transformaton monoton fällt, korresponderen große Werte von β 0 mt gerngen Ausfallwahrschenlchketen. Um das Modell zu ftten, wurde ene nach dem wahren Modell smulerte hstorsche Zetrehe aus n Peroden unbekannter Ausfallwahrschenlchketen und beobachteter (also bekannter) Ausfallhäufgketen für unterschedlche Anzahlen von Speculatve Grade-Frmen n dem Industrezweg für de Schätzungen der Parameter zugrunde gelegt. Danach wurden mt den geschätzten Parametern zukünftge Ausfallwahrschenlchketen für ebenfalls n Peroden smulert. Das Zusatzproblem enes Prognosezetraums, der wesentlch länger st als de Beobachtungsrehe, de n de Parameterschätzungen engeflossen st, wurde vermeden. Abbldung 5 Bas der langfrstgen mttleren Ausfallwahrschenlchket n Credt Portfolo Vew (Wahrer Wert = 0.707%, 5000 Smulatonsläufe, exponentell geglättet) 0,8% 20 Peroden 25 Peroden 30 Peroden wahrer Wert 0,7% Geschätzte langfrstge mttlere Ausfallwahrschenlchket 0,6% 0,5% 0,4% 0,3% 0,2% 0,1% 0,0% Anzahl Frmen

11 Kredtrsko Abbldung 6 Schätzfehler der langfrstgen mttleren Ausfallwahrschenlchket n Credt Portfolo Vew (wahrer Wert = 0.707%, 5000 Smulatonsläufe, exponentell geglättet) 20% 20 Peroden 25 Peroden 30 Peroden wahrer Wert 0% Relatver Schätzfehler -20% -40% -60% -80% -100% Anzahl Frmen Abbldung 5 und Abbldung 6 zegen deutlch, dass de langfrstge mttlere Ausfallwahrschenlchket nachhaltg unterschätzt wrd, selbst wenn Daten über Speculatve Grade-Frmen 23 n der betreffenden Branche vorlegen. Besonders der relatve Schätzfehler st beträchtlch, da de zu schätzende Zelgröße so klen st. Der Befund wrd noch transparenter, wenn wr de Parameterschätzungen betrachten: Abbldung 7 Bas der Schätzung des Parameters β 0 n Credt Portfolo Vew 5000 Smulatonsläufe 13 5 Peroden 10 Peroden 15 Peroden 20 Peroden 25 Peroden 30 Peroden wahrer Wert Mttlere Parameterschätzung Anzahl Frmen

12 Kredtrsko Beachte, dass der erwartete Schätzwert des Parameters β 0 ncht von der Länge der Zetrehe der hstorschen Beobachtungen abhängt. Des kommt daher, dass der AR(2)-Prozess, der de Entwcklung des systematschen Rskofaktors beschrebt, statonär st und sch de Statonartät auf de wahren Ausfallwahrschenlchketen und de beobachteten Ausfallraten überträgt. Da de Schätzung der Regressonsparameter auf den transformerten Ausfallraten unverzerrt st, resultert de Abwechung des erwarteten geschätzten vom wahren Parameterwert, d.h. der Bas, ausschleßlch aus der Ncht-Lneartät der Logt-Transformaton. We berets erwähnt, korresponderen große Werte von β 0 mt klenen Ausfallwahrschenlchketen. Obwohl der mttlere Schätzwert für den Parameter ncht von der Anzahl der für de Analyse zur Verfügung stehenden Beobachtungsperoden abhängt, st des be der Standardabwechung der Schätzung sehr wohl der Fall. Abbldung 8 Standardabwechung der Schätzung des Parameters β 0 n Credt Portfolo Vew 5000 Smulatonsläufe 6 5 Peroden 10 Peroden 15 Peroden 20 Peroden 25 Peroden 30 Peroden Anzahl Frmen Wenn nur wenge Frmen und nur wenge Datensätze vorhanden snd, st de Varaton der Schätzungen beträchtlch. Be mehr als 3000 Frmen n dem Segment hängt anderersets de verblebende Varanz der Schätzungen fast ausschleßlch von der Anzahl der der zur Verfügung stehenden Beobachtungsperoden ab. Wenn de Anzahl der Frmen sehr klen st, st de Wahrschenlchket gar kenen Ausfall n ener Perode zu beobachten relatv groß, selbst wenn de Ausfallwahrschenlchket der enzelnen Frmen verglechswese hoch st 24. Des st der Grund, weshalb de Volatltät der Schätzungen für ene klene Frmenzahl weder snkt. Das Ergebns st ähnlch, wenn wr den Parameter β 1 betrachten. 23 Moody s Investors Servce und Standard and Poor s wesen ene Frma dem Speculatve Grade zu, wenn hr Ratng schlechter st als Baa bzw. BBB. Dem entsprcht ene Ausfallwahrschenlchket von mehr als 0,2-0,3%. 24 Be 50 unabhänggen Frmen, de jewels mt ener Wahrschenlchket von 2% ausfallen, legt de Wahrschenlchket n ener Perode kenen enzgen Ausfall zu beobachten be 36,4%.

13 Kredtrsko Abbldung 9 Bas der Schätzung des Parameters β 1 n Credt Portfolo Vew 5000 Smulatonsläufe 4 5 Peroden 10 Peroden 15 Peroden 20 Peroden 25 Peroden 30 Peroden wahrer Wert 3,5 Mttlere Parameterschätzung 3 2,5 2 1,5 1 0, Anzahl Frmen Auch her hängt der erwartete Schätzwert ncht von der Anzahl der zur Verfügung stehenden Beobachtungsperoden ab. Beachte aber, dass wet mehr Frmen n dem Industrezweg notwendg snd, um den Schätzfehler zu reduzeren als m Fall von β 0. Abbldung 10 Standardabwechung der Schätung des Parameters β 1 n Credt Portfolo Vew 5000 Smulatonsläufe 40 5 Peroden 10 Peroden 15 Peroden 20 Peroden 25 Peroden 30 Peroden Anzahl Frmen Der Verlauf der Standardabwechung der Schätzung von β 1 hat enen ähnlchen Verlauf we be der Schätzung von β o, allerdngs st der Betrag der Standardabwechung m Verhältns zum Wert des Parameters wesentlch größer. Des kommt daher dass der Fehlerterm ε Y ene zwete Quelle der Varaton st neben dem systematschen Faktor. Sen ncht-systematscher Enfluss kann nur durch ene lange Beobachtungsrehe neutralsert werden. De Verzerrung der Schätzungen wrd besonders deutlch, wenn wr bede Parameter glechzetg betrachten.

14 Kredtrsko Abbldung 11 6 Geschätzte Parameterwerte (β 0,β 1 ) n Credt Portfolo Vew Standardabwechungen der gemensamen Schätzer: σ 500 Frmen = 3.56, σ 750 Frmen = 2, σ 1,000 Frmen = 1.41, σ 2,000 Frmen = 0.7, σ 4,000 Frmen = 0.63 (1,000 smulerte Paare, 30 Peroden) 500 Frmen 750 Frmen 1,000 Frmen 2,000 Frmen 4,000 Frmen wahrer Wert 5 Geschätzter Parameterwert für β1, wahrer Wert = ,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 Geschätzter Parameterwert für β0, wahrer Wert = 5 Insbesondere für klene Frmenzahlen zegt sch klar, dass de Vertelungen der Schätzwerte großen Werten von (β 0,β 1 ) mehr Wahrschenlchketsmasse zuwesen. Vor allem für β 0 st deser Effekt ausgeprägt zu sehen. De Tatsache, dass der Bas der Parameterschätzungen und der Enfluss der Frmenzahlen auf de Standardabwechungen der Schätzungen verschwndet, wenn Daten über mehrere tausend Frmen vorlegen, resultert aus der fast scheren Konvergenz der beobachten Ausfallrate ener Perode gegen de mttlere Ausfallwahrschenlchket der Frmen, wenn de Frmenzahl gegen unendlch geht. Es st beachtlch, dass de Logt-Transformaton so senstv auf Abwechungen der Ausfallraten von den Ausfallwahrschenlchketen reagert, dass so vele Frmen notwendg snd, um den systematschen Fehler verschwnden zu lassen. Um enen abschleßenden Endruck von dem verzerrenden Effekt zu bekommen, den das lneare Schätzverfahren n Zusammenhang mt der ncht-lnearen Logt-Transformaton auf de Ergebnsse hat, betrachten wr de Vertelungen der langfrstgen mttleren Ausfallwahrschenlchketen, de für zukünfge Peroden smulert wurden, nachdem de Parameter geschätzt wurden. Abbldung 12

15 Kredtrsko Vertelung der mttleren Ausfallwahrschenlchketen der geschätzten und smulerten Prozesse n Credt Portfolo Vew (2.000 Smulatonsläufe, 30 Peroden, exponentell geglättet, wahre mttlere Ausfallwahrschenlchket = 0.707%, Bns = 0.01%) Kunden 750 Kunden Kunden Kunden Kunden wahrer Prozess wahres Mttel Häufgket ,0% 0,2% 0,4% 0,6% 0,8% 1,0% 1,2% 1,4% Mttlere Ausfallwahrschenlchket des geschätzten Prozesses Abbldung 12 wurde we folgt erstellt: Zunächst wurde der wahre Prozess so konstruert we oben m Bespel angegeben. Der Prozess wurde über 30 Peroden smulert und Ausfallhäufgketen wurden n jeder Perode für Samples von 500 bs 4000 Frmen smulert und beobachtet. De protokollerten Ausfallhäufgketen wurden verwendet, um de Parameter (β 0,β 1 ) zu schätzen. Mt den geschätzten Prozessen wurden Ausfallwahrschenlchketen über de nächsten 30 Jahre smulert und hr Mttelwert berechnet. Dese gesamte Prozedur wurde 2000 mal wederholt, um de Vertelungen der langfrstgen mttleren Ausfallwahrschenlchketen zu genereren. Tabelle Frmen 750 Frmen 1000 Frmen 2000 Frmen 4000 Frmen Wahre Vertelung Erwartungswert 0,58% 0,64% 0,65% 0,69% 0,70% 0,71% Standardabwechung 1,07E-02 4,29E-03 1,69E-03 1,10E-03 9,97E-04 6,83E-04 Schefe 3,89E-05 1,95E-06 2,44E-08 5,31E-10 3,98E-10 1,19E-10 Kurtose 1,57E-05 2,94E-07 8,09E-10 9,80E-12 5,21E-12 6,69E-13 Range 0 0,07% 0,07% 0,18% 0,37% 0,40% 0,53% 5%- Quantl 0,20% 0,34% 0,43% 0,53% 0,55% 0,60% 20%- Quantl 0,33% 0,48% 0,55% 0,60% 0,62% 0,65% 40%- Quantl 0,44% 0,57% 0,62% 0,65% 0,67% 0,69% 50%- Quantl 0,50% 0,61% 0,65% 0,68% 0,69% 0,70% 60%- Quantl 0,56% 0,65% 0,67% 0,70% 0,71% 0,72% 80%- Quantl 0,70% 0,74% 0,75% 0,76% 0,77% 0,76% 95%- Quantl 0,98% 0,90% 0,86% 0,87% 0,87% 0,83% Range 1 42,66% 16,23% 4,15% 1,45% 1,31% 0,97% Enge Kennzahlen der Vertelungen snd n Tabelle 1 zusammengefasst. Dre Dnge snd auffällg. Erstens, der Erwartungswert der wahren langfrstgen mttleren Ausfallwahrschenlchketen wrd be Vorlegen von Daten über 4000 Frmen n ener Branche und ener Beobachtungsrehe über 30 Peroden systematsch unterschätzt. Zwetens, deselbe Beobachtung glt für den Medan der Verte-

16 Kredtrsko lung. Der Medan der wahren Vertelung entsprcht dem 60%-Quantl der geschätzten Vertelung, wenn Daten über 4000 Frmen vorlegen. Er entsprcht dem 80%-Quantl, wenn nur Daten über 500 Frmen vorlegen. Drttens, der Schätzfehler wrd klener und Standardabwechung, Schefe, Kurtose und Spannwete der geschätzten Vertelungen konvergeren gegen de entsprechenden Werte der wahren Vertelung, wenn de Anzahl der Frmen, über de Daten ausgewertet werden können, zunmmt 25. Schleßlch se noch enmal betont, dass der systematsche Schätzfehler n der Regresson der Ausfallraten gegen de Makrofaktoren n Credt Portfolo Vew ncht durch de exakte funktonale Form der Logt-Transformaton ausgelöst wrd, sondern generell durch de Ncht-Lneartät der Transformaton n Kombnaton mt dem verwendeten Schätzverfahren. Be jeder anderen ncht-lnearen Transformaton würde en ähnlcher Effekt auftreten. D.h. es wäre kene Problemlösung de Logt- Transformaton etwa durch ene Probt-Transformaton zu ersetzen, z.b. durch de Vertelungsfunkton der Normalvertelung, de ebenfalls de reelle Achse und das Enhetsntervall n geegneter Wese aufenander abbldet 26. Anders als de Logt-Funkton st de nverse Vertelungsfunkton der Normalvertelung konkav n (0; 0,5], so dass de mttleren transformerten Ausfallraten her klener snd als hr transformerter Erwartungswert 27. De Vertelungsfunkton, mt der de Regressonsergebnsse zurücktransformert werden, st monoton wachsend, so dass das gesamte Schätzergebns de wahren Ausfallwahrschenlchketen auch weder unterzechnet. Der Schätzfehler kann nsgesamt nur vermeden werden, wenn das Schätzverfahren auf de Ncht- Lneartät der Transformaton abgestmmt wrd. Im Fall von Credt Portfolo Vew wäre des etwa mt ener Logt-Maxmum-Lkelhood-Schätzung möglch. 4. Bedngte Mgratonsmatrzen Selbst wenn de Ausfallwahrschenlchketen korrekt vorhergesagt würden, wäre des ncht der letzte Schrtt. De Schätzung der Ausfallwahrschenlchketen wurde ncht für en Ratng, sondern für de gepoolten Frmen mt Speculatve Grade-Ratngs durchgeführt, d.h. für Frmen, von denen bekannt st, dass se unterschedlche Ausfall- und Mgratonswahrschenlchketen haben. De bsher erzelten Ergebnsse müssen also auf de enzelnen Ratngklassen übertragen werden. Zu desem Zweck schlägt Wlson ene wetere Transformaton vor, be der sch de bedngten Ausfall- und Mgratonswahrschenlchketen der Frmen n ener bestmmten Branche mt enem bestmmten Ratng aus dem Verhältns der smulerten bedngten Ausfallwahrschenlchket der Speculatve Grade-Frmen n deser Branche zu hrer langfrstgen mttleren Ausfallrate ergbt. Nachdem aus dem oben gesagten deutlch wurde, dass Transformatonen enen entschedenden Enfluss auf de Egenschaften ener Vertelung und de Präzson enes Modells haben können, st es besonders krtsch, dass de Herletung der bedngten Übergangsmatrzen ene Lücke n der veröffentlchten Dokumentaton von Credt Portfolo Vew darstellt. 25 Beachte, dass Standardabwechung, Kurtose und Spannwete der geschätzten Vertelungen aufgrund des unsystematschen, zufällgen Schätzfehlers, der dadurch verursacht wrd, dass nur Beobachtungen n endlch vele Peroden vorlegen, mmer etwas größer snd als de entsprechenden Werte der wahren Vertelung. 26 Des wrd n anderem Zusammenhang von Km (1999) vorgeschlagen. In senem Modell trtt derselbe Schätzfehler auf, der oben beschreben st. Km hat allerdngs de Vertelungsfunkton der Normalvertelung ncht ns Gespräch gebracht, um enen Schätzfehler zu vermeden, sondern wel se von Credt Metrcs verwendet wrd, um Ratngmgratonen zu modelleren. 27 Des legt weder an der Jensen schen Unglechung, desmal für konkave Funktonen.

17 Kredtrsko Neben der Möglchket enes weteren systematschen Schätzfehlers st dese Transformaton de drtte Schätzung n Folge zwschen den makroökonomschen Rskofaktoren und den Mgratonswahrschenlchketen der Frmen mt den enzelnen Ratngs wobe jeder Schrtt de Varabltät der Ergebnsse erhöht. Wr geben weder en 5. Bespel De zukünftge makroökonomsche Stuaton wrd n Credt Portfolo Vew mt dem zetlchen Abstand mmer unabhängger von der gegenwärtgen Stuaton. De langfrstgen mttleren Ausfallwahrschenlchketen jeder Ratngklasse sollten deshalb gegen hre langfrstgen mttleren Ausfallraten konvergeren. Durch Verwendung der oben erwähnten Markov-Annahme können kumulerte n-jahres-ausfallwahrschenlchketen lecht aus den enjährgen Ausfallwahrschenlchketen abgeletet werden, ndem de enjährgen Mgratonsmatrzen, de etwa von den Ratngagenturen veröffentlcht werden, n-mal mt sch selber multplzert werden 28. En Verglech der Ergebnsse für enen 10-Jahres-Zethorzont mt dem Bespel verglechen, das Wlson 29 für de deutsche Volkswrtschaft gbt, zegt, dass de Resultate sehr stark vonenander abwechen. Tabelle 2: Extrapolerte kumulerte 10-Jahres-Ausfallwahrschenlchketen (durch Markov- Annahme) Ratng 30 Extrapolaton Wlsons von Moody s Ergebnsse Mgratonsmatrx 31 Verhältns AAA 0,47% 1,74% 374% AA 1,35% 4,12% 305% A 3,72% 9,58% 257% BBB 9,71% 22,63% 233% BB 24,78% 46,75% 189% B 44,96% 69,12% 154% CCC 68,55% 83,58% 122% De Abwechung st umso bemerkenswerter, als Wlson selbst ene Markov-Annahme macht und Moody s enjährge Mgratonsmatrx verwendet, um de langfrstgen Übergangsmatrzen abzuleten. Besonders für Investment Grade-Frmen snd de aus Moody s Daten abgeleteten Ausfallwahrschenlchketen nur en Vertel bs halb so groß we de von Wlson konstaterten. De Transformaton von Ausfallwahrschenlchketen für den gepoolten Speculatve Grade n ratngspezfsche Ausfallwahrschenlchketen st offenbar kene selbstverständlche Sache. Es erschent auch ncht als überzeugend, de Ergebnsse durch ene katastrophale wrtschaftlche Stuaton n Deutschland m Jahr 1997 zu erklären. 28 Wlson selbst ztert Moody s Mgratonsmatrx, Wlson (1997a), p. 113, Tabelle A. Wr haben dese Daten für de Extrapolaton n Tabelle 2 verwendet. Beachte, dass Wlson genau deselbe Matrx n Wlson (1997c), Abbldung 6, also Standard and Poor s Mgratonsmatrx ztert! 29 Wlson (1997a), p. 117, Tabelle B. 30 Es st Wlsons Termnology de Notaton von Standard and Poor s für Moody s Ratngklassen zu verwenden (sehe oben Fußnote 28). 31 Sehe auch Fußnote 28.

18 Kredtrsko De Markov-Annahme verenfacht scherlch de Beschrebung des langfrstgen Ausfallverhaltens von Frmen beträchtlch. Es st allerdngs ncht klar, we nah se an der Realtät st. De Markov- Annahme mplzert, dass es kene systematschen Anenanderrehungen von Ratngdowngrades oder upgrades über mehrere Jahre gbt, so we se be IBM n den 1980 er oder be SAP n den 1990 er Jahren beobachtet werden konnten. Wr verglechen deshalb Wlson s Ergebnsse mt den von Standard and Poor s drekt geschätzten kumulatven 10-Jahres-Ausfallwahrschenlchketen 32. Tabelle 3: Drekt geschätzte kumulerte 10-Jahres-Ausfallwahrschenlchketen Ratng Standard and Poor's kumulerte 10-Jahres- Ausfallwahrschenlchketen Wlsons Ergebnsse Verhältns AAA 0,51% 1,74% 341% AA 0,60% 4,12% 687% A 1,17% 9,58% 819% BBB 2,89% 22,63% 783% BB 11,80% 46,75% 396% B 31,85% 69,12% 217% CCC 46,53% 83,58% 180% Mt Ausnahme des AAA-Ratngs snd de Abwechungen her sogar noch ausgeprägter. Im Schntt snd Wlsons mt Credt Portfolo Vew erzelte Resultate 4,98 mal so groß we de von Standard and Poor s. Zum Tel schent deses Ergebns auf de Transformaton der Speculatve Grade- Ausfallwahrschenlchketen n ratngsspezfsche Ausfallwahrschenlchketen n Schrtt 3 des Modells zurückzuführen sen. Abbldung 13 verglecht de bedngten und unbedngten n-jahres- Ausfallwahrschenlchketen nach ener schweren Krse für gepoolte Speculatve Grade-Frmen (also ohne Schrtt 3). Trotz der starken Persstenz von Schocks n Credt Portfolo Vew 33 st de auf den Schock bedngte 10-Jahres-Ausfallwahrschenlchket nur etwa 10% größer als de unbedngte. Des st wesentlch wenger als de n Tabelle 2 und Tabelle 3 für de ratngsspezfschen Ausfallwahrschenlchketen konstaterten Abwechungen, obwohl für de Ergebnsse n den Tabellen ken besonderer makroökonomscher Schock angenommen werden konnte. 32 Vgl. Standard and Poor s (2001), p Vgl. Abbldung 2 oben. Der Prozess und das Krsenszenaro, dass für de Analyse n Abbldung 13 verwendet wurde, st dasselbe, das n Fußnote 17 beschreben wurde.

19 Kredtrsko Abbldung 13 Bedngte und unbedngte kumulerte Speculatve Grade- Ausfallwahrschenlchketen n Credt Portfolo Vew 10,000 Smulatonsläufe 45% relatve Abwechung der bed. von der unbed. Aws. unbed. kumulerte Aws. bed. kumulerte Aws. 40% Verhältns Kumulerte Ausfallwahrschenlchket 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Anzahl Peroden Fazt Wlson beabschtgte das Ausfallverhalten von Frmen und makroökonomsche Rskofaktoren emprsch mtenander n Bezehung zu setzen. De Analyse hat jedoch gezegt, dass de Verbndung n Credt Portfolo Vew eher locker und sehr ndrekt hergestellt wrd. In jedem enzelnen von mehreren Modellerungsschrtten traten zudem multple Probleme und n hrer Größe und Rchtung ncht abschätzbare Fehler auf. Credt Portfolo Vew erfüllt damt ncht de selbstgestellte Aufgabe und trägt eher zusätzlche Unscherhet zur Kredtrskoanalyse be als Erklärungspotenzal. Credt Portfolo Vew war der erste Anfang ener Erklärung des Zusammenhangs von Ausfallwahrschenlchketen und makroökonomschen Enflüssen. Obwohl enge Schwergketen des Modells gemldert werden könnten, bleben allerdngs vele graverende Defzte sener Archtektur bestehen, so dass en Neuanfang für de Weterentwcklung am velversprechendsten zu sen schent. Kontakt: Uwe Wehrspohn Unverstät Hedelberg Alfred Weber Insttut Grabengasse Hedelberg Tel.: Center for Rsk & Evaluaton GmbH & Co. KG Berwanger Straße Eppngen Emal: wehrspohn@rsk-and-evaluaton.com Wetere Unterlagen fnden Se unter

20 Kredtrsko Lteratur: Tobas Bär (2000): Predctng busness falure rates: emprcal macroeconomc models for 16 German ndustres, Workng Paper, McKnsey & Co. Jongwoo Km (1999): A way to condton the transton matrx on wnd, Workng Paper, Rskmetrcs Group McKnsey & Company (1999): Credt Portfolo Vew, Technsche Dokumentaton Susanne Nethen (2001): Korrelatonskonzepte zur Quantfzerung von Kredtausfallrsken Standard and Poor s (2001): Ratngs performance 2000 Thomas C. Wlson (1997a): Portfolo credt rsk (I), Rsk 9.9, pp Thomas C. Wlson (1997b): Portfolo credt rsk (II), Rsk 9.10, pp Thomas C. Wlson (1997c): Measurng and managng credt portfolo rsk Part 1: Modellng Systemc default rsk, The Journal of Lendng and Credt Rsk Management, reprnt Thomas C. Wlson (1997d): Measurng and managng credt portfolo rsk Part 1: Portfolo loss dstrbutons, The Journal of Lendng and Credt Rsk Management, reprnt Thomas C. Wlson (1998): Portfolo credt rsk, FRBNY Economc Polcy Revew, reprnt