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6 Determinanten Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 66 6 Determinanten 6.1 Symmetrische Gruppe Definition: Eine bijektive Abbildung von einer Menge X auf sich selbst heisst eine Permutation von X. Satz-Definition: Die Menge aller Permutationen der Menge {1,...,n} zusammen mit der Komposition von Abbildungen und der identischen Abbildung id als neutrales Element ist eine Gruppe, genannt die symmetrische Gruppe vom Grad n. Elemente von S n bezeichnet man üblicherweise mit kleinen griechischen Buchstaben und schreibt ihre Operation klammernlos in der Form σ : i σi. Satz: Es gilt S n = n!. Definition: Ein Paar (i, j) mit 1 i<j n und σi > σj heisst ein Fehlstand von σ. Die Zahl sgn(σ) := ( 1 ) Anzahl Fehlstände von σ heisst das Signum oder die Signatur oder das Vorzeichen von σ. Eine Permutation mit sgn(σ) = 1 heisst gerade, eine mit sgn(σ) = 1 heisst ungerade. Beispiel: Eine Permutation, die zwei verschiedene Ziffern vertauscht und alle übrigen Ziffern festlässt, heisst Transposition. Jede Transposition hat Signum 1. Beispiel: Eine Permutation, die k verschiedene Ziffern zyklisch vertauscht und alle übrigen Ziffern festlässt, hat Signum ( 1) k 1. Lemma: Für jedes σ S n gilt (σj σi) = sgn(σ) Satz: Für alle σ, τ S n gilt: sgn(id) = 1 (j i). sgn(σ τ) = sgn(σ) sgn(τ) sgn(σ 1 )= sgn(σ) Das bedeutet, dass die Abbildung sgn: S n {±1} ein Gruppenhomomorphismus ist. Definition: Für jedes σ S n betrachte die n n-matrix P σ := ( δ i,σj )1 i,j n. Satz: Die Matrix P σ ist eine Permutationsmatrix. Umgekehrt ist jede n n-permutationsmatrix gleich P σ für genau ein σ S n. Ausserdem gilt für alle σ, τ S n P στ = P σ P τ. Das bedeutet, dass σ P σ einen Gruppenisomorphismus von S n auf die Gruppe aller n n-permutationsmatrizen induziert.

6 Determinanten Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 67 6.2 Konstruktion und Grundeigenschaften In diesem Kapitel rechnen wir in einem beliebigen kommutativen unitären Ring R. Definition: Die Determinante einer n n-matrix A = ( a ij )1 i,j n ist det(a) := σ S n sgn(σ) Beispiel: Explizite Formeln für n =0, 1, 2, 3. n a i,σi. Satz: Die Determinante ist eine lineare Abbildung jeder einzelnen Zeile, das heisst: (a) Stimmen A, A, A ausserhalb der i-ten Zeile überein, und ist die i-te Zeile von A die Summe der i-ten Zeilen von A und A, so gilt det(a )=det(a)+det(a ). (b) Entsteht A aus A durch Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar λ R, so gilt det(a )=λ det(a). Dieselben Aussagen gelten für Spalten anstelle von Zeilen. Satz: Es gilt det(a T )=det(a). Satz: Für jede Permutation σ S n gilt det(p σ )=sgn(σ). Satz: Für jede Blockdreiecksmatrix der Form A = A B O A oder A O B A mit quadratischen Matrizen A und A und der jeweiligen Nullmatrix O gilt det(a ) det(a ). Satz: Für jede obere oder untere Dreiecksmatrix A = ( a ij )1 i,j n gilt n a ii. Folge: Insbesondere gilt det(i n )=1. Satz: Für je zwei n n-matrizen A und B gilt det(ab) =det(a) det(b).

6 Determinanten Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 68 6.3 Berechnung der Determinante Satz: Die Determinante verhält sich unter elementaren Zeilenoperationen wie folgt: Entsteht A aus A durch... (a) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen, so gilt det(a )=det(a). (b) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar λ R, so gilt det(a )=λ det(a). (c) Vertauschen zweier Zeilen, so gilt det(a )= det(a). Die entsprechenden Aussagen gelten für elementare Spaltenoperationen. Über einem Körper lässt sich die Determinante daher mit Gauss-Elimination berechnen. Beispiel: Ist eine Zeile oder Spalte von A eine Linearkombination der übrigen, so gilt 0. Beispiel: Für beliebige a 1,...,a n R hat die n n-matrix A := ( ) a j 1 i = 1 i,j n die Vandermonde-Determinante 1 a 1 a 2 1... a n 1 1....... 1 a n a 2 n... a n 1 n (a j a i ).

6 Determinanten Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 69 6.4 Zeilen- und Spaltenentwicklung Konstruktion: Sei A eine n n-matrix mit n > 0. Für jedes Paar von Indizes 1 i, j n sei A ij diejenige (n 1) (n 1)-Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus A entsteht. Satz: Für jedes 1 i n gilt Für jedes 1 j n gilt n ( 1) i+j a ij det(a ij ). j=1 n ( 1) i+j a ij det(a ij ). Definition: Die Adjunkte von A ist die Matrix à := ( ( 1) i+j det(a ji ) ) 1 i,j n. Satz: Es gilt A à = à A = det(a) I n. Satz: Eine quadratische Matrix A über einem Körper ist invertierbar genau dann, wenn det(a) 0 ist. In diesem Fall gilt weiter det(a 1 )= det(a) 1 A 1 = det(a) 1 Ã. Beispiel: Für jede invertierbare 2 2-Matrix gilt ( ) 1 a b = c d 1 ad bc und ( d b c a ).

6 Determinanten Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 70 6.5 Ähnlichkeit und Determinante eines Endomorphismus Sei K ein Körper. Definition: Zwei n n-matrizen A und B über K heissen ähnlich oder zueinander konjugiert, wenn eine invertierbare n n-matrix U über K existiert mit B = UAU 1. Satz: Dies ist eine Äquivalenzrelation. Satz: Ähnliche Matrizen haben dieselbe Determinante. Satz: Sei f ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums V.Dann sind die Darstellungsmatrizen M B,B (f) bezüglich beliebiger geordneter Basen B von V zueinander ähnlich. Insbesondere ist det(m B,B (f)) unabhängig von B. Definition: Das Element det(f) := det M B,B (f) K heisst die Determinante von f. Satz: Für alle Endomorphismen f und g eines endlich-dimensionalen K-VektorraumsV gilt: (a) det(id V )=1. (b) det(g f) =det(g) det(f). (c) Die Abbildung f ist ein Automorphismus genau dann, wenn det(f) 0 ist. (d) Für jeden Automorphismus f gilt det(f 1 )=det(f) 1. (e) Für jeden Isomorphismus h: V W gilt det(h f h 1 )=det(f).