1 Nachklausur zu Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung AI 2 SS 2015, 22.04.2015 Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens Name: Vorname: Matrikelnummer: Die Klausur besteht aus 21 Aufgaben. Es sind maximal 131 Punkte (91 + 40) zu erreichen. Teilnehmer des Studienganges Medizinische Informatik bearbeiten ausschlieÿlich den Analysisteil (Aufgaben 1-14) Es sind alle Hilfsmittel zur selbständigen Bearbeitung erlaubt. Sie werden zeitlich nicht alle Aufgaben bearbeiten können. Konzentrieren Sie sich deshalb auf diejenigen Aufgaben, die Ihnen liegen. Markieren Sie bitte die Aufgaben, die Sie bearbeitet haben. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Punkte 5 4 4 13 3 8 3 8 7 6 5 6 11 8 Aufgabe 15 16 17 18 19 20 21 Punkte 3 7 4 7 3 8 8
2 1. Teil Analysis Basics Aufgabe 1: (5 Punkte) Frage (oen zu beantworten): auf dem Rechner lassen sich nur rationale Zahlen darstellen (und auch nur sehr wenige), warum ist es trotzdem für den Informatiker wichtig, sich mit den irrationalen Zahlen und ihren Eigenschaften auseinanderzusetzen? Aufgabe 2: (4 Punkte) Seien a, b positive reelle Zahlen. Das arithmetische Mittel dieser Zahlen ist deniert durch (a + b)/2, das geometrische durch a b. Zeigen Sie, dass das geometrische Mittel stets kleiner gleich dem arithmentischen Mittel ist. Wann ist das geometrische Mittel genau gleich dem arithmetischen Mittel? Unendliche Folgen Aufgabe 3: (4 Punkte) Richtig oder falsch: Eine monotone Folge ist entweder unbeschränkt oder sie konvergiert und eine andere Alternative gibt es nicht. Gewertet werden nur Antworten mit einer korrekten Begründung. Aufgabe 4: (13 Punkte) Wie lautet die Bernoullische Ungleichung? Beweisen Sie mit Hilfe der Bernoullische Ungleichung, dass die Folge (a n ) mit a n = x n mit x > 1 nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass (a n ) monoton wachsend ist (für x > 1). Zeigen Sie damit, dass (1/a n ) monoton fallend ist. Begründen Sie, dass (1/a n ) beschränkt ist. Was können Sie nun folgern? Warum muss (1/a n ) notwendig eine Nullfolge sein? Können Sie auch ohne Umweg direkt zeigen, dass (a n ) mit a n = x n mit 0 < x < 1 gegen 0 konvergiert?
3 Aufgabe 5: (3 Punkte) Wie Sie bereits wissen (hopefully, aber jetzt kriegen Sie es ja wieder gesagt) konvergiert (1 + 1/n) n für wachsendes n gegen e. Frage: Gegen welche Zahl konvergiert die Folge (1 + x/n) n für beliebiges x? Aufgabe 6: (8 Punkte) Konvergieren die folgenden Folgen? Und wenn ja, gegen welche Grenzwerte? a) a n = n/(n + 1) b) a n = (n 2 1)/(n 3 + 3n). ( ) n n + 1 c) a n = n + 2 ( (Hinweis zu c): n+1 n+2 = Muster zu erkennen.) n+2 n+1 ) 1 = ( 1 + 1 n+1) 1 und versuchen Sie ein bekanntes Aufgabe 7: (3 Punkte) Betrachten Sie eine Folge (a n ) endlicher Dezimalbrüche, bei der jeweils am Ende eine Dezimalzier angefügt wird. Also a 1 = a, d 1 a 2 = a, d 1 d 2 a 3 = a, d 1 d 2 d 3 Warum konvergiert jede solche Folge? Unendliche Reihen Aufgabe 8: (8 Punkte) Die sog. PartitionsFunktion eines linearen Oszillators in der Physik ergibt sich zu Q = e ħω(n+1/2)/kt. n=0 Wir brauchen hier nur zu wissen, dass ħ, ω, k, T für uns positive konstante reelle Zahlen sind. Aufgabe: Berechnen Sie den Grenzwert der unendlichen Reihe, d.h. berechnen Sie Q. Hinweis: Erkennen Sie in Q das Muster einer bekannten konvergenten Reihe, die Sie aus Q nach Ausklammern des gemeinsamen Faktors e ħω/2kt aus den einzelnen Summanden extrahieren können. (Wenden Sie also die Regeln der Bruchrechnung und Potenzrechnung an.)
4 Aufgabe 9: (7 Punkte) Analysieren Sie die Konvergenz oder Divergenz der folgenden Reihen: a) n=0 n2 2 n b) n=0 c) n=0 1 (a > 0) 1 + a n e n n! Aufgabe 10: (6 Punkte) Berechnen Sie die Taylorentwicklung der Funktion x(1 + e x ) um den Nullpunkt bis zur 3. Näherung. Grenzwerte Aufgabe 11: (5 Punkte) Existiert der Limes 1 cos x lim? x 0 x Begründen Sie Ihre Antwort. (Es gibt mehrere unterschiedliche gute Begründungen.)
5 Dierential- und Integralrechnung Aufgabe 12: (6 Punkte) Zeigen Sie mit dem Mittelwertsatz der Dierenzialrechnung, dass die Exponentialfunktion exp(x) eine streng monoton wachsende Funktion ist. Aufgabe 13: (11 Punkte) Bilden Sie die Ableitung folgender Funktionen: a) f(x) = x 8 + 5x 3 6 b) f(x) = x x + 1 c) f(x) = x 7 d) f(x) = sin(x) cos 2 (x) e) f(x) = sin(x) cos 2 (x) Aufgabe 14: (8 Punkte) Bilden Sie die Stammfunktionen folgender Funktionen: a) cos(x)dx b) x 3 + 2x 2 x + 8dx x c) x 2 a dx cos x d) sin x dx e) x log(x)dx (Nicht nur das Ergebnis aus der Formelsammlung ist hier gefragt, sondern die Herleitung ;-), notfalls also die Ableitung des Ergebnisses.)
6 2. Teil Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Ereignisse Aufgabe 15: (3 Punkte) Wie wahrscheinlich wäre ein 6-er im Lotto, wenn auch die Reihenfolge der gezogenen Zahlen berücksichtigt würde? Aufgabe 16: (7 Punkte) Es seien 20 Personen in einem Raum. Wie wahrscheinlich ist es, dass (mindestens) 2 unter ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben? Können Sie eine allgemeine Formel für den Fall angeben, dass wir es mit n Personen zu tun haben? Was passiert für n? Aufgabe 17: (4 Punkte) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Würfeln mit 3 Würfeln mehr als 12 Augen erhält? Aufgabe 18 (7 Punkte) Um mediale Begabungen herauszunden, stellt eine okultistische Gesellschaft einer Versammlung von 500 Menschen die Aufgabe, das Ergebnis eines Versuches zu erraten. Hinter einem Wandschirm wird eine Münze 10mal geworfen. Das Versuchsergebnis (die Reigenfolge von Kopf oder Zahl) soll von den Zuschauern geraten werden. Als medial begabt gilt, wer höchstens eines Fehler in der Vorhersage macht. Was ist von diesem parapsychologischen Versuch zu halten? Hinweis: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zuschauer weniger als 9 Richtige hat und dann berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle weniger als 9 Richtige haben. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass mindestens einer mindestens 9 Richtige hat also höchstens einen Fehler in der Vorhersage gemacht hat?
7 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 19: (3 Punkte) Herr X habe drei Kinder. Es ist bekannt, dass eins ein Junge ist. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Kinder Jungen sind? Aufgabe 20: (8 Punkte) Gegeben seien 3 Urnen: Die erste Urne enthält 5 rote und 6 weiÿe Kugeln. Die zweite Urne enthält 3 rote und 1 weiÿe Kugel. Die dritte Urne enthält 2 rote und 4 weiÿe Kugeln. Aus einer zufällig ausgewählten Urne wird eine Kugel zufällig gezogen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel aus der ersten Urne gezogen wurde, wenn sie rot ist? Hinweis: Benutzen Sie die Bayessche Formel. Statistische Analysen Aufgabe 21: (8 Punkte) Es ist nicht ungewöhnlich, dass beim Werfen mit 10 Münzen 3mal Kopf und 7mal Zahl fällt. Herr X schlieÿt daraus, dass es also auch nicht ungewöhnlich sein dürfe, wenn beim Werfen mit 10000 Münzen 3000mal Kopf und 7000mal Zahl falle. Schlieÿlich verhalte sich 3:10 wie 3000:10000. Was sagen Sie dazu? Hinweis: Argumentieren Sie in beiden Fällen mit der jeweiligen Streuung vom Mittelwert (berechnen Sie diese).