Wahrscheilichkeit & Statistik created by Versio: 3. Jui 005 www.matheachhilfe.ch ifo@matheachhilfe.ch 079 703 7 08 Mege als Sprache der Wahrscheilichkeitsrechug, Begriffe, Grudregel Ereigisraum: Ω Ω Mege aller mögliche Ergebisse eies Zufallseperimets Ereigis:, B, C,... Ereigisse umfasse verschiedee Ergebisse aus dem Wahrscheilichkeitsraum. Ereigisse sid Teilmege vom Ereigisraum Ω: Ω. Wahrscheilichkeit: P ( P ( [0, 1] (Wahrscheilichkeite liege zwische 0 ud 100% P ( 0 ( ist das umögliche Ereigis P (Ω 1 (Ω ist das sichere Ereigis Gegeereigis: Das Gegeereigis umfasst alle Ergebisse, die icht i ethalte sid. Es gilt: P ( 1 P ( zwei Ereigisse, B: B B umfasst alle Ergebisse, die i, i B oder i beide ethalte sid ( oder B. Es gilt: B für Ereigisse ohe gemeisame Ergebisse ( B : P ( B P ( + P (B für Ereigisse mit gemeisame Ergebisse ( B : P ( B P ( + P (B P ( B B B B umfasst alle Ergebisse, die i ud i B gleichzeitig vorkomme ( ud B. Es gilt: für uabhägige Ereigisse: P ( B P ( P (B für abhägige Ereigisse: P ( B P ( P (B Bedigte Wahrsch keit, uabhägige Ereigisse: P ( B Die bedigte Wahrscheilickeit gibt die Wahrscheilickeit für ei Ereigis a, we ma scho weiss, dass das Ereigis B eigetrete ist. P ( B P ( B P (B Zwei Ereigisse, B sid uabhägig falls: P ( B P ( absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit: H ( h ( Wird ei Eperimet mal hitereiader durchgeführt, da bezeichet ma mit der absolute Häufigkeit H ( die zahl Eperimete, bei dee das Ereigis eigetrete ist. Die relative Häufigkeit h ( gibt de Prozetuale teil der Eperimete a, bei welche das Ereigis eigetrete ist. Wird ei Eperimet sehr oft wiederholt, ähert sich die relative Häufigkeit h ( a die Wahrscheilichkeit P ( a. H ( h ( P ( (für geüged grosse
Baumdiagramme Bei mehrstufige Eperimete ka ist es oft hilfreich, ei Baumdiagramm zu zeiche. Jeder st etspricht eier mögliche Kombiatio der Ereigisse der verschiedee Stufe. Für die Berechug der Wahrscheilichkeite gilt: Stufe 1 p 1 p B Etlag eies stes müsse die Wahrscheilichkeite multipliziert werde Die Wahrscheilichkeite mehrer Äste müsse addiert werde. Baumdiagramme sid vor allem sivoll bei zwei- oder dreistufige Eperimete. q 1 q r 1 r Stufe C D C D, C, D B, C B, D Eizele Äste: P (, C p 1 q 1 P (, D p 1 q Mehrere Äste: P (, C oder B, D p 1 q 1 + p r Bedigte Wahrscheilichkeit, Satz vo Bayes, Totale Wahrscheilichkeit, Uabhägigkeit Bei der bedigte Wahrscheilicheit iteressiert us die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses, we wir scho wisse, dass B eigetrete ist (z.b. wie gross die Wahrscheilichkeit für Farbeblidheit ist, we ma weiss, dass die Perso weiblich ist. Diese Bedigte Wahrscheilichkeit wird mit P ( B bezeichet ud es gilt: P ( B P ( B P (B Zwei Ereigisse ud B heisse uabhägig, we P ( P ( B gilt. Isbesodere gilt für uabhägige Ereigisse: P ( B P ( P (B Typisches Gegebe: Satz vo Bayes, Totale Wahrscheilichkeit: P ( P ( P (B P ( B P ( B P ( B B B B B B B B B Totale Wahrscheilichkeit: P (B P ( P (B + P ( P ( B Satz vo Bayes: P ( B P ( P (B P ( B P (B P ( P (B + P ( P ( B Eie Krakheit tritt i der Bevölkerug mit eier Wahrscheilichkeit vo % auf: P (K 0.0 Ist eie Perso gesud, liefert der Test zum Nachweis dieser Krakheit i 3% der Fälle fälschlicherweise ei positives Resultat: P ( P K 0.03 Bei eier krake Perso zeigt der Test i 10% der Fälle ei egatives Resultat: P ( P K 0.1 Gesucht: Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Test positiv ist? Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass eie Perso tatsächlich krak ist, we der Test positiv ausgefalle ist? Lösug: P (Test positiv P (P P (K P (P K + P ( K P ( P K 4.74% P (Krak, falls Test positiv P (K P P (K P (P K P (K P (P K + P ( K P ( P K 37.97%
Laplace Eperimete, Kombiatorik We alle mögliche Ergebisse eies Zufalleperimets die gleiche Wahrscheilichkeit habe, et ma dieses Zufalleperimet ei Laplace Eprimet. I solche Fälle lasse sich die Wahrscheilichkeite vo Ereigisse besoders eifach bereche: P ( zahl güstige Ergebisse zahl mögliche Ergebiss Ω g m Wobei mit g die zahl der güstige Ergebisse ud mit m Ω die zahl der mögliche Ereigisse bezeichet werde. Das bzähle vo solche zahle gehört zum Thema der Kombiatorik. Kombiatorik Permutatioe verschiedee Elemete Elemete, vo dee je k 1, k,... idetisch sid zahl Möglichkeite, Elemete azuorde! Es gibt 4! 4 Möglichkeite, die Buchstabe, B, C, D azuorde.! k 1! k! 6! Es gibt 3!! 70 6 60 Möglichkeite, die Buchstabe,,, B, B, C, D azuorde. uswähle ohe Zurücklege zahl Möglichkeite, k Elemete aus auswähle ohe Zurücklege (d.h. ohe Wiederholuge ohe Berücksichtigug der Reihefolge ( k! k!( k! ( 1( k+1 k! Es gibt ( 45 6 45444344140 65431 8 145 060 Möglichkeite, 6 Zahle aus 45 auszuwähle (Schweizer Zahlelotto. mit Berücksichtigug der Reihefolge! ( k! ( 1 ( k + 1 Es gibt 0! 17! 0 19 18 6 840 verschiedee Möglichkeite für die erste 3 Plätze bei eiem Ree mit 0 Teilehmer. uswähle mit Zurücklege zahl Möglichkeite, k Elemete aus auswähle mit Zurücklege (d.h. mit Wiederholuge ohe Berücksichtigug der Reihefolge ( + k 1 ( + k 1! k k! ( 1! Bei eiem Quiz bekommt i jeder der 10 Rude eier der 4 Teilehmer eie Pukt. Es gibt da ( ( 4 + 10 1 13 86 10 10 mögliche Pukte-Edstäde. mit Berücksichtigug der Reihefolge k Es gibt 6 4 456 976 Möglichkeite, mit de Buchstabe, B,..., Z ei Passwort mit 4 Buchstabe zu bilde. Produktregel: Ka ei Eperimet i ei mehrstufiges Eperimet zerlegt werde, so ka ma die zahl Möglichkeite für ei Ereigis bereche, idem ma die zahl Möglichkeite der Teilereigisse miteiader multipliziert. Wie viele Möglichkeite gibt es, beim Schweizer Zahlelotto (6 ( aus 45 3 Richtige zu ziehe? 6 zahl Möglichkeite, aus de 6 Richtige 3 auszuwähle: ( 3 39 zahl Möglichkeite, 39 Falsche 3 auszuwähle: ( ( 3 6 39 zahl Möglichkeite Total für 3 Richtige: 3 3
Beroulli-Eperimet mehrmaliges Wiederhole eies Eperimets mit usgäge K K Z Z K K Ei idealer Würfel wird 10 mal geworfe. Wahrscheilichkeit für 7 Sechser: P (7 Treffer zahl Eperimete (zahl Müzwürfe k zahl Treffer (zahl Kopf p Trefferwahrscheilichkeit (z.b. ufaire Müze p 0.6 q 1 p Nietewahrscheilichkeit ( P (geau k Treffer p k q k k ( 10 7 ( 7 1 6 ( 3 5 0.0005 0.05% 6 Wahrscheil keit für weiger als 9 Sechser: P (weiger als 9 Treffer 1 P (9 oder 10 Treffer ( (10 ( 9 ( 1 ( ( 10 ( 0 1 5 10 1 5 1 + 9 6 6 10 6 6 1 (0.00000087 + 0.000000017 0.999999157 99.9999157% Ureeperimete Ziehe vo Kugel mit oder ohe zurücklege Reihefolge spielt keie Rolle N R + B + G Kugel total R rote Kugel B blaue Kugel G grüe Kugel r + b + g gezogee Kugel r rote gezogee Kugel b blaue gezogee Kugel g grüe gezogee Kugel Wahrscheilichkeit p um geau r rote, b blaue ud g grüe Kugel zu ziehe: mit Zurücklege: p ( r ( r b ( r b g p rr p bb p g g wobei: p r R N, p b B N, p g G N ohe Zurücklege: p Die Formel gilt aalog auch für eie adere zahl Kugelfarbe. Für zwei verschiedee Farbe etspricht sie dem Beroullieperimet. ( R ( r B ( b G r ( N Die Formel gilt aalog auch für eie adere zahl Kugelfarbe. Mit dieser Formel ka ma auch die Wahrscheilichkeite beim Lotto aus N bereche. z.b. Wahrscheilichkeit für 4 Richtige beim Schweizerzahlelotto 6 aus 45: ( 6 ( P (4 Richtige 4 39 ( 45 0.1635% 6
Zufallsvariable Wird jedem Ergebis eies Eperimets eie Zahl zugeordet, da et ma diese Zuordug eie Zufallsvariable oder eie Zufallsgrösse (übliche Symbole für Zufallsgrösse: X, Y, Z. Diskrete Zufallsvariable Stetige Zufallsgrösse Zufallsvariable X : Ω { 1,, 3,... } (abzälbar Beispiele: X ugesumme beim Würfel X zahl Treffer eier Beruoullikette X : Ω R (überabzählbar Beispiele: X Zeitpukt eies Ufalls X Oberfläche eies Regetropfes Wahrscheilichkeit Wahrscheilichkeitsverteilug: ls Formel: P (X i... Dichte: f ( Verteilugsfuktio: ls Tabelle: i 1 P (X i P (X 1 P (X... F ( P (X Wahrscheilichkeit: f (t dt P ( 1 X 1 f (t dt F ( F ( 1 Grafische Darstellug P (X i f ( i a F (a P (X a Erwartugswert E (X µ i i P (X i E (X µ t f (t dt E (ax + b a E (X + b E (X + Y E (X + E (Y Falls X ud Y uabhägig: E (X Y E (X E (Y Variaz V (X i ( i µ P (X i V (X (t µ f (t dt V (X E ( X µ V (ax + b { a V (X V (X + V (Y für X, Y uabh. V (X + Y V (X + V (Y + [E (X Y E (X E (Y ] allgemei Stadardabweichug V (X V (X Spezielle Verteiluge Ugleichug vo Tschebycheff Gleichverteilug Biomialverteilug Poissoverteilug Hypergeometrische Verteilug Geometrische Verteilug Gleichverteilug Normalverteilug Epoetialverteilug P ( X µ c c oder P ( X µ c 1 c Isbesodere: Der Wert eier Zufallsvariable liegt zu midestes 75% i [µ, µ + ] Der Wert eier Zufallsvariable liegt zu midestes 89% i [µ 3, µ + 3]
Diskrete Verteiluge Gleichverteilug: X G( : Ω {1,,..., } p P ( X G( k 1 µ E ( X G( + 1 wedug: V ( X G( ( 1 ( + 1 1 ud ( 1 ( + 1 Beim eimalige Würfel mit eiem ideale Würfel ist die ugesumme gleichverteilt zum Parameter 6. 1 Biomialverteilug: X B(,p : Ω {0, 1,,..., } P ( X B(,p k ( p k (1 p k k µ E ( X B(,p p V ( X B(,p p (1 p ud p (1 p wedug: pproimatio durch die Poissoverteilug: pproimatio durch die Normalverteilug: Die zahl Treffer bei eier Beroullikette der Läge mit Erfolgswahrscheilickkeit p ist Biomialverteilt mit de Parameter ud p. Für sehr gross ud p sehr klei (Faustformel: p 0.05 ud 50 ka die Biomialverteilug durch die Poissoverteilug zum Parameter µ p ageährt werde: P ( X B(,p k µk k! e µ Für p (1 p > 9 ka die Wahrscheilichkeit P ( k 1 X B(,p k mit Hilfe der Stadardormalverteilug ageähert werde: P ( X B(,p k ( k µ Φ P ( X B(,p k ( k µ 1 Φ P ( ( ( k µ k1 µ k 1 X B(,p k Φ Φ ( P X B(,p µ c ( c Φ 1 ( P X B(,p µ c ( c Φ Poissoverteilug: X P(λ : Ω {0, 1,,... } P ( X P(λ k λk k! e λ µ E ( X P(λ λ V ( X P(λ λ ud λ wedug 1: wedug : Die Häufigkeit eies völlig zufällig eitretede Ereigis mit Erwartugswert µ ist Poissoverteilt zum Parameter µ. uf eiem Strassestück ereige sich im Jahr im Durchschitt 10 Ufälle. We X die Zufallsgrösse ist, welche die zahl Ufälle pro Tag agibt, da ist X Poissoverteilt zum Parameter λ 10 360 1 36 ud es gilt: P (X k ( 36 1 k k! e 1 36 äherug eier Biomialverteilug (siehe Biomialverteilug.
Stetige Verteiluge Gleichverteilug: X G([a,b] : Ω [a, b] { 1 f ( b a für [a, b] 0 sost F ( 1 b a µ E ( X G([a,b] a + b V ( X G([a,b] (b a 0 für < a a für [a, b] b a 1 für > b 1 ud b a 1 1 b a 1 F ( f ( F ( F ( P ( X G([a,b] a b a b wedug: Möchte ma mit eiem Zug wegfahre, welcher im Halbstudetakt fährt ud ma zu eiem völlig zufällige Zeitpukt zum Bahhof geht, da ist die Wartezeit i Miute eie stetige gleichverteilte Zuvallsvariable für das Itervall [0, 30]. Normalverteilug: X N(µ, : Ω R Stadardormalverteilug (µ 0, 1: ϕ ( 1 π e 1 Φ ( 1 π e 1 d Die Verteilugsfuktio Φ ka ur äherugsweise ausgewertet werde, deshalb beutzt ma etweder eie Tabelle (siehe ächste Seite oder eie Tascherecher. ϕ ( Φ ( P ( X N(0,1 Φ ( 1 Φ ( µ E ( X N(0,1 0 V ( X N(0,1 1 ud 1 llgemeie Normalverteilug (µ, : wedug 1: wedug : P ( X N(µ, ( µ Φ P ( X N(µ, ( µ 1 Φ P ( ( ( µ 1 µ 1 X N(µ, Φ Φ ( P X N(µ, µ c ( c Φ 1 ( P X N(µ, µ c ( c Φ Die Normalverteilug kommt i der Prais recht häufig zumidest Näherugsweise vor. Bei eier Produktio müsse Teile vo eier bestimmte Läge gefertigt werde. Die tatsächliche Läge weiche jedoch immer ei weig vo dieser Läge ab. Die bweichug vo der geforderte Läge ist ormalverteilt mit µ 0 ud eiem vom Produktiosvorgag abhägede. äherug der Biomialverteilug (siehe Biomialverteilug
Die Verteilugsfuktio Φ für die Stadardormalvertilug Positive Werte: Φ ( ϕ ( Φ ( Bsp: Φ (1.5 0.8944 Negative Werte: Φ ( 1 Φ ( ϕ ( Φ ( 1 Φ ( Bsp: Φ ( 1.5 1 Φ (1.5 1 0.8944 0 1 3 4 5 6 7 8 9 0.0 5000 5040 5080 510 5160 5199 539 579 5319 5359 0.1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 0. 5793 583 5871 5910 5948 5987 606 6064 6103 6141 0.3 6179 617 655 693 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0.4 6554 6591 668 6664 6700 6736 677 6808 6844 6879 0.5 6915 6950 6985 7019 7054 7088 713 7157 7190 74 0.6 757 791 734 7357 7389 74 7454 7486 7517 7549 0.7 7580 7611 764 7673 7703 7734 7764 7794 783 785 0.8 7881 7910 7939 7967 7995 803 8051 8078 8106 8133 0.9 8159 8186 81 838 864 889 8315 8340 8365 8389 1.0 8413 8438 8461 8485 8508 8531 8554 8577 8599 861 1.1 8643 8665 8686 8708 879 8749 8770 8790 8810 8830 1. 8849 8869 8888 8907 895 8944 896 8980 8997 9015 1.3 903 9049 9066 908 9099 9115 9131 9147 916 9177 1.4 919 907 9 936 951 965 979 99 9306 9319 1.5 933 9345 9357 9370 938 9394 9406 9418 949 9441 1.6 945 9463 9474 9484 9495 9505 9515 955 9535 9545 1.7 9554 9564 9573 958 9591 9599 9608 9616 965 9633 1.8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 1.9 9713 9719 976 973 9738 9744 9750 9756 9761 9767.0 977 9778 9783 9788 9793 9798 9803 9808 981 9817.1 981 986 9830 9834 9838 984 9846 9850 9854 9857. 9861 9864 9868 9871 9875 9878 9881 9884 9887 9890.3 9893 9896 9898 9901 9904 9906 9909 9911 9913 9916.4 9918 990 99 995 997 999 9931 993 9934 9936.5 9938 9940 9941 9943 9945 9946 9948 9949 9951 995.6 9953 9955 9956 9957 9959 9960 9961 996 9963 9964.7 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 997 9973 9974.8 9974 9975 9976 9977 9977 9978 9979 9979 9980 9981.9 9981 998 998 9983 9984 9984 9985 9985 9986 9986 3.0 9987 9987 9987 9988 9988 9989 9989 9989 9990 9990 3.1 9990 9991 9991 9991 999 999 999 999 9993 9993 3. 9993 9993 9994 9994 9994 9994 9994 9995 9995 9995 3.3 9995 9995 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9997 3.4 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9998 Eiige besodere Werte: 1.816 1.6449 1.9600.363.5758 3.090 3.905 Φ ( 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999 0.9995
Beurteilede Statistik: Grudbegriffe I der Beurteilede Statistik versucht ma, aus de bei mehrmalige Durchführuge eies Zufallseperimetes aufgetretee Ergebisse auf die ubekate, dem Zufallseperimet tatsächlich zugrudeliegede Wahrscheilichkeitsverteilug zu schliesse. Stichprobe: 1,,..., Die Werte 1,,... sid Ergebisse eies mehrmalig durchgeführte Zufallseperimets mit der ubekate Zufallsgrösse X. Stichprobeumfag: zahl der Messuge i eier Stichprobe. Mittelwert: 1 Stichprobevariaz: S S 1 1 i1 i ( i Stichprobemittel: X Das Stichprobemittel X 1 (X 1 + X + + X gibt de Durchschittswert a, we ei Zufallseperimet mit der Zufallsgrösse X mal wiederholt wird. Es gilt: µ X µ X i1 X X bzw. X X µ X schätze: µ X Schätzwert für µ X ist X schätze: X Schätzwert für X ist S Das Stichprobemittel ist für eie grosse Stichprobeumfag ageähert ormalverteilt, uabhägig vo der Verteilug vo X. p schätze: p P ( Schätzwert für p ( ist h ( H( Vertrauesitervall für de ubekate Erwartugswert µ X der Zufallsgrösse X Der ubekate Erwartugswert µ X liegt mit der Sicherheitswahrscheilichkeit γ im Vertrauesitervall [ c γ, + c γ ]. Es gilt: γ P ( ( cγ X µ X c γ Φ 1 bzw. Φ X ( cγ X 1 + γ Damit lässt sich aus eiem gegebee γ der Wert c γ oder umgekehrt bestimme. Falls X icht bekat ist, ka ma de Schätzwert S beutze. Vertrauesitervall für eie ubekate Wahrscheilickkeit p p ( Die ubekate Wahrscheilichkeit p p ( eies Ereigisses liegt mit der Sicherheitswahrscheilichkeit γ im Vertrauesitervall [p 1, p ]. Vorgehe für die Ermittlug der Itervallsgreze p 1, p : 1 Bestimme de Stichprobeumfag, die relative Häufigkeit h h ( ud die Sicherheitsw keit γ. Welcher Wert für c ergibt sich aus Φ (c 1 + γ? 3 Welche Itervallsgreze p 1 ud p ergebe sich aus (h p c p (1 p (ach p auflöse.