Medientechnik WS 2012/13

Transkript

1 Medientechni WS 22/3

2 Verlustfreie Verfahren Statistische Verfahren Lauflängenodierung Entropie-Kodierung Entropie= durchschnittlicher Informationsgehalt pro Zeichen in einer Zeichenette =untere Grenze der zur Kodierung eines Zeichens im Durchschnitt notwendigen Bits MP3 AAC ADPCM Verlustbehaftete Verfahren Quellodierung Ausnutzung von spezifischen Eigenschaften der quelle oder des Empfängers (Wahrnehmung) Salierbare Verluste Transformationsodierung

3 Gegeben sei eine endliche Information (Wort über einem Alphabet von m Zeichen) Definition; I p = ld = ld p p ( ) ( ) I(p) Informationsgehalt eines Zeichens, das mit Wahrscheinlicheit p vorommt. p=. ommt nie vor p= nur das Zeichen ommt vor

4 Gegeben sein eine endliche Information (Wort über einem Alphabet von m Zeichen) Der Erwartungswert = n H pi ld i= p i des Informationsgehaltes über alle Zeichen = mittlerer Informationsgehaltes aller Zeichen =Entropie p [..] H p ld p m p i = m i i i= Anzahl Zeichen Wahrscheinlicheit des Auftretens des Zeichens i Alternativ (normierte Entropie)

5 Beispiel: wir beobachten 2 Studenten im Hörsaal und notieren die Beobachtungen: Nr. Code Beobachtung Wahrscheinlicheit VLC SS Beide schlafen,5 SW A schläft,25 2 WS B schläft,25 3 WW Beide lauschen,25 6 Ereignisse, 32 Bit, 2 Bit pro Ereignis S S S W S S W S S S W W W W S S S S W W S S S W S S W S S S W W Gesucht: Kürzeste Kodierung für diese Ereignisfolge

6 Häufigstes Ereignis SS odiert mit (Bit) 2. häufigstes Ereignis WW odiere mit ( Bit), geht nicht, weil wir Codes für 4 Ereignisse brauchen (2 Bit) geht nicht, odiert ja SS SS (2 Bit) möglich 3. häufigstes Ereignis SW odiert mit (2 Bit) geht nicht, wir brauchen 4 Codes, jeder weitere Code dürfte nicht mit,, oder beginnen! (3 Bit) geht! 3./4. häufigstes Ereignis WS (3 Bit) geht!

7 Optimal? Beispiel: wir beobachten 2 Studenten im Hörsaal und Notieren die Beobachtungen: VLC Variable Length Code Nr. Code Beobachtung Wahrscheinlicheit SS Beide schlafen,5 VLC SW A schläft,25 2 WS B schläft,25 3 WW Beide lauschen,25 L 4 = p Bit i i ( ) 6 Ereignisse, 28 Bit,,75 Bitt pro Ereignis

8 A Mathematical Theory of Communication 948 Mathematische Definition: Informationsgehalt: Bit pro Zeichen, die notwendig sind, um die Information darzustellen. m H p log p m p i = i= Anzahl mögl. Ereignisse Wahrscheinlicheit des Auftretens des Ereignis i i 2 i Claude Elwood Shannon 96-2 H = log2 + log + 2 log + log = ( log2 log2 2) + log + log 2 log = ( ) + log + log 2 log = =, 75

9 A Mathematical Theory of Communication 948 Definition: Wir beschränen uns auf m=2 n, Zweierpotenzen m H p log p m p i = i= 2 Anzahl Zeichen im Alphabet Wahrscheinlicheit des Auftretens des Zeichens i i i Falls alle Zeichen gleich häufig, so H=n H<n, nicht rein zufällig, gewisse Abstufung Claude Elwood Shannon Mere: Die Entropie einer Nachrichtenquelle W ist die untere Grenze der zur Kodierung einer Nachricht durchschnittlich benötigten Bit. Entropie ursprünglich Begriff der Thermodynami und Statistischen Mechani

10 Verfahren von Claude Shannon und Robert Fano Verfahren von David A. Huffman (952)

11 Speicherplatz für 3 min Sound CD-Qualität, stereo: 3*6*764 = 3,5 MB 76.4 Byte/s Radio-Qualität, mono 3*6*225*2= 7,9 MB 44. Byte/s Sprachqualität, mono 3*6*25 = 2 MB.25 Byte/s ISDN-Telefonie, mono 3*6*896=,44 MB 8.96 Byte/s Entropieverfahren wie Hufmann, LZW wenig brauchbar Predictive Coding: DPCM Delta / Differential Pulse Code Modulation ADPCM Adaptive DPCM

12 Idee: die Differenzen zwischen den Pulswerten speichern. In der Regel leine Zahlen, z.b. mit 4 Bit zu odieren Delta 6-Bit-Delta Differenzen brauchen 7 Bit Konstante Differenzen führen zu mäßigen Ergebnissen Entweder wenig Komprimierung oder wenig Approximation

13 MP3 IMA ADCM 4bit Abtastwerte Vorhergesagte Werte Vorhersage- Fehler n- Quantisierter Vorhersage- Fehler repeat p p pq (,,...) ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) x n predict x n x n e n x n x n ( ) ( p ) ( pq ) e n quantize e output e ( ) ( ) + ( ) xˆ n x n e n p n n+ until eof p pq Vorhersagewert +quantisierter Fehler ADPCM variables Delta vorhersagen

14 Interactive Multimedia Assocation Vorzeichen 4-Bit Delta- Nibble bit2 bit bit Status des Quantisierers xp(n-) index Stepsize-Tabelle Altes Delta=Tabelle[index] Nibble berechnen aus x(n)-xp(n-) und altem Delta Nibble ausgeben Neuen Index berechnen aus altem Index und Nibble Neue Vorhersage xp(n) berechnen Komprimierung IMA ADPCM 4: Komprimierung: 6Bit-Wert durch 4 Bit darstellen

15 vpdiff : = stepsize / 8 Vorzeichen 4-Bit Delta- Nibble bit2 bit bit vpdiff + = stepsize Hilfsvariable: Sample := x(n)-xp(n-) Stepsize := StepsizeTabelle[index] Neue Vorhersage x vpdiff + = stepsize vpdiff + = stepsize ( n) = x ( n ) vpdiff p p +

16 Initialisiere folgende Variablen predictor (aus Datei oder=) step_index (aus Datei oder=) step = ima-index_table[step_index] Verarbeitung der Nibble Loop { ibble = getnibble(nibblestream); int ima_index_table[6] = { -, -, -, -, 2, 4, 6, 8, -, -, -, -, 2, 4, 6, 8 }; int ima_step_table[89] = { 7, 8, 9,,, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 2, 23, 25, 28, 3, 34, 37, 4, 45, 5, 55, 6, 66, 73, 8, 88, 97, 7, 8, 3, 43, 57, 73, 9, 29, 23, 253, 279, 37, 337, 37, 48, 449, 494, 544, 598, 658, 724, 796, 876, 963, 6, 66, 282, 4, 552, 77, 878, 266, 2272, 2499, 2749, 324, 3327, 366, 426, 4428, 487, 5358, 5894, 6484, 732, 7845, 863, 9493, 442, 487, 2635, 3899, 5289, 688, 85, 235, 22385, 24623, 2786, 29794, step_index = step_index + ima_index_table[(unsigned)nibble] diff = ((signed)nibble +.5) * step / 4 predictor = predictor + diff step = ima_step_table[step_index] }

17 Fourier, Jean-Baptiste Joseph Baron de (768-83), französischer Mathematier und Physier, geboren in Auxerre, ausgebildet im Mönchsloster von Saint-Benoît-sur-Loire. "Fourier, Jean- Baptiste Joseph Baron de", Microsoft Encarta 99 Enzylopädie Microsoft Corporation. Alle Rechte vorbehalten. nahm an der Französischen Revolution ativ teil lehrte École a ( ) Polytechnique in Paris ( ) f t = + a ( ) ( ) und an der École Normale cos 2π ft + b (795) sin 2π ft + 2 Teilnehmer an der Expedition Napoléon Bonapartes in Ägypten teil veröffentlichte + a er wichtiges ( Material über ) das ägyptische ( Altertum ) 2cos 2*2π ft + b2sin 2*2π ft Präfet des Département Isère 88 zum Baron ernannt + a ( ) ( ) 86 Mitglied 3cos 3*2π ft + b der Académie des sciences 3sin 3*2π ft 827 Mitglied Académie française Arbeiten zur +... Mathemati und mathematischen Physi. Jede In der anstandige Théorie analytique periodische de la chaleur Funtion (822, Analytische hat eine Theorie der Wärme) wandte er eine trigonometrische Reihe an, die man trigonometrische Reihendarstellung heute meist Fourier-Reihe nennt und mit deren Hilfe in der Physi mit und Techni eindeutig viele bestimmten mathematische Koeffizienten Probleme gelöst a i und werden b i. önnen.

18 f a ( ) t = + ( a cos( 2πft) + b sin( 2πft) ) 2 = Alternativ: λ = Periodenlänge f a ( ) 2πt 2πt f t = + a cos b sin 2 + = λ λ Beispiel: Orgelton ( ( π ft) + ( π ft ) + ( π ft ) + ( π ft )) * sin 2 sin 2 *2 sin 2 *4 sin 2 *6 4 a = Ν, b = b2 = b4 = b6 = b = sonst. 4

19 f a ( ) t = + ( a cos( 2πft) + b sin( 2πft) ) 2 = Die Koeffizienten a, b bestimmen, mit welcher Amplitude die zugehörige Frequenz am Klang beteiligt ist. Periodische Funtionen haben ein disretes Spetrum f ist die niedrigste beteiligte Frequenz. Amplitude Frequenz f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f

20 f ( x) = j= 4 ( 2 j ) sin π Rechtecfuntion ist periodisch, erfüllt Dirichlet sche Bedingungen (siehe Lehrbuch Analysis), also gibt es Fourier-Darstellung (( 2 j ) x)

21 f ( x) = j= 4 ( 2 j ) sin π (( 2 j ) x)

22 f ( x) = j= 4 ( 2 j ) sin π (( 2 j ) x) Sägezahn ungerade Funtion (f(x)=-f(-x)), also eine Kosinus-Anteile erfüllt Dirichlet sche Bedingungen (siehe Lehrbuch Analysis), also gibt es Fourier-Darstellung

23 Berechnet mit Spectrogram. R. S. Horne

24 a g t = + a ft + b ft 2 ( ) cos( 2π ) sin ( 2π ) = ( ) Mathemati: / / / ( ) a = 2 f g t dt f f ( ) ( π ) a = 2 f g t cos 2 ft dt f ( ) ( π ) b = 2 f g t sin 2 ft dt Wichtige Folgerung: ist die periodische Funtion g(t) frequenzbeschränt, so besteht das Spetrum aus endlich vielen disreten Werten

25 Mathemati: ix e = cos x+ isin x ix e = cos x isin x cos 2 sin 2 2 2i ( ) ( i2π ft i2π ft π ft = e e ) ( ) ( i2π ft i2π ft π ft = e e ) a g t a ft b ft ( ) = + cos( 2π ) + sin ( 2π ) ( ) n n 2 = a a b gn t e e e e ( ) ( 2π 2π ) ( 2π 2π = + + ) n i ft i ft i ft i ft = i

26 a a b gn t e e e e ( ) ( 2π 2π ) ( 2π 2π = + + ) n i ft i ft i ft i ft = i triviale Umrechnung a π g ( t) = + ( a ib ) e + ( a + ib ) e n i2 ft i2π ft n 2 = 2 2 geniale Substitution a c, c a ib, c a ib ( ) ( ) = = + = ( ) 2 n immer noch die = i ft g t ce π n = n Fourier-Reihe n=

27 Wir hatten schon: und berechnen daraus / / / ( ) a = 2 f g t dt f f ( ) ( π ) a = 2 f g t cos 2 ft dt f ( ) ( π ) b = 2 f g t sin 2 ft dt f 2 = i π ft c f g ( t) e dt

28 f 2 2 ( ) = i πft ( ) i π ft g t e f g t e dt = f 2 2 = i π ft ( ) 2 setze = 2 2 i π ft e g t e dt π f u π f π = f = i ut e 2 g t e dt u u π = = 2π ( ) iut G u e du i ut ( ) ( ) f

29 + iut G ( u) = g ( t) e dt G(u) ist Fourier-Transformierte von g(t) Inverse Fouriertransformation g t = 2π + iut G u e du ( ) ( )

30 Transformation in den Frequenzraum Fourier-Transformation berechnet das Spetrum Periodische Funtionen haben ein disretes Spetrum Die Fouriertransformation lässt sich umehren! Die inverse Fourier-Transformation macht aus dem Spetrum den Sound. Anwendung der Fouriertransformation Analyse des Spetrums, Frequenzmessung Transpositionen Frequenzfilter (Hoch-, Tiefpass) Beweis des Sampling-Theorems

31 Wir betrachten die zu transformierende Funtion an 2n=2 i Stützstellen. 2n = 2πi m 2n f = m xe m=,,...2n Die Fouriertransformation (f,..f 2n- ) lässt sich durch divide & conquer (gerade und ungerade Summanden) mit Aufwand N*log(N) berechnen. Java-Klasse:

32 .4. Überblic: Fourier-Reihe.4.2 Überblic: Fourier-Transformation 2 7 Fourier-Reihe 6.3 omplexe Fourier-Reihe 23 Fourier-Transformation Disrete Fourier-Transformation, FFT 7A. Fourier-Reihe einer Rechtecschwingung 8._2 Kontinuierliche Fourier-Transformation, Satz von Plancherel

33 m 2n 2πi m 2n = = = f xe m,,...8 Beispiele Abtastfuntion x=(,,,,,,,) f=(2.8,,,,,,,)

34 m 2n 2πi m 2n = = = f xe m,,...8 Beispiele Grenzfrequenz x=(,-,,-,,-,,-) f=(,,,,2.8,,,)

35 m 2n 2πi m 2n = = = f xe m,,...8 Beispiele Rechtec x=(,,,,-,-,-,-) f=(,-.7+.7i,,-.7+,3i,,-.7-.3,,-.7-,7i x t

36 δ ( x) Definition: ( x) = x, ( x) dx = Eigenschaften: ( x) δ ( x) dx f ( ) f = f ( x) δ ( x x ) dx = f ( x x ) δ ( x) dx = f ( x ) δ = = ( x) f ( x) δ ( t) f ( x t) dt = f ( x t) t = f ( x)

37 x FT III τ x III = τ δ ( x nτ ) Shah-Funtion mit Frequenz τ τ = τiii n Z ( τx) = n Z n δ x τ f(x) zu sampelnde Funtion mit beschräntem Spetrum g x τ ( x) = III f ( x) Spetrum Ausgangs- Signal Spetrum agbetastetes Signal

38 f x = FT F x = FT ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) = G x Π τ x g( x) sinc τ ( x) FT( f ( x) ) F = Spetrum x G( x) = τiii τx F x ( ) ( ) Faltung FT(Shah) mit Spetrum ( ) Kastenfuntion Π τ x F x = Π x G x ( ) ( ) ( ) τ

39 Aliasing bei falscher Abtastfrequenz Fehler! -f max f s f max Frequenzspetrum des Ausgangssignals mit f max f s Frequenzspetrum des abgetasteten Signals mit f s f max -f f max s -f f max max -ff s f max max -ff s f max max f s

40 Definition: h = ( x) f ( t) g( x t) dt = f g( x) ixu itu iyu Faltungssatz: f g( x) e dx = f ( t) e dt g( y) e dy urz: H u = F u G u ( ) ( ) ( ) H: Fouriertransformierte von h G: Fouriertransformierte von g F: Fouriertransformierte von f

41 δ ( x) x, δ ( x) = dx = Es gilt: III δ ( ax) = δ ( x) n= n= a ( x) = δ ( x n) Dirac sche Delta-Funtion Shah-Funtion FT III x = III Es gilt: ( ( )) ( ) III ( ax) = δ ( ax n) = δ a x = n Z n Z x n a a n Z δ x n a castleman

42 Vorlesung Medientechni WS 22/3 Dr. Manfred Jacel Studiengang Computervisualisti Universität Kobenz-Landau Campus Koblenz Postfach Koblenz Manfred Jacel WWW: mtech.uni-oblenz.de Hyperlins zu diesem Kapitel page.mi.fu-berlin.de/~lind/lingausarb/ Literatur zu diesem Kapitel Breitfeld, Peter: Fourierreihen und Fouriertransformation docs.sfzbw.de/phag/sripte/fourier.pdf Transformation Grafi-Quellen