Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im lnternet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Peter Frommenwiler, Kurt Studer Mathematik für Mittelschulen Geometrie 6., korrigierte Auflage 2006 Copyright O 1997 Text, Illustration, Ausstattung by Sauerländer Verlage AG, (Sauerländer), Oberentfelden, Switzerland Mathematik für Mittelschulen Geometrie Lösungen ISBN-10: 3-0345-01 50-1 / ISBN-13: 978-3-0345-01 50-7 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf deshalb der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlags. Sauerländer Verlage AG, Ausserfeldstrasse 9, 5036 Oberentfelden www.sauerlaender.ch
Vorwort 3 Vorwort Die vorliegende Aufgabensammlung wurde für den Mathematikunterricht an den Mittelschulen konzipiert. Die Aufgaben decken einen Teil der Themen (ausgenommen geometrische Konstruktionen) der Sekundarstufe II ab. Für die Umsetzung im Unterricht sind zusätzlich Materialien, Sequenzen und interdisziplinäre Anwendungen notwendig. Die Aufgabensammlung enthält Übungsmaterial und praxisbezogene Beispiele. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind die Aufgaben in die Bereiche Planimetrie, Trigonometrie, Stereometrie und Vektorgeometrie eingeteilt. Aus methodischer Hinsicht ist es aber sinnvoll und möglich, diethemen in einer andern Reihenfolge zu behandeln. Zu den Aufgaben: Wichtig ist, dass Lehrerinnen und Lehrer, abgestimmt auf ihren individuellen Unterricht und angepasst an die unterschiedlichen Anspruchsniveaus der Schülerinnen und Schüler, aus der Vielfalt der Aufgaben eine Auswahl treffen. Die Autoren erachten es als sinnvoll und notwendig, bestimmte Aufgaben mit einem Computerprogramm beziehungsweise einem grafikfähigen Rechner (Algorithmus, Formel) zu lösen. Aufgaben, die ein elektronisches Hilfsmittel (2.6. grafikfähiger Rechner) erfordern. Es werden z.b. Geräte von Texas Instruments empfohlen. * Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad Unter den oben aufgeführten Gesichtspunkten ermöglicht die vorliegende Aufgabensammlung einen methodisch-didaktisch vielfältigen Einsatz. Im Frühjahr 1997 Autoren und Verlag
4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1. Planimetrie 7 1.1 Winkel 1.1.1 Winkel an Parallelen, Winkel am Dreieck 1.1.2 Winkel am Kreis 1.2 Berechnungen am Dreieck und Viereck 22 1.2.1 Einfache Aufgaben zu Pythagoras, Katheten- und Höhensatz 23 1.2.2 Spezielle Dreiecke 25 1.2.3 Kreisberührungsaufgaben 27 1.2.4 Berechnung von Flächeninhalten und Abständen 29 1.2.5 Tangentenabschnitte, Tangentenviereck 33 1.2.6 Vermischte Aufgaben 34 1.3 Berechnungen am Kreis 1.3.1 Kreis und Kreisring 1.3.2 Das Bogenmass 1.3.3 Der Sektor 1.3.4 Das Segment 1.3.5 Vermischte Aufgaben 1.4 Strahlensätze 56 1.5 Ähnliche Figuren 1.5.1 Die zentrische Streckung 1.5.2 Ähnliche Figuren 1.5.3 Ähnliche Dreiecke 1.5.4 Ähnlichkeit am Kreis 2. Trigonometrie 83 2.1 Das rechtwinklige Dreieck 2.1.1 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck 2.1.2 Aufgaben aus der Optik 2.1.3 Flächeninhalt eines Dreiecks 2.1.4 Berechnungen am Kreis 2.2 Das allgemeine Dreieck 2.2.1 Definition der Winkelfunktionen für beliebige Winkel 2.2.2 Sinussatz
Inhaltsverzeichnis 5 2.2.3 Cosinussatz 2.2.4 Vermischte Aufgaben mit Parameter 2.3 Aufgaben aus Physik und Technik 2.3.1 Aufgaben aus der Statik 2.3.2 Aufgaben aus der Vermessung 2.4 Ähnliche Figuren 2.5 Trigonometrische Funktionen 2.5.1 Argumente im Gradmass 2.5.2 Argumente im Bogenmass 2.5.3 Angewandte Aufgaben 2.6 Goniometrie 2.6.1 Beziehungen zwischen sin a, cos ol und tan cr 2.6.2 Additionstheoreme 2.6.3 Funktionen des doppelten Winkels 2.6.4 Transzendente Gleichungen 3. Stereometrie 3.1 Beziehungen im Raum 3.1.1 Lage von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum 3.1.2 Winkel im Raum 3.2 Ebenflächig begrenzte Körper(Po1yeder) 3.2.1 Das Prisma 3.2.2 Pyramide und Pyramidenstumpf 3.2.3. Prismatoide 3.2.4 Reguläre Polyeder (Platonische Körper) 3.3 Krummflächig begrenzte Körper 3.3.1 Der Kreiszylinder 3.3.2 Kreiskegel und Kreiskegelstumpf 3.3.3 Kugel und Kugelteile 3.3.4 Rotationskörper 3.4 Ähnliche Körper 3.5 Extremwertaufgaben