10 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME, und LINEARE ABBILDUNGEN 1
Lineare Gleichungssysteme treten vielfältig auf 2
Beispiel: Elektrische Netzwerke In elektrischen Netzwerken fließt der Strom gemäß den Kirchhoff schen Regeln: 1 Die Summe aller Ströme, die in einen Knoten hineinfließen, ist in ihrer Stärke gleich der Summe aller Ströme, die aus dem Knoten hinausfließen 2 Die Summe aller Spannungsabfälle in einer Masche (Umlauf), erzeugt von Spannungsquellen oder Widerständen, ist gleich 0 Diese Regeln führen auf lineare Gleichungssysteme 3
I 2 R 2 I 1 I 0 R 1 U 0 Drei lineare Gleichungen für I 0, I 1, I 2 : I 0 = I 1 + I 2, U 0 = R 1 I 1, U 0 = R 2 I 2 4
Beispiel: Interpolation Aufgabe: Gesucht ist eine Funktion f(t), die an den n + 1 vorgegebenen Stellen die vorgegebenen Werte t 0 < t 1 < < t n annimmt f(t 0 ) = b 0,, f(t n ) = b n b 0 b 1 b 2 b 3 f(t) =? t 0 t 1 t 2 t 3 5
Der übliche Ansatz ist, f als Polynom vom Grade n zu wählen 6
Ein numerisches Beispiel mit n = 4 t 0 = 0, t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 3, t 4 = 4 f(t 0 ) = 1, f(t 1 ) = 3, f(t 2 ) = 0, f(t 3 ) = 2, f(t 4 ) = 1 7
Ein günstiger Ansatz für das Polynom 4-ten Grades ist f(t) = c 0 +c 1 t+c 2 t(t 1)+c 3 t(t 1)(t 2)+c 4 t(t 1)(t 2)(t 3) Dann erhalten wir für die Koeffizienten c 0, c 1, c 2, c 3, c 4 die Gleichungen 1 = f(0) = c 0 3 = f(1) = c 0 + c 1 1 0 = f(2) = c 0 + c 1 2 + c 2 2 1 2 = f(3) = c 0 + c 1 3 + c 2 3 2 + c 3 3 2 1 1 = f(4) = c 0 + c 1 4 + c 2 4 3 + c 3 4 3 2 + c 4 4 3 2 1 8
Die Gleichungen lassen sich bei diesem Ansatz leicht von oben nach unten auflösen: c 0 = 1, c 1 = 2, c 2 = 5/2, c 3 = (2 1 6 + 15)/6 = 10/6, c 4 = (1 1 8 + 30 40)/24 = 18/24 also f(t) = 1 + 2t 5 2 t(t 1) + 5 3 t(t 1)(t 2) 3 t(t 1)(t 2)(t 3) 4 Mit einem Computeralgebrasystem erhält man f(t) = 1 + 37 3 t 63 4 t2 + 37 6 t3 3 4 t4 9
10
Allgemein macht man mit Newton für das Polynom den Ansatz f(t) = c 0 +c 1 (t t 0 )+c 2 (t t 0 )(t t 1 )+ +c n (t t 0 ) (t t n 1 ) zu machen Das Gleichungssystem ist leicht von oben nach unten zu lösen, da von Dreiecksgestalt: b 0 = f(t 0 ) = c 0 b 1 = f(t 1 ) = c 0 + c 1 (t 1 t 0 ) b n = f(t n ) = c 0 + c 1 (t n t 0 ) + + c n (t n t 0 ) (t n t n 1 ) 11
Man schreibt ein allgemeines lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen in n Unbekannten x 1,, x n so auf: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Die Zahl a ij ist der j-te Koeffizient in der i-ten Zeile 12
Das Rechnen mit Gleichungssystemen, wie von der Schule bekannt, ist unattraktiv und fehleranfällig Dem begegnet man in der Mathematik, indem man die verschiedenen Bestandteile in einem Gleichungssystem zu neuen Objekten zusammenzufasst Damit werden algebraische Manipulationen erleichtert und das Rechnen wird übersichtlicher Zugleich gewinnt man eine geometrische Intuition 13
Man betrachtet die Matrix A und die Spaltenvektoren x, b, gegen durch ihre Komponenten A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, x = x 1 x 2, b = b 1 b 2 a m1 a m2 a mn x n b m Insbesondere werden b und x als Elemente der Vektorräume R m und R n aufgefasst 14
Die Vektorräume R 2, R 3, R n 15
Der Vektorraum R 2 besteht aus allen Paaren x von reellen Zahlen Man schreibt die Paare als Spaltenvektor ( ) x1 x = x 2 und die Gesamtmenge aller Paare als R 2 = { ( x 1 x 2 ) x 1, x 2 R } 16
Wir können den R 2 mit einer Ebene identifizieren, wenn man sie mit einem Ursprung und einem (kartesischen) Koordinatensystem versehen hat ( x 1 x 2 ) wird dann mit dem Punkt der Ebene mit den Koordinaten x 1 und x 2 identifiziert Der Ursprung ist 0 = ( ) 0 0 17
Wir betrachten nun nur Operationen auf dem R 2, die sich später auch auf den R 3 und R n übertragen lassen (Insbesondere lassen wir die komplexe Multiplikation beiseite) Das sind Addition zweier Vektoren ( ) x1 x 2 + ( y1 y 2 ) := ( x1 + y 1 x 2 + y 2 ) und Multiplikation mit einer reellen Zahl λ (man sagt Multiplikation mit einem Skalar) ( ) ( ) x1 λx1 λ := x 2 λx 2 18
In der Ebene entspricht das der Parallelogrammregel und Streckung von Vektoren y x + y x x 16 10 x 19
Dies überträgt sich nahtlos auf den R 3 = { x 1 x 2 x 3 x 1, x 2, x 3 R } der sich mit dem dreidimensionalen Raum (versehen mit Ursprung und Koordinaten) identifizieren lässt, sowie für jede natürliche Zahl n auf den R n = { (x 1,, x n ) T x 1,, x n R} 20
Hier haben wir die Schreibweise x 1 x 2 x n = (x 1, x 2,, x n ) T eines Spaltenvektors als transponierten Zeilenvektor benützt Wieder definiert man x 1 y 1 + x n y n := x 1 + y 1 x n + y n, λ x 1 x n := λx 1 λx n 21
Wichtige Bemerkung: Die Räume R n sind Beispiele für reelle Vektorräume Abstrakt gesprochen ist ein reeller Vektorraum V eine Menge, mit deren Elementen man wie mit Vektoren im R n umgehen kann, dh man kann die Elemente addieren und mit reellen Zahlen, man spricht dann von den Skalaren, multiplizieren, mit denselben Rechenregeln wie im R n Beispiel: Die Menge aller Polynome f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n ist ein Vektorraum: Die Summe zweier Polynome und das Produkt eines Polynoms mit einer reellen Zahl ist wieder ein Polynom 22
LINEARFORMEN auf R 2, R 3, R n 23
Eine Linearform auf dem R n ist eine Funktion l : R n R vom R n in die reellen Zahlen mit der Eigenschaft, dass sie linear ist Dh für alle x, y R n und alle reellen Zahlen λ gilt l(x + y) = l(x) + l(y), l(λx) = λl(x) 24
Beispiel: l : R 2 R gegeben durch l ( ( ) x ) 1 = 2x1 x x 2 2 Man schreibt auch ( ) x1 x 2 x 1 2x 2 Die Linearität rechnet man nach 25
Der Graph von l(x) = 2x 1 x 2 y x 1 N = {x : l(x) = 0} x 2 26
Die Menge N = {x R 2 l(x) = 0} aller Vektoren x, die durch l auf die 0 abgebildet werden, heißt der Nullraum oder Kern von l Im Beispiel enthält er den Vektor ( ) 1 v = wegen l(v) = 2 1 1 2 = 0 2 und alle skalaren Vielfache von v wegen l(λv) = λl(v) = 0 Es gilt damit N = {λv λ R} 27
Beispiel l ( (x 1, x 2, x 3 ) T ) = x 1 Der Nullraum enthält die Vektoren e 2 = 0 1, e 3 = 0 und wegen l(λe 2 + µe 3 ) = λl(e 2 ) + µl(e 3 ) auch alle ihre Linearkombinationen Also ist 0 0 1 N = {λe 2 + µe 3 λ, µ R} eine Ebene im R 3 Dies gilt auch für andere Linearformen (abgesehen von dem Trivialfall l(x) = 0) 28
Wir bestimmen nun die allgemeine Gestalt einer Linearform auf R n Dazu setzen wir e 1 = 1 0 0, e 2 = 0 1 0,, e n = 0 0 1 e i hat also als i-te Koordinate eine 1 und sonst lauter Nullen e 1,, e n heißt die kanonische Basis oder Standardbasis des R n 29
x 3 x 1 e 1 = 1 0 0 e 3 = 0 0 1 e 2 = 0 1 0 x 2 30
Jeder Vektor x lässt sich (eindeutig) als Linearkombination der kanonischen Basis darstellen, nämlich x = x 1 x n = x 1e 1 + + x n e n Deswegen spricht man von einer Basis! Denn: x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n = x 1 0 0 x + 2 + + 0 0 0 0 x n = x 1 x 2 x n 31
Für eine Linearform l : R n R folgt l(x) = l(x 1 e 1 + + x n e n ) = x 1 l(e 1 ) + + x n l(e n ) Setzen wir a 1 = l(e 1 ),, a n = l(e n ) so folgt insgesamt l(x) = a 1 x 1 + + a n x n 32
Eine Linearform l : R n R ist also durch n reelle Zahlen a 1,, a n gegeben Man fasst sie zu einem Vektor a = (a 1,, a n ) zusammen, und zwar zu einem Zeilenvektor!! So unterscheidet man Linearformen von Vektoren des R n 33
Gerade in Anwendungen macht diese Unterscheidung zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren Sinn Mögliche Interpretationen: 1 a i = Preis der Ware i (pro Einheit), x i = Menge der Ware i a 1 x 1 + + a n x n sind die Gesamtkosten 2 34
Zwischen Zeilenvektoren und Spaltenvektoren der Länge n führt man ein Produkt ein ab = (a 1,, a n ) b 1 b n := a 1b 1 + + a n b n Wir werden es bald auf Matrizen verallgemeinern, deswegen spricht man vom Matrizenprodukt 35
Jede Linearform hat also die Gestalt l(x) = ax für x R n mit einem Zeilenvektor a der Länge n 36
Die Vektoren x im Nullraum N erfüllen die Gleichung a 1 x 1 + + a n x n = 0 Es handelt sich im Fall n = 2 (Ebene) um Geraden durch den Ursprung 0, im Fall n = 3 (drei-dimensionaler Raum) um Ebenen durch 0 und allgemein um (n 1)-dimensionale Teilräume, wie wir später präzisieren werden Man spricht von Hyperebenen 37
LINEARE ABBILDUNGEN auf R 2, R 3, R n 38
Abbildungen L : R n R m heißen linear, falls für alle x, y R n und alle reellen Zahlen λ gilt L(x + y) = L(x) + L(y), L(λx) = λl(x) Offenbar verallgemeinern sie den Begriff der Linearform 39
Unter der Abbildung bleiben also Parallelogrammregel und Streckung von Vektoren erhalten: x L x + y L(x + y) L(x) y L(y) x 16x L(16x) L L(x) 40
Beispiele für den Fall n = m = 2: 1 L(x) = 0, die Nullabbildung 2 L((x 1, x 2 ) T ) = (x 1, x 2 ) T Spiegelung an der x 1 -Achse 3 L((x 1, x 2 ) T ) = (x 2, x 1 ) T Spiegelung an der Winkelhalbierenden x 1 = x 2, denn L(e 1 ) = e 2, L(e 2 ) = e 1 was auf solch ein Spiegeln hinausläuft 41
4 L((x 1, x 2 ) T ) = ( x 2, x 1 ) Drehung um 90 Grad, denn L(e 1 ) = e 2, L(e 2 ) = e 1 5 L((x 1, x 2 ) T ) = (x 1, 0) Projektion eines Punktes x auf die x 1 -Achse 42
Für eine lineare Abbildung L : R n R m definiert man den Nullraum oder Kern als N = {x R n L(x) = 0} dabei steht 0 für den Ursprung im R m N besteht also aus allen x R m, die auf den Ursprung abgebildet werden Der Bildraum ( range ) von L ist R = {y R m y = L(x) für ein x R n } das sind alle Vektoren y R m, die Bildvektoren sind 43
Symbolisch: R n R m 0 N 0 R 44
Zwei einfache Beispiele für n = 3, m = 2: 1 L((x 1, x 2, x 3 ) T ) = (x 1, 2x 1 ) T Der Nullraum enthält alle Vektoren (0, x 2, x 3 ) T, er ist damit gegeben durch N = {x 2 e 2 + x 3 e 3 x 2, x 3 R} also die von e 2, e 3 aufgespannte Ebene im R 3 alle Vielfa- Der Bildraum enthält wegen (x 1, 2x 1 ) T = x 1 (1, 2) T chen von (1, 2) T, er ist eine Gerade: R = { ( ) 1 } λ λ R 2 45
2 L((x 1, x 2, x 3 ) T ) = (x 2, x 3 ) T Der Nullraum enthält alle Vektoren (x 1, 0, 0) T, es ist die Gerade N = {λe 1 λ R} Der Bildraum ist die gesamte Ebene R = R 2 46
Die allgemeine Form linearer Abbildungen: Für eine lineare Abbildung L : R n R m ist der Bildpunkt L(x) ein Element aus dem R m, also ein Spaltenvektor, dessen Komponenten von x abhängen Wir schreiben L(x) = l 1 (x) l m (x) mit l i : R n R für i = 1,, m 47
Mit L sind auch die l i lineare Abbildungen, dh es handelt sich um Linearformen Deswegen gibt es Zeilenvektoren mit a 1 = (a 11,, a 1n ),, a m = (a m1,, a mn ) l i (x) = a i x Eingesetzt folgt L(x) = l 1 (x) l m (x) = a 1 x a m x 48
Man schreibt und a 1 a 2 a m a 1 a 2 a m x = für a 1 x a 2 x a m x a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Wieder liegt eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten vor, eine m n-matrix 49
Insgesamt: L(x) = Ax mit A = a 1 a 2 = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m a m1 a m2 a mn 50
Das Matrixprodukt Ax ist der Spaltenvektor Ax = a 1 x a 2 x a m x Jeder Zeilenvektor a i der Matrix wird wie früher mit dem Spaltenvektor x multipliziert, also a i x = a i1 x 1 + + a in x n 51
Bildlich: Ax = b x 1 x j x n (a 11 a 1j a 1n ) (a i1 a ij a in ) (a m1 a mj a mn ) b 1 b i b m 52
Beispiel: ( ) a1 A = a 2 ( ) a11 a = 12 a 21 a 22 = ( 1 ) 2 2 5, x = ( ) 3 1 also a 1 x = 1 3 + 2 1 = 5, a 2 x = ( 2) 3 + 5 1 = 1 und Ax = ( ) 5 1 53
( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 = ( 1 ) 2 2 5, e 1 = ( ) 1 0, e 2 = ( ) 0 1 also Ae 1 = ( ) 1 2, Ae 2 = ( ) 2 5 Dies sind die Spalten von A! 54
Entsprechend gilt allgemein: Ist L : R n R m linear, dann sind die n Spalten der zugehörige Matrix A gegeben durch L(e 1 ) bis L(e n ): A = ( L(e 1 ),, L(e n ) ) 55
Beispiel: Für die identische Abbildung L(x) = x auf dem R n gilt L(e i ) = e i und die zugehörigen Matrix ist E = (e 1,, e n ) = 1 1 0 0 1 1 E hat in der Diagonale Einsen und sonst Nullen E heißt Einheitsmatrix 56
Produkte von Matrizen und Verkettung linearer Abbildungen Wir führen das Matrixprodukt einer m n-matrix A und einer n r-matrix A ein Die Spaltenzahl von A ist also gleich der Zeilenzahl von A!! 57
Dann kann man das Produkt A A = A definieren als a i1 a in a 1j a nj = a ij mit a ij gleich dem Produkt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von A, also a ij = a i1 a 1j + + a in a nj 58
Beispiel ( A 3 4 = 0 1 ), A = ( 1 ) 2 2 5 ergibt A A = ( 5 ) 26 2 5 denn ( ) ( 1 3 4 2 ( ) ( 2 3 4 5 ( ) ( 1 0 1 2 ( ) ( 2 0 1 5 ) ) ) ) = 3 1 + 4 ( 2) = 5 = 3 2 + 4 5 = 26 = 0 1 + 1 ( 2) = 2 = 0 2 + 1 5 = 5 59
Verkettung von linearen Abbildungen Seien L : R n R m, L : R r R n linear mit zugehöriger m n-matrix A und n r-matrix A Dann gehört zu der Komposition L L : R r R m, x L (L (x)) die Produktmatrix A = A A 60
Beispiel: Seien L : R 2 R 2, L : R 2 R 2 zwei lineare Abbildungen mit (etwa) den Matrizen ( ) ( ) A 3 4 =, A 1 2 = 0 1 2 5 Was ist die Matrix A von L = L L also L(x) = L (L (x)) 61
Sie ist gegeben durch die Spaltenvektoren L(e 1 ), L(e 2 ) A = ( a11 a 12 a 21 a 22 ) = (L(e 1 ), L(e 2 )) Auch ist L (e 1 ) die erste Spalte von A, also L (e 1 ) = ( ) L(e 1 ) = L (L (e 1 )) = L ( 1 ) = A 2 Genauso L(e 2 ) = A ( 2 5 ), also ( ) 1 2 ( ) 1 2 und 62
A = (L(e 1 ), L(e 2 )) = ( ( ) ( ) A 1, A 2 ) 2 5 A wird hier mit der ersten und zweiten Spalte von A multipliziert Das bedeutet für A = ( a11 a 12 a 21 a 22 ) : a ij ist das Produkt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von A Oder: A = A A, A = ( 5 ) 26 2 5 63
Rechenregeln für Matrixprodukte Verkettet man drei lineare Abbildungen L 1, L 2, L 3, so gilt L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) L 3 denn L 1 (L 2 L 3 )(x) = L 1 ((L 2 L 3 )(x)) = L 1 (L 2 (L 3 (x))) und (L 1 L 2 ) L 3 (x) = (L 1 L 2 )(L 3 (x)) = L 1 (L 2 (L 3 (x))) 64
Also gilt auch für drei Matrizen A 1, A 2, A 3 das Assoziativitätsgesetz A 1 (A 2 A 3 ) = (A 1 A 2 )A 3 vorausgesetzt man darf hier multiplizieren (dh Spaltenzahl von A 1 ist Zeilenzahl von A 2 und Spaltenzahl von A 2 ist Zeilenzahl von A 3 ) 65
Der Fall m = n Ist L : R n R n bijektiv, so existiert die Umkehrabbildung L 1 : R n R n Gehört zu L die Matrix A, so wir die zu L 1 gehörige Matrix mit A 1 bezeichnet Sie heißt die Inverse von A und erfüllt die Gleichung mit der n n-einheitsmatrix E AA 1 = A 1 A = E Beispiel ( ) 1 2 5 = 1 3 ( ) 3 5, denn 1 2 ( ) ( 2 5 3 5 1 3 1 2 ) = ( ) 1 0 0 1 66
Man beachte: Nicht jede n n-matrix A besitzt eine inverse Matrix (da nicht jede lineare Abbildung L : R n R n bijektiv ist) Man beachte weiter: Für n n-matrizen A 1, A 2 kann man sowohl das Produkt A 1 A 2 wie A 2 A 1 bilden Dann kann aber durchaus gelten! A 1 A 2 A 2 A 1 Die Multiplikation von Matrizen ist nicht kommutativ 67
Zurück zu linearen Gleichungssystemen Das Gleichungsystem a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m können wir nun abgekürzt schreiben als Ax = b mit der Matrix A und den Spaltenvektoren x, b 68
Der Matrix A können wir die lineare Abbildung zuordnen L(x) = Ax Die Lösungen des Gleichungssystems Ax = 0 sind genau die Elemente aus dem Nullraum N von L Ein solches Gleichungssystem heißt homogen Das Gleichungssystem Ax = b können wir genau dann lösen, wenn b im Bildraum R von L liegt Im Fall b 0 heißt das Gleichungssystem inhomogen 69
Noch ein Beispiel: Der Hamming-Code An vier Bits abcd (jedes Bit entweder gleich 0 oder 1) werden beim Hamming-Code zum Zweck der Fehlererkennung drei Prüfbits xyz angehängt Die Prüfbits bestimmen sich nach der Dreikreis-Regel : x In jedem Kreis ist die Summe gerade a + c + d + x = gerade y d a b c z a + b + d + y = gerade a + b + c + z = gerade 70
Wenn dann eines der sieben Bits abcdxyz falsch übertragen wird, lässt sich das korrigieren: Man bildet die Summen a + c + d + x, a + b + d + y, a + b + c + z Sind alle drei Summen ungerade, so kommt (bei einem Übertragungsfehler) nur a in Frage, man korrigiert also a Sind nur die Summen a + c + d + x, a + b + d + y ungerade, so wird analog d korrigiert Ist nur eine Summe ungerade, so wird das entsprechende Prüfbit korrigiert usw 71
Algebraisierung des Codes: Wir machen die Menge {0, 1} zum Rechenbereich, durch + 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 Die üblichen Rechenregeln sind alle erfüllt Man schreibt für diesen Rechenbereich Z 2 oder F 2 Motivation: Die Summe zweier gerader Zahlen ist gerade, wie auch die Summe zweier ungerader Zahlen Die Summe von gerade und ungerade ist ungerade Dann steht 0 für gerade und 1 für ungerade 72
Dann gehen die Kreisregeln über in das Gleichungssystem a + c + d + x = 0 a + b + d + y = 0 a + b + c + z = 0 In Matrixschreibweise: 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 a b c d x y z = 0 0 0 Die Matrix heißt Hammingmatrix oder Kontrollmatrix des Hamming- Codes und wird mit H bezeichnet 73
Wegen x + x = 0 löst sich die Gleichung a + c + d + x = 0 durch Addition von x rechts und links auf zu a + c + d = x, also x = a + c + d y = a + b + d z = a + b + c 74
Man kann nun auch die Vektorräume {0, 1} n = {(x 1,, x n ) T x i = 0 oder 1} betrachten, bestehend aus den endlich vielen 01-Folgen der Länge n Der Skalarenbereich sind nun nicht mehr die reellen Zahlen, sondern Z 2 Man kann die neuen Vektoren wieder (komponentenweise) addieren und mit den Skalaren aus Z 2 multiplizieren 75
Der Kodierungsvorschrift abcd abcdxyz entspricht eine lineare Abbildung L : {0, 1} 4 {0, 1} 7 ausgedrückt mit einer Matrix als a b c d x y z = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 a b c d Den Hamming-Code nennt man deswegen einen linearen Code 76
Bemerkung: Die Rechenbereiche R, C und Z 2 sind Beispiele für Körper Sie sind durch folgende Eigenschaften charakterisiert: 1 Man kann die Elemente des Körpers addieren und multiplizieren Dabei gelten die aus den reellen Zahlen bekannten Rechenregeln 2 Es gibt zwei verschiedene Elemente 0 und 1, wieder mit den bekannten Eigenschaften 3 Jedes Element x 0 besitzt ein inverses Element y, charakterisiert durch die Gleichung xy = 1 77
Der Skalarenbereich eines Vektorraumes braucht nicht die reellen Zahlen sein, man kann dazu auch andere Körper K benutzen 78