Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans

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1 Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben. Welche Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden gibt es?. Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene in Parameterform im IR 3. Wie untersucht man sie auf Schnittpunkte? 3. Eine Gerade wird mit einer Ebene in PF gleichgesetzt, man erhält ein LGS. Wie interpretiert man die Lösung geometrisch? 4. Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt P. Wie bildet man eine Normalenform der Ebene, die senkrecht zu g durch P verläuft? 5. Wie bestimmt man den Schnittwinkel α zweier Geraden? 6. Wie bestimmt man die Länge eines Vektors? 7. Wie zeigt man mithilfe von Vektoren, dass ein Viereck ABCD ein Quadrat ist? 8. Wie zeigt man, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen? 9. Wie zeigt man, dass ein Punkt P im Parallelogramm ABCD liegt? 0. Wie zeigt man, dass drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen?. Wie zeigt man, dass vier Punkte in einer Ebene liegen? Wie zeigt man, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene steht,. die in Parameterform gegeben ist (ohne eine KF zu berechnen)? 3. Wie zeigt man, dass ein Viereck ABCD ein Drachenviereck ist? 4. Wie zeigt man, dass ein Viereck ABCD ein Parallelogramm ist? 5 Wo schneidet E: 4y +z = 6 die Koordinatenachsen? 6. Wie bestimmt man das Volumen einer quadratischen Pyramide? 7. Wie kommt man von der PF einer Ebenengleichung zu einer Normalenform? 8. Wie weist man nach, dass ein Dreieck ABC gleichschenklig ist? 9. Wie bestimmt man den Abstand d(p,g) mit g: OA t u? Die Geraden g und h beschreiben die Flugbahnen zweier Flugzeuge. 0. Wie untersucht man die Möglichkeit einer (Beinahe-)Kollision?. Wie bestimmt man den Mittelpunkt einer Strecke?. Wie zeigt man, dass zwei Geraden g und h identisch sind? 3. Wie ermittelt man die Schnittpunkte dreier Ebenen? 4. Wie überprüft man die Lagebeziehung zweier Ebenen in Koordinatenform? 5. Wie überprüft man ob eine Pyramide gerade ist? 6. Wie ermittelt man eine Schnittgerade zweier Ebenen in KF? 7. Wie bildet man die Spurgerade einer Ebenen in der z-ebene? 8. Wie ermittelt man den y-achsenabschnitt einer Ebene in KF? 9. Wie erkennt man, dass eine Normalenform die Hesse sche Normalenform ist? 30. Wie berechnet man den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E: n c? 3. Wie lässt sich geometrisch das SP zweier kollinearer Vektoren erklären? 3. Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene? Gegeben sei eine Pyramide ABCS mit Volumen V. 33. Wo liegen alle Punkte S die mit ABC das gleiche Volumen V haben? Wie kann man den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC berechnen, ohne die Höhe zu 34. kennen? 35. Beschreibe die Lage der Ebene =.

2 36. Wie spiegelt man einen Punkt P an einer Ebene F? 37. Welche geometrische Bedeutung hat das SP zweier Vektoren a und b? 38. Ermittle eine PF der Geraden y = Stelle g: t in der Form y=m+n dar. 40. Welche besondere Lage hat die Ebene y=0? 4. Wie weist man nach, dass zwei Geraden windschief zueinander verlaufen? 4. Spiegele den Punkt P( 3) an der Ebene y=5 43. Wie berechnet man den Fußpunkt F eines Lotes vom Punkt P auf g: OA t u? A( 3); B( 4); OA OB =? 45. A( 3); B( 4); OA OB =? 46 Wie lang ist der Vektor mit den Koordinaten 8, 4 und? 47. A( 3); n OA ; Ermittle eine KF der Ebene mit NV n durch P(4 0 ) 48. Gib den Ansatz für eine PF der Ebene durch P, Q und R an. 49. Gib einen Normalenvektor für die Ebene z=0 an. 50. Wann sind zwei Geraden parallel? 5. Wie spiegelt man einen Punkt P an einer Geraden g: OA t u? 5 Wie lang ist der Vektor mit den Koordinaten, und? 53 Wie nennt man ein Viereck mit vier gleich langen Seiten? 54 Wie heißt ein Viereck mit gleich langen Diagonalen, die senkrecht aufeinander stehen? 55 Welche Folgerung kann man ziehen, wenn die Vektoren AB und BC kollinear sind? 56 A( ); Welcher Vektor stimmt in Richtung und Orientierung mit OA überein, hat aber die Länge? 57 In einem Drachenviereck sind die Diagonalen 6 cm und 8 cm lang. Fl. Inhalt A =? 58 Wo liegt der Mittelpunkt der Strecke AB mit A( ) und B(3 4)? 59 Wie nennt man ein Viereck mit a) gleich langen Diagonalen, die sich halbieren? b) zwei parallelen Seiten? c) vier gleich langen Seiten? 60 Welche Eigenschaft haben alle Richtungsvektoren einer Gerade? 6 Wo liegt der Schwerpunkt des Dreiecks ABC mit A( 3), B( ) und C( 3 0 )? 6 Wie verlaufen zwei Geraden, die weder identisch noch windschief sind und sich auch nicht schneiden? 63 Wie viel Kantenvektoren bei einem Quader sind jeweils gleich? Ein Eckpunkt eines Quaders, von dem drei Kanten auf den Koordinatenachsen 64 liegen, ist der Ursprung. ein anderer Punkt ist P( 3). Gib die Koordinaten eines weiteren Punktes an km/h =? m/s 66 Nenne einen Richtungsvektor der 3 Ebene, der möglichst viele von null verschiedene Koordinaten besitzt. 67 Zu welcher Ebene verläuft z= senkrecht? 68 Wie nennt man den Schnitt von Ebene und 3 Ebene? 69 Wodurch kann man den SV einer Ebene ersetzen, ohne dass sich die Ebene ändert? Ein Eckpunkt eines Quaders achsenparallelen Quaders ist P( ), der von P am 70 weitesten entfernte Punkt ist Q(5 8 5). Wie lang ist eine Raumdiagonale des Quaders?

3 7 Wann verlaufen die Geraden g : OA r AB und h : OC t CD parallel? 7 A( 3); B(- 4) a) OA OB b) OA OB 73 Wie löst man ein LGS mit Gleichungen und 3 Variablen? 74 Begründe, ob der Punkt P( 3 4) auf der Ebene E: y+z= 4 liegt. 75 a) Wie berechnet man zu einem Vektor a den zugehörigen Einheitsvektor? b) b soll bei gleicher Richtung und Orientierung wie a die Länge haben. b =? 76 OP t u beschreibt den Flug eines Flugzeuges. Geschwindigkeit v =? 77 Zwei Vektoren a und b sind durch zwei Pfeile mit gemeinsamem Fußpunkt veranschaulicht. Wie verläuft ein Pfeil zum Vektor a b? 78 Die Koordinaten eines Punkte P(a b c) sind gegeben. Wie spiegelt man rechnerisch diesen Punkt an a) einer Achse b) einer Koordinatenebene c) einem Punkt Q? 79 Wie weit ist die Ebene E: 4+4y+7z= 36 vom Ursprung entfernt?

4 Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Lösungen. Schnitt, windschief, echt parallel oder identisch. Man setzt Ebene und Gerade gleich (ggf. Parameter umbenennen) und löst das LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, sind Ebene und Gerade 3. echt parallel; bei genau einer Lösung gibt es einen Schnittpunkt mit diesen Koordinaten; bei unendlich vielen Lösungen liegt die Gerade in der Ebene. 4. Man benutzt den RV der Geraden als NV und berechnet E: n n OP. 5. cos = 6 uv u v, wobei u und v die RV der Geraden sind. Man zieht die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten: v v v v3 im IR 3 bzw. v v v im IR 7. AB DC (Parallelogramm), AB AD 0 (Rechteck), AB AD (Quadrat) 8. Das Skalarprodukt der Vektoren muss den Wert 0 haben. 9. Man macht die Punktprobe für P : OP OA r AB s AD. Falls sowohl r als auch s zwischen 0 und liegt, liegt P im Parallelogramm, sonst nicht. 0. (z. B.) AB und AC müssen kollinear sein. (oder: AB AC =0) Man bildet aus drei der Punkte eine Ebenengleichung und zeigt, dass der. vierte Punkt diese Gleichung ebenfalls erfüllt. (Sollten die drei Punkte auf einer Geraden liegen, liegen die vier auf jeden Fall in einer Ebene.) Man zeigt, dass das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden mit. jedem der beiden Richtungsvektoren der Ebene den Wert 0 hat. Man zeigt, dass die Eckpunkte in einer Ebene liegen und dass es zwei Paare von 3. nebeneinander liegenden, gleich langen Seiten gibt. 4. Man zeigt, dass AB =DC gilt [ oder dass AD= BC gilt] 5. S (3 0 0), S y (0,5 0) und S z (0 0 6) 6. V= 3 G h, wobei G die Fläche des Quadrats und h die Pyramidenhöhe ist E: n c ; einen NV n erhält man als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren; c ergibt sich als SP des NV mit dem SV der Ebene. Man bildet die drei Seitenvektoren des Dreiecks und zeigt, dass zwei von ihnen die gleiche Länge haben. Man schreibt die Gerade als variablen Punkt F, bildet den Vektor PF, löst die Gleichung PF u =0 und berechnet PF. Man berechnet den minimalen Abstand der Flugzeuge über das Minimum der Funktion d(t) = (t) (t), wobei man ggf. für gleiche Zeitrechnung bei den Flugzeugen sorgen muss,. Man bildet jeweils das arithmetische Mittel der Koordinaten: OM AB (OA OB). Man zeigt, dass die Richtungsvektoren kollinear sind und dass der SV der einen Geraden die Gleichung der anderen Geraden erfüllt. Man schneidet die erste Gerade mit der zweiten und das Schnittgebilde (i. A. eine 3. Schnittgerade) mit der dritten Ebene. (Alternative: man löst das LGS aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten (mit Einsetzungs- oder Additionsverfahren)).

5 Wenn die Ebenengleichungen äquivalent sind, sind die Ebenen identisch. 4. Sind nur die NV kollinear, sind die Ebenen echt parallel. Ansonsten schneiden sie sich in einer Schnittgeraden. Ist S die Pyramidenspitze und M der Mittelpunkt der Grundfläche, so muss 5. MS ein NV der Ebene sein, in der die Grundfläche liegt. Man ergänzt zweimal die beiden Ebenengleichungen durch eine Wahl wie z.b. =0 6. und =, ermittelt aus den 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten jeweils den Lösungspunkt und bildet die Gerade durch die beiden Punkte. Man ermittelt die Spurpunkte auf der - und der z-achse und bildet die 7. Geradengleichung durch diese Punkte. 8. Man setzt in der Koordinatenform =z=0 und berechnet y. 9. E: n c Es muss n (Einheitsnormalenvektor) und c 0 sein Schnittpunkt F der Lotgeraden durch P mit E und dann PF berechnen. oder: Formel d(p,e)= n OP n c Produkt der Längen der Vektoren, falls die Vektoren gleich orientiert sind, sonst negatives Produkt. sin nu, wobei n der NV der Ebene und u der RV der Geraden ist. n u 33. Sei S die Spiegelung von S an ABC. Die Punkte liegen auf den beiden Ebenen parallel zu ABC durch S und S. 34. Man errechnet einen Winkel und berechnet den Flächeninhalt als halbes Produkt zweier Seiten mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. 35. Ebene parallel zur yz Ebene durch = auf der Achse. 36. Schnitt von Lotgerade l: OP t n und Ebene ergibt den Lotfußpunkt F. OP' OP PF OF PF. a b a ba Dabei ist ba die senkrechte Projektion von b auf a. 37. Falls die Vektoren einen Winkel größer als 90 einschließen, muss man noch mit ( ) multiplizieren t m= ; =0 t = P(0 ) n= 5 40 Die Ebene verläuft parallel zur z Achse/senkrecht zur y Ebene, (durch den Ursprung,) durch die. Winkelhalbierende der y Ebene. 4. Die Geraden sind nicht parallel (RV nicht kollinear) und es gibt keinen Schnittpunkt. 4. P ( 8 3) Man setzt OF variabel an, OF OA tf u, bildet den Vektor FP = OA OF tf u, löst die Gleichung FP u =0 nach t F auf und setzt t F in die Gerade ein. 3 4 = 4 3 ( 4 3 ( )) 7 ( )) ( ) = y+3z =

6 48. OP r PQ s PR ; z z 0 beliebig, z. B. n = Wenn ihre RV kollinear sind. Man ermittelt den Lotfußpunkt F des Lotes von P auf g und berechnet OP' OP PF OF PF =9 53. Raute 54. Quadrat 55 A, B und C liegen auf einer Geraden. 56 / 3 3 = / 3 / ,5 6cm 8 cm =4 cm 58. M( 3) a) Rechteck b) Trapez c) Raute 60. Sie sind kollinear. 6. S(0 0 0) echt parallel ( 0 0); ( 0); (0 0); (0 0 3); ( 0 3); (0 3) 65 7 km/h = 7:3,6 m/s = 0 m/s y ; y 0 beliebig. also z. B Zu jeder Ebene E, die senkrecht zur y Ebene (=parallel zur z-ache) verläuft E: a+by = c; a, b, c IR; a 0 v b Achse 69. Durch den Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene d = PQ 9 7. Wenn die RV AB und CD kollinear sind: AB = k CD a) ( 4 3 ( )) 7 b) = (-) = ( ) Man löst das LGS aus der 3 Gleichungen und kontrolliert die 3. Gleichung = 4 P E 75 a) a 0 = a a b) b = a = a 0 a 76 v = LE u ZE (LE Längeneinheit für die Koordinaten; ZE= Zeiteinheit für t.) 77 Der Pfeil verläuft von der Spitze von b zur Spitze von a. ( a b b a ) a) Achse: P(a b c); y Achse: P( a b c); z Achse: P( a b c) 78 b) y Ebene: P(a b c); z Ebene: P(a b c); z Ebene: P(a b c); c) OP' OP PQ OQ PQ 79 n =9; E: (4+4y+7z)= 4 (HNF); d(e,o)= 4 9

7 Abitour Analysis Leistungskurs Aufgaben I. Wie untersucht man bei einer ganzrationalen Funktion, ob spezielle Symmetrie vorliegt?. Wenn f(t) die Höhe eines Baumes (in m) angibt (t in Jahren), was beschreibt dann f (3)? 3. Wie zeigt man bei einer beliebigen Funktion f(), dass sie symmetrisch zur y-achse ist? 4. Wie zeigt man bei einer beliebigen Funktion f(), dass sie symmetrisch zum Ursprung ist? 5. Was sind die Kriterien für einen lokalen Hochpunkt an der Stelle p der Funktion f? 6. Was sind die Kriterien für einen lokalen Tiefpunkt an der Stelle p der Funktion f? 7. Was sind die Kriterien für einen Wendepunkt an der Stelle p der Funktion f? 8. Was ist ein Sattelpunkt? 9. Was ist die geometrische Bedeutung des Wendepunktes einer Funktion f? 0. Wie zeigt man, dass die Steigung von f an der Stelle p maimal ist?. Wie bestimmt man die Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit den Achsen?. Wie deutet man in einer Steckbriefaufgabe, dass der Punkt P(0 ) Hochpunkt ist? 3. Wie deutet man in einer Steckbriefaufgabe, dass der Punkt R(7 0) Wendepunkt ist? 4. Angenommen es gilt f ( p )=0. Welche Folgerung lässt ziehen, falls auch f ( p ) = 0 gilt? 5 Wie erkennt man, was der Grenzwert der Funktion f() = e g() ist? 6. Berechne lim e. Woran kann man beim Graphen einer Funktion f sehen, dass die Stammfunktion F einen Wendepunkt hat? Wenn t die Zeit (in h) angibt und f(t), wie schnell Wasser in ein Becken fließt (in m 3 /h), was 0 gibt dann 0, f(t) dt an? 5 Wenn t die Zeit (in h) angibt und f(t), wie schnell Wasser in ein Becken fließt, wie lässt sich ermitteln, wie viel Wasser zum Zeit t im Becken ist? Eine f(t) gibt den Zerfall eines radioaktiven Stoffes an. Wie ist ihr Wendepunkt inhaltlich zu interpretieren? Wenn f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes angibt, was beschreibt dann t t t t f() d?. Die Punkte O(0 0), P(u 0) und Q(u f(u)), u>0, legen ein Dreieck OPQ fest. Wie groß ist sein Flächeninhalt? 3. Bestimme den Definitionsbereich von f()= ln 4. Welchen Trick muss an anwenden, um die Gleichung e +e =4 zu lösen? 5. Wie bestimmt man die Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen? 6. Wie übersetzt man, dass zwei Funktionen f und g an der Stelle a knickfrei [ ruckfrei ] ineinander übergehen? 7. Wenn t die Zeit (in h) angibt und f(t), wie schnell Wasser in ein Becken fließt, wie lässt die Volumenzunahme im Zeitraum [t ; t ] ermitteln? 8. Wie verfährt man bei folgender Aufgabe: Zeige, dass F()= eine Stammfunktion von f() ist. 9. Im. Quadranten liegt zwischen dem Graphen von f, der Achse und der Geraden = eine nach rechts offene Fläche. Wie untersucht man, ob diese Fläche endlich ist? 30. Wie integriert man a) f() = ln( ) b) f a () = (a ) c) f()= 3

8 Welche Funktionen sollte man mit partieller Integration integrieren? Begründe: 0,5t a) f a (t)=a t e b) f a ()=(+a) e c) f(t)= 00 e 0,5t d) f()= ln() Welche Funktionen kann man mit Integration durch Substitution integrieren? Begründe: 0,0t a) f(t)= t e b) f() = ln( 4 ) c) f a ()= a f(t) gibt die Anzahl der Zuschauer an, die pro Minute ins Stadion kommen (4.00Uhr =^ t=0). Wie viele Zuschauer kommen von 6 bis 8.00 Uhr durchschnittlich pro Minute ins Stadion? (Ansatz) 34. Gib die Integralfunktion I(t)= t e t dt in integralfreier Darstellung an. f()=(0,5 ) e 0,5 beschreibt einen Graben, der bis zur Achse gefüllt ist. ( und f() in m) a) Wie breit ist der Graben? 35. b) Wie berechnet man die steilste Stelle des Grabens? (Ansatz) c) Wie berechnet man die durchschnittliche Tiefe des Grabens? (Ansatz) d) Wie viel Wasser enthält ein 90 m langer Graben? (Ansatz) Aus dem Graphen von f soll der Graph einer Stammfunktion F skizziert werden. 36. Wo hat er a) ein lokales Maimum b) ein lokales Minimum c) einen Wendepunkt? Die Funktion f() = ln() wird mit dem Faktor gestreckt und zwar 37. a) in Richtung b) in y Richtung c) zentrisch mit dem Ursprung als Zentrum Gib jeweils die neuen Funktionsterme an. 38. Mit welchem Verfahren integriert man f()= ( +) e 0,? 39. Woran sieht man, dass bei der Funktion f Integration durch Substitution angebracht ist? 40. Wie erkannt man bei einer Funktion f(), dass partielle Integration angebracht ist? 4. Wie untersucht man rechnerisch das Verhalten von f() an der Definitionslücke =a? 4. Wie bestimmt man die Fernasymptote(n) einer Funktion f? 43. Bestimme das Verhalten für 8 für a) f() = e b) f()= ln(). 44. f(t) gibt die Herzfrequenz eines Sportlers in Schläge/pro min an. Stelle jeweils zwei Anwendungsaufgaben, bei der man a) f b) f oder f c) F benutzt wird. 45. Wie berechnet man den Inhalt der Fläche, den der Graph von f mit der Achse einschließt. (f hat keine Definitionslücken) 46. Wie berechnet man den Inhalt der Fläche, die Graphen von f und g miteinander einschließen. (f und g haben keine Definitionslücken) 47. Wie berechnet auf einem Intervall [a; b] die Stelle, an der zwei Funktionen f() und g() den größten Abstand voneinander haben? 48. Wie berechnet man den Schnittwinkel des Graphen einer Funktion f mit der Achse? 49 Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier Funktionen, die sich bei =a schneiden? 50. Wie erhält man die Gleichung der Tangenten t von f() an der Stelle a?

9 5. Wie erhält man die Gleichung der Normalen n von f() an der Stelle a? Wie berechnet man die Stelle auf einem Intervall [a; b], bei dem ein Punkt P(p p y ) vom Graphen einer Funktion f() den kleinsten Abstand hat? Der Graph einer Funktion weist den Hochpunkt H( 3) und den Wendepunkt ( 4 6) auf. Zudem gilt lim f(). Welche Folgerungen kann man ziehen, wenn der Graph zu f mit D f = IR a) nullpunktsymmetrisch b) y achsensymmetrisch ist. 54. Zwei Graphen G f und G g berühren sich an der Stelle a. Was bedeutet das rechnerisch? Die Modellierung der Entwicklung einer Pilzkultur (in cm ) in Abhängigkeit von der Zeit (in h) 55. weist folgende Ergebnisse der Kurvendiskussion auf: P(0 0), W (5 0), H(8 30), W (0 5), lim f()=. Interpretiere im Sachzusammenhang! 56. Was lässt sich über die Anzahl der Nullstellen von f k ()= +k; k IR sagen? Im. Quadranten liegt zwischen dem Graphen von f und den Achsen eine nach oben offene 57. Fläche (Polstelle bei =0; einzige Nullstelle bei = 0 ). Wie untersucht man, ob diese Fläche endlich ist? 58. Gib den Definitionsbereich für f() = a, a>0 an. Bestimme die Art der Gleichung und den Ansatz für die Lösung: a) b) 4 t3 at + a t = 0 Bestimme die Art der Gleichung und den Ansatz für die Lösung: 60. a) (+a)e = ( + a) e b) +a=a a Bestimme die Art der Gleichung und den Ansatz für die Lösung: ln(4) a) k e + k ( 8) e = 0 b) 6. Berechne im Kopf: a) f()= e ; f()=? b) f k ()= 3k e e k 0 ; f k (ln(k)) =? 63. Vereinfache: a) ln() ln() b) e ln()+ln() c) ln( ) ln() = 64. Wie lautet allgemein die Gleichung einer Parallelen zur a) Achse b) y Achse 65. Wie groß ist die Steigung der Geraden durch P( y ) und Q( y )? 66. Wie zeigt man, dass ein lokales Maimum auf ein absolutes Maimum ist? 67. Wie berechnet man allgemein den Abstand eines Punktes P auf f() vom Ursprung? 68. Wie berechnet man den maimalen Abstand zweier Funktionen f() und g() auf dem Intervall [a; b]? Der Ursprung, der Punkt (u 0) sowie der Punkt P, der an der Stelle u auf dem 69. Graphen liegt, bilden ein Dreieck. Untersuche, ob dieses Dreieck etremal wird. Vorgehen? 70. Wende ein Potenzgesetz an: a) e e b) 0,5 c) 3 4

10 Bestimme die Art der Gleichung und den Ansatz für die Lösung: 4 a) b) 4 t3 at + a t = 0 Bestimme die Art der Gleichung und den Ansatz für die Lösung: a) (+a)e = ( + a) e b) +a=a a Ermittle die Ableitung: a) fa() = a 3 4a+a b) fa() = 3e a c). f() = (+)e 74 Ermittle die Ableitung: a) f() = (4+5) 3 b) f() = 3 c) f() = 75 Ermittle die Ableitung f zu a) f() = ln( 3 +). b) f() = 6 76 Ermittle die Ableitung f zu f() = ( +4) e 4 77 Gib eine Gleichung der Tangente zu f() = e an der Stelle =3 an. 78 Gib eine Gleichung der Tangente zu f() = 3 an der Stelle = an. 79 e Berechne die Steigung der Sekanten durch die Punkte des Graphen von f() = an den Stellen = und = a) Vereinfache: ln() ln( ) = b) Vereinfache: e e = 8 Berechne die Nullstellen von a) f(t) = 0,5t 3 +5t 3t b) f() = Berechne die Nullstellen von f(t) = +t 7 83 An welcher Stelle hat die Funktion f() = 4 e + den Wert 8? 84 Berechne die Nullstellen von f() = e e 85 f(t) = a b t verläuft durch P(3 4) und Q( 8). Welche Gleichungen müssen gelten? 86 g() = m+n schneidet f() = 3 bei = und = 4. Welche Gleichungen müssen gelten? 87 Löse das LGS =4y + 5 y = 6 5 mit dem TR. Abitour Analysis Leistungskurs Aufgaben IV 88 Liegt bei f() = e eine besondere Symmetrie vor? 89 Bei welchen Funktionen liegt eine spezielle Symmetrie vor? a) f() = b) f() = ln( ) c) f() = 3 a d) f() = 90 Löse die Gleichung: 0,0t 0,0t. e 0,08t e 0 9 Löse die Gleichung nach t auf: a) 3 at = at (a 0) b),5t 3(a+)t+6a = h(t)=0,0 e,04t, beschreibe das Wachstum einer Pflanze.(t in Wochen, h(t) in Metern). Wie hoch ist die Pflanze zu Beobachtungsbeginn, wie hoch nach 4 Tagen? Funktionen der Form h(t)=0,0 e kt, k>0, beschreiben das Wachstum einer Pflanze.(t in Wochen, h(t) in Metern. für welches k wird nach sechs Wochen eine Höhe von 40 cm erreicht? Beschreibe den geometrischen Zusammenhang der Graphen der Funktionen f(t) =,7 ( 4 e 0,0t ) und g(t) = e 0,0t. Die Funktion f(t)= 3,5 8, e 0,75 t, modelliert die Entwicklung einer Bakterienkultur (t in Stunden, f(t) in Millionen Bakterien). Ermittle einen sinnvollen Definitionsbereich des Modells. Die Funktion f(t)= 3,5 8, e 0,75 t, modelliert die Entwicklung einer Bakterienkultur (t in Stunden, f(t) in Millionen Bakterien). Zeige rechnerisch: die Bakterienzahl nimmt ständig zu. 97 Die Funktion f(t)= 3,5 8, e 0,75 t, modelliert die Entwicklung einer Bakterienkultur (t e

11 in Stunden, f(t) in Millionen Bakterien). Welche Bedeutung hat die Zahl 3,5 im Sachzusammenhang? 98 Faktorisiere den Term e ( +4) e und vereinfache so weit wie möglich Eine Population von zu Beginn 0000 Tieren wächst jedes Jahr um %. Ermittle die zugehörige Wachstumsfunktion auch mit der Basis e. Die Funktion h(t)=0,0 e 0,04 t, beschreibt das Wachstum einer Population. Wie groß ist das Wachstum pro Zeiteinheit in Prozent? 0 Löse die Gleichung,5(a+)t + 6at =,5(b+)t + 6bt (a b) nach t auf. 0 Bilde die Ableitung zu f() = ln(4 3 ) ln(4 ) möglichst geschickt. 03 Es gilt f () = e und f ()=e ( ). Untersuche f auf Etremstellen. 04 Stelle eine Aufgabe, bei der man die Gleichung,5(a+)t + 6at =,5(b+)t + 6bt lösen muss. 05 Beschreibe den Verlauf des Graphen von f(t) = e 0,t. 06 Die Tangente zu f() = an der Stelle =3 hat die Gleichung t()= 6 0 Wo schneidet die zugehörige Normale die y Achse?

12 Abitour Analysis Leistungskurs Lösungen I Eine ganzrationale Funktion ist genau dann symmetrisch zur y-achse (zum. Ursprung), wenn die Variable nur gerade (ungerade) Eponenten hat. Beachte: f() = 3 3+ = keine spezielle Symmetrie. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit nach 3 Jahren in m/jahr. 3. Man muss überprüfen, ob f( ) = f() für alle D f gilt. 4. Man muss überprüfen, ob f( ) = f() für alle D f gilt f'( p )=0 f''(p) < 0 (hinreichend, aber nicht notwendig) f'( p )=0 VZW von + nach von f bei p (notwendig und hinreichend) f'( p )=0 f''(p) >0 (hinreichend, aber nicht notwendig) f'( p )=0 VZW von f bei p von nach + (notwendig und hinreichend) 7. f' ( p )=0 f ''(p) 0 (hinreichend, aber nicht notwendig) f' ( p )=0 VZW von f bei p (notwendig und hinreichend) 8. Ein Wendepunkt, in dem die Tangente waagerecht verläuft. 9. Am Wendepunkt ändert die Funktion ihr Krümmungsverhalten. f hat am WP ein lokales Etremum, als ist die Steigung dort lokal am höchsten oder am geringsten. 0. Man zeigt, das f bei p ein lokales Maimum besitzt und dass f an den Rändern des Definitionsbereiches keine höhere Steigung besitzt. Den Schnittpunkt mit der y-achse erhält man, indem man für den Wert. 0 einsetzt. Den oder die Schnittpunkte mit der -Achse (=Nullstellen) erhält man, indem man für y bzw. f() den Wert 0 einsetzt und nach auflöst.. Man kann zwei Bedingungen /Gleichungen daraus ableiten: a) f(0) = b) f'(0) = 0 3. Man kann zwei Bedingungen daraus ableiten: a) f(7) = 0 b) f''(7) = 0 4. Keine. (Es kann ein lokales Etremum vorliegen oder auch nicht.) Zur Klärung des Sachverhalts muss man f auf VZW bei p untersuchen. 5 Wenn g() gegen + ( ; c) strebt, strebt f() ebenfalls gegen + ( 0 ; e c ) V lim e = e = 0 F hat an den Stellen einen Wendepunkt, an denen bei f ein lokales Etremum vorliegt, denn F"=f' und F'"=f". Das Integral gibt die durchschnittliche Zuflussgeschwindigkeit von der 5. bis zur 0. Stunde an. t 0 f() d, wobei V 0 das Volumen des Beckens zum Zeitpunkt 0 ist. Die Änderungsrate, gegeben durch f', hat dort eine Etremstelle, d.h. die Masse des Stoffes nimmt dort lokal am stärksten oder am geringsten ab.. Das Integral beschreibt, wie schnell der Baum im Zeitraum [t ; t ] durchschnittlich gewachsen ist. Die Strecken OP und PQ stehen senkrecht aufeinander, die Länge von. OP ist u und die Länge von PQ ist f(u), also ist der Flächeninhalt A= 0,5 u f(u). 3. ln =0 (ln )=0 =0 v =e; da ln nur für >0 definiert ist, gilt D f = IR + \{e} 4. e =z z+ z =4 / z z 4z+=0 Den Schnittpunkt mit der y-achse erhält man, indem man für den Wert 0 einsetzt. 5. Den oder die Schnittpunkte mit der -Achse erhält man, indem man für y bzw. f() den Wert 0 einsetzt und nach auflöst. 6. f(a) = g(a) f (a)=g (a) [ f (a) = g (a)]

13 7. t t f(t) dt 8. Man zeigt dass F () = f() gilt. 9. Man berechnet A(b)= Abitour Analysis Leistungskurs Lösungen II b f() d und untersucht, ob lim A(b) eistiert. b Man formt zuerst den Funktionsterm geschickt um: a) f()=ln(); F()= (ln() ) b) f a ()=a ; F a ()= 0,5a 0,4 =0,5a 0,4 c) f()=+ + ; F()=0,5 +ln 3. a), b) und d). Restintegrale: a) a ( 4) 0,5t e dt b) e d d) d 3. a) z= 0,00t ; dt= dz -0,004t ; F(t)= 50 0,0t e c) z= +a; d= dz ; F a()= ln +a f(t) dt 34. Eine Stammfunktion ist F(t)= e t. I(t)= F(t) F()= e t + e a) 4 m: Differenz der Nullstellen und b) absolutes Minimum von f 35. (Wendepunkt von f + Randwertbetrachtung) c) f() d d) 90 f() d [m 3 ] a) VZW von f von + nach b) VZW von f von nach + c) lokales Etremum von 36. f 37. a) 0,5 ln() b) ln() c) ln() 38. zweifache partielle Integration 39. Nach einer Substitution z= hat der Integrand die Form c f(z) z Wenn das Produkt aus der Ableitung des einen Faktors und der Aufleitung des 40. anderen Faktors integriert werden kann ( Restintegral ). Es gibt immer zwei mögliche Restintegrale! Man bildet den rechts und den linksseitigen Grenzwert. lim f() und lim f() a a a a 4. Falls beide unendlich sind, erhält man die Asymptote =a (Polstelle mit/ohne VZW) Man bildet die Grenzwerte lim f() und lim f(). Bei gebrochenrationalen Funktionen ist der ganzrationale Teil nach der Polynomdivision die Fernasymptote. a) lim f() 0 (e und e setzen sich gegen n durch.) b) lim f() 0 ( n setzt sich gegen ln() durch.) a) Herzfrequenz zu Beginn? (f(0)=?); Wann erreicht die Frequenz 40? (f(t)=40) b) Wann ist die Frequenz am höchsten? ( absolutes Maimum) Wann steigt die Frequenz am schnellsten (abs. Ma. von f ; WP mit L R Kr. c) Wie viel Schläge in den ersten 0 Minuten? (F0) F(0)) Durchschnittliche Herzfrequenz in den ersten 0 Minuten? (0,(F(0) F(0))

14 Man berechnet die Nullstellen von f, integriert (von links nach rechts) von Nullstelle zu Nullstelle und addiert die Beträge der Integrale. Man berechnet den Inhalt der Fläche, den die Differenzfunktion f() g() mit der Achse einschließt. Man berechnet zur Differenzfunktion f() g() die lokalen Etrema auf [a; b] sowie die Randwerte. Die Stelle, bei der absolut der höchste Funktionswert auftritt, ist die gesuchte Stelle.. Weg: m = f ( 0 ) = tan( ) = arctan(f ( 0 )), wenn 0 die Nullstelle ist.. Weg: Schnittwinkel der Geraden mit den Richtungsvektoren und f '( ) 0.. Weg: Man berechnet die Steigungen m = f (a) und m =g (a) und dann den Winkel zwischen den Geraden mit den Richtungsvektoren m und m.. Weg: Mit = arctan(f ( 0 )) ermittelt man die Schnittwinkel und mit der Achse und berechnet dann 80 bzw. 80 ( 80 ). 50. t() = f (a)( a)+f(a) oder t()=y=m+n und m=f (a) sowie (a f(a)) t ausnutzen. 5. n() = f'(a) ( a)+f(a) oder n()=y=m+n mit m= f'(a) sowie (a f(a)) n. 5. Berechne das absolute Minimum von d() = 53 a) N(0 0), W (0 0), W 3 (4 6), T( 3); y ( p ) (f() p ) auf [a; b]. lim f() = ; b) H( 3); W(4 6); 0 lim f() 54. f(a)=g(a) f (a) = g (a) Zu Beginn der Messung war die Kultur 0 cm groß, 5 Stunden lang wuchs sie immer schneller, danach immer langsamer, bis sie ihre größte Ausdehnung nach 8 Stunden mit cm erreichte. Anschließend wurde sie immer schneller kleiner, nach 0 Stunden schrumpfte die Kultur am schnellsten, danach wurde der Rückgang immer langsamer. Langfristig wird sich die Kultur bei cm stabilisieren. 56. f k () = 0 = k / / / keine Nullstelle(n) für k >0 / k=0 / k< a 0 a 0 a 0 lim f() d 58. D f = [ a; a] a) Bruchgleichung (Variable im Nenner): / ( +) 59. b) Kubische Gleichung: 4 t ausklammern und die quadratische Gl. in der Klammer mit p q Formel lösen 60. a) Eponentialgleichung: /:e 0 man erhält eine lineare Gleichung b) lineare Gleichung: ( a) = a /:( a) a) ke ausklammern; ke ( 8 )=0 = ± 0,5 b) / ln(4)=,5 = 0,5e,5 6. a) f() = e 3 b) f k (ln(k)) = 3k : (k) = 3:4 = 0, a) ln(():)= ln() b) e 3 ln() = 3 c) ln() ln()=ln() 64. a) y=a b) =a y y y y 65. m = 66. a) e + b) 0,5 =4 c)

15 Weder ein anderes lokales Maimum noch die Randwerte dürfen einen größeren y Wert haben. 66. Sollte im beobachteten Bereich nur eine Etremstelle vorliegen (und hat f keine Definitionslücken),, so ist diese Etremstelle eine absolute Etremstelle d(p,f)() = f() Von der Differenzfunktion d() = f() h() [oder d() = h() f()] die lokalen 68. Etrema sowie die Randwerte berechnen. An der Stelle mit dem absolut größten bzw. kleinsten y Wert ist der Abstand am größten / kleinsten. 69. A D (u) = u f(u) ; auf absolute Etrema untersuchen 70 a) e e = e + ; b) 0,5 = 4 4 c) 3 4 = (3 4) = a) Bruchgleichung / (+) 4 = + 7. b) Kubische Gleichung; Faktorisierung möglich: t( 4 t at + a ) = 0 7 a) /:e 0 +a = + a = a+0, a a) f a () = 3a 4a b) f a () = 3e a c) f () = e +(+) e = e (+(+)) = e (+3) 74b f () = 74c f () = 75 f () = 3 (4+5) 4 = (4+5) [z=4+5; f(z)= z 3 ; f (z) z = 3z z =3(4+5) 4=(4+5) ] 3 (e ) 3 e f () = 3 = = = 3 3 e (e ) 3 b). f () = ln(6) f () = ( +4) e + ( +4) [ z= +3; f(z)= z ; f (z)= z' z [z= e +; f(z)= z ; f (z) z = = z' = z 3 z= 3 +; f(z) = ln(z); f (z) z = z z = 4 e ( 8)= 77 t() = f (3)( 3)+f(3)= e 3 ( 3)+e 3 = e 3 4e 3 78 t() = f ( )(+)+f( )= 8 (+)+5 = e ( +4 +4)= 3 3 ] e (e ) 4 e ( +8) s() = y = m + n; P( ), Q(4 6); m = (6 ):(4 )=5; = 5 +n n= 4; s()= a) ln() ln( ) = ln(: 0,5 ) = ln( 0,5 ) = 0,5 ln() b) e e = e +( ) = e 0 = 8 a) f(t) = 0,5t 3 +5t 3t =0 0,5t(t +0t 6)=0 t=0 v t= 5 ± 3 t=0 v t,57 v t 0,57 [oder TR a=0,5; b=5; c= 3; d=0] b) f() = = 0 ++4=0 = ± 3 ; IL= Ø; [oder TR a=3; b=6; c=] 8 +t = 7 /ln (+t) ln() = ln(7) t = ln(7):ln() 0,8 83 f() = 4 e + = 8/ 4e =6 /:,5 e =,5 /ln = ln(,5) 0,4 84 e e = 0 e = e /ln = = 85 f(t) = a b t ; P f a b 3 =4 (I); Q f a b = 8 (II) 86 P( f( )=); Q(4 f(4)=3; P f = m+n (I); Q f 3=4m+n (II) [ m= ; n = 5; g()=+5] 87 4y=5 6 y=5; Koeffizienten: ; 4; 5; 6; ; 5; =,5; y =0 88 f( )= e f(); f( )= e f(); keine besondere Symmetrie. [Es hätte auch genügt zu zeigen, dass f( ) f() und f(-) -f(-) ist.] ]

16 a 9b a) keine besondere Symmetrie b) f()=f( ) Symmetrie zur y-achse c) f( ) = 3 +a ; f( ) = 3 -a = f() Nullpunktsymmetrie 0,0t 0,0t 0,0t /: e >0 0,08t =0 t = 5 t = ±5 e 0,08t e 0 3 at=at 0,5at=0 t=0, da a 0;,5t 3(a+)t+6a=0 /:,5 t (a+)+4a = 0 t = a+ ± (a ) 4a = a+ ± a a = a+ ±(a ) t= a v t= 9 h(0) = 0,0 m = cm; h()= 0,0 e,08 0,6 m = 6 cm 93 h(6)=0,0 e k6 =0,4 6k = ln(0,4:0,0) k= ln(0):6 0,50 g(t) wird an der y Achse gespiegelt (e 0,0t ), mit dem Faktor 4 in y Richtung gestreckt (4 e 0,0t ), 94 an der Achse gespiegelt ( 4 e 0,0t ), um Einheit nach oben verschoben (+4 e 0,0t ) und schließlich mit dem Faktor,7 in y Richtung gestreckt Sinnvoll sind nur nicht negative sowie realistische Werte: f(t)=0 e 0,75t = 3,5:8, t = ln(3,5:8,):( 0,75) 4,86. Für t >4,86 sind die Werte positiv. Da die Werte unterhalb von 3,5 bleiben (also nicht unrealistisch groß werden, ist D f = IR >4,86 sinnvoll.. Weg: da e 0,75t 0,84 t fallend ist, wird immer weniger von 3,5 abgezogen, die Werte werden immer größer.. (allgemeinerer) Weg: f (t)=,435 e 0,75t >0 für jedes t f(t) ist streng monoton steigend. Für wachsendes t verläuft e 0,75t gegen null, damit auch 8, e 0,75 t, so dass der Wert sich immer mehr der Zahl 3,5 nähert. Die Zahl der Bakterien wächst, überschreitet aber nie 3,5 [Mio]. 98 e ( +4) e = e ( ( +4)) = e ( + 4) 99 f(t) = 0000,0 t = 0000 e ln(,0) t 0000 e 0,0 t 00 h(t)=0,0 e 0,04 t 0,0,0408 t Zunahme um 4% pro Zeiteinheit 0,5(a+)t + 6at =,5(b+)t + 6bt /:(,5) (a+)t 4at = (b+)t 4bt (a+ (b+))t 4at+4bt = 0 t[(a b)t 4(a b)]=0 t=0 v t = 4(a b):(a b)=4, da a b 0 0 f() = ln( ,5 ) = ln(,5 )=,5 ln(); f () =,5 f ()=0 =0; f (0)=0 zunächst keine Aussage möglich! Untersuchung auf VZW von f : f ( )=e>0; f (0)=0; f ()= e >0 kein VZW, keine Etremstelle sondern Sattelpunkt mit Rechts Links Krümmung. Ermittle die Stellen, an denen sich alle Funktionen der Schar f a () =,5(a+)t + 6at schneiden. streng monoton fallend, linksgekrümmt, schneidet die y Achse bei ; Achse ist Asymptote g()=m+n; m= e 3 ; P(3 e 3 ) g 3e 3 +n = e 3 n = e 3 +3e 3 ; g()= e 3 + e 3 +3e 3 ie y Achse wird bei e 3 +3e 3 9,3