I. Wendepunkte 1. Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte sowie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit der angegebenen Funktionsgleichung. a) f(x) 1 b) 12 (x + 1) (x 2) (x + 6) f(x) 1 4 x4 1 3 x3 x 2 2. Gegeben ist die Funktion f : x y f(x) 1 2 x3 3 2 x + 2 mit der Definitionsmenge D R und dem Grphen G. a) Begründen Sie, dass der Graph von f symmetrisch zum Punkt S 0 2 ist. b) Untersuchen Sie das Verhalten von f für x ± c) Bestimmen Sie die Art und Lage der Extrempunkte von f. d) Zeigen Sie, dass S der einzige Wendepunkt von G ist. e) Zeichnen Sie G für 2, x 2,. f) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt B 2 1 an den Graphen von f. g) Bestimmen Sie die Nullstelle von f auf zwei Dezimalen genau. 3. Untersuchen Sie die folgenden durch ihre Funktionsgleichungen gegebenen Funktionen auf Symmetrie Nullstellen Wendepunkte Verhalten im Unendlichen a) b) f(x) 1 9 (x2 4) (x 2 + 9) f(x) 4 x 10 3 x3 + 9 4 x
Lösungen 1. a) f(x) 1 1 (x + 1) (x 2) (x + 6) 12 12 (x2 x 2) (x + 6) 1 12 (x3 + x 2 8x 12) f '(x) 1 12 (3x2 + 10x 8) 0 x 4 x 2 3 f ''(x) 1 12 (6x + 10) 0 x 3 f ''( 4) 7 ist ein Hochpunkt 6 < 0 H 4 3 f ''( 2 ist ein Tiefpunkt. 3 ) 7 6 > 0 T 2 3 100 81 f '''(1) 1 ist ein Wendepunkt. 2 0 W 3 143 162 b) T 1 1, T sind Tiefpunkte und ist ein Hochpunkt. 12 2 2 4 H 0 0 3 x 1 7 und x 1 + 7 sind Wendestellen. 3 3 2. a) Der Graph von h mit h(x) 1 ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. 2 x3 3 2 x Also ist der Graph von f punktsymmetrisch zu S. b) vgl. Graph c) vgl. Graph d) ---- e)
f) y 9 2 x + 10 g) x 2,20 (Newtonverfahren) 3. a) Symmetrie f( x) 1 9 [( x)2 4] [( x) 2 + 9] 1 9 (x2 4) (x 2 + 9) f(x) Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-achse Nullstellen f(x) 0 x 2 x 2 Wendepunkte f '(x) 1 9 2x (x2 + 9) + 1 9 (x2 4) 2x 2 9 x (2x2 + ) f ''(x) 2 9 (2x2 + ) + 2 9 x 4x 4 3 x2 + 10 9 0 Verhalten im Unendlichen lim f(x) x ± für alle x. b) Symmetrie f( x) 4 ( x) 10 3 ( x)3 + 9 ( x) f(x) 4 Der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Nullstellen
f(x) 4 x 10 3 x3 + 9 4 x 0 x ( 4 x4 10 3 x2 + 9 4 ) 0 x 0 4 x4 10 3 x2 + 9 4 0 Mit der Substitution u : x 2 4 ergibt sich und damit u4 10 3 u + 9 4 0 u 10 3 4 3 8 11 u 10 3 + 4 3 8 11 und damit x 10 3 4 3 8 11 0,92 x 10 3 4 3 8 11 0,92 x 10 3 + 4 3 8 11 1,8 x 10 3 + 4 3 8 11 1,8 Wendepunkte f '(x) 4x 4 10x 2 + 9 4 f ''(x) 16x 3 20x 0 x 0 x 1 2 x 1 2 < x < 1 2 1 2 < x < 0 0 < x < 1 2 1 2 < x < f ''(x) + + Der Graph der Funktion besitzt die Wendepunkte W 1 1 2 1 3 W 2 0 0 1 W 1 2 1 3 Verhalten im Unendlichen lim f(x) x lim f(x) x
II. Extremwertaufgaben 1. Der Punkt C x y liegt auf dem Graphen der Funktion f mit f(x) x 2 + 4 Für welchen Wert von x hat das Dreieck ABC mit A 2 0 und B x 0 maximalen Flächeninhalt? 2. Welcher Quader mit quadratischer Grundfläche hat bei gegebenem Volumen V den kleinsten Oberflächeninhalt? 3. Einer Halbkugel mit dem Radius R wird ein Kegel einbeschrieben, dessen Spitze der Mittelpunkt des Grundkeises der Halbkugel ist. Bestimmen Sie das größte Volumen, das ein derartiger Kegel haben kann! 4. Dem nebenstehenden Flächenstück, das von y-achse, den Geraden y 2 und x 3 und der Parabel mit der Gleichung y 1 begrenzt ist, wird ein Rechteck einbeschrieben. 9 x2 + 1 Bestimmen Sie den Inhalt des größten dieser Rechtecke! Lösungen 1. Größe: G A 1 (x + 2) y mit 2 x 2 2 Nebenbedingung: y 4 x 2
Zielfunktion: A(x) 1 2 (x + 2) (4 x2 ) Extremstellenbestimmung: A'(x) 1 2 (4 x2 ) + 1 2 (x + 2) ( 2x) 0 4 x2 2x 2 4x 0 3x 2 4x 4 0 x 2 x 2 3 2 < x < 2 2 3 3 < x < 2 A'(x) + Randwerte: A( 2) A(2) 0 Für x 2 3 ergibt sich ein Maximum des Inhalts. Veranschaulichung der Funktion A(x) : 2. Größe: G O 2a 2 + 4a h Nebenbedingung: V a 2 h h V und damit a 2 0 < a < Zielfunktion: O(a) 2a 2 + 4a V a 2 2a2 + 4V a Extremwertbestimmung: O'(a) 4a 4V und damit a 2 0 a 3 V h V V 2 3 1 V 3 a Randwerte: 0 < a < 3 V 3 V < a < O'(a) + lim O(a) a 0 und lim O(a) a
Damit sich ein minimaler Oberflächeninhalt ergibt muss der Quader ein Würfel sein. 1 2 Es ist dann O(V 3 3 ) 6V. Veranschaulichung der Funktion O(a) mit V 1: 3. Planfigur: Größe: G V 1 3 π r2 h Zielfunktion: mit V(x) 1 3 π (R cosx)2 R sinx 1 3 π R3 cos 2 x sinx 0 < x < π 2 Reduzierte Zielfunktion (ohne konstante Faktoren): f(x) cos 2 x sinx Extremstellenberechnung: f '(x) 2 cosx ( sin 2 x) + cos 2 x cosx 0 cosx ( 2sin 2 x + cos 2 x) 0 cosx 0 3cos 2 x 1 0 x π 2 sinx 1 3 3 und damit cosx 1. 3 6 Randwerte: lim f(x) 0 x 0 und lim x π 2 f(x) 0 und damit ergibt sich für sinx 1 ein Maximum des Rauminhalts 3 3
Es ergibt sich V max 1 3 π R3 2 3 1 3 3 2 27 R3 3 4. Zielfunktion: A(x) (3 x) [2 ( 1 mit 9 x2 + 1)] (3 x) (1 + 1 8 x2 ) 0 x < 3 Extremstellenbestimmung: A'(x) (1 + 1 9 x2 ) + (3 x) 2 9 x 1 3 x2 + 2 3 x 1 < 0 Randwerte: A(0) 3 und lim A(x) 0 x 3 0 Das größte Rechteck hat den Flächeninhalt A(0) 3. III. Steckbriefaufgaben 1. Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat die Nullstelle x 2 und ihr Graph besitzt den Tiefpunkt H 1 9. Bestimmen Sie eine die Funktionsgleichung der Funktion. 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Graph im Ursprung einen Wendepunkt mit der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten als Tangente und im Punkt H 2 4 einen Hochpunkt hat. 3. Die Funktion f hat die Polstelle x 1 und die Extremstelle x 1 und ihr Graph besitzt die Asymptote mit der Gleichung y 1. 2 x + 1 Ermittle eine mögliche Funktionsgleichung von f. Lösungen 1. Ansatz: f(x) ax 4 + bx 2 + c f '(x) 4ax 3 + 2bx f(2) 0 f(1) 9 f '(1) 0 (1) 16a + 4b + c (2) a + b + c (3) 4a + 2b 0 9 0
(1) (2) 1a + 3b (3) b 9 2a (4) (3') (3') in (4) 1a 6a 9 a 1 Also f(x) x 4 + 2x 2 + 8 2. Ansatz: f(x) ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e f '(x) 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d f ''(x) 12ax 2 + 6bx + 2c Wegen f(0) e 0 und f ''(0) 2c 0 c 0 muss gelten f(2) 4 f '(2) 0 f '(1) 1 (1) 16a + 8b + 2d (2) 32a + 12b + d (3) d 4 0 1 2 (1) (2) 4b + 3d 8 b 4 Also f(x) 1 2 x4 + 4 x3 + x 3. Ansatz: f(x) 1 2 x + 1 + a x + 1 f '(x) 1 2 a (x + 1) 2 Bedingung: f '(1) 1 2 a (1 + 1) 2 0 a 2 IV. Mathematische Modellierung mg Die Konzentration eines Medikamentes (in ) im Blut eines Patienten lässt sich durch die cm 3 Funktion f mit dem Funktionsterm f(t) 0,16t (t + 2) 2 beschreiben. Dabei sei t die Zeit gemessen in Stunden seit der Einnahme des Medikaments.
Der Graph der Funktion sieht in einem Teil des Definitionsbereichs so aus: a) Berechnen Sie die anfängliche Änderungsrate der Konzentration und vergleichen Sie diese mit der mittleren Änderungsrate in den ersten 6 Minuten. b) Wann ist die Konzentration am größten und wie groß ist sie? Wann ist die Konzentration nur noch halb so groß? c) Zu welchem Zeitpunkt ändert sich die Änderungsrate am stärksten? Lösungen a) f '(t) 0,16 1 (t + 2)2 t 2 (t + 2) 2 t (t + 2) 4 0,16 (t + 2) 3 f '(0) 0,04 und m S (0; 6) f(6) f(0) 6 0 0,01 0 6 0,002 b) f '(t) 0 t 2 und f(2) 0,02 f(x) 0,16t (t + 2) 2 0,01 16t t2 + 4t + 4 t 6 + 4 2 11,7 c) f ''(t) 0,16 1 (t + 2)3 (2 t) 3 (t + 2) 2 (t + 2) 6 0,16 2t 8 (t + 2) 0 t 4 V. Funktionenscharen 1. Geben ist die Funktionsschar f k mit f k (x) x 3 3k 2 x mit k R +. a) Diskutieren Sie die Scharfunktionen und zeichnen Sie den Graph von f 1. b) Bestimmen Sie k so, dass i) der Graph von G k von f k durch den Punkt P 2 geht.
ii) die Gerade y x den Graphen von f k im Koordinatenursprung berührt. iii) die Extrempunkte von gen. G k auf der Winkelhalbierenden des 2. und 4. Quadranten lie- iv) die Tangente im Schnittpunkt von G k mit der positiven x-achse die Steigung 1 hat. 2. Gegeben ist die Funktionsschar f k mit f k (x) x 2 kx 3 mit k R. Diskutieren Sie die Scharfunktionen und zeichnen Sie den Graph von f 0,2. 2 3. Gegeben ist die Funktionsschar f k mit f k (x) 1 mit. e x k R + + k Diskutiere die Scharfunktionen und zeichne die Graph von f 1, f 2 und f 3. Lösungen 1. a) Symmetrie: f k ( x) ( x) 3 3k 2 ( x) x 3 + 3k 2 x f k (x) Der Graph jeder Scharfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinaten ursprung Nullstellen: f k (x) 0 x (x 2 3k 2 ) 0 x 0 x k 3 x k 3 Extrema: f k '(x) 3x 2 3k 2 0 x k x k f k ''(x) 6x 0 x 0 f k ''( k) 6k < 0 E 1 ( k 2k 3 ) ist ein Hochpunkt f k ''(k) 6k > 0 E 1 (k 2k 3 ) ist ein Tiefpunkt Wendepunkte: f k '''(x) 6 0 W(0 0) ist ein Wendepunkt
b) i) k 1 ii) 2 2 k 1 3 3 iii) k 1 iv) 2 2 k 1 6 6 2. Nullstellen: f k (x) x 2 kx 3 0 x 2 (1 kx) 0 x 0 x 1 (k 0). k Grenzverhalten: k > 0 : lim f k (x) x k 0 : lim f 0 (x) x ± k < 0 : lim f k (x) x lim f k (x) + x lim f k (x) x Extrema: f k '(x) 2x 3k x 2 0 x (2 3k x) 0 x 0 x 2 3k (k 0) f k ''(x) 2 6k x f k ''(0) 2 und f k ''( 2 3k ) 2 k 0 : E 1 0 0 3 ist ein Hochpunkt und E ist Tiefpunkt. 2 2k 9 8k 2 Wendepunkte: f k ''(x) 0 x 1 3k (k 0) f k '''(x) 2 0 W 1 3k 2 27 k2 ist ein Wendepunkt.
3. Nullstellen: f k (x) 1 2 e x + k 0 ex + k 2 0 e x 2 k Für k 2 besitzt eine Scharfunktion keine Nullstelle. Für 0 < k < 2 besitzt eine Scharkunktion die Nullstelle x ln(2 k) Grenzverhalten: lim x f k (x) 1 2 k und lim f k (x) 1 x 2 Monotonie: f k '(x) d.h. ist streng monoton wachsend. (e x + k) 2 > 0 f k