Kapitel 7: Zufallsvariable I (Eindimensionale Zufallsvariable)

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1 Kaptel 7: Zufallsvarable I (Endmensnale Zufallsvarable) 7.. Begrff der Zufallsvarablen Der Begrff der Zufallsvarablen sll zunächst anhand vn Zufallsepermenten erläutert werden, de enen endlchen Eregnsraum bestzen, d. h. deren Eregnsraum S nur ene bestmmte Anzahl vn n Elementareregnssen ej G =,..., n) umfaßt (vgl. auch Abschntt 5.2.). In den Kapteln 5 und 6 waren für dese Klasse vn Zufallsepermenten de Wahrschenlchketen für das Entreten gewsser Eregnsse (Untermengen des Eregnsraumes S) berechnet wrden. In sehr velen Fällen bestehen dese Eregnsse selbst aus Zahlenwerten, we etwa de gewrfene Augenzahl bem Würfeln der de Anzahl der fehlerhaften Stücke n ener Zufallsstchprbe aus ener bestmmten Prduktnssere. In den übrgen Fällen lassen sch den Eregnssen häufg snnvll Zahlenwerte zurdnen; s könnte man bem Rulett dem Eregns "Rt" den Zahlenwert 0 und dem Eregns "Schwarz" den ZaWenwert zuwesen. Untersucht man bespelswese bem Zufallseperment "Zwemalges Wefen ener Münze" de Frage, we ft "Wappen" erschent, s wären de möglchen Werte 0, der 2. Welcher Wert knkret entrtt, läßt sch ncht m vraus sagen. Derartge Varable, we her de "Anzahl Wappen", deren Werte vm Zufall abhängen, heßen deshalb auch Zufallsvarable (Zufallsveränderlche) und werden m allgemenen mt grßen Buchstaben we X, Y der Z bezechnet. Der enzelne Wert, den ene Zufallsvarable X annmmt, heßt Realsatn (Ausprägung) der Zufallsvarablen und wrd mt bezechnet. S bestzt zum Bespel bem zwemalgen Werfen ener Münze de Zufallsvarable X: "Anzahl Wappen" de Ausprägungen Xl = 0, X2= und X3= 2. den Zufallseperments st und der Werteberech de Menge der reellen Zahlen. De bs jetzt behandelten Zufallsvarablen waren über endlche Eregnsräume defnert und umfaßten deshalb auch nur endlch vele Realsatnen. Slche Zufallsvarable, de nur endlch vele der abzählbar unendlch vele Ausprägungen bestzen, werden als dskrete Zufallsvarable bezechnet. (Als abzäwbar unendlch wrd ene Menge bezechnet, wenn se zwar unendlch vele Elemente bestzt, sch aber jedem enzelnen Element ene natürlche Zahl zurdnen läßt.) Im Gegensatz zu den dskreten Zufalls varablen können de stetgen (kntnuerlchen) Zufallsvarablen zumndest n enem bestmmten Berech der reellen Zahlen jeden belebgen Zahlenwert annehmen. Bespele für stetge Zufallsvarable snd etwa de Länge enes aus enem Prduktnsls zufällg ausgewählten Werkstücks der der Zetaufwand, den en Student für de Lösung ener bestmmten Statstk-Aufgabe benötgt. Aus Gründen der ncht belebg erhöhbaren Meßgenaugket lassen sch n der Pras allerdngs Zufallsvarable nur dskret erfassen Wahrschenlchketsfunktn und Vertelungsfunktn dskreter Zufallsvarabler De Wahrschenlchket, mt der ene dskrete Zufallsvarable X de spezelle Ausprägung X annmmt, d. h. W(X = X), ergbt sch als Summe der Wahrschenlchketen derjengen Elementareregnsse ej, denen de Ausprägung X zugerdnet st: Legen de unterschedlchen Ausprägungen Xl>X2,... ener Zufallsvarablen X vr, dann bezechnet man de Funktn f (X), de fur jede Ausprägung der Zufallsvarablen de Wahrschenlchket hres Auftretens angbt, als Wahrschenlchketsfunktn (Wahrschenlchketsvertelung) der Zufallsvarablen X: Z Wurf =O = =2 2 3 fachseder reeden ':nzahl Wappen" Zahlen) Jede Wahrschenlchketsfunktn muß de be den Egenschaften Abb. 7.: Dejntns- und Werteberech der Zufallsvarablen X: "Anzahl Wappen" bem zwemalgen Wefen ener Münze Aus Abb. 7. st erschtlch, daß sch de Zufallsvarable X auch als Funktn auffassen läßt, nämlch als de Funktn, de jedem Elementareregns ene bestmmte reelle Zahl zurdnet; man könnte als X (ej) = X schreben. Allgemen läßt sch sagen, daß der Defntnsberech ener Zufallsvarablen der Eregnsraum S des zugrundelegen- 2:f(D = bestzen. - Damt haben de Wahrschenlchketen f (X) frmal de glechen Egenschaften we de n Kaptel 2 behandelten relatven Häufgketen f. De Wahrschenlchketsvertelung stellt smt en Analgn zur n Kaptel 2 behandelten Vertelung der relatven Häujgketen dar. Bespel: Be dremalgem Werlen ener dealen Münze gbt es 8 glechwahrschenlche Elementareregnsse el, e2,..., es (vgl. Tabelle 7.). Defnert man als Zufallsvarablc X

2 de "Anzahl Wappen" je Versuch, s erhält man de n der letzten Spalte der Tabelle 7. dargestellte Wahrschenlchketsfunktn f(). Elementar- Wahrschen- " Anzahl Wahrschen - eregns lchket Wap- lchket pen" W(X= )= e W(e) = f() el = ZZZ W(el) = 0,25 Xl = 0 f (Xl) = 0,25 e2 = ZZW W(e2) = 0,25 e3 = ZWZ W(e3) = 0,25 X2 = f (X2)= 0,375 e= WZZ W(e) = 0,25 es = ZWW W(es) = 0,25 e6= WZW W(e6) = 0,25 X3 = 2 f (X3)= 0,375 e7 = WWZ W(e7) = 0,25 es = WWW W(es) = 0,25 X= 3 f (X)= 0,25 Tab. 7.: Abletung der Wahrschenlchketfunktn der Zlfallsvarablen X: "Anzahl der Wappen" be dremalgem We~fen ener Münze De Wahrschenlchkets funktn n der letzten Spalte der Tabelle 7. läßt sch auch - we n Abb. 7.2 gezegt -,Rraphsch darstellen. ableten. Aus deser Frmel st erschtlch, daß de Vertelungsfunktn das Analgn zur n Kaptel 2 besprchen Summenhäufgketfunktn bldet. Für das Bespel der Zufallsvarablen "Anzahl Wappen" bem dremal,ren Weljen ener dealen Münze erhält man de n Tabelle 7.2 wedergegebene Vertelungsfunktn, de n Abb. 7.3 auch graphsch dargestellt st. X F() = W(X ~ ) 0 0,25 0, ,875 3,000 Tab. 7.2: Vertelungfunktn der Zlfallsvarablen "Anzahl Wappen" be dremalgem Wefen ener Münze F() Q6 0, 0.2,I 0 I I X Abb. 7.2: Wahrschenlchketfunktn ener dskreten Zlfallsvarablen Es kann mt Hlfe der Wahrschenlchketsfunktn selbstverständlch angegeben werden, we grß de Wahrschenlchket st, daß de Zufallsvarable enen Wert n enem Intervall [a, b] annmmt. Es st nämlch W(a ~ X ~ b) = L: W(X = X) a " X; " b L: f (X)' a ~ X ~ b Als Vertelungsfunktn F () ener Zufallsvarablen X bezechnet man de Funktn, de de Wahrschenlchket dajur angbt, daß de Zufallsvarable X höchstens den Wert X annmmt. Es st als Das Bld der Vertelungsfunktn ener dskreten Zufallsvarablen st als das ener Treppenfunktn, be der de Funktn jewels n den Ausprägungen X um den Betrag f (X) zunmmt und zwschen den enzelnen möglchen Ausprägungen knstant verläuft Wahrschenlchketsdchte und Vertelungsfunktn stetger Zufallsvarabler Legt ene stetge Zufallsvarable X vr, als ene Zufallsvarable, de n enem bestmmten Intervall jeden belebgen Wert annehmen kann, dann st de Vertelungsfunktn deser Zufallsv~rablen F () = W (X ~ ) kene Treppenfunktn mehr, sndern ene stetge Funktn, de bespelswese das n Abb. 7. dargestellte Bld aufwest. Würde de Zufallsvarable X etwa de Lebensdauer enes elektrnschen Bautels beschreben, s würde F () de Wahrschenlchket dafür ange-

3 ben, daß en Element ene Lebensdauer vn höchstens Zetenheten bestzt. F() De Wahrschenlchket dafür, daß de stetge Zufallsvarable X enen Wert annmmt, der m Intervall [a, b] legt, entsprcht der Fläche unter der Dchtefunktn n den Grenzen a und b: b W(a ~ X ~ b) = J f () d. a ener stetgen ZuJalls- Abb. 7.: Bespel der Vertelungfunktn varablen Da de Dchtefunktn n Abb. 7.5 aus der n Abb. 7. dargestellten Vertelungsfunktn hervrgegangen st, könnte man das drt angeführte Bespel frtführen und de schrafferte Fläche als Wahrschenlchket dafür nterpreteren, daß en Bautel m Zetntervall vn abs bausfällt. Insbesndere läßt sch zegen, daß be stetgen Zufallsvarablen de Wahrschenlchket dafür, daß rgenden spezeller Wert angenmmen wrd, mmer 0 st, s daß glt: De Vertelungfunktn F () hat m allgemenen flgende Egenschaften:. 0 ~ F () ~ ; 2. F () st mntn wachsend, d. h. für Xl < X2 glt F (Xl) ~ F (X2) ; 3. lm F() = 0; 5. F () st überall stetg. De Abletung der Vertelungfunktn st bs auf höchstens endlch vele Stellen ebenfalls ene stetge Funktn. Se wrd als Wahrschenlchketsdchte (Dchtefunktn) f () bezechnet und entsprcht der Wahrschenlchketsfunktn m dskreten Fall. Es glt demzuflge F' () = f () F() = J f(v)dv. und De Dchtefunktn zu der n Abbldung 7. dargestellten Vertelungsfunktn st n Abbldung 7.5 wedergegeben. Aus desem Grund st es her be der Bestmmung der Wahrschenlchket unerheblch, b de beden Grenzen a und b n das Intervall engeschlssen werden der ncht. Es st als be stetgen Zufallsvarablen mmer W(a~ X~ b)= W(a< X~ b)= W(a ~ X< b) =W(a< X< b). Ene zwete Möglchket, de gesuchte Wahrschenlchket W (a ~ X ~ b) zu fnden, betet de Vertelungfunktn. Es st nach Defmtn W(X ~ a) = F(a) und W(X ~ b) = F(b); F(b) -F(a) = W(X ~ b) - W(X ~ a) = W(a < X ~ b) = W(a ~ X ~ b). Bespel: De stetge Zufallsvarable X se de Verspätung ener U-Bahn an ener bestmmten Haltestelle und habe de flgende Dchtefunktn (Dmensn: Mnuten) : f() = {~,5-0,25 füro~~ für alle übrgen Abb. 7.5: Wahrschenlchketsdchte De Dchtefunktn hat de Egenschaften f() ~ 0 und J f()d =. (Dchtefunktn) f() " Abb. 7.6: Dchtefunktn

4 De Funktn f () st ene Dchtefunktn, denn es glt f () ~ 0 für alle J f () d = J (0,5-0,25) d = J (0,5-0,25)d = [0,5X - 0,~25 2 ]: 7.. Erwartungswert und Varanz vn Zufallsvarablen We de Häufgketsvertelungen der deskrptven Statstk lassen sch auch de Wahrschenlchketsvertelungen vn Zufallsvarablen durch Maßzahlen (Parameter) charakterseren. Dem arthmetschen Mttel (vgl. Abschntt 3.2) als Lageparameter entsprcht her der Erwartungswert E (X). Er st für ene dskrete Zufallsvarable als E(X) = L XW(X = X) =2-=. De Wahrschenlchket dafur, daß X enen Wert zwschen und 2 annmmt, beträgt bespelswese 2 W ( ::::;;X ::::;;2) = J f () d 2 = J (0,5-0,25)d = [0,5X- 0,~25 2 J = 0,75-0,375 = 0,325. F() = J f (v) dv = J (0,5-0,25v)dv 0 = [ 0,5v - 0,~25 v 2 ]: = 0,5-0, für < 0 F () = 0,5-0,0625 { 2 für 0 ::::;; ::::;; für> Für ene stetge Zufallsvarable mt der Dchtefunktn f () glt entsprechend E(X) = J f()d. Nmmt de Dchtefunktn nur n enem Intervall X u ::::;; ::::;; pstve Werte an, dann glt nsbesndere E(X) = J f () d.. Als Streuungsparameter fmdet de Varanz Var(X) (vgl. Abschntt.2) Verwendung. Se st für dskrete Zufallsvarable als Var(X) defmert. Für stetge Zufallsvarable = L [X-E(X)]2f(X) glt Var(X) = J [-E(X)]2f()d, Var(X) = J [-E(X)ff()d. F(},0 0,8 0,6 F(2} -F(} = 0,325 0, F(2} 0,2 F(} X 2 3 De gesuchte Wahrschenlchket W ( ::::;; ::::;;2) fndet man unter Verwendung der Vertelungsfunktn als W(::::;; ::::;;2) = F(2)-F() = 0,75-0,375 = 0,325. Durch ene enfache Umfrmung deser Varanzfrmeln erhält man de für praktsche Berechnungen ft bequemeren Frmeln Var(X) = L X?f(X) - [E(X)]2 Var(X) = J rf()d-[e(x)f. Bespel: Betrachtet man nch enmal das Zufallseperment "Dremalges Wefen ener Münze", wbe X de "Anzahl Wappen" je Versuch se, s drückt der Brwartungswert E (X) de "Anzahl Wappen" aus, de man be ener größeren Zahl vn Versuchswederhlungen je Versuch m Durchschntt erwarten kann. Es st her (vgl. Tabelle 7.) E (X) = LXf (X) = 0 0, , , ,25 = 0, , ,375 =,5.

5 = L[Xj - E(X)]2f(X) Var(X) = LX?f(j) _[E(X)]2 j = 0.0,25 + 0, , ,25 _,5 2 = 0,375 +,500 +,25-2,250 = 3,000-2,250 = 0,75. Betrachten wr das bge Bespel der stetgen Zufallsvarablen X mt der Dchtefunktn f() = {~,5-0,25X dann fmdet man den Erwartungswert E(X) =. J f()d füro~~ für alle snstgen, der Zufallsvarablen X zu Var(X) = E[[X-E(X)]2] Für enge wchtge Funktnen snd de Erwartungswerte und de Varanzen n Tabelle 7.3 zusammengestellt. Y E(Y) Var(Y) a a 0 bx be (X) b 2 Var(X) a+x a + E(X) Var(X) a+bx a + be(x) b 2 Var(X) =! (0,5-0,25) d = J (0,5-0,25~)d = [0,5 r _ 0,25 ~l 2 3 J Var(X) = Jrf()d-[E(X)]2 =!r(0,5-0,25)d-, =! (0,5r - 0,25r)d _, = [0 5 ~ _ 0,~25 I _, Rechnen mt Erwartungswerten und Varanzen De Erwartungswertbldung läßt sch auch auf Funktnen der Zufallsvarablen X ausdehnen. Es sey = g(x) ene Funktn der Zufallsvarablen X; der Erwartungswert vn Y läßt sch dann m dskreten Fall we flgt defmeren: En wchtger Anwendungfall der lnearen Tran~frmatn Y = a + bx (vgl. Abschntt.5) st de sgenannte Standardserung vn Zufallsvarablen. Bezechnet man de Standardabwechung ener Zufallsvarablen X mt = VVar(X), dann glt für de standardserte Zufallsvarable Z (vgl. herzu auch de Ausführungen zur Standardserung m allgemenen n Abschntt.2) Z = X-E(X) Z=-X---, E(X) E(X) Es st als her b = - und a = Damt fndet man für E(X) E(Z) = a + be(x) = E(X) = 0 O"X und für Var(Z) = b2var(x) = -2 Var(X) =. Standardserte Zufallsvarable bestzen mmer enen Erwartungswert vn 0 und ene Varanz vn. E(Y) = E[g(X)] = Lg(X)f(j). E(Y) = E[g(X)] = J g ()f()d. j S st zum Bespel für Y = [X - E(X)]2 E(Y) = E[[X-E(X)]2] Ban, Lee]., Ma Engehardt, Intrductn t Prb ablty and Mathematcal Statstcs. Bstn (Mass.) 987. DeGrt, Mrrs H., Prbablty and Statstcs (2nd ed., reprnted wth crrectns). Readng (Mass.), Menl Park (Ca!.), Dn Mlls (Ont.) usw Fsz, Marek, Wahrschenlchketsrechnung und mathematsche Statstk (. Aufl.). Berln 988. Rasch, Deter, Enführung n de mathematsche Statstk, Tel: Wahrschenlchketsrechnung und Grundlagen der mathematschen Statstk (3. Aufl.). Berln 989.

6 7. De AnzaW der n ener Reparaturwerkstatt pr Stunde abgefertgten Persnenkraftwagen bestzt flgende Wahrschenlchketsvertelung: (a) Ermtteln Se de Wahrschenlchketsfunktn und de Vertelungsfunktn vn X und stellen Se d graphsch dar. (b) Berechnen Se den Erwartungswert E(X) und de Varanz Var (X). Anzahl der Persnenkraftwagen Wahrschenlchket W(X = ) = f() 7.3 Es se de flgende Funktn f() ener ZufallsvarablenX gegeben: f() = {2X für ~ ~ für alle anderen (a) Zegen Se, daß f() ene Dchtefunktn (b) Bestmmen Se de Vertelungsfunktn. u:ld de Vertelungs- (c) Stellen Se de Dchtefunktn funktn graphsch dar. st. (a) We grß st de erwartete Anzahl der pr Stunde reparerten Persnenkraftwagen? (b) We grß st de Varanz der Anzahl der pr Stunde reparerten Persnenkraftwagen? 7.2 In ener Sendung vn 8 Stück befnden sch 2 fehlerhafte Stücke. Es wrd ene Zufallsstchprbe m Umfang vn n = 3 Stück nachenander hne Zurücklegen entnmmen. Mt X werde de AnzaW der fehlerhaften Stücke n deser Stchprbe bezechnet. (d) Bestmmen Se de flgenden Wahrschenlchketen: (IX) W(0,2 ~ X ~ 0,6) und (ß) W(X > 0,7). 7. Gegeben se de Dchtefunktn f() ener Zufallsvarablen X: f() = {- 0,OO6 2 + O,06 für ~ ~ 0 für alle anderen (a) Berechnen Se den Erwartungswert E(X). (b) Berechnen Se de Varanz Var (X).