Rationale Funktionen Definition Unter einer rationalen Funktion versteht man eine Funktion f : x f(x) = z(x) n(x) wenn z(x) und n(x) ganzrationale Funktionen sind 1 Die Ableitungsfunktion für rationale Funktionen 1 Beispiel zur Einführung Zur Entlastung einer Bundesstrasse sollen zwei rechtwinklig sich schneidende Funktionen durch ein gerades Straßenstück verbunden werden. Die Strasse darf dabei nicht durch das eingezeichnete rechteckige Grundstück mit der Länge 200 m und der Breite 100 m verlaufen. Eine Gruppe der Befürworter der neuen Straße wollen, dass das eingeschlossene Flächenstück minimal ist. 1. Erstelle eine Zeichnung 2. Funktionserstellung für die Dreiecksfläche: f(x) = bx x a Um die minimale Fläche zu bestimmen benötigt man ein lokales Extremum dieser Funktion. Dazu ist notwendige Bedingung, die erste Ableitung zu kennen. 2 Erarbeitung einer Ableitungsregel Wir setzen wieder über den Differenzenquotienten an: Man bildet nun den Hauptnenner: f (x 0 ) = z(x) z(x 0) n(x) n(x 0 ) x x 0 f (x 0 ) = z(x)n(x 0 ) n(x)z(x 0 ) n(x)n(x 0 ) x x 0 c 2009 02 23 by Markus Baur using L A TEX Seite: 1
Man addiert im Zähler zunächst z(x 0 )n(x 0 ) f (x 0 ) = z(x)n(x 0 ) z(x 0 )n(x 0 )+z(x 0 )n(x 0 ) n(x)z(x 0 ) n(x)n(x 0 ) x x 0 f (x 0 ) = n(x 0)(z(x) z(x 0 )) n(x)n(x 0 )(x x 0 ) z(x 0)(n(x) n(x 0 )) n(x)n(x 0 )(x x 0 ) Mit einem Grenzwertübergang x x 0 erkennt man: f (x 0 ) = n(x 0)z (x 0 ) n 2 (x 0 ) z(x 0)n (x 0 ) n 2 (x 0 ) Zusammengefasst ergibt sich dann für die Ableitung einer rationalen Funktion die nachstehende Ableitungsregel: Eine rationale Funktion der Form f : x f(x) = z(x) n(x) Ableitungsfunktion hat die f (x 0 ) = n(x 0)z (x 0 ) z(x 0 )n (x 0 ) n 2 (x 0 ) Monotonie einer rationalen Funktion Da wir nun die Ableitungsfunktion einer rationalen Funktion bilden können, sind wir nun auch in der Lage, eine Monotonieuntersuchung wie bei den ganzrationalen Funktionen durchzuführen. Beispiel Gegeben ist die folgende rationale Funktion f : x f(x) = 3x 1 2x + 2 Untersuche die Funktion auf lokale Extrema und gib gegebenenfalls Art und Lage der Extrema an. Schritt 1: Bestimmung der Ableitungsfunktion mit der Quotientenregel: f (x) = f (x) = (x + 2) 3 (x 1) 2 (x + 2) 2 3x + 6 2x + 2 (x + 2) 2 f (x) = x + 8 (x + 2) 2 c 2009 02 23 by Markus Baur using L A TEX Seite: 2
Schritt 2: Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung: Zähler Null setzen: x + 8 = 0 x = 8 Ableitungsfunktion in faktorisierter Darstellung anschreiben und eine Vorzeichenuntersuchung in einer Tabelle darstellen: f (x) = x + 8 (x + 2)(x + 2) < x < 8 8 < x 2 2 < x < + x+8 - + + x+2 - - + x+2 - - + f (x) - + + Schritt 4: Auswertung der Monotonietabelle: 1. Im Intervall < x < 8 ist f(x) streng monoton abnehmend. 2. Im Intervall 8 < x < 2 ist f(x) streng monoton wachsend 3. Im Intervall 2 < x < + ist f(x) streng monoton wachsend. 4. Das Mononotonieverhalten kehrt sich an der Stelle x = 8 um und damit hat die Funktion f(x) an x = 8 ein lokales Minimum. Stetige Funktionen Die große Schwierigkeit bei dem Zeichnen des Graphens einer rationalen Funktion ist das Verhalten des Funktionsgraphen an den Definitionslücken. Dabei unterscheidet man zwei grundsätzliche Arten: Der Graph weist an der Definitionlücke eine Sprungstelle auf. Der Graph hat an der Definitionslücke lediglich ein Loch. Das erste Verhalten nennt man, dass die Funktion unstetig ist, im zweiten fall sagt man, dass die Funktion stetig fortsetzbar ist. Definition Eine Funktion f(x) heißt an der Stelle x 0 stetig, wenn für x x 0 < δ gilt: f(x) f(x 0 ) < ε c 2009 02 23 by Markus Baur using L A TEX Seite: 3
Stetigkeitsnachweis mit Delta- Epsilon Beispiel Weise nach, dass die Funktion f : x f(x) = x für jedes x 0 stetig ist. Beweis der Stetigkeit Bei dem Stetigkeitsbeweis mit delta- epsilon beginnt man stets mit f(x) f(x 0 ). Als Voraussetzung kann man nur Verwenden, dass x x 0 < δ: x x x 0 x 0 = x + x0 x x 0 x + x 0 < δ x0 Man erkennt nun: Je kleiner δ, desto kleiner wird ε = erfüllt und die Funktion per definitionem stetig. δ x0. Damit ist die Definition der Stetigkeit Grenzwert einer Funktion und Stetigkeit Einführendes Beispiel Wir wollen das Verhalten der Funktion f : x f(x) = (x 3)(x 2) x 3 an der Stelle x 0 = 3 untersuchen. Das Problem dabei ist, dass die Funktion an der Stelle x 0 = 3 nicht definiert ist. Wir können dieses Problem umgehen, indem wir die Funktion abschnittsweise definieren: { (x 3)(x 2) } x 3 f(x) = x 3 1 x = 3 Diese erweiterte Funktion untersuchen wir an der Stelle x 0 = 3 auf Stetigkeit: x2 5x + 6 x 3 1 = x2 5x + 6 x + 3 x 3 = x2 6x + 9 x 3 Wendet man nun noch die zweite binomische Formel an, dann erhält man folgendes Ergebnis: x 3 < δ Daher kann man insgesamt sagen: Gilt x 3 < δ folgt, dass f(x) 1 < ɛ ist mit δ = ε Die um eins ergänzte Funktion nennt man deshalb die stetige Fortsetzung der Funktion und x 0 = 1 nennt man Grenzwert. c 2009 02 23 by Markus Baur using L A TEX Seite: 4
Definition des Grenzwertbegriffs Die Zahl a heißt Grenzwert einer Funktion f(x), wenn gilt für x x 0 < δ gilt: f(x) a < ε Im mathematischen Zeichen schreibt man lim f(x) = a x x 0 2 Stetigkeitsuntersuchnung mit Grenzwerten Wir können die Stetigkeitsuntersuchnung mit Hilfe des neuen Grenzwertbegriff erheblich vereinfachen. Dazu greifen wir zu der altbekannten h- Methode. Exemplarisches Beispiel Wir betrachten das Stetigkeitsverhalten der Funktion { x } 2 x 2 x 2 f : x f(x) = x 2 3 x = 2 an der Stelle x 0 = 2 Die Stetigkeit kann mit Hilfe des Grenzwertbegriffs wesentlich vereinfachen. An der Stelle x 0 = 2 muss die Funktion zwei Grenzwerte haben. einen linksseitigen Grenzwert x 0 h einen rechtseitigen Grenzwert x 0 + h Somit besteht die Stetigkeitsuntersuchung in zwei Schritten: 1. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts 2. Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts. Berechnung des linksseitigen Grenzwerts: 4 4h + h 2 2 + h 2 lim h Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts: (2 h) 2 (2 h) 2 lim f(2 h) 2 h 2 h 2 3h h (2 + h) 2 (2 + h) 2 lim f(2 + h) 2 + h 2 4 + 4h + h 2 2 h 2 lim h h 2 + 3h h h + 3 = 3 h + 3 = 3 c 2009 02 23 by Markus Baur using L A TEX Seite: 5
Wir erkennen: Der rechtwertige und linkswertige Grenzwert stimmen überein und darüberhinaus gilt, dass er mit f(2). Somit kann man eine bequemere Definition der Stetigkeit mit Hilfe eines Grenzwertkriteriums geben: Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x 0 stetig, wenn gilt: lim f(x 0 h) f(x 0 + h) = f(x 0 ) Anwendung der Stetigkeit bei rationalen Funktionen Beispiel Gegeben ist die rationale Funktion f : x f(x) = 36 + 33x 10x2 + x 3 x 4 1. Bestimme die maximale Definitionsmenge der Funktion f(x). 2. Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f(x) mit den Koordinatenachsen. 3. Zeige, dass man die Funktion f(x) als eine Polynomfunktion zweiten Grades geschrieben werden kann. 4. Man zeige, dass f(x) an den Definitionslücken stetig fortsetzbar ist. 5. Bestimme die Art und die Lage des Lokalen Extremums der Funktion f(x). 6. Zeichne den Graphen in ein Koordinatensystem. Lösung der Aufgaben 1. Bestimmung der maximale Definitionsmenge: Damit ist D=R 3 x 4 = 0 x = 4 2. Berechnung der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen f(0) = 36 4 = 9 x 3 10x 2 + 33x 36 = 0 c 2009 02 23 by Markus Baur using L A TEX Seite: 6
Durch Raten erhält man x 01 = 3 Die Polynomdivision durch x 3 ergibt das Ergebnis x 2 7x + 12 Dadurch ist noch die Gleichung x 2 7x + 12 = 0 zu lösen. Mit der Lösungsformel erhält man die folgenden Lösungen x 02 = 3 x 04 = 4 3. Darstellung der Funktion als Polynomfunktion zweiten Grades: Dazu muss man zunächst den Zähler und den Nenner in faktorisierter Darstellung angeben. Dies erreicht man mit Hilfe der Nullstellen und dem Nullstellensatz für ganzrationale Funktionen: In gekürzter Form erhalten wir: Damit ist die Behauptung gezeigt. f(x) = (x 3)2 (x 4) x 4 f(x) = (x 3) 2 f(x) = x 2 6x + 9 4. Stetige Fortsetzbarkeit an x 0 = 4 Die stetige Fortsetzung beweist man über das Grenzwertkriterium. Man bestimmt den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion f(x): linksseitige Grenzwert rechtsseitiger Grenzwert lim f(4 h) ((4 h)2 6(4 h) + 9) (16 8h + h 2 24 + 6h + 9) (1 2h + h 2 ) = 1 lim f(4 + h) ((4 + h)2 6(4 + h) + 9) (16 + 8h + h 2 24 + 6h + 9) (1 + 14h + h 2 ) = 1 Man sieht, dass f(x) an der Stelle x 0 stetig fortsetzbar ist und an dieser Stelle eine Definitionslücke besitzt. 5. Lokales Extrema der Funktion f (x) = 0 f (x) = 2x 6 2x 6 = 0 x = 3 c 2009 02 23 by Markus Baur using L A TEX Seite: 7
Bestimmung der Art des lokalen Extremas mit Hilfe der zweiten Ableitung: f (x) = 2 Es gilt daher: f (3) = 2 > 0 Damit liegt an der Stelle x = 3 ein lokales Minimum vor. 6. Zeichnung des Graphen der Funktion f(x) c 2009 02 23 by Markus Baur using L A TEX Seite: 8