4. Funktionen und Relationen

4. Funktionen und Relationen Nikolaus von Oresmes Richard Dedekind (1831-1916) René Descartes 1596-1650 Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 4: Funktionen und Relationen 4.1 Funktionen: Definitionen, Eigenschaften, Umkehrfunktion 4.2 Relationen: Definition, Darstellung, Eigenschaften, Äquivalenzrelation Zusammenfassung Seite 2

Definition 4.1 Seien X und Y sind Mengen. Eine Funktion (Abbildung) f: X Y ist eine Zuordnung, die jedem x X genau ein y Y zuordnet. Schreibweise: f: X Y mit x f(x) oder f(x) = y a) Student Matrikelnummer; Digitalfoto Dateigröße b) f: {1,2,3} {3,4} mit 1 3, 2 4, 3 4. Jedes Element aus der Definitionsmenge kommt genau einmal vor!!! Seite 3 Beispiel 4.1 (keine Funktionen) a) Person Handynummer, nicht jeder ein Handy hat und es Personen mit mehr als einem Handy gibt. b) Person Ehepartner, da nicht jeder verheiratet ist. Wird zur Funktion, wenn man nur verheiratete Personen betrachtet. Seite 4

Darstellung von Funktionen a) durch Wertetabelle: Adressdatenbank, Logarithmentafel etc. b) durch die Funktionsgleichung, z.b. y = f(x) = x 3 +1 c) durch den Funktionsgraphen (für reelle Funktionen): als Menge aller Punkte (x, y) in der Ebene y = 1/x, x 0 Seite 5 Definition 4.2 id M := f: M M mit x x heißt Identität auf M. [f(x)= x] Definition 4.3 Sei M, N, S sind Mengen; f: M N und g: N S sind Funktionen. Seite 6

Definition 4.3 (Fortsetzung) Definiere Komposition ( Hintereinanderausführung ) g f : M S, mit x g(f(x)) g nach f : erst f anwenden, dann g Beispiel 4.2 Sei f: R R, mit x x 2 und g: R R, mit x x+1 Berechne (g f) und (f g): a) (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = (x 2 )+1 b) (f g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1) 2 Seite 7 Beispiel 4.2 (Fortsetzung) a) (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = (x 2 )+1 f(x)=x 2 g(x)=x+1 b) (f g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1) 2!!! (g f)(x) (f g)(x) nicht kommutativ Seite 8

Übung (Tafel): Sei f(x) = sin x, g(x) = 7x 2 und h(x) = x + 22 Berechnen Sie: a) (h g f)(x) b) (h f h)(x) 7sin 2 x + 22 sin(x+22) + 22 c) (f h g)(x) sin (7x 2 + 22) Übung: Zeigen Sie, dass h g g h; f g g f; Seite 9 Definition 4.4 Eine Abbildung f: M N heißt injektiv, wenn x 1, x 2 M aus f(x 1 ) = f(x 2 ) folgt x 1 = x 2, d.h. es gibt zu jedem y N (Bild) höchstens ein x M (Urbild). M N M N Ja Nein Seite 10

Definition 4.4 (Fortsetzung) surjektiv, wenn y N, mindestens ein x M: f(x) = y, d.h. alle Elemente y N sind Bildelemente. M N M N Ja Nein Seite 11 Definition 4.4 (Fortsetzung) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist, d.h. es gibt zu jedem y N (Bild) genau ein x M (Urbild) und umgekehrt. M N M N Ja Nein welche Bedingung ist nicht erfüllt? - nicht injektiv - nicht surjektiv Seite 12

Student Geburtsmonat Wir gehen davon aus, dass in je Monat mind. 1 Student Geburtstag hat nicht injektiv surjektiv Januar Februar November Dezember Seite 13 Student Matrikelnummer injektiv nicht surjektiv Seite 14

Student Wohnsitz nicht injektiv nicht surjektiv Seite 15 Zuschauer Sitzplatz ausgebuchte Veranstaltung injektiv surjektiv Seite 16

Reelle Funktionen Reelle Funktionen sind Funktionen, deren Definitions- und Bildmenge (Wertemenge) Teilmengen der reellen Zahlen R sind, z.b. f: R + R +, mit x x 2 Der Definitionsbereich ist dabei typischerweise ein Intervall, bzw. eine Vereinigung von Intervallen. Z.B. R + = [0, + ) ein Intervall. Seite 17 Intervalle Zu a,b R mit a < b betrachtet man [a,b] = {x R: a x b} (abgeschlossenes Intervall) (a,b) = ]a,b[ = {x R: a < x < b} (offenes Intervall) [a,b) = {x R: a x < b} oder (a,b] = {x R: a < x b} (halboffene Intervalle) [a, + ) = {x R: x a} (a, + ), (,b) sowie (, + ) (unbeschränkte Intervalle).. Seite 18

Beispiele. Definiere D und W der folgenden Funktionen: f: D W(x) mit f(x)= x D = R + = [0, + ); W = R + = [0, + ); f: D W(x) mit f(x)= ln x D = (0, + ); W = R; f: D W(x) mit f(x)= 2x/(x 2 1) D = R\ {-1,1} = (, -1) (-1,1) (1, ); W = R; Seite 19 Graphische Veranschaulichung: Injektivität y = 4x 2 ist nicht injektiv in D = [ 5,+5], aber sehr wohl injektiv in D = [0,5]. y = 4x 2 y = 4x 2 D = [ 5,+5] D = [0,5] Seite 20

Graphische Veranschaulichung: Surjektivität surjektiv nicht surjektiv in W = (,+ ), surjektiv in W = [0,+ ). y = f(x) = x³ + 4x² + x 6 y = f(x) = 4x² Seite 21 Durch Einschränkung des Wertebereiches (W) kann man jede Funktion surjektiv machen. nicht surjektiv im W = [0,3] surjektiv im W = [0,1) [2,3] ) [ Seite 22

Eine auf einem Intervall definierte reelle Funktion ist stetig, wenn ihr Graph zusammenhängend ist. Sie ist: streng monoton wachsend, wenn für x < y gilt f(x) < f(y) bzw. streng monoton fallend, wenn für x < y gilt f(x) > f(y) Seite 23 Graphische Veranschaulichung: Bijektivität Jede streng monoton steigende oder monoton fallende stetige reelle Funktion ist bijektiv injektiv surjektiv y = 1+(x 1) 3 Seite 24

Satz 4 Ist f bijektiv, dann gibt es eine Umkehrfunktion f -1 : N M mit (f -1 f) = id M und (f f -1 ) = id N Beispiel 4.3 Sei f: R R, mit x x+1 und f -1 : R R, mit y y 1 Umkehrfunktion für x Berechne (f -1 f)(x) und (f f -1 )(y): (f -1 f)(x) = f -1 (f(x)) = f -1 (x+1) = x (f f -1 )(y) = f (f -1 (y)) = f (y 1) = y Seite 25 Bestimmung der Umkehrfunktionen a) durch Umkehrung der Zuordnung einer Tabelle z.b. Sitzplatz Student (im voll besetzten Hörsaal) b) durch Auflösung der Funktionsgleichung y = f(x) nach x. Z.B.: Gesucht ist die Umkehrfunktion von f: R R, y = f(x) =2x 1. Man erhält: y = 2x 1 2x = y+1 x = ½(y+1). Also, ist f -1 =(y) = ½(y + 1) bzw. f -1 =(x) = ½(x + 1) Seite 26

Bestimmung der Umkehrfunktionen c) bei reellen Funktionen geometrisch durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden y = x. y = x 3 y = x y = x y = (x+1)/2 y = x 1/3 y = 2x 1 Seite 27 Beispiel: a) f: R R, f(x) = x 2 nicht injektiv: f(-1) = 1 und f(1) = 1 nicht surjektiv: f(x) = -1 hat kein Urbild in R b) f: R + R, f(x) = x 2 c) f: R R +, f(x) = x 2 injektiv: x= f(x) eindeutig lösbar nicht surjektiv: siehe a) nicht injektiv: siehe a) surjektiv: f(x) 0, alle f(x) haben Urbild d) f: R + R +, f(x) = x 2 injektiv: siehe b) surjektiv: siehe c) bijektiv Umkehrfunktion für d)? f -1 : R + R +, f(x) = x Seite 28

Wiederholung! Spezielle reelle Funktionen: Bekannt aus der Schule! Lineare Funktionen f(x) = ax + b Beispiel: f(x) = 4x 1 Polynome oder ganzrationale Funktionen f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 Beispiel: f(x) = 2x 3 x 2 + x 2 Gebrochen-rationale Funktionen, z.b. f(x) = 2x 3 / (x 2 3x) Trigonometrische Funktionen: sin x, cos x Weitere Funktionen f(x) = x etc Seite 29 Exponentialfunktionen zur Basis a: f(x) = a x mit einer Konstanten a > 0 (Basis) sind definiert für x R. Die Umkehrfunktion von f(x) = a x ist Logarithmus zur Basis a: log a x, D = (0, ). Spezialfall: f(x) = e x Exponentialfunktion zur Basis e 2,71 Die Umkehrfunktion von f(x) = e x ist der natürliche Logarithmus ln x, definiert für x (0, ). Seite 30

Rechenregeln: a n = a a a a; a 0 = 1; a 1 = a a 1/n, n N a m/n, n,m N a x+y = a x a y, x,y R (a x ) y = a x y, x,y R a x b x = (a b) x, x R a -x = 1/a x = (1/a) x, x R a x = e x ln a, x R Wiederholung! Bekannt aus der Schule! Seite 31 Polynome: p(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 Sind reelle Funktionen, die sich ausschließlich mit den Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation berechnen lassen. n Allgemein: p(x) = Ʃ a k x k, mit a 0, a 1,, a n R k = 0 Ist a n 0, so ist n = deg p N der Grad des Polynoms p Beispiel: p 1 (x) = x 2 + x + 2, p 2 (x) = x 3, p 3 (x) = 2x 7 4x 4 + 3x 2 1 sind Polynome vom Grad 2,3 bzw. 7 Seite 32

Definition 4.6 Eine zweistellige Relation R auf Menge M ist eine Abbildung, die jedem Paar (x,y) M x M einen Wahrheitswert {wahr, falsch} zuordnet. Schreibweise: x R y, (x,y) R Seite 33 Beispiel: Bezeichnet M die Menge der Prozeduren in einer Programmiersprache (z.b. in C++) und N die Menge der (Programmier-)Klassen, so wird durch p R c : (p wird exportiert von c) für eine Prozedur p M und eine Klasse c N eine Relation zwischen M und N erklärt. Seite 34

Darstellung der Relationen: 1. als Paare: R = {(x,y) M x M: x < y} Beispiel: Sei Relation R ist < und M = {0,1,2,3}, dann R = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,3)} (0,0), (3,1) R, weil nicht gilt 0 < 0, 3 < 1 Seite 35 Darstellung der Relationen: 2. als Schema: R = {(x,y) N 0 xn 0 : x + y = 4} 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Seite 36

Darstellung der Relationen: 3. Als Graphen: Sei M = {A, B, C, D} R = {(A,B), (B,C), (B,D), (C, A), (C,B), (C,C), (C,D), (D,A)} (A,B) A (C, B) (C,A)(D,A) (B,C) C (C,C) (C,D) B D (B,D) Seite 37 Definition 4.7 Eine Relation R auf M heißt reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht, d.h. x M: x R x, z.b.: < ist nicht reflexiv, da 3 < 3 falsch ist ist reflexiv, da 3 3 wahr ist Seite 38

Beispiel A B C D nur (C,C) R nicht reflexiv, da (A,A), (B,B), (D,D) R Wird reflexiv, wenn alle Schleifen existieren! Seite 39 Definition 4.7 (Fortsetzung) symmetrisch, wenn x,y M: aus x R y y R x, z.b: ist symmetrisch, da aus 3 5 folgt 5 3 ist nicht symmetrisch, da aus 3 5 nicht folgt 5 3 Seite 40

Beispiel A B C D (B,C) R und (C,B) R nicht symmetrisch: (A,C), (A,D), (B,A), (D,B), (D,C) R Seite 41 Beispiel 0 1 2 3 4 5 x + y = 4 0 1 2 3 4 5 Es gilt Kommutativgesetz in N 0 : a + b = b + a, deshalb symmetrisch: wenn 0 R 4, dann auch 4 R 0 etc. Seite 42

Beispiel A B C D reflexiv und symmetrisch Seite 43 Definition 4.7 (Fortsetzung) transitiv, wenn x,y,z M: aus (x R y) und (y R z) x R z, z.b.: ist transitiv, da aus 3 5 und 5 7 folgt: 3 7 ist nicht transitiv, da aus 3 5 und 5 3 nicht folgt 3 3 Seite 44

Beispiel A B C D Transitivitätsbedingung für z.b. B, C, D: (B,C) R, (C,D) R folgt (B,D) R nicht transitiv: für z.b. A, B und D: (B,C) R und (C,A) R, aber (B,A) R Seite 45 Beispiel 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Aus 1 R 3 und 3 R 1, folgt nicht 1 R 1 1 + 3 = 4 und 3 + 1 = 4, aber 1 + 1 4 nicht transitiv Seite 46

Beispiel A B C D reflexiv und symmetrisch nicht transitiv transitiv? (A,B) R und (B,D) R, aber (A,D) R Seite 47 Einige wichtige Relationen in der Informatik sind: Äquivalenzrelationen, Ordnungen, Verbände Anwendungsgebiete: Objektorientierte Programmierung, relationalen Datenbanken, Prozessplanung etc Seite 48

Definition 4.8 Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine reflexive, symmetrische und transitive Relation auf M. Beispiel 4.6 Auf der Menge M aller Studierenden im Hörsaal wird durch x R y x und y haben denselben Geburtsmonat eine Äquivalenzrelation erklärt, deren Äquivalenzklassen gerade die verschiedenen Geburtsmonate sind. Seite 49 Beispiel 4.7 Auf der Menge Z eine Relation R definiert durch x R y haben gleichen Rest bei Division durch 3, d.h. x R y (x y) = 3k, k M. Überprüfe, ob diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. reflexiv: (x x) = 0 = 3k; also ist durch 3 teilbar ja symmetrisch: wenn (x y) = 3k, dann y x = (x y) = 3k; ja transitiv: sei (x y) = 3k 1 und (y z) = 3k 2, dann (x z) = (x y + y z ) = 3k 1 + 3k 2 = 3(k 1 + k 2 ), d.h. auch durch 3 teilbar ja Seite 50

Beispiel 4.7 (Fortsetzung) Somit x R y ( x y teilbar durch 3 ) ist eine Äquivalenzrelation. Diese Äquivalenzrelation teilt die Menge Z in 3 Äquivalenzklassen: Z = [0] [1] [2] 1) alle ganzzahligen Vielfachen der 3 (Rest 0): [0] 2) alle ganzen Zahlen, die sich mit Rest 1 durch 3 teilen lassen: [1] 3) alle ganzen Zahlen, die sich mit Rest 2 durch 3 teilen lassen: [2] Seite 51 Übung: Überprüfen, ob die Relation x R y := x y = 0 eine reflexive, symmetrische und transitive Relation auf Menge N 0. 1) Reflexivität: nein. Z.B. 1 R 1, da 1 1 0 2) Symmetrie: ja. Wenn x R y, dann y R x. 3) Transitivität: nein. Z.B: 1 R 0, 0 R 2, aber 1 R 2. Somit ist R keine Äquivalenzrelation! Seite 52

Eine Relation R auf einer Menge M heißt antisymmetrisch, wenn x,y M: aus x R y und y R x x = y, z.b: a b : a teilt b auf M=N, oder ist antisymmetrisch Zahlenbeispiele Tafel ist nicht antisymmetrisch, da aus 3 5 und 5 3 folgt nicht, dass 3 und 5 identisch sind. Hinweis: aus R ist nicht symmetrisch folgt nicht R ist antisymmetrisch aus R ist nicht antisymmetrisch folgt nicht R ist symmetrisch Beispiel : = sowohl symmetrisch, als auch antisymmetrisch Fazit: für verschiedene x und y sind beide Relationen: x R y und y R x nicht möglich. Wenn, dann nur eine Relation!!! Seite 53 Definition 4.9 Die Relation R heißt eine partielle Ordnung auf einer Menge M, falls R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Beispiel: eine partielle Ordnung auf einer Menge M a) reflexiv: ja, da für alle x gilt: x x b) antisymmetrisch: ja, da gilt: wenn x y und y x dann und nur dann, wenn x = y. c) transitiv: ja, da gilt: wenn x y und y z, dann ist auch x z. Seite 54

Beispiel: Überprüfe, ob R ist eine Äquivalenz- oder eine partielle Ordnungsrelation auf M. M = {1, 2, 3}, R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3)} a) reflexiv: ja, da für alle x gilt: x R x (1,1), (2,2), (3,3) b) symmetrisch: nein (1,2) R, aber (2,1) R c) antisymmetrisch: ja, da gilt: wenn x R y und y R x dann und nur dann, wenn x = y. Es gibt keine Paare (y,x) mit y x, (2,1), (3,1) R a) transitiv: ja, da gilt: wenn x R y und y R z, dann ist auch x R z. (1,2) R, (2,2) R (1,2) R (1,1) R, (1,3) R (1,3) R etc.!!! partielle Ordnungsrelation Seite 55 Definition 4.10 Es sei eine partielle Ordnung auf einer Menge M. Dann heißt eine totale Ordnung, wenn für alle (x,y) M x M gilt: x y oder y x. Das bedeutet, dass je zwei Elemente hinsichtlich vergleichbar sind. ist totale Ordnung auf R reflexiv antisymmetrisch transitiv Seite 56

Beispiel: 1. auf P (M) ist nicht total, wenn M 2 ist. reflexiv antisymmetrisch transitiv partielle Ordnungsrelation Total? entweder x y oder y x (x y) Sei M = {a,b,c}, dann P (M) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}. nicht total z.b. für {b} und {c} gilt: weder {b} {c}, noch {c} {b}. 2. M = {1,2,3}, R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)}: totale Ordnung? Nein! Per Definition: (x,y) R oder (y,x) R, aber z.b. (2,3) R und (3,2) R Seite 57 Probeklausur 36 min Aufgabe 1 a) Gegeben sei Funktion g(x)=x 5-1 (i) Skizzieren Sie den Graphen von g(x). (ii) Ist diese Funktion injektiv, surjektiv und bijektiv? C (iii) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion g -1 (x) und skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion. b) Gegeben sei Relation xry (i) Ist diese Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv? (ii) Ändern Sie diese Relation um eine reflexive und antisymmetrische Relation zu bekommen. Aufgabe 2 Beweisen Sie bitte mit vollständiger Induktion 7 n 2 n ist durch 5 teilbar. A B Seite 58