Vorlesung 4: Roter Faden: Bisher: lineare Bewegungen Heute: Kreisbewegung Exp.: Märklin, Drehschemel, Präzession Rad Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1
Kreisbewegung Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotation durch Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung. Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischen Kräfte and kinematische Größen Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung für Rotation, die äquivalent zu F=dp/dt für lineare Bewegung ist) Erwartung: Rotation erzeugt durch Drehmoment M=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p? Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 2
Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 3
Vektornotation Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 4
Vektor der Winkelgeschwindigkeit Will man die Bewegungsebene beliebig angeben, ist es zweckmäßig, einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit als Normalvektor dieser Ebene anzugeben, dessen Betrag ω=v/r ist. Da dieser Vektor senkrecht zu v und r steht, kann man ihn als Vektorprodukt schreiben: v=ω x r ω=1/r 2 (r x v) (da r x v = r x (ω x r)= r 2 ω) ω r v Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 5
Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung Zentripetalkraft=ma= mω 2 r=mv 2 /r Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 6
Zum Mitnehmen Zentripetalkraft=ma=mω 2 r=mv 2 /r ω r v Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 7
Zentripetalkraft am Äquator Die Zentripetalkraft reduziert Gewichtskraft Wo ist Effekt am Größten? Wieviel weniger wiegen Sie dort? Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 8
Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung Komponenten, d.h. Projektionen der Kreisbewegung auf Achsen sind sin und cos Funktionen! Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 9
Zum Mitnehmen aus Kinematik Kinematik=Beschreibung einer Bewegung durch Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit: x(t) v(t)= x(t) a(t)=v(t)=x(t) Jetzt:ϕ(t) ω(t)= ϕ(t) α(t)= ω(t)= ϕ(t) a=konstant; v=v 0 +at; x=x 0 +v 0 t+1/2at 2 α =konstant; ω = ω 0 + α t; ϕ = ϕ 0 + ω 0 t+1/2 α t 2 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 10
Dynamik Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotation durch Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung. Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischen Kräfte and kinematische Größen Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung für Rotation, die äquivalent zu F=dp/dt für lineare Bewegung ist) Erwartung: Rotation erzeugt durch Drehmoment M=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p? Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 11
Drehimpuls Definiere Drehimpuls als L= r x p = r x mv =m (r x v)= mr 2 ω = J ω. J=mr 2 heisst Massenträgheitsmoment. In Worten: Drehimpuls = Trägheitsmoment x Winkelgeschwindigkeit, ähnlich wie p = m v. Es gilt: dl/dt= d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt = v x mv + r x F = r x F = M M oder (D) ist ein Vektor, der Drehmoment genannt wird. Es gilt: M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α ω=1/r 2 (r x v) M=r x F r v r F Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 12
Analogien J=Σm i r i 2 = Massenträgheitsmoment(eng.: mass moment of inertia) L=Jω = Drehimpuls oder Drall(eng.: angular momentum) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 13
Drehimpulserhaltung M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α = mr 2 dω/dt In Worten: Das Drehmoment ist gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses. L=mr 2 ω ist der Betrag des Drehimpulses eines umlaufenden Massenpunktes (=J ω) Satz von der Erhaltung des Drehimpulses: Beim Fehlen äußerer Drehmomente bleibt die Summe der Drehimpulse eines abgeschlossenen Systems konstant. Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 14
Versuch Drehschemel Trägheitsmoment für einen spindeldürren Studenten: m i r 2 0. Gesamtträgheitsmoment dann J=2mr a2 =2.2.0.8 =2.56 kgm 2 Am Anfang: Drehimpuls L=J a ω a Nach Heranziehen der Kugeln: L=J e ω e. Bei Drehimpulserhaltung: ω e =ω a (J a/ J e )=ω a (r a /r e ) 2 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 15
Versuch Drehschemel Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 16
Präzessionsversuch Beobachtung: drehendes Rad fällt nicht, sondern dreht sich in horizontaler Ebene. D R Erklärung: Drehimpuls L hat Tendenz sich Drehmoment M parallel zu richten (wie Impuls p parallel F). Gewichtskraft übt Drehmoment in horizontaler Richtung aus und M=mgD=dL/dt schiebt L in horizontale Richtung! Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 17
Präzessionsfrequenz Ohne Drehung: M=mgx Derzeugt Drehimpuls in horizontaler Richtung, wodurch das Rad sich nach unten bewegt. Die Änderung des Drehimpulses bei einem drehenden Rad dl ändert Gesamtvektor L nach Parallelogramm-Regel (und es gilt auch L will sich in Richtung von M bewegen). Es gilt: M=dL/dt dl=ldϕ Oder: M=Ldϕ/dt Lω P L=mR 2 ω Rad dϕ L dl Oder: Präzessionsfrequenz= ω P =M/L=mgD/(mR 2 ω Rad ) =gd/(r 2 ω Rad ) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 18
Pendel l α F r α Rücktreibende Kraft Fr=mg sin α mg α= mx= ml α Lösung der Diff. Gleichung α=g/lα: α=asin(ωt), da α=aω 2 sin(ωt), oder Aω 2 sin(ωt)=ag/l sin(ωt), oder ω= g/l. Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 19
T r ϕ F r α F=mg g=(0,0,g) Steigung 2π/ g l Methnode um g zu messen Pendel als Drehbewegung Drehmoment M = r x F = dl/dt=d(r x p)/dt Oder -r x mg = d(r x mv)/dt =mrx dv/dt Oder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r) Oder, da a x (b x c)= b (a.c) c (a.b), gilt -r x g = ω r 2 -r (r. ω) = ω r 2 (Scalarprodukt r. ω=0 da r ω(=α) Oder -lgsin ϕ =l 2 ϕ (ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3 /(3!)+ ϕ) Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ : ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω 2 sin(ωt), oder Aω 2 sin(ωt)=ag/l sin(ωt), oder ω= g/l =2π/T. Schwingungsdauer T=2π (l/g) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 20
Zum Mitnehmen ω=1/r 2 (r x v) M=r x F r v r F Bewegungsgleichungen für Translation: F=dp/dt Rotation: M=dL/dt Drehimpuls L=r x p =mr 2 ω=j ω Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 21