Die Determinante ist eine Abbildung

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1 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Die Determinante ist eine Abbildung det : M n,n (K) K : A det A =: A mit den Eigenschaften: (D1) det a 1. α a k + β b. a n = α det = a 1. a k. a n + β det a 1. ḅ. a n. Insbesondere: Eine Zeile = 0 det A = 0. (D2) Eine Determinante ändert bei Vertauschung zweier Zeilen das Vorzeichen. (D3) det( ) = 1. 14

2 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Weitere Eigenschaften der Determinante: (D4) det A = 0, falls zwei Zeilenvektoren gleich sind. (D5) Die Determinante ändert sich nicht bei EZUen vom Typ II (Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.). 15

3 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Sei T linear. Es sei T x = λ x mit einem Vektor x 0 λ = Eigenwert von T, x = Eigenvektor zum Eigenwert λ Das Spektrum von T : σ(t ) := { λ K : λ ist EW von T } Eigenraum zum Eigenwert λ: E T λ := { x V : T x = λ x } 16

4 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Satz: T : V V linear, B = {b 1,..., b n } Basis von V. Äquivalent sind: 1. B besteht nur aus Eigenvektoren. 2. M B,B T hat Diagonalgestalt: M B,B T = λ λ n 17

5 SS 2005 Mathematik II für inf/swt EVen zu verschiedenen EWen sind linear unabhängig. 8.7 Sei σ(t ) = {λ 1,..., λ k } und dim E λj = n j B j := { b (j) 1,..., b(j) n j } Basis von Eλj Dann ist B := B 1... B k linear unabhängig. 18

6 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Erinnerung: Norm u 2 = u, u 1/2 (Länge eines Vektors). u, v u 2 v 2 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung). x orthogonal zu y x, y = 0. B = {b 1,..., b n } ist ONB B ist Basis und b j, b k = δjk. Gram-Schmidt: Erzeugung von ONBen. 19

7 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Satz 9.3: Sei T : V W. Dann: S = T x V, y W : Sx, y = T x, y Sei T : V W. Die adjungierte Abbildung T : W V ist definiert durch x V, y W : T x, y W = x, T y V Ist M B,B T = A = (α ij ) bezüglich ONBs B, B, dann ist M B,B T = A T = ( α α m1. α 1n... α mn ) =: A. 20

8 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Hauptsatz: Sei V Vektorraum über C. Für T : V V linear sind äquivalent: 1. T ist unitär, d.h. T u, T v = u, v. 2. T ist isometrisch, d.h T u = u. 3. T ist invertierbar und T 1 = T. 4. T ist normal und σ(t ) {λ C : λ = 1}. 5. T transformiert ONBen in ONBen. 6. Für eine ONB B bilden die Spalten von M B,B T eine ONB. 7. Für jede ONB B bilden die Spalten von M B,B T eine ONB. 21

9 SS 2005 Mathematik II für inf/swt (x n ) heißt konvergent gegen x, falls ε > 0 n ε N n > n ε : x n x < ε. oder ε > 0 n ε N n > n ε : x n K ε (x). 22

10 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Fallgesetz (G. Galilei, ) Annahme: Fallzeit = f(fallhöhe): t = f(h), f : R + 0 R+ 0. Ziel: Bestimme f. Methode: Steige auf schiefen Turm von Pisa (Höhe 55m), lasse Stein aus 10m Höhe fallen, messe Fallzeit ( 1.43 sec). 23

11 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Problem: Fallhöhe nicht genau messbar, z.b. ±1cm. Glaube: Fallhöhe nahe 10m Fallzeit nahe bei f(10). Experiment ähnliches Ergebnis Ähnliches Natura non facit saltus 24

12 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Mathematische Umsetzung: 1. Möglichkeit: Will Fallzeit auf ±ε bestimmen, so existiert ein δ > 0 so, dass bei Bestimmung der Fallhöhe auf 10m±δ die vorgegebene Genauigkeit erreicht wird. 2. Möglichkeit: Bei zunehmend genaueren Messungen der Höhe von 10m nähern sich die Fallzeiten zunehmend dem wahren Wert für 10m: Sei (h n ) Folge mit h n 10m. Dann gilt f(h n ) f(10m). Beide Versionen sind äquivalent! 25

13 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Sei f : E D F Funktion, x 0 D. Dann heißt f stetig in x 0, falls ε > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. (ε-δ-kriterium für Stetigkeit), oder äquivalent dazu (x n ) in D : x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) (Folgenkriterium für Stetigkeit) 26

14 SS 2005 Mathematik II für inf/swt x E heißt Häufungspunkt von A, falls ε > 0 : ( K ε (x) \ {x} ) A oder äquivalent dazu (x n ) : x n A x n x x n x. 27

15 SS 2005 Mathematik II für inf/swt f stetig auf [a, b], differenzierbar auf ]a, b[. ( ) Mittelwertsatz der Differenzialrechnung: ( ) ξ ]a, b[ : f (ξ) = f(b) f(a). b a Verallgemeinerter Mittelwertsatz: f, g erfüllen ( ) und g (x) 0 auf ]a, b[. Dann ξ ]a, b[ : f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a). 28

16 SS 2005 Mathematik II für inf/swt (s n ) heißt konvergent gegen s, falls ε > 0 n ε N n > n ε : s n s < ε. 29

17 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Reihen und Folgen 1. a k k=0 mit s n = = (s n ) n N0 n a k k=0 (Partialsumme) 2. k=0 a k = lim n s n = lim n n a k k=0 30

18 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Gesucht: Produkt ( a n ) ( b n ). Nummeriere alle Produkte a n b m : a 0 b 0 a 0 b 1 a 0 b 2 a 0 b 3... a 0 b n... a 1 b 0 a 1 b 1 a 1 b 2... a 1 b n 1... a 2 b 0 a 2 b 1 a 3 b 0. a n 1 b 1 a n b

19 SS 2005 Mathematik II für inf/swt (f n ) heißt punktweise konvergent gegen f, falls lim f n n (x) = f(x) für alle x D. (f n ) heißt gleichmäßig konvergent gegen f (auf D), falls ε > 0 n ε N n > n ε x D : f n (x) f(x) < ε. }{{} gilt unabhängig von x ((f n ) liegt im ε-schlauch um f). 32

20 SS 2005 Mathematik II für inf/swt Majoranten-Kriterium: a n c n c n konv a n absolut konv Weierstraß-Test: f n : E D F f n (x) c n auf D c n konv f n (x) gleichmäßig konv auf D 33