Stochastik für die Naturwissenschaften

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1 Stochastik für die Naturwisseschafte Dr. C.J. Luchsiger Hip hip hooray - Jetzt begit die eigetliche Statistik! 8. Schätze vo Parámeter ud Kofidezitervalle Literatur Kapitel 8 * Statistik i Cartoos: Kapitel 6 ud Kapitel 7 * Stahel: Kapitel 7 ud 9 * Storrer: Kapitel 42 ud Grudbegriffe der beurteilede Statistik Kapitel 42 i Storrer wird i der Vorlesug überspruge. Sie sollte es sicher zwei mal lese: eimal ach dieser Doppelstude, da am Schluss der Vorlesug ochmals. Lese Sie dazu auch i diesem Skript 5.3 ochmals durch. Kurz zusammegefasst (Storrer Kapitel 42): Statistik: aus Stichprobe Rückschlüsse auf Gesamtheit ziehe * Küke > Durchschittsgewicht * eue Kartoffelsorte > besser als alte? Alte Sorte Neue Sorte * Müze > fair? * Azahl Zerfälle > Poissoverteilt? Vgl Schluss Kapitel 7. Statistische Überprüfug eier eileuchtede Theorie ahad vo empirische Date. 129

2 Im erste Beispiel wird die Zufallsgrösse (zufällig ist die Auswahl des Kükes) X das Gewicht sei ud E[X] das durchschittliche Gewicht aller Küke. Wir habe ormalerweise icht ur ei Küke i der Stichprobe, soder allgemei, zum Beispiel = 50. Wie ist das zu verstehe? Die Date sid da x 1, x 2,..., x 50. (8.1) Das zugrude liegede Experimet (Auswahl eies Kükes) wird hierzu 50 mal (uabhägig) wiederholt (mit Zurücklege, siehe Storrer Kapitel 42). Wir habe damit eie Folge vo Zufallsgrösse X 1, X 2,..., X 50, (8.2) welche im kokrete Fall (8.1) hervorgebracht habe. Diese Folge i (8.2) wird mit iid Zufallsgrösse modelliert - ausser wir vereibare etwas aderes. Lese Sie dazu vor allem Seite 202 i Storrer aufmerksam durch - vielleicht werde Ihe damit Kapitel 5 ud 7 eher klar. 130

3 8.1 Schätze vo Parameter (Estimatio of parameters) Schätze des Erwartugswerts Gegebe sei eie Stichprobe vom Umfag 9. Der Mittelwert der Grudgesamtheit ist leider ubekat. Wir wolle diese Mittelwert schätze. Die Stichprobe sieht folgedermasse aus (bereits der Reihe ach geordet ud auf 2 Stelle ach dem Komma gerudet): 0.21, 0.11, 0.39, 0.64, 1.24, 1.46, 1.51, 2.89, 3.53 Wie köte wir µ schätze? Wir bezeiche eie Schätzer für eie Parameter µ mit ˆµ (für σ 2 mit ˆσ 2 ). 131

4 Welche Vorschlag sollte wir warum auswähle? MathematikerIe habe mit gutem Grud das arithmetische Mittel 1 als de Schätzer für de Mittelwert idetifiziert. X i Warum ud Eiwäde: 1. Eier vo viele Grüde ist die Erwartugstreue: Wie i Kapitel 5 berechet, gilt ämlich E [ 1 X i] = µ. Also wird ma im Mittel (we wir immer wieder ereut mit eue Date mit dem arithmetische Mittel de Erwartugswert bereche) de Erwartugswert geau treffe. 2. We wir zudem immer mehr Date erhalte, also das erhöhe, wird wege des LLN der Schätzwert immer äher a de Erwartugswert komme (siehe Kapitel 7.1). 3. Leider hat das arithmetische Mittel eie grosse Nachteil: die starke Abhägigkeit vo Ausreisser, also extreme Werte. We auch ur ei Datewert völlig falsch ist (Übermittlugs- oder Ablesefehler), da wird das arithmetische Mittel evetuell auch total falsch. Der Media ist robuster. Das heisst für die Praxis: 132

5 8.1.2 Schätze der Variaz Wir habe bereits i der beschreibede Statistik de folgede Schätzer für die Variaz keegelert: 1 ( 1) (x j x) 2. j=1 Warum wird vorgeschlage, durch ( 1) zu teile? Die Atwort fidet sich i (43.6), wobei die kokrete Rechuge aalog aber viel komplizierter - sid. wieder um die Erwartugstreue: [ 1 E ( 1) ] (X j X) 2 = σ 2. j=1 Es geht Durchschitt als Zufallsgrösse Wir sid bis jetzt (vgl Teil 8.0 ud 5.3) locker zwische kleie x ud grosse X hi ud her gespruge. 1 ist eie Zahl. Aber bei aderer Auswahl würde diese Zahl wohl leicht aders aussehe. We wir de Ausdruck 1 utersuche, erfahre wir etwas über de erwartete Wert des arithmetische Mittels ud über die Variaz des arithmetische Mittels. Wir repetiere icht zum erste Mal vo Kapitel 5: E[X] = E [ 1 X [ i] = µ ud V [X] = V 1 X ] i = 1 σ2 ud damit sd[x] = 1 σ. Des weitere erier wir us vo Kapitel 6: Summe vo Normal ist Normal (Summade müsse icht mal idetisch verteilt sei) N (µ i, σ 2 i ) = N ( µ i, σ2 i ). Wir schaue ochmals die Z-Trasformierte a: We X eie N (µ, σ 2 )-Verteilug hat, da hat Z := X µ σ eie N (0, 1)-Verteilug. Damit köe wir iteressate Schlussfolgeruge ziehe: x i X i 133

6 1. [schwache Voraussetzuge] We wir eie Folge vo - icht ubedigt ormalverteilte - iid Zufallsgrösse X 1,..., X habe mit Stadardabweichug σ, da hat das arithmetische Mittel (als Zufallsgrösse) eie Stadardabweichug vo σ X := sd[x] = σ. (sog. Stadardfehler) Das σ ist ormalerweise icht bekat ud wir werde es mit s := 1 (x j x) ( 1) 2 schätze. Zusamme erhalte wir als Schätzug des Stadardfehlers folgede Ausdruck: s X := j=1 s j=1 = (x j x) 2. ( 1) Beispiel Storrer p 207 ute schaue Sie als Hausaufgabe a. Warug ud Kosequeze: Verwechsel Sie icht Stadardfehler (sd[x]) ud die Stadardabweichug (sd[x]) selber: Im Stadardfehler wird durch geteilt ud damit wird er immer kleier, je grösser wir das (=Stichprobegrösse) mache. Dies sollte ja auch so sei: je mehr Date wir habe, desto präziser köe wir schätze. Die Präzisio ist aber derart, dass ma zum Beispiel vier mal mehr Date braucht, um eie doppelte Geauigkeit (Stadardfehler halbiere) zu erhalte. Warum schaut ma diese Ausdruck überhaupt a? 134

7 2. [starke Voraussetzuge]: We wir sogar eie Folge X 1,..., X vo iid N (µ, σ 2 )- Zufallsgrösse habe, so köe wir sogar viel weiter gehe: Wege N (µ i, σi 2 ) = N ( µ i, σi 2 ) hat die Summe X i eie N (µ, σ 2 ) -Verteilug. Wege Lemma 5.3, Lemma 5.4 a) ud der Z-Trasformierte hat X eie N (µ, σ2 ) -Verteilug. Dies gibt das Bild i Storrer p 208. Weil die Variaz immer kleier wird, wird die Dichtefuktio immer eger ud damit die Schätzug immer präziser. Wir reche hierzu och das Zahlebeispiel i Storrer p 209 obe. 135

8 8.2 Kofidezitervalle (Itervall-Schätzer) Eigetlich iteressiere wir us für eie ubekate Parameter, de wir schätze wolle. Kofidezitervalle gebe us eie Vorstellug vo der Präzisio eies Schätzers / eier Schätzug. Ziele vo 8.2: Die StudetIe wisse, was ei Kofidezitervall (KI) ist - ud was es icht ist. Sie erkee Formel für KI i 4 wichtige Fälle wieder ud köe diese awede Was ist ei Kofidezitervall (KI) - was ist es icht Was ist es icht - drei Beispiele: 1. Sozialwisseschafte: I de Nachrichte liest ma oft Sätze der Art (Zahle frei erfude): Aufgrud eier Befragug mit eier Stichprobe vo Persoe kam ma zum Schluss, dass der Ateil der Ahäger vo Budeskazleri Merkel mit 95 % Wahrscheilichkeit i eiem Kofidezitervall vo [46%, 48%] liegt. Was ist hier falsch? 2. Physik: 3. Stochastik: 136

9 Defiitio 8.1 [Kofidezitervalle] Ei Kofidezitervall KI für µ mit Kofidezkoeffiziet (1 α) ist eie zufällige Teilmege vo R mit der Eigeschaft, dass P [µ KI] = 1 α für alle µ R (siehe auch Storrer p 217). Bemerkuge zu Defiitio 8.1: Im Teil was ist es icht habe wir bereits betot, dass µ icht zufällig ist. Das Kofidezitervall KI ist zufällig (vor der Realisatio). We daach die Realisatio mit kokrete Zahle vorliegt, sollte ma Formulieruge brauche wie: [46%, 48%] ist eie Realisatio eies 95 % Kofidezitervalles. Dies mache ur MathematikerIe; Sie dürfe sage: [46%, 48%] ist ei 95 % Kofidezitervall Kostruktio vo KI s N (µ, σ 2 ): KI für µ we σ 2 bekat Date x 1,..., x, bereche arithmetisches Mittel x. Bei Luchs im Büro; vor Versuch: Wechsel zu Zufallsgrösse: betrachte X. Verteilug vo X ist: Also ist X µ σ 2 wege der Z-Trasform eie N (0, 1)-Zufallsgrösse. Aber das ist ja fatastisch: wir kee die kritische Werte bei eier N (0, 1)-Verteilug: [ P 1.96 X µ σ 2 ] 1.96 = 95%. (8.3) Ziel ist offesichtlich ei (1 α) = 95%-KI! Aber: wir köe offesichtlich (8.3) (och) icht als KI verkaufe. Mache wir ei paar algebraische Umformuge (Resultat ist da (8.8)): [ σ 2 σ P 1.96 X µ ] = 95%. (8.4)

10 Wir addiere µ: [ σ 2 σ P µ 1.96 X µ forme es och um zu [ [ σ 2 σ P X µ 1.96, µ Dies ist aber gleichbedeuted mit ] = 95%, (8.5) ]] = 95%. (8.6) [ [ P µ X 1.96σ, X σ ]] = 95%. (8.7) Wir vergleiche voller Stolz ud Befriedigug (8.7) mit Defiitio 8.1. Also gilt (ach Versuch, mit Date): ei 95 % KI für µ bei bekatem σ 2 ud Date x 1,..., x i Modell N (µ, σ 2 ) ist: [ x 1.96σ, x σ ]. (8.8) 99 % KI i dieser Situatio ist: Was geschieht we σ 2 wächst? Was geschieht we wächst? 138

11 Kleie Aufgabe zu KI I: Es wird ageomme, dass die Durchmesser der auf eier bestimmte Alage hergestellte Stahlkugel durch die Realisatioe eier ormalverteilte Zufallsgrösse mit σ = 1.04 mm beschriebe werde köe. Aus eier Stichprobe vom Umfag = 30 ergab sich x = mm. Bestimme Sie für die Vertraueswahrscheilichkeit vo 0.95 ud 0.99 die Greze des KI für de mittlere Durchmesser dieser Kugel. 139

12 N (µ, σ 2 ): KI für µ we σ 2 ubekat (realistisch), Storrer (43.8) Date x 1,..., x, bereche das arithmetische Mittel x. Bei Luchs im Büro; vor Versuch: Wechsel auf die Ebee der Zufallsgrösse: betrachte X. Verteilug vo X ist: Also hat wege der Z-Trasform der Ausdruck X µ σ 2 eie N (0, 1)-Verteilug. Ooooops? σ 2 ist ubekat! Keie Paik: Wir werde es eifach schätze: Das Tier ˆσ 2 := 1 1 X µ ˆσ 2 = (X i X) X µ (X i X) 2 (8.9) hat eie t 1 -Verteilug! Die t-verteilug ist fast eie Normalverteilug. Das fast kommt daher, dass wir im Neer vo (8.9) icht das (ebe ubekate) σ eisetze köe, soder ur eie Schätzug hiervo. Die Schätzug vo σ bedeutet mehr Usicherheit, womit die t-verteiluge mehr Gewicht i de Ede habe. I Storrer (43.7) habe Sie hierzu mehr Iformatioe. I meiem Skript ist i ebefalls die t-verteilug aufgeführt. Mit de gleiche Schritte wie i folgt da aalog zu (8.8); ach Versuch, mit Date: [ CV ˆσ CV ˆσ x, x + ], (8.10) wo ˆσ := 1 1 (x i x) 2. (8.11) Der kritische Wert (Critical Value CV) ist jetzt icht mehr ur vo (1 α) abhägig (wie i ), soder auch vo (vgl. z.b. Tabelle i (51.4)). Zum Beispiel mit = 20 sid die kritische Werte für ei 95%-KI: zu vergleiche mit de 1.96 vo

13 Kleie Aufgabe zu KI II: gleiche Ausgagslage wie bei Aufgabe I, aber wir kee σ icht ud habe es mit (8.11) geau auf 1.12 mm geschätzt. Bereche Sie das 0.95-KI ochmals i dieser Situatio. Was passiert we grösser wird? Was we σ 2 grösser wird? Storrer A 43-8: 141

14 8.3. Die 4 wichtigste KI aus der Praxis (beyod Storrer) Orietierugsschema: I de bisherige Situatioe ( ud ) stelle wir fest, dass dortige 95 % Kofidezitervalle approximativ immer ach dem gleiche Schema aufgebaut sid: [x 2sd(X), x + 2sd(X)]. (geeric) Die Zahl 2 ist im Fall der Normalverteilug eigetlich präziser user bekates De Uterschied zwische 1.96 ud 2 igoriere Praktiker/ie gere - wir jetzt auch. Wege des CLT habe wir bei grosse approximativ i der Summe (x beihaltet eie Summe!) ebefalls fast eie Normalverteilug (techisch: solage die X i s eie edliche Variaz besitze). Deshalb köe wir i de och folgede 3 Fälle A, B ud C obige geerische Formel (geeric) beutze. 142

15 A (Beroulli/Biomial): Sei x i gleich 1 bei Erfolg ud gleich 0 bei Misserfolg bei Versuch i. Da ist x i die gesamte Azahl Erfolge ud damit x := 1 x i der Ateil der Erfolge (zb bei = 100, 100 x i = 57, x = 0.57). Weil wir jetzt ei Kofidezitervall für die Erfolgswahrscheilichkeit wolle, äder wir gleich die Bezeichug ud setze: ˆp := x := 1 x i. Wir wolle ei 95 % KI für die wahre Wahrscheilichkeit p kostruiere. Dies wird auch i HHS (43.9) gemacht; hier ist es eifacher: vo (geeric) her habe wir - auf der Ebee vo Zufallsgrösse ˆp ± 2sd(ˆp). Wir kee sd(ˆp) icht. Es gilt: V [ˆp] = V [ 1 ] X i = 1 [ 2 V ] X i = 1 2 V [X i ] = 1 2 V [X 1] = 1 p(1 p). p(1 p) Damit gilt sd(ˆp) =. Leider ist p ubekat; wir ersetze es deshalb durch die ˆp(1 ˆp) Schätzug ud erhalte sd(ˆp) =. Damit erhalte wir für das KI [ ˆp(1 ˆp) ˆp 2, ˆp + 2 ˆp(1 ˆp) Das ist Formel (4) i HHS, Seite 220. Eie (us icht ubekate) Praktikerregel verlagt hier, dass ˆp(1 ˆp) > 9 sei muss, sost muss ma die sogeate Geigy-Tabelle oder die sogeate Methode ach Wilso (das ist im Storrer) awede. ]. Wir reche zur Kotrolle obiger Formel gleich mal das Beispiel aus ach, bei der es um das KI zur Ahägerschaft vo Agie gig: Die Formel sieht für die USA (324 M Eiwoher), Schweiz ( Eiwoher) ud Nauru (10084 Eiwoher) geau gleich aus!? 143

16 B (Beroulli/Biomial; KI für Differez bei Proportioe): Wir habe jetzt 2 Stichprobe (zb Erfolg vo 2 Operatiosmethode oder bei Abstimmuge ob Romadie aders stimme wird als Deutschschweiz). Aalog zu A habe wir m Objekte i Gruppe 1 ud Objekte i Gruppe 2. Sei x i gleich 1 bei Erfolg ud gleich 0 bei Misserfolg bei Versuch i i Gruppe 1. Da ist m x i die gesamte Azahl Erfolge ud damit x := 1 m m x i der Ateil der Erfolge. Aalog sei y j gleich 1 bei Erfolg ud gleich 0 bei Misserfolg bei Versuch j i Gruppe 2. Da ist j=1 y j die gesamte Azahl Erfolge ud damit ȳ := 1 j=1 y j der Ateil der Erfolge. Weil wir wieder ei Kofidezitervall für die Erfolgswahrscheilichkeite (jetzt aber für die Differez ebedieser Wahrscheilichkeite) wolle, äder wir gleich die Bezeichug ud setze: ˆp 1 := x := 1 m m x i, ˆp 2 := ȳ := 1 y j. j=1 Wir wolle ei 95 % KI für die Differez der Wahrscheilichkeite p 1 p 2 kostruiere: vo (geeric) her habe wir - auf der Ebee vo Zufallsgrösse (ˆp 1 ˆp 2 ) ± 2sd(ˆp 1 ˆp 2 ). Sie bereche bitte aalog zum Fall A sd(ˆp 1 ˆp 2 ). Wir erhalte schlussedlich für das KI: [ ˆp1 (1 ˆp 1 ) (ˆp 1 ˆp 2 ) 2 + ˆp 2(1 ˆp 2 ) m, (ˆp 1 ˆp 2 ) + 2 ˆp1 (1 ˆp 1 ) m + ˆp ] 2(1 ˆp 2 ). Praktikerrregel: ˆp i [0.1, 0.9] ud m, je grösser als 30; sost mit der Methode ach Wilso (googel). 144

17 C (2 Stichprobe; Normalverteilug; KI für Differez der Mittelwerte): Wir habe wieder 2 Stichprobe (zb Ertrag Dügemittel vo 2 verschiedee Düger). Aalog zu B habe wir m Objekte i Gruppe 1 ud Objekte i Gruppe 2. Sei x i der Wert bei Versuch i i Gruppe 1 - wir modelliere mit eier N (µ 1, σ 2 )-Zufallsgrösse. Da ist x := 1 m m x i der Durchschittswert i Gruppe 1. Aalog sei y j der Wert bei Versuch j i Gruppe 2 - wir modelliere mit eier N (µ 2, σ 2 )-Zufallsgrösse. Die Variaze der eizele Messuge i Gruppe 1 ud 2 müsse gleich sei! Da ist ȳ := 1 j=1 y j der Durchschittswert i Gruppe 2. Wir wolle ei 95 % KI für die Differez der Mittelwerte µ 1 µ 2 kostruiere: vo (geeric) her habe wir - auf der Ebee vo Zufallsgrösse ( X Ȳ ) ± 2sd( X Ȳ ). Aalog zu A ud B wird auch hier sd( X Ȳ ) berechet, wobei für die Schätzug vo σ 2 ei hier icht begrüdeter ugewöhlicher Ausdruck verwedet wird: Wir erhalte für das KI zuerst: [ ( 1 ( x ȳ) ± 2 m + 1 ) m (x i x) 2 + j=1 (y j ȳ) 2 m + 2 Hier wird i Abweichug des bisherige Vorgehes icht 2 beutzt, soder der etsprechede Term aus der t m+ 2 -Verteilug, da ma σ 2 geschätzt hat (Fehlerquelle Prüfug). [ ( 1 ( x ȳ) ± CV m + 1 ) m (x i x) 2 + j=1 (y j ȳ) 2 m + 2 Alle 4 Fälle für KI müsse für die Prüfug beherrscht werde. I de ]. ]. Übuge werde wir aber icht i jedem Semester zu jedem Fall ei Beispiel löse. Schaue Sie stattdesse die 10 letzte Prüfuge im Archiv a. 145

18 8.4. KI: wie gross muss sei? Wichtig: 1. Lese Sie jetzt das komplette Kapitel im Storrer II selber durch (Kapitel 42-43). 2. Löse Sie daach midestes 5 Aufgabe hite im Kapitel ud vergleiche Sie mit de Lösuge am Schluss des Buches. Bei Bedarf löse Sie mehr Aufgabe. 3. Gehe Sie i die Übugsstude. Drucke Sie das Übugsblatt dazu vorher aus, lese Sie vorher die Aufgabe durch ud mache sich erste Gedake dazu (zum Beispiel, wie ma sie löse köte). 4. Da löse Sie das Übugsblatt: zuerst immer selber probiere, falls icht geht: Tipp vo Mitstudi beutze, falls immer och icht geht: Lösug vo Mitstudi aschaue, 1 Stude warte, versuche, aus dem Kopf heraus wieder zu löse, falls immer och icht geht: Lösug vo Mitstudi abschreibe (ud verstehe - also sollte ma isbesodere keie Fehler abschreibe!). 5. Löse Sie die etsprechede Prüfugsaufgabe im Archiv. 146