Klausur Nr. 2. Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung (A) keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.

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1 Pflichtteil Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung (A) keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Göttge-Piller, Höger Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 3 Punkte. 1. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen gleich 1 ist. Die Behauptung als Formel gibt es für 1 *. 2. Mit 2 sin 2 Fertigen Sie rechts eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Verwenden Sie zur Beschreibung gerne den Vergleich mit Alltagsgegenständen. wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. 3. Wahr oder falsch? Kreuzen Sie an. wahr falsch a) Bei der Verkettung von zwei Funktionen kommt es auf die Reihenfolge der Verkettung an. b) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist nicht möglich. c) Eine Funktion kann nicht mit sich selbst verkettet werden. *beim Fachlehrer/bei der Fachlehrerin bitte wenden!

2 4. Bei jedem Buchstaben steht eine Möglichkeit, wie zwei Funktionen und mit ² bzw. 21 kombiniert werden können, um die angegebene Funktion zu bilden. Ordnen Sie jeder Funktion den passenden Buchstaben zu. Funktionsgleichung Buchstabe Erläuterung der Buchstaben!2³² A: E: #1 B: F: $2²1 C: G: keine der angege- 21 D: benen Möglichkeiten 5. Bilden sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich. a) 1 1 b) 1,5 Geben Sie hier eine Formel ein. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

3 Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung (B) Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 3 Punkte. 1. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen gleich 1 ist. Die Behauptung als Formel gibt es für 1 *. 2. Mit 2 sin 2 Fertigen Sie rechts eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Verwenden Sie zur Beschreibung gerne den Vergleich mit Alltagsgegenständen. wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. 3. Wahr oder falsch? Kreuzen Sie an. wahr falsch a) Bei der Verkettung von zwei Funktionen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Verkettung an. b) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist möglich. c) Eine Funktion kann nicht mit sich selbst verkettet werden. *beim Fachlehrer/bei der Fachlehrerin bitte wenden!

4 4. Bei jedem Buchstaben steht eine Möglichkeit, wie zwei Funktionen und mit ² bzw. 21 kombiniert werden können, um die angegebene Funktion zu bilden. Ordnen Sie jeder Funktion den passenden Buchstaben zu. Funktionsgleichung Buchstabe Erläuterung der Buchstaben!21 A: E: #2²1 B: F: $1 C: G: keine der angege- 2³² D: benen Möglichkeiten 5. Bilden sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich. b) 1 1 b) 1,5 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

5 Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung (A) Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 3 Punkte. 1. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen gleich 1 ist. Die Behauptung als Formel gibt es für 1 *. Behauptung: Induktionsanfang n = 1 Induktionsschritt linke Seite: rechte Seite: Somit gilt: n n+1: q.e.d. 2. Mit 2 sin 2 Fertigen Sie rechts eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Verwenden Sie zur Beschreibung gerne den Vergleich mit Alltagsgegenständen. wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. Es handelt sich dabei um eine Art Spindel, so ähnlich wie bei einem Jojo. 3. Wahr oder falsch? Kreuzen Sie an. wahr falsch a) Bei der Verkettung von zwei Funktionen kommt es auf die Reihenfolge der Verkettung an. b) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist nicht möglich. c) Eine Funktion kann nicht mit sich selbst verkettet werden. *beim Fachlehrer/bei der Fachlehrerin bitte wenden!

6 4. Bei jedem Buchstaben steht eine Möglichkeit, wie zwei Funktionen und mit ² bzw. 21 kombiniert werden können, um die angegebene Funktion zu bilden. Ordnen Sie jeder Funktion den passenden Buchstaben zu. Funktionsgleichung Buchstabe Erläuterung der Buchstaben!2³² C A: E: #1 A B: F: $2²1 F C: G: keine der angege- 21 E D: benen Möglichkeiten 5. Bilden sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich. c) 1 1 b) 1, : 1,5 5 ; ,5= ; 1,5 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

7 Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung (B) Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 3 Punkte. 1. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen gleich 1 ist. Die Behauptung als Formel gibt es für 1 *. Behauptung: Induktionsanfang n = 1 Induktionsschritt linke Seite: rechte Seite: Somit gilt: n n+1: q.e.d. 2. Mit 2 sin 2 Fertigen Sie rechts eine Skizze der Situation an. Um was für einen Körper handelt es sich? Verwenden Sie zur Beschreibung gerne den Vergleich mit Alltagsgegenständen. wird der Rauminhalt eines Rotationskörpers berechnet. Es handelt sich dabei um eine Art Spindel, so ähnlich wie bei einem Jojo. 3. Wahr oder falsch? Kreuzen Sie an. wahr falsch a) Bei der Verkettung von zwei Funktionen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Verkettung an. b) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist möglich. c) Eine Funktion kann nicht mit sich selbst verkettet werden. *beim Fachlehrer/bei der Fachlehrerin bitte wenden!

8 4. Bei jedem Buchstaben steht eine Möglichkeit, wie zwei Funktionen und mit ² bzw. 21 kombiniert werden können, um die angegebene Funktion zu bilden. Ordnen Sie jeder Funktion den passenden Buchstaben zu. Funktionsgleichung Buchstabe Erläuterung der Buchstaben!21 E A: E: #2²1 F B: F: $1 A C: G: keine der angege- 2³² C D: benen Möglichkeiten 5. Bilden sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie so weit wie möglich. d) 1 1 b) 1, : 1,5 5 ; ,5= ; 1,5 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

9 Klausur Nr. 2 Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung Göttge-Piller, Höger Wahlteil Verwendung von GTR und Merkhilfe gestattet, alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 6. Die Tangenten und die Normalen an den Punkten P(-1 1) und Q(1 1) des Schaubildes der Funktion f mit! begrenzen ein Viereck. >²65 a) Zeichnen Sie die Situation in ein Koordinatensystem. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks exakt. Erläutern Sie Ihre Überlegungen. / 8 7. Die Elfen des Weihnachtsmanns sind im Vorbereitungsstress. Jetzt soll Rudolph auch noch ein neues Rentier-Glöckchen bekommen. Wie viel Gold (Dichte ca. 19 g/cm³) müssen sie aus dem Weihnachtslager holen, um die (liegende) Glocke mit der Einhüllendenfunktion! im Intervall?0,69; 0,7D und der inneren Begrenzungsfunktion # im Intervall?0,63; 0,7D zu gießen? Der Klöppel darf vernachlässigt werden. Eine Längeneinheit entspricht 1cm. Sie dürfen das Ergebnis auf 2 geltende Ziffern runden Es gilt!0,9³0,3 und #0,8³0,2. Erläutern Sie Ihre Überlegungen. / 6 Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe Viel Erfolg! Schule Notengebung m11_2_1516_produkt-ketten-rotation.pdf von 35 Rückgabe am 16. Dezember 2015 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel: Quelle der Glockengrafik:

10 Klausur Nr. 2 Göttge-Piller, Höger Erwartungshorizont Wahlteil 6. a) siehe Zeichnung rechts. [2 ] e) Für den Inhalt des durch die beiden Tangenten und Normalen festgelegten Vierecks genügt es die Tangenten- bzw. Normalengleichungen zu bestimmen: F G 2, G bzw. F H 2, H Die Steigung der Tangente erhält man über die Steigung von f an den Stellen 1 bzw. +1, also über den Wert von! 11 bzw.! 11. Die Steigung Normale hat jeweils den negativen Kehrwert der Tangentensteigung, also 1 bzw. +1. Das Viereck besteht aus den zwei flächengleichen Dreiecken OPR und RQO. [4 ] Betrachtet man jeweils die Strecke JK LLLL als Grundseite mit der Länge 2 (LE), so ist die zugehörige Höhe jeweils die halbe Strecke MN LLLL mit der (halben) Länge 1 (LE). Es gilt also: O HPQRSQT 2 O USVWV3 2 Y 5 2 1Z2 (FE) [2 ] 7. Im Prinzip sind zwei Rotationsvolumina zu berechnen, das der äußeren und das der inneren Glocke. Beide Rotationskörper haben die rechte Intervallgrenze 0,7 sie unterscheiden sich aber in der linken Intervallgrenze..\ Es gilt: QPßV2!² =.]7 und W22V2.\ #² =.]; Der GTR liefert: QPßV2 ^0,4557 (VE) und W22V2 ^0,2229 (VE) [2 ] [2 ] Die Differenz der beiden Volumina ist das Volumen der Glocke: QP``V2 W22V2 ^0,2328 (VE) Mit der Dichte multipliziert erhält man die gesuchte Masse: [1 ] a19 # ba³ 0,2328ba; ^4,4# Die Elfen müssen 4,4g Gold aus dem Lager holen. [1 ]