Relativistische Sterne

Relativistische Stene von Mike Geog Benhadt 18. Oktobe 2010 Im Folgenden wid zunächst ein kuze Abiss de Allgemeinen Relativitätstheoie gegeben und diese auf komakte Stene, d.h. Neutonenstene und Weiße Zwege, angewandt. Die Tolman-Oenheime- Volkoff-Gleichungen, welche die Stuktu elativistische Stene bescheiben, weden hegeleitet und analytisch fü den Außenbeeich eines Stens sowie das Innee eines Stens homogene Dichte gelöst. Schließlich wid ein numeisches Vefahen vogestellt, mit dem die TOV-Gleichungen auch im Inneen von Stenen inhomogene Dichte gelöst weden können. De hie wiedegegebene Text entsicht im wesentlichen den Kaiteln 2 und 3 meine Dilomabeit [1]. E-Mail: m.g.benhadt@web.de

2 M. G. Benhadt Inhaltsvezeichnis 1 Allgemeine Relativitätstheoie 3 1.1 Diffeentialgeometie......................... 3 1.2 Gavitation.............................. 10 2 Relativistische Stene 12 2.1 Metik statische, kugelsymmetische Systeme........... 12 2.2 Stellae Stuktugleichungen..................... 15 2.3 Äußee Schwazschild-Lösung.................... 20 2.4 Innee Schwazschild-Lösung..................... 21 2.5 Numeische Lösung de TOV-Gleichungen............. 24 2.6 Neutonenstene............................ 26 2.7 Weiße Zwege............................. 31 Liteatuvezeichnis 33

Relativistische Stene 3 1 Allgemeine Relativitätstheoie 1.1 Diffeentialgeometie Die Diffeentialgeometie bildet das mathematische Geüst de Allgemeinen Relativitätstheoie. Die hysikalische Raumzeit efüllt alle Eigenschaften eine Mannigfaltigkeit; veanschaulicht bedeutet dies, dass die Raumzeit lokal wie de euklidische Raum R 4 aussieht, d.h. sie ist lokal flach und kann in de Umgebung eines jeden ihe Punkte duch 4-Tuel eelle Zahlen, so genannte Koodinaten, beschieben weden. Eine solche Umgebung mit ihem Koodinatensystem nennt man eine Kate. Da die Raumzeit gekümmt sein kann, benötigt man im Allgemeinen mehee, sich übelaende Katen zu vollständigen Bescheibung de Raumzeit. 1 Auf de Raumzeit-Mannigfaltigkeit Σ können Kuven C : R Σ, λ x α λ) definiet weden. Duch die Ableitung von C nach dem Kuvenaamete λ im Punkt ist ein Tangentialvekto an die Kuve in diesem Punkt gegeben: v α = dxα dλ. 1.1) Diese Tangentialvekto ist kein Element de Mannigfaltigkeit eine Mannigfaltigkeit ist kein Vektoaum, sonden eine Punktmenge); man muss sich ehe an jedem Punkt de Mannigfaltigkeit einen Vektoaum, den so genannten Tangentialaum T Σ), angeheftet denken. T Σ) ist die Menge de Tangentialvektoen alle duch velaufenden Kuven. De Tangentialvekto 1.1) kann auch koodinatenunabhängig geschieben weden: 2 v = d dλ. 1.2) Fasst man die Basisvektoen e α) als die Tangentialvektoen an die duch velaufenden Koodinatenlinien auf, also jenen Kuven, längs dee sich nu die Koodinate x α ändet und die andeen konstant bleiben, sodass x α selbst als Kuvenaamete heangezogen weden kann, egibt sich in diese Notation 3 e α) = x α =: α. 1.3) 1 Eine Analogie ist die Ede, deen Obefläche nicht in eine einzigen Kate dagestellt weden kann. 2 Im Folgenden lasse ich den Index weg. v bezeichnet dann das Tangentialvektofeld an die Kuve C. 3 De Index α nummeiet die Basisvektoen. E steht in Klammen, damit man ihn nicht mit einem Komonentenindex vewechselt.

4 M. G. Benhadt Aus 1.2) folgt mit de Kettenegel v = d dλ = dxα dλ x = α vα e α), 1.4) was als die Entwicklung des Tangentialvektos nach den Basisvektoen inteetiet weden kann. Die vie Zahlen dx α /dλ sind die Koodinaten von v bezüglich de Basis {e α) }. Um die Länge eines Vektos und Winkel zwischen zwei Vektoen angeben zu können, muss auf dem Tangentialaum ein Skalaodukt definiet sein. Dies geschieht duch Einfühen de Metik g. In de Sache de Diffeentialgeometie ist g eine 2-Fom, also eine bilineae Funktion, die zwei Vektoen aus demselben Tangentialaum eine eelle Zahl, nämlich ih Skalaodukt, zuodnet, g : T Σ) T Σ) R, v, w) v, w, mit v, w = gv, w) = gv α e α), w β e β) ) = v α w β ge α), e β) ) = g αβ v α w β, 1.5) wobei im ditten Schitt die Bilineaität ausgenutzt, und im vieten Schitt die Bezeichnung ge α), e β) ) =: g αβ eingefüht wude. Die Wikung de Metik auf einen einzigen Vekto inteetiet man wie folgt: Duch ṽ ) = gv, ) wid ein so genannte Kovekto ode duale Vekto definiet, de ein Element des dualen Tangentialaumes T Σ) ist. Auf einen Vekto w T Σ) angewandt, liefet e das Skalaodukt v, w = ṽw) = ṽw β e β) ) = ṽe β) ) w β = v β w β, 1.6) wobei die Scheibweise ṽe β) ) = gv α e α), e β) ) = v α g αβ =: v β eingefüht wude. Ein Dualvekto ist eine 1-Fom, d.h. eine lineae Funktion, die einem Vekto aus T Σ) eine eelle Zahl zuodnet. Eine Mannigfaltigkeit, auf deen Tangentialäumen ein Skalaodukt definiet ist, nennt man Riemann sche Mannigfaltigkeit, wenn das Skalaodukt ositiv definit ist. Die Raumzeit ist eine Pseudo-Riemann sche Mannigfaltigkeit, denn das Skalaodukt eines Vieevektos mit sich selbst kann ositiv, negativ ode Null sein. Daaus egibt sich die Untescheidung in aumatige,

Relativistische Stene 5 zeitatige und lichtatige Vieevektoen. 4 Die unteschiedlichen Vozeichen fü Raum- und Zeitkoodinaten in de Metik sind eine hysikalische Notwendigkeit, denn daduch wid die kausale Stuktu de Raumzeit bestimmt. Duch die Abbildung Θ: Σ Σ, x α x α x 0, x 1, x 2, x 3 ) sei ein Basiswechsel auf Σ gegeben. Fü die Basisvektoen folgt mit de Kettenegel e α) = x = xα α x α x α = xα x α e α ) e α ) = xα x α e α). 1.7) In 1.4) eingesetzt, egibt sich das Tansfomationsvehalten eines Vektos bezüglich diese Koodinatentansfomation: v = v α e α) = v α xα x α e α ) = v α e α ) v α = xα x α vα. 1.8) Ein Vegleich von 1.7) mit 1.8) zeigt, dass sich die Vektokomonenten genau gegenläufig zu den Basisvektoen tansfomieen. Man nennt v α dahe auch die kontavaianten Komonenten von v. Das Tansfomationsvehalten eines Dualvektos folgt aus de Fodeung, dass das Skalaodukt invaiant unte Koodinatentansfomationen ist: v, w = v α w α! x α = v α w α = v α x α wα v α = xα v α. 1.9) x α Dies ist identisch mit dem Tansfomationsvehalten de Basisvektoen 1.7). Man nennt v α deshalb die kovaianten Komonenten von v. Ein fü die Physik zentale Begiff ist die Diffeentiation von Funktionen und Vektofelden. Duch 1.4) wude de Tangentialvekto an die Kuve C : R Σ, λ x α λ) als Ableitungsoeato nach dem Kuvenaamete eingefüht. Diese kann auf eine skalae Funktion f : Σ R, x α fx α ) angewandt weden, was eine eelle Zahl egibt: vf) = v α α f = v, f =: v f. 1.10) Duch vf) ist also die Richtungsableitung des Skalafeldes f längs v gegeben. Setzt man die Komonenten v α = dx α /dλ ein, so egibt sich v f = dxα dλ f x = df α dλ, 1.11) 4 Die Zuodnung hängt von de Signatu de Metik ab. Setzt man η = 1 fü die Signatu, +, +, +) und η = 1 fü die Signatu +,,, ), so gilt > 0 x α ist aumatig, η x α x α = 0 x α ist lichtatig, < 0 x α ist zeitatig.

6 M. G. Benhadt wobei das Skalafeld f nun als Funktion auf den Paameten λ R aufgefasst wude, statt auf den Punkten von Σ. Die totale Ableitung von f genaue: von f C) nach dem Kuvenaamete von C entsicht also de Richtungsableitung von f entlang des Tangentialvektos an C. Im R 4 steht zusätzlich die Richtungsableitung eines Vektofeldes w entlang de Kuve C zu Vefügung: v w = dw dλ wλ + dλ) wλ) := lim. 1.12) dλ 0 dλ Im Falle de Raumzeit ode eine allgemeinen Mannigfaltigkeit ist zu bedenken, dass diese Diffeentialquotient nu dann wohldefiniet ist, wenn die beiden Vektoen wλ + dλ) und wλ) dem gleichen Tangentialaum angehöen. Im R 4 ist dies de Fall, nicht abe in eine gekümmten Mannigfaltigkeit. Um den Diffeentialquotienten zu bilden, muss eine von beiden Vektoen in geeignete Weise in den Tangentialaum des andeen Vektos tansotiet weden. Bildlich gesochen muss ein Zusammenhang zwischen veschiedenen Tangentialäumen definiet sein. Man kann dann scheiben v w = Dw dλ w λ+dλ λ) wλ) := lim, 1.13) dλ 0 dλ wobei w λ+dλ λ) de Vekto ist, de aus wλ + dλ) duch Paalleltansot vom Punkt x α λ + dλ) nach x α λ) entsteht. v w bezeichnet die so genannte kovaiante Ableitung des Vektofeldes w längs v. Ein Zusammenhang zwischen veschiedenen Tangentialäumen besteht, wenn die kovaianten Ableitungen alle Basisvektoen entlang alle Basisvektoen also eβ) e α) fü alle α, β gegeben sind. Als Ableitungsoeato genügt v de Poduktegel, und es gilt v w = v w α e α) = v w α) e α) + w α v e α) = v β wα x β e α) + w α v β eβ) e α), 1.14) woin ausgenutzt wude, dass die kovaiante Ableitung eine Vektokomonente, v w α, de nomalen Richtungsableitung 1.10) entsicht. De Vekto eβ) e α) kann nach den Basisvektoen e γ) entwickelt weden: eβ) e α) = Γ γ αβ e γ). 1.15) Die Entwicklungskoeffizienten Γ γ αβ nennt man Chistoffelsymbole. Mit ihnen egibt sich aus 1.14) die γ-komonente de kovaianten Ableitung zu v w) γ = v β β w γ + w α v β Γ γ αβ = dwγ dλ + wα dxβ dλ Γγ αβ, 1.16)

Relativistische Stene 7 wobei im zweiten Schitt die Komonenten v β = dx β /dλ des Tangentialvektos eingesetzt und die Kettenegel angewandt wude. Betachten wi als Sezialfall die kovaiante Ableitung entlang e β), also eβ) =: β ; sie lautet β w) γ = β w γ + w α Γ γ αβ. 1.17) Im Folgenden wede ich zu Veeinfachung die Klamme weglassen und fü die kovaiante Ableitung einfach β w γ scheiben; man sollte jedoch im Hintekof behalten, dass damit nicht die Ableitung de w γ -Komonente gemeint ist was einfach die atielle Ableitung β w γ ist), sonden die γ-komonente de kovaianten Ableitung von w! Die kovaiante Ableitung emöglicht es, den Begiff des Paalleltansotes eines Vektos eindeutig zu definieen. Zu Veanschaulichung betachten wi einen Halbkeis als Beisiel eine Mannigfaltigkeit) mit dem Tangentialvekto w im Punkt. Auf den esten Blick scheint es mehee Möglichkeiten zu geben, diesen Vekto zum Punkt q hin aallel zu veschieben: Man kann daunte entwede eine solche Veschiebung vestehen, die die Richtung des Vektos beibehält, wie in Abbildung 1a gezeigt; ode man vesteht daunte eine Veschiebung wie in Abbildung 2a, sodass de Vekto wähend des Tansotes imme tangential zu jene Kuve bleibt, entlang dee e veschoben wid. Die este Vaiante mag venünftig escheinen, da die Vektoen w und ŵ in Abbildung 1a tatsächlich aallel sind; jedoch hängt dieses Uteil von de At de Einbettung de Mannigfaltigkeit ab! De Halbkeis kann ohne Ändeung seine inneen Geometie zu eine Linie abgeollt weden wie in Abbildung ŵ 1b und 2b ŵ dagestellt de Riemann-Tenso eine eindimensionalen Mannigfaltigkeit ist Null; w de Halbkeis w hat also keine innee Kümmung, sonden q nu w q w eine duch die At qde Einbettung w q w bestimmte äußee Kümmung). Wie man sieht, sind w und ŵ dann nicht meh aallel zueinande. Dies zeigt, dass die von de euklidischen Geometie geägte Anschauung de Begiffe Paallelität und Paallelveschiebung nicht ohne weitees auf Mannigfaltigkeiten übetagba ist. Stattdessen müssen diese Begiffe duch innee Eigenschaften de Mannigfaltigkeit definiet weden; so geschehen mit de ŵ q w q ŵ ŵ w ww q q w ŵ w q w q q ww w q w a) b) Abb. 1 Paalleltansot, 1. Methode a) b) Abb. 2 Paalleltansot, 2. Methode ŵ q w ŵ q w q w w q w

8 M. G. Benhadt 2. Methode. In diesem Sinne sind die Vektoen w und w in Abbildung 2 zueinande aallel. Etwas fomale ausgedückt: Ein Vekto w ist entlang de Kuve C aallel tansotiet, wenn die kovaiante Ableitung in Richtung des Tangentialvektos v diese Kuve veschwindet, v w = 0. Eine Kuve, entlang dee de Tangentialvekto selbst aallel tansotiet ist, v v = 0, heißt Geodäte. Wie aus 1.16) esichtlich, efüllt sie die Kuvengleichung d 2 x γ dλ 2 + dxα dλ dx β dλ Γγ αβ = 0. 1.18) Unte eine Geodäte kann man sich die küzeste Vebindung zwischen zwei Punkten de Mannigfaltigkeit vostellen. Im euklidischen Raum sind dies Geaden; auf eine allgemeinen Mannigfaltigkeit können Geodäten jedoch gekümmt sein. Ein Chaakteistikum de euklidischen Geometie ist das Paallelenaxiom: Zwei Geaden schneiden sich in höchstens einem Punkt; aallele Geaden schneiden sich nie. Fü die Geodäten auf eine Mannigfaltigkeit ist dies im Allgemeinen nicht zuteffend. Aus dem nichtlineaen Vehalten des Abstandsvektos benachbate Geodäten de so genannten geodätischen Abweichung kann ein Maß fü die Kümmung de Mannigfaltigkeit abgeleitet weden. Dazu betachtet man eine Familie von Geodäten, deen Punkte duch x α λ, ς) gegeben seien, wobei λ die Geodäten aametisiet und ς den Übegang zwischen veschiedenen Geodäten. Neben dem Tangentialvekto v α = dx α /dλ gibt es in jedem Punkt einen Abstandsvekto u α = dx α /dς zwischen veschiedenen Geodäten. De Ausduck v u hat dann die Bedeutung eine elativen Geschwindigkeit zweie Geodäten, und v v u = D 2 u/dλ 2 entsicht de elativen Beschleunigung. Es gilt mit dem Riemann schen Kümmungstenso D 2 u dλ 2 = Rα βγδ e α) v β v γ u δ 1.19) R α βγδ := γ Γ α δβ δ Γ α γβ + Γ α γεγ ε δβ Γ α δεγ ε γβ. 1.20) De Riemann-Tenso bescheibt die intinsische Kümmung eine Mannigfaltigkeit im Unteschied zu äußeen Kümmung, die eine Folge de Einbettung in einen höhedimensionalen Raum und somit keine diekte Eigenschaft de Mannigfaltigkeit selbst ist. Man bezeichnet eine Mannigfaltigkeit als gekümmt, wenn de zugehöige Riemann sche Kümmungstenso von Null veschiedene Komonenten besitzt. Diese Aussage ist unabhängig vom gewählten Koodinatensystem, denn ein Tenso, de in einem Koodinatensystem von Null veschiedene Komonenten besitzt, hat auch in jedem andeen Koodinatensystem nichtveschwindende

Relativistische Stene 9 Komonenten: Einen Tenso kann man nicht wegtansfomieen! 5 Weitee Konsequenzen de Kümmung eine Mannigfaltigkeit sind die Wegabhängigkeit des Paalleltansotes von Vektoen und die Nichtvetauschbakeit de kovaianten Ableitung. Auf ein Vektofeld w angewandt bedeutet dies 6 γ δ δ γ ) w = R α βγδ e α) w β. 1.21) In de Allgemeinen Relativitätstheoie und insbesondee in de Banentheoie sielt ein weitee Kümmungstenso eine wichtige Rolle, nämlich de Weyl- Tenso. Diese egibt sich aus dem Riemann-Tenso duch Abziehen alle Kontaktionen: C αβγδ := R αβγδ g α[γ R δ]β R α[γ g δ]β + 1 3 Rg α[γg δ]β 1.22) mit dem Ricci-Tenso R αβ := R γ αγβ und dem Ricci-Skala R := g αβ R αβ. De Weyl-Tenso ist so konstuiet, dass all seine Suen C β βγδ, C γ βγδ, C δ βγδ etc.) veschwinden; e ist also de sufeie Anteil des Riemann-Tensos und besitzt auch dessen Symmetieeigenschaften. Daübe hinaus ist e invaiant unte konfomen = winkelteuen) Tansfomationen, d.h. zu eine Metik g αβ gehöt de gleiche Weyl-Tenso wie zu Metik Ω 2 g αβ, mit eine beliebigen Funktion Ω = Ωx 0, x 1, x 2, x 3 ). Die hysikalische Bedeutung des Weyl-Tensos wede ich im nächsten Kaitel noch nähe eläuten. 5 Diese Eigenschaft folgt aus dem Tansfomationsvehalten eines Tensos bei Wechsel des Koodinatensystems: A α β = xα x β x α x β Aα β. Ist A α β = 0 fü alle α und β, so veschwinden auch alle A α β, d.h. in jedem andeen Koodinatensystem ist de Tenso ebenfalls Null. 6 Ich gehe gundsätzlich von veschwindende Tosion aus, also Γ γ αβ = Γγ βα, was von den Chistoffelsymbolen als Zusammenhangskomonenten automatisch efüllt wid.

10 M. G. Benhadt 1.2 Gavitation Die Allgemeine Relativitätstheoie liefet eine geometische Ekläung de Gavitation, indem sie die Kümmung de Raumzeit mit eine vogegebenen Mateieveteilung in Beziehung setzt. Die Kolung zwischen Mateie und Kümmung kommt duch die Einstein schen Feldgleichungen G αβ := R αβ 1 2 Rg αβ = κt αβ, κ := 8πG 1.23) zum Ausduck. 7 Eine äquivalente Fomulieung de Feldgleichungen ehält man duch Bildung de Su, also Multilikation von 1.23) mit g αβ und Summation übe beide Indizes: R 1 2 Rδα α = R 2R = R = κt α α =: κt. Einsetzen in 1.23) egibt R αβ = κ T αβ 1 2 T g αβ). 1.24) Man kann zeigen, dass sich Testteilchen, d.h. Photonen ode massebehaftete Köe, die eine venachlässigbae Kümmung de Raumzeit veusachen, stets entlang geodätische Linien bewegen, sofen sie keinen äußeen Käften untewofen sind. 8 Ihe Tajektoien genügen also de Bewegungsgleichung 1.18) d 2 x γ dλ 2 + dxα dλ dx β dλ Γγ αβ = 0, 1.25) wobei λ die Bahnkuve aametisiet. Fü die zeitatigen Bahnkuven massebehaftete Testteilchen kann man als Kuvenaamete die Eigenzeit τ wählen. Kombiniet man dies mit den Einstein schen Feldgleichungen, so egibt sich folgendes Bild: Mateie Masse und Enegie) kümmt die Raumzeit; in eine gekümmten Raumzeit sind die küzesten Vebindungen zwischen zwei Punkten die Geodäten im Allgemeinen keine Geaden meh, sonden Kuven; Photonen und mateielle Köe bewegen sich entlang diese gekümmten Geodäten; dies eweckt den Anschein eine Kaftwikung. Die Newton sche Schwekaft wid in de Allgemeinen Relativitätstheoie somit als Scheinkaft inteetiet. Man beachte, dass duch die Einsteingleichungen 1.23) bzw. 1.24) Mateie nicht an den Riemann-Tenso gekoelt wid, de die innee) Kümmung de Raumzeit bescheibt, sonden an den Ricci-Tenso. Zelegt man den Riemann- Tenso wie in Gleichung 1.22) in den Weyl-Tenso, Ricci-Tenso und Ricci-Skala, R αβγδ = C αβγδ + g α[γ R δ]β + R α[γ g δ]β 1 3 Rg α[γg δ]β, 1.26) 7 Ich gehe davon aus, dass die kosmologische Konstante wenigstens in den fü uns inteessanten Situationen im Inneen und in de näheen Umgebung eines Stens venachlässigba klein ist. 8 Siehe Weinbeg [2], Seite 70 77.

Relativistische Stene 11 so sieht man, dass de Kümmungsanteil, de nicht duch die Einsteingleichungen festgelegt wid, mit dem Weyl-Tenso übeeinstimmt. Diese ist jedoch nicht völlig unbestimmt: Da de Riemann-Tenso die Bianchi-Identität [ε R αβ]γδ = 0 efüllt, hängt de Weyl-Tenso übe die Beziehung α C αβγδ = [γ R δ]β + 1 6 g β[γ δ] R 1.27) vom Ricci-Tenso ab. 9 Mit den Einsteingleichungen 1.24) folgt dann de Zusammenhang zwischen de Mateieveteilung und Weylkümmung: α C αβγδ = κ [γ T δ]β + 1 3 g β[γ δ] T ). 1.28) Wie man an den Einsteingleichungen 1.23) und 1.24) sieht, gilt bei Abwesenheit jegliche Mateie, also veschwindendem Enegie-Imuls-Tenso G αβ = 0, R αβ = 0, R = 0. 1.29) Aus de Definition des Weyl-Tensos 1.22) folgt in diesem Falle R αβγδ = C αβγδ. 1.30) Im Vakuum ist de Weyl-Tenso also mit dem Riemann-Tenso identisch. Folglich wid duch den Weyl-Tenso die Kümmung in Vakuumegionen de Raumzeit beschieben wie z.b. Gezeiteneffekte und Gavitationswellen. Im Gegensatz zum Ricci-Tenso, de mit dem Enegie-Imuls-Tenso duch den algebaischen Ausduck 1.23) veknüft ist, ist de Weyl-Tenso übe eine Diffeentialgleichung an Mateie gekoelt. Folglich gibt es zu einem vogegebenen Enegie-Imuls- Tenso, je nach Wahl de Randbedingungen, mehee Lösungen fü den Weyl- Tenso. 9 Siehe Caoll [3], Seite 169 f.

12 M. G. Benhadt 2 Relativistische Stene 2.1 Metik statische, kugelsymmetische Systeme Wi betachten den idealen Fall eines statischen und kugelsymmetischen Stens, suchen also nach Lösungen de Einstein schen Feldgleichungen in Regionen de Raumzeit mit diesen Eigenschaften. Die gesuchte Metik sollte in goße Entfenung zum Sten in die Minkowski-Metik übegehen, das in Kugelkoodinaten, ϑ, ϕ) ausgedückte Linienelement demnach gegen ds 2 = dt 2 + d 2 + 2 dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2) 2.1) steben. Die Fodeungen nach Statik und Rotationssymmetie sind efüllt, wenn wi fü das Linienelement in de Umgebung des Stens den Ansatz ds 2 = e 2Φ dt 2 + e 2 Λ d 2 + e 2Θ 2 dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2) 2.2) wählen, wobei Φ, Λ und Θ Funktionen von sind. 10 Die Feiheit in de Wahl des Koodinatensystems kann dazu ausgenutzt weden, den Fakto e 2Θ veschwinden zu lassen. Dazu definieen wi zunächst eine neue adiale Koodinate := e Θ, mit dem Diffeential d = e Θ d + e Θ dθ = 1 + Θ ) e Θ d. 2.3) Die Substitution von duch in 2.2) egibt dann ds 2 = e 2Φ dt 2 + e2 Λ Θ) 1 + Θ ) 2 d 2 + 2 dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2), 2.4) woin Φ, Λ und Θ nun als Funktionen von aufgefasst weden. Schließlich können noch die folgenden Umbenennungen vogenommen weden, e 2 Λ Θ) 1 + Θ ) 2 eλ, 2.5) und wi ehalten das einfachee, abe ebenso allgemeine Linienelement ds 2 = e 2Φ dt 2 + e 2Λ d 2 + 2 dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2). 2.6) 10 Φ, Λ und Θ teten hie als Agumente de Exonentialfunktion auf, was den Voteil hat, dass man dem Linienelement diekt die Signatu de Metik, +, +, +) ansieht.

Relativistische Stene 13 Die oben definieten aumzeitlichen Polakoodinaten t,, ϑ, ϕ) nennt man Schwazschildkoodinaten ode auch Kümmungskoodinaten. 11 Aus dem zugehöigen metischen Tenso e 2Φ 0 0 0 0 e 2Λ 0 0 g αβ = 0 0 2 2.7) 0 0 0 0 2 sin 2 ϑ und dessen Invese e 2Φ 0 0 0 g αβ 0 e 2Λ 0 0 = 0 0 2 0 0 0 0 2 sin 2 ϑ egeben sich die Chistoffelsymbole Γ δ αβ := 1 2 gδγ α g βγ + β g γα γ g αβ ) 2.8) Γ t t = Φ, Γ tt = Φ e 2Φ Λ), Γ = Λ, Γ ϑϑ = e 2Λ, Γ ϕϕ = e 2Λ sin 2 ϑ, Γ ϑ ϑ = 1, Γ ϑ ϕϕ = sin ϑ cos ϑ, Γ ϕ ϕ = 1, Γ ϕ ϑϕ = cos ϑ sin 1 ϑ, 2.9) und daaus de Riemann-Tenso R α βγδ := γ Γ α δβ δγ α γβ + Γα γεγ ε δβ Γα δε Γε γβ R t t = Φ Λ Φ Φ 2, R t ϑtϑ = Φ e 2Λ, R t ϕtϕ = Φ e 2Λ sin 2 ϑ, R ϑϑ = Λ e 2Λ, R ϕϕ = Λ e 2Λ sin 2 ϑ, R ϑ ϕϑϕ = 1 e 2Λ) sin 2 ϑ, 2.10) de Ricci-Tenso R αβ := R γ αγβ R tt = Φ + Φ 2 Φ Λ + 2Φ 1) e 2Φ Λ), R = Φ Φ 2 + Φ Λ + 2Λ 1, R ϑϑ = Λ Φ 1 ) e 2Λ + 1, R ϕϕ = sin 2 ϑ R ϑϑ, 2.11) 11 Die anschauliche Bedeutung de Schwazschild--Koodinate ist die folgende siehe Misne et al. [4], Seite 595 ff): Sei P ein Punkt, duch den eine Kugelobefläche mit Mittelunkt im Koodinatenusung gelegt wude, und A 0 deen Flächeninhalt, gemessen in Eigenlängen. Fü die Schwazschild--Koodinate von P gilt dann 4π 2 = A 0.

14 M. G. Benhadt de Ricci-Skala R := R αβ g αβ R = 2 Φ + Φ 2 Φ Λ + 2 Φ Λ + 1 ) e2λ e 2Λ, 2.12) 2 und schließlich de Einstein-Tenso G αβ := R αβ 1 2 Rg αβ G tt = 2Λ 1 + e 2Λ) 2 e 2Φ Λ), G = 2Φ + 1 e 2Λ) 2, ) G ϑϑ = Φ + Φ 2 Φ Λ + Φ Λ 2 e 2Λ, G ϕϕ = sin 2 ϑ G ϑϑ. 2.13) Alle übigen, nicht genannten Komonenten sind Null.

Relativistische Stene 15 2.2 Stellae Stuktugleichungen Die Stuktu statische und kugelsymmetische Stene wid duch einen Satz gewöhnliche Diffeentialgleichungen este Odnung beschieben, den so genannten Tolman-Oenheime-Volkoff-Gleichungen 12 m = 4π 2 ϱ, 2.14) Φ = Gm + 4πG3 2Gm), 2.15) = ϱ + )Φ, 2.16) die zusammen mit eine Zustandsgleichung de Stenmateie = ϱ) 2.17) ein geschlossenes Gleichungssystem fü die vie unbekannten Funktionen m), ϱ), ) und Φ) bilden. Das zugehöige Linienelement lautet ds 2 = e 2Φ) dt 2 + 1 2Gm) ) 1 d 2 + 2 dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2). 2.18) Wähend die Zustandsgleichung eine Mateialeigenschaft ist, die ich als gegeben voaussetze, lassen sich die dei stellaen Stuktugleichungen diekt aus den Einstein schen Feldgleichungen ableiten, wenn man fü den Enegie-Imuls- Tenso den eine idealen Flüssigkeit ansetzt: T αβ = ϱ + )u α u β + g αβ. 2.19) Dain bezeichnen ϱ := ϱ 0 + ε die totale Massen-Enegiedichte, die sich aus de Massendichte ϱ 0 und de inneen Enegiedichte ε zusammensetzt, den Duck und u α die 4e-Geschwindigkeit des Flüssigkeitselementes im betachteten Raumunkt. Im statischen Fall uht jedes Flüssigkeitselement bezüglich des gewählten Koodinatensystems, und die 4e-Geschwindigkeit hat nu eine t-komonente, u α = u t δ α t. Aus de Nomieung u α u α = 1 folgt dann u α = e Φ δ α t, u α = e Φ δ t α, 2.20) und de Enegie-Imuls-Tenso lautet ϱe 2Φ 0 0 0 0 e 2Λ 0 0 T αβ = 0 0 2 0. 2.21) 0 0 0 2 sin 2 ϑ 12 Im Folgenden duch TOV-Gleichungen abgeküzt.

16 M. G. Benhadt Setzt man diesen zusammen mit dem Einstein-Tenso 2.13) in G αβ = κt αβ ein, so ehält man die dei Gleichungen 2Λ 1 + e 2Λ) e 2Λ = κ 2 ϱ, 2.22) 2Φ + 1 e 2Λ) e 2Λ = κ 2, 2.23) ) Φ + Φ 2 Φ Λ + Φ Λ e 2Λ = κ. 2.24) Die ϕϕ-komonenten-gleichung entsicht de ϑϑ-gleichung 2.24), und alle nichtdiagonalen Komonenten von G αβ und T αβ fühen auf Gleichungen, die tivial efüllt sind 0 = 0). Scheibt man 2.22) wie folgt um κ = 8πG eingesetzt) 8πG 2 ϱ = 1 e 2Λ + 2Λ e 2Λ = [ 1 e 2Λ)] 2.25) und füht die Bezeichnung 1 e 2Λ) =: 2Gm) e 2Λ = 1 2Gm) 2.26) ein, so folgt die TOV-Gleichung m ) = 4π 2 ϱ und das Linienelement 2.18). Als Lösung diese TOV-Gleichung ehalten wi die so genannte totale Masse m) = 4π 0 d 2 ϱ), 2.27) die man als elativistisches Analogon de Masse-Enegie innehalb des Kugeladius inteetiet, 13 wobei die Integationskonstante m0) = 0 gesetzt wude. 14 Stellt man 2.23) nach Φ um und setzt e 2Λ = 1 2Gm ein, so egibt sich die 13 Im Unteschied zu Newton schen Masse m N ) = 4π 0 d 2 ϱ 0 ) 2.28) fließt in die totale Masse neben de Massendichte ϱ 0 auch die innee Enegiedichte ε ein, ϱ := ϱ 0 + ε. Fene untescheidet sich 2.27) von de Ruhemasse m 0 ) = 4π und de so genannten gavitativen Masse m G ) = 4π 0 0 d 2 ϱ 0 )e Λ), 2.29) d 2 ϱ)e Λ), 2.30) bei denen die Integation übe das Eigenvolumenelement dv = 4π 2 e Λ d ausgefüht wid. 14 Ich folge de Agumentation von Misne et al. [4], Seite 602: m0) = 0 imliziet eine

Relativistische Stene 17 zweite TOV-Gleichung, Φ = Gm+4πG3. Die ditte TOV-Gleichung kann aus de 2Gm) Kombination von 2.22) 2.24) hegeleitet weden. Man stellt zunächst 2.22) und 2.23) wie folgt um und leitet 2.34) nach ab 2Λ = κ 2 ϱ 1 ) e 2Λ + 1, 2.33) 2Φ = κ 2 + 1 ) e 2Λ 1 2.34) 2Φ + 2Φ = 2Λ κ 2 + 1 ) e 2Λ + 2κ + κ 2 ) e 2Λ = 2Λ 2Φ + 1 ) + 2κ + κ 2 ) e 2Λ, 2.35) wobei im zweiten Schitt wiede 2.34) eingesetzt wude. Umstellen nach Φ Φ = 2Φ Λ Φ Λ + κ + 1 2 κ ) e 2Λ 2.36) und Einsetzen in 2.24) liefet zunächst κe 2Λ = 2Φ Λ Φ Λ + κ + 1 2 κ ) e 2Λ + Φ 2 Φ Λ + Φ Λ = Φ 2 + Φ Λ + κ + 1 κ ) e 2Λ 2.37) 2 und schließlich = Φ 2 + Φ Λ 1 = 2Φ + 2Λ Φ 2 κe2λ κ 2 e 2Λ κ 2 + 1 ) e 2Λ 1 + κ 2 ϱ 1 ) e 2Λ + 1 = Φ κ 2 e 2Λ = ϱ + )Φ, 2.38) hysikalisch akzetable Geometie ohne Singulaität im Usung, denn fü kleine ist ϱ) const, folglich gilt m) = 4 3 πϱ c 3 mit ϱ c := ϱ0), und das äumliche Linienelement lautet mit de Abküzung dω 2 := dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) ds 2 = 1 2Gm) ) 1d 2 + 2 dω 2 = 1 8 3 πgϱ c 2) 1 d 2 + 2 dω 2 d 2 + 2 dω 2, 2.31) wähend m0) 0 eine im Usung singuläe Raummetik zu Folge hat, ds 2 = 1 2Gm) ) 1d 2 + 2 dω 2 d2 2Gm0) + 2 dω 2. 2.32)

18 M. G. Benhadt wobei im ditten Schitt 2.33) und 2.34) eingesetzt wuden. Altenativ lässt sich diese Gleichung auch aus de Enegie-Imuls-Ehaltung α T αβ = 0 heleiten. 15 Beechnet man die kovaiante Ableitung des Enegie-Imuls-Tensos α T αβ = α T αβ + Γ α αλt λβ + Γ β αλ T αλ 2.39) mit ϱe 2Φ 0 0 0 T αβ 0 e 2Λ 0 0 = 0 0 2 0 0 0 0 2 sin 2 ϑ 2.40) und den Chistoffelsymbolen 2.9), so liefet nu die β = -Komonente eine nichttivial efüllte Gleichung, nämlich 0 =! α T α = α T α + Γ α αλt λ + Γ αλt αλ = T + ) Γ t t + Γ + Γ ϑ ϑ + Γ ϕ ϕ T + Γ ttt tt + Γ T + Γ ϑϑt ϑϑ + Γ ϕϕt ϕϕ = e 2Λ ) + Φ + Λ + 1 + 1) e 2Λ + Φ e 2Φ Λ) ϱe 2Φ + Λ e 2Λ e 2Λ 2 e 2Λ sin 2 ϑ 2 sin 2 ϑ = [ 2Λ + Φ + Λ + 2 1) + Φ ϱ + Λ 2 1] e 2Λ = [ + ϱ + )Φ ] e 2Λ, 2.41) was wiede auf = ϱ + )Φ füht. Die beiden TOV-Gleichungen fü Φ und können zu eine Gleichung fü das hydostatische Gleichgewicht des Stens kombiniet weden: 16 = ϱ + )Gm + 4πG3 ) 2Gm). 2.42) Etwas anschauliche wid diese Gleichung, wenn man sie in de Fom = Gmϱ 1 + ) ) 1 + 4π3 1 2Gm ) 1 2.43) 2 ϱ m 15 Die Enegie-Imuls-Ehaltung ist keine zusätzliche Bedingung, sonden sie folgt aus de Bianchi-Identität α G αβ = 0 und den Einsteingleichungen G αβ = κt αβ. 16 Diese Gleichung wude estmals von Oenheime und Volkoff [5] hegeleitet und wid dahe auch als Oenheime-Volkoff-Gleichung bezeichnet.

Relativistische Stene 19 ode, wenn auch noch die TOV-Gleichung dm = 4π 2 ϱd eingesetzt wid, 4π 2 d = Gm dm 1 + ) ) 1 + 4π3 1 2Gm ) 1 2.44) 2 ϱ m scheibt. Man denke sich eine Kugelschale des Stens mit Radius und Dicke d. De Duck am inneen Rand de Kugelschale sei ) und de am äußeen Rand ) d. Auf de linken Seite von 2.44) steht die Kaft, die aufgund de Duckdiffeenz d auf die Kugelschale wikt. Diese Kaft wid duch die Teme auf de echten Seite ausbalanciet: Dabei ist de este Fakto die Newton sche Gavitationskaft, die zwischen de totalen Masse m) innehalb des Radius und de Masse dm de Kugelschale wikt; die dei andeen Faktoen können als allgemeinelativistische Koektuen aufgefasst weden, die eine betagsmäßige Vegößeung des Duckgadienten im Vegleich zum Newton schen Genzfall = Gmϱ 0 / 2 bewiken. Folgt man dem Duckvelauf von de Obefläche zum Zentum des Stens, so egibt die elativistische Beechnung einen stäkeen Anstieg als die Newton sche Vohesage. Da de Duck selbst als Koektutem einfließt, wid die Abweichung vom Newton schen Limes umso göße, je göße de Duck ist. Dies hat zu Folge, dass elativistische Stene komakte sind und ab eine kitischen Gesamtmasse instabil weden, da de Duck im Zentum dann beliebig goß wüde.

20 M. G. Benhadt 2.3 Äußee Schwazschild-Lösung Eine analytische Lösung de Einstein schen Feldgleichungen im Außenbeeich eines statischen, kugelsymmetischen Stens wude estmals von Kal Schwazschild [6] gefunden. Seine Lösung wid üblicheweise aus den Einsteingleichungen im Vakuum, R αβ = 0, hegeleitet, sie folgt abe auch aus den TOV-Gleichungen: Da Dichte und Duck außehalb des Stens veschwinden, gilt m = 0 m R) = const = mr) =: M, 2.45) wobei mit R de Radius des Stens bezeichnet wude. Die TOV-Gleichung fü Φ lautet dann Φ = GM 2GM), 2.46) was mit de Randbedingung e 2Φ ) = 1, also Φ ) = 0, integiet weden kann: Mit de Substitution Φ) = d Φ = GM d 2 ). 2.47) 1 2GM ξ := 1 2GM dξ d = 2GM 2 d = dξ 2 2GM 2.48) ehalten wi Φ) = ξ 1 dξ 2ξ = 1 ln 1 2GM ) 2 e 2Φ = 1 2GM, 2.49) und aus 2.18) folgt dann das Schwazschild sche Linienelement fü > R ds 2 = 1 2GM ) dt 2 + 1 2GM ) 1 d 2 + 2 dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2). 2.50)

Relativistische Stene 21 2.4 Innee Schwazschild-Lösung Wie in Abschnitt 2.2 beeits ewähnt, benötigt man zu Lösung de TOV-Gleichungen im Inneen eines Stens die Zustandsgleichung de Stenmateie. Eine analytische Lösung wude von Kal Schwazschild [7] fü eine homogene Dichteveteilung hegeleitet, also fü die Zustandsgleichung ϱ = const =: ϱ fü alle ), 2.51) was de Fall ist, wenn de Sten aus eine inkomessiblen Flüssigkeit besteht, ode sich aus Schichten unteschiedliche Zusammensetzungen aufbaut, deen Zustandsgleichungen geade die gefodete homogene Dichte totz vaiieenden Duckes egeben. Die totale Masse 2.27) im Inneen des Stens ist dann m) = 4 3 π3 ϱ, 2.52) und die Gleichung des hydostatischen Gleichgewichts 2.42) lautet 4 3 = πgϱ + )ϱ + 3) 1 8πGϱ. 2.53) 3 2 Integation unte Beücksichtigung de Randbedingung R) = 0, liefet R d 1 ϱ + )ϱ + 3) = 4 3 πg R d 1 8 3 πgϱ 2 1 1 ln ϱ ) 3 + R = 1 ) ln 1 R 83 2ϱ ϱ + 4ϱ πgϱ 2 ϱ + ) ϱ + 3) = 1 8πGϱ 3 R 2 1 8πGϱ 3 = 2 1 S R 1 1 S 2 R 3 2.54) mit dem Schwazschildadius S := 2GM. Duch Umstellen nach ) egibt sich 1 S R ) = ϱ 1 1 S 2 R 3 1 S 2 R 3 3. 2.55) 1 S R 1 Die metische Funktion e 2Φ ehält man duch Integation de TOV-Gleichung = ϱ + )Φ mit den Randbedingungen ΦR) = 1 2 ln 1 S /R ) am Rand muss die innee Metik stetig in die äußee Schwazschildmetik 2.49) übegehen)

22 M. G. Benhadt und R) = 0 Mit 2.55) ist das Egebnis R Φ) = ΦR) + d ϱ + ) = ΦR) + lnϱ + ) e 2Φ = R = 1 ln 1 ) S + ln 2 R = ln ϱ ϱ + ) 1 + ) )ϱ 1. 2.56) 1 S R 1 3 1 S 2 R 1 1 S 2 2 R 3 ) ) 2, 2.57) und das Linienelement fü < R lautet 3 ds 2 = 1 2GM 2 R 1 ) 2 1 2GM2 dt 2 2 R 3 ) 1 + 1 2GM2 d 2 + 2 dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2). R 3 2.58) Wie man sieht, titt im Zentum des Stens bei = 0 keine Singulaität auf sofen ein Sten mit endlichem Radius R betachtet wid). Eine inteessante Eigenschaft diese Lösung egibt sich aus dem Genzwetvehalten von Gleichung 2.54), wenn man den zentalen Duck c := 0) gegen unendlich laufen lässt. In diesem Limes gilt S R = 1 ϱ + ) 2 c 8 ϱ + 3 c 9 fü c. 2.59) Jede stabile Sten homogene Dichte, dessen zentale Duck einen endlichen Wet hat, efüllt dahe die Relation 17 S R < 8 9 GM R < 4 9. 2.60) Wie man sieht, gilt S < R, d.h. de Schwazschildadius eines solchen Stens liegt in seinem Inneen, und somit teten wede in de inneen Metik 2.58), 17 Man kann zeigen, dass die Relation GM/R < 4/9 fü alle Stene gilt und nicht nu fü Stene mit homogene Dichte. Siehe Weinbeg [2], Seite 331 ff.

Relativistische Stene 23 noch in de äußeen 2.50) Koodinatensingulaitäten auf. Mit M = 4 3 πr3 ϱ egibt sich aus 2.60) ein maximale Radius und eine maximale Masse fü einen Sten homogene Dichte: R max = 3πGϱ ) 1/2, Mmax = 4 9 3πG 3 ϱ ) 1/2. 2.61) Es ist denkba, dass ein anfangs stabile Sten duch das Aufsammeln von Mateie beisielsweise von einem Begleitsten diese Genzwete übescheitet, somit instabil wid und kollabiet. Eine deatige Vohesage existiet in de Newton schen Gavitationstheoie nicht. Setzt man fü ϱ die mittlee Dichte de Sonne 1 g/cm 3 ) bzw. die eines tyischen Weißen Zwegs 10 6 g/cm 3 ) und Neutonenstens 10 15 g/cm 3 ) ein, ehält man die folgenden Wete: ϱ [g/cm 3 ] R max M max 1 543 R 10 8 M 10 6 0,5 R 10 5 M 10 15 11,95 km 3,6 M In Abschnitt 2.6 wid die maximale Masse eines Neutonenstens mit inhomogene Dichteveteilung numeisch emittelt. Das Egebnis lautet M max = 2,047 M bei eine zentalen Dichte von ϱ c = 2,85 10 15 g/cm 3.

24 M. G. Benhadt 2.5 Numeische Lösung de TOV-Gleichungen Fü ealistische Stenmodelle mit eine inhomogenen Dichteveteilung existieen keine analytischen Lösungen de TOV-Gleichungen; man geift dahe zu numeischen Vefahen. Falls die Zustandsgleichung de Stenmateie als analytische Funktion = ϱ) gegeben ist, 18 gilt ) = ϱ) ) = ) 1 ϱ ϱ ϱ =, 2.62) ϱ und die TOV-Gleichungen egeben das Gleichungssystem m = 4π 2 ϱ, 2.63) c 2 ϱ + ) Gm + 4πG 3 /c 2) = c 2 2Gm ), 2.64) c 2 ϱ ϱ + ) Gm + 4πG 3 /c 2) ) 1 = c 2 2Gm ), 2.65) ϱ Φ = Gm + 4πG3 /c 2 c 2 2Gm ), 2.66) woin die Lichtgeschwindigkeit c wiede exlizit eingesetzt wude. Die esten dei Diffeentialgleichungen sind unabhängig von Φ und können duch ein numeisches Vefahen wie dem Runge-Kutta-Algoithmus 19 integiet weden. Dabei statet 18 Zustandsgleichungen fü Neutonenstenmateie liegen in de Regel nu in tabellaische Fom vo, an die bestenfalls eine analytische Funktion angefittet weden kann. Einen solchen Fit wede ich im Folgenden vewenden. 19 De Runge-Kutta-Algoithmus RK4) ist ein Vefahen zu aoximativen Lösung eines Systems gewöhnliche Diffeentialgleichungen este Odnung in x, y = fx, y). 2.67) Sind die Wete de gesuchten Funktionen yx) in einem Statunkt x 0 bekannt, yx 0 ) = y 0, so egeben sich die Wete von y bei x n+1 = x n + h aus de Iteation mit y n+1 = y n + 1 6 k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) + Oh 5 ), 2.68) k 1 = h f x n, y n ), 2.69) k 2 = h f x n + 1 2 h, y n + 1 2 k 1), 2.70) k 3 = h f x n + 1 2 h, y n + 1 2 k 2), 2.71) k 4 = h f x n + h, y n + k 3 ). 2.72) De RK4-Algoithmus ist eine Methode 4. Odnung in de Schittweite h; de Fehle in jede Iteation ist Oh 5 ), wähend sich de totale Vefahensfehle zu Oh 4 ) aufsummiet.

Relativistische Stene 25 man im Zentum des Stens mit den Anfangsweten m0) = 0, ϱ0) = ϱ c, 0) = ϱ c ), 2.73) wobei ϱ c beliebig vogegeben weden kann, und ϱ c ) aus de Zustandsgleichung folgt. 20 Man füht die Iteation bis zum Rand des Stens aus, de duch die Bedingung R) = 0 definiet ist. Als Egebnis ehält man den Velauf von m), ) und ϱ) zu jedem Iteationsschitt. Vaiiet man den Statwet ϱ c, so ehält man eine Sequenz von Lösungen, also Stene mit unteschiedlichen Radien R und Gesamtmassen M := mr). Bei de Φ -Gleichung handelt es sich um ein Randwetoblem, statt eines Anfangswetoblems wie bei den dei andeen Gleichungen, denn nicht de Wet Φ0) im Zentum ist bekannt, sonden ΦR) = 1 ln 1 2GM/c 2 R ). Da in Gleichung 2.66) Φ selbst nicht auftitt, sonden nu die Ableitung Φ, kann zu jede 2 Lösung Φ) eine beliebige Konstante addiet weden, was zu eine neuen Lösung von Gleichung 2.66) füht. Diese Konstante ist so zu wählen, dass die Randbedingung ΦR) = 1 ln 1 2GM/c 2 R ) efüllt wid. Möchte man den Velauf von 2 Φ) im Inneen des Stens emitteln, so integiet man zunächst das volle Diffeentialgleichungssystem 2.63) 2.66) numeisch mit einem beliebigen Statwet Φ 1 0), bildet mit den ehaltenen Weten fü R, mr), und ΦR) die Diffeenz Φ = 1 ln 1 2GmR) ) ΦR) 2.75) 2 c 2 R und lässt schließlich eine zweite Iteation laufen, bei de man den Statwet Φ 2 0) = Φ 1 0) + Φ 2.76) vewendet. Die zweite Iteation liefet dann den koekten Velauf von Φ) mit dem gewünschten Übegang in die äußee Schwazschildlösung. Im Folgenden betachten wi Neutonenstene und Weiße Zwege jene komakten Endzustände de stellaen Entwicklung, deen Stuktu im Wesentlichen von de Gavitation bestimmt wid. Stahlungstansot- ode Konvektionsvogänge bleiben unbeücksichtigt; fene vewende ich temeatuunabhängige Zustandsgleichungen und beschänke mich damit auf kalte Neutonenstene bzw. kalte Weiße Zwege. 20 Da in den TOV-Gleichungen 2.64) 2.66) im Nenne steht, kann die Iteation nicht genau im Zentum des Stens beginnen. Ich definiee dahe ein kleines 0 und gehe davon aus, dass Dichte und Duck im Volumen 4 3 π3 0 annähend konstant sind, sodass fü den esten Iteationsschitt die Wete vewendet weden können. 0, m 0 = 4 3 π3 0ϱ c, ϱ 0 = ϱ c, 0 = ϱ c ) 2.74)

26 M. G. Benhadt 2.6 Neutonenstene Bei de numeischen Integation de TOV-Gleichungen vewende ich die Zustandsgleichung SLy von Douchin & Haensel [8], die den Zusammenhang zwischen Dichte und Duck im Ken und de Kuste des Neutonenstens aoximativ wiedegibt. Wie Haensel & Potekhin [9] gezeigt haben, können die tabellaisch voliegenden Wete von SLy duch die Funktion ζ = a 1 + a 2 ξ + a 3 ξ 3 f a 5 ξ a 6 ) ) 1 + a 4 ξ + a 7 + a 8 ξ) f a 9 a 10 ξ) ) + a 11 + a 12 ξ) f a 13 a 14 ξ) ) + a 15 + a 16 ξ) f a 17 a 18 ξ) ) 2.77) angefittet weden, wobei die Abküzungen ζ := log, ξ := log ϱ und fx) = e x + 1 ) 1 2.78) vewendet wuden. Die Wete de 18 Paamete a i lauten: a 1 = 6,22 a 7 = 19,105 a 13 = 4,3 a 2 = 6,121 a 8 = 0,8938 a 14 = 14,08 a 3 = 0,005925 a 4 = 0,16326 a 9 = 6,54 a 10 = 11,4950 a 15 = 27,80 a 16 = 1,653 2.79) a 5 = 6,48 a 11 = 22,775 a 17 = 1,50 a 6 = 11,4971 a 12 = 1,5707 a 18 = 14,67 Neben de Zustandsgleichung selbst benötigen wi in 2.65) auch deen Ableitung nach ϱ. Mit = 10 ζ, ζ = ζξϱ)), ξϱ) = log ϱ 2.80) gilt nach de Kettenegel d dϱ = 10ζ ζ ζ ξ dξ dϱ = 10ζ ln 10 ζ ξ 1 ξ ln 10 = ξ ζ ξ. 2.81)

Relativistische Stene 27 36 34 32 ζ = log [dyn/cm 2 ] 30 28 26 24 22 di tans 20 18 4 6 8 10 12 14 16 ξ = log [g/cm 3 ] Abb. 3 Die Zustandsgleichung SLy de Neutonenstenmateie Die Ableitung ζ/ ξ kann diekt aus 2.77) beechnet weden. Sie lautet ζ ξ = a2 ξ + 3a 3 ξ 2) 1 + a 4 ξ ) a 4 a1 + a 2 ξ + a 3 ξ 3) 1 + a 4 ξ) 2 fx 1 ) a 1 + a 2 ξ + a 3 ξ 3 1 + a 4 ξ a 5 e x 1 f 2 x 1 ) + a 8 fx 2 ) + a 7 + a 8 ξ)a 9 e x 2 f 2 x 2 ) + a 12 fx 3 ) + a 11 + a 12 ξ)a 13 e x 3 f 2 x 3 ) + a 16 fx 4 ) + a 15 + a 16 ξ)a 17 e x 4 f 2 x 4 ), 2.82) mit den Abküzungen x 1 = a 5 ξ a 6 ), x 2 = a 9 a 10 ξ), x 3 = a 13 a 14 ξ), x 4 = a 17 a 18 ξ). 2.83) Die Zustandsgleichung SLy in ihe duch Gleichung 2.77) gegebenen analytischen Fom ist in Abbildung 3 dagestellt. Sie bescheibt die Mateie eines Neutonenstens von de äußeen Kuste ϱ 10 4 g/cm 3 ) bis zum Zentum, wo die Enegiedichte bei ca. 0,5- bis 10-fache Kendichte 2,5 10 14 g/cm 3 ) liegt. Die Mateie de äußeen Kuste besteht wie auch das Innee eines Weißen Zwegs aus einem entateten Elektonengas und Atomkenen, die ein Kistall-

28 M. G. Benhadt 16 log [g/cm 3 ] 14 12 10 8 6 4 2 1.5 tans di 0 2 4 6 8 10 12 m/m 1.0 0.5 Ken innee Kuste äußee Kuste 0 0 2 4 6 8 10 12 [km] Abb. 4 Enegiedichte und totale Masse eines Neutonenstens mit ϱ c = 10 15 g/cm 3 gitte bilden. Außen heschen 56 Fe-Kene vo, wähend weite innen mit zunehmende Dichte imme neutoneneichee Kene aufteten. De Übegang von de äußeen zu inneen Kuste bei ϱ di 4 10 11 g/cm 3 ist in Abbildung 3 duch ein lötzliches Abflachen de Zustandsgleichung zu ekennen. Ab diese Dichte töfeln Neutonen aus den Atomkenen, und ein Gas aus Neutonen und Elektonen füllt den Raum zwischen neutoneneichen Atomkenen. Mit steigende Enegiedichte wächst de Anteil feie Neutonen, bis sich die Atomkene ab eine Übegangsdichte von etwa ϱ tans 1,7 10 14 g/cm 3 aufzulösen beginnen, und sich eine stak inkomessible Neutonenflüssigkeit bildet, de noch ein kleine Anteil an Potonen und Elektonen beigemischt ist. Aus diese Mateie besteht de Ken des Neutonenstens. 21 In Abbildung 4 sind die Egebnisse de numeischen Integation des Diffeentialgleichungssystems 2.63) 2.65) fü einen Sten mit ϱ c = 10 15 g/cm 3 dagestellt: Sein Dichteofil ϱ) und de Velauf de totalen Masse m) vom Zentum bis 21 Siehe auch Camenzind [10], Seite 188, 242 f.

Relativistische Stene 29 15 R [km] 13 11 9 0 2 4 6 8 10 12 14 2.0 M/M 1.5 1.0 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 c/ nuc 15 R [km] 13 11 9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 M/M Abb. 5 Radius und Gesamtmasse von Neutonenstenen veschiedene Zentaldichten zum Rand des Stens. Fü diese zentale Enegiedichte ehalten wi einen Neutonensten mit Radius R = 11,689 km und Gesamtmasse M = 1,418 M. E besteht aus einem 10,67 km goßen Ken, eine etwa 630 m dicken inneen Kuste und eine ca. 390 m dicken äußeen Kuste. Wie in Abbildung 4 oben zu sehen ist, genzt sich die innee Kuste duch einen lötzlichen, seh staken Abfall de Dichte bei = 10,67 km ϱ tans ) deutlich vom Ken ab; den Übegang von de inneen zu äußeen Kuste makiet ein abutes Abflachen de Dichte bei = 11,30 km ϱ di ). Vaiiet man die zentale Dichte im Intevall ϱ c /ϱ nuc = [1, 14], so ehält man eine Sequenz von Neutonenstenen unteschiedliche Gößen und Massen. In Abbildung 5 sind Radius R und Gesamtmasse M als Funktionen de Zentaldichte ϱ c

30 M. G. Benhadt aufgetagen, sowie R in Abhängigkeit von M. In de so ezeugten Sequenz von Lösungen sind jedoch nicht alle Konfiguationen stabil. Eine notwendige Bedingung, damit es sich bei eine Lösung Mϱ c ) um eine instabile Konfiguation handelt, lautet dmϱ c )/dϱ c < 0. Das Maximum de Mϱ c )-Kuve in Abbildung 5 stellt demnach den masseeichsten noch stabilen Neutonensten mit M max = 2,047 M da. Es liegt bei etwa 11,4-fache Kendichte, d.h. bei ϱ c = 2,85 10 15 g/cm 3, und einem Stenadius von R = 9,986 km. Im RM)-Diagamm entsicht es dem Punkt, in dem die Kuve ückläufig wid. Eine wichtige Vohesage de Allgemeinen Relativitätstheoie ist, dass Konfiguationen mit höheen Zentaldichten instabil sind.

Relativistische Stene 31 2.7 Weiße Zwege Zu numeischen Integation de TOV-Gleichungen fü Weiße Zwege vewende ich die Zustandsgleichung 22 ϱ) = m ec 2 Λ e 1 8π 2 [ 1 + ξ 2 2 3 ξ2 1 ) ξ + ln 1 + ξ2 + ξ )], ξ = 1,0088 10 2 ϱ µ e ) 1/3 2.84) mit de Comtonwellenlänge des Elektons Λ e = /m e c und dem mittleen Molekulagewicht o Elekton µ e 2. Fü einen Weißen Zweg de zentalen Dichte ϱ c = 10 6 g/cm 3 egibt sich de in Abbildung 6 gezeigte Velauf de Enegiedichte ϱ) und totalen Masse m). Eine Vaiation de zentalen Dichte füht auf die in Abbildung 7 gezeigte Sequenz von Lösungen Mϱ c ). Auch hie gibt es eine maximale Masse, die in etwa bei de Chandasekha-Genze von 1,4 M liegt. 6 log [g/cm 3 ] 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 0.4 m/m 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 100 /R Abb. 6 Dichte und totale Masse eines Weißen Zweges mit ϱ c = 10 6 g/cm 3 22 Siehe Camenzind [10], Seite 154 ff.

32 M. G. Benhadt 1.5 1.0 M/M 0.5 0 4 5 6 7 8 9 10 log c [g/cm 3 ] Abb. 7 Gesamtmasse von Weißen Zwegen mit vaiieende Zentaldichte

Relativistische Stene 33 Liteatuvezeichnis [1] M. G. Benhadt, Komakte Stene in de Banenwelt, Dilomabeit, Ruecht-Kals-Univesität Heidelbeg, 2009) htt://www.ub.uni-heidelbeg.de/achiv/9309 [2] S. Weinbeg, Gavitation and Cosmology, John Wiley & Sons, New Yok, London, Sydney, Toonto, 1972 [3] S. M. Caoll, Sacetime and Geomety, Addison Wesley, San Fancisco, Boston, New Yok u.a., 2004 [4] C. W. Misne, K. S. Thone, J. A. Wheele, Gavitation, W. H. Feeman & Comany, San Fancisco, 1973 [5] J. R. Oenheime, G. M. Volkoff, On Massive Neuton Coes, Phys. Rev. 55, 374 1939) [6] K. Schwazschild, Übe das Gavitationsfeld eines Massenunktes nach de Einsteinschen Theoie, Sitzungsbe. Peuß. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl., 189 1916) [7] K. Schwazschild, Übe das Gavitationsfeld eine Kugel aus inkomessible Flüssigkeit nach de Einsteinschen Theoie, Sitzungsbe. Peuß. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl., 424 1916) [8] F. Douchin, P. Haensel, A unified equation of state of dense matte and neuton sta stuctue, A&A 380, 151 2001) axiv:asto-h/0111092v2 [9] P. Haensel, A. Y. Potekhin Analytical eesentations of unified equations of state of neuton-sta matte, A&A 428, 191 2004) axiv:asto-h/0408324v2 [10] M. Camenzind, Comact Objects in Astohysics, Singe-Velag, Belin, Heidelbeg, 2007