Eigenräume, Eigenvektoren und Eigenwerte sowie deren Verallgemeinerungen. Der K- Vektorraum als K [ X ]-Modul. : 1,, r

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1 igenäume, igenvektoen und igenwete sowie deen Veallgemeineungen De K- Vektoaum als K [ X ]-odul s sei V ein K -Vektoaum mit de Basis = { e e } und nd ( V :,, α K In de lineaen Geometie sind wi an den von null veschiedenen α -invaianten Unteäumen W V inteessiet mit α( W W Beispiele hiefü sind ke( α und im ( α Hiebei stehen natülich Räume minimale Dimension, insbesondee igenäume im Blickwinkel s seien ke λ K und α nd K ( V De von null veschiedene α -invaiante Unteaum ( α λ V heißt igenaum zum igenwet λ Die Dimension d = dimk ke ( α λ V heißt geometische Vielfachheit des igenwetes λ igenvektoen sind stets von null veschieden! Ist v ein igenvekto des α -invaianten Unteaumes, so gibt es ein λ K mit α( v = λv ode äquivalent ( α λ ( v = Wi haben dahe λ und v zu finden Leide zefällt V nicht V imme (ode besse fast nie vollständig in die innee diekte Summe von igenäumen Besteht de α -invaiante Unteaum W nicht aus laute igenvektoen, so spechen wi in diesen Fällen von veallgemeineten igenäumen Haben wi alle igenäume und veallgemeineten igenäume gefunden, so gilt siche V = W W W, denn α espektiet die innee diekte Summe Insbesondee gilt dim man einen Vekto w finden, so dass (ationale Fom und W ezeugen Im K V = dim W In einem invaianten Unteaum W möchte i= K i k α w, α( w, α ( w,, ( w linea unabhängig sind veallgemeineten igenaum U entspechend einen t V V V zyklischen Vekto u, so dass ( α λ ( α λ ( α λ u, ( u, ( u,, ( u eine K-Basis t t von U und ( α λ ( u = ist In diesem Fall wäe ( α λ Beispiel: V ( u ein igenvekto De ndomophismus α nd Q ( V sei duch seine atixdastellung gegeben Finden Sie alle igenäume V ( α = 4 Lösung: Wi eechnen α ( e = e, α( e e + e = und α ( e + e + 6 e = 5( e + e + 6 e Folglich bestimmen e ( α ke V, e e e ke( α + und e + e + e ( α 6 ke 5 V dei veschiedene α -invaianten Unteäume aus igenvektoen mit den igenweten, und 5 B : = b : = e, b : = e e + e, b : = e + e + 6e, dann hat α nd Q ( V s sei nun { } bezüglich diese Basis B die atixdastellung B B ( α = Die atix ist 5 diagonalisieba Finden Sie B und B, so dass α V V B B B V V B = ( α D D e nat habil Get Hillebandt

2 B Zeigen Sie auch V = B V B Änden wi nu eine Zahl ab, so egibt sich ein ganz andees Bild Fü finden wi α ( e = e und ( e e e ( e e e e und e e e ( α = 4 α + = + Folglich liegen die igenvektoen + in zwei veschiedenen α -invaianten Unteäumen, e ( α e + e e keα V Gibt es einen ditten invaianten Unteaum? Die Fage ist zu veneinen, da de Ansatz α( ae be ce λ( ae be ce ke V und + + = + + keine weiteen igenvektoen liefet in weitee Ansatz mit ( V u e e e Widespuch, de mit ( V v e α = liefet v = e e α = + füht auf einen s gibt folglich nu zwei α-invaiante Unteäume: ke ( α und ke de Basis : = { b : = e e, b : = e, b : = e + e e } atixdastellung V ( V α Bezüglich B besitzt dann α nd Q ( V die ( α = atix ist nicht diagonalisieba B B Dies eechnet sich aus Finden Sie auch hie B und B, so dass α Wie wi im Allgemeinen die Basen de Basistansfomationen B und B V V V V α e e = e e + e Die B B B V V B = ( α α -invaianten Unteäume und daaus die finden, soll nun beschieben weden Fü die paktische Beechnung benötigen wi die Theoie jedoch nicht, also mit Beispiel Seite 5 weite äzisieen wi also unse Vogehen und bescheiben die Aussagen ingtheoetisch s sei K ein Köpe Vemöge X v : = α( v wid V zu einem K [ X ]-odul [ ] V De Ring K [ X ] ist bekanntlich ein Hauptidealing ID (soga ein uklidische Ring R Da dim K V =, sind + und jedes Vektoen stets linea abhängig Folglich ist ( n i a i i X = n, kuz ( n i a i X V = i= den Raum Das olynom χ ( X α α K X v = fü jeden Vekto v V Wi sagen: Das olynom annulliet den Vekto bzw : = det V heißt chaakteistisches olynom und hat den Gad Insbesondee wid gezeigt, dass χ V = ist (Satz von Cayley-Hamilton Das chaakteistische olynom annulliet stets den ganzen Raum α Andeeseits kann es ein olynom µ kleineen Gades geben, so dass µ v = fü alle Vektoen v V Das kleinste nomiete olynom mit diese igenschaft heißt inimalpolynom und wid mit µ α bezeichnet Insbesondee gilt µ αχ α Suchen wi also χ α, µ α und deen Faktoisieungen D D e nat habil Get Hillebandt

3 Im Beispiel ist χ = µ = ( X 5( X X Im Beispiel ist χ = µ = ( X ( X α α Wi weden bald sehen, dass α α χ α, µ α und deen Faktoisieungen die invaianten Unteäume noch nicht vollständig bescheiben, wenn dimk V >, sonden est die lementateile s soll im Nachfolgenden nicht im Detail die Theoie beschieben weden Hie veweise ich auf die einschlägige Liteatu Totzdem sollen an Hand eines Beispiels alle möglichen atixdastellungen nebst zugehöige Basen beechnet weden Beispiel s sei V ein Q -Vektoaum de Dimension vie mit de Standadbasis : = { e, e, e, e } α nd Q ( V mit ( α = 4 s sei Bestimmen Sie die ationale kanonische Zelegung von V und eine Basis R, so dass R R ( α die ationale kanonische atix ist Bestimmen Sie die imäzelegung von V und eine Basis, so dass ( α die pimäe ationale kanonische atix ist Bestimmen Sie die odanzelegung von V und eine Basis, so dass ( α die odan-atix ist inneung: in lement m eines R-oduls heißt ein Tosionselement, wenn es ein von null veschiedenes R mit m = gibt Sind alle lemente aus Tosionselemente, so heißt ein R-Tosionsmodul ithin ist nach diese Definition V ein [ ] K X -Tosionsmodul vemöge α s sei ein feie [ ] :,, K X -odul mit de Basis A = { m m }, habe folglich dieselbe Dimension wie V Da feie K [ X ]-odul ist, gilt fü t K [ X ], m, m und tm = i i folglich t = Via ϕ ( m : = e fü alle i {,, } wid ein sujektive K [ X ]-odulhomo- mophismus ϕ [ ] V duch lineae Fotsetzung definiet Folglich gilt ke( ϕ V s sei N : ke( ϕ folgt aus : K X = und = { n n } n ki j i a j ji X m = i B eine Basis von N (Da V ein K [ X ]-Tosionsmodul ist, :,, ki j ki j = die Gleichung = ϕ( n = a α ( ϕ( m = a α ( e an konstuiee folglich linea unabhängige olynome A i j= ji i j= ji i k i j a j ji X s sei : N = ι die kanonische Injektion und B ( ι die zugehöige atix Dann existieen lementamatizen, at ( K [ ] at ( K [ ] A Q X = X, so dass B ( ι Q = diag( s,, s und s s s Die olynome s, s,, s heißen lementateile Wi fassen und Q als Basistansfomation D D e nat habil Get Hillebandt

4 von bzw N auf s sei = { m m } Q *:,, A die Basis von bezüglich de A die Basistansfomation ist Dann hat N die Basis B = { sm s m } = A * = B * N *:,, B auf N eine Basistansfomation ist Folglich ist N die diekte Summe von zyklischen Untemodulen die von m + N,, m + N mit den Odnungen s,, s ezeugt weden Wegen N ϕ ( m ϕ( m, da V zefällt V in eine diekte Summe von zyklischen Unteäumen, die von,, ezeugt weden Insbesondee bestimmt und wi finden ϕ = die Gleichungen mi = t ji ( α e j als zyklische zeuge, falls m i N j m i t j jim = j = s wid nun gezeigt, dass die lementateile von V mit den lementateilen de atix ( X α übeeinstimmen V Konstuktion eine Basis von ke( ϕ s sei A = ( X α : V und n : = a m = X m a ɶ m i ji j i ji j j= j= wobei a : = A( j, i und aɶ : = ( α( j, i gesetzt sei Dann gilt ϕ =, also ji ji n K [ ] i X N ist ein Untemodul von N it N : = n K [ ] i X und i= { } :,, W = m + N m + N ist X ( m N + = X m + N = X m a m ɶ + a m + N ɶ i i i ji j ji j j= j= = n + aɶ m + N i ji j j= j= ji ( j = aɶ m + N i= n i Folglich gilt ( m j + N K = ( m j + N K[ X ] j= j= Setzen wi W : = m j K, so folgt W + N = j= s sei nun n N, dann ist n = w + n W + N it w = a m folgt also a i = fü alle i und damit n = n s bleibt zu zeigen: Aus gin i = folgt g i = fü alle i i= i= i i i= i i = ϕ( n = a e, D D e nat habil Get Hillebandt 4

5 = g n = g X m a m ɶ i i i i ji j i= i= j= = g X m g aɶ m i i i ji j i= i= j= = X g m aɶ g m i i ij j i i= j= i= = X g a g ɶ m = X gi aij g ɶ j m i i= j= i ij j i i= i= j= Nach Voaussetzung ist fei, also { ( i } t max deg g i i a j ij g = j X g = ɶ fü alle i Ist t = deg a ɶ g = deg X g = + t =, so folgt de Widespuch ( ij j ( p fü deg ( g p = t j= Beispiele s sei V ein Q -Vektoaum de Dimension vie mit de Standadbasis : = { e, e, e, e } α nd K ( V mit ( α = 4 s sei Bestimmen Sie die ationale kanonische Zelegung von V und eine Basis R, so dass R R ( α die ationale kanonische atix ist Bestimmen Sie die imäzelegung von V und eine Basis, so dass ( α die pimäe ationale kanonische atix ist Bestimmen Sie die odanzelegung von V und eine Basis, so dass ( α die odan-atix ist s sei de feie [ ] A B Q X -odul mit Basis A : = { m, m, m, m } ( α 4 B ( ι = X V, wobei ι : N und N : = ke( ϕ ist Dann ist Zuest bestimmen wi die lementateile und damit die atix Die lementamatizen müssen späte nicht notiet weden Die Reihenfolge des oduktes jedoch schon Beginnen wi mit dem Diagonalelement s ist X ( X X V α = X X D D e nat habil Get Hillebandt 5

6 : Wi vetauschen die este und zweite Zeile A ( : Die este Zeile wid mit X 4 X multipliziet und zu zweiten addiet A : Wi addieen die este Zeile zu vieten Zeile =, A X X =, A4 = Dies liefet die folgende atix: X A4 A X ( X X X V α = X X X Zu beachten ist noch, dass de Rang de atix imme noch 4 ist Fahen wi mit dem Diagonalelement fot : Vetauschen de und Zeile A (( X ( X : ultiplizieen de Zeile mit ( X ( X und zu Zeile addieen A ( : Zuletzt multiplizieen wi die Zeile mit X und addieen sie zu 4 Zeile 4 X =, A ( X X = ( X ( X, A4 X = X Wi ehalten X X X A4 ( X A (( X ( X X X X = X ( X ( X ( X ( X X X ( X Wiede übepüfen wi den Rang de atix Wi stellen g [ ] = 4 fest und diagonalisieen weite Zuest eniedigen wi den Gad des olynoms an de Diagonalen auf Hie gibt es veschiedene öglichkeiten Ich gehe schittweise vo 4 4 A X : Wi multiplizieen die 4 Zeile mit X und addieen sie zu A : neutes ultiplizieen de 4 Zeile mit und addieen zu Zeile Dies liefet die atix K X 4 A X X 4 = und A = X X ( X ( X ( X ( X A ( X : Als letzten Schitt multiplizieen wi die Zeile mit X und addieen sie zu 4 Zeile 4 D D e nat habil Get Hillebandt 6

7 A4 X = X Die obee Deiecksmatix lautet damit: X X ( X ( X ( X = ( X + L, ( X ( X ( X ( X also V V ( X α = X α = diag,, X, X X + L mit = A ( X A 4 ( A 4 ( X A ( X A (( X ( X A A ( X Insbesondee sind µ = ( X ( X das inimalpolynom und χ = ( X ( X das chaakteistische olynom α Ist nun A *: = { m ; m ; m ; m 4 } die Basis von mit = A* ( * dann hat N die Basis = { m, m, ( X m, ( X ( X m } B 4 Zu Beechnung de ezeugenden Vektoen fü die Zelegungen beechnen wi Also α A als Basistansfomation, = A ( X A ( A ( ( X ( X A ( X A 4 ( X A 4 A ( X X ( X ( X X ( X ( X = X X Daaus ehalten wi m = ( X m + m m mit 4 ( α ϕ m = e + e e = e + e + e e =, m = ( X ( X m + m + ( X m mit 4 m * = X ( X m + ( X m mit 4 V ( = ( ( + + ( ϕ m α α e e α e = ( α V ( e + e4 + e e = e + e4 ( e + e4 = V V V 4 D D e nat habil Get Hillebandt 7

8 ( = ( + ( ϕ m αα V e α V e4 = α( e e4 e + e4 = e e + e + e e e + e = e e m * = ( X m + m mit 4 4 ( α ϕ m4 * = V e + e4 = e + e e4 + e4 = e + e Zu Rationale kanonische Zelegung Sie wid duch die lementateile geliefet Die lementateile von V lauten folglich ine Zelegung von V ist duch,, X, ( X ( X = X + 4X 5X + V = V [ X ] V ( X ( X gegeben, wobei V [ X ] ein zyklische Untemodul de Odnung X ist, de von ϕ m = e e ezeugt wid e e ist folglich eine Basis fü V [ X ] V ( X ( X ist ein zyklische Untemodul de Odnung ( X ( X, de von ϕ( m = e + e ezeugt wid ine geodnete Basis fü V ( X ( X ist folglich 4 α e + e, α e + e = e + e e, e + e = 4e + 4e e e4 ine Basis R de ationalen Zelegung von V ist folglich Da { : e e, : e e, : e e e, : 4e 4e e e } R = = = + = + = α + 4α 5α + V die Nullabbildung ist, bestimmt kanonische atix, denn α α α Fene gilt V 4 α = 4α 5α + V die ationale = = R R ( α = 5 4 bzw α R R R V V R = ( α 4 4 = 5 4 D D e nat habil Get Hillebandt 8

9 Zu imäzelegung Sie ist duch die imteile des inimalpolynoms bestimmt Dies sind ( X und X Also ist V = V ( X V [ X ], wobei V ( X von ( X und V [ X ] von X annulliet wid Nach wid de zyklische Untemodul V ( X ( X von e + e ezeugt Folglich wid α V e + e = e von ( X annulliet ntspechend wid de Vekto de Vekto α V e + e = e + e e4 von X annulliet Da e e igenvekto zum igenwet ist, annulliet X seinen igenvekto e e e e e e e = 4 geodnete Basis von V ( X und e + e e4 eine igenbasis von V [ X ] Folglich ist,, α Setzen wi = { p : = e e, p : = e, p : = e, p : = e + e e } ( α =, so ist die pimäe ationale kanonische atix, da ( X p = Fene sind die atizen = und die Koodinatentansfomationen, wobei mit V α V V V = ( α ( α = = Zu odan-zelegung Sie ist eine vollständige Zelegung von V in zyklische Untemodulen, wobei die imteile die Basis bestimmen Nach ist e e igenvekto von V [ X ] und e + e e4 igenvekto von V [ X ] Da de e, V e e e = 4 von V ( X Damit zefällt V in [ ] V = V X V X V [ X ] Vekto e von X annulliet wid, ist ( α Setzen wi = { j : = e e, j : = e, j : = e e, j : = e + e e } eine eine geodnete Basis, so ist D D e nat habil Get Hillebandt 9

10 Fene sind die atizen ( α = = und die Koodinatentansfomationen, wobei mit V α V V V = ( α ( α = = Abschließende Bemekung Zu Beechnung alle möglichen Zelegungen benötigen wi die lementamatizen j i und A ( de Umfomungen, die zu den lementateilen fühen Hiebei ist das odukt de l k lementamatizen zu notieen Nennen wi das odukt, so ist die Invese zu beechnen Aus diese können die ezeugenden Vektoen beechnet weden In unseem Beispiel die letzten beiden Spalten, da de Unteang de nichttivialen lementateile zwei betägt Aus den ezeugenden Vektoen weden nun die Basisvektoen de entspechenden Zelegungen beechnet Diese bestimmen dann die Basistansfomationen Zum Abschluss weden wi noch ein Beispiel betachten, bei dem auch ein Spaltentausch notwendig ist, um die lementateile zu beechnen Weitefühendes Beispiel s sei V ein Q -Vektoaum de Dimension vie mit de Standadbasis : = { e, e, e, e } α nd K ( V mit 4 ( α 4 4 = 4 s sei In diese atix ekennen wi schon einen Teil eine odanuntematix Bestimmen wi die lementateile D D e nat habil Get Hillebandt

11 X ( X X V α = X X Das chaakteistische olynom ist (( X ( X 4 + ( X = ( X ( X Da wi kein obievefahen duchfühen wollen um die lementateile zu finden, bestimmen wi die lementamatizen de Zeilen- und Spaltenumfomungen Wi tauschen die und Zeile sie zu Zeile A ( ( X, multiplizieen danach die Zeile mit ( X und addieen X 4 4 X 4 4 X 4 ( X ( X X 5 4( X X X X X Leide sind die lementateile s, s, s, s4 = µ α nicht ablesba, da s = s s s4 = µ α nicht efüllt ist Hie bieten sich mehee öglichkeit an um weitezuabeiten Die Zeile wid mit multipliziet und zu Zeile addiet, um den Gad des olynoms X 5 zu eniedigen Danach wüden die und Spalte getauscht Ich tausche die und 4 Spalte 4 und die und Zeile X 4 4 X 4 4 ( X ( X X 5 4( X X X 4( X X 5 ( X ( X X X it A eliminieen wi das lement 4( X und mit A ( X das vebliebene lement de 4 Zeile X 4 4 X 4 4 X X 4( X X 5 ( X ( X X 5 ( X ( X X ( X Nun sind die Gade de olynome ( X und anschließend X 5 zu eduzieen Dafü multiplizieen wi die Zeile mit,5( X und addieen sie zu de 4 Zeile A ( 4,5 X X 4 4 X 4 4 X X X 5 ( X ( X X 5 ( X ( X ( X,5( X,5( X ( X Wie wi es auch dehen und wenden, selbst nach Tauschen de letzten beiden Zeilen ode Spalten eeichen wi keine Teilbakeit de lementateile Folglich addieen wi das 4 fache de 4 Zeile 4 4 zu de Zeile A ( D D e nat habil Get Hillebandt

12 X 4 4 X 4 4 X X X 5 X X ( X ( X, 5 X, 5 X X, 5( X, 5( X ( X Bleibt im letzten Schitt A 4,5 X duchzufühen X 4 4 X 4 4 X X ( X ( X ( X ( X, 5( X, 5( X ( X ( X ( X ndlich ehalten wi µ ( X ( X α = χα = Die lementateile sind folglich bis auf Assoziiete s = s = s = s 4 = µ α = χα Das odukt de lementamatizen lautet ( 4 ( 4 ( = A,5 X A 4 A,5 X A X A 4 A X Fü die ezeugenden Vektoen muss i Tansposition Also ( j = beechnet weden Die emutation i j ist natülich eine 4 ( ( 4 = A X A 4 A X A,5 X A ( 4 A (,5( X X 4 ( X, 5( X 4, 5( X X 4( X 4( X ( X + 8( X = ( X ( X ( X + Wi ehalten mit 4 ( α 4 4 = ( X e + e = e + e = 4 X e + e X e = X 4e e + e = 4e 4e 4e 4e + e + e = 4 4 ( 4( X ( X + e ( X e4 = X X ( 4e e4 e + e = ( X 4e 4e ( 4e 4e e e + + e = ( X ( e e + e = e e + e + e + e = D D e nat habil Get Hillebandt

13 8( X e + X + e4 = X 8e + e4 + e4 = 8e + 8e + ( 4e 4e + e = e Folglich ist e 4 einzige ezeugende Vekto 4 4 Rationale kanonische Zelegung Fü die geodnete Basis beechnen wi α e = 4e 4 e + e, α α 4 α e = 4e 4e + e = 4e + 4e 8e 6e + e + e + e = 9e e + e, 4 α e = 9e e + e = 9e + 9e e 4e + 6e + 4e + 4e = e 7e + 4e 4 und setzen R = { : = e, : = 4e 4 e + e, : = 9e e + e, : = e 7e + 4e } 4 4 Die atixdastellung in de Basis R ist wegen 4 = V = α α α α R R 4 ( α 44 = 9 und de Basiswechsel de ationalen kanonischen Zelegung duch = 4 9 also α R R R V V R = ( α gegeben Da das inimalpolynom mit dem chaakteistischen olynom übeeinstimmt, bleibt es bei de Zelegung bei V = V ( X ( X D D e nat habil Get Hillebandt

14 imäzelegung Die imteile des inimalpolynoms lauten: ( X und X ithin ist V = V [( X ] V ( X it e 4 als ezeugenden Vekto wid ( X e4 von X annulliet und ( X e 4 ist ein ezeugende Vekto des zyklischen Raumes V ( X s ist 4 ( α 4 V = 4 4 = =, also ( X e4 = e e e + e ist damit ein igenvekto zum igenwet Weite ist ( X e 4 = 4e 4e + e e 4 und damit 4e 4 e + e e4, α 4e 4e + e e = e e + e e = 5e 6e + e e, α ( 4e 4e + e e = α( 5e 6e + e e 4 4 = ( e + ( e + ( e 4e = 6e 9e 4 e 4 ine Basis de imäzelegung ist folglich Fene 4 { p : e e, p : 4e 4 e e e, p : 5e 6e e e, p : 6e 9e 4e } = = + = + = + = ( α = 6 die pimäe ationale kanonische atix, da α p = α p 6α p + α p 8p = Daaus folgen fü mit = und V α V V V, = ( α 4 ( α 4 4 = = 4 D D e nat habil Get Hillebandt 4

15 odan-zelegung Sie ist eine vollständige Zelegung von V in zyklische Untemodulen, wobei die imteile die Basis bestimmen Wi wissen schon, dass e + e igenvekto zum igenwet ist Fene, dass ( X ( X e4 ein igenvekto zum igenwet ist, da e 4 ein ezeugende Vekto und µ = χ = ( X ( X das inimalpolynom sind Da ( X e 4 4e 4e e e 4 und = +, α α X 4e 4e + e e = e + e e 4 X 4e 4e + e e = X e + e e = e e, ist 4 { j : e e, j : 4e 4 e e e, j : e e e, j : e e } = = + = + = + = 4 4 eine vollständige Zelegung von V V = V [ X ] V ( X Bezüglich de Basis hat nun de ndomophismus die Dastellung Fene sind die atizen ( α = = und die Koodinatentansfomationen, wobei mit V α V V V = ( α 4 ( α 4 4 = 4 4 = Wichtig Wid die beechnete odan-basis in de umgekehten Reihenfolge geschieben, also { j : e e, j : e e, j : e e e, j : 4e 4e e e } = = + = = + = so ehalten wi eine an de Diagonalen gespiegelte atix ( α Diese Zelegungssätze weden genau so fü endliche ezeugte abelsche Guppen vewendet, D D e nat habil Get Hillebandt 5

16 ine ganz andee schöne Anwendung ist die de gewöhnlichen Diffeentialgleichungen Ich habe diese bei einem Votag an eine FH vewendet Daaufhin ein eboste of Sie wüden fü diese Theoie ein halbes ah benötigen und ich wüde das in eine Doppelstunde eledigen! Na ja, wenn e keine Ahnung von athematik hat, so sollte e liebe seine Chemie, die, wie ich höte, auch nu seh wenige vestünden, weite lehen Sie sind ja auch nu enannt und haben den Titel geschenkt bekommen Nun denn Zunächst wid definiet, was unte eine Diffeentialgleichung zu vestehen ist Dabei wid von dem Anfänge = R ode =C gesetzt, wobei im Falle C die daaus esultieende eelle ix Lösung genutzt wid (ule-fomel: cos x + i sin x = e s sei U eine offene enge in ine Gleichung R ; es sei ψ :U eine k C - Abbildung, k n nmal n (,,,, y = ψ x y y y ( n heißt eine Diffeentialgleichung n-te Odnung n ine Lösung de Diffeentialgleichung ist eine C - Funktion f : I, wobei I R offen ode abgeschlossen ist und folgende Bedingungen efüllt sind: x f x f x f x U fü alle x I ( n (i (,,,, ( n ( n (ii f ( t ψ( x, f ( x, f ( x,, f ( x Ist :U ; = fü alle x I ( n ψ polynomial in ( y, y,, y ( n, also ψ(,,,, = ϕ + x y y y x p D y mit p R [ X ], wobei D den Ableitungsopeato D( y = y bezeichnet, so spechen wi von eine inhomogenen lineaen Diffeentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Die Gleichung heißt homogen, wenn ϕ( x ist In diesem Fall scheiben wi gen x n ( n D p D y = ϕ( x und setzen D p( D = : q( D R [ D] Beispiel Gegeben sei folgende homogene lineae Diffeentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (5 (4 y + y y y + y + y = Auf eine Anfangsbedingung vezichte ich Gesucht sind alle Lösungen s gibt nun im inzip zwei öglichkeiten diese Gleichung zu lösen öglichkeit Ich fühe nun den Diffeentialopeato auf de enge de diffeenziebaen Funktionen ein Da eine diffeenziebae Funktion notwendigeweise stetig ist, sind dies die stetig diffeenziebaen Funktionen Wi weden zeigen, dass sie soga beliebig oft diffeenzieba sind D D e nat habil Get Hillebandt 6

17 s sei C ( RR ; die enge de beliebig oft diffeenziebaen Funktionen Diese bilden mit de Addition f + g fü f, g C ( R; R und ultiplikation mit eellen Zahlen a f, wobei a R, f C ( RR ;, einen eellen Vektoaum s sei de Diffeentialopeato ( ; C ( ; D : C RR RR f Df : = f it Hilfe des Diffeentialopeatos und eine Lösung f scheibt sich die Gleichung ode mit I f = f 5 4 D f + D f D f D f + Df + f = ( 5 4 D + D D D + D + I f = Da C ( RR ; ein eelle Vektoaum ist, gibt ke ( D 5 + D 4 D D + D + I C ( RR ; den Unteaum alle Lösungen diese Diffeentialgleichung an ithin ist 5 4 χ : = X + X X X + X + das chaakteistische olynom Wi sehen, dass C ( RR ; vemöge X f : = Df ein K [ X ]-odul ist ine Funktion f heißt igenfunktion zum igenwet λ, wenn f ke ( D λi bzw f ( x = λ f ( x fü alle x R efüllt ist ine solche Funktion ist uns bekannt, nämlich f ( x = e λx mit R Wegen stimmt dies mit ( D λi ( D λi f = ( D λi ( Df λ f = ( D λi ( f λ f ( λ λ ( λ = D f f f f = Df λ Df λ f λλ f = f λ f λ f λλ f, ( λ ( λ = ( λ λ λλ D I D I f D D D I f übeein Wid f schon von einem Teile des chaakteistischen olynoms kleineen Gades annulliet, so ist f auch eine Lösung de Diffeentialgleichung, da χ = = = = k l k l k i i i i i D f aid b D f ai D b D f aid i= i= i= i= i= Hiebei sind a = b = und die Nullfunktion ( x : = fü alle x k l k ke Was sind nun veallgemeinete igenfunktionen, also g ( D λi? λx λx λx λx λx λx λx Wi wissen D λi e f = D e f λi e f = λe f + e Df λe f = e Df Folglich ist λ ( x ( λ ( x λ x λ D λi e f D λi e Df e D( Df e x ( D f = = = e Induktion folgt also k λx λx k D λi ( e f e ( D f = Setzen wi nun f : = e g, so folgt wegen e e λx λx λx = D D e nat habil Get Hillebandt 7

18 k λx k λ x D λi ( g e D ( e g = g ke (( D λi k ist somit genau dann veallgemeinete igenfunktion zu dem igenwet λ, k λ x wenn D ( e g = efüllt ist Dies sind abe geade die ganzationalen Funktionen vom Gade kleine als k, wie duch einfaches Integieen gezeigt wid s daf auch via Stammfunktionen agumentiet weden ithin ist Wi haben gezeigt: k k λ x i λx i = i = i i= i= e g a x g e a x k k x i ke ( λ g D λi g = e ai x ist veallgemeinete igenfunktion zum igenwet λ Kommen wi zuück zu de eigentlichen Aufgabe liefet das chaakteistische olynom (5 (4 i= y + y y y + y + y = 5 4 χ D = X + X X X + X + Wi sehen, dass je zwei aufeinandefolgende Teme X X, X X und X + gleiche Koeffizienten besitzen s gilt folglich χ ( = Da wi weitee Teile von übepüfen, sehen D wi auch χ ( + = Die Nullstelle könnte auch doppelt vokommen Leiten wi das D olynom ab, vesehen es abe mit einem unkt 4 χɺ = 5X + 4X 6X 4X + χɺ ( = = und D Schauen wi uns noch die zweite Ableitung an χ ɺ = = D χɺɺ = X + X X 4 χɺɺ ( = = D Das chaakteistische olynom besitzt folglich eine deifache Nullstelle in und eine doppelte Nullstelle in Damit gilt Die Lösungen lauten: D D χ D = X + X ( x ke ke x g D + I g x = e a + a x + a x h D I h( x = e b + b x und folglich die allgemeine Lösung x x f ( x = e a + a x + a x + e b + b x Hat das chaakteistische olynom eine komplexe Nullstelle, so auch die konjugiet komplexe a+ ib x ax ibx ( aib x ax ibx ix Nullstelle Dies liefet e = e e und e = e e it ule cos x + i sin x = e finden ax wi ax ibx ibx e cosbx = e e + e ax und ax sin ( ibx ibx e bx = ie e e als eelle Lösungen D D e nat habil Get Hillebandt 8

19 öglichkeit Wi scheiben die Gleichung (5 (4 y + y y y + y + y = in atizenfom (5 (4 y y (4 y y y = y y y y y (5 y (4 D y (4 y D y kuz Y = Y und y D = y y D y y D y,, T x F x = c cn e λ eine Lösung de Diffeentialgleichung Y = Y, so gilt mit Ist,, T x F x = c cn e λ die Gleichung λ T T T T n n n n λx λx ( = λ ( ( = λ ( c,, c e c,, c e c,, c c,, c it andeen Woten:,, T c c n ist ein igenvekto zum igenwet λ Vefahen wi dahe mit de atix wie gehabt, um das chaakteistische olynom zu beechnen Ich pemutiee die Zeilen im Zyklus X + X X = X X X,,,4 4,, und fühe anschließend Zeilenumfomungen duch X X X X X + A 5 X +, A ( 5 X X +, A ( 5 X X +, A 4 ( 5 X X X + + liefet Das chaakteistische olynom lautet X X X X 4 X ( X + X ( X + + X + 4 χ = X + X X + = ( X + ( X = ( X + ( X Sind die ezeugenden igenfunktionen de Kene bekannt, kann die Lösung fü notiet weden (siehe oben (5 (4 y + y y y + y + y = Wi wollen jedoch noch eine Lösung fü Y = Y angeben, wobei Y = ( y, y, y, y, y 4 5 T D D e nat habil Get Hillebandt 9

20 Dazu beechnen wi,,,4 = A ( ( X + A ( X ( X + + A ( ( X ( X + A 4 ( X ( X ( X +,4, Dies liefet die atix ( ( X X X X X X X ( X Nu de letzte intag liefet einen ezeugenden Vekto Wi beechnen die odan-basis 4 ( X + e = ( + e = 4e + e + e + e ist ein ezeugende Vekto fü den zyklischen Raum zum igenwet mit dem igenvekto ( 4 X e + e + e + e = e + e + e + e + e Andeeseits ist ( X e = 6e e + e ein ezeugende Vekto fü den zyklischen Raum zum igenwet, de X + 6e e + e = 4e + e e + e 4 und den igenvekto ( 4 X + e + e e + e = e e + e e + e enthält Wi ehalten folgende odan-basis { = j : = 6e e + e, j : = 4e + e e + e4, j : = e e + e e4 + e5, j : = 4e + e + e + e, j : = e + e + e + e + e und de odan-fom = = + Insbesondee gilt = } D D e nat habil Get Hillebandt

21 Hie können schon die Lösungen angegeben weden, wenn Fundamentallösungen bekannt sind Wi wissen doch, dass ( X + j = j, X + j = j und ( X + j = sind setzen wi X duch D, so sind Funktionen ϕ gesucht mit Setzen wi x ϕ( x = x e, so folgt ϕ! ϕ ( x = ϕ( x + ϕ( x, ϕ ( x = ϕ( x + ϕ( x, ϕ ( x = ϕ ( x! x x ( x = x e + xe, also x ϕ x xe = ntspechend folgt x ϕ x = e Damit kann die allgemeine Lösung fü die odan Fom angegeben weden Sie lautet in de Basis x x x x x F x c = x e + c e + c e + c x 4 x e + c 5 e x Die Lösung de Uspungsgleichung in de kanonischen Basis ehalten wi übe die Gleichung (vgl Seite unten C C = = CC, nämlich CF( x Gehen wi diekt von eine Y = Y aus und wollen diekt eine Lösungsmatix angeben, so ist dies selbstveständlich möglich Fomal ist x F( x = e wegen x F ( x = e = F( x eine Lösung de Diffeentialgleichung In diesem Zusammenhang von xponentialfunktionen von atizen veweise ich auf die einschlägige Liteatu, z B Walte, Seite 8ff s gilt e Also gilt fü die atix A = die xponentialdastellung e A n = n! A fü jede atix A n= e e e e A = e D D e nat habil Get Hillebandt

22 Die atix ist eine nilpotente atix mit N = k N = fü alle k s folgt mit Nx n e = ( Nx = + Nx + N x n! n= Nun ist jedoch = A + N und damit x Ax+ Nx Ax Nx F( x = e = e = e e N n n e = n! N = n! N n= n= x = + x + x x x = x x x Wi ehalten x e x e x x x x xe e e x x x x F( x e x x = = x e xe e x e x e x e x x x xe e x x it G( x : = e folgt G ( x = e = G( x G( x efüllt folglich die Diffeentialgleichung Y = Y Gilt : = C C, so auch x C Cx C xc x k k = C C fü jedes k N und somit auch e = e = e = C e C, da Lx = xl fü jede atix L und x RC, Die Funktion x x H ( x : = e liefet H ( x = e, efüllt also die Diffeentialgleichung Y = Y Wegen ( x x CC Ce C = e ehalten wi hieaus die Lösung fü Y = Y Diese hatten wi oben schon angedeutet Natülich ist auch de umgekehte Weg möglich, um aus einem System Y = Y eine Diffeentialgleichung zu estellen Dazu betachten wi nu ein alles umfassendes Beispiel D D e nat habil Get Hillebandt

23 Beispiel Gegeben ist das homogene lineae Diffeentialgleichungssystem mit konstante atix Gesucht ist die zugehöige homogene lineae Diffeentialgleichung Odnung mit konstanten Koeffizienten x x y y = z 4 z s ist egal, nach welche Unbekannten aufgelöst wid Lösen wi nach z auf liminieen wi die Unbekannte y z = 4x + y z = 4( x + y z + ( x y + z z = 7x y + 5z z z + z 5z = 7x y z + 6z 45z = x y z + 6z 45z = x ( z + 4x + z z + 7z z = x Wi bilden die Ableitung, eliminieen wiede y und fassen zusammen z + z = 4( x + y z + ( x y + z z + z 5z = 7x y z + z 5z = 7( x + y z ( x y + z z + z 5z + z = 8x + 5y z + 6z 45z + 96z = 54x + 5 y z + 6z 45z + 96z = 54x + 5 ( z + 4x + z z + 6z 7z + 46z = 46x = 6z 4z + 46z z + z 6z = z + 4z z = Nach lange Rechnung haben wi die homogene lineae Diffeentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gefunden (falls wi uns nicht veechnen! ( z + 4z z = D + 4D D z = Das chaakteistische olynom lautet χ = X ( X 4 + = X ( X ( X + 6 Spätestens an diese Stelle geht uns ein Licht auf Ich stelle die chaakteistische Gleichung auf Die gesuchte Gleichung lautet X + χ = det X X ( X ( X 6 + = + 4 X + ( χ D y = D D D + 6 y = D + 4D D y = y + 4y y = D D e nat habil Get Hillebandt

24 Betachten wi noch einmal ückwätig unsee Ausgangsmatix als Diffeentialgleichung Y = Y it de Basis und de odan-fom ( α = { j : e e, j : e, j : e e, j : e e e } = = = = = Die allgemeine homogene Lösung lautet Wie wi sehen, ist alles gesagt ( α = F( x = c e c e c e c e x x x x x 4 Liteatu Andeson/Fulle: Rings and Categoies of odules, Spinge, 97, ISBN Auslande/Buchsbaum: Goups, Rings, odules, Hape & Row, 974, SBN X Boubaki: Algeba II, Chaptes 4-7, odules ove pincipal ideal domains, Spinge Geub: Linea Algeba, Fouth dition, p 5ff, Spinge 975, ISBN Klingenbeg/Klein: Lineae Algeba und analytische Geometie, BI, S 4ff, ISBN Koeche: Lineae Algeba und analytische Geometie, Spinge-Velag, 98, ISBN Lang: Linea Algeba Walte: Gewöhnliche Diffeentialgleichungen, Spinge, 97, ISBN Liteatu zu diesem Thema gibt es wie Sand am ee Nicht jedes Buch gefällt Dahe hie nu eine kleine Auswahl Selbe suchen und veschiedene Büche lesen bingt den folg D D e nat habil Get Hillebandt 4