Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 4. Vorlesung

Physik der sozio-ökonomischen Syseme mi dem Compuer PC-POOL RAUM 0.0 JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT 0..07 4. Vorlesung MATTHIAS HANAUSKE FRANKFURT INSTITUTE FOR ADVANCED STUDIES JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK ARBEITSGRUPPE RELATIVISTISCHE ASTROPHYSIK D-6048 FRANKFURT AM MAIN GERMANY

Plan für die heuige Vorlesung Kurze Wiederholung der Inhale der lezen Vorlesung: Klassifizierung von symmerischen ()-Spielen, weiere Spielypen, Grundlagen der evoluionären Spielheorie, evoluionär sabile Sraegien Evoluionären Spielheorie (EST) symmerischen ()-Spielen Dominane Spiele (z.b. Gefangenendilemma, Dilemma des Werüsens) Koordinaionsspiele (z.b. Hirschjag Spiel) Ani-Koordinaionsspiele (z.b. Angshasenspiel, Falke-Taube Spiel, Löwe- Lamm Spiel) Bi-Mari Spiele (EST unsymmerischer ()-Spiele) Das Räuber-Beue Spiel

Symmerisches ()-Spiel Allgemeines ()-Spiel

Weiere

Kampf der Geschlecher (Unsymmerisches ()-Koordinaionspiel) Kino Disko Kino (, ) (0, 0) Disko (0, 0) (, ) Auszahlungsmari des zweien Spielers: ˆ 0 0 Auszahlungsmari des ersen Spielers: 0 0 Symmeriebedingung simm nich: T 0 0 ˆ ˆ 0 0 unsymmerisches Spiel ˆ

Kampf der Geschlecher (Nash-Gleichgewiche in reinen Sraegien) Es gib keine dominane Sraegie bei diesem Spiel. Es gib zwei reine Nash-Gleichgewiche: (Kino,Kino) (Disko, Disko) Kino Disko Kino (, ) (0, 0) Disko (0, 0) (, )

Kampf der Geschlecher (Grafische Veranschaulichung des gemischen Nash-Gleichgewichs) Das Nash-Gleichgewich in gemischen Sraegien befinde sich bei *, y *, 4 4

Kein Nash-Gleichgewich in reinen Sraegien! Es gib keine dominane Sraegie und auch keine Nash-Gleichgewiche in reinen Sraegien. Es is ein symmerisches ()-Spiel. Sein Schere Papier Sein (0,0) (,-) (-,) Schere (-,) (0,0) (,-) Papier (,-) (-,) (0,0)

Evoluionäre Spielheorie (I) Die evoluionäre Spielheorie berache die zeiliche Enwicklung des sraegischen Verhalens einer gesamen Spielerpopulaion. zeiliche Enwicklung der Populaion (0)=0.5 (0)=0.5 Mögliche Sraegien: (grün, schwarz), Parameer sell die Zei dar. ( : Aneil der Spieler, die im Zeipunk die Sraegie grün spielen.

Evoluionäre Spielheorie (II) Die einzelnen Akeure innerhalb der beracheen Populaion spielen ein andauernd sich wiederholendes Spiel mieinander, wobei sich jeweils zwei Spieler zufällig reffen, das Spiel spielen und danach zu dem nächsen Spielparner wechseln. (0)=0.5 Die Anfangspopula ion von Spielern spiel zum Zeipunk =0 das erse Mal das Spiel. Die Spieler wählen im Miel zu 5% die grüne Sraegie. (0)=0.5 Das evoluionäre Spiel schreie voran und die grüne Sraegie wird für die Spieler zunehmend arakiver. Zum Zeipunk =0 spielen schon 50% grün.

Weiere

Klassifizierung von evoluionären, symmerischen ()-Spielen o Dominane Spiele (. Sraegie dominier.sraegie) Es eisier ein Nash - Gleichgewich, welches die anderen Sraegien dominier. ESS bei =0. o Koordinaionsspiele Es eisieren drei Nash Gleichgewiche und zwei reine ESS, die abhängig von der Anfangsbedingung realisier werden. o Ani Koordinaionsspiele Es eisieren drei Nash Gleichgewiche aber nur eine gemische ESS, die unabhängig von der Anfangsbedingung realisier wird. o Dominane Spiele (. Sraegie dominier.sraegie) Es eisier ein Nash - Gleichgewich, welches die anderen Sraegien dominier. ESS bei =.

Weiere

Evoluionär Sabile Sraegien Berachen Sie die folgenden Beispiele: Beispiel : Beispiel : Beispiel : Kugel Keine Kugel Kugel Keine Kugel Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Kugel (-, -) (, 0) Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Keine Kugel (0, ) (, ) Keine Kugel (-, ) (, ). Geben Sie mögliche dominane Sraegien und Nash- Gleichgewiche der Spiele an.. Besimmen und zeichnen Sie die Funkion g() für alle drei Spiele?. Berechnen Sie die Nullsellen der Funkion g() (g()=0). 4. Geben Sie die evoluionär sabilen Sraegien der Spiele an?

Dominane Sraegien und Nash-Gleichgewiche Beispiel Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Beispiel Kugel Keine Kugel Kugel (-, -) (, 0) Keine Kugel (0, ) (, ) Beispiel Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Das erse Spiel besiz nur ein Nash- Gleichgewich das gleichzeiig die dominane Sraegie des Spiels is (Kugel, Kugel). Das Spiel gehör zur Klasse der dominanen Spiele. Das zweie Spiel besiz keine dominane Sraegie, aber zwei unsymmerische Nash-Gleichgewich in reinen Sraegien ((K,KK) und (KK,K)) und ein gemisches Nash-Gleichgewich (0.67 K, 0. KK). Das Spiel gehör zur Klasse der Ani- Koordinaionsspiele. Das drie Spiel besiz ebenfalls keine dominane Sraegie, aber zwei symmerische Nash-Gleichgewich in reinen Sraegien ((K,K) und (KK,KK)) und ein gemisches Nash-Gleichgewich (0. K, 0.67 KK). Das Spiel gehör zur Klasse der Koordinaionsspiele.

Beispiel : Die Funkion ha zwei Nullsellen: Nullsellen der Funkion g() 0 0 0 0 ) ( g und 0 Beispiel : Die Funkion ha drei Nullsellen:, 6 6 5 6 4 5 6 5 6 5 6 5 p - q Formel 0 5 / 0 5 0 0 5 5 ) ( / / / g und, 0 Beispiel : Die Funkion ha drei Nullsellen: und, 0

Evoluionäre Sraegien (Beispiel ) Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das erse Beispiel laue: d( d g( ( ) ( Eine ESS bei = ( Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Da es sich bei diesem Beispiel um ein dominanes, symmerisches ()-Spiel handel und die Funkion g() im relevanen Bereich (=[0,]) immer größergleich Null is, sreb der Populaionsaneil der Kugel- Spieler unabhängig vom Anfangswer immer gegen. g( ) Beispiel : g()=g(() im Bereich [0,] dargesell ( für unerschiedliche Anfangspopulaionen (0)

Evoluionäre Sraegien (Beispiel ) Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das zweie Beispiel laue: d g( ( ) d ( ( 5( ( Eine ESS bei =0.67 Kugel Keine Kugel Kugel (-, -) (, 0) Keine Kugel (0, ) (, ) Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmerisches Ani-Koordinaionsspiel handel, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswer immer zu dem gemischen Nash- Gleichgewich, was idenisch mi der mileren Nullselle der Funkion g() is (=0.67). g( ) 5 Beispiel : g()=g(() im Bereich [0,] dargesell ( für unerschiedliche Anfangspopulaionen (0)

Evoluionäre Sraegien (Beispiel ) Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das zweie Beispiel laue: d g( ( ) d ( ( 4( ( Zwei ESSs : (= und =0) Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmerisches Koordinaionsspiel handel, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler abhängig vom Anfangswer zu einem der beiden reinen Nash- Gleichgewiche (= oder =0). g( ) 4 ( für unerschiedliche Anfangspopulaionen (0) Beispiel : g()=g(() im Bereich [0,] dargesell

Theorie Eperimen Eperimenelle Ergebnisse des in Lyon gespielen Beispiels Das erse Spiel besiz nur ein Nash-Gleichgewich das gleichzeiig die dominane Sraegie des Spiels is (Kugel, Kugel). Da es sich bei diesem Beispiel um ein dominanes, symmerisches ()-Spiel handel und die Funkion g() im relevanen Bereich (=[0,]) immer größer-gleich Null is, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswer immer gegen die evoluionär sabile Sraegie =. Die klassische evoluionäre Spielheorie sag demnach voraus, dass die Spieler innerhalb der beracheen Populaion nach einer gewissen Zei maßgeblich die Sraegie Kugel wählen (=). Die roe Kurve in der obigen Abbildung zeig die eperimenellen Ergebnisse des im Vorlesungseil 4 gespielen Beispiels.

Theorie Eperimen Eperimenelle Ergebnisse des in Lyon gespielen Beispiels Das zweie Spiel besiz keine dominane Sraegie, aber zwei unsymmerische Nash- Gleichgewich in reinen Sraegien ((K,KK) und (KK,K)) und ein gemisches Nash-Gleichgewich (0.67 K, 0. KK). Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmerisches Ani-Koordinaionsspiel handel, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswer immer zu dem gemischen Nash-Gleichgewich (der einzigen evoluionär sabilen Sraegie des Spiels), was idenisch mi der mileren Nullselle der Funkion g() is (=0.67). Die roe Kurve in der obigen Abbildung zeig die eperimenellen Ergebnisse des im Vorlesungseil 4 gespielen Beispiels.

Theorie Eperimen Eperimenelle Ergebnisse des in Lyon gespielen Beispiels Das drie Spiel besiz ebenfalls keine dominane Sraegie, aber zwei symmerische Nash- Gleichgewich in reinen Sraegien ((K,K) und (KK,KK)) und ein gemisches Nash- Gleichgewich (0. K, 0.67 KK). Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmerisches Koordinaionsspiel handel, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler abhängig vom Anfangswer zu einem der beiden reinen Nash-Gleichgewiche (= oder =0). Die klassische evoluionäre Spielheorie sag demnach voraus, dass es zwei evoluionär sabile Sraegien gib (= oder =0). Die roe Kurve in der obigen Abbildung zeig die eperimenellen Ergebnisse des im Vorlesungseil 4 gespielen Beispiels.

Analyische Lösung von Differenialgleichungen Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das erse Beispiel lauee: d( d g( ( ) ( ( Frage: Wie kann man die Funkion ( für einen besimmen Anfangswer (=0)berechnen?? g( ) Beispiel : g()=g(() im Bereich [0,] dargesell ( für unerschiedliche Anfangspopulaionen (0)

Analyische Lösung von Differenialgleichungen Ein einfaches Beispiel Ein einfaches Beispiel einer Differenialgleichung lauee: Analyische Lösung: d( d ( d d d d d d d / d d... d( d ( (0) ln e ( ( (0) d ( (0) e 0 e d ln( ( ) ln( (0)) ( ln (0) (0) Frage: Wie kann man die Funkion ( für einen besimmen Anfangswer (0)berechnen? e (...) ( (0) ( e 0. e (, wobei (0)=0.

Analyische Lösung: Analyische Lösung von Differenialgleichungen Beispiel Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das erse Beispiel lauee: ) ( ) ( ) ( d d Frage: Wie kann man die Funkion ( für einen besimmen Anfangswer (0)berechnen? d d d d d d d d d 0 ) ( (0)... / (0) (0) (0) ) ( (0) (0) (0) ) ( (0) (0) / (0) (0) (0) ) ( ) ( (0) (0) ) ( (0) (0) ) ( ) ( (0) ) ( (0) (0) ) ( ) ( (0) (0) ) ( ln ) ( (0) (0) ) ( ln (...) e e e e e e e e e e e e e e ) (0) ln( (0)) ln( ) ) ( ln( )) ( ln(

Analyische Lösung von Differenialgleichungen Beispiel Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das erse Beispiel lauee: d( d ( ( Frage: Wie kann man die Funkion ( für einen besimmen Anfangswer (0)berechnen? Analyische Lösung: ( (0) e (0) (0) e ( 0.e 0.7 0.e (, wobei (0)=0.

Zwei Länder sehen vor der Enscheidung die Sreikräfe ihres Landes miliärisch, aomar aufzurüsen oder aomar abzurüsen.. Definieren Sie das Spiel. Das Dilemma des Werüsens. Beschreiben Sie eine mögliche Siuaion der Länder und definieren Sie die dem Spiel zugrundeliegende Auszahlungsmari.. Berechnen Sie die Nash- Gleichgewiche des Spiels. Gib es eine dominane Sraegie? Nord Korea USA Aufrüsen Abrüsen Aufrüsen (??,??) (??,??) Abrüsen (??,??) (??,??) 4. Um welche Spielklasse handel es sich? 5. Handel es sich um ein symmerisches oder unsymmerisches Spiel?

Dilemma des Werüsens (. Mögliche Definiion des Spiels) Aufrüsen Aufrüsen Abrüsen Abrüsen Aufrüsen Abrüsen ( Länder) ( Sraegien) Spiel : (A, (S, S Menge der Spieler (Länder): A {,} {Land, Land } Sraegienmenge des- en Spielers (Land) : S Sraegienmenge des - en Spielers (Land ) : S Auszahlungsfunkion des. und.spielers: {s, s {s : S s ˆ, s S s ˆ (Auf, Auf ) a (Auf, Ab) b (Ab, Auf ) c (Ab, Ab) d ), (, } {Aufrüsen, Abrüsen} Auf Ab } {Aufrüsen, Abrüsen} und,,,, s ˆ Auf s ˆ Ab (a, a) (b, c) (c, b) (d, d) )) : S S (Auf, Auf ) a (Auf, Ab) c (Ab, Auf ) b (Ab, Ab) d :

Dilemma des Werüsens (. Eigenschafen der Auszahlungsmari (I)) s ˆ s ˆ Auf Ab s ˆ Auf s ˆ Ab (a, a) (b, c) (c, b) (d, d) Das zunächs allgemein definiere symmerische ()-Spiel des Werüsens zweier Länder wird nun durch Feslegung der freien Parameer (a,b,c und d) an eine spezifische Ausgangssiuaion angepass: Berache man den Nuzen für die Länder bei gemeinsamen Aufrüsen (Auf,Auf) und gemeinsamen Abrüsen (Ab,Ab), so nehmen wir im Folgenden an, dass es sowohl finanziell, als auch für das Wohlbefinden der einzelnen Länder von Voreil is Sraegie (Ab,Ab) zu wählen. a<d

Dilemma des Werüsens (. Eigenschafen der Auszahlungsmari (II)) s ˆ s ˆ Auf Ab s ˆ Auf s ˆ Ab (a, a) (b, c) (c, b) (d, d) Berache man den Nuzen für die Länder wenn Land aufrüse und Land abrüse (Auf,Ab), und sez voraus, dass beide Länder sich ernshaf voneinander bedroh fühlen, so würde Land diese Sraegienkombinaion sehr posiiv beweren, Land dagegen äußers negaiv. b>>c und b>d und c<a

Dilemma des Werüsens (. Eigenschafen der Auszahlungsmari (III)) s ˆ s ˆ Auf Ab s ˆ Auf s ˆ Ab (a, a) (b, c) (c, b) (d, d) Wir legen die Parameer des Spiels wie folg fes: Aufrüsen Abrüsen Aufrüsen (, ) (4, 0) Abrüsen (0, 4) (, ) Siehe: Schlee, Waler Einführung in die Spielheorie, Vieweg, 004 Seie 5

Dilemma des Werüsens (. Dominane Sraegien und Nash-Gleichgewiche). Es gib nur ein Nash-Gleichgewich, das gleichzeiig die dominane Sraegie des Spiels is: Aufrüsen Abrüsen Aufrüsen (, ) (4, 0) Abrüsen (0, 4) (, ) (Aufrüsen, Aufrüsen) is die dominane Sraegie des Spiels.

Dilemma des Werüsens (4. Spielklasse und 5. Symmerieeigenschaf s ˆ s ˆ Auf Ab s ˆ Auf s ˆ Ab (, ) (4, 0) (0, 4) (, ) Das konsruiere Spiel gehör der Klasse der dominanen Spiele an; es is dem Gefangenendilemma ähnlich. Das Dilemma des Werüsens wurde als ein symmerisches ()-Spiel konsruier. Mögliche Ungleichheien zwischen den Länder (ungleiche Ausgangssiuaionen und Machverhälnisse, einseiige Abhängigkeien, durchsezbare Druckmiel wie z.b. Sankionen, ) wurden vernachlässig. Es wurden desweieren mögliche drie Sraegien (z.b. eine Unerscheidung zwischen konvenioneller und aomarer Aufrüsung) nich mi einbezogen.

Analyische Lösung: Dilemma des Werüsens Die Differenialgleichung der Replikaordynamik lauee (eine ganze Populaion von Ländern spiel das Spiel des Werüsens): d( d ( ( ( Wir sezen den Anfangswer der Populaion auf (=0)=0. Analyische Lösung bei fesgelegem Anfangswer des Populaionsvekors ((0)=0.): ( 4 6 9e

Weiere

Das Falke Taube Spiel

Lösen des evoluionären Spiels mi Maple (Vorlage.mw)

Lösen des evoluionären Spiels mi Pyhon

Bi-Mari Spiele unsymmerische ()-Spiele, zwei unerscheidbare Populaionsgruppen Eckspiele Saelspiele Zenrumsspiele

Bi-Mari Spiele unsymmerische ()-Spiele, zwei unerscheidbare Populaionsgruppen

Symmerische (M)-Spiele Wir beschränken uns zunächs auf symmerische (M)-Spiele, d.h. zwei Personen - M Sraegien Spiele. Da es sich um symmerische Spiele handel, sind alle Spieler gleichberechig und man kann von einer homogenen Populaion ausgehen. Die Differenialgleichung der Replikaordynamik beschreib wie sich die einzelnen Populaionsaneil der zur Zei gewählen Sraegien j (, j=,, M im Laufe der Zei enwickeln. d M M j ( ( : j ( jk k ( d k l k M j kl k ( k ( kl Wobei die Parameer die einzelnen Einräge in der Auszahlungsmari des.spielers darsellen ˆ ˆ... M... M... M............... M M M... MM Finess der Sraegie j Durchschnilicher Erfolg der j-en Sraegie Durschniliche Finess (Auszahlung) der gesamen Populaion

Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele) Wir beschränken uns nun auf symmerische ()-Spiele, d.h. zwei Personen - Sraegien Spiele (M=). Die Differenialgleichung der Replikaordynamik vereinfach sich uner dieser Annahme wie folg: d d d j d j ( j ( jk k ( k l k j j j kl k ( k (, Da es lediglich zwei Sraegien und somi zwei Populaionsaneile ( können wir den zweien Populaionsaneil durch den ersen ausdrücken: Wir sezen im Folgenden der Einfachhei halber und und berachen nur j=. d d ) gib, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j d d d d j j j j j k l k k k kl k jk j j Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele) Wir beschränken uns nun auf symmerische ()-Spiele, d.h. zwei Personen - Sraegien Spiele (M=). Die Differenialgleichung der Replikaordynamik vereinfach sich uner dieser Annahme wie folg:

Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele) Man erhäl ein Sysem von drei gekoppelen Differenialgleichungen: d d d d d d Das Sysem von Differenialgleichungen läss sich bei gegebener Auszahlungsmari ˆ und Anfangsbedingung ( 0), (0), (0) meis nur nummerisch (auf dem Compuer) lösen. Die Lösungen besehen dann aus den drei (zeilich abhängigen) Populaionsaneilen, (, ( ). (

: mi d d d d d d Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: Die Sysem der Replikaordynamik besiz das folgende Aussehen: Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (, -) (-, ) Sraegie (-, ) (0, 0) (, -) Sraegie (, -) (-, ) (0, 0) Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel )

Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel ) Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: 0., 0., 0.6 Bei gewähler Anfangsbedingung ( 0), (0), (0) Lösung der Replikaordynamik das folgende Aussehen: Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (, -) (-, ) Sraegie (-, ) (0, 0) (, -) Sraegie (, -) (-, ) (0, 0) besiz die Schwarz: Ro : Blau : ( ( (

Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel ) Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (, -) (-, ) Sraegie (-, ) (0, 0) (, -) Sraegie (, -) (-, ) (0, 0) Aufgrund der Eigenschaf kann man ein Populaionsaneil durch die beiden Anderen ausdrücken. Zur Visualisierung projizier man gewöhnlich die zeiliche Veränderung der Populaionsaneile auf ein Dreieck, wobei man Baryzenrische Koordinaen benuz. Reine Sraegie Baryzenrische Koordinaen: y : z : Reine Sraegie Reine Sraegie

Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel ) Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: Die reche Abbildung zeig die zeiliche Enwicklung der relaiven Populaionsaneile der gewählen Sraegien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Die einzige evoluionär sabile Sraegie dieses Beispiels befinde sich beim gemischen Nash-Gleichgewich Die einzelnen Pfeile im Dreieck veranschaulichen den durch die,, Spielmari besimmen Sraegien- Richungswind, dem die Populaion zeilich folgen wird. Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (, -) (-, ) Sraegie (-, ) (0, 0) (, -) Sraegie (, -) (-, ) (0, 0) Reine Sraegie Gemisches Nash- Gleichgewich und ESS Reine Sraegie Reine Sraegie

Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel ) Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (-, -) (-, -) Sraegie (-, -) (0, 0) (-, -) Sraegie (-, -) (-, -) (0, 0) Die reche Abbildung zeig die zeiliche Enwicklung der relaiven Populaionsaneile der gewählen Sraegien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Das Spiel besiz drei Nash-Gleichgewiche in reinen Sraegien, die ebenfalls evoluionär sabile Sraegien darsellen. Welche der drei ESS die Populaion realisier häng von dem Anfangswer der Populaionsaneile ab. Die zeiliche Enwicklung folg wieder dem Sraegien- Richungswind der zugrundeliegenden Auszahlungsmari. Reine Sraegie Reine Sraegie Reine Sraegie

Replikaordynamik (Klassifizierung symmerische ()-Spiele) E. C. Zeeman, POPULATION DYNAMICS FROM GAME THEORY, In: Global Theory of Dynamical Sysems, Springer 980 E. C. Zeeman zeig in seinem im Jahre 980 veröffenlichen Arikel, dass man evoluionäre, symmerische ()-Spiele in 9 Klassen eineilen kann. Die Abbildung rechs zeig das evoluionäre Verhalen dieser 9 Spielypen. Die ausgefüllen schwarzen Punke markieren die evoluionär sabilen Sraegien der jeweiligen Spiele. Es gib Spielklassen, die besizen lediglich eine ESS und Klassen die sogar drei ESS besizen.

Das Räuber-Beue Spiel

Weiere

Aufgaben auf Lon-Cappa Weiere