4 Partialbruchzerlegung und elementare Stammfunktionen 4 Partialbruchzerlegung und elementare Stammfunktionen Aufgabe: Versuchen Sie, 0 d und 4 0 d 6 und zu berechnen. 4. Rationale Funktionen. a) uotienten R = P von Polynomen werden als rationale Funktionen bezeichnet, Notation: R C(z). Nach (7.4) lassen sich Zähler und Nenner in Produkte von Linearfaktoren zerlegen; durch Kürzen gemeinsamer Linearfaktoren läßt sich daher erreichen, daß für alle w C stets P(w) 0 oder (w) 0 gilt. b) Eine Zahl w C heißt Pol von R = P C(z), falls (w) = 0 und P(w) 0 gilt. Die Vielfachheit m von w als Nullstelle von heißt Polordnung von R in w. Im Fall m = heißt w einfacher Pol von R. Beweise zu diesem Abschnitt findet man in [K], Abschnitt 8. 4. Theorem (Partialbruchzerlegung). Es sei R = P C(z) eine rationale Funktion, und (z) = α r (z z j ) m j sei die Zerlegung von in Linearfaktoren j= gemäß (7.4). Dann gibt es T C[z] und c j,k C mit R(z) = T(z) r m j j= k= c j,k (z z j ) k. () Durch () sind T C[z] und die c j,k C eindeutig bestimmt. 4.3 Beispiel. Zur praktischen Durchführung einer Partialbruchzerlegung setzt man () mit unbestimmten Koeffizienten an und berechnet diese anschließend. Beispiel: R(z) = z z 3 z z. 4.4 Einfache Pole. a) Es sei z ein einfacher Pol der rationalen Funktion R = P C(z). Für degp < deg gilt nach () R(z) = c z z R (z), wobei z kein Pol von R ist. Daraus ergibt sich c = (z z )(R(z) R (z)) = z z (z) (z ) P(z) (z z )R (z). () b) Für komplee Polynome (z) = n a k z k eistiert die komplee Ableitung (z) (w) (w) = lim z w z w k=0 = n ka k z k für w C. (3) k= c) Für (z) = (z z ) m (z) C[z] mit m N und (z ) 0 liefert die Produktregel (z) = m(z z ) m (z)(z z ) m (z), also m = (z ) 0. Mit z z in () folgt somit die Aussage c = P(z ) (z ). (4)
III. Grundlagen der Differential - und Integralrechnung 4.5 Beispiel. Mit ǫ := E( π ) = cos π isin π 4 4 4 von R(z) := zu z 4 ergibt sich diepartialbruchzerlegung 4R(z) = ǫ 3 (z ǫ) ǫ(z ǫ 3 ) ǫ 7 (z ǫ 5 ) ǫ 5 (z ǫ 7 ). (5) 4.6 Partialbruchzerlegung im Reellen. a) Für R = P R() ist mit z j auch z j eine Nullstelle von. Nach 8.8 ist ein endliches Produkt von Konstanten, Linearfaktoren (z a), a R, und von quadratischen Faktoren (z pzq) mit p,q R ohne reelle Nullstellen, d.h. p < q. b) Damit ist dann R eine Summe aus einem reellen Polynom sowie reellen Termen A ( a j ) l, l s j, und BC ( p k q k ) l, l t k. (6) c) Aus (5) oder durch Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten erhält man 4 = 4 4. (7) 4.7 Integration rationaler Funktionen a) Wegen 4. sind zur Integration rationaler Funktionen nur Polynome und Funktionen der Form ( a) n, a R, cd n N (über Intervalle I mit I a) sowie mit p < q zu integrieren. ( pq) n b) Die Substitution t = pq liefert dt = (p)d und somit p ( pq) d = t n dt. (8) n c) Es bleibt d zu berechnen. Die Substitution t = α(p) liefert ( pq) n d = ( αn pq) n wenn α > 0 mit α = p q gewählt wird. dt, (9) (t ) n d) Die Integrale I m () := d können nur rekursiv berechnet werden. Für m = ( ) m ist d = arctan, und für m > folgt wegen d = ( ) m ( m)( ) m mit partieller Integration I m () = ( ) m d = I m () ( m)( ) m d ( m)( ) m = m 3I m m (). (0) (m )( ) m e) Für m = 0 beispielsweise ergibt sich ( ) 0 d = 8( ) 9 43 867( ) 4 7 88( ) 8 85 344( ) 7 05 68( ) 6 43 55 55 4576( ) 3 98304( ) 65536( ) 43 356( ) 5 55 arctan 65536. 4.8 Beispiel. Aus (7) erhält man d = log ( ) 4 8 ( ) 4 arctan( )arctan( ). ()
4 Partialbruchzerlegung und elementare Stammfunktionen 3 4.9 Rationale Funktionen in mehreren Variablen. Für die Formulierung der folgenden Beispiele ist es bequem, rationale Funktionen in zwei oder drei Variablen zu verwenden. Ein Polynom in zwei Variablen u, v ist eine endliche Summe von Ausdrücken cu m v n mit m,n N 0 und c R, etwa P(u,v) = 3u 3 v uv 4u. uotienten R = P / solcher Polynome heißen rationale Funktionen; man schreibt R R(u, v). Entsprechend werden rationale Funktionen R R(u, v, w) in drei Variablen definiert. 4.0 Beispiele. Für R R(u) wird I := R(e )d berechnet. Die Substitution t = e liefert wegen dt = e d = td sofort I = R(t) dt, wobei natürlich noch t t = e einzusetzen ist. Damit ist die Berechnung von I auf die in 4.7 behandelte Methode zurückgeführt. 4. Beispiele. a) Für R R(u,v) berechnet man R(coss,sins)ds mit der Substitution t = tan s dt oder s = arctant. Man hat dann ds = sowie t cos s = tan s = t, sin s = s cos = t t, also coss = cos s sin s = t t, sins = sin s cos s = t t, also R(coss,sins)ds = R ( ) t t dt t, t t. () b) Oft läßt sich R(coss,sins)ds auch einfacher berechnen. Ist etwa R(u,v) ungeradeinu, sogiltr(u,v) = ur (u,v), alsor(cos,sin) = cosr (cos,sin) = cosr (sin). Mit t = sin gilt dann einfach R (sin)cosd = R (t)dt. 4. Beispiel. a) Für R R(u,v) und a > 0 wird nun R(, a )d (über dem Intervall ( a,a)) berechnet. Wegen a = a ( / a ) wird dies mit w = a zunächst auf R (w, w )dw reduziert. Mit w = coss, 0 s π, erhält man dann R (w, w )dw = R (coss,sins) sinsds. (3) Man kann auch direkt w = t t substituieren und erhält dann R (w, w )dw = ( ) t t 4tdt R t, t (t ). (4) b) Für R R(u,v) kann man zur Berechnung der Integrale R(, a )d und R(, a )d wieder sofort a = annehmen. Bequeme Substitutionen ergeben sich mit Hilfe der Hyperbel-Funktionen:
4 III. Grundlagen der Differential - und Integralrechnung 4.3 Sinus und Kosinus hyperbolicus werden definiert durch sinh = (e e ), (5) cosh = (e e ). (6) a) Offenbar gilt sinh = cosh, cosh = sinh. b) Die Funktion cosh ist gerade, und man hat cosh cosh0 = für R. c) Die Funktion sinh ist ungerade, und man hat 0 = sinh0 < sinh < cosh für > 0. d) Man hat sinh für und lim sinh cosh =. e) Es gelten die Funktionalgleichungen sinh(y) = sinhcoshy sinhycosh, (7) cosh(y) = coshcoshy sinhsinhy. (8) f) Insbesondere hat man stets cosh sinh =. Die Abbildung λ : R R, λ(t) := (cosht,sinht), (9) parametrisiert also den Hyperbelast H := {(,y) R > 0, y = }. 4.4 Tangens und Kotangens hyperbolicus werden definiert durch tanh = sinh cosh e (0) coth = cosh, 0. sinh e () a) tanh : R (,) ist ungerade, streng monoton wachsend und bijektiv. Es gilt tanh = cosh = tanh. () b) coth : R\{0} R ist ungerade, coth : (0, ) (, ) ist streng monoton fallend und bijektiv. Weiter gilt coth = sinh = coth, 0. (3) 4.5 Areafunktionen. Die Umkehrfunktionen von sinh, cosh, tanh, coth sind Arsinh = log( ) (4) Arcosh = log( ), (5) Artanh = Arcoth = log, < (6), >. (7) log Eemplarisch wird nur (4) bewiesen: Es ist = sinhy = (ey e y ) äquivalent zu e y e y = 0, d.h. zu e y = ±. Offenbar ist nur das Zeichen möglich, und daraus folgt (4). Die Ableitungen der Area-Funktionen findet man in der folgenden Tabelle, in der noch einmal eine Reihe wichtiger Stammfunktionen zusammengestellt wird:
4 Partialbruchzerlegung und elementare Stammfunktionen 5 4.6 Tabelle. Funktion f Stammfunktion F Definitionsbereich n (n N 0 ) n n α α (α ) α > 0 / log 0 e e R cos sin R sin cos R arctan R Artanh < Arcoth > Arsinh R arcsin < Arcosh > R 4.7 Beispiele. Für R R(u,v) liefert die Substitution = sinht R(, )d = R(sinht,cosht) coshtdt; (8) die Substitution = cosht ergibt (für ) R(, )d = R(cosht,sinht) sinhtdt. (9) Nach (5) und (6) sind die neuen Integranden rationale Funktionen in e t, und man kann weiter wie in Beispiel 4.0 b) verfahren. 4.8 Definition. Es sei I R ein Intervall. Eine Funktion f F(I,R) heißt algebraisch, wenn es Polynome P 0,..., P n R[] mit P 0 P f P f P n f n = 0 und P n 0 (30) gibt. Nicht algebraische Funktionen heißen transzendent. 4.9 Beispiele. a) Für n = erhält man aus (30) die rationalen Funktionen, für n = Ausdrücke in uadratwurzeln und rationalen Funktionen wie etwa f() := 4. Auch Ausdrücke wie a() := 6 3 sind algebraische Funktionen. b) Für n 5 lassen sich algebraische Funktionen i.a. nicht durch Wurzeln ausdrücken, auch nicht im Kompleen (vgl. Bemerkung 8.7 c)). c) Die Eponentialfunktion ep ist transzendent. Andernfalls gibt es Polynome P 0,, P n R[] mit P 0 P e P n e n 0, und nach Division durch e n folgt der Widerspruch P n () 0 für.
6 III. Grundlagen der Differential - und Integralrechnung Es kann nun der Begriff der elementaren Funktion, der ja in der Überschrift des Kapitels wie auch des Abschnitts auftritt, etwas genauer gefaßt werden: Elementare Funktionen sind solche, die durch algebraische Operationen, Verkettungen und Umkehrungen aus algebraischen Funktionen, der Eponentialfunktion, Sinus und Kosinus bildbar sind. Alle in Tabelle 4.6 auftretenden Funktionen sind elementar. Nach 4.7 besitzen rationale Funktionen elementare Stammfunktionen, und dies gilt auch für die in den Beispielen 4.0, 4. und 4.7 betrachteten Funktionenklassen. Andererseits besitzen viele elementare Funktionen wie etwa e oder sin keine elementaren Stammfunktionen; dieses Phänomen tritt auch bei der Berechnung der Längen von Ellipsenbögen auf, vgl. [K], Abschnitt 30*.