Virtuelle Realität Feder-Masse-Systeme

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1 lausthal Virtuelle Realität. Zachmann lausthal University, ermany cg.in.tu-clausthal.de Die Newton schen esetze. esetz (Trägheitsgesetz): Ein kräftefreier Körper bewegt sich geradlinig mit konstanter eschwindigkeit weiter. Ein Körper in Ruhe ist also nur ein Spezialfall hiervor.. esetz (Aktionsprinzip): Wenn eine Kraft F auf einen Körper mit Masse m wirkt, beschleunigt sie diesen gemäß F = m.a Mit anderen Worten: Kraft und Beschleunigung sind proportional zueinander; die Proportionalitätskonstante ist m. Insbesondere haben beide dieselbe Richtung.. Zachmann

2 3. esetz (Reaktionsprinzip): Wenn die Kraft F, die auf einen Körper wirkt, ihren Ursprung in einem anderen Körper hat, so wirkt auf diesen die entgegengesetzte Kraft F. In der Schule lernt man : "Kraft = egenkraft" 4. esetz (Superpositionsprinzip): Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte F,, Fn, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft F auf: F = F + + Fn.. Zachmann 3 Historischer Exkurs Newton's esetze in der Originalschrift Principia Mathematica (687): Lex I. orpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. Lex II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.. Zachmann 4

3 Definition: Ein Feder-Masse-System ist ein System, bestehend aus:. einer Menge von Punktmassen mi mit Positionen xi und eschwindigkeit vi, i = N ;. einer Menge von Federn, die die Massen i und j verbindet, mit der Ruhelänge l0, Federkonstante (= Steifigkeit) ks und den Dämpfungskoeffizienten kd Vorteile: Sehr einfach zu programmieren Ideal zum Studium verschiedener numerischer Lösungsverfahren Ubiquitous in games (cloths, capes, teilweise auch deformierbare Obje, ) Nachteile: Einige Parameter (Federkonstanten z.b.) sind nicht offensichtlich Keine volumetrischen Effekte (z.b. Volumenerhaltung). Zachmann 5 Eine einzelne Feder (mit Dämpfer) egeben: Massen mi und mj mit Positionen xi, xj xj xi i Definiere rij = xj xi Kräfte zwischen den beiden Massen : rij fij. Von der Feder: fsi j = ks ri j (xj xi l0 ) j mi -fij ks mj l0 wirkt auf Masse mi in Richtung mj. Durch den Dämpfer: fdij kd = kd ((vj vi ) rij )rij 3. Zusammen : 4. Kraft auf mj : Aus (4) der Impuls bleibt erhalten. Zachmann 6 3

4 Alternative Federkraft: fsij = ks rij xj xi l0 l0 Ein Feder-Dämpfer in der Realität:. Zachmann 7 Simulation einer einzelnen Feder Aus Newton schen esetzen folgt: x = f m DL der Ordnung umwandeln in DLs erster Ordnung: v (t) = x (t) Anfangswerte: f(t) m = v(t) v(t0 ) = v0, x(t0 ) = x0 "Simulation" = "Integration von DLs über die Zeit" Taylor-Expansion liefert: x(t + t) = x(t) + t x (t) + O t Analog: à Dieses Integrationsverfahren heißt explizite Euler-Integration. Zachmann 8 4

5 Der Algorithmus forall particles i : initialize xi, vi, mi loop: forall particles i : fi f g + ficoll + f(xi, vi, xj, vj ) j, (i,j) S forall particles i : render system every n-th time f g = ravitationskraft f coll = Rückstoßkraft aus Kollision (z.b. mit Hindernis). Zachmann 9 Weitere Integrations-Schemata: Midpoint Vorteil: einfach zu implementieren, schnelle Ausführung pro Zeitschritt Nachteil: nur für sehr kleine Schrittweiten stabil Typ.weise Δt sec Bei großen Schrittweiten wird zusätzliche Energie im System erzeugt, und schließlich explodiert es J Beispiel: Overshooting bei einfacher Feder Weiterer Nachteil: Fehler akkumulieren sich schnell (bei Euler). Zachmann 0 5

6 Beispiel für die Instabilität des Euler-Integrationsverfahrens Betrachte die DL Die exakte Lösung: x (t) = kx(t) x(t) = x0 e kt Das Euler-Verfahren liefert: x t+ = x t + t( kx t ) Falls t > k : x t+ = x t ( k t) <0 xt oszilliert um 0, geht aber (hoffentlich) gegen 0 Falls t >. Zachmann k xt position Visualisierung: time x (t) = x(t) Bezeichnung: falls k groß "steife DL" ("stiff ODE") Dann muß Δt sehr klein sein. Zachmann 6

7 Veranschaulichung der Fehlerakkumulation Betrachte die DL: x (t) = x(t) = Exakte Lösung: x x r cos(t + φ) r sin(t + φ) Euler läuft in Spiralen nach außen, egal wie klein die Schrittweite gewählt wird Fazit: Euler-Integration akkumuliert Fehler, egal wie klein die Schrittweite ist. Zachmann 3 Veranschaulichung von DLs Die allgemeine Form einer DL (hier): x (t) = f( x(t), t ) Visualisiere f als Vektorfeld: Achtung: dieses Vektorfeld kann sich mit t ändern Lösung eines Anfangswertproblems = Pfad durch dieses Feld. Zachmann 4 7

8 Runge-Kutta -ter Ordnung: Idee: approximiere f( x(t), t ) durch quadratische Funktion, die an der Stelle x(t), x( t+ ½Δt ) und durch v(t) definiert wird Der Integrator (o. Bew.): a = v t b = vt + ta xt+ = xt + tb f(xt, vt ) m b = f xt + ta, vt + ta m a = vt+ = vt + tb Runge-Kutta 4-ter Ordnung: Der Standard-Integrator unter den expliziten Integrations-Schemata Benötigt 4 Funktionsauswertungen (Kräfte berechnen) pro Zeitschritt Konvergenzordnung:. Zachmann e( t) = O t 4 5 Runge-Kutta -ter Ordnung: Euler Runge-Kutta 4-ter Ordnung:. Zachmann 6 8

9 Verlet-Integration Alternative Methode zur Steigerung der Konvergenzordnung: verwende Werte aus der Vergangenheit Verlet: verwendet x( t - Δt ) Herleitung: Taylor-Reihe in beide Zeitrichtungen entwickeln:... x(t + t) = x(t) + t x (t) + t x (t) + t 3 x (t) + O t x(t t) = x(t) t x (t) + t x (t) t 3 x (t) + O t 4 6. Zachmann 7 Addieren: Initialisierung: x( t) = x(0) + tv(0) + t f(x(0), v(0)) m Bemerkung: eschwindigkeit taucht nicht mehr (explizit) auf. Zachmann 8 9

10 onstraints roßer Vorteil gegenüber Euler & Runge-Kutta: man kann sehr leicht onstraints behandeln Definition: onstraint = Einschränkung der Position eines oder mehrerer Massenpunkte Beispiele:. Ein Massenpunkt darf nicht in ein Hindernis eindringen. Der Abstand zwischen zwei Massenpunkten soll konstant sein, oder bestimmter Abstand. Zachmann 9 Verfahren anhand eines Beispiels: onstraint: x x = l0. Führe einen Verlet-Integrationsschritt durch. Enforce onstraint: d d l0 x x xt+ = x t+ + r x t+ x t+ l0 xt+ = x t+ r x t+ x t+ l0 d. Zachmann 0 0

11 Problem, falls mehrere onstraints denselben Massepunkt einschränken sollen Verwende onstraint-algorithmen. Zachmann Implizite Integration Bisherige Schemata sind nur conditionally stable D.h.: Nur stabil für Δt in einem bestimmten Bereich Dieser Bereich hängt von der Steifigkeit der Federn ab Ziel: unconditionally stable Eine Möglichkeit: implizite Euler-Integration explizit implizit xt+ = xti + tvit i xt+ = xti + tvit+ i vit+ = vit + t f(xt ) mi vit+ = vit + t f(xt+ ) mi Wir haben jetzt ein System von nicht-linearen, algebraischen leichungen, mit xt+ und vt+ als Unbekannte auf beiden Seiten implizite Integration. Zachmann

12 Lösungsmethode Schreibe das gesamte Feder-Masse-System mit Vektoren: x x x x x3 x x =.. =. x.. xn. xn3 fi (x) fi = fi (x) fi3 (x). Zachmann M3n x 3n v v v v v3 v v =.. =. v.. vn. f (x) f(x) =... fn (x) vn3 m m m m m =... mn mn mn 3 Schreibe die vielen impliziten leichungen als ein großes leichungssystem um : Mvt+ = Mvt + tf(xt+ ) () xt+ = xt + t vt+ () Einsetzen von () in () ergibt: Mvt+ = Mvt + t f( xt + tvt+ ) Die Taylor-Reihe für f ist:. Zachmann 4

13 Einsetzen: K ist die Jacobi-Matrix (= Ableitung): Heißt tangent stiffness matrix - (Die normale Steifigkeitsmatrix wird im leichgewichtszustand ausgewertet; hier aber an einer beliebigen, aktuellen Position des Systems; daher der Name "tangent "). Zachmann 5 Terme umordnen: Das ist von der Form: Löse dieses LS mittels einer iterativen Methode Denn: A ändert sich in jedem Frame. Zachmann 6 3

14 Berechnung der Steifigkeitsmatrix Die Anatomie der Matrix K : Eine Feder ( i, j ) addiert folgende vier 3x3 Untermatrizen zu K : 3i i 3j 3i j 3j Die Matrix Kij entsteht durch die Ableitung von fi = (fi, fi, fi3) nach xj = (xj, xj, xj3): Ki j = f xj i f xj i f xj i3... f xj3 i... f xj3 i3 Betrachte im folgenden nur f s (Federkraft). Zachmann 7 Zunächst Kii: Kii = fi (xi, xj ) xi = ks xj xi (xj xi ) l0 xi xj xi = ks I l0 = ks (x x ) I xj xi (xj xi ) xj j xi i xj xi l0 I + l0 I+ (xj xi )(xj xi )T xj xi xj xi 3. Zachmann 8 4

15 Aus einigen Symmetrien folgt: Kij = fi (xi, xj ) = Kii xj Kjj = fj (xi, xj ) = ( fi (xi, xj )) = Kii xj xj. Zachmann 9 Zur Erinnerung: x = x x. Zachmann xt x + x + x3 = x 30 5

16 Lösungsverfahren Setze K = 0 Für jede Feder (i,j) berechne Kii, Kij, Kji, Kjj und akkumuliere zu K an den richtigen Stellen Berechne Löse das LS Berechne xt+ = xt + t vt+. Zachmann 3 Vor- und Nachteile Explizite Integration: + Sehr einfach zu programmieren - kleine Schrittweite nötig - Steife Federn funktionieren nicht gut - Kräfte werden nur um eine Feder pro Schritt propagiert Implizite Integration: + Unconditionally stable + Steife Federn werden besser handhabbar + lobaler Solver Kräfte werden schon bei einem Simulationsschritt durch das ganze System propagiert - roße Schrittweiten nötig, da ein Schritt sehr teuer (und in Wahrheit schon aus vielen Einzelschritten besteht) - Unerwünschte Dämpfung durch das Integrationsverfahren selbst. Zachmann 3 6

17 x (t) = x(t) position Visualisierung: time Umgangssprachliche Beschreibung: Explizit springt blind vorwärts, basierend auf der aktuellen Information Implizit springt "rückwärts" und sucht dabei eine "nächste Position genau so, daß der Rückwärtssprung bei der aktuellen Position landet. Zachmann 33 Demo Zachmann 34 7

18 Mesh-Erzeugung für Objekte mit Volumen Wie erzeugt man ein Feder-Masse-System aus einem 3D-Modell? Direkt 3D-eometrie in Masse-Feder-System übersetzen liefert keine guten Resultate: eometrie oft zu hoch aufgelöst Degenerierte Polygone Bessere (sehr einfache) Idee: Erzeuge ein Tetraeder-Mesh (irgendwie) aus der eometrie Jeder Vertex wird ein Massepunkt, jede Kante eine Feder Verteile die Masse der Tetraeder (= Dichte Volumen) gleichmäßig auf die Massepunkte. Zachmann 35 Erzeugung des Tetraeder-Meshes (einfache Methode): Verteile eine Menge von Punkten gleichmäßig (evtl. zufällig) im Inneren der eometrie (sog. "Steiner-Punkte") Dito in einer Schicht über der Oberfläche Verankerung des Oberflächen-Meshes im Tetraeder-Mesh: Stelle jeden Vertex des Oberflächen-Meshes als baryzentrische Kombination der Tetraeder-Vertices dar, in dem er enthalten ist. Zachmann 36 8

19 Bei -mannigfaltigen FederMasse-Systemen: Verankere evtl. die Federn an einer Ruhelage Führe evtl. "Querverstrebungen" ein. Zachmann 37 Kollisionserkennung Sortiere die Tetraeder in ein 3D itter (Hash-Tabelle) ein Bei Kollision in der Hash-Tabelle: Führe exakten Schnitttest zwischen Tetraedern durch. Zachmann 38 9

20 University of Freiburg - Institute of omputer Science - omputer raphics Laboratory ollision Respons Introduction Kollisionsantwort (collision response) computation of penalty forces based onqthe Aufgabenstellung:gegeben zwei kollidierende Objekte P und of intersecting vertices (Tetraeder-Meshes) penetration welches ist depth die Rückstellkraft (penalty force)? Naiver Ansatz: Q ollision Response Berechne für jeden eingedrungenen Massepunkt von P die kleinste Distanz zur Oberfläche von Q Kraft (Betrag + Richtung) P Problem: - unplausible Kräfte (implausibel?) University of Freiburg - Institute of omputer Science - omputer raphics Laboratory - "Durchtunneln" (s. a. Force-Feedback-Kapitel). Zachmann hallenges 39 inconsistent penetration depth information due to discrete simulation steps and object discretization Beispiele: hallenges inconsistent penetration depth information due to discrete simulation steps and object discretization inkonsistent inconsistent konsistent consistent inconsistent consisten [Heidelberger, Teschner et al. 003] University of Freiburg - Institute of omputer Science - omputer raphics Laboratory inconsistent consistent. Zachmann inconsistent consistent 40 [Heidelberger, Teschner et al. 003] University of Freiburg - Institute of omputer Science - omputer raphics Laboratory 0

21 Algorithm Stage Konsistente Penalty Forces object points are classified as colliding or non-colloding points spatial hashing. Phase: identifiziere alle eindringenden Punkte von P Q Algorithm Stage bestimme alle schneidenden KantenAlgorithm Stage. Phase: colliding point University of Freiburg - Institute of point omputer Science - non-colliding border points, intersecting edges, and intersection points von P object points are classified as colliding or non-colloding points spatial hashing are detected Pextended spatial hashing Berechne zu jeder solchen Schnittkante den exakten Schnittpunkt xi University of Freiburg - Institute of omputer Science - omputer raphics Laboratory Berechne zu jedem Schnittpunkt eine Normale ni colliding point - Z.B. mittels baryzentrischer Interpolation der non-colliding point Vertexnormalen von Q University of Freiburg - Institute of omputer Science - omputer raphics Laboratory Algorithm Stage 3 border point intersection edge intersection point intersection normal penetration depth d(p)of of a border praphics is Laboratory University of Freiburg - Institute omputer Science -point omputer approximated using the adjacent intersection points xi and normals ni Algorithm Stage 3 Algorithm Stage 3. Zachmann Algorithm Stage 4 4 penetration depth d(p) of a border point p is approximated using the adjacent intersection points xi and normals ni consistent penetration depth information at points pj is propagated to other colliding points p penetration depth d(p) of a border p approximated using the adjacent int points xi and normals ni University of Freiburg - Institute of omputer Science - omputer raphics Laboratory 3. Phase: berechne ungefähre Kraft für "Randpunkte" Randpunkt = eingedrungener Punkt p inzident zu einer Schnittkante University of Freiburg - Institute of omputer Science - omputer raphics Laboratory University of Freiburg - Institute of omputer Science - omputer raphics Laboratory Beobachtung: ein Randpunkt kann zu mehreren Schnittkanten inzident sein Eindringtiefe = gewichtete Summe d(p) = k i= Q ω(xi, p) (xi p) ni k i= ω(xi, p) wobei d(p) = approx. Eindringtiefe von Massepunkt p, xi = Schnittpunkt der Schnittkante inzident zu p, ni = Normale zur Oberfläche von Q im Schnittpunkt xi, P und ω(xi, p) = xi p. Zachmann 4 University of Freiburg - Institute of omputer Science -

22 Richtung der Kraft für Randpunkte: k i= r (p) = k ω(xi, p) ni i= ω(xi, p) r(p) = r (p)0 4. Phase: Propagation mittels breadth-first traversal durch das Tetraeder-Mesh d(p) = k i= ω(pi, p) (pi p) ri + d(pi ) k i= ω(xi, p) wobei pi = schon besuchter eindringender Punkt von P, p = noch nicht besuchter Punkt, ri = Richtung der geschätzten penalty force in Punkt pi.. Zachmann 43 Viualisierung. Zachmann 44

23 Video Zachmann 45 3