Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Seminar zur Methode von Stein Stefan Roth Institut für Stochastik 18. April, 2016 Universität Ulm
Inhalt Wiederholung Gleichmäßige Berry-Essen Schranken Berry-Esseen für beschränkte Zufallsvariablen Berry-Esseen für unabhängige Zufallsvariablen Appendix - Kommutative Paare Literatur
Seite 1 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Wiederholung h H, Z N (0, 1), W Zufallsvariable. Stein-Gleichung: h(w) E h(z ) = f h (w) wf h(w) sup h H E h(w ) E h(z ) = sup h H E[f h (W ) Wf h(w )] Theorem 3.1: Falls es ein δ gibt, so, dass für jede gleichmäßige Lipschitzfunktion h so gilt d W (L(W ), N (0, 1)) := E h(w ) E h(z ) δ h, sup E h(w ) E h(z ) δ h Lip(1) d K (L(W ), N (0, 1)) := sup P(W z) φ(z) 2δ 1/2 z R
Seite 2 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Voraussetzungen und Notation Setting: ξ 1,..., ξ n unabhängige Zufallsvariablen E ξ i = 0, 1 i n n E ξ2 i = 1 Notation: f z := f h für h = 1I (,z], z R W = n ξ i W (i) = W ξ i K i (t) = E [ ( )] ξ i 1I{0 t ξi } 1I {ξi t<0}
Seite 3 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Berry-Esseen für beschränkte Zufallsvariablen Theorem 1: Falls ξ i δ 0, 1 i n, so gilt sup P(W z) φ(z) 3.3 δ 0 z R Bemerkung: Sind X 1,..., X n i.i.d. mit X i C, 1 i n, so folgt aus dem Theorem mit ξ i = (X i µ)/(σ n) sup P(W z) φ(z) 3.3 C + µ z R σ n, wobei µ = E X 1 und σ 2 = Var(X 1 ).
Seite 4 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Zur Erinnerung: E [Wf z (W )] = n n K i (t)dt = n E ξi 2 = 1 t K i (t)dt = 1 2 E ξ i 3 E [ f z(w (i) + t) ] K i (t)dt u, v, w R: (w + u)f z (w + u) (w + v)f z (w + v) ( w + 2π/4)( u + v )
Seite 5 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Beweis der Ungleichung von Folie 4: (w + u)f z (w + u) (w + v)f z (w + v) uf z (w + u) vf z (w + v) + w f z (w + u) f z (w + v) f z (w + u) ( u + v ) + w f z (w + u) f z (w + v) Mit Taylerreihenentwicklung von f z folgt f z (w + u) f z (w + v) = f z(ξ)u f z(η)v f z(ξ) u + f z(η) v Wegen f z (x) 1 und f z(x) 2π/4, x R also (w + u)f z (w + u) (w + v)f z (w + v) ( w + 2π/4)( u + v ).
Seite 6 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Verallgemeinerung von Theorem 1: Es sei W eine (beliebige) reellwertige Zufallsvariable mit E W 1. Falls es Zufallsvariablen R 1, R 2 und M(t) 0 und Konstanten δ 0, δ 1 und δ 2 gibt, die nicht von z abhängen, so dass und t δ 0 M(t)dt = 1, R 1 δ 1, E R 2 δ 2 E [Wf z (W )] = E dann gilt [ t δ 0 f z(w + R 1 + t)m(t)dt sup P(W z) φ(z) 2.1 (δ 0 + δ 1 ) + δ 2 z R ] + E R 2,
Seite 7 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Bemerkung: Es sei nun wieder W = n ξ i. Weiterhin sei I eine Zufallsvariable mit P(I = i) = E ξ 2 i, unabhängig von ξ 1,..., ξ n. Dann gilt: E [Wf z (W )] = n wobei K i (t) = K i (t)/ E ξ 2 i. [ ] E f z(w (i) + t) K i (t)dt [ n ] = E f z(w (i) + t) K i(t) t δ 0 E ξi 2 dt E ξi 2 [ ] = E f z(w (I) + t) K I (t)dt, t δ 0
Seite 8 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Damit gilt also E [Wf z (W )] = E Wähle [ R 1 = W (I) W = ξ I R 2 = 0 M(t) = K I (t) t δ 0 f z(w + W (I) W + t) K I (t)dt Dann folgt mit δ 0 ξ i, 1 i n, δ 2 = 0 und δ 1 = δ 0 sup P(W z) φ(z) 4.2 δ 0 z R ]
Seite 9 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Berry-Esseen für unabhängige Zufallsvariablen Von nun an: E ξ i 3 <, 1 i n (statt ξ i beschränkt) γ = n E ξ i 3 Im Beweis von Theorem 1: n P(W (i) + t z)k i (t)dt φ(z) 3 2 (1+ 2π/4)γ Schlüsselargument: Ersetze P(W (i) + t z) durch P(W z)
Seite 10 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Proposition: Es gilt P(a W (i) b) 2(b a) + (1 + 2)γ für beliebige reelle a < b und jedes 1 i n. Theorem 2: Es gilt sup P(W z) φ(z) 7γ z R Bemerkung: Seien X 1,..., X n i.i.d., E X 1 3 <. Dann gilt mit ξ i := (X i µ)/(σ n) sup z R P(W z) φ(z) 7 E X 1 µ 3 σ 3, n wobei µ = E X 1 und σ 2 = Var(X 1 )
Seite 11 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Beweis von Theorem 2: n P(W (i) + t z)k i (t)dt P(W z) = n n P(W (i) + t z) P(W z) K i (t)dt P(z max{t, ξ i } W (i) z min{t, ξ i })K i (t)dt Nun gilt mit der Proposition P(z max{t, ξ i } W (i) z min{t, ξ i }) [ ] = E P(z max{t, ξ i } W (i) z min{t, ξ i } ξ i ) [ E 2( t + ξi ) + (1 + ] 2)γ
Seite 12 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Damit also n n =(1 + 2)γ + 2 (1 + 2.5 2)γ P(W (i) + t z)k i (t)dt P(W z) [ E 2( t + ξi ) + (1 + ] 2)γ K i (t)dt n ( ) 1 2 E ξ i 3 + E ξ i E ξi 2
Seite 13 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Unter Berücksichtigung von n P(W (i) + t z)k i (t)dt φ(z) 3 2 (1+ 2π/4)γ führt dies zu P(W z) φ(z) [ (1 + 2.5 2) + 3 2 (1 + ] 2π/4) γ 7γ
Seite 14 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Kommutative Paare (Exchangeable pairs) Seien W und W zwei reellwertige Zufallsvariablen auf ein und demselben Wahrscheinlichkeitsraum. Das Paar (W, W ) heißt kommutativ, falls (W, W ) d = (W, W ) Eine Funktion g : R 2 R heißt antisymmetrisch, falls g(x, y) = g(y, x), für alle x, y R. Für ein kommutatives Paar gilt: E g(w, W ) = 0, für jede antisymmetrische Funktion g.
Seite 15 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Im folgenden sei (W, W ) ein kommutatives Paar. Lemma: Falls für ein 0 < λ < 1, so gilt: E(W W ) = (1 λ)w, E W = 0, E(W W ) 2 = 2λ E W 2 Für jede stückweise stetige Funktion f mit f (w) C(1 + w ) ist E[Wf (W )] = 1 2λ E [ (W W )(f (W ) f (W )) ]
Seite 16 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Beweis: Sei g(x, y) = (x y)(f (x) + f (y)). Dann existiert E g(w, W ) und es gilt 0 = E[(W W )(f (W ) + f (W ))] = E[(W W )(f (W ) f (W ))] + 2 E[f (W )(W W )] = E[(W W )(f (W ) f (W ))] + 2 E[f (W ) E[(W W ) W ]] = E[(W W )(f (W ) f (W ))] + 2λ E[Wf (W )]
Seite 17 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Theorem 3: Ist (W, W ) ein kommutatives Paar und E(W W ) = (1 λ)w, so gilt Theorem 3.1 mit δ = 4 E 1 1 [ ] 2λ E (W W ) 2 W + 1 2λ E W W 3 Bemerkung: Es gilt: { E 1 1 [ ] } 2λ E (W W ) 2 W = 1 E W 2
Seite 18 Gleichmäßige Berry-Esseen Schranken Stefan Roth 18. April, 2016 Literatur [1] A.D. Barbour, Louis H. Y. Chen. An Introduction to Stein s Method. Singapore University Press, Singapore, 2005 (pp. 23-39). [2] I. Nourdin, G. Peccati. Normal Approximations with Malliavin Calculus - From Stein s Method to Universality. Cambridge University Press, New York, 2012.