Vorlesung 10+11: Roter Faden: Heute: Harmonische Schwingungen Erzwungene Schwingungen Resonanzen Gekoppelte Schwingungen Schwebungen, Interferenzen Versuche: Computersimulation, Pohlsches Rad, Film Brücke, gekoppelte Pendel, Rotationsschwingung Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1
Formale Einführung der Zahl i Zahlenpaare sind extrem nützlich um Schwingungen zu beschreiben, da eine Schwingung durch ZWEI Zahlen beschrieben wird, nämlich Amplitude und Phase! Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 2
Darstellung der komplexen Zahlen x+iy = r (cosϕ + i sinϕ) = r e iϕ Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 3
Rechenregel Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 4
Ungedämpfte (harmonische) Schwingungen Lösung mit komplexen Zahlen: x(t)=a e iωt+ϕ. Einsetzen ergibt: -mω 2 Ae iωt+ϕ = -k Ae iωt+ϕ x(t) = A e i (k/m) t+ϕ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A cos (k/m) t+ϕ Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 5
Kreisbewegungen Komponenten, d.h. Projektionen der Kreisbewegung auf Achsen sind sin und cos Funktionen! Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 6
Energieerhaltung bei ungedämpften Schwingungen Was passiert wenn Energieverluste durch Reibung auftreten? Reibung i.a. proportional v n, oft n 1 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 7
Ein Körper der Masse m=2kg führt Schwingungen der Form s(t)=0,2*cos(3*t) aus (Einheit m,s). a) Gib Schwingungsdauer und Frequenz der Schwingung an. b) Bestimme die maximale kinetische Energie des Körpers. c) Wie groß ist die maximale Rückstellkraft, die der Körper erfährt? d) Berechne die Federkonstante des Systems. e) Worin unterscheidet sich die Bewegung von einer Bewegung der Form s(t)=0,2*sin(3*t). Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 8
T r ϕ F r α F=mg g=(0,0,g) Steigung 2π/ g l Methnode um g zu messen Pendel als Drehbewegung Drehmoment M = r x F = dl/dt=d(r x p)/dt Oder -r x mg = d(r x mv)/dt =mrx dv/dt Oder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r) Oder, da a x (b x c)= b (a.c) c (a.b), gilt -r x g = ω r 2 -r (r. ω) = ω r 2 (Scalarprodukt r. ω=0 da r ω(=α) Oder -lgsin ϕ =l 2 ϕ (ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3 /(3!)+ ϕ) Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ : ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω 2 sin(ωt), oder Aω 2 sin(ωt)=ag/l sin(ωt), oder ω= g/l =2π/T. Schwingungsdauer T=2π (l/g) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 9
Konisches Pendel Seilkraft+Gewichtskraft liefern Zentripetalkraft Diskussion: cos α 1/ω 2 d.h. desto größer Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit, desto kleiner cos α, desto höher fliegt Körper. Versuch mit Flugzeug. Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 10
Gedämpfte Schwingungen Addiere Reibungskraft bv zur Federkraft kx: Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 11
Gedämpfte Schwingungen Exponentieller Abfall Aperiodischer Grenzfall Kriechfall Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 12
Lösung mit komplexen Zahlen: x(t)=a e λt Einsetzen in mx+bx+kx=0 ergibt: mλ 2 + b λ +k =0 oder λ = -b/2m ±1/(2m) (b 2-4mk) x(t) = A e bt/2m e ± (b 2/4m2-k/m) t =A e γt e ± iω t ω= 1/(2m) (4mk-b 2 ) = (ω 02 - γ 2 ) ω 0 = k/m γ=b/2m=1/τ Q= ω 0 τ Physikalische Lösung immer Realteil der komplexen Zahl: x(t) = A e γt cos ω t (Anfangsphase 0 gesetzt) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 13
Zusammenfassung der gedämpften Schwingungen Exponentieller Abfall Aperiodischer Grenzfall Kriechfall Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 14
Schwingungssimulator Simulator auf Webseite der Vorlesungen unter: SCHWING (Vorsicht: gibt nur Simulation der gedämpften Schwingungen OHNE Resonanzen) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 15
Energie der gedämpften Schwingungen 2 Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 16
Berechnung des Q-Faktors Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 17
Erzwungene Schwingungen (inhomogene DG hat gleiche Lösungen wie homogene DG + spezielle Lösung) Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 18
Erzwungene Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 19
Erzwungene Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 20
Erzwungene Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 21
Versuch: Pohlsches Rad F 0 cosωt Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 22
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Gekoppelte Schwingungen, z.b. Atome Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 24
Gekoppelte Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 25
Additionstheoreme Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 26
Versuch: Gekoppelte Pendelschwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 27
Versuch: Gekoppelte Pendelschwingungen Pendelamplituden von 1 und 2 Schwebungen treten überall auf, wenn Schwingungsamplituden mit leicht unterschiedlichen Frequenzen addiert werden. Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 28
Schwebung bei gekoppelten Pendeln Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 29
Resonanzen bei erregten Schwingungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 30
Lissajous Figuren Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 31
Versuch: Lissajous Figuren Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 32
Zum Mitnehmen Erzwungene Schwingungen führen zu Resonanzen, wenn Erregerfrequenz und Eigenresonanz übereinstimmen Gekoppelte Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen führen zu Schwebungen Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 33