Geometrische Aufgaben, die zu DGL mit getrennten Variablen führen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Geometrische Aufgaben, die zu DGL mit getrennten Variablen führen"

Helmut Hase
vor 6 Jahren
Abrufe

1 cjgldga Geometrische Aufgaben, die zu DGL mit getrennten Variablen führen E Ma Lubov Vassilevskaa

Geometrisches Problem von De Beaune Vor etwa 4 Jahrhunderten studierten Wissenschaftler geometrische und mechanische Probleme, die mit DGLen gelöst werden können.

2 Geometrisches Problem von De Beaune Vor etwa 4 Jahrhunderten studierten Wissenschaftler geometrische und mechanische Probleme, die mit DGLen gelöst werden können. Die Analse der charakteristischen Eigenschaften solcher Probleme und der Methoden, welche damals für ihre Lösung benutzt wurden, führt uns auf die Beschreibung durch DGLen. Drei Probleme mö gen als Beispiel dienen. Ma Lubov Vassilevskaa

3 Abb. : Zum geometrischen Problem, das von de Beaune formuliert wurde Ma Lubov Vassilevskaa

4 Florimond de Beaune (6 65) Florimond de Beaune (6 65) war ein französischer Mathematiker. Beaune war ein Jugendfreund von René Descartes und hat zu dessen Geometrie eine Reihe von Anmerkungen verfasst, die von Frans van Schooten (65 5) in seine Ausgabe der Cartesischen Geometrie auf genommen worden sind. Bekannter ist de Beaune durch die so genannte Beaunesche Aufgabe, die in Descartes' Briefen erwähnt wird: Bestimmung einer krummen Linie (Kurve) aus einer Eigenschaft ihrer Tangente. Die Aufgabe kon nte erst 693 mit Hilfe der Integralrechnung durch Johann Bernoulli gelöst werden. Wikipedia 3 Ma Lubov Vassilevskaa

5 Geometrisches Problem von De Beaune Abb. : Zum geometrischen Problem, das von de Beaune formuliert wurde De Beaune formulierte 638 folgendes geometrisches Problem: Gesucht ist eine Kurve (x), bei der für jeden auf der Kurve liegenden Punkt P die Normale und die Tangente aus der x Achse ein Stück von konstanter Länge a ausschneiden. 4 Ma Lubov Vassilevskaa

6 Geometrisches Problem von Leibniz Abb. 3: Zum geometrischen Problem, das von Leibniz formuliert wurde Das zweite Problem hat Gottfried Wilhelm Leibniz 687 vorgeschlagen: Gesucht ist eine Kurve (x), auf der ein der Schwerkraft unterworfe ner Körper mit konstanter Vertikalgeschwindigkeit gleitet. 5 Ma Lubov Vassilevskaa

7 Bernoullis Beispiel einer der ersten Differentialgleichungen: Aufgabe Abb. 4: Zum geometrischen Problem, das von Bernoulli formuliert wurde Johann Bernoullis Beispiel einer ersten Differentialgleichung ist: Bei welcher Kurve OP ist die Koordinate PN gleich dem geometrische Mittel aus einer Strecke der Länge a und dem x Achsenabschnitt QN der Tangente? 6a Ma Lubov Vassilevskaa

8 Bernoullis Beispiel einer der ersten Differentialgleichungen: Lösung PN ist die Koordinate von P, und QP ist eine Tangente der Kurve, also ist PN ' QN PN ist das geometrische Mittel von a und QN, d.h. PN² a QN, also a PN PN QN Dies kann als Differentialgleichung a ' a d dx a dx d geschrieben werden. Sie kann durch Trennung der Variablen leicht gelöst werden. 6b Ma Lubov Vassilevskaa

9 DGL in geometrischen Aufgaben: Aufgabe Tangente in P Abb. : Das Dreieck PQN, das durch eine Tangente PQ der Kurve (x) im Punkt P, die x Achse und die zur x Achse orthogonale Linie PN gebildet wird Gesucht ist eine Kurve (x), bei der für jeden auf der Kurve liegenden Punkt P die Tangente, die Normale zur x Achse und die x Achse ein Dreieck konstanter Fläche a² bilden. Ma Lubov Vassilevskaa

10 DGL in geometrischen Aufgaben: Lösung Tangente in P Abb. : Das Dreieck PQN und der Winkel α, tan α ', ' > A QN NP QN, tan ', QN, ' tg NP QN QN A, ' ' a ' Ma Lubov Vassilevskaa

11 DGL in geometrischen Aufgaben: Lösung d dx a, d a dx a a, C x x C a x C a C C a Jetzt betrachten wir den Fall, dass ' < ist (entsprechende Ab bildung folgt) A a, ' d a dx x C a a a C x x C a Die allgemeine Lösung hat die Form: a C ± x 3 Ma Lubov Vassilevskaa

12 DGL in geometrischen Aufgaben: Lösung Tangente in P Abb. 3: Das Dreieck PQN, der Winkel α, tan α ', ' < 4 Ma Lubov Vassilevskaa

13 DGL in geometrischen Aufgaben: Lösung Abb. 4: Integralkurven, die der Lösung (x) a²/ (C x) / (C x) (a ) entsprechen: ) C, ) C, 3) C 3 5 Ma Lubov Vassilevskaa

14 De Beaunes Problem: Aufgabe 3 Abb. 3 : Zum geometrischen Problem, das von de Beaune fromuliert wurde Gesucht ist eine Kurve f (x), bei der für jeden auf der Kurve liegenden Punkt P die Normale und die Tangente aus der x Achse ein Stück von kon stanter Länge a ausschneiden. 3 Ma Lubov Vassilevskaa

15 De Beaunes Problem: Lösung 3 TN TL L N a tg PL ', TL TL tg PL NL NL tg tg NL ' ', ' ' p ' q p 3 ' ctg tg ', ' NL a TL a, q, ' a ' ', ', p ± p q 4 a ± a Ma Lubov Vassilevskaa

16 De Beaunes Problem: Lösung 3 d dx, a ± a a Fall : d a dx, a du u' a d a du d, d a u a ln u x C a 3 3 a, du d a u a du d a a ua u a du a du u a ln u u u a a a ln a a x C a ln a a x C C C a Ma Lubov Vassilevskaa

17 De Beaunes Problem: Lösung 3 v Fall : d a a u' du a d a a ln a d a± a a, du d a a x C 3 dx : a 3 4 u a a dx, a ln a ± a ± x C Ma Lubov Vassilevskaa

18 DGL in geometrischen Aufgaben: Aufgabe 4 Abb. 4 : Zur geometrischen Deutung der Aufgabe 4 Gesucht sind Kurven mit folgenden Eigenschaften: durch jeden Punkt der Kurve seien zwei zur x und Achsen parallele Geraden gezogen mit entsprechenden Schnittpunkten mit den Achsen (Punkte L und M in Abb. 4 ). Die Fläche des Vierecks OMPL wird durch die Kurve der Funktion f (x) im Verhältnis : geteilt. Ma Lubov Vassilevskaa

19 DGL in geometrischen Aufgaben: Lösung 4 Entsprechend der geometrischen Interpretation des Integrals ist die Fläche des Viereckteils unter der Kurve, also die Fläche zwischen Kurve und x Achse im Intervall I, gleich xl A x dx, Dabei ist: A A, A I [, x L ] A A x L f x L 3 A x L f x L xl x f x L 3 L A A x f x L x dx 3 L Wir differenzieren diese Gleichung nach x und integrieren anschließend: x ' 3 ', x d dx, x d dx x Integration: ln ln x ln C ln x ln C ln C x C x, 4 x C Ma Lubov Vassilevskaa

20 DGL in geometrischen Aufgaben: Lösung 4 Abb. 4 : Zur geometrischen Interpretation der Lösung der Aufgabe x, 4 3 C : f x x, f x x Ma Lubov Vassilevskaa

21 DGL in geometrischen Aufgaben: Lösung 4 Wir prüfen die Lösung entsprechend der Funktion in Abbildung 4 : xl xl A x dx xl A x x dx, 3 xl [ ] dx x 3 xl A [ x x 3 ] xl x x 3 L L xl xl I [, x L ] x dx x L xl xl xl x dx x L xl dx x dx xl x L x x 3 3 L L Wir haben gezeigt, dass A A 4 4 Ma Lubov Vassilevskaa

Ähnliche Dokumente

Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Homogene lineare Differentialgleichung. Ordnung Sanddünen und Integralkurven E Ma Lubov Vassilevskaa E Ma Lubov Vassilevskaa E3 Ma Lubov Vassilevskaa Lineare DGL. Ordnung Definition: Eine Differenzialgleichung.