Dieser Mangel kann überwunden werden, wenn die Typenlogik um den Lambda-Operator

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1 3 Theorie der λ -Repräsenion 3 Theorie der λ-repräsenion [Dowy , Gmu , Pree , Chierchi ] 3.1 Der λ-operor In der reinen Typenlogik wird jedem Ausdruck ein Typ zugewiesen. Ein funkionler Typ gib dbei zu erkennen, von welchem Typ ds gefordere Argumen und von welchem Typ der Funkionswer is. Den Ausdrücken eines funkionlen Typs selbs knn so llerdings noch nich ngesehen werden, mi welchem Argumen sie welchen Funkionswer ergeben. Dieser Mngel knn überwunden werden, wenn die Typenlogik um den Lmbd-Operor λ erweier wird. Der ypisiere Lmbd-Klkül is ein logisches Sysem, ds die Eigenschfen dieses Operors definier und die Bsis ller funkionlen Progrmmiersprchen bilde. Er wurde von Alonzo Church (1940), einem der Begründer der heoreischen Informik, enwickel. Der λ -Operor is ebenso wie der - und der -Qunor ein Vriblenbinder. Mi ihm wird über die jeweils gebundene Vrible ber nich qunifizier, sondern bsrhier. Er wird deshlb uch ls (λ -)Absrkor bezeichne. Im Ergebnis einer Anwendung des λ -Operors enseh ein Ausdruck, der ein λ -Absrk oder ein λ -Term gennn wird. Allgemein h ein λ -Term die Form λv[ α ], wobei v eine Vrible und α ein Ausdruck von jeweils beliebigem Typ is. λ v is ds λ -Präfix des Ausdrucks, ds lle freien Vorkommen von v in α binde, und α is der Skopus des λ -Operors. Werden in einem beliebigen Ausdruck beliebige freie Vriblen durch einen λ -Operor gebunden, dnn is ds Ergebnis ein Funkionsusdruck. λv[ α ] seh für diejenige Funkion, die jedem Argumen v den Funkionswer zuordne, der durch α beschrieben wird. Beispiel: λ xschlfen [ '( x)] λ xschlfen [ '( x)] seh für diejenige Funkion, die jedem Argumen x den Funkionswer zuordne, der durch schlfen'( x ) beschrieben wird. λ xschlfen [ '( x)] is ebenso wie schlfen ' ein Ausdruck vom Typ e,. Dbei sieh mn λ xschlfen [ '( x)] den Typ insofern n, ls x ein Ausdruck vom Typ e und schlfen'( x ) ein Ausdruck vom Typ is. λ xschlfen [ '( x)] h jeweils dieselbe Denoion wie schlfen '. Die Denoion von λ x[ schlfen '( x)] is lso eine chrkerisische Funkion, die jedem Argumen x, ds Elemen der Menge der schlfenden Individuen is, den Whrheiswer 1, und nsonsen den Whrheiswer 0 zuordne. λ xschlfen [ '( x)] knn gelesen werden ls: is ein x derr, dss x schläf. Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 1

2 3.1 Der λ -Operor λ -Absrkion Für die Ableiung von λ -Termen gil die folgende Regel der λ -Absrkion: Wenn v eine Vrible vom Typ und α ein Ausdruck vom Typ b is, dnn is λv[ α ] ein Ausdruck vom Typ b,. Die Denoion von λv[ α ] is dmi eine Funkion von D in Speziell ein λ -Term vom Typ e, knn ddurch gewonnen werden, dss in einer Formel über eine Vrible des Typs e bsrhier wird. Es gil lso: Wenn φ ein Ausdruck vom Typ und x eine Vrible vom Typ e is, dnn is λx[ φ ] ein Ausdruck vom Typ e,. Beispiel: Ableiung von λ xschlfen [ '( x)] D. b Ausgngsbsis für die λ -Absrkion is dbei die Formel schlfen '( x ), die ihrerseis durch funkionle Applikion der Prädikskonsnen schlfen ' uf die Individuenvrible x erhlen wird. Ein λ -Term vom Typ ee,, knn ensprechend ddurch gewonnen werden, dss in einem Ausdruck vom Typ ncheinnder über zwei Vriblen vom Typ e bsrhier wird. Durch Absrkion über die eine Vrible wird zunächs ein λ -Term vom Typ e,, durch nschließende Absrkion über die zweie Vrible derλ -Term vom Typ ee,, bgeleie. Die Reihenfolge der λ -Absrkionen is uner rein logischem Gesichspunk beliebig, d.h. durch keine logischen Prinzipien fesgeleg. Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 2

3 3 Theorie der λ -Repräsenion Uner dem Gesichspunk der Verwendung von λ -Termen bei der semnischen Anlyse der nürlichen Sprche gil die folgende Beschränkung: Um zu gewährleisen, dss die semnische Srukur von nürlichsprchlichen Ausdrücken prllel zu ihrer synkischen Srukur ufgebu is, müssen die λ -Absrkionen in einer besimmen Reihenfolge erfolgen. Für den Fll eines λ -Terms vom Typ ee,, heiß ds: Zunächs wird über die Vrible bsrhier, die dem synkischen Subjek, und dnch über die Vrible bsrhier, die dem synkischen Objek ensprich. Beispiel: Ableiung von λλ y xbewundern [ '( y)( x)] Ausgngsbsis für die λ -Absrkionen is die Formel bewundern '( y)( x ), die selbs us einer zweimligen funkionlen Applikion hervorgeh, und zwr ddurch, dss zunächs die Prädikskonsne bewundern ' uf die Vrible y (für ds synkische Objek) und dnch ds komplexe Prädik bewundern '( y ) uf die Vrible x (für ds synkische Subjek) pplizier wird. Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 3

4 3.1 Der λ -Operor λ -Konversion Ein λ -Term knn uf Argumene des jeweils geforderen Typs pplizier werden. Gemäß der Regel der funkionlen Applikion (FA-Regel) gil: Wenn λv[ α ] ein Ausdruck vom Typ b, und β ein Ausdruck vom Typ is, dnn is λv[ α]( β ) ein Ausdruck vom Typ b. Insbesondere gil: Wenn λv[ φ ] ein Ausdruck vom Typ e, und β ein Ausdruck vom Typ e is, dnn is λv[ φ]( β ) ein Ausdruck vom Typ. Uner besimmen Bedingungen knn λv[ φ]( β ) ddurch vereinfch werden, dss in φ die Vorkommen der λ -gebundenen Vriblen v durch β ersez werden. Beispiel: λ xschlfen [ '( x)]( Peer') Die Formel λ xschlfen [ '( x)]( Peer') knn gelesen werden ls: Peer is ein x derr, dss x schläf. λ xschlfen [ '( x)]( Peer') besg ds Gleiche wie die Formel schlfen'( Peer '), die gelesen wird ls: Peer schläf. Allgemein gil ds folgende Prinzip der λ -Konversion (vorläufige Fssung): Wenn v eine Vrible und β ein Ausdruck vom selben Typ sind, dnn gil: λv[ α]( β) = αβ [ / v], wobei αβ [ / v] us einer Subsiuion von β für lle freien Vorkommen von v in α hervorgeh. Wird uf Grund des Prinzips der λ -Konversion in einem Ausdruck λv[ α]( β ) durch αβ [ / v] ersez, sprich mn uch von λ -Redukion. Beispiel: λ x[ schlfen'( x)]( Peer ') = schlfen '( Peer ') Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 4

5 3 Theorie der λ -Repräsenion Bei der Anwendung eines λ -Terms vom Typ ee,, uf zwei Argumene vom Typ e wird ensprechend verfhren, d.h. es werden zwei funkionle Applikionen und, flls möglich, zwei λ -Redukionen vorgenommen. Beispiel: λλ y x[ bewundern'( y)( x)]( Mri ')( Hns') = bewundern'( Mri ')( Hns') Bei der Anwendung des Prädiks λλ y x[ bewundern'( y)( x)] uf die Argumene Mri ' und Hns ' knn somi die Prlleliä der semnischen Srukur des nürlichsprchlichen Szes Hns bewunder Mri zu seiner synkischen Srukur gewährleise werden. Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 5

6 3.1 Der λ -Operor Komplexe λ -Terme Eine wesenliche Eigenschf des λ -Operors is, dss mn mi ihm beliebig komplexe λ - Terme bilden knn. Ddurch knn uch für viele komplexe nürlichsprchliche Ausdrücke eine semnische Repräsenion SR ngegeben werden, für die dies bisher nich möglich wr. Beispiele: (1) SR(sich bewundern ) = λ xbewundern [ '()()] x x (2) SR( bewunder werden ( von )) = λλ x ybewundern [ '( y)( x)] (3) SR(bewunder werden ) = λx y[ bewundern'( x)( y)] (4) SR(schlfen und bewunder werden ) = λxschlfen [ '() x ybewundern [ '()()]] x y (5) SR(unverheire ) = λ x[ verheire '( x)] (6) SR(unverheiree Fru ) = λ x[ verheire'( x) Fru'( x)] (7) SR(eine unverheiree Fru ) = λp x[ verheire '( x) Fru'( x) P( x)]? Gewinne us den folgenden Formeln mögliche λ -Terme durch λ -Absrkion über vorkommende Vriblen: (1) krnk '( x) hilflos '( x) (2) krnk '( x) P( x) (3) Px ( ) Qx ( ) (4) xpx [ ( ) Qx ( )]? Von welchem Typ sind die jeweiligen λ -Terme?? Appliziere die λ -Terme uf pssende Argumene und nimm mögliche Vereinfchungen durch λ -Redukion vor. Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 6

7 3 Theorie der λ -Repräsenion 3.2 λ -Typenlogik (TLλ ) Synx von TLλ Die Menge T der Typen von TLλ is idenisch mi der Menge der Typen von TL. D3.1 Typen von TLλ (1) e T. (2) T. (3) Wenn b, T, dnn b, (4) Nichs sons is in T. T. Ds Vokbulr von TL wird um den λ -Operor erweier. D3.2 Vokbulr von TLλ Ds Vokbulr von TLλ enhäl: (1) für jeden Typ eine Menge VAR von Vriblen des Typs : vn, ( n 1), (2) für jeden Typ eine Menge CON von Konsnen des Typs : cn, ( n 1), (3) die Konnekoren:,,,,, (4) ds Ideniäsprädik: =, (5) die Qunoren:,, (6) den Lmbd-Operor: λ, (7) die echnischen Hilfszeichen: (,),[, ]. Synkische Regeln von TLλ Die synkischen Regeln von TLλ legen für jeden Typ die Menge WFA der wohlgeformen Ausdrücke wfa des Typs fes. Ihre Vereinigung über lle Typen is die Menge WFA der wfae von TLλ. D3.3 Wohlgeforme Ausdrücke von TLλ (1) Wenn α VAR oder α CON, dnn α WFA. (2) Wenn v VAR und α WFA, dnn λv[ α]. b b, (3) Wenn α WFA und β WFA b,, dnn αβ ( ) WFA. b (4) Wenn φψ, WFA, dnn φ,( φ ψ),( φ ψ),( φ ψ),( φ ψ) WFA. (5) Wenn αβ, WFA, dnn ( α= β) WFA. (6) Wenn φ WFA und v VAR, dnn v[ φ], v[ φ] WFA. (7) Nichs sons is in WFA. Mi D3.3 (2) wird die Menge der synkischen Regeln von TL um eine synkische Regel für den λ -Operor (Regel der λ -Absrkion) erweier. Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 7

8 3.2 λ -Typenlogik (TL λ ) Noionskonvenionen: Eckige Klmmern zur Mrkierung des Skopus eines Operors können weggelssen werden; ls Skopus des Operors is dnn der unmielbr uf ihn folgende wfa zu versehen. Beispiel: λy[ λx[ R()()]] y x = λyλx[ R()() y x ] Runde Klmmern zur Mrkierung der funkionlen Applikion uf Argumene können weggelssen werden; die Reihenfolge der Applikionen is dnn von links nch rechs zu versehen. Beispiel: ( λλ x yq [ ( x) P( y)]( ))( b) = λλ x yq [ ( x) P( y)]( )( b ) Semnik von TLλ Die Menge der Domänen der Typen von TLλ is idenisch mi der Menge der Domänen der Typen von TL. D3.4 Domänen der Typen von TLλ (1) De = D (2) D = {0,1} (3) Für beliebige b, T gil: D = D D. b, b (4) Nichs sons is Domäne eines Typs von TLλ. Die Begriffe des Modells und der Vriblenbelegung sind gegenüber TL unveränder. Semnische Regeln von TLλ Die semnischen Regeln von TLλ legen prllel zu den synkischen Regeln von TLλ für jeden Typ die Denoion eines beliebigen Ausdrucks α WFA fes. D3.5 Denoion eines wfa von TLλ bzgl. M und g (1) Wenn α CON, dnn α, = I( α). Wenn α VAR, dnn α, = g( α). (2) Wenn v VAR und α WFA, dnn is λv [ α ], diejenige Funkion h von D b in D, so dss für lle d D b gil: v (),[ d hd = α ]. (3) Wenn α WFA und β WFA, dnn, αβ ( ) = α ( β ). b,,, Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 8

9 3 Theorie der λ -Repräsenion (4) Wenn φψ, WFA, dnn, φ = 1 gdw φ, = 0,,,, φ ψ = 1 gdw φ = ψ = 1,, φ ψ = 1 gdw, φ = 1 oder ψ, = 1, φ ψ =, 1 gdw φ =, 0,,, φ ψ = 1 gdw φ = ψ. oder ψ =, 1 (5) Wenn αβ, WFA, dnn α= β, = 1 gdw, α = β,. (6) Wenn φ WFA und v VAR, dnn [ ], v v φ = 1 gdw für jedes d D gil:,[ d φ ] = 1, [ ], v v φ = 1 gdw es mindesens ein d D gib, so dss gil:,[ d φ ] = 1. Mi D3.5 (2) wird die Menge der semnischen Regeln von TL um eine semnische Regel für den λ -Operor erweier. Ein Spezilfll von D3.5 (2) is die folgende Regel: Wenn v VARe und φ WFA, dnn is λv[ φ ] diejenige Funkion h von D in v { 0,1 }, so dss für lle d D gil: (),[ d hd = φ ] v, d.h. hd () = 1gdw,[ d φ ] = 1.,, Beispiel: λ xschlfen [ '( x)], is diejenige Funkion h von D in { 0,1 }, so dss für lle d D gil: hd () '( ),[ = schlfen x d] (nch D3.5 (2)),[ ],[ ] ' d ( = schlfen x d ) (nch D3.5 (3)) = Ischlfen ( ')( gx [ d]( x)) (nch D3.5 (1)) = Ischlfen ( ')( d) (Vriblenbelegung) Die (chrkerisische) Funkion h ordne lso jedem Individuum us D den Whrheiswer zu, den ds Individuum ls Argumen jener (chrkerisischen) Funkion zugeordne bekomm, die die Inerpreion von schlfen ' is. Angenommen, es gele: Peer 0 Ischlfen ( ') = Mri 0 und d =Mri. Hns 1 Dnn gil: Ischlfen ( ')( d ) = 0. Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 9

10 3.2 λ -Typenlogik (TL λ ) Problem: Ds in eingeführe Prinzip der λ -Konversion muss präzisier werden, weil seine uneingeschränke Anwendung zu flschen Ergebnissen führ. Beispiel: λx y [ kennen '()()() y x ] y y [ kennen '()() y y ], wobei ykennen [ '( y)( y )] us einer Subsiuion von y für lle freien Vorkommen von x in ykennen [ '( y)( x )] hervorgeh. Einschränkende Bedingung: Eine freie Vrible drf nich in den Skopus eines Operors subsiuier werden, der sie binde. D.h. die Vrible, für die subsiuier wird, muss frei für den zu subsiuierenden Ausdruck sein. Definiion: D3.6 Eine Vrible v is in einem Ausdruck α frei für einen Ausdruck β gdw v und β vom selben Typ sind und kein freies Vorkommen von v in α im Skopus eines Qunors v ' oder v ' oder eines λ -Operors λ v ' seh und v ' frei in β vorkomm. Beispiel: λp x[ P( x) p] ( Q( x )), wobei pqx, ( ) WFA und p in xpx [ ( ) p ] nich frei is für Qx ( ), weil p im Skopus von x seh. Spezilfll: β = v ' Beispiel: λx y[ kennen'( y)( x) ]( y ), wobei xy, VAR e und x in ykennen [ '( y)( x )] nich frei is für y, weil x im Skopus von y seh. In einer präzisieren Fssung wird ds Prinzip der λ -Konversion wie folg formulier: Wenn v eine Vrible und β ein Ausdruck vom selben Typ sind und v in α frei für β is, dnn gil: λv[ α]( β) = αβ [ / v], wobei αβ [ / v] us einer Subsiuion von β für lle freien Vorkommen von v in α hervorgeh.? Wie knn ds Prinzip der λ -Konversion uch in jenen Fällen ngewnd werden, in denen die einschränkende Bedingung zunächs nich erfüll wird? Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 10

11 3 Theorie der λ -Repräsenion Übungen Ü3.1 Konsruieren Sie us den folgenden Ausdrücken λ -Terme vom Typ e, e, der Abfolge Objek < Subjek ensprochen wird:, so dss () umrmen ' (b) vorsellen '( Pul ') (c) z[ erzählen '( z)( y)( x)] Ü3.2 Repräsenieren Sie die Bedeuungen der folgenden nürlichsprchlichen Ausdrücke mi pssenden λ -Termen: () nich ruchen (b) sich loben (c) sich schämen (d) rennen und sich loben (e) jedes Buch lesen Ü3.3 Vereinfchen Sie die folgenden Ausdrücke mi Hilfe von λ -Redukion so wei wie möglich: () λ x[ räumen'( x)]( Peer ') (b) λλ y x[ verfolgen'( y)( x)]( Tweey')( Sylveser ') (c) λp x[ Einhorn'() x P()]( x λy[ schnufen'()]) y Ü3.4 Wrum is in den folgenden Fällen keine λ -Redukion möglich? () λx y[ lieben'( y)( x)]( y) (b) λλ[ y x wschen'( y)( x)]( x)( Ann ') Ü3.5 Von welchem Typ sind die folgenden Ausdrücke? () λ QQUlf [ ( ')] (b) λλ p x[ wissen'( p)( x)] (c) λx[ λyλx [ bewundern'( y)( x)]( Friz ')( x) Q( x )] (d) λλ y Qλx[ sreicheln'()() y x Q()] y ( Peer '( ) λz[ lchen'()]) z ( Ri ') (e) λrr [ ( λzobs [ '( z)]) ] Für die vorkommenden Vriblen gele dbei: x,, y z VARe, p VAR, Q VAR e,, R VAR. e,, Johnnes Dölling: Formle Semnik. Insiu für Linguisik, Universiä Leipzig. 11