Mathematik für Ökonomen - Aufgaben ARBEITSUNTERLAGEN

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1 Mathematik für Ökonomen - Aufgaben ARBEITSUNTERLAGEN für Studierende des Bachelorstudiengangs BWL an der Mercator School of Management der Universität Duisburg-Essen konzipiert und erstellt von Hermann Hoch (Dipl.-Volksw., Dipl.-Math., Dr. rer. nat.) überarbeitet von Volker Krätschmer unter Mitarbeit von Bastian Becker, Sabine Christ, Armin Massmann gelesen von Dr. Rene Simon Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg, WS 17/18

2 Vorbemerkungen Dies ist die Gesamtausgabe der Arbeitsmaterialien, in der die vorlesungsbegleitenden Aufgaben zusammegefasst werden. Die vorliegende Version ist vorläufig. Aktuelle (überarbeitete, korrigierte) Fassungen finden Sie unter Die Aufgaben sind den einzelnen Unterrichtseinheiten, den sogenannten Themen zugeordnet. Zu unterscheiden sind dabei unterschiedliche Aufgabentypen. Aufgaben die mit A markiert sind, dienen der Motivation und Illustration des Unterrichtsstoffes. Sie werden teilweise in den Vorlesungen behandelt und sind klausurrelevant. Aufgaben mit Kennzeichnung T sollen den Unterrichtsstoff aus der Vorlesung aufnehmen und das Verständnis vertiefen. Sie werden teilweise in den Tutorien und Übungen gerechnet. Empfehlung: In den Veranstaltungen (Vorlesungen, Übungen, Tutorien) wird nur eine Auswahl der hier zu findenden Aufgaben behandelt. Es wird empfohlen, die übrigen als Trainingsmaterial zu nutzen. Je mehr Aufgaben selbständig bearbeitet werden, desto vertrauter der Stoff, desto größer die eigene Sicherheit bei der Klausur! Die Unterlagen sind nur zum persönlichen Gebrauch bestimmt. Sie dürfen von anderer Seite nicht angeboten oder verbreitet werden (z.b. Internet, andere Medien wie DC, DVD). Auch eine gewerbliche Nutzung (z.b. durch kostenpflichtige Nachhilfeinstitute) ist nicht erlaubt.

3 Inhalt Vorbemerkungen Aufgaben zum Thema 1 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 2 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 3.1 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 3.2 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 3.3 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 4 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 5 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 6 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 7 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 8 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 9.1 (A- und T-Aufgaben) Aufgaben zum Thema 9.2 (A-, T-Aufgaben und Zusatzmaterial) Aufgaben zum Thema 10 (A- und T-Aufgaben)

4 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Grundlagen A 1 Mengenoperationen Ein Zeitungsartikel bespricht die Ergebnisse einer Umfrage zu drei Problemkreisen A, B, C bezeichne die Menge aller Befragten, die Frage a, b, c uneingeschränkt zustimmen. Sie interessieren sich vor allem für die prozentualen Anteile der Befragten, bei denen folgende Konstellationen vorliegen: Beschreiben Sie diese Mengen mit Worten. A 2 Summenzeichen A B, B \ C, C \ B, A B, A B C Schreiben Sie mithilfe des Summenzeichens (wobei i > 0 konstant) (a) 2 2 (1 + i) (1 + i) (1 + i) 7 (b) 1.414(1 + i) (1 + i) (1 + i) 1 Schreiben Sie umgekehrt in Pünktchen-Pünktchen-Schreibweise (c) 7 k=3 37 k 4 k (d) i=1 (1 + i)8 i A 3 Eine Basis-Summenformel bedeutend in der elementaren Zinsrechnung Für m N und x 1 gilt Berechnen Sie m i=0 (a) n 1 k=0 2k (b) n i=0 ( 1 2 x i = 1 + x x m = xm+1 1 x 1 ) i Bestimmen Sie mithilfe der Rechenregeln für endliche Summen und der Basis-Summenformel die Werte der folgenden endlichen Summen. (c) 3 i=0 ( 2 2i 3) (d) 5 (2 i + i) i=0 Wenden Sie die Methode der Indexverschiebung im Verbund mit den Rechenregeln für endliche Summen an, um mithilfe der Basis-Summenformel folgende endliche Summe zu bestimmen. Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 5

5 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Grundlagen (e) n k=2 2 3 k A 4 Prozentrechnen (Bezeichnung: Bruttopreis = Nettopreis zzgl. Mwst.) Ein Händler verspricht einen Preisnachlass von 5%. Dabei ist (nur hier) nicht festgelegt, ob dieser Preisnachlass (1) auf den Nettopreis oder (2) auf den Bruttopreis gegeben wird. Bestimmen Sie für beide Methoden (1) und (2) Steuerwert und Bruttopreis bei einem Nettopreis von 1 Geldeinheit (z.b. 1. Geldeinheit = 1000 Euro) A 5 Grundfunktionen: Rundung, Betrag Skizzieren Sie über dem Bereich 2 x 3 durch (a) x und (b) (x 1)/2 gegebenen Funktionen (Funktionswerte an Sprungstellen hervorheben). A 6 Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas Typ Die Outputmöglichkeiten für ein Produkt werde durch eine sogenannte Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas Typ beschrieben f(k, L) = 100 K 1 4 L 3 4. Dabei bezeichne K den Kapital- und L den Arbeitseinsatz. (a) Welche Beschränkungen müssen K und L erfüllen, d.h., welches ist der Definitionsbereich der Funktion f? (b) Berechnen Sie die Outputmenge zu einem Investitionseinsatz von K = 81 und L = 16. A 7 Exponentialfunktion, Logarithmus Gegeben sei die Produktionsfunktion f(k, L) vom Cobb-Douglas Typ aus A 6. Bestimmen Sie die logarithmierte Produktionsfunktion, d.h. die durch y = ln(f(k, L)) definierte Funktion. Wie läßt sich die Produktionsfunktion durch die logarithmierte Produktionsfunktion beschreiben? Linearisierung exponentieller Modelle Empirische Wirtschaftsforschung/Statistik Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 5

6 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Grundlagen T 1 Aussagen Bestimmen Sie hinreichende Bedingungen (Voraussetzung) und notwendige Bedingung (Folgerung) bei den Aussagen: (a) (x = 3 x 2 = 9) (b) (x 2 9 x 3) (c) Für eine differenzierbare Funktion f mit f (x 0 ) 0 liegt an der Stelle x 0 kein Extremwert vor. (d) Ich gehe erst ins Wasser, wenn ich schwimmen kann. T 2 Mengenoperationen Sei X die Menge aller in Deutschland gemeldeten Einwohnerinnen und Einwohner, während A die Menge aller in Deutschland gemeldeten Einwohnerinnen bezeichne. Außerdem seien B := {x X : x erwerbstätig} und C := {x X : x besitzt Hochschulabschluß}. Beschreiben Sie folgende Mengen durch Mengenoperationen von A, B, C. (a) D die Menge aller erwerbstätigen Einwohnerinnen, (b) E die Menge aller nicht erwerbstätigen Einwohnerinnen, (c) F die Menge aller Einwohner und Einwohnerinnen, die weder weiblich noch erwerbstätig sind. T 3 Summenzeichen Schreiben Sie mithilfe des Summenzeichens (wobei i > 0 konstant) (a) n 4 (b) n Schreiben Sie umgekehrt in Pünktchen-Pünktchen-Schreibweise (c) 6 k=2 (5 2k 2 k) (d) 3 j+2 j=0 j+1 T 4 Summenzeichen Vorübung zur Statistik Zeitreihe der letzten Jahre einer gesamtwirtschaftlichen Größe (fiktive Daten) Jahr 2000 j Wert (Mio. Euro) y j Berechnen Sie mit diesen 10 Werten (das allgemeine Symbol i, j, k für den Index wechselt absichtlich!): Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 3 von 5

7 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Grundlagen (a) 5 i= 4 x i und x := i= 4 x i (b) 5 k= 4 x2 k und k= 4 (x k x) 2 (c) Indexverschiebung. Schreiben Sie die Summen in (a) einmal beginnend bei i = 1 (als? i=1??) und einmal beginnend bei i = 0 (als? i=0??) T 5 Anwendung der Basis-Summenformel A 3 Berechnen Sie mithilfe der Rechenregeln für endliche Summen und der Basis-Summenformel (aus A 3) die Werte der folgenden endlichen Summen. (a) 5 n 2 3i, 2 3i (b) 10 ( 3 2i, n ( 3 2i 4) 4) i=0 i=0 i=0 i=0 Wenden Sie die Methode der Indexverschiebung im Verbund mit den Rechenregeln für endliche Summen an, um mithilfe der Basis-Summenformel folgende endliche Summen zu bestimmen. (c) n k=2 12 ( 1 3 ) k (d) n i=2 3 i 4 i T 6 Anwendung von Potenzgesetzen 1 2 3, ( ) 5 2, (1.25) 2, , ( 1.5) 3, , 4 ( a b ) 2, 5 3, 5 a 7 a 6 T =?, =?, ( 8 27) 2 3 =?, =? u 5 v 5 ( v 3 u 2 v 0 ) 3 =?, 5 Anwendung von Binomischen Formeln x x 3 u 1/5 v 4/5 =?, ( v 3/2 u 1/2 v 0 )3/2 =? , , ( ) 1 2 x x, ( ) 2, (3 u 5 v) 2 T 8 Prozentrechnen Ein Steuersatz von s% wird um drei Prozentpunkte erhöht auf (s + 3)%. Welche prozentuale Steigerung des Bruttopreises einer damit besteuerten Ware ergibt sich (nur) auf Basis dieser Erhöhung? (Bsp: Mwsteuererhöhung) Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 4 von 5

8 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Grundlagen T 9 Prozentrechnen Eine Zahl z wird erst um p% erhöht und dann der erhöhte Wert wieder um p% gesenkt. (a) Ergebnis? Was ändert sich wenn erst gesenkt und danach erhöht wird? (b) Für welchen Wert von i = p% ergibt sich beim Ausgangswert z = 16 ein neuer Wert von 15? T 10 Definitionsbereiche von Funktionen Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der folgenden Funktionen (a) f(x) = 1 x+3 (b) f(x) = (2x + 4) 1 6 (c) f(x) = ln(x 2) T 11 Grundfunktionen: Rundung, Betrag Skizzieren Sie über dem Bereich 2 x 3 die durch (a) x (b) [x] (c) x 1/2 gegebenen Funktionen (Funktionswerte an Sprungstellen hervorheben). T 12 Rechenregeln für Logarithmus Drücken Sie die folgenden Zahlen durch ln(3) aus ln(9), ln( 3), ln( ), ln( 1 81 ). Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 5 von 5

9 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Thema 2 A 8 Äquivalenzumformung von Gleichungen Bestimmen Sie jeweils die x-lösungsmenge = {x R : x erfüllt Gleichung} (a) 3 5 x = 3 3 4x ; 2 5 x = 10 (b) Für 0 < x < 1: ln(1 x 4 ) = 1 2 bzw. ln(1 x 4 ) = 1 2 (c) 2 x e x/2 6 e x/2 + 8 x e x/2 = 0 A 9 Simultane Äquivalenzumformung zweier Gleichungen Bestimmen Sie jeweils die Menge der Paare (x, y) R 2, die simultan die beiden Gleichungen erfüllt. (a) xy = 0 und x 2 y 2 = 1 (b) x + y = 2 und x 2y = 1 A 10 Äquivalenzumformung von Ungleichungen Bestimmen Sie jeweils die x-lösungsmenge = {x R : x erfüllt Ungleichung} (a) (x 2 1) e x2 /2 > 0 (b) ( x 2) 2 < 1 (c) e 0.5(x 1)2 e 2 (d) 1 20 (4 + 2 x 3 ) 1 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 4

10 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Thema 2 A 11 Lösungsmenge von LUGS Schreiben Sie die folgenden LUGS in aufgelöster Form und skizzieren Sie jeweils die Lösungsmenge (1) x + y 4 (2) 3x + 2y 20 (3) x + 2y 10 (4) y 1 (5) x 1 (1) x 1 (2) 2y + x 5 (3) 2y + x 12 (4) y 5 4 x 11 4 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 4

11 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 2 T 13 Äquivalenzumformung von Gleichungen Bestimmen Sie jeweils die x-lösungsmenge = {x R : x erfüllt Gleichung} (a) e x 5 = e 4x 3 ; 2 x = 10; 10 x = e; e x = ln 10 (b) ln(1 + x 2 ) = ln 2 ln(1/2); e 1 x2 = e 2 ; e 1 x2 = e 2 (c) x x 2 16 x = 0 (d) (x 2 1) e x2 /2 = 0 T 14 Äquivalenzumformung von Ungleichungen Bestimmen Sie jeweils die x-lösungsmenge = {x R : x erfüllt Ungleichung} (a) (x 5 1) e x < 0 (b) (x 2) 2 < 1 (c) (1 + i) x 3/2 mit i > 0 fix (Vorübung Zinsrechnung) (d) ln ( (1 + e x ) 3) > ln 8 T 15 Lösungsmenge von LUGS Schreiben Sie die folgenden LUGS in aufgelöster Form und skizzieren Sie jeweils die Lösungsmenge (1) x + y 3 (2) x y 3 (3) 2x + y 10 (4) y 7 (5) x 1 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 3 von 4

12 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 2 (1) 4y + 2x 10 (2) 2y 8x 2 (3) 5y + x 5 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 4 von 4

13 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Thema 3.1 A 12 Elementare Matrixoperationen Führen Sie die folgenden drei Matrixoperationen aus ( nicht definiert ist ggf. auch ein Ergebnis). Hierbei ist A = ; B = 3 ; C = ( 1/2 1 1/2 ) (a) C B (b) B C (c) (E 3 3 A) T A 13 Elementare Matrixoperationen Führen Sie die Matrixoperation (A + B) B T durch, wobei A = B = A Bei einem zweistufigen Produktionsprozess sind die beiden folgenden (einstufigen) Bedarfstabellen gegeben: Zwischenprodukte Endprodukte Z 1 Z 2 Z 3 E 1 E 2 E 3 Rohstoffe R Zwischenprodukte Z R Z Z Rohstoffpreise r = ( r 1 r 2 ) = ( 2 1 ). Verkaufspreise p = ( p 1 p 2 p 3 ) = ( ) (a) Berechnen Sie M RE, die Bedarfstabelle der Gesamtverarbeitung. ( ) R1 (b) Welcher Rohstoffbedarf R = entsteht bei der Endproduktion E = R 2 (c) Und welche Rohstoffkosten und welcher Verkaufserlös entstehen hierbei? (d) Welche Zwischenproduktmengen erfordert die Endproduktion aus (b)? ? Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 2

14 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 3.1 T 16 Elementare Matrixoperationen Führen Sie, falls möglich, die folgenden Matrixoperationen aus: (1) A T + C (2) 2 3B C (3) A B (4) (e3. 3 )T B (5) B e 2. 3 (6) (e 3. 3 )T B e 2. 3 (7) (E 3 3 B) T (8) B A (9) B 1 3 (10) 1 T 3 B A = B = 1/2 1/ /2 1/2 1 1/2 3 3 C = ( ) 1 3 T 17 Elementare Matrixoperationen Führen Sie die Matrixoperation (B + A) A T durch, wobei A = B = T 18 Bei einem zweistufigen Produktionsprozess sind die beiden folgenden (einstufigen) Bedarfstabellen gegeben: Zwischenprodukte Endprodukte Z 1 Z 2 Z 3 E 1 E 2 Rohstoffe R Zwischenprodukte Z R Z Z Rohstoffpreise r = ( r 1 r 2 ) = ( 5 3 ). Verkaufspreise p = ( p 1 p 2 ) = ( ) (a) Berechnen Sie M RE, die Bedarfstabelle der Gesamtverarbeitung. ( ) R1 (b) Welcher Rohstoffbedarf R = entsteht bei der Endproduktion E = R 2 (c) Und welche Rohstoffkosten und welcher Verkaufserlös entstehen hierbei? ( 3 1 )? Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 2

15 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Thema 3.2 A 15 Entscheiden Sie, ob folgende Matrizen invertierbar sind? Begründen Sie Ihre Entscheidung und geben Sie ggf. die Inverse an. A = D = ( ) ; B = ; E = ; C = ; A 16 Die drei n n-matrizen A, B, C in der folgenden Matrixgleichungen seien invertierbar (a) Ist D invertierbar? Falls ja: D 1 =? B A C = D (b) Lösen Sie die Gleichung nach A auf. A 1 =? (c) Lösen Sie die Gleichung nach B auf. B 1 =? (d) Lösen Sie die Gleichung nach C auf. C 1 =? A 17 Eine der folgenden drei Matrizen B, C, D ist die Inverse der Matrix A. Welche? (Bitte mit stichwortartiger Begründung). A = 0 0 2, Kandidaten B, C, D für A B = ; C = ; D = Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 2

16 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 3.2 T 19 Entscheiden Sie, ob folgende Matrizen invertierbar sind? Begründen Sie Ihre Entscheidung und geben Sie ggf. die Inverse an. A = D = ; B = ; E = / ; C = ; T 20 Gegeben ist die folgende Matrixgleichung, wobei X unbekannt ist: ( ) ( ) 0 1 X = (a) Welche Dimension muß X haben, damit die Gleichung definiert ist? (b) Lösen die Gleichung nach X auf. T 21 Die Inverse der Matrix A = ist A 1 = Lösen Sie mit dieser Information die folgenden Matrixgleichungen nach X auf. Prüfen Sie hierbei zunächst, welche Dimension die Lösungsmatrix X haben wird (a) A X = 2 (b) A X = 2 8 (c) A X = Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 2

17 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Thema 3.3 Verwenden Sie für die folgenden Aufgaben den Gauß-Jordan-Algorithmus diese Methode wird A 18 geprüft. Lösen Sie simultan das folgende lineare Gleichungssystem für die beiden angegebenen Zielvektoren a und b a b 1 x 1 1 x x 3 = x x x 3 = x x 2 1 x 3 = 1 2 A 32 A 19 Sind die folgenden drei Zeilenvektoren a, b, c linear unabhängig? Sind die folgenden drei Zeilenvektoren a = ( 1a, b, 1 c linear unabhängig? 1 1 ) b = ( ) a = ( ) c = ( ) b = ( ) A 33 Berechnen Sie die Inverse der Matrix A = A Berechnen Sie die Inverse der Matrix c = ( ) Machen Sie die Probe! A = A a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden LGS. A 21 1 x 1 1 x x x 4 = 4 (a) Bestimmen Sie 1 die x 1 Lösungsmenge + 0 x 2 + des folgenden 1 x 3 + LGS. 2 x 4 = 0 1 x 1 1 x 2 1 x x 4 = 2 2 x 1 x x 1 x x x x 4 = 4 1 x x x x 4 = 0 1 x 1 1 x 2 1 x x 4 = 2 b) Wie viele der vier Gleichungen können entfallen, ohne dass sich der Informationsgehalt des 2 LGS x 1 reduziert 1 x 2 (bzw. + 2 die x 3 Lösungsmenge + 5 x 4 = 4 verändert)? (b) Wieviele der vier Gleichungen können entfallen, ohne dass sich der Informationsgehalt Ergänzung: des LGS reduziert (bzw. die Lösungsmenge verändert)? c) Geben Sie ein entsprechend nicht-redundantes Teil-LGS des ursprünglichen LGS an und wie sich die überflüssigen Gleichungen aus den Glei- chungen dieses Teil-LGS linear kombinieren lassen. Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 4

18 WS 15/16 17/18Tutorien Mathematik : Thema 3.3 Verwenden Sie für die folgenden Aufgaben den Gauß-Jordan-Algorithmus diese Methode wird geprüft. WS 15/16 Tutorien T 22 Verwenden Sie für die folgenden Aufgaben den Gauß-Jordan-Algorithmus diese Methode wird geprüft. T 31 Lösen Sie simultan das folgende lineare Gleichungssystem a bfür die beiden angegebenen Zielvektoren 3 x 1 a und1 b x: x 3 = 1 2 x x x 3 = a1 1b 13 x x x 3 = x x x 3 = 1 1 T 32 1 x x x 3 = 1 2 Berechnen T 23 T 32 Sie die Inverse der Matrix A = Berechnen Sie Sie die die Inverse Inverse der Matrix der Matrix A =2 A = Machen Sie die Probe! T Machen 33 Sie die Probe! Bestimmen 24 T 33 Sie aus dem folgenden Schlusstableau eines simultan durchgeführten Gauß-Jordan-Algorithmus die Lösungsmengen L b und L c der zugehörigen linearen Bestimmen Gleichungssysteme Sie aus dem folgenden Ax = bschlusstableau und Ax = c. eines simultan durchgeführten Gauß-Jordan-Algorithmus die Lösungsmengen L b und L c der systeme xax 1 = x 2 b und x 3 Ax = b c c x 1 x 2 x 3 b zugehörigen linearen c Gleichungssysteme Ax = b und Ax = c Algorithmus A x4 1 x3 2 x2 3 0b 3c... x0 1 x1 2 x2 3 b0 5/3 c Algorithmus A /3 T a) T 34 Bei Aufgabe T 27 b) sei umgekehrt ein Rohstoffvorrat R = ( ) T T 25 vorgegeben. Geben Sie ein Produktionsziel an, das genau mit dem Vorrat a) RBei auskommt. Aufgabe T 27 b) sei umgekehrt ein Rohstoffvorrat R = ( ) T (a) Ist vorgegeben. Bei dies Aufgabe die einzige TGeben 18 (b) mögliche Sie sei umgekehrt ein Produktionsziel Lösung? ein Rohstoffvorrat an, das R = genau ( 35 mit 13 ) dem T vorgegeben. Vorrat RGeben auskommt. Sie ein Produktionsziel an, das genau mit dem Vorrat R auskommt. Ist dies b) Wie Ist ist die Gleichung M RE E = R hier auch allgemein lösbar (ggf. Inverse diedies einzige dielösung? einzige mögliche Lösung? mit dem GJ-Algorithmus berechnen)? b) (b) Wie ist die Gleichung M RE RE E E = = R hier R hier auch auch allgemein allgemein lösbar lösbar (ggf. Inverse (ggf. Inverse mit dem Ergänzung: mit GJ-Algorithmus dem GJ-Algorithmus berechnen)? berechnen)? Diskutieren Sie anhand der allgemeinen Lösung das Problem, Lösungen (E Ergänzung: 1,E 2 ) T mit nichtnegativen ganzzahligen Werten für E 1,E 2 zu finden: Welche Diskutieren zusätzlichen Sie anhand Bedingungen der allgemeinen an E 1,ELösung 2 ergebendas sich? Problem, Lösungen (E 1,E 2 ) T mit nichtnegativen ganzzahligen Werten für E 1,E 2 zu finden: Welche zusätzlichen Bedingungen an E 1,E 2 ergeben sich? Lösen Sie simultan das folgende lineare Gleichungssystem für die beiden angegebenen Zielvektoren a und b Bestimmen Sie aus dem folgenden Schlußtableau eines simultan durchgeführten Gauß- Jordan-Algorithmus die Lösungsmenge L b und L c der zugehörigen linearen Gleichungs- Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 4

19 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 3.3 WS T 26 15/16 Tutorien T 35 Führen Sie für die folgenden Tabellen den GJ-Algorithmus durch. Führen Sie für die folgenden Tabelle den GJ-Algorithmus durch. x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 1 x 2 x 3 b c d WS 15/16 Tutorien TA Führen3Sie4für5die6folgenden 7 8 Tabelle den 0GJ-Algorithmus durch. 0 0 Gebenx 1 Sie x 2 dann x 3 alle b Fragestellungen c d egk: an, xderen 1 x 2 Beantwortung x 3 b Siec am Schlusstableau 1 ablesen 2 3 können 4 5 und 6 ggf. die Antwort d können (a) A Lösung 2und3ggf. der 4die Antwort. LGSe 5 Ax 6 = 7 b, Ax = c, Ax 0 = 1d, und 2 hierzu 3 jeweils 4 5 (a) a1) Lösung 3 Anzahl 4 der5lgse 6 überflüssiger Ax 7 = b, 8 Ax = Gleichungen c, Ax = 0d, und 0 des hierzu LGS 0 jeweils Geben a2) (a1) Sie Anzahl dann der allefrei überflüssigen Fragestellungen wählbaren Gleichungen Variablen an, deren des LGS Beantwortung Sie am Schlusstableau a3) (a2) Lösungsmenge ablesen Anzahl der können frei wählbaren und ggf. Variablen die Antwort. (a) (b) Lösung der LGSe Matrixgleichung Ax = b, Ax A = X c, Ax = B, = wobei d, undb hierzu := (d jeweils (a3) Lösungsmenge b c) 3 3 (c) a1) Rang Anzahl der Matrizen der überflüssiger A, (A b), Gleichungen (A c), (A des d) LGS (b) (d) a2) Lösung Lineare Anzahl der Matrixgleichung Unabhängigkeit der frei wählbaren A X der Spalten Variablen = B, wobei B := (d b c) (Zeilen) von A 3 3 (e) (c) a3) Invertierbarkeit Rang Lösungsmenge der Matrizenvon A, (A b), A und (A c), ggf. (A d) die Inverse A 1 (b) T 36 Lösung der Matrixgleichung A X = B, wobei B := (d b c) (d) Lineare Unabhängigkeit der Spalten (Zeilen) von A 3 3 (c) Rang der Matrizen A, (A b), (A c), (A d) Wie (e) Invertierbarkeit [T 35] mit von A und ggf. die Inverse A (d) Lineare Unabhängigkeit der Spalten (Zeilen) 1 von A (e) x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 1 x 2 x 3 b c d Invertierbarkeit von A und ggf. die Inverse A T /9 4/9 1/9 TA /9 5/9 1/9 Wie Aufgabe T 26 mit Wie [T735] 8mit /9 2/9 1/9 T 37 x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 1 x 2 x 3 b c d /9 4/9 1/9 Wie [T 35] mit A /9 x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 2 x 3 x 1 b 5/9 c 1/9 d /9 2/9 1/9 1 1 a a 1 TA Wie [T035] 0mit T 38 x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 2 x 3 x 1 b c d 1 1 a a 1 Wie [T 35] mit A x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 1 x 2 x 3 b 1 c 0 d TA Wie [T135] 0mit x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 1 x 2 x 3 b c d A Geben Sie dann alle Fragestellungen an, deren Beantwortung Sie am Schlußtableau ablesen Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 3 von 4

20 (b) (d) Lösung Lineare der Unabhängigkeit Matrixgleichung der Spalten A X = (Zeilen) B, wobei von B := A (d b c) 3 3 (c) (e) Rang Invertierbarkeit der Matrizen vona, A (A und b), ggf. (A die c), Inverse (A d) A 1 (d) Lineare Unabhängigkeit der Spalten (Zeilen) von A T 36 (e) Invertierbarkeit von A und ggf. die Inverse A 1 Wie [T 35] mit T 36 x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 1 x 2 x 3 b c d Wie [T 1 35] 2 mit /9 4/9 1/9 A x4 1 x5 2 x9 3 0b 1c d0 egk: x0 1 x1 2 x0 3 13/9 b 5/9 c 1/9 d /9 1/9 4/9 2/9 1/9 T 28 A /9 5/9 1/9 T /9 2/9 1/9 Wie [T 35] mit T 37 x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 2 x 3 x 1 b c d Wie [T 1 35] 1 mit a a 1 A x0 1 x1 2 x1 3 1b 0c d0 egk: x0 2 x1 3 x0 1 b1 1 c d a a 10 A T Wie T 29[T 35] mit T 38 x 1 x 2 x 3 b c d egk: x 1 x 2 x 3 b c d Wie [T 1 35] 1 mit A x0 1 x1 2 x0 3 1b 0c d0 egk: x0 1 x1 2 x0 3 b1 c0 d A WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 3.3 Wie Aufgabe T 26 mit Wie Aufgabe T 26 mit Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 4 von 4

21 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik: Thema 4 A 22 Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der Folge a n, n N, für n a) a n = n3 2n n 3 7n b) a n = 5n4/5 n 3/4 3n 5/6 +2n 2/3 c) a n = 2n n 3 10n 3 17n A 23 Bestimmen Sie für die Folge s n, n N, mit s n = n i=0 (a 1)i wobei a > 1 fix a) den endlichen Summenwert b) den Grenzwert für n A 24 Bestimmen Sie jeweils für die Folge s n, n N, den Grenzwert für n (a) s n = n k=3 3k /4 k (b) s n = n i=0 4i+2 3 2i 1 17 i (c) s n = n k=0 (d) s n = n k=0 1 k! [ 5 4 ( 5 6 )k 6 5 ( 4 5 )k] Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 2

22 WS 17/18 Tutorien Mathematik: Thema 4 T 30 Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der Folge a n, n N, für n (a) a n = n3 2n n 3 7n (b) a n = 2 n n c) a n = n (d) a n = n3/4 2n 5/4 + 5n 1/2 7n 3/2 4n 3/2 7n 1 + n 4/3 Wählen Sie jeweils ganze Zahlen k und m so, dass (e1) (e2) (e3) lim n nk = 0 und lim n nm = und lim n nk n m = 0 lim n nk = 0 und lim n nm = und lim n nk n m = 1 lim n nk = 0 und lim n nm = und lim n nk n m = T 31 Bestimmen Sie die Folge s n, n N, mit s n = (a) den endlichen Summenwert n (1 1/ 2) i i=0 (b) den Grenzwert für n T 32 Bestimmen Sie jeweils für die Folge s n, n N, den Grenzwert für n (a) s n = n k=0 3k /2 2k (b) s n = n k=0 (c) s n = n ( 1) k k=0 k! [ 3( 2 3 )k 2( 3 4 )k] Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 2

23 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Thema 5 A 25 Stetigkeit aus Grundfunktionen zusammengesetzter Funktionen Bilden Sie folgende Grenzwerte: e (a) lim x 1 +e 1 x 2 x 0 (x 1) 2 (d) lim x 0 ( (x + 1) 3 3x 2 3x 1 ) (f) lim x 1 (x+1) 3 3x 2 3x 1 (x 2 +x+1) 2 3x 2 2x 1 (b) lim x 1 (e x 1 + e 1 x 2) (x 1) 2 1+x x (c) lim 2 x x 2x 2 (e) lim x 0 ( (x 2 + x + 1) 2 3x 2 2x 1 ) Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen f(x) stetig in den Nahtstellen sind. (g) Nahtstelle x = 3 und { x + 1 für 0 x 3 f(x) = 1 x für 3 < x 5 (h) Nahtstelle x = 2 und f(x) = { 2 x/2 für 0 x < 2 (x + 1) e 2(x 2) für 2 x 3 A 26 Ableitungen Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen (a) g(x) = (1 + x) 3/2 ln ( e 2 (1 + x) 3/2) für x > 0 (b) g(x) = e 1 (1+x)2 (c) g(x) = ln ( x ) (d) g(x) = ( ln x ) 2 A 27 Optimierung und Krümmungsverhalten von Funktionen Gegeben f(x) = 0.1 x x x (a) Bestimmen Sie jeweils alle lokalen und globalen Extrempunkte (lokale und globale Extremstellen sowie zugehörige Funktionswerte) von f über die Definitionsbereiche D(f) = [ 6, 2], D(f) = [ 3, 2], D(f) = [ 3, 0]. (b) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten (Konvexität/Konkavität) von f und ermitteln Sie die Wendepunkte (Wendestellen und zugehörige Funktionswerte) von f, wenn D(f) = [ 3, 2]. Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 3

24 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 5 T 33 Stetigkeit aus Grundfunktionen zusammengesetzter Funktionen Bilden Sie folgende Grenzwerte: (a) lim x 0 (x + 1) ln(1 + x 2 ) (x+1) (b) lim 2 2(1+x) x 2 x /x (c) lim x ln x 1+1/x (d) lim x 1 ln x 1+1/x (e) lim x 1+ ln x (f) lim x 3x 3 +x+1 6x 3 3x 2 2x 1 (g) lim x 1 (x+1) 3 3x 2 3x 1 (x 2 +x+1) 2 3x 2 2x 1 Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen f(x) stetig in den Nahtstellen sind. (g) Nahtstelle x = 1 und f(x) = (h) Nahtstelle x = 2 und f(x) = { 2 e (x+1)2 4 für 0 x < 1 ln(x 3 + e 1) für 1 x 5 { 2 (x+2)/2 für 0 x < 2 (x + 2) e 2(x 2) für 2 x 3 T 34 Ableitungen Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen (a) g(x) = (7 x)e 1 x2 (b) g(x) = (1 + x) ln(1 + x) (c) g(x) = 3x 2 + xe 1 x (d) g(x) = x2 2x+2 x 2 (e) g(x) = ln(x 4 + 2) (f) g(x) = ( ln(x + 1) ) 2 T 35 Optimierung von Funktionen Bestimmen Sie jeweils die globalen Extrempunkte von f (Extremstellen und deren Funktionswerte) über die angegebenen Definitionsbereiche (a) f(x) = 0.25 x x 3 8 x 2 + 1, D(f) = [1, 4], D(f) = [ 1, 4], D(f) = [ 1, 1], D(f) = [3, 4] (b) f(x) = (x + 1)/(x 2 + 3), D(f) = [0, 3], D(f) = [ 4, 3], D(f) = [2, 3] (c) f(x) = (1 + x 2 ) e 1 x x/2, D(f) = [0, 2] (d) f(x) = (1 + x) ln(1 + x), D(f) = [0, 2] Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 3

25 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 5 T 36 Optimierung und Krümmungsverhalten von Funktionen Gegeben f(x) = 1 + x e 2 x mit D(f) = [0, 2] (a) Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrempunkte (lokale und globale Extremstellen sowie zugehörige Funktionswerte) von f über dem angegebenen Definitionsbereich. (b) Untersuchen Sie das Krümmmungsverhalten von f. T 37 Optimierung und Krümmungsverhalten von Funktionen Gegeben f(x) = 1 2π e x2 /2 mit D(f) = [ 2, 3/2]. Beachte: 1. Ableitung ist gegeben! f hat die Ableitung f (x) = x 2π e x2 /2. (a) Bestimmen Sie auf Basis dieser Information alle lokalen Maximalpunkte (Maximalstellen und zugehörige Funktionswerte) von f über dem Definitionsbereich. Welche von diesen sind auch globale Maximalpunkte? Wo liegen die globalen Minima? (b) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von f (konvex/konkav mit Wendepunkten). Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 3 von 3

26 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Thema 6 A 28 Wachstumsrate, Elastizität, Proportionalitätsfaktoren (a) Bestimmen Sie die Wachstumsrate der Funktion f(x) = ln x an der Stelle x 0 = e (b) Bestimmen Sie die Elastizität E f (x) der Funktion f(x) = 3x 2 + xe 1 x. Mit welchem Faktor überträgt sich (ungefähr) eine relative Änderung von x 0 = 1 um p% auf die relative Änderung des Funktionswertes? (c) Ist die Näherung für die relative Änderung von f aus (b) auch eine sichere Abschätzung nach oben oder nach unten? A 29 Wachstumsrate, Elastizität, Proportionalitätsfaktoren Interessierender Bereich D(f) : 1 x 4 (a) Berechnen Sie für jedes x 0 D(f) jeweils die (stetige) Wachstumsrate W f (x 0 ) von f die Elastizität E f (x 0 ) von f (b) Bestimmen Sie die ungefähre relative Änderung des Funktionswertes bei einer Erhöhung von x 0 = 2 (Basisstelle) um 5%. (c) Was ergibt sich als ungefähre absolute (d.h. nicht-relative) Änderung des Funktionswertes beim Übergang von x 0 = 2 (Basisstelle) zu x 1 = 2.2 Ist diese Näherung auch eine sichere Abschätzung nach oben oder nach unten? Als Funktion f soll dabei betrachtet werden (1) f(x) = x 2 4x + 5 (2) f(x) = (1 + a) x, wobei a > 0 fix Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 2

27 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 6 T 38 Wachstumsrate, Elastizität, Proportionalitätsfaktoren (a) Bestimmen Sie die Wachstumsrate der Funktion f(x) = x e x2 an der Stelle x 0 = 1. (b) Bestimmen Sie die Elastizität E f (x) der Funktion f(x) = 3 x e x. Mit welchem Faktor überträgt sich (ungefähr) eine relative Änderung von x 0 = 1 um p% auf die relative Änderung des Funktionswertes? T 39 Wachstumsrate, Elastizität, Proportionalitätsfaktoren Interessierender Bereich D(f) : 1 x 4 (a) Berechnen Sie für jedes x 0 D(f) jeweils die (stetige) Wachstumsrate W f (x 0 ) von f die Elastizität E f (x 0 ) von f (b) Bestimmen Sie die ungefähre relative Änderung des Funktionswertes bei einer Erhöhung von x 0 = 2 (Basisstelle) um 5%. (c) Was ergibt sich als ungefähre absolute (d.h. nicht-relative) Änderung des Funktionswertes beim Übergang von x 0 = 2 (Basisstelle) zu x 1 = 2.2 Ist diese Näherung auch eine sichere Abschätzung nach oben oder nach unten? Als Funktion f soll dabei betrachtet werden (1) f(x) = c x r (r R und c > 0 fix) für einige r { 2, 1, 1 2, 0, 1 2, 1, 2} (2) f(x) = c e rx (r R und c > 0 fix) für einige r { 2, 1, 1 2, 0, 1 2, 1, 2} T 40 Elastizität, Proportionalitätsfaktor Gegeben f(x) = 3 x e 1 x mit D(f) = [0, 4]. Bestimmen Sie die Elastizitätsfunktion E f (x) von f und damit an der Basisstelle x 0 = 3 die (ungefähre) relative Änderung des Funktionswerte f(x) gegenüber f(3) bei einer relativen Verminderung von x gegenüber x 0 = 3 um 3%. Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 2

28 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik : Thema 7 A 30 Stammfunktionen, HDIR Berechnen Sie die Fläche (zwischen x-achse und Funktionskurve) unter der stückweise stetigen Funktion: 2 x 2/3, für 0 x < 1 f(x) = α, für x = 1, wobei α R fix x 3/2 1/2, für 1 < x 2 A 31 Stammfunktionen, ISF (a) Bestimmen Sie die Funktion F (x) := F (0) + x 0 f(t) dt, wobei f wie in A 30 gegeben ist. (b) Berechnen Sie F (x) für x 1 sowie F (1) und F +(1). Ist F an der Nahtstelle x = 1 differenzierbar? A 32 Stammfunktionen Berechnen Sie die bestimmten Integrale, wobei 0 < a < 1 und b > 0 fix: (a) b 0 2 t dt (b) b 0 2 e λt dt, wobei λ > 0 fix (c) a t 1/2 dt A 33 Uneigentliche Integration Berechnen Sie die uneigentlichen Integrale: (a) 0 2 t dt (b) 0 2 e λt dt, wobei λ > 0 fix (c) t 1/2 dt A 34 Partielle (und uneigentliche) Integration Berechnen Sie das bestimmte Integral b a t e λt dt, wobei λ > 0 fix und < a < b <. Was ergibt sich dann für das Integral t e λt dt (Hinweis: lim x x e x = 0) A 35 Lineare Substitution Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale. (a) (16 x/4)3 dx (b) (e 4)/3 1 ln(3x + 4) dx Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 3

29 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 7 T 41 Stammfunktionen, HDIR Berechnen Sie die Fläche (zwischen x-achse und Funktionskurve) unter der stückweise stetigen Funktion: 2 (x 2 + 1), für 0 x < 1 f(x) = α, für x = 1, wobei α R fix 3/x, für 1 < x 2 T 42 Stammfunktionen, ISF (a) Bestimmen Sie die Funktion F (x) := F (0) + t 0 f(t)dx, wobei f wie in T 41 gegeben ist. (b) Berechnen Sie F (x) für x 1 sowie F (1) und F +(1). Ist F an der Nahtstelle x = 1 differenzierbar? T 43 Stammfunktionen, HDIR Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale: (a) b a 2t dt (c) b a ln(tn ) dt für n N und 0 < a b fix (b) 4 1 t3/2 dt (d) a+1 a t 1/2 dt (a > 0 fix) T 44 Stammfunktionen, HDIR Berechnen Sie die bestimmten Integrale, wobei 0 < a < 1 und b > 0 fix: (a) b 0 3e 3t dt (b) b 1 t 2 dt (c) a t 3/4 dt T 45 Uneigentliche Integration Berechnen Sie die uneigentlichen Integrale: (a) 0 3e 3t dt (b) 1 t 2 dt (c) t 3/4 dt Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 3

30 WS 17/18 Tutorien Mathematik : Thema 7 T 46 Partielle Integration Berechnen Sie die bestimmten Integrale mittels partieller Integration: (a) e 1 t 2 ln t dt (b) t e4 t dt T 47 Partielle Integration, ISF Für 1 x sei F (x) := F (1)+ x 1 4t ln t dt, wobei F (1) fix vorgegeben ist, hier als F (1) = 1. Berechnen Sie den Wert F (x) mittels partieller Integration. T 48 Lineare Substitution Berechnen Sie die bestimmten Integrale: (a) 13 5 (2t 1) 1/2 dt (b) 1 12 ( 2t + 3)1/3 dt Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 3 von 3

31 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik: Thema 8 A 36 Partielle Elastizitäten, Grenzrate der Substitution Betrachtet wird die Funktion f(x, y) = 4x 3 3y 2 (x > 0, y > 0) (a) Geben Sie eine Abschätzung für die relative Veränderung der Funktion f an der Basisstelle (2, 3), wenn sich dort die x-variable um +1% verändert und die y-variable um 2% verringert. (b) Die Abhängigkeit zwischen den Variablen x und y sei auf dem konstanten (noch unbestimmten) Niveau z gegeben durch eine implizite Darstellung mittels der obigen Funktion, d.h. z = f(x, y) = 4x 3 3y 2 (x > 0, y > 0). (b1) Berechnen Sie (auf dem Niveau z) die Grenzrate der Substitution der Variablen x durch die Variable y: dy dx (x 0, y 0 ) =? (b2) Geben Sie einen Punkt (x 0, y 0 ) an, der die Niveaubedingung z = 20 erfüllt, und für diesen den Wert dy dx (x 0, y 0 ). (b3) Um ungefähr wieviel Prozent ändert sich auf dem Niveau 20 der Wert von x gegenüber x 0, wenn sich y gegenüber y 0 um 2% ändert? A 37 Partielle Ableitungen, partielle Wachstumsraten Berechnen Sie für die Funktion f(x, y) = (1 + y)e 1 x (a) die partiellen Ableitungen f x, f y (b) die beiden partiellen Wachstumsraten an der Basisstelle (x 0, y 0 ) = (1, 1) (c) die ungefähre relative Änderung von f beim Übergang vom Basiswert f(1, 1) zum neuen Wert f(0.97, 1.1). A 38 Partielle Elastizitäten, Grenzrate der Substitution Wie A 36 mit f(x, y) = y + x 1/2 y 1/2, der Basisstelle (4, 9) und z = 15 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 3

32 WS 17/18 Tutorien Mathematik: Thema 8 T 49 Partielle Ableitungen Berechnen Sie für die Funktion f die partiellen Ableitungen f x, f y sowie f (oder f yx). xx, f yy und f (a) f(x, y) = (x + y) e x y (b) f(x, y) = (x y) e x+y (jeweils x R, y R) xy T 50 Totales Differential, Grenzrate der Substitution Betrachtet wird die Funktion f(x, y) = x 5 + xy + 2y 5 (x > 0, y > 0) (a) Berechnen Sie das totale Differential der Funktion f. (b) Die Abhängigkeit zwischen den Variablen x und y sei auf dem konstanten (noch unbestimmten) Niveau z = 4 gegeben durch eine implizite Darstellung mittels der obigen Funktion, d.h. 4 = f(x, y) = x 5 + xy + 2y 5 (x > 0, y > 0). (b1) Berechnen Sie (auf dem Niveau z = 4) die Grenzrate der Substitution der Variablen x durch die Variable y: dy dx (x 0, y 0 ) =? (b2) Geben Sie einen Punkt (x 0, y 0 ) an, der die Niveaubedingung z = 4 erfüllt, und für diesen den Wert dy dx (x 0, y 0 ). (b3) Um ungefähr wieviel Prozent ändert sich auf dem Niveau 4 der Wert von y gegenüber y 0, wenn sich x gegenüber x 0 um +2% ändert? T 51 Partielle Ableitungen, partielle Elastizitäten Berechnen Sie für die Funktion f(x, y) = ln(x 2/5 y 3/5 ) (a) die partiellen Ableitungen f x, f y, f xy (b) die partielle Elastizität bzgl. der Variable x im Punkt (x 0, y 0 ) = (1, e) (c) die Tangentialebene zu f im Ausgangspunkt (x 0, y 0 ) = (1, 1) und damit einer Näherung für den Funktionswert f(1.1, 0.9). Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 3

33 WS 17/18 Tutorien Mathematik: Thema 8 T 52 Cobb-Douglas-Funktion Untersucht werden soll die allgemeine Funktion f(x, y) = x α y 1 α, wobei 0 < α < 1 fix. Diese Funktion ist in der Mikroökonomie bekannt unter dem Namen Cobb-Douglas-Funktion. Finden Sie eine α-regel bei diesem Funktionstyp für (a) die partiellen Elastizitäten, (b) die Grenzraten der Substitution, (c) die Proportionalitätsfaktoren zwischen relativen Änderungen der Variablen x und y, die das Niveau z des Funktionswertes konstant belassen. Falls eine (Teil-)Aufgabe dieses Typs in der Klausur vorkommt, reicht es nicht, als Lösung nur eine α-regel aufzuschreiben. Sie können aber z.b. die Aufgabe allgemein mit α lösen und danach das konkrete α einsetzen. T 53 Totales Differential, Grenzrate der Substitution Wie T 50 mit f(x, y) = x + x 2 y 1/2 und z = 6 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 3 von 3

34 WS 17/18 Vorlesung/Übung/Tutorien Mathematik: Thema 9.1 Aufgaben 3D-Extrema Nicht vergessen: Bei der Bestimmung der stationären Stellen die ermittelten Stellen daraufhin prüfen, ob sie zum vorher festgelegten Variablenbereich (Definitionsbereich) der zu untersuchenden Funktion gehören. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale Extremwerte und Sattelpunkte (Ggf. angeben: Extremalstellen, Sattelpunktstellen und die jeweils zugehörigen Funktionswerte) A 39 A 40 T 54 f(x, y) = 3/2 + ln ( (1 + 2x)(1 + y) 2) x 2 y (x > 0, y > 0) f(x, y) = x 2 y 3 3xy (x R, y R) (a) f(x, y) = 2 x 2 /2 y 4 /4 + xy (x R, y R) (b) f(x, y) = x 2 y 3 + 3xy (x R, y R) (c) f(x, y) = 4 + y 4 /4 + x 2 /2 2xy (x R, y R) (d) f(x, y) = 3x 2 (1 y) + 4y 3 (x R, y R) T 55 (a) f(x, y) = xye 2x+y (x > 0, y > 0) (b) f(x, y) = xye 2x y (x > 0, y > 0) Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 1

35 WS 17/18 Vorlesung/Übung/Tutorien Mathematik: Thema 9.2 Aufgaben 3D-Extrema unter Gleich-Null Nebenbedingung A 41 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen unter den angegebenen Nebenbedingungen (NB) die lokale Extrema mit zugehörigem Funktionswert. (a) f(x, y) = 4 x y (x, y R) unter NB 6 x + y = 12 (b) f(x, y) = 6 x + 4 y (x, y R) unter NB x y = 5 T 56 An welchen Stellen können die folgenden Funktionen unter den angegebenen Nebenbedingungen (NB) lokale Extrema annehmen? Welche Art von lokalem Extremum liegt jeweils vor? Welche Funktionswerte werden angenommenn? (a) f(x, y) = x y (x, y R) unter NB x 3 y = 24 (b) f(x, y) = x y 2 (x, y R) unter NB x + y = 12 (c) f(x, y) = 2 x 1/ y (x > 0, y R) unter NB x + 20 y = 21 T 57 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen unter den angegebenen Nebenbedingungen (NB) die lokalen Extrema mit zugehörigem Funktionswert. (a) f(x, y) = (1/5) x y (x, y R) unter NB 2 x + 4 y = 10 (b) f(x, y) = x y (x, y R) unter NB 8 x + y = 4 T 58 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen unter den angegebenen Nebenbedingungen (NB) die lokalen Extrema mit zugehörigem Funktionswert. (a) f(x, y) = 4 x + 2 y (x, y R) unter NB 2 x 2 + y 2 = 12 (b) f(x, y) = x + y (x, y R) unter NB x y 2 = 12 Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 4

36 WS 17/18 Zusatzmaterial Mathematik: Thema 9.2 Z 1 An welchen Stellen können die folgenden Funktionen unter den angegebenen Nebenbedingungen (NB) lokale Extrema annehmen? Welche Art von lokalem Extremum liegt vor? Welche Funktionswerte werden angenommen? (a) f(x, y) = x 2 2 x y unter NB y = 2 x 6 (b) f(x, y) = x 2 + y 2 2 x + 1 unter NB 2 x + y = 12 (c) f(x, y) = x + 20 y unter NB x 1/2 + y = 30 Ergebniskontrolle: zu (a): zu (b): zu (c): einziger stationärer Punkt P 1 = (2, 2) mit λ = 4 D(2, 2, 4) = 6 < 0, also (2, 2) lokales Maximum von f unter NB. einziger stationärer Punkt P 1 = (5, 2) mit λ = 4 D 0 (5, 2, 4) = 10 > 0, also (5, 2) lokales Minimum von f unter NB. einziger stationärer Punkt P 1 = (100, 20) mit λ = 20 D(100, 20, 20) = 5/1000 > 0, also (100, 20) lokales Minimum von f unter NB. Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 4

37 WS 17/18 Zusatzmaterial Mathematik: Thema 9.2 Z 2 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen unter den angegebenen Nebenbedingungen (NB) die lokale Extrema mit zugehörigem Funktionswert. (a) f(x, y) = x + y 3 unter NB 2 x + 6 y = 8 (b) f(x, y) = 4 x + y 3 unter NB x + 3 y = 5 (c) f(x, y) = 9 x + y 3 unter NB x + 3 y = 6 Ergebniskontrolle: zu (a): zu (b): zu (c): stationäre Punkte P 1 = (7, 1) und P 2 = (1, 1) mit λ = 1/2 Berechnung von D(x 0, y 0, λ 0 ) für alle stationären Punkte D(7, 1, 1/2) = 24 < 0, also (7, 1) lokales Maximum von f unter NB. D(1, 1, 1/2) = 24 > 0, also (1, 1) lokales Minimum von f unter NB. stationäre Punkte P 1 = (11, 2) und P 2 = ( 1, 2) mit λ = 4 Berechnung von D(x 0, y 0, λ 0 ) für alle stationären Punkte D(11, 2, 4) = 12 < 0, also (11, 2) lokales Maximum von f unter NB. D( 1, 2, 4) = 12 > 0, also ( 1, 2) lokales Minimum von f unter NB. stationäre Punkte P 1 = (15, 3) und P 2 = ( 3, 3) mit λ = 9 Berechnung von D(x 0, y 0, λ 0 ) für alle stationären Punkte D(15, 3, 9) = 18 < 0, also (15, 3) lokales Maximum von f unter NB. D( 3, 3, 9) = 18 > 0, also ( 3, 3) lokales Minimum von f unter NB. Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 3 von 4

38 WS 17/18 Zusatzmaterial Mathematik: Thema 9.2 Z 3 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen unter den angegebenen Nebenbedingungen (NB) die lokale Extrema mit zugehörigem Funktionswert. (a) f(x, y) = 4 x + 8 y unter NB 2 x y 2 = 6 (b) f(x, y) = x + y unter NB x y 2 = 24 Ergebniskontrolle: zu (a): zu (b): stationäre Punkte P 1 = ( 1, 1) mit λ = 1 und P 2 = (1, 1) mit λ = 1 Berechnung von D(x 0, y 0, λ 0 ) für alle stationären Punkte D( 1, 1, 1) = 1 4 ( 8) ( 4) 2 > 0, also ( 1, 1) lokales Minimum von f unter NB. D(1, 1, 1) = ( 1) ( 1) < 0, also (1, 1) lokales Maximum von f unter NB. stationäre Punkte P 1 = ( 4, 2) mit λ = 1/8 und P 2 = (4, 2) mit λ = 1/8 Berechnung von D(x 0, y 0, λ 0 ) für alle stationären Punkte D( 4, 2, 1/8) = 48 > 0, also ( 4, 2) lokales Minimum von f unter NB. D(4, 2, 1/8) = 48 < 0, also (4, 2) lokales Maximum von f unter NB. Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 4 von 4

39 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik: Thema 10 Bezeichnung: G = Geldeinheit/Stückelung (z.b. 1G = 1000 Euro) Eine Skizze des zeitlichen Ablaufs (Zeitpunkte, Zahlungen, Faktoren) kann bei fast allen Aufgaben sehr hilfreich sein. A 42 Zinseszinsrechnung, Zinsstaffel Voraussetzung: Jährliche Verzinsung (Zinseszins) und ein Anfangswert K 0 > 0. (a) Gegeben: Laufzeit n = 4. Wie hoch ist die erforderliche Rendite i = p%, damit der Zielwert K 4 um 60% über dem Anfangswert K 0 liegt? (b) Gegeben: i = 25% und ein Zielwert K x, der 60% über dem Anfangwert K 0 liegt. Erforderliche Laufzeit n =? (d.h. mit der n-ten Verzinsung soll K n erstmals die Bedingung K n K x erfüllen) (c) Gegeben: Laufzeit n = 4 und Zinsstaffel 20%, 20%, 0%, 44%. Berechnen Sie den Zielwert K 4 bei einem Anfangswert von K 0 = und den effektiven Zinssatz i eff. Hilfswerte: , ln , ln , = 20736, ln A 43 Jährliche Zinseszinsen Gefragt: Endwerte der gegebenen Anlageform A D Barwerte (nur bei Anlageformen ohne Zinsstaffel) Effektiver Zinssatz bei Anlageform B Geg.: Laufzeit n = 2 Jahre, Einzahlungen vorschüssig, jährliche Verzinsung (A) 2 G zu Beginn mit i = 3%; (B) 2 G zu Beginn mit Zinsstaffel i 1 = 2%, i 2 = 4%; (C) 1 G jährlich mit Zinsstaffel i i = 4%; i 2 = 3% bzw. i 1 = 3%, i 2 = 4%; (D) 1 G jährlich mit i = 3% (konstant) A 44 Ratenendwert, Rentenbarwert Ein Betrag K soll ohne Startkapital jährlich vorschüssig über 10 gleiche Raten der Höhe A angespart werden um dann ab dem folgenden Jahr durch eine vorschüssige jährlich Rente der Höhe R in 5 Jahren aufgebraucht zu werden. Kalkulationszins i = p% (fest, aber zunächst nicht näher festgelegt). Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 1 von 4

40 WS 17/18 Vorlesung/Übung Mathematik: Thema 10 Gegeben (als Ziel): Rentenhöhe R > 0 Gefragt: (a) Ratenhöhe A in Abhängigkeit von R und q, wobei q = 1 + i, d.h. gefragt ist eine Gleichung A =?, wobei rechts vom Gleichheitszeichen nur die Symbole R und q auftreten (bitte hierbei möglichst gut zusammenfassen/auskürzen). (b) Welcher Wert ergibt sich damit (approximativ) für A, wenn nun konkret i = 4.5% und R = 56 G festgelegt sind? [Hilfswerte , , ] A 45 Ratenenkauf, jährliche Verzinsung Ratenkauf mit konstanter jährl. Rate A: Vertragsdauer n Jahre, der Vertrag beginnt mit Zahlung der ersten Rate und endet mit Zahlung der letzten Rate. (a) Berechnen Sie den Kauf-Endwert, d.h. den Endwert des Ratenkaufs (Endwert einschl. der letzten Rate) (b) Berechnen Sie den Kauf-Barwert, d.h. den Barwert des Ratenkaufs (Barwert einschl. der ersten Rate) (c) Welche relative Preisveränderung bedeutet der Ratenkauf gegenüber der Einmal-Zahlung des Betrags K = (n + 1) A zum Vertragsbeginn? Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 2 von 4

41 WS 17/18 Tutorien Mathematik: Thema 10 Bezeichnung: G= Geldeinheit/Stückelung (z.b. 1G = 1000 Euro) Eine Skizze des zeitlichen Ablaufs (Zeitpunkte, Zahlungen, Faktoren) kann bei fast allen Aufgaben sehr hilfreich sein. T 59 Zinseszinsrechnung, Zinsstaffel Voraussetzung: Jährliche Verzinsung (Zinseszins) und ein Anfangswert K 0 > 0. (a) Gegeben: Laufzeit n = 5. Wie hoch ist die erforderliche Rendite i = p%, damit der Zielwert K 5 um 20% über dem Anfangswert K 0 liegt? (b) Gegeben: i = 10% und ein Zielwert K x, der 20% über dem Anfangwert K 0 liegt. Erforderliche Laufzeit n =? (d.h. mit der n-ten Verzinsung soll K n erstmals die Bedingung K n K x erfüllen) (c) Gegeben: Laufzeit n = 5 und Zinsstaffel 10%, 0%, 10%, 21%, 10%. Berechnen Sie den Zielwert K 5 bei einem Anfangswert von K 0 = und den effektiven Zinssatz i eff. Hilfswerte: , ln , ln , 11 5 = , ln T 60 Jährliche Verzinsung (Zinseszins) Gefragt: Endwerte der gegebenen Anlageform A D Barwerte (nur bei Anlageformen ohne Zinsstaffel) Effektiver Zinssatz bei Anlageform B Geg.: Laufzeit n = 4 Jahre, Einzahlungen vorschüssig, jährliche Verzinsung (A) 10 G zu Beginn mit i = 5%; (B) 10 G zu Beginn mit Zins-Staffel i 1 = 4%, i 2 = 5%, i 3 = 5%, i 4 = 6% (C) 2.5 G jährlich mit i = 6% (konstant) T 61 Ratenendwert, Rentenbarwert Ein Betrag K soll ohne Startkapital jährlich vorschüssig über 10 gleiche Raten der Höhe A angespart werden um dann ab dem folgenden Jahr durch eine vorschüssige jährliche Rente der Höhe R in 5 Jahren aufgebraucht zu werden. Kalkulationszins i = p% (fest, aber zunächst nicht näher festgelegt). Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 3 von 4

42 WS 17/18 Tutorien Mathematik: Thema 10 Gegeben (als Ziel): Rentenhöhe A > 0 Gefragt: (a) Rentenhöhe R in Abhängigkeit von A und q, wobei q = 1+i, d.h. gefragt ist eine Gleichung R =?, wobei rechts vom Gleichheitszeichen nur die Symbole A und q auftreten (bitte hierbei möglichst gut zusammenfassen/auskürzen). (b) Welcher Wert ergibt sich damit für A, wenn i = 3% und R = 670 G konkret festgelegt sind? Zusatzfrage: Wenn die Ansparphase und die Rentenphase im Unterschied zu oben beide gleiche Dauer n = 10 haben, ergibt sich R/A = , also A = 670/ Rechnen Sie dies nach und begründen Sie anhand einer Skizze, wie dies auch sofort (ohne zu rechnen) eingesehen werden kann. [Hilfswerte , , ] T 62 Ratenkauf, jährliche Verzinsung Ratenkauf mit konstanter jährl. Rate A: Vertragsdauer 3 Jahre, der Vertrag beginnt mit Zahlung der ersten Rate und endet mit Zahlung der letzten Rate, Kalkulationssatz i = 5%. Bei welcher Ratenhöhe A bedeutet der Ratenkauf eine Preiserhöhung von 3% gegenüber dem Bar-Kaufwert K (d.h. dem Barwert K des Ratenkaufs A 45 (b))? Mathematik für Ökonomen Campus Duisburg 4 von 4