Musterlösung Serie 9

D-MATH Lineare Algebra I HS 2018 Prof. Richard Pink Musterlösung Serie 9 Lineare Abbildungen, Kern und Bild 1. Berechne eine Basis des Kerns und des Bildes der linearen Abbildung Q 4 Ñ Q 3, die durch Linksmultiplikation mit der folgenden Matrix definiert ist: A : 2 1 1 2 1 0 1 0. 3 1 2 2 Eine Basis des Kerns ist gegeben durch $, 1 0 & 1 1 %, 2 /. 0 /- 1 1 und eine Basis des Bildes ist gegeben durch $, &. 1 0, 0 1 % -. 1 1 2. Sei V ein Vektorraum. Ein Endomorphismus P : V Ñ V mit der Eigenschaft P 2 : P P P heisst idempotent oder eine Projektion. Zeige: (a) Für jede Projektion P gilt V KernpP q BildpP q. (b) Für belieibge Untervektorräume W 1, W 2 Ă V mit V W 1 W 2 existiert eine eindeutige Projektion P : V Ñ V mit KernpP q W 1 und BildpP q W 2. (a) Sei P : V Ñ V eine Projektion und setze W 1 : KernpP q und W 2 : BildpP q. 1

Wir müssen zeigen, dass W 1 ` W 2 V und W 1 X W 2 0 ist. Für ein beliebiges v P V gilt P pv P pvqq P pvq P 2 pvq P pvq P pvq 0, also ist v P pvq P KernpP q W 1. Weiter ist P pvq P BildpP q W 2. Damit ist v pv P pvqq ` P pvq eine Zerlegung von v in eine Summe von v P pvq P W 1 und von P pvq P W 2. Somit ist W 1 ` W 2 V. Sodann sei v P W 1 X W 2. Da v im Bild von P liegt, gibt es ein w P V mit P pwq v. Wenden wir P auf beide Seiten der Gleichung an, so folgt v P pwq P 2 pwq P pvq. Da aber v auch im Kern von P liegt, haben wir v P pvq 0. Somit ist W 1 X W 2 t0u. (b) Seien W 1, W 2 Ď V beliebige Untervektorräume von V mit V W 1 W 2. Für jedes v P V existieren dann eindeutige w 1 P W 1 und w 2 P W 2, sodass v w 1 ` w 2 ist. Betrachte die Abbildung P : V Ñ V, die einem v P V genau dieses w 2 P W 2 zuordnet. Man prüft nun direkt, dass P linear und eine Projektion mit W 1 KernpP q und W 2 BildpP q ist. Es bleibt zu zeigen, dass P eindeutig ist. Sei P 1 eine weitere Projektion mit W 1 KernpP 1 q und W 2 BildpP 1 q. Dann ist P W1 0 P 1 W1. Für ein beliebiges Element v P W 2 gibt es Elemente w, w 1 P V, so dass P pwq v und P 1 pw 1 q v ist. Es folgt P pvq P 1 pvq P pp pwqq P 1 pp 1 pw 1 qq P pwq P 1 pw 1 q v v 0 und damit P W2 P 1 W2. Da V W 1 ` W 2 ist, gilt damit P P 1. 3. Sei f : V Ñ W eine lineare Abbildung von K-Vektorräumen. Zeige: (a) Für jeden Untervektorraum W 1 Ă W ist das Urbild ein Unterraum von V. (b) Es gilt Sei V 1 : f 1 pw 1 q. f 1 pw 1 q : tv P V fpvq P W 1 u dim f 1 pw 1 q dim Kernpfq ` dimpbildpfq X W 1 q. 2

(a) Wir müssen zeigen, dass V 1 nicht leer ist und dass für beliebige Elemente x, y P V 1 und beliebige α P K die Summe x ` y und das Produkt αx wieder in V 1 liegen. Wegen fp0q 0 P W 1 liegt 0 in V 1 und V 1 ist nicht leer. Da f linear ist, gilt fpx ` yq fpxq ` fpyq und fpαxq αfpxq. Wegen fpxq, fpyq P W 1 folgt aus den Unterraumaxiomen, dass auch fpxq ` fpyq und αfpxq wieder in W 1 liegen. Somit liegen x ` y und αx wieder in V 1. (b) Aus der Definition von V 1 folgt, dass wir eine wohldefinierte Abbildung f 1 : V 1 Ñ W 1, v 1 ÞÑ f 1 pv 1 q : fpvq haben. Man prüft direkt, dass f 1 eine lineare Abbildung ist. Es folgt dimpv 1 q dimpkernpf 1 qq ` dimpbildpf 1 qq. (1) Da 0 P W 1 ist, gilt Kernpfq Ă V 1. Durch Einsetzen der Definition erhält man Kernpf 1 q Kernpfq. Weiter gilt Bildpf 1 q tw P W 1 Dv P V 1 : f 1 pvq wu tw P W 1 Dv P V : fpvq wu tw P W Dv P V : fpvq w und w P W 1 u Bildpfq X W 1. Durch Einsetzen in (??) erhält man dimpv 1 q dimpkernpfqq ` dimpbildpfq X W 1 q. Aliter: Man kann auch den Beweis der Vorlesung wiederholen, mit einer Basis B 1 von Kernpfq beginnen, diese zu einer Basis B von f 1 pw 1 q erweitern und zeigen, dass f das Komplement B B 1 bijektiv auf eine Basis von W 1 abbildet. 4. Sei f : V Ñ W eine lineare Abbildung. Zeige: (a) Die Abbildung f ist injektiv genau dann, wenn eine lineare Abbildung g : W Ñ V existiert mit g f id V (Linksinverse). (b) Die Abbildung f ist surjektiv genau dann, wenn eine lineare Abbildung g : W Ñ V existiert mit f g id W (Rechtsinverse). (a) Ist g f id V, so ist g f injektiv und folglich auch f injektiv. Dies zeigt die Implikation ð. 3

Sei umgekehrt f injektiv. Dann ist mit W 1 : Bildpfq die Abbildung f : V Ñ W 1 bijektiv und linear, also ein Isomorphismus (siehe Vorlesung). Sei g 1 : W 1 Ñ V die Umkehrabbildung. Wähle ein Komplement W 2 zu W 1 in W und definiere die Abbildung g : W Ñ V durch gpw 1 ` w 2 q : g 1 pw 1 q für alle w 1 P W 1 und w 2 P W 2. Wegen W W 1 W 2 ist g wohldefiniert und man prüft direkt, dass g linear ist. Für alle v P V ist weiter fpvq P W 1 und somit g fpvq g W1 pfpvqq g 1 pfpvqq v also ist g f id V. Dies zeigt die Implikation ñ. (b) Ist f g id W, so ist w id W pwq fpgpwqq für jedes w P W, die Abbildung f also surjektiv. Dies zeigt die Implikation ð. Sei umgekehrt f surjektiv. Sei V 2 ein Komplement von V 1 : Kernpfq in V und betrachte die Abbildung f 2 : f V2 : V 2 Ñ W. Dann ist Kernpf 2 q Kernpfq X V 2 V 1 X V 2 0 und somit f 2 injektiv. Nach Voraussetzung existiert für jedes w P W ein v P V mit fpvq w. Schreiben wir v v 1 ` v 2 mit v 1 P V 1 und v 2 P V 2, so folgt fpvq fpv 2 q w. Daher ist f 2 auch surjektiv und damit ein Isomorphismus von V 2 nach W. Sei g 1 : W Ñ V 2 die Umkehrabbildung von f 2 und sei g die Komposition von g 1 mit der Inklusionsabbildung V 2 ãñ V. Da g 1 und die Inklusionsabbildung linear sind, ist g linear. Für alle w P W ist gpwq P V 2 und es gilt fpgpwqq f V2 pgpwqq f 2 pgpwqq w, also ist f g id W. Dies zeigt die Implikation ñ. 5. Sei V ein beliebiger Vektorraum. Beweise oder widerlege: (a) Sei V 1 Ă V ein Unterraum. Jeder Automorphismus f : V 1 Ñ V 1 kann zu einem Automorphismus f : V Ñ V fortgesetzt werden. (b) Für jeden Endomorphismus f : V Ñ V gilt V Kernpfq Bildpfq. (c) Jeder Vektorraum ist eine innere direkte Summe von 1-dimensionalen Unterräumen. (d) Für Unterräume V 1, V 2, V 3 von V gilt V V 1 V 2 V 3 genau dann, wenn V V 1 ` V 2 ` V 3 und V 1 X V 2 X V 3 t0u ist. 4

(a) Diese Aussage ist richtig. Wähle ein Komplement von V 1, das heisst, einen Unterraum V 2 von V mit V V 1 V 2. Dann ist die Abbildung V 1 ˆ V 2 Ñ V, pv 1, v 2 q ÞÑ v 1 ` v 2 bijektiv. Definiere eine Abbildung f : V Ñ V durch fpv 1 ` v 2 q : fpv 1 q ` v 2 für alle v 1 P V 1 und v 2 P V 2. Da f linear ist, zeigt eine direkte Rechnung, dass auch f linear ist. Wir behaupten, dass f bijektiv ist. Seien dafür zunächst v 1 P V 1 und v 2 P V 2 mit fpv 1 q ` v 2 0. Dann ist fpv 1 q v 2 P V 1 XV 2 t0u und somit fpv 1 q v 2 0. Wegen der Injektivität von f ist dann auch v 1 0. Also ist Kernp fq t0u und somit f injektiv. Sei andererseits v P V beliebig. Schreibe v v 1 ` v 2 mit v 1 P V 1 und v 2 P V 2. Dann ist v 1 fpf 1 pv 1 qq und somit v fpf 1 pv 1 qq ` v 2 fpf 1 pv 1 q ` v 2 q. Also ist f surjektiv. Insgesamt ist f bijektiv und daher ein Isomorphismus V Ñ V, also ein Automorphismus von V. (b) Diese Aussage ist falsch. Betrachte zum Beispiel den durch Linksmultiplikation mit der Matrix ˆ0 1 A : 0 0 gegebenen Endomorphismus L A : R 2 Ñ R 2. Dann ist KernpL A q xp1, 0q T y BildpL A q. Die zwei Unterräume haben weder den Durchschnitt t0u, noch erzeugen sie zusammen R 2, daher können sie nicht die innere direkte Summe V Kernpfq Bildpfq bilden. (c) Diese Aussage ist richtig. Sei B eine Basis von V. Dann ist die Abbildung ð bpb K Ñ V, px b q b ÞÑ ÿ bpb bijektiv. Andererseits ist jeder Vektor b P B ungleich Null und somit die Abbildung K Ñ xby, x b ÞÑ x b b bijektiv. Also ist auch die Abbildung ð bijektiv. Somit ist V À bpb xby. bpbxby Ñ V, pv b q b ÞÑ ÿ bpb (d) Diese Aussage ist falsch, zum Beispiel für die Unterräume V 1 : x`1 0 y und V 2 : x`0 y 1 und V3 : x`1 1 y von K 2. *6. Seien m und n Kardinalzahlen. Wir definieren deren Summe, indem wir disjunkte Mengen M und N mit M m und N n wählen und m`n : M YN setzen. Zeige: 5 1 xb b 1 vb

(a) Die so definierte Summe von Kardinalzahlen ist wohldefiniert, hängt also nicht von der Wahl von M und N ab. (b) Für alle Kardinalzahlen l, m, n gilt m`n n`m und l`pm`nq pl`mq`n sowie 0 ` m m. (c) Falls m oder n unendlich ist, gilt m ` n maxpm, nq. (a) Seien M 1 und N 1 zwei weitere disjunkte Mengen mit Kardinalitäten m und n. Dann existieren Bijektionen f : M Ñ M 1 und g : N Ñ N 1. Zusammengesetzt erhalten wir eine Bijektion f Y g : M Y N Ñ M 1 Y N 1, womit die Gleichheit M Y N M 1 Y N 1 folgt. (b) Dies folgt direkt daraus, dass für alle paarweise disjunkte Mengen L, M, N die Gleichungen M Y N N Y M und L Y pm Y Nq pl Y Mq Y N sowie Y M M gelten. (c) Aus Symmetriegründen können wir m ď n annehmen. Dann ist N unendlich und es existiert eine Injektion g : M ãñ N. Zusammen erhalten wir daraus eine Injektion # pgpxq, 0q für x P M, M Y N ãñ N ˆ t0, 1u, x ÞÑ px, 1q für x P N. Damit ist Da N unendlich ist, gilt andererseits N ď M Y N ď N ˆ t0, 1u. N ˆ t0, 1u ď N ˆ N N nach Aufgabe 7 (b) der Serie 7. Zusammen folgt daraus m ` n M Y N N n maxpm, nq. *7. Betrachte K-Vektorräume V i für alle i P I. Zeige die universellen Eigenschaften des Produkts und und der äusseren direkten Summe: (a) Für jeden Vektorraum W zusammen mit linearen Abbildungen f i : W Ñ V i für alle i P I existiert genau eine lineare Abbildung f : W Ñ Ś ipi V i so dass für alle j P I die Verknüpfung proj j f f j ist. (b) Für jeden Vektorraum W zusammen mit linearen Abbildungen f i : V i Ñ W für alle i P I existiert genau eine lineare Abbildung f : Ð ipi V i Ñ W so dass für alle j P I die Verknüpfung f incl j f j ist. 6

(a) Wir definieren die Abbildung f : W Ñ Ś ipi V i durch w ÞÑ pf i pwqq ipi. Damit gilt für alle j P I automatisch proj j fpwq proj j ppf i pwqq ipi q f j pwq für alle w P W. Die Abbildung f ist linear, was aus der Linearität der Abbildungen f i für i P I folgt. Sei nun g : W Ñ Ś ipi V i eine weitere lineare Abbildung so dass proj j g f j ist für alle j P I. Dann folgt direkt, dass für alle w P W gilt gpwq pf i pwqq ipi fpwq und daher folgt g f. (b) Wir definieren die Abbildung f : Ð ipi V i Ñ W durch pv i q ipi ÞÑ ř 1 jpi f jpv j q. Die Summe ist eine endliche Summe, weil v i für alle ausser endlich vielen i P I gleich null ist. Daher ist f wohldefiniert. Zudem gilt für alle j P I und alle v P V j automatisch f incl j pvq f j pvq. Weil f i für jedes i P I eine lineare Abbildung ist, folgt durch eine kurze Überprüfung, dass auch f linear ist. Sei nun g : Ð ipi V i Ñ W eine weitere lineare Abbildung so dass g incl j f j ist für alle j P I. Sei pv i q ipi P Ð ipi V i. Dann ist ÿ1 gppv i q ipi q g incli pv i q ÿ 1 gpincli pv i qq ÿ 1 fi pv i q fppv i q ipi q ipi ipi ipi und daher ist g f. 7